1. ÚVOD. 1.1 Štruktúra hmoty

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. ÚVOD. 1.1 Štruktúra hmoty"

Transcript

1 . ÚVOD. Štktúa hoty Podstata, sp. štktúa hoty sa nkdy toch nadnsn yžía p pôsobých scénach sc-fy flo a hooo, nap. p tlpotác posádky o kozckú loď sáloch Sta Tack, albo o fl "Mcha" ("Fly") od P.Langlaana, kd sa tž dnalo o ýo tlpotačného zaadna a zápltka spočíala na fakt, ž tlo hdn a tlo chy ytoné z onak ntty a to z lntánych častíc (ochodo, tlpotáca na kanto úon súčasnost ž dokázaná, čo al zatal ndokaz, ž ožná a akost). A kď tto skptá npodnáaú o poblatk tlpotác, začn naš úahy obdobný konštatoaní - každý obkt sa skladá z olkúl a atóo. Atóy ôž ďal dlť na ado zložné z nklóno (potóny a ntóny) a na lktónoý obal. Ptož hotnosť dného lktón as 8 kát nša ako hotnosť dného nklón, ôž tdť, ž paktcky clá hotnosť sústdná ad ató. Z hľadska pstoo ľkost toí ado npatný zlook ľkost ató, sp. olkly (as / ). Ak tda pooná hľadská hotnost a ozo, ôž podať, ž ob každého tlsa a nohonásobn äčší ako ob ktoo sústdná hota. Obkt, ktoého ta, ľkosť a pstooé ozložn hoty ôž zandbať - ktoý s ôž zobazť dný bzozný bodo, nazýa hotný bod. Táto úaha nás tda d k odl álnych tls o fo sústaý hotných bodo. V ác tohoto odl áln tlso toné nožno hotných bodo, ktoé sú dano časoo okah chaaktzoané čto poloho, hotnosťo, ýchlosťo, ngo, atď. Mdz dnotlý hotný bod "pázdno", sú oddlné, tda štktoané nspoto. Ak chc štdoať na toto odl spáan álnho tlsa, sí yštoať spáan štkých hotných bodo. Msl by nás tda zaíať ch počt, tda počt olkúl, atóo, sp. ad. Nap. dno žlza 9 olkúl, zdch 5 olkúl. V čt apoác tda ôž podať, ž ľbooln ybato akoskopcko tls počt hotných častíc nkončn ľký. Táto "nkončnosť" nás d k dhé odl álnych tls - k odl spotého postda, albo k odl kontna. V ác tto pdstay tlso yplnné látko spoto, bz "pázdnych" dz. Každý z týchto odlo á so opodstatnn a ýhody p šní ôznych typo pobléo. Ako dí nskô, ýhodné yžíať odl hotných bodo šad ta, kd sa áln tlsá ndfoú, albo kd zn ta ôž zandbať. Akonáhl p šní daného poblé sí ažoať dfoác, ntné požť odl spotého postda, odl kontna. Z tohoto hľadska ôž podať, ž odl hotných bodo požía p štúd n zložtých úloh.. Mtóda klasck fyzky Do klasck fyzky zaaď chank hotných bodo, chank kontna, lktodynak, todynak a tó latty. Vštky tto fyzkáln oblast toac pon alú časť súčasn fyzky ychádzaú z tz. Laplacoho dtnz, ktoý hooí, ž ak pozná podnky ktoých sa hotný obkt nachádza, ôž popísať sta obkt bdúcnost. Spoločný základo tód klasck fyzky pozooatľ (člok, albo sníač) nzáslý od okola a sldoaného obkt. Pozooan pbha bz

2 zásah do sldoaného da. Ak cln pbha pozooan toho stého da za ôznych podnok, hooí o pnt. Podstatné, ž fyzka šobcn štd kaltatín a a kanttatín stánk do, tda pta postd okolo nás do čísln foy. Spôsob ktoý sa to sktočň nazýa an. Maní tda dfn nožsto (kantt) čt fyzkáln lastnost. Výsldky aní poonáa, zobcň a ytáa zákony. Zákony týkaúc sa čt tdy ao ytáaú tó.. MECHANIKA Mchanka náka o chancko pohyb tls, t.. o latínych znách polohy tls čas. Už staok bol znáy po ťažska a hstoty tls, no sktočné základy chanky ytol až Gallo Gall (564-64). Zakladatľo dynaky bol Izák Nwton (64-77), ktoý ytoní základo dfncálnho počt ohol popísať pohyby a foloať zákony dns nsúc ho no. Z ďalších lkáno dy hodné sponúť Laganga (76-8) a Laplaca (749-87), ktoý ok 8 podal clný ýklad paktcky cl chanky. Vypacoaná bola a spokoá tóa akstky a náky o tpl, čí sa ýo chnky konco 9. stooča zdanlo končl. Po čas obay kost pnsl nožsto pobléo, ktoé nbolo ožné šť pooco foloaných zákono chanky. Albt Enstn ( ) položl základy latstck chanky zťahúc sa k ýchlosta blízky ýchlost stla a Nwtonoa chanka sa nazala ako klascká. P skúan kosta bola ytoná na začatk. stooča kantoá chanka. V ďalšo ýklad bd podnáané pažn o klasck chank. Táto sa dlí podľa lastností tls ktoý sa zaobá na chank hotného bod, chank sústa bodo, chank thého tlsa a chank kontna. Každá z dných častí sa dlí na knatk, ktoá sa zaobá ln popso pohyb čas bz ohľad na ho píčny a dynak, ktoá skúa pohyb a ho zny z hľadska píčn, ktoé ho spôsobú. Statka časť dynaky, ktoá skúa záoné pôsobn tls poko... Mchanka hotného bod. Hotný bod abstakca dfnoaná ako tlso, ktoého ozy sú nš ako npsnosť čna polohy, čž súadníc. Jho oz a ta tda nsí p pops pohyb ažoať. V sktočnost šak takýto hotný bod nsí byť ôbc alý bžno sloa zysl. (Nap. p pops pohyb Z okolo Slnka p bžn psnost čna pn zdalnost Slonko-Z ôž Z poažoať za hotný bod, ak naž lastnú otác).... Knatka hotného bod. Pohyb tlsa a tda a hotného bod, čž zn ho polohy čas pops pooco čna polohy oč né tls. Tý ntné zolť súadncoý systé stnný na zolno tls oč ktoé bd pohyb ažoať. Ak nbd dfnoané nak, bd ždy ažoať paohlý paotočý súadncoý systé (tz. katézsky). V knatk ystačí s do základný lčna a to s dĺžko a časo. Dáho bd ozť súhn štkých polôh ktoých sa hotný bod bd počas pohyb nachádzať. Paočay pohyb. P paočao pohyb sa hotný bod pohyb po pak. Vhodná oľba súadncoého systé taká, ž počatok zolí do dného z bodo ktoý sa hotný

3 bod pohyb a do s pohyb zolí kladný s os. Poloha hotného bod čto časoo okah daná ho súadnco, ktoá p pohyb fnkco čas: f(t). Uční tto fnkc pohyb hotného bod pln popísaný ľbooľno čas. Nch čas t poloha daná súadnco a čas t súadnco. Ako stdnú ýchlosť toto časoo ntal dfn podl t t Δ Δt Okažtú ýchlosť dfn ako ltnú hodnot stdn ýchlost dano časoo okah p Δt Δ l l t t t t Δt Δt d f () t Jdnotko ýchlost SI.s -. V ďalšo tt bd okažtú ýchlosť dnodcho nazýať ýchlosťo. Stdné zýchln a dfnoané ako zna ýchlost čas dfn a t t Δ Δt Okažté zýchln a dfn zťaho Δ a l l t t t t Δt Δt d d f () t Jdnotko zýchlna SI.s -. Paoča pohyby hotného bod dlí na ononé a nononé. P onono pohyb hotný bod pd za onaké časoé ntaly onakú dáh, tda á konštantnú ýchlosť a nloé zýchln. P nonono pohyb táto podnka n splnná, tda ýchlosť sa čas ní a zýchln nnloé. Rononý pohyb paočay dfnoaný pdchádzaúco podnko konšt. Z dfníc ýchlost poto po ntgác plyn t C Konštanta C sa č z počatočných podnok, t.. čas t a poloh, tda t P hodnú oľb súadncoého systé. Ronon pnný pohyb zláštny pípado nononého pohyb. J dfnoaný p konštantné zýchln. Po ntgác zťah okažtého zýchlna dostan at C

4 Obdobn ako pdchádzaúco dostan z počatočných podnok, tda z ýchlost čas t at Oaľ s požtí dfníc okažt ýchlost po ntgác dostan at t D Z počatočn podnky p t plyn D. Poto at t Ak počatočná ýchlosť nloá, dostáa dnodché záslost at, at V tchnck pa sa sttáa často s obcný pohyb, kd zýchln pohyb ôž byť fnkco okažt ýchlost, albo zásí na poloh hotného bod. Všobcn sa tda ôž dnať o nonon zýchlný pohyb kd nap. záslosť zýchlna od čas ôž písať a kt P ýchlosť a dáh pohyb poto dostáa pípad nloých počatočných podnok a kt () t kt s kt kt 6 Obcný pohyb psto Pý koko p pops obcného pohyb psto čn súadncoého systé. Ako bolo podané, olí spadla paotočý paohlý systé súadníc daný osa, y, z s dnotkoý kto,, k. Poloha hotného bod daná ho súadnca, albo polohoý ktoo ykz. P pohyb sú polohoý kto a ho súadnc fnkca čas. Obcný pohyb ôž tak ozložť na t nzáslé paoča pohyby s dnotlých súadníc. Okažtá ýchlosť hotného bod dfnoaná zťaho Δ l Δt Δt d

5 Kd Δ píastok polohoého kto za čas Δt. Z dfníc plyn, ž kto ýchlost á s dotyčnc k dáh dano bod. P absolútn ľkosť ýchlost z pdchádzaúc dfníc platí Δ Δs l l Δt Δt Δt Δt ds Kd Δs píastok dáhy. Ak yadí ktoy a pooco dnotkoých ktoo a dosadí do zťah p okažtú ýchlosť, dostan y k z d dy k dz P ľkosť ýchlost poto dostan ( ) y z d dy dz Okažté zýchlan hotného bod dfn zťaho Δ a l Δt Δt d Ak pož ozps zýchlna a ýchlost na dnotkoé ktoy a zložky ktoo s dnotlých osí, dostan a d d d d y d y z, a, a y z a p ľkosť zýchlna d z a ( a a a ) y z d d y d z Ak zolí na kk ktoá dáho pohyb body A, B ktoých nakslí ktoy ýchlostí a Δ, ôž píastok kto ýchlost Δ ozložť do s dotyčnc a noály. To sté ôž obť so zýchlní. Taz yadí zložky (súadnc) kto zýchlna s dotyčnc a noály, ktoé nazýa dotyčncoé a noáloé zýchln a označí ch a t, a n : a Δt l Δt Δt Δ l Δt Δt t d P noáloé zýchln dostáa

6 a n Δn Δα Δα Δs Δs Δα l l l. l. l.. Δt Δt Δt Δt Δt Δt Δs Δt Δt Δt Δs R R Píastok Δ n s yadl pooco zny hl α a polo kost R pooco ds/dα. Výsldné zýchln a ( a a ) t n d R Z toho yplýa, ž dotyčncoé zýchln spôsob zn ľkost ýchlost. Noáloé zýchln spôsob zn s ýchlost a noplyň ľkosť. Ak hotný bod koná paočay pohyb, bd kosť dáhy /R nloá a noáloé zýchln bd tž nloé. Khoý pohyb Khoý pohyb zláštny pípad onného kočaho pohyb, p ktoo hotný bod ops khoú dáh. Časoý pbh pohyb pops bď podľa ykonan dáhy, albo podľa spodčo opísaného stdoého hl φ, ktoý fnkco čas onako ako opísaná dáha. Stdná hloá ýchlosť ω dfnoaná ako podl hl opísaného spodčo Δφ za čtý časoý ntal Δt a tohto časoého ntal Δ ω ϕ Δt P okažtú hloú ýchlosť platí Δϕ dϕ ω l Δ t Δt Mdz dáho ds ktoú pd hotný bod a hlo dφ opísaný ho spodčo za onaký časoý ntal platí dnodchý zťah ds dφ. Oaľ plyn zťah ds dϕ ω kd ýchlosť nazýa obodoo ýchlosťo. P hloo pops zaádza št stdné a okažté hloé zýchln zťah Δω Δω dω d ϕ ε, ε l Δt Δt Δt kd Δω píastok hlo ýchlost za časoý ntal Δt. Dotyčncoé a noáloé zýchln p khoo pohyb ôž poto pooco ω a ε yadť zťah

7 a ε, a ω t n Khoé pohyby ôž onako ako paoča dlť na ononé a nononé. Rononý khoý pohyb taký, p ktoo hloá ýchlosť konštantná (nloé hloé zýchln). Intgáco zťah p okažtú hloú ýchlosť a z ωkonšt. ω, yplýa ϕ ω t ϕ kd hol φ hol píslšný poloh hotného bod čas t. Vhodno oľbo počítana hl φ ôž dosahnť φ. Dotyčncoé zýchln p onono khoo pohyb oné nl. Noáloé zýchln šak nnloé a konštantné. Zláštny pípad nononého khoého pohyb onon pnný khoý pohyb, kd hloé zýchln hotného bod konštantné. Intgáco zťah p okažté hloé zýchln dostan ω εt ω t, ϕ εt ω ϕ kd ω hloá ýchlosť čas t a φ hol píslšný poloh hotného bod čas t. J hodné šnúť s, ž zťahy p khoý pohyb a p paočay pohyb sú atatcky podobn staané. Do ktoé sú yadné atatcky obdobný onca hooí analogcké d. Aby bola anológa zá, d tabľk zťaho p spoínané pohyby. Analogcké lčny sú poloha bod a ho polohoý hol φ, ýchlosť a hloá ýchlosť ω, zýchln a a hloé zýchln ε. Rononý Ronon pnný Paočay pohyb a konšt. t a konšt. at at t Khoý pohyb ε ω konšt. ϕ ωt ϕ ε konšt. ω εt ω ϕ εt ωt ϕ P pops khoého pohyb sa zaádzaú št ďalš lčny, ako póda a fknca. Póda T, albo tž obžná doba p onono khoo pohyb nakatší čas, za ktoý sa hotný bod dostan do onakého pohyboého sta (spodč opíš hol π). Pátná hodnota obžn doby, t.. počt plných obho za dnotk čas, fknca f. Platí π T ω, f f T ω π

8 Jdnotko pódy sknda, dnotko fknc s Dynaka hotného bod. V dynak sld píčny pohyb, pípadn píčny zny pohyb. Kanttatíny yadní základných zťaho ktoý sa ad pohyb hotného bod sú Nwtono zákony toac základ chanky ako tak. I. Nwtono zákon, Zákon zotačnost: Hotný bod zotáa sta pokoa, albo ononéhopaočaho pohyb, pokaľ n nútný onkašo slo tnto sta znť. II. Nwtono zákon, Zákon sly: Časoá zna hybnost hotného bod paoúná sl ktoá naň pôsobí a á s tto sly. III. Nwtono zákon, Zákon akc a akc: Ak pôsobí tlso čto slo na dhé tlso, pôsobí dhé tlso na pé onako ľko slo opačného s. Ob sly pôsoba t st pak. Statka hotného bod. I. a III. Nwtono zákon. Sla fyzkálna lčna, ktoá pops pôsobn dného tlsa na dhé. Každá sla á pôod čto tls, tda nst sla saa o sb. Sla lčna popsúca pôsobna. J to ktooá lčna, chaaktzoaná nln ľkosťo, al a so a sto pôsobna. Pý Nwtono zákon hooí o sta kľd, albo o onono paočao pohyb. Hooí tž, ž hotný bod sta kľd, albo ononého paočaho pohyb onoáh. Sta onoáhy al nznaná, ž na hotný bod npôsoba žadn sly. Môž pôsobť acé, al ch ýsldnca nloá. Pý Nwtono zákon ôž pto yadť a pooco folác: Ak hotný bod sta kľd, albo ononého paočaho pohyb, poto ýsldnca štkých síl naň pôsobacch nloá. Tdn platí a obátn. Dôlžtá a otázka ak sústa I. Nwtono zákon platí. V sústa pn spon s ozbhaúc sa ozdlo, albo s ozdlo pchádzaúc zákto z nbd platť. V takto sústa dochádza k zn pohyboého sta tlsa zhľado k sústa bz pôsobna onkaších síl. Sústay ktoých I. Nwtono zákon platí, nazýa ncáln. Sústa pn sponú so zský pocho ôž äčšno poažoať za ncáln (s ýnko pohybo p ktoých sa pa otáca Z). Tdn III. Nwtonoho zákona dnoznačné a so sla akc a akc sa často sttáa. II. Nwtono zákon Pý Nwtono zákon podnáa o zotačnost tls snaho každého tlsa zotáať ncáln sústa o soo pohyboo sta. Mo zotačnost tlsa ho hotnosť. Význa tto lčny yplýa až z II. Nwtonoho zákona. Dfn lčn nazanú hybnosť hotného bod. J to lčna, ktoá čto o pohyb tlsa. Hybnosť p hotného bod s hotnosťo, ktoý sa pohyb ýchlosťo, ktooá lčna dfnoaná súčno ho hotnost a ýchlost, t.. p

9 Časoo zno hybnost II. Nwtonoo zákon oz dác hybnost podľa čas. Ak označí sybolo F ýsldnú sl pôsobac na hotný bod, II. Nwtono zákon ôž písať pooco onc dp d ( ) F Ak sa hotnosť hotného bod p pohyb nní (čo platí ak sa ýchlosť tlsa nblíž ýchlost stla), ôž ozpísať d()d a po dosadní dostan d a F kd a zýchln hotného bod s hotnosťo spôsobné ýsldno slo F, ktoá naň pôsobí. Ako yplýa z ozo analýzy posldného zťah, dnotko sly sústa SI kg..s -, ktoá sa nazýa Nwton (N). Z posldných doch oníc yplýa ýzna hotnost tlsa ako y zotačných účnko. P dan ýsldn sl zýchln tls ktoé spôsobí npao úné hotnost tls na ktoé pôsobí tlsá s äčšo hotnosťo dlí onaká sla nš zýchln ako tlsá s nšo hotnosťo. Hotnosť tda o odpo tlsa zhľado k zn ho pohyboého sta hotnosť o ho zotačnost. Výsldnú sl pôsobac na pohybúc sa hotný bod ôž dano st podobn ako zýchln ozložť do s dotyčnc a noály. Dostan tak zložk sly pôsobac s dotyčnc, ktoá spôsob zn ľkost ýchlost a zložk sly pôsobac s noály (dostdá sla), ktoá dľ hotné bod dostdé zýchln t.. spôsob zn s ýchlost. Z II. Nwtonoho zákona p tto sly plyn F t a t d, Fn an R kd F t dotyčncoá sla, F n dostdá sla a R polo kost dano bod dáhy. Podľa zákona akc a akc st k dostd sl onako ľká sla opačného s, nazýaná odstdá sla. Pohyboá onca hotného bod. Ak knatk pozná poloh hotného bod ľbooľno čas, čť ho ýchlosť a zýchln každo časoo okah a naopak. Podľa II. Nwtonoho zákona zýchln pohybúcho sa hotného bod ľbooľno čas, ak ľkosť a s ýsldnc síl, ktoé na hotný bod pôsoba dano časoo okah a ak pozná hotnosť. Výsldná sla ôž byť obcn fnkco polohy, okažt ýchlost a čas. Pto ôž písať d F f, t (,, t) f, dosadní za zýchln II. Nwtonoo zákon dostan

10 d d f,, t Ršní tto dfncáln onc dostan poloh hotného bod ako fnkc čas. Vo ýsldk bdú d ntgačné konštanty kďž d o dfncáln onc dhého ád. P ch čn potb d nzáslé podnky. Býaú to äčšno poloha a ýchlosť hotného bod čto čas, ktoý olí t a hooí sa pto počatočné podnky. Posldnú onc nazýa pohyboá onca hotného bod. Pohyboú onc ôž ozpísať podľa súadníc do toch skalánych oníc d d y d z X Y Z,, kd X, Y, Z sú súadnc ýsldn sly F pôsobac na hotný bod. Udnú sústa oníc nazýa pohyboý onca hotného bod. Pooco nch ôž šť pohyb hotného bod, t.. čť záslosť súadníc hotného bod na čas. Takto ôž šť pobléy ako nap. šký h hoogénno tažoo pol Z, pohyb tlsa odpoúco postdí, haoncký pohyb hotného bod. Platnosť pohyboých oníc. Ako bolo dné, I. Nwtono zákon platí ln tz. ncálnych sústaách. Platnosť II. Nwtonoho zákona a pohyboých oníc ktoé z nho plynú odzná tž ln na ncáln sústay. I. Nwtono zákon lastn zláštny pípado II. Nwtonoho zákona p nloú ýsldnú sl, kdy sa časoá zna hybnost hotného bod oná nl, tda kľd, albo sa pohyb onon paočao. Sústaa ktoá sa zhľado k ncáln pohyb paočao onon tž ncálna. Rýchlosť hotného bod latína, t.. ôznych sústaách ôzna a zásí ln na oľb sústay. Zýchln hotného bod šak o štkých ncálnych sústaách onaké, tda k dln onakého zýchlna to sté tls ôznych ncálnych sústaách potbná onaká sla. N pto ožné chancký poks o nút sústay čť č sústaa kľd, albo sa pohyb onon paočao. Uč ta pohyboých oníc p pípad nncáln sústay, ktoá sa pohyb zhľado k ncáln paočao onon zýchln. Nap. nch sa ozbha ozdlo po pa cst konštantný zýchlní. Počatok ncáln sústay zolí st odkaľ ozdlo yštatoalo čas t. Skúaná sústaa bd sponá s ozdlo. Kladný s osí oboch sústa bd s pohyb a čas t sa ob sústay pkýaú. Za čas t pd pohybúca sa sústaa dáh /αt, kd α zýchln pohybúc sa sústay zhľado k ncáln. Poto platí α t, y y, z z kd,y,z, sú súadnc hotného bod ncáln sústa a čakoané sú súadnc toho stého bod pohybúc sa sústa. P ýchlosť pohybúcho sa hotného bod dostáa p pohybúc sa sústa

11 d a p ncáln sústa d d αt Obdobn dostan p zýchlna oboch sústaách a d, a d d α albo a α a, a a α Podľa II.Nwtonoho zákona pôsobí ncáln sústa na hotný bod s os sla F p ktoú platí F a. Ak dosadí za a, dostan F a α a F α Znaná to, ž p pozooatľa pohybúc sa sústa sa súčn hotnost a zýchlna oná ýsldn sl pôsobac na hotný bod, pls ýaz -α, ktoý označ P. Poto a F P P pozooatľa pohybúc sa sústa tda píčno zny pohyb sla (F P ). Sla P sa oba p pohyb nncálnych sústaách a nazýa sa zotačná sla. Časoý účnok sly. V pdchádzaúcch odskoch bol zadný po hybnost hotného bod zťaho p. Podľa II.Nwtonoho zákona poto platí dp F oaľ á dp F a po ntgác od t po t, kď sa hybnosť zní z p na p, p p t t F I Na ľa stan onc á píastok hybnost hotného bod, ntgál na dh stan onc nazýa plzo sly a označ ho I. Iplz sly o časoého pôsobna sly. Posldnú onc ppísanú na ta

12 ( ) t t F albo p t F t p nazýa. plzoá ta. Roz plz zhodný s ozo hybnost, tda SI dnotko N.s. Ak tda pozná ýsldnú sl pôsobac na hotný bod a čas počas ktoého pôsobla, ôž pooco. plzo ty ypočítať zn ýchlost (čo do ľkost a s) bz čna ta dáhy po kto sa hotný bod pohyboal. Z. plzo ty tž zé, ž ak F, poto pp. To znaná, ž hybnosť zostáa stála, čí sa. plzoá ta ní na zákon zachoana hybnost, ktoý p dn hotný bod plyn ž z I., sp. II. Nwtonoho zákona. Zákon zachoana hybnost platí a p zoloanú sústa hotných bodo, čo taká, kd hotné body pôsoba na sba nazáo (nútoné sly), no npôsoba na n žadn né tlsá (onkaš sly). P takúto zoloanú sústa hotných bodo platí, ž clkoá hybnosť (ktooý súčt hybností štkých hotných bodo sústay) konštantná. Nap. p zoloanú sústa doch hotných bodo z. plzo ty plyn dp F, dp F Sčítaní oboch oníc dostan dp dp ( F F ) P sly F a F šak platí III. Nwtono zákon (sú to sly akc a akc), tda F -F, čž F F. Dosadní dostan dp a po ntgác dp p p konšt. čo ôž poažoať za dôkaz platnost zákona zachoana hybnost p zoloanú sústa. P obcnú zoloanú sústa poto platí p p konšt. Zákon zachoana hybnost obcný fyzkálny zákono a platí p akoskopcké a koskopcké (lntán častc) d. Páca, kntcká nga.

13 Zaoba sa dáhoý pôsobní sly. Ako dáhoého pôsobna sly zaádza lčn nazanú páca. Ak pôsobí sla F na tlso a tlso sa pohyb, poto pôsobsko opíš dáh d a ako pác dfn skalány súčn oboch ktoo, t.. dw F. d F d cosα kd α hol dz oboa kto. P pác po cl dáh (kk C) dostan ntgáco W C Fd Obcn pto páca sly záslá nln na pôsobac sl a končno a počatočno bod dáhy na kto pôsobí, al a na ta dáhy. Pto p ntgál npíš hanc, al kk C. Ďal zé, ž páca nloá n ln kď nloá sla, albo dáha, al a kď sla kolá na dáh (cos π/ ). Výaz p pác sa značn zdnodší, ak sla konštantná (zachoáa ľkosť a s). Poto p pác dostan ýaz W Fd F d F C ( ) kd dáha pdná pôsobsko sly ydzná bod čný polohoý kto a. Vdí, ž toto špcálno pípad nzásí páca na ta dáhy. Ak pôsobí stála sla po pak spáaúc oba koncoé body dáhy, poto - pao ktoo dáhy s a ýaz p pác ôž písať ta W F. s F scosα A nakonc ak á stála sla s kto dáhy, t.. cos, poto W F s. Roz pác yplýa z dfnčných oníc a SI dnotko pác J (ol). Ďal sa zaoba účnko pác ýsldn sly pôsobac na hotný bod. Táto sla dľ hotné bod zýchln. Pác tto sly ypočíta s požtí II.Nwtonoho zákona ako W C Fd C a d Výaz pod ntgálo ôž pať s požtí zťaho p pt do s dotyčnc a dotyčncoé zýchln nasldon d a d a d cosα at d d poto p pác á zťah

14 W a d C d po ntgác dostáa zťah W Páca ýsldnc síl pôsobacch na hotný bod sa oná píastk ýaz. Tnto ýaz chaaktstcký p pohybúc sa hotný bod dfn ako kntckú ng hotného bod, ktoú značí E k. Posldnú onc poto ôž písať ako W E k E k Z onc yplýa, ž kntcká nga hotného bod (albo píastok) sa oná pác ktoú sí ynaložť aby s dl daný hotný bod zo sta kľd (albo čtého pohyboého sta) do daného pohyboého sta. Ak sa bd snažť zastať hotný bod pohybúc sa ýchlosťo, bd pôsobť slo pot s pohyb až ký sa. Podľa zákona akc a akc bd hotný bod pôsobť onako slo opačného s, t.. s soho pohyb a bd konať pác. Kntcká nga tda dáa schopnosť pohybúcho sa tlsa konať pác. Potncálna nga. V pdošlo bolo konštatoané, ž páca pôsobac sly obcn zásí ok saotn sly a počatočného a končného bod a na dáh. Est šak a taká sla, kto páca zásí ln od počatočného a koncoého bod dáhy. Jdn taký pípad bol spontý, kď pôsobaca sla bola čo do s a ľkost onaká. Sly ktoých páca nzásí od ta dáhy, nazýa konzatín (zachoáaúc) sly, ostatné sly nazýa dspatín (ozptyľúc) sly. P konzatínych slách platí Fd kd kúžok cz ntgál znaná zatú dáh. Ak ydzí na zat dáh čast A a B bod a, ôž písať Fd Fd ( A) p konzatín sly ( B) Fd Fd Fd ( B) ( A) ( A) Fd a pto Fd, tda páca ykonaná konzatíno slo po zat dáh nloá. Píklado konzatínych síl sú gatačná sla, píklad dspatín sly nap. tca sla. Tca sla ždy záponá (pôsobí ždy pot s pohyb tlsa) a páca tda sí byť tž záponá, t.. nnloá. Ak ozpíš ýaz p pác sly podľa súadníc, dostan

15 W ( Xd Ydy Zdz) Fd C C kd X, Y, Z sú súadnc pôsobac sly a d, dy, dz sú súadnc dfncál polohoého ktoa. Intgál pác nzásí na cst C ln tdy (ako z atatky) ak ýaz pod posldný ntgálo úplný dfncálo a označí ho dv. P pác konzatínych síl poto dostan W ( Xd Ydy Zdz) V V dv V V Táto lastnosť konzatínych síl sa požía k dfníc dôlžt lčny a to potncáln ng. Tda ak pôsobí konzatína sla na hotný bod, poto páca po lnt dáhy totálny dfncálo, ktoý daný dfncálo zápon hodnoty no lčny zan potncálna nga, t.. dw d ( E p ) dep kd E p potncálna nga hotného bod. Dfnčný zťah ná hooí, ž páca konzatín sly sa oná úbytk potncáln ng (pto záponé znanko de p ). Po ntgác dostan W E p E p Takto dfnoaná zna potncáln ng, n absolútna hodnota. Tá latína, ptož sí dfnoať sto kd olí potncáln ng nloú. Táto poloha ľbooľná. Ak á také sto zolné, poto p pác konzatín sly pôsobac na hotný bod p pchod z daného sta do sta s nloo potncálno ngo dostan W Fd de p E E p p Dostáa tda, ž sa potncálna nga dano st čísln oná pác, ktoú konzatína sla ykoná p pchod hotného bod z daného sta do sta s nloo potncálno ngo, albo naopak. Potncálna nga tda dáa schopnosť konať pác danú poloho tlsa. Ak tda pôsoba na hotný bod ba konzatín sly, poto p pác týchto síl po dano lnt dáhy platí podľa zťaho p kntckú a potncáln ng dw de, dw tda de de k de p k p odkaľ

16 Ek E p konšt. To znaná, ž súčt kntck a potncáln ng pol konzatínych síl nnný, tda platí zákon zachoana chanck ng (oaľ názo konzatín-zachoáaúc sly). Zákon zachoana ng. Obd ng, kntcká a potncálna, dáaú schopnosť tlsa konať chanckú pác. Kntcká nga zásí od oľby zťažného systé, t.. zásí na to, oč ktoý tlsá pops pohyb. Inak to p potncáln ng, ôž zasť ln p pôsobní konzatínych síl. Sloé pôsobn sí byť yolané ždy ný tlsa, nd tda o potncáln ng tlsa, al záonú potncáln ng tlsa a clého systé, ktoý spôsob konzatín sly. Zdnodšn tda hooí, ž tlso sa pohyb sloo pol. Ob lčny, kntcká a potncálna lčna sú staoé lčny, t.. zása na sta hotného bod (ýchlosť, poloha). Ob ng, tda chancká nga, lčna čúca schopnosť konať chanckú pác. Systé šak ôž konať pác ln na úko chanckých zn (zna ýchlost, albo polohy) a pto zaádza po ng ako lčny, ktoá o schopnost daného systé konať chanckú pác. Podľa toho aké zny p konaní pác nastanú, ozlš ng na chanckú, chckú, lktckú, atď. Eng systé poto dfn zťaho dw de t.. páca ykonaná systéo sa oná úbytk ho ng. Z dného yplýa, ž ng a dnotkách pác (J). Clkoá nga sústay staoo lčno a zásí ln na sta (paatoch) sústay a n na staoch, ktoý pšla. Systé ôž konať pác ln na úko so ng. Pokaľ páca konaná sústao pot onkaší slá kladná, nga systé sa znš. Pokaľ záponá (onkaš sly pôsobac na sústa konaú kladnú pác), nga sústay ast. Obcný zákon zachoana ng poto ôž byť foloaný ako: clkoá nga zoloan sústay zostáa konštantná p štkých doch, ktoé n pbhaú (tda znaná to, ž sústa sa ôž nť dn dh ng na ný). Zákon zachoana ng patí dz základné fyzkáln zákony a platí ako akost, tak a kost (atóo fyzk a fyzk lntánych častíc). Tnto zákon ôž byť foloaný a nasldon: n ožné zostoť ppt obl. dh, t.. zaadn, ktoé by z nčoho konalo pác. Výkon a účnnosť. Stdný ýkon P sly F dfn ako podl ΔW/Δt, kd ΔW páca ykonaná slo F za časoý ntal Δt, t.. ΔW P Δt Ltn (p alý časoý ntal) dostáa okažtý ýkon P

17 ΔW P l Δt Δt dw Vzhľado k to, ž dwf.d, ôž tž písať d P F F. kd ýchlosť pohyb pôsobska sly, obykl ýchlosť tlsa na ktoé pôsobí sla F. Jdnotko ýkon dznáodn sústa SI J/skg..s -. Táto dnotka á názo watt (W). Zaadn á tda ýkon W, ak každú sknd ykoná pác J. Z dnotky ýkon sa ododz často požíaná dnotka pác (ng) kwh, čo páca ykonaná zaadní so stály ýkono kw za hodn. Poto kwh J.s -.6s,6. 6 J.,6MJ. Účnnosťo zaadna nazýa po účln yžt ng k clkoo dodan ng. Označ η. η W W p Ak ztahn obd ng na dnotk čas, dostan η P P P kd P odobaný ýkon zo zaadna a P p dodaný ýkon, tž nazýaný píkon. J zé, ž η. Účnnosť sa obykl dáa pcntách.. Mchanka bodoých sústa a thého tlsa. Tlso označ ako thé ak nní so ta p pôsobní onkaších síl, (čo abstakca). Tnto pdpoklad stálho ta a ob sa zaádza p zdnodšn ýpočto, ptož nohých pípadoch sú dfoác tls p pôsobní onkaších síl zandbatľn alé.... Knatka thého tlsa. P tho tls ozoznáa pohyb tanslačný (posný) a pohyb otačný. P tanslačno pohyb štky body thého tlsa opsú onaké kky a čto časoo okah aú onakú ýchlosť a zýchln. P pops pohyb stačí tda čť pohyb ktoéhokoľk bod tlsa. P otáčao pohyb thého tlsa ozlš otáčaý pohyb okolo pn os a otáčaý pohyb okolo okažt os p ktoo os otáčana ní psto so poloh. P otáčao pohyb thého tlsa štky body tlsa opsú kžnc so std na os otáčana a aú ôzn ýchlost, zýchlna a pd ôzn dáhy za onaký čas. Ronaký ln ta dáhy. Otáčaý pohyb thého tlsa tda čí popso khoého pohyb ktoéhokoľk bod tohoto tlsa. Uhloé lčny ako ktoy.

18 P otác tlsa okolo pn os zolí ľbooľný bod A, opsúc kžnc, kto stdo pchádza os otáčana. Bod sa otočí z polohy čn polohoý ktoo, do polohy čn ktoo, tda o hol φ. Vkto hol φ doch koplanánych ktoo, kto s ľkosťo φ a so (zálží na toto poadí) totožný so so os otáčana. P čn s kto φ stú notchncké poôcky. Nap. to s, ktoý postp paotočá sktka zatáaúca sa s otáčana tlsa. Albo, to s palca pa ky ak dlaň obátná k os otáčana a psty sú do s otáčana (hooí to a kladný s os otáčana). Kďž dϕ ω, dω ε poto lža tto ktoy (hloá ýchlosť a zýchln) tž os otáčana. Mdz kto hlo ýchlost, obodo ýchlost a spodčo ľbooľného bod dný z ľbooľného bod os otáčana st dôlžtý zťah ω ktoý zošobcnní skalánho zťah ω znáho z pops khoého pohyb hotného bod. Zo zťah totž plyn ω snα ω kd polo kžnc opsoan hotný bodo A tlsa a α hol dz kto ω a.... Statka thého tlsa. Statka thého tlsa sa obdobn ako statka hotného bod zaobá stanoní podnok onoáhy tlsa. Mont sly. Mont sly M zhľado k bod O kto oný ktooé súčn F, kd polohoý kto pôsobska sly zhľado k bod O a F kto sly. M F Vkto M kolý na on čnú oboa kto, F a s na tú stan, kd sa aí otáčan spôsobné slo F ako kladné, tda pot s hodnoých ččk. Podobn ôž aplkoať notchncké poôcky ako pdchádzaúco odstac. Absolútna ľkosť M kto ont sly a daná súčno M F snα kd súčn.snα nazýa ano sly a označ p. Slon tda ont sly súčn sly a ana. Podobn ôž al pčlnť snα k sl a ont sly poažoať za súčn

19 spodča a pt sly do s kolého na tnto spodč. Obcn á M t zložky, M, M y, km z. M M M y km z Ak podobn napíš p a F a sktoční ktooé násobn dnotkoých ktoo k k k k k k k á M F ( yf zf ) ( zf F ) k ( F yf ) z y z y Vzťahy p súadnc M y, M z kto M plynú zo zťah p M cyklcko záno. Základno dnotko p ont sly SI kg..s - a označ ako nwtont (N). Ok ont sly zhľado k bod hodné zasť a po ont sly zhľado k dan pak (os otáčana). Mont sly zhľado k pak dfn ako pt ont sly zhľado k ľbooľné bod tto paky do tto paky. Na obázk sú na os p zolné da ôzn body, a zakslné onty M, M t st sly F zhľado k bodo,. Mont sly F zhľado k os p sa podľa dfníc oná pt kto M, albo kto M do os p, tda kto M. Vľkosť kto M nzásí na oľb bod na pak, čo ožné ľahko kázať nasldon. Podľa obázk ľkosť M M M. p p M. kd p dnotkoý kto os p. Kďž M F a M F, a ôž yadť pooco a p lžacho na os otáčana ako p, poto M ( F ). p [( p ) F]. p ( p F ). p ( F ). p No kto pf kolý na p, tda a na p, čž ch skalány súčn nloý. Pto M( F).p, čí nzáslosť M na oľb bod na pak dokázaná. Skladan síl pôsobacch dno bod. Ak na tlso pôsoba ho čto st sly F, F,..., F n, ch ýsldnc F nád ako ktooý súčt týchto síl, tda F F F... F n

20 Táto onca kalntná to skalány onca. Môž písať F X Y kz k p,,..., n, a tž FXYkZ. Poto po dosadní á t skalán onc X, Y Y Z X, Z kd spočítaa od do n. Vľkosť ýsldn sly tda F F a soé kosínsy sú ( X Y Z ) X Y cos α, cos β, cosγ F F Z F Gafcké stanon ýsldnc dostan tak, ž nap. ktooo spočíta pé d sly a ch ýsldnc spočíta s tťo slo a tak pokač ďal až ký nyčpáštky sly pôsobac dano bod. Skladan síl pôsobacch on. Sl pôsobac nako bod thého tlsa ôž posnúť do ľbooľného bod paky kto lží. Nch bod A pôsobí sla F. V ľbooľno st paky p zoľ bod B a pdsta s, ž toto bod pôsoba d sly F a F, t.. d sly onako ľké opačného s, ktoé sa tda nazáo ša. Môž al tž zšť sl F pôsobac bod A so slo F pôsobaco bod B. Poto zostan sla F pôsobaca bod B. Ma d sly ôznych so pôsobacch ôznych bodoch tlsa. Ob sly ôž podľa pdošlého psť do psčníka paok ktoých pôsoba a ktooo ch sčítať (pd tda úloh na pípad doch síl pôsobacch dno bod. D onobžné sly ôž gafcky sčítať ch pdní na sly ôznobžné podľa obázk a k n pdá sly F a F, ktoých súčt sa oná nl. Ak sú onobžné sly onako ľké a opačných so, dný pncíp zlyháa, sly n ožné sčítať. Dochádza k kaltatín noé a, tz. doc síl. Súhnn ôž podať, ž obcnú onnú sústa síl ôž postpný ktooý sčítaní síl nahadť dno ýsldno slo. Výnk toí pípad, kdy ktooé sčítan d na doc síl. Mont sly p skladaní síl. Dotaz s skladal onobžné sly ch pdní na ôznobžné. Výsldnca ažoaných síl nahádza účnky síl na tlso čo do pos a otác. Mo otáčaých účnko šak ont sly, tda ont ýsldnc sa oč čté bod sí onať súčt onto síl k to sté bod. Podľa dného zloží d onobžné sly F a F. Monty síl počíta k bod A lžac na pak kto pôsobí sla F. Označ ch M, M a M (ont ýsldnc). Msí platť, M M M

21 . F pf lbo ont M nloý oč bod A. Vzhľado k FF F platí ( F F ) pf čí čné pôsobsko sly F. P akkoľk n oľb bod oč ktoé počíta onty, dosp k onaké ýsldk. Doca síl. Ako bolo sponté, n ožné sčítať doc síl onako ľkých opačného s pôsobacch doch ôznych onobžných pakach. Takáto doca síl á ba otáčaé účnky. Uč ýsldný ont doc síl zhľado k ľbooľné bod O ony, kto sly F a F lža. Podľa obázk dostan ( p ) F Fp M F zdalnosť p kto sly doc pôsoba nazýa ano doc. Z toho plyn, ž otáčaý účnok doc onaký zhľado k ľbooľné bod ony kto doca lží a ktooo sa oná M F s označl polohoý kto pôsobska sly F zhľado k pôsobsk sly F. Mont doc síl tz. oľný kto, t.. n azaný na pôsobsko. Môž tda doc síl posúať ľbooľn on kto lží, albo pstnť do n onobžn ony. Podnky onoáhy thého tlsa. Thé tlso onoáh, ak a) nloá ýsldnca štkých síl ktoé na tlso pôsoba F F b) nloá ýsldnca onto štkých síl počítaných k ľbooľné bod (p štky sly onaké) M ( F ) Vktooé onc yad spadla skalány zložkoý onca. F, Fy, Fz

22 kd F, F y, F z sú súadnc sly F,,,..., n. Obdobn ( yfz zfy ) ( zf Fz ) ( Fy yf ) kd, y, z sú súadnc kto,,,..., n. Častý pípado onná sústaa síl, nap. on,y. Vtdy sú zložky s z nloé a onca Fz splnná. Kďž z sú nloé, splnné sú a pé d onc. Podnky onoáhy p onnú sústa síl on,y sa zdnodša na F ( F y F ), Fy, y V paktckých pípadoch p stanoní onoáhy thého tlsa sí bať do úahy štky sly pôsobac na tlso a ch onty, tda nap. tž akc opô a sly tna. Ťažsko thého tlsa. Na každé tlso gatačno pol pôsobí gatačná sla. Aks tlso ozdlí na alé lnty, taž týchto lnto toa sústa síl nahaľnú dno ýsldnco. Paky ktoých táto sla pôsobí p ôznych polohách tlsa sa nazýa ťažnc a ptínaú sa dno bod ťažsk. Ťažsko tda bod, ktoo pôsobí taž tlsa p ho ľbooľn poloh. Vzhľado k to, ž taž tlsa úná ho hotnost, hooí tž, ž ťažsk s ôž pdstať sústdnú štk hotnosť tlsa. Pto ťažsko označ a ako hotný std. Súadnc ťažska tlsa, y, z ypočíta z nasldon úahy: ak á taž tlsa pôsobaca ťažsk nahádzať taž dnotlých lnto, sí ch nahádzať a čo sa týka otáčaých účnko. Tda ont taž tlsa zhľado k ktokoľk súadnco os sa sí onať súčt onto taží lnto k dan os. Uaž napíklad podľa obázk otáčaé účnky zhľado k os z. Taž Gg clého tlsa pôsobí ťažsk. J otáčaý ont M zhľado k os z Mg. Mont sly dggd dmdg. Súčt štkých lntánych onto oný clkoé ont ťažsk g g d ( T ) (ntgác obí cz clé tlso T, sčíta skalán, lbo taž štkých lnto aú onaký s). Oaľ ypočíta -oú súadnc ťažska d ( T ) Vzhľado k os dostan obdobn

23 z zd ( T ) Súadnc y tto poloh nčí, ptož so slo onobžná. Učí šak tak, ž tlso otočí spol so súadncoý systéo o π/ okolo os z a poto pooná onty zhľado k os onako ako pdchádzaúco pípad s onto clko taž. Kďž poloha ťažska sa otáčaní nní, dostan y ( T ) yd P hoogénn tlso (hstota každo st onaká), platí ρv, dρdv, kd ρ hstota tlsa. P poloh ťažska poto ychádza V dv, y ydv, z ( T ) V ( T ) V ( T ) zdv Zadní polohoého kto ťažska y kz ôž písať zťahy dnodchšo záps d ( T ) sp. O V dv ( V ) Ťažsko systé n bodo s hotnosťa a polohoý kto,,,..., n nád podľa obdobného zťah n S ýhodo ôž nkdy olť počatok súadncoého systé ťažsk, poto y z a d, yd, zd ( T) ( T) ( T)... Dynaka thého tlsa. P posno pohyb thého tlsa sa štky ho čast pohybú s onako okažto ýchlosťo a zýchlní. P zdnodšn úahy s pdsta, ž tlso sa skladá z n hotných bodo. Na každý z nch pôsoba onkaš a nútoné sly. Vnútoné sú t, ktoé pochádzaú od ostatných bodo tlsa. P n sú pohyboé onc a F f a F f kd onkaš sly sú označné ľký písno a nútoné alý. Podľa zákona akc a akc f -f, poto sčítaní posldných oníc dostan

24 ( ) a F F kd účnok oboch nútoných síl sa ší. Ak zobcní úah na n bodo, dostan obdobn a (... n ) F F... Fn ptož zhľado k platnost f -f p ľbooľné,,..., n,,,..., n, sa súčt štky nútoné sly ša. V zátok a šak clkoá hotnosť tlsa, takž p posný pohyb platí a F kd F ýsldnca onkaších síl pôsobacch na tlso, hotnosť a a okažté zýchln ho ľbooľného bod. Ak koná tlso obcný pohyb, t.. ok posn sa súčasn otáča, aú ho ôzn čast ôzn zýchlna a ôžpísať a a... F... ann F F Polohoý kto ťažska daný ýazo n... n n ( ) albo d Po dác ýaz p polohoý kto ťažska dostan... nn a a... a a P obcný pohyb tlsa ôž tda písať F a n n P otáčao pohyb thého tlsa sa platň tz. ont hybnost. V chank hotného bod bola zadná hybnosť bod p. P otáčaých pohyboch sústay bodo, albo tlsa hodné zasť po ont hybnost bod b zťaho b p

25 kd spodč kto hybnost p zhľado k bod O, k ktoé ont hybnost počíta. Vzhšado na dfníc ont hybnost dť, ž kolý na on ktoo, p a s s paotoč sktky otáčaúc sa s p. Absolútna ľkosť ont hybnost podľa obázk b snα cos β Spadla aplk ont hybnost na otáčaý pohyb hotnúho bod, p ktoý podľa ob. platí απ/, β, tda snαcosβ. Poto b ω Ak pož zťah p hloú ýchlosť ωdφ//, ôž písať o ktooo ta b ω ptož obda ktoy aú onaký s. P sústa hotných bodo ýsldný ont súčto dnotlých onto. b b P pops otáčaých pohybo pa pohyboú onc (II. Nwtono zákon) dp/f na ta, ktoý obsah lčny popsúc otáčaý pohyb. Ak onc násobí zľaa ktooo spodčo, p dn hotný bod dostáa dp F Ľaá stana onc sloý ont ýsldnc onkaších síl. Paá stana onc časoá zna ont hybnost, čž db M P otáčan thého tlsa plata tda obcn zťahy db b, M platné p hybnosť sústay hotných bodo a časoú zn plyo ont onkaších síl. Ak sa tlso otáča okolo pn os, dnodchš zasť sto spodčo lnto tlsa, zdalnost týchto lnto od os otáčana, čž p hotný lnt bd platť db ' ' ω d, a p clé tlso b ω d V

26 Intgál zásí ln na ozložní hotnost tlsa oč os otáčana (n na ýchlost otáčana). Nazýa ho onto zotačnost tlsa J ' d Pooco ont zotačnost ôž písať ont hybnost tlsa ta b J ω a pohyboú onc p otáčan thého tlsa db/m ôž zapísať ako M Jε P ysthnt zotačných lastností thého tlsa požía záps J d R V kd R nazýa polo zotačnost tlsa. Est dôlžtý a dnodchý zťah ktoý až ont zotačnost tlsa I zhľado k čt os a ont zotačnost I toho stého tlsa zhľado k os onobžn s po oso a pchádzaúc ťažsko tlsa. Nazýa sa Stnoa ta a ôž písať ta J J b kd hotnosť tlsa a b zdalnosť oboch ažoaných osí (albo zdalnosť os otáčana od ťažska). Kntckú ng p obcno pohyb thého tlsa ôž yadť slon tak, ž sa oná súčt kntck ng posného pohyb ťažska ( ktoo sústdná hotnosť tlsa) a kntck ng lnto tlsa zhľado k ťažsk. Ek T Jω ptož ω ω Jω V knatk bolo zstné, ž st analóga dz lčna dáha-hol, ýchlosťhloá ýchlosť, zýchln-hloé zýchln. Analóg sa paú onak atatck štktú dfnčných oníc píslšných lčín. V dynak st ako dť tž analóga, daná zťah dp F, p, db M b J ω

27 Násldko toho sú analogcké štky ododné onc. Ďal st analóga pých ntgálo pohyboých oníc. I. plzoá ta p J p, p, I F (kd p, p počatočná a končná hybnosť hotného bod, I plz sly F) á analóg II. plzo t b L b, kd b J, L M ω kd ont hybnost b analógo hybnost, plz-ont (hloý plz) L analogcký plz, ont zotačnost J analogcký hotnost. Tž zákon zachoana hybnost odpodá zákon zachoana ont hybnost. Taktž p kntcké ng posného a otačného pohyb tlsa platí analóga E k, Ek Phľad analogckých lčín. Jω Pohyb hotného bod Rotačný pohyb thého tlsa Vlčna Označn Vlčna Označn dáha opísaný hol ϕ ýchlosť hloá ýchlosť ω zýchln a hloé zýchln ε čas t čas t hotnosť ont zotačnost J sla F ont sly M hybnosť p ont hybnost b páca dw Fd páca dw Md ϕ ýkon P F. ýkon P M. ω t t plz sly I F plz ont L M t t kntcká nga Ek kntcká nga Ek Jω..4. Tn Šykoé tn Aby bol d tlsá s dokonal hladký pocho p záono dotyk záon na sba kľd, sa byť sly ktoý na sba pôsoba kolé k spoločn dotyko on, tda nst zložka, ktoá by spôsoboala záoný pohyb. U sktočných tls to tak nsí byť a ôž stoať zložky síl ktoé n sú kolé k dotyko on a kď sa tlsá

28 nazáo npohybú. J to spôsobné dsnosťo poch, ktoá lastnosťo každého álnho tlsa. Dotyčncoé zložky síl ktoé bána pohyb tlsa nazýa sla tna. Ak položí tlso na naklonnú on, tlso zostáa poko ak á hol sklon čtú ľkosť. Pokaľ tnto hol α nší ako čtá hančná hodnota α, tlso poko a po pkoční tto hodnoty sa d do pohyb. Ktcká hodnota hl záslá od dsnost poch a chaaktz šykoé tn. Nazýa sa hol tna poko. Kďž taž tlsa G, ako a akca R ony zaú s noálo ony onaký hol ako naklonná ona s odooný so, bd tlso na on kľd ký hol dz tažo a noálo npkočí α. Pdpoklada, ž naklonná ona á pá sklon oný hl tna α, takž tlso št kľd, t.. R-G. Rša sa tda a dotyčncoé zložky. Kolá zložka taž F n onoáh s kolo zložko N akc ony a dotyčncoá zložka taž F t onoáh s dotyčncoo zložko T akc ony, ktoá slo tna. J zťah k hl tna nád ľahko z obázk yadné absolútnych hodnotách ako F T G snα, a Fn N G cosα t tda p ľkosť tc sly dostáa T N tgα Uhol tna p da dané pochy stály, takž sla tna podľa posldného zťah pao úná tlako sl ktoo dno tlso pôsobí na dhé, nzásl od ľkost styčných plôch. J to tz. Colobo zákon šykoého tna. Ak zad p konštant únost označn μ tgα, ôž únosť dz slo tna T a noáloo (tlakoo) slo N yadť dnodchý zťaho T μ N kd konštant μ nazýa kofcnt šykoého tna poko. Kďž sla tna akca na sl ktoá sa snaží tlsá nazáo posnúť, á opačný s a a ľkosť, pokaľ pohyb nnastan. Sla tna yzn, ak npôsobí žadna sla ktoá by ohla spôsobť záoný pohyb tls. Ak sa zäčší hol sklon naklonn ony nad hodnot α, tlso sa d do pohyb. J ožné očakáať, ž tlso sa bd pozoľna onon pohyboať, ptož zložka taž G.snα bd ln álo äčša ako sla tna μ G.cosα. V sktočnost nastáa ztľn zýchlný pohyb p ktoo zýchln äčš ako by alo byť podľa zýchľúc sly G.snα-μ G.cosα. Táto sktočnosť sa ystľ tak, ž akonáhl sa d tlso do pohyb, znší sa súčntľ tna na hodnot μ a zostáa p pohyb paktcky na tto nžš hodnot. Nazýa sa súčntľ šykoého tna p pohyb. Zýchľúca sla pôsobaca na tlso poto bd oná G.snα- μg.cosα a zýchln tlsa bd G a g ( snα μ cosα ) ( snα μ cosα ) Aby bol pohyb tlsa na naklonn on ononý, sí byť a, tda tgαμ. Tda ak tlso pohyb, sí byť hol sklon nší ako hol tna poko aby bol pohyb ononý.

29 Valé tn. P alo pohyb pného tlsa po no pno tls k ktoé pé tlso tlačné čto slo, odpo toto pohyb tz. alé tn. J n poahy ako šykoé tn. Na alc o taž G na odoon on pôsobí ťažná sla F. Pôsobn ony na alc dané sla N a T pak dotyk. Ak alc poko, plata podnky onoáhy N-G, F-T a F, odkaľ F, T a NG. Ak tda pôsobí sla F, nôž byť alc poko a bd sa alť. V pa šak zná, ž a p pôsobní čt al sly F sa tlso nd do alého pohyb. Pôsobí tda naký odpo pot pohyb, ktoý nsúsí so šykoý tní. Tnto alý odpo znká dfoáco alného tls a podložky. Ak sú tlsá poko, znká ozložn tlako dotyko plôšk podľa obázk, tda súné, čž ýsldnca N pchádza bodo dotyk A. Ak á alc snah alť sa, znkn dfoáco nsúné ozložn tlako a ýsldnca akcí sa posúa dopd o hodnot. Dostáa tda odkaľ N G, F T, F N F F μ N G Vzťah yad, ž posnt tlako sly N nôž ať ľbooľné hodnoty. Ak ná nastať aln, sí byť nš albo nanaýš oné dzn hodnot zdalnost μ, čo nazýané súčntľ alého odpo (ano alého odpo), ktoý á na ozdl od súčntľa šykoého tna oz zdalnost. Ak á alc na ktoý pôsobí ťažná sla F zostať poko, ns nastať šyk, tda F μ G. Aby nnastalo an aln, sí ťažná sla yhooať a podnk F μ G Ak ťažná sla äčša, d sa tlso do alého pohyb. Na tlso poto pôsobí pot pohyb odpo alého tna T T μ μ G N J ýhodné pložť pôsobsko kol tlako sly N do dálnho bod dotyk A. Pto zaádza odpo (ont) pot aln M μ N. Pooco nho ôž nap. čť, do akého hl sklon zostan alc na na naklonn on poko. Podľa obázk plyn z podnok onoáhy T Gsnα, N G cosα, Ak ná nastať šyk, sí platť M G snα

30 G snα μg cosα odkaľ plyn, ž tgα μ. Ak ná nastať an aln, sí platť G sn α M čž G snα μ G cosα odkaľ tgα μ Podľa toho ktoá z dzných hodnôt nša, nastan p naastaní sklon ony bď šyk, albo aln alca. Ptož hodnota alého tna pných tls spadla nžša ako hodnota šykoého tna, p nakláňaní ony nastan spadla aln, n šyk... Kty Poo ktaý pohyb oz pohyb, p ktoo sa ktaúc systé pohyb obdzno okolí tz. onoážn polohy. Nadnodchší ktaý pohyb haoncký pohyb. J to pohyb spôsobný slo pôsobaco pot okažt ýchylk bod, čo do ľkost paoúno ýchylk. Obcn znk každého ktaého pohyb podnný stnco síl, ktoé pôsoba pot okažt ýchylk, sú tda do onoážnho sta a toto sta sú nloé.... Kty s dný stpňo oľnost. Systé á obcn n stpňo oľnost, ak k ysthnt ho obcn polohy potbné zadať n súadníc (dĺžok, albo hlo). K čn polohy ktaúcho systé s dný stpňo oľnost postač dná súadnca. Haoncký pohyb Na hotný bod o hotnost pôsobí p ho ychýlní z onoážn polohy sla F k kd konštanta k>, polohoý kto bod. Počatok súadnco sústay zolí do onoážn polohy a s okažt ýchylky stotožní s kladný so os. Poto ôž písať F - k. Dosadní do pohybo onc

31 d F a úpao získa onc haonckého pohyb d ω kd bolo požté označn ω k Časoý pbh haonckých kto získa šní posldn dfncáln onc. Jdný z ožných šní, ž ynásobí onc ýazo d/ a p požtí zťaho d d, d d d d dostan po ntgác d ω konšt. Intgačnú konštant č z počatočných ponok, t.. p t, a. Zad s noú konštant označnú ako A, (konšt./ω A ). Posldnú onc á poto ta d ω ω A Túto onc ôž šť spaáco pnných, albo sbsttúco Acosα. Sbsttúco dostan p d/-asnα(dα/) a po úpa ýaz dα ω, dα ± ω, α ± ω t ϕ kd φ ďalša ntgačná konštanta, ktoú č zo spontých počatočných podnok. Dosadní tohoto šna do zadn sbsttúc dostan šn dfncáln onc p haoncký pohyb Acos t ( ω ϕ) obsahúc d ntgačné konštanty A a φ. Konštanta A sa nazýa apltúdo ýchylky haonckého pohyb a dáa naäčš ýchylk z onoážn polohy. Agnt fnkc kosíns hooí fáza pohyb, konštanta φ fázoé posnt (počatočná fáza). Udáa poloh bod čas t. Z šna tda plyn, ž ýchylka p haoncko pohyb podcko fnkco čas, s pódo Tπ/ω/f, kd f fknca (počt kto za

32 dnotk čas). Konštant ( k / ) ω nazýa hloo fknco, ptož oná π násobk fknc. Ak na šn haonckého pohyb aplk súčtoý zoc cos(αβ), dostan Acosωt cosϕ Asn ωt snϕ albo zykn písať B cos ωt C sn ωt kd B,C sú noé ntgačné konštanty. P ýchlosť a zýchln bod p haoncko pohyb dostáa z dfníc d ωasn d a ω Acos ( ωt ϕ) ( ωt ϕ) Clkoá chancká nga tlsa konaúcho haoncký pohyb konštantná a s časo nnná. Dokázať to ôž nasldon: Podľa šobcného zťah E k / á t ( ω A) sn ( ω ϕ) E k P potncáln ng áž, ž konzatína sla sla F-k. Potncáln ng onoážn poloh položí onú nl a zo zťah de p -dw, kd de p píastok potncáln ng spôsobný zno polohy tlsa o d a dw ykonaná páca. Ak dosadí za F do dwfd (píš p dnoozný pípad, tda bz ktoo), á de p dw kd E p de p k Kď sčíta ob ng a áž, ž ω k/, tda kω, dostan E E k E p ω A Ppoň, ž póda pohyb nakatší čas, za ktoý sa tlso dostan do t st polohy a ýchlost, tda odkaľ ( ωt ϕ) Acos[ ω( t T ) ϕ], cosωt cos ( t T ) Acos ω

33 ( ω t ϕ) π ω( t T ) ϕ čž oaľ dostáa ž spontý zťah T π ω Fknca pátno hodnoto pódy a dnotko s -, čž htz (Hz). Tlné kty. Ak yšš popísaný haoncký oscláto ktá hotno postdí (nap. zdch, oda), apltúda kto klsá až pohyb nakonc zankn. J to spôsobné odozdaní ng kto okolté postd naážaní na častc postda. Z akoskopckého hľadska hooí o tní, albo odpo postda. Načastš býa sla tna R fnkco ýchlost ktaúcho tlsa. J to tz. skózn tn (nap. tn pst kapaln). Často al býa tn konštantné, nzáslé na ýchylk a na ýchlost. Hooí sché tn, albo coloboské (lčné ložn tlsa). P dnodchosť pb nadnodchší pípad skóznho tna kdy R-, tda odpo postda pao úný ýchlost. Bd zostaná pohyboá onca tln ktaúcho tlsa. Na tlso pôsobí dktína sla D-k a odpooá sla R-. Výsldná sla FDR spôsob zýchln ad /, čž pohyboá onca D R a albo po dosadní d d k Ronc paí dlní a zadní β/, ω k/ na ta d d β ω Toto ta onc tlných kto. Kofcnt β sa nazýa kofcnt útl, ω á ýzna kho fknc ntlných kto. Ronc š za pdpoklad, ž čas t a. Rš pooco sbsttúc A αt, čo po dosadní dáa chaktstckú onc α βα ω s koň α ( β ), β ± ω

34 P β>ω sú kon áln a ôzn, p βω sú oba kon onaké (-β). P β<ω sú kon kopln zdžné. P pý pípad sú obda áln kon zápné a absolútna hodnota α äčša nž absolútna hodnota α. Ršn onc tda t α t A α A Kofcnty A čí z počatočn podnky, p čas t. Dosadní dostan A A a p ýchlosť (doaní posldného zťah) α A α A. Oaľ A α, A α ( α α ) ( α α ) Pbh polohy záslost na čas tda α t αt [ α α ] ( α α ) Výchylka tda tal klsá s časo, zostáa šak kladná. K žadn ktan tda ndôd, tn pílš ľké a nga kto sa ozptýl skô ako tlso pd onoážno poloho. P dhý pípad sa obda kon onaú β. V takoto pípad šn ta β t ( A A ) Z počatočn podnky yplýa p poloh tlsa β t ( β t) Podobn ako pdchádzaúco pípad s časo onotónn klsá. P posldný pípad β<ω, sú kon chaaktstck onc kopln zdžné α ( ω ), β ± β Ak ýaz pod odocnno označí ω, šn bd ta albo β t ( A ωt A ωt) sn cos Acos β t ( ωt ϕ) Výchylka tda haoncko fnkco čas, pčo ako dť, apltúda klsá ponncáln s časo a to tý ýchlš, čí äčš β. P β pchádzaú zťahy do ta p ntlný haoncký pohyb. Póda p tlný pohyb ždy äčša ako p ω ω. β ω ntlný, ptož ( )

35 Vynútné kty. Dôlžtý pípad ktaých pohybo nastáa, ak na sústa schopnú konať ktaý pohyb pôsoba onkaš sly podckého chaakt. Sústaa sa takoto pípad ozktá n lastno fknco, al fknco onkaš sly, koná tda ynútné kty. Nch onkaša yncúca sla VH.snΩt, kd Ω khoá fknca onkaš sly. Ďalš pôsobac sly sú dktína, D-k a odpooá R-. Ich súčt ýsldnca, tda pohyboá onca bd ať ta d d k H sn Ωt albo po zadní označní β/, ω k/, hh/ d d β ω hsn Ωt Ršn tto z atatckého hľadska nhoogénn onc súčto obcného šna (t) píslšn hogénn onc a patklánho šna (t) nhoogénn onc. Obcné šn (t) p počatočnú podnk dané onco šna z pchádzaúc β t kaptoly ( A snωt A cosωt). P dostatočn ľký čas kong toto šn k nl. Uplatní sa tda ba patklán šn. Toto hľadá ta () t B Ωt B sn Ωt sn kd kofcnty B čí dosadní do pôodn onc. Po úpa dostan B ( ω Ω ) ( ω Ω ) h βωh, β Ω Δ Δ B kd Δ 4 Vynútné kty sú tda haoncké, s fknco Ω. Ak táto fknca totožná s lastno fknco systé ω, dochádza k zonanc systé. P zonanc naastá apltúda kto totcky nobdzn. P ýpočt ynútných kto bolo pdpokladané, ž yncúca sla čst sínsoá fnkca čas ta H.snΩt. V sktočnost tnto pdpoklad nbýa splnný. V toto obcno pípad š onc kto tak, ž fnkc f(t) s pódo T yadí ako šobcný súčt haonckých fnkcí s póda T k T/k, k,,... Takýto ozo sa nazýa Foo ad..4. Mchanka kontna V chank thého tlsa nbola ažoaná zna ta p pôsobní ľbooľných onkaších síl. V nasldúco bd ažoaná chancká dfoáca, kdy bd pdpokladané, ž tlso á lastnost kontna, t.. ž yplň čtý psto spot, tda a lastnost sa na od sta k st spot. A kď to n pada, ptož látka sa skladá

36 z častíc, paktcky dný pdpoklad dob splnný zhľado na hstot äčšny yštoaných tls..4.. Knatka kontna. Vštky lčny chaaktzúc kontn a d pbhaúc ňo sa tda na spot ažoano ob. Vyb dn lčn a označ A. Každé bod ažoaného psto ôžpadť čtú hodnot A. Vlčna A tda toí podľa so poahy skalán, albo ktooé pol. Obcn A fnkca súadníc a čas AA (,y,z,t). Ak pol pnn A nzásí na čas, nazýa sa staconán. P dnodchosť zložtších zápso bd označoať súadnc,, ( ) a píslšné dnotkoé ktoy. Zad ďal označn podľa ktoého ak bdú nako čln da onaké ndy, bd tnto čln znanať súčt podľa tohoto nd od do. Nap. bd znanať albo, Pol alých posntí. Nch poloha každého bod pôodno spoadaní čná polohoý ktoo a po dfoác. Rozdl naz posnt bod P a označí, tda. Posnt štkých bodo ažoaného kontna toí ktooé pol posntí. Vkto á zložky,, a ôž ho zapísať ako, albo Uaž ďal zny polohy a dĺžky al úsčky A čn počatočný bodo P a končný bodo Q. Z obázk yplýa, ž A A Q P Ďal yadí posnt Q bod Q ako fnkc posnta bod P tak, ž fnkc (,, ) ozn okolí bod P do Taylooho ad. P fnkc dn pnn á tnto ad ta d h d! d d ( h) ( ) h... V našo pípad bd ozíať fnkc toch pnných (,, ) okolí bod P(,, ). V st ( h, h, h ) ktoé ztotožní s poloho bod Q, á hodnot ( h h, h ) (,, ) h..., člny yšších ádo Ak sú h dostatočn alé, ôž člny yšších ádo ozo zandbať. Hodnota h sú zložky úsčk A, tda pdpoklad alých h totožný s pdpoklado alých dĺžok úsčky A a tda alých oblastí ktoých dfoác analyz. Ak dosadí za h zložky A

37 podľa zťah AA a ztotožní Q s ( h, h, h ) a P s (,, ), poto p zn δa úsčky A dostan zťah A A A A δ albo zložkoo ta A A δ kd,,. Tnto zťah kaz, ž zny polohy a ta ľ al úsčky A zása na dácách zložk posntí podľa súadníc. Týchto dácí clkoo 9 a toí atc: Ak ln oľbo súadnco sústay ok posného a otáčaý pohyb lnt kontna (pn sponá s lnto), zostan lastná dfoáca lnt. P lnác otačného pohyb ozpíš dnú obcnú atc zložk posntí na d atc s pka a φ, ϕ Z ta dť, ž platí / ϕ. Matca φ pdsta lntán otác lnt kontna. Matca yad lastnú dfoác lnt. Fyzkálny ýzna člno atc lastn dfoác nasldoný. Člny,, yadú latín pdĺžn al úsčky. Člny, yadú znšn pôodn paého hl doch alých úsčk A, A, čž tz. hol šyk. Dfoác sa označú ako noáloé a dfoác, ako dotyčncoé. Ak až oboý lnt kontna ta hanol a stanách A, A, A, dfoáca lnt spôsobí ho noý ob V ( )( )( A A A A A A V ) Píastok ob δvv -V ( ) A A A V δ kd súčny dnotlých zandbáa ako alé lčny yšších ádo. Rlatín dlatác ob δv/v označ ako Θ Θ

38 Výaz kd,, sú zložky ktoa sa nazýa o ktoo analýz dgnca kto. Pto ôž oboú dlatác sybolcky písať Θ d Kďž sú štky ndagonáln člny nloé, ndochádza k zná paých hlo dz dnotlý ona skúaného ob (hanol). Ak o zláštno pípad pol dfoác také, ž a, nôž dôsť k zn ob lnt, dochádza ln k dfoác paých hlo, tda ta. Ak zhn pdchádzaúc odstac, lntán alú dfoác s ozložl na otác lnt a na lastnú dfoác lnt kontna. Rotáca oboého lnt bola chaaktzoaná atco otác φ, kd platí ϕ ϕ ϕ, ϕ ϕ ostatné pky nád cyklcko záno. Vlastnú dfoác oboého lnt chaaktz atco dfoác, Pol ýchlostí. Každá sktočná dfoáca kontna pbha čas. Vydlní ododných oníc p dfncáln posnta časo, dostan zťahy dz ýchlosťa týchto lčín. Z onc yadúc posnta dostan onc yadúc ýchlost častc čto st kontna zložka,,. Skô ažoané lčny / sa zna na lčny ýchlosto ( ). Obdobn atca lntánych otácí φ sa zní na atc ýchlostí otácí ω a atca lastných dfoácí sa zní na atc ýchlostí dfoácí, albo atc tok s pka f. k f f,,,,. čo sa platň chank tktín a skolastckých látok. Ronca kontnty, tok kto plocho.

39 Ronca kontnty dôlžto onco platno p pohyb kontna, yadúco zákon zachoana hotnost. Slon ožná foláca ta (stp hotnost do lnt) (ýstp hotnost z lnt) (akláca hotnost lnt počas ažoaného časoého ntal). Vstpy a ýstpy spočíta p každý súadncoý s osobtn. Rono stp do lnt látka o hotnost & d d. Rono d z nho ρ ρ ystp d [ ρ d( )] d d. Vlčny ýchlost a hstoty ρ bd poažoať za fnkc sta a čas. Píastok d( ρ) násldko zny o d a daný súčno ( ρ) d Rozdl (stp ýstp) p s os tda ( ρ ) d ddd Obdobn p obda ďakš sy dostan ( ρ) ( ρ ) dv d dv, d kd dv ob lnt. Kďž V konštantné, k zn hotnost lnt ôž dôť dn násldko časo zny hstoty, kdy za čas sa hstota zní o dρ. Píastok hotnost lnt tda ρ t ( ρ dρ ) dv ρdv dv Po dosadní do pôodného sloného znna onc dného na začatk a ydlní dv dostan p onc kontnty ta ρ t ( ρ) ( ρ) ( ρ ) albo o ktooo záps ρ d t ( ρ ) Ak kontn nstlačtľné, poto ρkonšt. a ρ / t. Posldnú onc ôž p tnto pípad písať dnodcho ta d ( )