Diskretne matematièke strukture

Transcript

1 UNIVERZITET U BEOGRADU Fkultt orgnizcionih nuk dr Mirjn Èngloviæ Diskrtn mtmtièk struktur (nrdigovn skript) Bogrd, 997.

2 SADRŽAJ. UVOD RELACIJA. OPERACIJA. FUNKCIJA OSNOVNI POJMOVI LOGIKE MATEMATIÈKA LOGIKA ISKAZNI RAÈUN Iskzn lgr Iskzn formul i njn vrdnost Prkidèk mrž Bool-ov funkcij Izvoðnj zkljuèk PREDIKATSKI RAÈUN (KVANTIFIKATORSKI RAÈUN) Prdiktsk formul Pojvljivnj promnljivih u prdiktskoj formuli Intrprtcij prdiktsk formul Istinitosn vrdnost prdiktsk formul ALGEBARSKE STRUKTURE GRUPA PRSTEN. TELO. POLJE. BOOL-OVA ALGEBRA RELACIJSKE STRUKTURE PARCIJALNO UREÐENI SKUP SUPREMUM. INFIMUM. REŠETKA OSNOVI TEORIJE GRAFOVA DEFINICIJA GRAFA MATRIÈNA INTERPRETACIJA GRAFA PUTEVI U GRAFU NEKI SPECIJALNI GRAFOVI STABLO (DRVO) TEORIJA KONAÈNIH AUTOMATA KONAÈNA MAŠINA KONAÈNI AUTOMAT FORMALNI JEZICI. GRAMATIKE FORMALNI JEZICI GRAMATIKE VEZA IZMEÐU AUTOMATA I REGULARNIH GRAMATIKA... 35

3 . Uvod.. Rlcij. Oprcij. Funkcij Df. Urðn n-tork (x, x,..., x n ) j niz lmnt èiji s rdosld tèno zn. (, ) j urðn dvojk. Df. (x, x,..., x n ) (y, y,..., y n ) ko j x y, x y,..., x n y n. Df. Dkrtov (dirktni) proizvod skupov A, A,...,A n j skup A A... An {(,,,n ) i A i, i,,...,n}. n Spcijlno, A A... A A {(,,, ) A, i,,...,n}. Primri: R ( x, y) 3 R (,,c) { x, y R} {,,c R} n i - rln rvn - rlni prostor Df. f j inrn rlcij nd skupovim A i B, ko j inrn rlcij nd A. f A B. Ako j A B, td j f Ako ( x,y) f, kž s "x u rlciji f s y", piš s x f y. Primri: ( x, y) ( x, y) { R x + < } f y - krug u rvni s cntrom (0,0) { R x y} f < - polurvn iznd prv y x. Df. f j rlcij dužin n nd skupovim A, A,...,A n ko j A A... A n A, td j f rlcij dužin n nd A. Ako j f 0/, to j przn rlcij. Ako j f A A... An, to j univrzln rlcij. Ako j n tj. f A, to j unrn rlcij nd A. f A A... An. Ako j Df. Nk su A i B nprzni skupovi. Ako s po nkom prvilu f svkom lmntu iz A pridružuj nki lmnt iz B, td s kž d j f funkcij koj prslikv A u B. 3

4 A f B U oznci: f : A B, f ( ) A j domn, f ( A) f ( ), - originl, - slik. { A} j kodomn. Df. f j jdnoznèn funkcij ko vži d, z svko x A i y, z B, ko y f (x) i z f (x), ond y z. Jdnoznèn funkcij f s nziv prslikvnj. Df. Prslikvnj f : A B j "n", ko j f ( A) B tj. z svko B postoji A tko d j f ( ). Prslikvnj f : A B j "-", ko vži: z svko x, y A, ko j f ( x) f ( y), ond j x y. Ako j f : A B i "n" i "-", nziv s ijkcij ili uzjmno jdnoznèno prslikvnj. A B Primri: f : N N, f ( x) x + - nij "n", jst "-" Z f N N, jst ijkcij : \{ } 4

5 f ( x) x f : R R, nij "n", nij "-" { x R x } f : R 0, jst "n", nij "-" f : N N, jst "n", jst "-" Df. f j inrn oprcij nd skupovim A, B, C ko j f prslikvnj A B u skup C. f j oprcij dužin n nd skupovim A, A,, A, n B ko j f prslikvnj A A A n u B. Z n, f j unrn oprcij. Primri: z x + y + : R R z x y : PA PA PA z x oprcij promn znk j unrn... Osnovni pojmovi logik Df. Iskz j rènic koj im smisl i koj j ili istinit ili nistinit (n mož iti i jdno i drugo ili ni jdno ni drugo). Iskz olžvmo s P, Q, R, S. Svkom iskzu pridružujmo istinitosnu vrdnost, u oznci v (P),, v( P) 0, ko j P istinito ko j P l`no (ili T) (ili, L) Primri: Z svki rlni roj x, x 9. (iskz koji j lžn) Kroz tèku A vn prv p prolz r dv rzlièit prv koj n sku prvu p. (ksiom dogovorno tèn iskz u gom. Loèvskog) Ov rènic j lžn (smntièki prdoks circulus vitiosus nij iskz) Df. Prdikt j rènic koj im smisl, sdrži jdnu ili viš promnljivih i njn istinitost zvisi od konkrtnih vrdnosti tih promnljivih. Primri: 5

6 x i y su rlni rojvi i x + y (prdikt istinit z x y 0, z x y j lžn). Z svki prirodni roj x, x > y (z y <, prdikt j istinit, z y j lžno). Od rènic (iskz i prdikt) s formirju složnij rènic upotrom tzv. logièkih oprcij. Istinitosn vrdnost novih rènic zvisi od istinitosnih vrdnosti rènic koj ih orzuju i utvrðuju s n osnovu ovih vrdnosti. Ngcij "n P" ngcij tènog iskz j ntèn iskz, i ornuto. Konjukcij "P i Q" istinit smo ko su i P i Q istinit. Disjunkcij "P ili Q" istinit ko j r jdn od isky tèn. Implikcij "Ako P, ond Q", - lžn j ko j P istinito, Q lžno, u svim ostlim sluèjvim j istinito. "Iz P sldi Q", "P povlèi Q", "P j dovoljn uslov z Q", "Q j nophodn uslov z P", itd. P j prtpostvk, prmis, Q j posldic, zkljuèk. Ekvivlncij "P ko i smo ko Q" tèno ko su P i Q o tèn ili o ntèn. "P j kvivlntno s Q", "P kko Q", "P j nophodno i dovoljno z Q". v (P) v (Q) v (np) v ( P i Q) v ( P ili Q) v ( ko P ond Q) v( P kko Q) Mtmtièk logik Formlizuj postupk doijnj složnih rènic od prostih, utvrðivnj istinitosn vrdnosti ovih rènic u skldu s prvilim isprvnog logièkog zkljuèivnj. Dli s n iskzni rèun i prdiktski rèun... Iskzni rèun formlizuj prvilno zpisivnj iskz, grðnj novih složnih iskz, ko i utvrðivnj istinitosn vrdnosti ovih iskz u zvisnosti od istinitosti iskz koji ih èin. D i s ov formlizcij uspš no izvl, uvodi s pojm iskzn lgr. Df. Dt j skup {, } lmnt iz { }, Iskzn lgr 0 i oprcij,,,, dfinisn sldæim tlicm 6

7 0 lmnt iz { 0, } (, ) (, 0) (0, ) 0 0 (0, 0) 0 0 Skup {, } 0 sndvn oprcijm,,,, j iskzn lgr. Oprcij iskzn lgr mogu, u opš tm sluèju, iti ilo koj oprcij s prthodnim tlicm. On ovd nos oznk logièkih oprcij, jr logièk oprcij imju ist tlic nd skupom {istinito, nistinito}. Uoièjn oznk z oprcij:, Iskzn formul i njn vrdnost Simoli iskzn lgr: promnljiv iskzn lgr: p, q, r, p, q, r,, pn, qn, rn, simoli oprcij:,,,, pomoæni simoli: (, ). Df. Iskzn formul j niz sstvljn od iskznih slov, simol oprcij i zgrd koji j formirn prm sldæim konvncijm formlnog zpisivnj:. Iskzn slov su formul. Ako su A i B iskzn formul, td su i A, ( A B), ( A B), ( A B), ( A B) iskzn formul. 3. Iskzn formul s jdino orzuju konènom primnom. i. Primri: p, p, ( p q), (( p q) ( r q)) - prvilno p, ) p q, p q - nprvilno spoljš nj zgrd mogu s izostviti unutrš nj zgrd mogu s izostviti u skldu s sldæim priorittim oprcij: ), ),, 3), 4). Npr. ( p q) r q. ( A A An ) ( A A An ) A n n A A A n n n i n i A A A A A A i i 7

8 Iskzn formul z iskznu lgru prdstvlj ono š to prdstvlj lgrski izrz z lgru rojv. Vrdnost iskzn formul A, v( A), doij s kd u A svku promnljivu zmnimo s nkom vrdnoš æu iz { 0, } i izvrš imo sv nznèn oprcij. Ko rzultt s doij ili 0 koj prdstvlj vrdnost formul A z odgovrjuæ vrdnosti promnljivih. (( p q) ( r q )) z p q, r 0 v(( p q) ( r q)) (( ) ( 0 )) ( 0 ) 0 0 Ovkv formlizcij omoguæv jdnoznèno izrèunvnj istinitosnih vrdnosti složnih iskz: Ako sd u iskznoj lgri promnljiv p, q, r smtrmo iskzim, oprcij,,,, oznèvju odgovrjuæ logièk oprcij, 0 znèi lžno i znèi istinito, td iskzn formul prdstvljju prvilno zpisn složn iskz. Istinitosn vrdnost ovkvog složnog iskz s doij ko vrdnost njmu odgovrjuæ iskzn formul n sldæi nèin: Svki s iskz u formuli zmni svojom istinitosnom vrdnoš æu p s izrèun vrdnost formul ko u iskznoj lgri. Vrdnost formul prdstvlj istinitosnu vrdnost iskz. Tko s izrèunvnj istinitosnih vrdnosti složnih iskz svodi n izrèunvnj u iskznoj lgri. Dt su dv trougl ABC i A B C. Ako j α ABC i A B C podudrni ko i smo ko j β Formlizcij: α i AB A B, td su trouglovi β. p: α α, q: AB A B, r: ABC A B C, s: β β Odgovrjuæ formul iskzn lgr: ( p q) ( r s) z p q r s, v(( p q) ( r s)) ( ) ( ) z p q, r, s 0, v(( p q) ( r s)) ( ) ( 0) 0 0 Df. Tutologij j iskzn formul koj z sv moguæ vrdnosti svojih promnljivih im vrdnost. (Tutologij prdstvlj zkon prvilnog formlnog zkljuèivnj.) Nk poznt tutologij. p p. p p (rflksivnost) (iskljuènj træg) 8

9 3. ( p p ) (nprotivurènost) 4. p p (dvojn ngcij) 5. ( p q) ( q r) ( p r) (trnzitivnost z ) 6. ( p q) ( q p) (kontrpozicij) 7. ( p q) ( q r) ( p r) (trnzitivnost z ) 8. p p p, p p p (idmpotncij z, ) 9. p q q p, p q q p (komuttivnost z, ) 0. ( p q ) r p ( q r ) ( p q) r p ( q r) (siocijtivnost z, ). p ( p q) p, p ( p q) p (psorpcij prm, tj. prm ). p ( q r ) ( p q ) ( p r ) p ( q r) ( p q) ( p r) (distriutivnost) 3. p q p q 4. ( p q) p q ( p q) p q 5. ( p q) ( p q) ( q p) (D Morgnovi orsci) Df. Dv iskzn formul A i B su smntièki kvivlntn ko j A B tutologij tj. ko A i B imju uvk ist vrdnosti z ist vrdnosti promnljivih. Piš s A B. Sd s u svim tutologijm iz koj sdrž, znk mož zmniti s...3. Prkidèk mrž Smo on iskzn formul koj sdrž, i, gd s jvlj nposrdno isprd iskznog slov, mogu s intrprtirti ko tzv. prkidèk mrž: Iskzn slov i njihov ngcij s intrprtirju ko dvopolni prkidèi koji mogu iti otvorni (kd n provod struju) i ztvorni kd provod struju. Ako iskzno slovo im vrdnost, prkidè j ztvorn, ko j 0, on j otvorn. Ako su A i B formul koj su væ prikzn ko prkidèk mrž, td j - Z A B, mrž A B - rdn vz - Z A B, mrž - prlln vz 9

10 A B Prkidèk mrž sdrži rdno ili prllno vzn prkidè, pri èmu su svi prkidèi oznèni istim slovom istovrmno ukljuèni ili iskljuèni. Prkidè s oznkom p j ukljuèn kko j prkidè s p iskljuèn i ornuto. Prkidèk mrž provodi struju kko odgovrjuæ formul im z odgovrjuæ vrdnosti slov (tj. stnj prkidè) vrdnost. Tutologijm odgovr prkidèk mrž koj provodi uvk struju z ozir n stnj svojih prkidè. Ako j A B, td su odgovrjuæ prkidèk mrž kvivlntn tj. z ist položj svojih jdnko oznènih prkidè o provod ili n provod struju. Primri. ) p ( p q) p q p p q ) (( p q) ( p q)) p p p - tutologij p p p p p q q q p Df. Svko prslikvnj { 0, } { 0, }..4. Bool-ov funkcij n, n N, j Bool-ov funkcij. Svk iskzn formul j jdn Bool-ov funkcij èiji j roj promnljivih jdnk roju rzlièitih iskznih slov koj formul sdrži, tj. svkoj iskznoj formuli F odgovr Bool-ov funkcij f tko d j v( F) f ( p, p,, p n ) z sv vrdnosti iskznih slov p, p,, p n iz formul F. Bool-ov funkcij jdn promnljiv p α α α 3 α 4 α 3 odgovr ngciji 0

11 Bool-ov funkcij dv promnljiv (im ih 6 ) p q β β β 5 β 0 β Z svku Bool-ovu funkciju f postoji iskzn formul F tko d j v( F) f ( p, p,, p n ). O tom govori sldæi stv: Torm. Nk j f p p p n (,,, ) proizvoljn Bool-ov funkcij i n { (,,, n ) { 0, } (,,, n ) } n { (,,, ) { 0, } (,,, ) 0 } B f i B n f n, i p 0 i pi, p i pi. Td j n. Z B 0/, f ( p, p,, pn ) v ( p p pn ) (,,, n ) B - svrš n disjunktivn normln form. Z n B 0/, (,,, ) ( ) f p p pn v p p pn (,,, n ) B - svrš n konjuktivn normln form. p q β β 5 j implikcij B { } (, ),(, ),(, ), β β ( p q ) ( p q ) ( p q ) ( p q) ( p q) ( p q) B { 0 } 0 0 (, ) β 5 p q p q p q N tj nèin s svk Bool-ov funkcij mož prdstviti pomoæu formul s,,, p i pomoæu prkidèk mrž.

12 ..5. Izvoðnj zkljuèk Df. Formul F j smntièk posldic skup formul F ko vži: Z sv vrdnosti iskznih slov z koj j v( H) z svko H F, vži d j i v( F). Elmnti skup F su hipotz formul F, u oznci F F. Z konèn skup F {F, F,..., F n }, F, F,..., F n F. Torm. F, F,..., F n F ko i smo ko j ( ) Nk prvil zkljuèivnj: F F F F tutologij.. p, p q q - modus ponns (dirktni dokz) p: 988 j dljivo s 4 p q : Ako j N dljivo s 4, td j godin N prstupn q : 988 j prstupn godin. n. p q, q r p r - hipottièki silogizm p q q : Ako j, td j 4 r : Ako j 3 4, td j 4 3 p r : Ako j, td j 4 3. p, q p q - modus tolns (indirktni dokz) - svoðnj n psurd p: U soi im 3 ljudi q p : Ako sv oso imju roðndn rzlièitih msci, td u soi im n viš od oso q : Dv ili viš oso imju roðndn istog msc 4. p q, q p p q - kvivlncij Trougo j jdnkostrnièn kko su mu svi uglovi jdnki.5. Prdiktski rèun (kvntifiktorski rèun)

13 formlizuj prvilni nèin zpisivnj prdikt nkog mtmtièkog ili drugog jzik, odrðivnj istinitosn vrdnosti prdikt. Pri tom s ulzi u sdržj rènic koj ulz u sstv prdikt..5.. Prdiktsk formul Osnovni simoli kvntittivnog rèun:. promnljiv: x y, z, x, y, z,, x, y, z,, n n n, n n n f, g, h, f, g, h,, f n, g n, hn α, β, γ, α, β, γ, i. konstnt:, c,,, c,,,, c, 3. oprcijski simoli:, 4. rlcijski simoli: 5. simoli logièkih oprcij i kvntifiktori:,,,,,. 6. pomoæni simoli: ml zgrd i zrzi. : univrzlni kvntifiktor, ilo koji, svki, m koji : gzistncijlni kvntifiktor, postoji r jdn, postoji nki. Formlizcij prvilnog zpisivnj prdikt Df. Izrz j niz promnljivih, konstnti, oprcijskih simol, zgrd i zrz koji s formir prm sldæim konvncijm:. Konstnt i promnljiv su izrzi (trmi). Ako su t, t,, t n izrzi, f oprcijski simol dužin n, td j f ( t, t,, t n ) izrz 3. Izrzi s doijju smo pomoæu konèno mnogo primn. i. Primri: x,, f ( x), g( x, y), g( g( x, )), f ( g( x), g( h( x, y))) Ako j f oprcijski simol dužin, td s, umsto f ( x), mož pisti f x, ko j f oprcijski simol dužin, td s, umsto f ( x, y), mož pisti x f y. Df. Ako su t, t,, t n izrzi i α rlcijski simol dužin n, td j α( t, t,, t n ) lmntrn formul. Ako j α rlcijski simol dužin, td s, umsto α( x, y ), mož pisti x α y. Primri: α( x, y), α( f ( x, y)), α( f ( x, y), ), α( x, y, f ( x), z) Df. Prdiktsk formul s dfiniš prm sldæim konvncijm:. Elmntrn formul j prdiktsk formul 3

14 . Ako su A i B prdiktsk formul i x promnljiv, td su ( A),( A B),( A B ), ( A B),( A B),( x) A,( x) A prdiktsk formul 3. Prdiktsk formul s doijju smo pomoæu konèno mnogo primn. i. U prdiktskoj formuli mogu s izostviti spoljš nj zgrd, i nk unutrš nj prm priorittu logièkih oprcij. Primri: () ( x)( y)( α( x, y) α( f ( x), f ( y)) () ( x) α( x, y) ( y) α( x, y) (c) α( x, y) ( z) β( y, f ( x, z)).5.. Pojvljivnj promnljivih u prdiktskoj formuli Df. Pojvljivnj promnljiv x u formuli F j vzno, ko j olik ( x ) ili ( x ) ili ko s x pojvljuj u nkoj formuli A, pri èmu j ( x) A ili ( x) A podformul formul F. Ako pojvljivnj x nij vzno ono j sloodno. Df. Sloodn promnljiv formul F j promnljiv koj im r jdno sloodno pojvljivnj u toj formuli. Vzn promnljiv formul F j promnljiv èij su sv pojvljivnj u toj formuli vzn. Primri: Sv promnljiv u formuli () su vzn. x, y, iz formul () su sloodn promnljiv. x, y su sloodn, z vzn u formuli (c). Ako su sv promnljiv u jdnoj formuli vzn, td s ov formul zov ztvorn formul. Tkv formul prdstvljju rènic kojim s mož dirktno odrditi istinitosn vrdnost, p on, u stvri, prdstvljju iskz. Ako su x, x,, sloodn promnljiv formul F, td s piš F( x, x,, x n ). x n.5.3. Intrprtcij prdiktsk formul Df. Urðn pr (, ) D ϕ j intrprtcij formul F, ko j D nprzn skup koji prdstvlj olst dfinisnosti svih promnljivih i konstnti iz formul F, ϕ prslikvnj koj: svkoj konstnti iz formul F dodljuj odrðn lmnt iz D, svkom oprcijskom simolu dužin n dodljuj konkrtnu n-rnu oprciju nd D, 4

15 svkom rlcijskom simolu dužin n dodljuj konkrtnu n-rnu rlciju u D. D s nziv domn intrprtcij formul F. Primri: ( x)( y) α( f ( x, y), f ( y, x)). D R, ϕ: f +, α ( x)( y) x + y y + x. D PA, ϕ: f, α ( x)( y) x y y x 3. D { 0, }, ϕ: f, α ( x)( y) x y y x Prdikt prdstvlj prdiktsku formulu koj j intrprtirn. Df. Broj sloodnih promnljivih u jdnom prdiktu prdstvlj dužinu tog prdikt. Prdikt dužin 0 prdstvlj iskz Istinitosn vrdnost prdiktsk formul Istinitosn vrdnost prdiktsk formul mož s odrditi smo ko j t formul intrprtirn tj. istinitosn vrdnost formul zvisi od njn intrprtcij i vrdnosti njnih sloodnih promnljivih. Formlizovni postupk utvrðivnj istinitosn vrdnosti:. Ako intrprtirn formul im dužinu 0, njn istinitosn vrdnost s odrðuj dirktno ulžnjm u sdržj rènic.. Ako j dužin intrprtirn formul væ od 0, tr fiksirti vrdnosti svih sloodnih promnljivih formul. 3. Z fiksirn vrdnosti sloodnih promnljivih izrèunti vrdnosti svih izrz koji ulz u formulu (tj. izvrš iti nznèn oprcij nd konstntm iz D i doiti ko rzultt konstntu iz D). 4. Odrditi z tko doijn vrdnosti izrz, vrdnosti lmntrnih formul iz formul ko:, ( v( t), v( t ),, v( tn )) α v( α( t, t,, tn ). 0, drugcij 5. Nd vrdnostim lmntrnih formul ( ili 0) izvrš iti logièk oprcij,,,, ( u domnu iskzn lgr). 6. U sluèju d s u podformulm jvljju kvntifiktori, td 5

16 v(( x) A) v( A), ko A n sdrži x ko sloodnu promnljivu v(( x) A) v( A), ko A n sdrži x ko sloodnu promnljivu, ko j v( A) z svko x D v(( x) A( x)) 0, drugcij, ko j v( A) z r jdno x D v(( x) A( x)) 0, drugcij Primri: α( f ( x, y), z)) α( y, f ( x, z)) β( y, z) Intrprtcij: f :+, α:<, β: x + y < z y < x + z y z Z x, y 3, z : + 3 < 3 < 3 3 v( + 3 < 3 < 3 3 ) v( 4 < 3 < 3 3 ) Z x, y, z 4: + < 4 < v( 3 < 4 < 5 4) Df. Formul j tèn pri intrprtciji ( d, ϕ ) ko z sv vrdnosti sloodnih promnljivih im vrdnost pri toj intrprtciji. Df. Formul koj j tèn pri svkoj intrprtciji j vljn formul.. Ako s u nkoj tutologiji svk promnljiv zmni s nkom prdiktskom formulom (istoj promnljivoj odgovr ist formul), doij s prdiktsk formul koj j vljn. Primri: F F, F F F F, F F F F, itd.. ( x) A( x) ( x) A( x) ( x) A( x) ( x) A( x) ( x)( y) A( x, y) ( y)( x) A( x, y) ( x)( A( x) B( x)) ( x) A( x) ( x) B( x) ( x)( A( x) B( x)) ( x) A( x) ( x) B( x) vljn formul Df.. Formul A i B su smntièki kvivlntn, ko j A B vljn formul 3. Algrsk struktur Df. Binrn oprcij f u skupu S j ztvorn, ko Osoin ztvorn inrn oprcij * u skupu S: ( x, y S) xfy S 6

17 7. x y S y x S y x ), ( (komuttivnost) (K). ) ( ) ( ),, ( z y x z y x S z y x (socijtivnost) (A) 3. S S ) ( ) ( (nutrlni ili jdinièni lmnt) (N) S S ' ) ( ) ' ( ( - lvi nutrlni lmnt) (LN) S S ' ' ) ( ) ' ' ( ( - dsni nutrlni lmnt) (DN) 4. S S ) ( ) ( (invrzni lmnt) (I) Df. Nprzn skup S sndvn s jdnom ili viš ztvornih oprcij f, f,..., f n ilo koj dužin nziv s lgrsk struktur (ili lgr), u oznci (S, f, f,..., f n ). 3.. Grup Df. Spcijlno, z n, skup S sndvn jdnom inrnom ztvornom oprcijom j grupoid, u oznci (S, *). Primri: (R,+), (R, ), (Q,+), (Z, ) Df. Ako grupoid (S,*) zdovoljv i uslov d j * socijtivn, td j (S, *) polugrup, * j (A) i (N), td j (S, *) monoid, * j (A), (N), (I), td j (S, *) grup, * j (A), (K), (N), (I), td j (S, *) Alov grup. Primri: (N, +), (N, ) - komuttivni monoidi (PA, ), (PA, ) - komuttivni monoidi (Z, +), (Q, +), (R, +) - Alov grup (R\{0}, ), (Z\{0}, ) - Alov grup ({, -}, ) - Alov grup Torm. Ako j (S,*) grup, njn nutrlni lmnt j jdinstvn. Dokz: Ako postoj dv nutrln lmnt, ( ) ( x x x x x x S x Torm. Ako j (S,*) grup, svki njn lmnt im jdinstvni invrzni lmnt. Dokz: Ako postoj dv invrzn lmnt, lmnt td j * ) * ( ) * ( Df. Ako j (S,*) i (S, ) dv grupoid, td su ovi grupoidi izomorfni, ko postoji ijkcij f S n S tko d vži: ) ( ) ( ) ( ), ( y f x f y x f S y x

18 +lny. grup. (R +, ) j izomorfno s (R, +), jr postoji ijkcij lnx: R + R, tko d j ln(x z)lnx Izomorfni grupoidi su ist struktur. Ako j jdn od njih grup, i onj drugi mor iti 3.. Prstn. Tlo. Polj. Bool-ov lgr Posmtr s lgrsk struktur (S, *, ), gd su * i inrn ztvorn oprcij n S. Oprcij j distriutivn u odnosu n *, ko vži ( x, y, z S) ( x y) z ( x z) ( y z) ( x, y, z S) x ( y z) ( x y) ( x z) -(DD) dsn distriutivnost -(LD) lv distriutivnost Df. (S,*, ) j prstn, ko j (S,*) Alov grup, (S, ) polugrup, j distriutivn prm *. Ako j komuttivn oprcij, to j komuttivn prstn. Primri: (Z, +, ) Df. (S,*, ) j tlo, ko j (S,*) Alov grup, (S \ { 0}, ) grup (0 j nutrlni lmnt oprcij *) j distriutivn prm *. Df. Tlo (S,*, ) j polj, ko j (S { 0}, Primri: (R, +, ) \ ) Alov grup. Df. (S,*, ) j Bool-ov lgr, ko j *, su (A) i (K). * i su oostrno distriutivn. postoji nutrlni lmnt oprcij * i nutrlni lmnt oprcij. x S) ( x' S)( x * x' x x' ) ( Primri: (P,, ) i ({0,},, ) 8

19 4. Rlcijsk struktur 4. Prcijlno urðni skup Osoin inrn rlcij r u skupu S:. ( x S) xρx - rflksivnost. ( x, y S) x ρ y y ρ x - simtriènost ( x, y S) x ρ y y ρ x x y 3. - ntisimtriènost ili x y x ρ y y ρ x 4. ( x, y, z S) x ρ y y ρ z x ρ z) - trnzitivnost ρ j rlcij kvivlncij, ko zdovoljv,, 4. ρ j rlcij portk, ko zdovoljv,3, 4. Df. Nprzn skup S sndvn nkom rlcijom portk ρ nziv s prcijlno urðn skup, u oznci (S, ρ). Primri: (R, ), (P, ), (N, /) Df. Prcijlno urðn skup (S, ρ) j lnc ko su mu svk dv lmnt urdiv tj. vži. ( x, y S) ( x ρ y y ρ z) Primri: (R, ) - lnc (N, /), (P, ) nisu lnci Df. Njmnji lmnt skup (S, ρ):( y S) ρy. Njvæi lmnt skup (S, ρ):( y S) yρ. Minimlni lmnt skup (S, ρ): ( y S) (y y ) Mksimlni lmnt skup (S, ρ): ( y S) (y y). Svki njmnji (njvæi) lmnt j i minimlni (mksimlni). Kod lnc j svki minimlni (mksimlni) lmnt njmnji (njvæi) lmnt. Primri: (PA, ), A{,, 3}, j njmnji, A njvæi lmnt. (PA \ {, A}, ) - {}, {}, {3} - minimlni lmnti {,}, {,3}, {,3} - mksimlni lmnti Torm. Ako postoj njvæi ili njmnji lmnt, oni su jdinstvni Dokz: Ako postoj dv njvæ lmnt,, td y S y y ρ ρ ρ ( ) ρ 9

20 4. Suprmum. Infimum. Rš tk Df. Nk j (S, ρ) prcijlno urðn skup i S S. Td j S gornj (donj) mð skup S, ko j ( y S ) y ρ tj. ( y S ) ρ y Suprmum skup S j njmnji lmnt u skupu gornjih mð skup S. Infimum skup S j njvæi lmnt u skupu donjih mð skup S. Primri: - (R, ), S {-, }: donj mð -, inf S - gornj mð, sup S - (N, ), gd j ( k N) k, S {, 30} gornj mð: 60k, k,,.., sup{, 30}60 donj mð:,3,6 inf{, 30}6 Df. Prcijlno urðn skup (S, ρ) j mrž ili rš tk ko svk dv njgov lmnt imju suprmum i infimum. Torm. Svki lnc j rš tk. Primri: ) (N, ), sup (, ) njmnji zjdnièki sdržlc (,) inf (, ) njvæi zjdnièki dlilc (,) ) (S, ρ) S {0,, 6}, ρ {(0, 0), (, 0), (6, 0), (, ), (, 6), (6, 6)} S {0, 6} S {0, } S {, 6} donj mð :, 6, gornj mð : 0, donj mð :, gornj mð : 0, donj mð :, gornj mð : 0, 6 infs sups 6 0 infs sups 0 infs sups 6 5. Osnovi torij grfov 5. Dfinicij grf 0

21 Df. Ako j X nprzn konèn skup i ρ inrn rlcij u X, td s urðni pr G(x,ρ) nziv grf. Elmnti skup X su èvorovi, lmnti skup r grn (ivic) grf. Gomtrijsk prdstv grf: èvorovi grf iz X s prikzuju ko mðusono rzlièit tèk rvni ili prostor. Ako (x,y) ρ, td odgovrjuæ tèk spjmo nprkidnom linijom koj s orijntiš od x k y. Ako (x,y) ρ, odgovrjuæ tèk nisu povzn linijom. X {,, c, d}, p {(, ),(, ),(, c),(, d ),(, ),(, d ),( c, ) } d c Ivic koj spj èvor s smim soom zov s ptlj. Svkoj rlciji s mož pridružiti grf ko gomtrijsk prdstv i svkom grfu ko figuri s mogu pridružiti nk inrn rlcij u skupu èvorov. Osoin inrnih rlcij n grfu:. Rflksivnost: svki èvor grf im ptlju.. Simtriènost: izmðu svk dv rzlièit èvor gd postoji ivic, postoji i ivic u suprotnom smru. 3. Antisimtriènost: svk dv rzlièit èvor imju njviš jdnu ivicu koj ih spj. 4. Trnzitivnost: z svki pr ndovznih ivic (x,y) i (y,z), postoji ivic (x,z) koj ih ztvr. y x z X 0,,6, p { } {(0,0),(,0),(6,0),(,),(,6),(6,6)} 0 -Rlcij portk 6

22 Df. Ako j kod grf (X, ρ) rlcij ρ ntisimtrièn, grf j orijntisn. Ako j kod grf (X, ρ) rlcij ρ simtrièn, grf j norijntisn. Kod norijntisnog grf s svi provi grn koj spjju èvorov zmnjuju jdinstvnim norijntisnim grnm. c zmnjuj s c Postoj i grfovi koji nisu ni orijntisni ni norijntisni. Postoj i drugèij dfinicij norijntisnog grf: Df. Urðni pr (X, U), gd j X nprzn skup, U {( x y), x, y X } nziv s orijntisni grf. Urðni pr (X, U), gd j X nprzn skup, U {( x y), x, y X } nurðnih prov iz X, j norijntisni grf. Primri: X,, c, U (, ),(, ),(, c),(, c) (X,U), { } { }, i ntisimtrièno j,, tj. U j podskup skup c - norijntisn grf. 5.. Mtrièn intrprtcij grf Df. Nk su svi èvorovi nkog grf (X,ρ) urðni po nkom proizvoljnom portku u niz

23 x, x,..., x n.,(x i x j) ρ,. Mtric A ij, kod koj j nxm ij 0, drugcij j mtric susdstv grf (X, ρ). Mtric susdstv norijntisnog grf j simtrièn tj. ij ji z svko i,j {,,..,n}. Z mtricu susdstv orijntisnog grf vži d j ( i, j, i j) ij ji 0. Z ii, postoji ptlj u èvoru x i. Df. Nk su svi èvorovi i ivic norijntisnog grf (X,ρ) urðni u nizov x, x,..., x n tj. i, i,..., i m. Mtric B ij nxm, kod koj j ij, ko j x i jdn od krjnjih tck ivic i 0, drugcij j. d c 0 A c 0 d c 0 0 d (, ) A c c 0 (, c) 0 (, c) Putvi u grfu Df. Zdt j grf G(X,ρ). Niz ivic iz ρ (x, x ), (x, x 3 ),..., (x n-, x n ) j put dužin n grf G od x do x n. (x j poètni, x n zvrš ni èvor). Ivic i èvorovi u putu s mogu ponvljti. Df. Ako s svi èvorovi nkog put rzlièiti, td j to lmntrni put (prolzi kroz svki èvor put smo jdn put). Df. Ako j x x n, td s put nziv ztvotni put. Umsto (x, x ), (x, x 3 ),..., (x n-, x n ) piš s x, x,..., x n. - d - c - - df - c - nij lmntrni put c f 3

24 - d c f c d - nij lmntrni, li j ztvorn - d c f - otvorn i lmntrn - d c,, c f c ztvorn i lmntrn Df. Nk j G(X,U) norijntisni grf. Niz ivic iz U {x, x }, {x, x 3 },..., {x n-, x n } j lnc u G od x do x n. (x j poètni, x n zvrš ni èvor). Ivic i èvorovi u putu s mogu ponvljti. Df. Ako s svi èvorovi lnc rzlièiti, to j lmntrni lnc. Df. Ako j x x n, lnc s nziv ciklus.,, c, d,, - lnc, li n lmntrni f,,, d - lmntrni lnc, f,,, d, c, - ciklus li n lmntrni, f c, d, - lmntrni ciklus c d Df. Ako j (X,ρ) norijntisni grf z ptlji, lnc koji prolzi tèno jdn put kroz sv ivic grf j Eulr-ov lnc. (isto vži i z orijntisni grf i Eulrov put) Df. Ako j (X, ρ) norijntisni grf, lnc (ciklus) koji kroz sv èvorov prolzi tèno jdn put j Hmiltonov lnc (ciklus). (Isto vži i z orijntisni grf, Eulrov put i Hmiltonov put). Primri: c Eulrov put: --c-d--f-- Hmiltonov put: n postoji d f c Nm ni Eulrov ni Hmiltonov put d 4

25 ,,c,d,f,, Hmiltonov put d,c,,,c,,d,f,,,f Eulrov put c f d 5.4 Nki spcijlni grfovi Potpun grf K n Svk dv èvor spojn su ivicom Grf-ciklus C n Ivic orzuju ciklus Grf-put P n Ivic orzuju put Nul-grf N n Grf sdrži smo èvorov Potpuni ipritni grf K n,m Skup èvorov s mož podliti n dv skup, tko d èvorovi u istom skupu nisu spojni, svk dv èvor iz rzlièitih skupov su spojni K 3, K,n zvzd Mrž Orijntisni grf koji n srži ni jdn ytvorni put niti ptlju 5

26 5.5 Stlo (drvo) Df. Stlo j norijntisni grf z ptlji kod kog izmðu ilo koj dv èvor postoji jdinstvni lmntrni lnc. Primri: Df. Stlo s kornom (ukornjno ili orijntisno stlo) j stlo kod kog postoji spcijlno uoèni èvor koji prdstvlj korn. Nivoi 0 Visin stl: 3 c d f g h 3 Df. Nivo èvor x nkog stl j dužin lmntrnog lnc od korn do tog èvor (korn im nivo 0). Visin (dužin) stl j njvæi nivo èvor u stlu. Trminologij u ukornjnom stlu Ako j dt lmntrni lnc od korn do nkog èvor, npr.,, f, h do h td j f roditlj (otc) od h, h j dt (sin) od f,,, f su prci od h, h j potomk od,, f, g i h ræ, ko nki èvor nm dc, zov s list. Ako nki èvor nij list, on j èvor grn. Df. Èvor x nkog stl zjdno s svim svojim potomcim prdstvlj podstlo ovog stl s kornom x. 6

27 Df. Binrno stlo j ukornjno stlo gd svki èvor im njviš dv dtt Èvor x nkog (lvo ili dsno). Primri: Primri: Stlo prtrživnj u zm podtk, gd s svkom èvoru stl pridružuj nki podtk, tko d j podtk u lvom podstlu uvk mnji od podtk u dsnom podstlu. 7 O 4 3 A u AB AN T T Torij konènih utomt - formuliš pstrktn modl rd sistm koji s mož opisti n sldæi nèin: ulz u t stnj s t izlz i t Sistm s posmtr u diskrtnim vrmnskim trnucim t (t0,,, ) i u svkom od njih g krktriš nko stnj s t u kom s nlzi. U svkom trnutku t n ulz u sistm dolzi nki ulzni signl u t koji izziv (vntulno) mnjnj njgovog stnj u stnj s t i n izlzu izlzni signl i t. Poš to stnj s t i izlz i t zvis, n smo od ulz u t væ i od prthodnog stnj sistm s t- n kog ovj ulz nilzi, ovkv jdn sistm rdi s nkom vrstom primitivn unutrš nj mmorij. 7

28 6. Konèn mš in Sd s strktni modl koji opisuj rd ovkvog sistm mož dfinisti n sldæi nèin: Df. Konèn mš in s sstoji od: - konènog skup U ulznih simol, - konènog skup I izlznih simol, - konènog skup S stnj, - funkcij prlz stnj f:s U S, gd f(s,u)s znèi d,ko ulz u doð u sistm koji j u stnju s,td s stnj mnj u s, - funkcij izlz g: S U I, gd g(s,u)i znèi d,ko ulz u doð u sistm koji j u stnju s,td j izlz i, - poètnog stnj sistm σ* S. Ovkv konèn mš in s oznèv s M(U,I,S,f,g, σ*). U{,}, I{0,}, S{σ 0,σ }, σ* σ 0 u f g ili f(σ 0,) σ 0 g(σ 0,) 0 s f(σ 0,) σ g(σ 0,) σ 0 σ 0 σ 0 f(σ,) σ g(σ,) σ σ σ 0 f(σ,) σ g(σ,) 0 Jdn konèn mš in s mož u potpunosti dfinsti koriš ænjm tkozvnog dijgrm prlz. Df. U dijgrmu prlz z konènu mš inu M(U,I,S,f,g,σ*) svko stnjσ iz S s prdstvlj ko nki èvor ovog dijgrm. Od èvor σ do èvor σ postoji orijntisn ivic ko postoji ulz u, u U, tkv d vži f(σ,u)σ. Ako j, pri tom, g(σ,u)i, ovoj ivici s dodljuj oznk u/i. Èvor koji prdstvlj poètno stnj σ* oznèn j strlicom. Dijgrm prlz z konènu mržu iz prthodnog primr im olik: /0 / / σ 0 σ Sd s rd konèn mš in M mož opisti n sldæi nèin: N ulzu u mš inu s nlzi jdn niz ulznih simol (ulzni niz). Polzæi od poètnog stnj, svki od ovih simol prvodi sistm iz stnj u stnj (u skldu s funkcijom prlz) /0 8

29 pri èmu s gnriš odgovrjuæi izlzni simol (u skldu s funkcijom izlz). Ovj niz izlznih simol (izlzni niz) s zto mož formlno dfinisti n sldæi nèin: Df. Niz y, y,, y n, j izlzni niz mš in M koji odgovr ulznom nizu x, x,, x n ko postoji niz stnj σ 0, σ,, σ n, S tko d j σ 0 σ* σ i f(σ i-, x i ), i, n y i g(σ i-, x i ), i, n Ako j n ulzu konèn mš in iz primr ni x, odgovrjuæi niz stnj kroz koj mš in prolzi j σ 0, σ 0, σ 0, σ, σ, σ, σ, σ. Odgovrjuæi izlzni niz j y0000. Mnog oprcij koj s viš u digitlnom rèunru mogu s prikzti ko konèn mš in. x t y t sirc z t c t- c t zstoj Srijski sirè sir dv inrn roj x0 x n x n- x 0 i y0 y n y n- y 0. N ulzu s u diskrtnim vrmnskim trnucim t0,,,n+ nlz provi (x 0, y 0 ),,(x n, z n ), (0, 0). Stnj sirè u trnutku t s krktriš prnosnim itom c t, tj. prnosom n sldæ cifrsko msto pri sirnju u trnutku t. Sirnjm inrnih cifr x t, y t i prthodnog stnj c t-, doij s ko izlz inrn cifr z t i mnj s stnj sirè u c t. Rzultt sirnj j izlzni niz z n+ z n,,z 0. Sirè s mož prikzti ko konèn mš in n sldæi nèin: Skupovi ulznih i izlznih simol su U{00,0,0,} i I{0,}. Skup stnj j S{σ 0,σ }, gd σ 0 oznèv d nm prnos n sldæ cifrsko msto, dok σ oznèv d tkv prnos postoji. Sd s dijgrm prlz ov mš in mož prikzti ko: 0/0 00/0 0/ 00/ σ 0 σ /0 0/0 0/ / 9

30 Ako tr srti dv linrn roj x000 i y0, td ovom sirnju odgovr ulzni niz (0,), (,), (,0), (0,0), njmu odgovrjuæi izlzni niz prthodno dfinisn konèn mš in j z 00, š to j i rzultt sirnj. Koriš ænjm konèn mš in s mogu formlno prikzti mnogi postupci koji imju z cilj d n odrðni nèin prpoznju unprd zdt osoin ulznog niz. Konèn mš in dfinisn dijgrmom prlz: 0/0 /0 / /0 0/0 / σ σ 0 σ 0/0 σ 3 0/ dj n izlzu èim rgistruj 0 u ulznom nizu i ndlj. U ostlim sluèjvim dj 0. Mðutim, z nk osoin ulznih nizov, n mogu s formirti konèn mš in koj i ih prpoznl. N postoji konèn mš in koj n ulzu im niz 0 i i dj izlz uvk kd j roj i 0 jdnki, u ostlim sluèjvim dj 0. Stvrno, stnj ovkv mš in trlo i d udu σ 0 isti roj i 0 σ roj væi z od roj 0 σ σ roj væi z od roj 0 σ roj 0 væi z od roj roj 0 væi z od roj Mðutim, trlo i d ud skonèno mnogo stnj, p konèn mš in n mož d s formir n tkvom skupu stnj. 30

31 /0 /0 σ σ 0 σ 0/ 0/0... / 0/0 σ /0 0/0 σ Konèni utomt Spcijlni sluèj konèn mš in su konèni utomti. Oni su od posnog inrs, jr su vzni z formln jzik i grmtik. Df. Konèni utomt A( U,I,S,f,g,σ*) j tkv konèn msin kod koj j I{0, } i gd j izlz odrðn sldæim stnjm mš in. Drugim rèim, kod konènih utomt vži d, ilo kko doš li u nko stnj, dju uvk isti izlz tj. u njihovom dijgrmu prlz sv ivic koj ulz u isto stnj imju isti izlz. /0 / / / σ 0 /0 σ /0 σ U ovoj konènoj mš ini z svko stnj vži d sv ivic koj ulz u njg imju isti izlz. Zto on prdstvlj konèni utomt. Stnj z koj vži d uvk kd j utomt u njim dju izlz zovu s prihvtjuæ stnj. Sd s konèni utomt mož dfinisti n drugèiji nèin: Df. Konèni utomt A s sstoji od: konènog skup U ulznih simol, konènog skup S stnj, funkcij prlz stnj f: U S S, podskup A S prihvtjuæih stnj, polznog stnj σ* S. U oznci A (U,S,f,A,σ*). σ 0 σ 3

32 U dijgrmu prlz konènog utomt s prihvtjuæ stnj olžvju s, oznk izlz s n nvod. Konèni utomt iz prthodnog primr s mož prikzti ko: σ 0 σ σ Svkom ulznom nizu konènog utomt A odgovr jdn orijntisni put koji polzi od poètnog stnj σ o. Ako s tj put zvrš v u nkom prihvtjuæm stnju, td A prihvt (prpoznj) tj ulzni niz. Pojm prihvænog ulznog niz mož d s dfiniš n sldæi nèin: Df. Automt A(U,S,f,A,σ*) prihvt (prpoznj) ulzni niz x, x,, x n, ko postoji niz stnj σ o,σ,, σ n,tkvih d j σ o σ * f(σ i- x i ) σ i, i B σ n A. ij nx Skup svih ulznih nizov koj utomt A prpoznj oznèv s s Ac(A). Konèni utomt iz prthodnog primr prihvt ulzni niz, jr s odgovrjuæi niz stnj zvrš v s σ. Ovj utomt n prihvt, jr s odgovrjuæi niz stnj zvrš v u σ o. Konèni utomt j u suš tini jdn lgoritm koji odluèuj d li j ili n zdti niz prihvtljiv. Èsto tr næi tkv konèni utomt koji prpoznj (prihvt) sv nizov s tèno odrðnim osoinm i smo njih. Automt koji prpoznj sv nizov nd skupom {, } koji sdrž nprn roj mož s dfinisti sldæim dijgrmom prlz. σ 0 σ gd σ o oznèv stnj u kom j roj prn, σ stnj u kom j roj nprn. 3

33 Df. Dv konèn utomt A i A su kvivlntn ko prpoznju isti skup nizov tj. Ac(A) Ac(A ) Dv utomt σ 0 σ i σ 0 σ σ su kvivlntn, jr o prpoznju nizov koji s sstoj smo od. 7. Formlni jzici. Grmtik 7. Formlni jzici U opš tm sluèju jzik j skup rèi i mtod z njihovo kominovnj koji s koristi i "rzum" od strn odrðn zjdnic. Prvil formirnj rèi u ovkvim prirodnim jzicim su vom komplksn i tš k z krktrizciju. Formlni jzici i grmtik modlirju i formlno opisuju prirodn jzik i prvil formirnj njihovih rèi, u cilju lkš komunikcij s rèunrom. Df. Nk j A nki konèn skup. Formlni jzici L nd zukom A j poskup od A*, gd j A* skup svih nizov (rèi) nd A.. Z A{,}, jzik L mož d sdrži skup svih nizov nd A koji imju nprn roj tj. L {,,,,,,...} 7. Grmtik Df. Grmtik G s sstoji od: konènog skup N nzvrš nih slov, konènog skup T zvrš nih slov, gd N T konènog podskup P [(N T)*-T*] (N T)* koji s nziv skup prvil izvoðnj 33

34 polznog slov σ* N. U oznci G(N,T,P, σ*) Ako (A,B) P, td s to èsto oznèv s A B. A (N T)*-T* i B (N T)* tj. A i B su nizovi koji s sstoj od nzvrš nih i zvrš nih slov tko d A mor d sdrži r jdno nzvrš no slovo, dok B mož d s sstoji smo od zvrš nih. Polzæi od zdt grmtik G mož s gnristi nki jzik tj. koristæi prvil ov grmtik mogu s izvsti nizovi (rèi) ovog jzik. Df. Zdt j grmtik G (N,T,P,σ*). Ako j α β nko njno prvilo, tj. (α,β) P, i xαy (N T)*, td j xβy dirktno izvodivo iz xαy, u oznci xαy xβy. Ako α i (N T)* z i, n i α i α i+ z i, n, td jα n izvodivo iz α, u oznci α α n. Jzik L(G) gnrisn grmtikom G, L(G) j skup svih nizov nd T izvdn iz σ*. Primr : Grmtik G (N, T, P, σ*) j zdt s N{σ*, S}, T{, } i P{σ* σ*, σ* S, S S, S }. N osnovu prvil S S niz S j dirktno izvodiv iz S tj. S S. Tkoð, σ* pomoæu niz izvoðnj σ* σ* σ* S. Odrdimo opš ti olik rèi nd T izvdn iz poètnog slov σ* ov grmtik: σ* σ*... n σ* n S n S... n m S n m+, z m 0 i n 0, gd k oznèv k uzstopnih pojvljivnj slov u rèi. To znèi d jzik L(G) gnrisn grmtikom G sdrži sv rèi ovog olik i smo njih tj. sdrži sv on nizov nd {,} koji sdrž smo jdno zvrš vju s s. Npomnimo d j u opš tm sluèju z zdtu ilo kkvu grmtiku G tš ko næi olik opš tg èln njnog jzik L(G). Osnovu jdn grmtik èin njn skup prvil izvoðnj. Pomoæu ovih prvil s, polzæi od poètnog slov i koristæi dv disjunktn skup slov, izvod rèi jzik ov grmtik i to nd skupom zvrš nih slov ko njgovom zukom. Nzvrš n slov služ smo ko pomoæni simoli pri ovom izvoðnju. Grmtik i njn prvil mogu s kondnzovnij prikyti pomoæu tzv. Bckus-ov normln form (BNF). Df. U Bckus-ovoj normlnoj formi s prikzuju: nzvrš n slov izmðu uglstih zgrd <...>, prvil S T ko S::T, prvil S T, S T,..., S T n ko S::T T... T n. 34

35 Grmtik iz Primr. mož s prikyti u oliku BNF ko <σ*>::<σ*> <S> <S>::<S> Mnogi poznti skupovi iz lgr rojv mogu s prikzti ko jzici gnrisni odrðnim grmtikm koj dfiniš u prvil formirnj lmnt ovih skupov. Primr : Ako s co roj shvti ko niz cifr od 0 do 9, isprd kog stoji (novzno) + ili -, td s skup svih clih rojv mož smtrti jzikom gnrisnim sldæom grmtikom: <cifr>:: <co roj>::<oznèn co roj> <noznèn co roj> <noznèn co roj>::<cifr> <cifr><noznèn co roj> Polzno slovo : <co roj> Sd s co roj 980 mož izvsti iz poètnog slov sldæim nizom izvoðnj: <co roj> <oznèn co roj> -<noznèn co roj> -<cifr><noznèn co roj> -<cifr><cifr><noznèn co roj> -<cifr><cifr><cifr> - 9<cifr><cifr> -98<cifr> U zvisnosti od olik prvil nk grmtik postoj tri tip grmtik (prm klsifikciji Èomskog): Df. Nk j G(N, T, P, σ*) nk grmtik i λ przn niz (rè). ) Ako j svko prvilo izvoðnj grmtik G olik αaβ αδβ, gd j α,β (N T)*,A N, δ (N T)*\ {λ}to j kontkstno zvisn grmtik. ) Ako j svko prvilo izvoðnj grmtik G olik A δ z A N, δ (N T)*\ {λ}, to j kontksno sloodn (nzvisn) grmtik, c) Ako j svko prvilo izvoðnj grmtik G olik A α ili A αb, gd j A,B N, α T*\{λ}, to j rgulrn grmtik. Svk rgulrn grmtik j i kontkstno sloodn, svk kontkstno sloodn j i kontkstno zvisn. Grmtik iz Primr. j rgulrn, iz Primr. j kontksno sloodn. Df. Jzik L j kontkstno zvisn (sloodn, rgulrn) ko postoji kontkstno zvisn (sloodn, rgulrn) grmtik G tko d j LL(G). Primr 3: U Primru prikzno j d postoji jdn kontkstno sloodn grmtik koj gnriš skup clih rojv. Mðutim, skup clih rojv mož s gnristi i sldæom grmtikom: 35

36 <co roj>::+<noznèn co roj> -<noznèn co roj> *<noznèn co roj> <noznèn co roj>:: <noznèn co roj>... 9<noznèn co roj> Polzno slovo : <co roj>, gd j * zvrš no slovo koj oznèv lnko. Ov grmtik j rgulrn, p j zto skup clih rojv jdn rgulrn jzik. Df. Grmtik G i G su kvivlntn, ko j L(G )L(G ). Grmtik iz Primr i 3 su kvivlntn, jr gnriš u isti skup skup clih rojv. 7.3 Vz izmðu utomt i rgulrnih grmtik Mož d s pokž d s z svki konèn utomt A mož konstruisti rgulrn grmtik G tko d s jzik L(G) poklp s skup A c(a) svih nizov koj tj utomt prpoznj. Tvrðnj: Nk j A(U,S,f,A,σ*) konèni utomt i G(N, T, P, σ*) grmtik kod koj j NS, TU, σ* poètno slovo, skup svih prvil izvoðnj P dfiniš s n sldæi nèin: ko f(s,x)s td s x s P, ko f(s,x)s i s A td s x s, s x P. Td j skup svih nizov koj prpoznj utomt A jdnk jziku L(G) gnrisnom grmtikom G. Automtu A koji prpoznj sv nizov nd {,} tkv d sdrž nprn roj, zdtom dijgrmom prlz σ 0 σ odgovr sldæ grmtik G(N, T, P, σ*): N{σ 0, σ }, T{, }, σ*σ 0 i P {σ 0 σ, σ 0, σ 0 σ 0, σ σ 0, σ σ, σ }. Ornuto, ko j zdt nk rgulrn grmtik G, ond s konstrukcij utomt A tkvog d j Ac(A)L(G), n mož izvsti dirktno. Rgulrnoj grmtici G s mož, prvo, dodliti tzv. ndtrministièki konèni utomt NA tkv d j Ac(NA)L(G). 36

37 Df. Ndrministièki konèni utomt NA sstoji s od U,S,A,σ* i funkcij prlz olik f: S U PS tj. f(s,u)s PS, gd j PS prtittivni skup skup stnj S. Znèi d utomt NA, dlovnjm ulz u n stnj s, prlzi u jdno od stnj iz podskup stnj s tj. stnj u koj æ NA præi nij jdnoznèno odrðno. Podskup s mož iti i przn. NA(U, S, f, A, σ*) j odrðno s U{, }, S{σ*, C, F}, A{ F} i funkcijom f dfinisnom s U f S σ C σ C {C, F} F ili dijgrmom prlz σ C F Tvrðnj: Nk j G(N, T, P, σ*) rgulrn grmtik i NA ndtrministièki konèni utomt kod kog j UT, SN {F}, gd j F N T, A {F} i f s, u s' s us' P F s u P. ( ) { } { } Td j skup svih nizov koj prpoznj NP jdnk jziku L(G). Zdt j G(N, T, P, σ*) s T{, }, N{σ *, C}, σ * ko poètnim slovom i prvilim P {σ * σ *, σ * C, C C, C }. Ndrministièki utomt NA koji odgovr ovoj grmtici j dt u prthodnom primru tj. njgov dijgrm prlz j: σ C F Svki ndtrministièki utomt s mož trnsformisti u kvivlntni dtrministièki utomt. 37

38 Tvrðnj: Nk j NA(U, S, f, A, σ*) ndtrministièki konèni utomt i nk j S PS,, koj X U U, σ* {σ*}, A {x S x A } i f (X,x) f ( s, x), ko j X s X Td j konèni utomt A (U, S, f, A, σ* ) kvivlntn utomtu NA. Automt A (U, S, f, A, σ* ), kvivlntn utomtu NP iz prthodnog primr, mož s dfinisti n sldæi nèin: U {,}, S {, {σ * }, {C}, {F}, {σ *, C}, {σ *, F}, {C, F}, {σ *, C, F}}, A { {F}, {σ *, F}, {C, F}, {σ *, C, F}}, σ* {σ * }, funkcij f s mož dfinisti dijgrmom prlz: {σ*} {C} {σ*,c,f} {σ*,f} {σ*,c} {F} {C,F} Poš to, polzæi od {σ * } A oèigldno nikd n mož doæi u stnj {σ *, F}, {σ *, C}, {σ *,C, F} i { F}, td s dijgrm prlz mož konèno rdukovti n: {σ*} {C} {C,F} Ovko konstruisni utomt A prpoznj sv nizov koj gnriš grmtik G iz prthodnog primr. 38