Formule de calcul prescurtat...

Transcript

1 RTUR ĂLĂUĂ MRIN IONŞU ION IONŞU MRI RITON VERONI LMOŞ STEL OGHIN ĂTĂLIN UENU IONEL ORINU GRIGORE UMITRU MIHI LUIN GLOMEŞ RIN MXINIU IONEL NEHIFOR NIOLE SN MONI SS NIULI SOLOMON NIOLE TĂLĂU LURENŢIU ŢIRE 165 E TESTE PENTRU EVLURE NŢIONLĂ MTEMTIĂ LS a VIII-a 13 de Teste pentru recapitulare şi aprofundare 4 de Modele de Teste pentru Evaluarea Naţională 016 Editura TI Iaşi 1

2 Introducere Lucrarea de faţă vine în sprijinul elevilor care se pregătesc pentrtu evaluarea naţională în vederea admiterii în liceu sau pentru recapitulări şi evaluări curente şi finale, fiind în conformitate cu programele şcolare actuale elaborate de Ministerul Educaţiei Naţionale şi de entrul Naţional de Evaluare şi Examinare. Evaluarea naţională a elevilor din clasa a VIII-a reprezintă un eveniment deosebit în viaţa unui adolescent. ificultatea testului nu constă numai în natura subiectelor, ci mai ales în încărcătura psihică, cauzată de consecinţele finalizării testării, punctajul obţinut având o pondere însemnată în acceptarea la liceul dorit. utorii lucrării apreciază iniţiativa entrului Naţional de Evaluare şi Examinare prin Evaluarea Naţională din anii 010 şi 011 de a face primii paşi către evaluarea de tip PIS în direcţia formării competenţelor specifice studiului matematicii în gimnaziu prin formarea obişnuinţei elevilor de a apela la concepte şi metode matematice în abordarea unor situaţii cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice. e aceea, autorii s-au străduit prin numeroase probleme propuse să răspundă la întrebarea care se pune tot mai frecvent: La ce este utilă matematica? Structura cărţii pe ani de studiu permite actualizarea şi fixarea într-un timp scurt şi în mod sistematic a cunoştinţelor acumulate în clasele V VIII prin breviarele realizate la fiecare noţiune semnificativă din Programa de Evaluare Naţională, 016. e asemenea, lucrarea poate fi utilizată zilnic în pregătirea curentă a elevilor precum şi pentru evaluare sumativă începând cu clasa a V-a. Primele 13 teste sunt grupate pe clase, şi cuprind probleme care asigură parcurgerea conţinutului programei pentru evaluare naţională elaborată de Ministerul Educaţiei Naţionale, prin O.M. Nr din , iar următoarele 4 de teste sunt modele asemănătoare cu cele pe care elevii le vor întâlni pe foaia de examen. Parcurgerea gradată a conţinutului programei actuale, oferă atât elevilor cât şi profesorilor care le îndrumă pregătirea, o eficientă recapitulare sistematică a noţiunilor studiate în cei patru ani de gimnaziu; exerciţiile şi problemele sunt astfel grupate încât să asigure o pregătire gradată şi din punct de vedere al dificultăţii. Testele din lucrare constituie totodată modele de subiecte şi pentru evaluări curente, semestriale sau finale pentru toate clasele din gimnaziu. Exerciţiile şi problemele din teste sunt însoţite de răspunsuri şi chiar rezolvări complete, astfel încât să poată fi utilizate în activitatea independentă a elevilor şi să permită autoevaluarea. Suntem recunoscători şi adresăm mulţumirile noastre tuturor colaboratorilor pentru observaţiile, sugestiile şi recomandările ce au contribuit la îmbunătăţirea lucrării. rtur ălăucă 3

3 uprins EVLURE NŢIONLĂ PENTRU ELEVII LSEI VIII- PROGRM E EXMEN PENTRU ISIPLIN MTEMTIĂ, NUL ŞOLR PITOLUL I. REPITULRE ŞI PROFUNRE LS a V-a. RITMETIĂ Numere naturale. Mulțimi... Numere raționale mai mari sau egale cu 0, +. Fracții ordinare. Fracții zecimale... Elemente de geometrie și unități de măsură.... LS a VI-a. RITMETIĂ. LGERĂ Numere naturale. ivizibilitatea în... Mulțimea numerelor raționale pozitive... Rapoarte şi proporții. Proprietatea fundamentală a proporțiilor; proporții derivate; aflarea unui termen necunoscut dintr-o propoziție... Mărimi direct proporționale şi mărimi invers proporționale... Regula de trei simplă. Grafice... Procente. Probleme. alculul probabilității realizării unui eveniment... Numere întregi... LS a VII-a. LGERĂ Mulțimea numerelor raționale. Modul. Ordonare. Operații. Ecuații în. Probleme... Mulțimea numerelor reale. Modul. omparare și ordonare. proximări. Reguli de calcul cu radicali. Operații. Raționalizarea numitorului... Media aritmetică a n numere reale, n. Media geometrică a două numere reale pozitive... alcul algebric. alcule cu numere reale reprezentate prin litere... Formule de calcul prescurtat... escompunerea în factori utilizând reguli de calcul în... Ecuații în de forma ax + b = 0, unde a, b. Inecuații de forma ax + b > 0 (<,, ), cu a, b și x. Ecuații de forma x = a, unde a +... Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor și inecuațiilor... Elemente de organizare a datelor. Produsul cartezian a două mulțimi nevide. Sistem ortogonal de coordonate. ependențe funcționale. Probabilități... LS a VIII-a. LGERĂ Numere reale. Í Ù Ð Ñ. Modulul unui număr real. ompararea și ordonarea numerelor reale. proximarea numerelor reale... Intervale de numere reale. Proprietățile relației de inegalitate (ordine) în Ñ. Operații cu numere reale. Raționalizarea numitorului... Formule de calcul prescurtat... escompunerea în factori... Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere. mplificarea şi simplificarea rapoartelor... Operații cu rapoarte de numere reale... Funcții... Ecuații de forma ax + b = 0, a *, b. Ecuații echivalente... Ecuația de forma ax + by + c = 0, a, b. Sisteme de ecuații... Ecuația de forma ax + bx + c = 0, a, b, c, a 0... Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor, inecuațiilor și a sistemelor de ecuații... GEOMETRIE LS a VI-a Punctul, dreapta, planul, semidreapta, segmentul de dreaptă, unghiul... ongruența triunghiurilor... Perpendicularitate. azurile de congruență pentru triunghiurile dreptunghice. Mediatoarea unui segment. oncurența mediatoarelor şi a bisectoarelor într-un triunghi... repte paralele. Suma unghiurilor unui triunghi. Unghi exterior unui triunghi... Proprietăți ale triunghiurilor. Triunghiul isoscel. Triunghiul echilateral. Proprietăți. oncurența înălțimilor şi a medianelor unui triunghi... LS a VII-a Patrulaterul convex. Paralelogramul. reptunghiul. Rombul. Pătratul... Trapezul... Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante. Teorema lui Thales şi reciproca ei... 4 reviar Enunțuri Soluții

4 Linia mijlocie în triunghi. Linia mijlocie în trapez... semănarea triunghiurilor. Teorema fundamentală a asemănării. riteriile de asemănare a triunghiurilor... Relații metrice în triunghiul dreptunghic... Sinusul, cosinusul, tangenta şi cotangenta unui unghi ascuțit. Rezolvarea triunghiului dreptunghic ria triunghiului. ria patrulaterului convex... ercul... Lungimea cercului. ria discului... Poligoane regulate... lasa a VIII-a Puncte. repte. Plane... Paralelism în spațiu... reaptă perpendiculară pe un plan. Teorema celor trei perpendiculare (T.3.). istanța de la un punct la o dreaptă... Proiecții ortogonale pe un plan. Oblice. istanța de la un punct la un plan. Unghiul unei drepte cu un plan... Unghi diedru. Plane perpendiculare... Paralelipipedul dreptunghic. Prisma dreaptă cu baza un pătrat (patrulateră regulată)... ubul... Prisma triunghiulară regulată. Prisma hexagonală regulată... Piramida patrulateră regulată... Piramida triunghiulară regulată... Tetraedrul regulat... Piramida hexagonală regulată... Trunchiul de piramidă patrulateră regulată. Trunchiul de piramidă triunghiulară regulată... ilindrul circular drept... onul circular drept... Trunchiul de con circular drept... Sfera... PITOLUL II MOELE E TESTE PENTRU EVLURE NȚIONLĂ... RĂSPUNSURI, INIȚII, SOLUȚII, OMENTRII PROGRM E EXMEN PENTRU ISIPLIN MTEMTIĂ Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a este un examen național și reprezintă modalitatea de evaluare externă sumativă a competențelor dobândite pe parcursul învățământului gimnazial. În cadrul Evaluării Naționale pentru absolvenții clasei a VIII-a Matematica are statut de disciplină obligatorie. Programa de examen este realizată în conformitate cu prevederile programei școlare în vigoare. Subiectele pentru Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a evaluează competențele formate/dezvoltate pe parcursul învățământului gimnazial și se elaborează în baza prezentei programe. OMPETENŢE GENERLE LE ISIPLINEI 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite.. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice. 3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete. 4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora. 5. nalizarea şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii-problemă. 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii. 5

5 Reţineţi! PITOLUL I. Recapitulare şi aprofundare R I T M E T I Ă LS a V-a Numere naturale. Mulţimi Operaţia Notaţia efiniţia iagrama Reuniunea {x / x sau x } Intersecţia {x / x şi x } iferenţa \ {x / x şi x } Produs cartezian {(x, y)/ x şi y } {(x, y, z)/ x, y, z } \ \ Teorema împărțirii cu rest: oricare ar fi numerele naturale a și b cu b 0 există o pereche unică de numere naturale c și r astfel încât a = b c + r, unde r < b. Exemple: (18, 4) 18 = 4 4 +, < 4, (15, 4) 15 = , 15 < 4. Media aritmetică a două numere naturale a și b este egală cu a+ b a+ b. ma = Test 1 I. ompletaţi spaţiile punctate. 1. el mai mare număr natural de 5 cifre distincte este egal cu..... el mai mic număr natural, mai mare decât 01 este Rezultatul calculului 3 5 este egal cu Rezultatul calculului 8 : este egal cu acă x + 15 = 9, atunci x = acă x 3 = 17, atunci x =.... II. Scrieţi rezolvările complete. 1. alculaţi: a) 55: (65 50) (80 : ) : ; b) : 89 89; c) {3 : 8+ 5 [40+ 8 (00 : 5 7 : )]}.. Verificaţi că: 3 15 = (3 15)(3 + 15); 45 1 = ( 45 1) ( 45+ 1) ; (11+ 7) ( ) = ;(13 5) = = ;

6 5. Un camion pleacă din localitateaa marcată cu litera și trebuie să ajungă în localitatea marcată cu litera N. a) are este lungimea celui mai scurt drum? b) Știind că până în localitatea camionul merge cu viteza de 55 km/h și de la la N cu viteza de 64 km/h, aflați în cât timp parcurge distanța dintre localitățile și N pe drumul cel mai scurt. c) amionul poate transporta odată câte 180 de lăzi cu fructe. âte drumuri ar trebui să facă camionul pentru a tranporta 8540 de lăzi de fructe? M 10 km 5 km 8 km 7 km 9 km N 8 km F km R I T M E T I Ă L G E R Ă LS a VI-a Numere naturale. ivizibilitatea în E 4 km P 10 km O 5 km Reţineţi! Un număr natural b divide un număr natural a dacă există un număr natural c astfel încât a = b c. Observaţie. Nu există pentru orice pereche de numere naturale a şi b un număr natural c astfel încât a = b c şi, urmează că relaţia b/a nu este peste tot definită în Í. x N / x / a ale cărei elemente se numesc divizorii Pentru a œ Í se consideră mulţimea a = { } lui a. a este mulţime finită. PROPRIETĂŢI: 1. a/a, oricare a Í (reflexivitatea);. a/b şi b/a a = b (antisimetria); 3. a/b şi b/c a/c (tranzitivitatea); 4. 1/a, oricare a Í; 5. a/1 a = 1; 6. a/0, oricare a Í; 7. 0/a a = 0; 8. a/b a/b c, oricare c Í; 9. a/b 1 şi a/b a/b 1 + b şi a/ b 1 b (b 1 b ); a/b şi a c a b+c; 11. a/b 1 şi a/b a/b 1 c 1 + b c, oricare c 1, c Í; Generalizare: a/b 1, a/b,, a/b n a/b 1 c 1 + b c + + b n c n, oricare c 1, c,, c n Í; 1. a/b ac/bc, oricare c Í; 13. ac/bc şi c 0 a/b; 14. a 1 /b 1 şi a /b a 1 a /b 1 b. Generalizare: a 1 /b 1, a /b,, a n /b n a 1 a a n / b 1 b b n. el mai mare divizor comun (c.m.m.d.c) al numerelor naturale a şi b este un număr natural d, notat (a,b) care satisface condiţiile: 1. d/a şi d/b;. oricare d ' Í cu d '/a şi d '/b d '/d. Numerele naturale a şi b se numesc prime între ele dacă (a, b) = 1. acă a/c, b/c şi (a, b) = 1, atunci ab/c. Fie numerele naturale a şi b. acă (a, b) = 1, atunci există numerele naturale m şi n prime între ele astfel încât a = dm şi b = dn.

7 el mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al numerelor naturale a şi b este un număr natural m, notat [a, b], care îndeplineşte condiţiile: 1. a/m şi b/m;. oricare ar fi m' Í cu a/m' şi b/m' m/m'. a b = [a,b] (a,b). Un număr natural a se numeşte prim dacă mulţimea divizorilor săi are cardinalul. Un număr natural a se numeşte compus dacă mulţimea divizorilor săi are cardinalul cel puţin 3. Test 11 I. ompletaţi spaţiile punctate. 1. Numerele de forma a1a 4b divizibile cu 15 sunt......m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al numerelor 16 şi 60 sunt Suma dintre un număr natural prim şi un număr natural impar este egală cu 013. ele două numere sunt Numerele 14x şi 1 sunt prime între ele. tunci x {...}. 5. el mai mic număr natural care împărţit la 11 dă restul 9 şi împărţit la 13 dă restul 8 este egal cu.. 6. Numărul multiplilor lui 11 cuprinşi între 100 şi 300 este egal cu. II. Scrieţi rezolvările complete. 1. a) eterminaţi cel mai mic număr natural ştiind că împărţit pe rând la 9, 1 şi 18 dă restul 8 de fiecare dată. b) Numerele 1, 149, 176 împărţite la acelaşi număr natural dau resturile respectiv 10, 9 şi 8. flaţi împărţitorul.. eterminaţi numerele naturale în baza 10 de forma 14 ab divizibile cu: a) şi 5; b) 3 şi 5; c) şi 3; d) 5 şi Să se arate că dacă n / 1, atunci n + / Să se determine numerele naturale prime de forma abc ştiind că a b c = Să se afle numerele naturale a, b, c ştiind că: ab = 48; ac = 60 şi bc = flaţi numerele naturale x şi y ştiind că: a) ( + 1 )( y+ 3) = 56 b) ( x + 4 )( y+ 6) = 48. x ; 7. rătaţi că numărul N = este divizibil cu: a) 4; b) 10; c) 11; d) 11. Test 1 1. flaţi valoarea logică a afirmaţiei: Pentru orice număr natural n, numărul n n+3 + este număr prim. ( ) 13. flaţi c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al numerelor: a) 10; 360; 540; 480; b) 3400; 5780; 1190; c) 130; 650; 910; 600; d) 00; 600; 900; 1800; Numerele 45 şi 367 împărţite la acelaşi număr natural dau resturile 5 şi respectiv 7. flaţi împărţitorul. 0

8 L G E R Ă LS a VII-a Mulţimea numerelor raţionale. Modul. Ordonare. Operaţii. Ecuaţii în. Probleme I. ompletaţi spaţiile punctate. Test 6 1. Rezultatul calculului este egal cu Rezultatul calculului : este egal cu a 3. Fie mulţimile: = { 3, +4, +}, = { 1, +3}. Mulţimea = a, b = { }. b 4. acă x = 3, atunci x { } intre numerele raţionale a = 3,01011 şi b = 3,01101 mai mare este numărul Se dă mulţimea = ; 1,3();0; ; ; ; ;. = { } II. Scrieţi rezolvările complete Se consideră mulţimea: = ; ( 5) ; 7,5; 0;1 ; ; ; 15; 0,(17); 5, a) Scrieţi în ordine crescătoare elementele mulţimii ; apoi, reprezentaţi-le pe axă. b) Efectuaţi: Í; Ù; \ Ù; \ Ð + ; Ð; \ Ð ; \. x 3 1 a) 0,5= 0,(3); b) 3 3 = + ; c) (x ) x+ 3 = x ; 3 4. Rezolvaţi în : x ( x ) d) x 3 = 1 ; e) x = 9 4 ; f) 3x = alculaţi: a) ; b) 5 4 : ; c) [,7 + 0,(3) ]: ( 0,5) + : ; 6 39 d) (,15 + 3,0 1,47) : [( 0,) 3 + ( 0,3) 0,8]; e) + + ; f) 3 : alculaţi: a) x x 3 + x, pentru x < 0. ( ) ( 1) n+1 4 n b) + ( 1) ( 5) ( 1) n ; c) n( n+ 1). 3

9 L G E R Ă LS a VIII-a Numere reale. Í Ù Ð Ñ. Modulul unui număr real. ompararea şi ordonarea numerelor reale. proximarea numerelor reale Test 41 I. ompletaţi spaţiile punctate. 1. intre numerele 7 5 şi 5 7 mai mare este numărul..... Numărul 19 aproximat prin adaos la o sutime este egal cu acă x + y + 3 = 0, unde x, y, atunci x =, y =. 4. acă x = x, unde x, atunci x. 5. acă n < 3+ 5 < n + 1, unde n, atunci n =. 6. acă ( x 3) = 4, unde x, atunci x { }. II. Scrieţi rezolvările complete Fie mulţimea: = 5; 5; ; ; 1,(3); 0,1(); 4; 3; 1,3; ; Scrieţi elementele mulţimilor: = {x / x }; = {x / x }; = {x / x }; E = {x / x ~ }; F = {x / x ~ }.. Reprezentaţi pe axă, numerele: a) ;,75; 1,5; 3,5; b) 1; 5; 3 ; ; ; c) 7 ;,5; 1,96 ; 6 ; 8; 10 ; 1 ; omparaţi numerele: a) 5 şi 7 ; b) şi ; c) 3 şi 81 ; 3 5 d) 1 şi 3; e) 39 cu 6,41; f) 9 cu 4 5 ; g) 15,46 cu alculaţi: a) rădăcina pătrată a numărului 7 cu aproximaţie de o zecime prin lipsă; b), 37 cu zecimale exacte şi faceţi proba; c) cu aproximaţie de o zecime prin adaos alculaţi: a) : ; b) x + ( x 1) + x 3x, pentru x= ; c) ( 3) ; d) x 1+ x + x, dacă x>. Test 4 1. a) eterminaţi numerele de forma 1988abc pătrate perfecte. b) rătaţi că 1995n şi 1995n+ 1998, oricare ar fi n.. flaţi valoarea de adevăr a propoziţiilor: a) 3 7 ; b) ; 5 c),3(4) ; 4 d) 5 10 \ ; e) 7 4 ; f) 0, (8) 9. 43

10 G E O M E T R I E LS a VI-a Punctul, dreapta, planul, semidreapta, segmentul de dreaptă, unghiul Test 65 I. ompletaţi spaţiile punctate. 1. Numărul dreptelor determinate de cele 6 puncte din fig. 1 este egal cu.... E F I F E H G Fig. 1 Fig.. Numărul semidreptelor conţinute în configuraţia geometrică din fig. este egal cu Valoarea de adevăr a propoziţiei: ouă drepte coplanare distincte sunt concurente sau paralele este Fie punctele coliniare,,, în această ordine. acă = 8 cm, = 7 cm şi = 17 cm, atunci =... cm, =... cm şi =... cm. 5. În fig. 3 avem: m( O) = 10, m( O) = 50, m( O) = 55. m( O) =.... Fig Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiei ouă unghiuri sunt congruente dacă au laturile congruente. O ( x + 40) 7. În figura alăturată unghiurile O și O sunt opuse la vârf. tunci x =.... II. Scrieţi rezolvările complete. 1. Se consideră cinci puncte distincte în plan. a) are este numărul maxim de drepte determinate de câte două din aceste puncte? b) Există poziţii ale celor 5 puncte astfel încât să fie determinate exact: 1) 4 drepte; ) 5 drepte; 3) 6 drepte; 4) 8 drepte?. Se consideră punctele coliniare,, M,, în această ordine, astfel încât = cm şi M este mijlocul segmentului []. Să se afle: a) ştiind că = şi = 10 cm; b), dacă = şi = 1,5 ; c) ştiind că şi sunt direct proporţionale cu 3 şi 4 iar M şi M sunt invers proporţionale cu 5 şi O (135 4 x)

11 LS a VII-a Patrulaterul convex. Paralelogramul. reptunghiul. Rombul. Pătratul Reţineţi! Patrulaterul convex cu laturile opuse paralele se numeşte paralelogram. Într-un paralelogram, au loc proprietăţile: i) () (), () (); ii) u u ; u u ; j) acă = {O}, atunci (O) (O), (O) (O). jj) acă = {O}, atunci O este centrul de simetrie al paralelogramului. acă în patrulaterul convex are loc una din condiţiile i), ii), j), jj), atunci patrulaterul este paralelogram. Paralelogramul cu un unghi drept se numeşte dreptunghi. Un paralelogram este dreptunghi dacă şi numai dacă are diagonalele congruente. Paralelogramul cu două laturi alăturate congruente se numeşte romb. Un paralelogram este romb dacă şi numai dacă are diagonalele perpendiculare (este ortodiagonal). Un paralelogram este romb dacă şi numai dacă o diagonală a sa este bisectoarea unui unghi al acestuia. reptunghiul cu două laturi alăturate congruente se numeşte pătrat. Test eterminaţi măsurile unghiurilor unui patrulater convex ştiind că acestea sunt direct proporţionale cu numerele prime cuprinse între 10 şi 0.. Perimetrul unui paralelogram cu = şi m(u) = 40 o este egal cu 30 cm. a) eterminaţi lungimile laturilor paralelogramului. b) acă M este mijlocul laturii, determinaţi măsurile unghiurilor triunghiului M. 3. Fie un paralelogram de centru O şi punctele M (, N ( astfel încât [M] [N] (M ). emonstraţi că: 1) N M; ) punctele M, O, N sunt coliniare şi [OM] [ON]. 4. Se consideră un paralelogram cu > şi m(u) = 45 o. Mediatoarea diagonalei intersectează dreptele şi, respectiv în E şi F. Stabiliţi natura patrulaterului EF. 5. În paralelogramul, m( ) < 90, se construieşte E şi F. Ştiind că F = {Q} şi E = {P}, să se demonstreze că patrulaterul QP este paralelogram. Test Fie un patrulater convex. Notăm cu M, N, P, Q mijloacele laturilor [], [], [] şi []. ompletaţi propoziţiile următoare: a) MNPQ este. b) acă este paralelogram, atunci MNPQ este... c) acă este dreptunghi, atunci MNPQ este. d) acă este romb, atunci MNPQ este.. e) acă este pătrat, atunci MNPQ este. f) acă MNPQ este pătrat, atunci [] şi [] sunt.. În dreptunghiul considerăm pe () punctul F astfel încât (F) (F), iar pe latura punctele M şi N astfel încât (N) (NM) (M). Să se arate că triunghiul FNM este isoscel. 65

12 5. Un tâmplar confecționează din lemn o cutie cubică '''' ca în figura din dreapta. Măsura unghiului măsurat de tâmplar dintre dreptele ' și ' este egală cu.... O 6. O cutie metalică are forma cubică și este reprezentată schematic în figura din stânga. Măsura unghiului dintre dreptele '' și 'O este egală cu. reaptă perpendiculară pe un plan. Teorema celor trei perpendiculare (T.3.). istanţa de la un punct la o dreaptă Reţineţi! ouă drepte a şi b în spaţiu se numesc perpendiculare dacă dreptele paralele duse printr-un punct M din spaţiu la ele sunt perpendiculare. O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte neparalele conţinute în acel plan. d O dreaptă perpendiculară pe un plan este perpendiculară pe orice dreaptă conţinută în acel plan. intr-un punct M se poate duce, pe un plan, o perpendiculară şi numai una. intr-un punct M se poate duce, pe o dreaptă, un plan perpendicular şi numai unul. acă a α şi b α, atunci a b. acă α d şi β d, atunci α β. (Teorema celor trei perpendiculare. T. 3.) P'' P' P c acă d α, a α, b α, a b, a b = {}, d α = {O}, c = P, P d, atunci c b. Observaţie: Notăm distanţa de la punctul M la dreapta a cu d(m,a). O a b Test Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiilor. O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă: a) este perpendiculară pe o dreaptă din acel plan; b) este perpendiculară pe două drepte din acel plan; c) este perpendiculară pe două drepte neparalele conţinute în acel plan.. Pe o faţă a unui cub se duce o dreaptă oarecare. âte feţe ale cubului sunt paralele cu dreapta dată? ar perpendiculare? 3. Fie pătratul de latură 10 cm. Se duce M () astfel încât M = 10 cm. alculaţi distanţele M, M şi aria triunghiului M. 4. Pe planul paralelogramului, de aceeaşi parte a planului lui se duc perpendicularele,,, astfel încât: = 10 cm, = 4 cm, = 8 cm, = 6 cm. rătaţi că: a) ; b) punctele,,, sunt coplanare. 84

13 PITOLUL II MOELE E TESTE PENTRU EVLURE NŢIONLĂ 015 Test 1 (Evaluarea Naţională, an şcolar , Varianta 8) Subiectul I (30p). Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului : 4 este egal cu.... (5p). Într-o urnă sunt 7 bile albe şi 3 bile albastre. Se extrage o bilă. Probabilitatea ca bila extrasă să fie albastră este egală cu.... (5p) 3. Trei kilograme de mere costă 7,5 lei. Patru kilograme de mere de aceeaşi calitate costă... lei. (5p) 4. Un dreptunghi are lungimea de 8 cm şi lăţimea egală cu 3 ' 4 din lungime. Lăţimea dreptunghiului este de... cm. (5p) 5. În figura 1 este reprezentată o prismă triunghiulară dreaptă ' ' ' care are toate feţele laterale pătrate. Măsura unghiului dintre dreptele ' şi ' este egală cu.... (5p) Fig În tabelul de mai jos este prezentată repartiţia elevilor unei şcoli după notele obţinute la un concurs. Note mai mici decât 5 5 5,99 6 6,99 7 7,99 8 8,99 9 9,99 10 Nr.de elevi Numărul elevilor care au obţinut o notă mai mică decât 7 este egal cu.... SUIETUL al II - lea (30 de puncte) Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete 1. esenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf V şi bază. (5p). eterminaţi perechile de numere naturale (a, b) pentru care are loc egalitatea a 1 3 =. (5p) b Preţul unui televizor s-a mărit cu 10%. upă un timp, noul preţ al televizorului s-a micşorat cu 10%. upă aceste două modificări televizorul costă 1980 lei. eterminaţi preţul iniţial al televizorului. (5p) 4. Se consideră funcţia: f :, f (x) = x +. a) Reprezentaţi grafic funcţia f. (5p) b) eterminaţi coordonatele punctului care are abscisa egală cu ordonata şi aparţine graficului funcţiei f. (5p) 5. rătaţi că numărul a= ( 3+ ) ( 5 6) + ( 1) 3 3 este natural. (5p) 100 ' ' (5p)

14 RĂSPUNSURI, INIȚII, SOLUȚII, OMENTRII apitolul I. REPITULRE ȘI PROFUNRE Test 1. I II. 1. a) 7; b) 1; c) a) 0; b) 38500; c) 81; d) a = 8; b = 9; c = ; 137; 146; 36; 45. Test. I = II. 1. a) 8; b) 8; c) a) 56; b) 10; c) (a,b) {(,15), (13,4)} copii şi 1000 lei. 6. ( ) + ( ) ( ) = 668. Test 3. I n , de unde 9 3 n 991 şi 3 n 30. eci există 30 = 8 de numere. 3. a = 350 : 70 = , 153, 156, a = 49 şi b = 56. eci b II a) 8; b) şi U(a) = 3, deci a nu este pătrat perfect Km/h. 6. = {150, 15, 154, 156, 158}. = {400, 410,, 490, 405, 415,, 495}; = {170}; = {7; 474; 676; 878}. Test 4. I. 1. = {1,, 3, 7, 8, 9, 10}. = {, 7} {, 4}; {, 5}; {; 6}; {4; 5}; {4, 6}; {5, 6} {0,, 4, 6, 8} , 1, sau 3. II. 1. a) F; b) F; c) F; d) ; e) F.. 1 de numere. 3. U(N) = 7 etc ; 13 sau 3, 4, 5, 6, Test şi ; ; 3 n n + 1 dacă n este par; = 3 6 ( ) = = = (3 3 10) ; ( 5 4 ) = (5 4 14) a) 7; b) 5; c) 0; d) 3; e) 10; f) 3; g) 3; h) orice număr natural nenul; i) ; {7}; {8}; {9}; {7; 8}; {7; 9}; {8; 9}; {7; 8; 9}. 6. = {0; 1; ; 3}; = {1; ; 3; 4; 5}; = {0; 1; ; 3; 4; 5} etc. Test b;. a; 3. b; 4. d; 5. a; 6. c; 7. a; 8. d; 9. a; şi 45; 11. = {0, 1,, 3, 4}; = {1,, 3, 4, 5, 6}; = {0, 1,, 3, 4, 5}; = {0, 1,, 3, 4, 5, 6}; = {0, 1,, 3, 4}; \ = {0}; \ = {6}. 1. a) 47; b) 45; c) 83. Test 7. I. 1,, de pomi de lei , ,75. II ; ; ; ; ; ; ;. 4. a) 1,, 4. b) 1,, 4; c), 3, 5, 9; d) 1,, 3, 7; e) a) ; ; ; ; ; ; b) ; ; ; ; ; ; ; ; c) ; ; ; ; ; ; ;. 6. a) 1; ; 3; 4; b) 3; 4; 5; 6; 7; c) ; Test 8. I. 567 de lei.. a {1,, 3, 4, 5, 6}. 3.,04 = 4, n = n {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8} , II. 1. a),99; 3,007; 3,045; 3,45; 3,461; 3,501; 4,07. b) 7,311; 7,31; 13 7,319.. a) 1,95; b),9617; c) 3 145; d) 4 050, 5; e) 0,000301; f) 0,14; g) , şi 33, hl. 5. plicaţi principiul cutiei. 6. ; ; ; ; ; Test a) 15; b) 11; c) 36; d) 3; e) ; f) nu are soluţie.. 5 ani şi 35 ani. 3. a) 001; b) ; c) 371, e exemplu: 5,681; 5,683; 5, = {3, 5, 6, 8} şi = {3, 5, 6, 11} sau = {3, 5, 6, 1, 10} sau = {3, 5, 6,, 9} sau = {3, 5, 6, 4, 7} ,75 kg m şi 975 m. 8. a),1 m; b) 016 hl. Test 10. I. 1. a) 0,00 km; b) 0 dm; c) 0,4 dam; d) 3 m.. a) 400 g; b) 4,7 kg; c) 50 dag; d) 0,0 kg. 3. a) cm ; b) ha; c) 0,04 ari; d) dm. 4. a) cm 3 ; b) dm 3 ; c) 0, dam 3 ; d),5m a) 700 cl; b) 17 dl; c) 0,4 l; d) 180 dl. 6. a) 1000 l; b) 0,017 hl; c) 4 l; d) 0,0045 m 3 ; e) 1 78 cm 3 ; f) 0, dam 3 ; g) 0,00055 m 3 ; h) 0, dam a) 1,05; b) 1, a) 50,48; b) 80,55; c) 33,8. 9. a) 000,006; b) 0,594; c) a) i) 0'56''; ii) 5,6' = = 13536''; b) i) '5''; ii) 73 40'1'' 9 53'49'' = 7 99'7'' 9 53'49'' = 43 46'3''; iii) '. II l.. 41,875 l ,4 kg pe o parte a gardului cm. 5. a) rumul cel mai scurt trece în ordine prin localitățile: - - F - - M - N. rumul are lungimea egală cu = 38 km. b) ( ) : 55 + (7 + 9) : 64 = + 1 = 13 ore = 39 ore = 39 de minute

15 ' 10 ' 4 4 Fig. 1 Fig. c) iagonala prismei are lungimea egală cu = 15 < 196 = 36, deci în cutie nu încape o vergea (rigidă) cu lungimea de 36 cm (fig. ). Test 5. I ;. x. atunci x ( ; 1]; 3. (; 0). 4. r = 10 dm = 5 dm; 5. 3 l 3 = 4 = 7 3 implică l = 36 deci l = 6 cm; 6. 45% 800 = 360 de elevi. II a) = 18 (puncte). b) Fie x numărul de întrebări la care trebuie răspuns corect pentru a fi admis. Se obţine relaţia 5x (40 x) > 100, de unde x > 5 5, adică el trebuie să răspundă corect la cel puţin 6 de 7 a+ b= 1 întrebări.., G f conduce la relaţiile f ( 1) = 1 şi f (1) = 5, de unde sistemul cu a + b = 5 1 soluţia a = şi b = 3. Prin urmare, f(x) = x in x+ = 6 x rezultă că x x + = 36 x x deci x 1 + = 34. III. 1. a) P = (N + F) = (58,5 + 40) = x M = 98,5 = 197 m. b) = 1,5 F + 1,5 N 1,5 = 1,5 ( ,5 1,5) = 1,5 97 = 145,5 m. = N F = 58,5 40 = 340 m. c) 145,5 60 lei = 8730 lei.. a) V = ' = 1 cm 3. b) Fie EF '', O (EF), E ' ' şi F ' ', MN şi ON ' ', unde M (), N (''). m( (O); ' ' ' )) = m( MON ), figura alăturată. În MN 1 triunghiul dreptunghic MNO se obţine tg( MON) = 4. ON = 0,5 = ' c) V = OO = 1 1 = 4m 3 = 4000 dm 3 = 4000 l = 40 hl. ' 3 3 Test 6. I. 1. x = 5;. falsă; 3. ( ; 15]; cm ; 5. 1 cm ; II.. acă notăm cu n un asemenea număr, atunci, conform teoremei împărţirii cu rest avem: n = 5 c + r, r < 5, deci r {1,, 3, 4} şi n = = 6; n = 5 + = 1, n = = 18, n = = a) Media aritmetică este egală cu 44 : = 1. b) Fie a şi b cele două numere naturale cu a > b. a+ b= 44 vem sistemul, care are soluţia a = 30 şi b = 104. a = 3b ( x) ( x 3)( x+ 3) ( x+ 1)( x x+ 1) E = + 3 x 3 x x+ 1 x 3 10 x ' ( x 1)( x x 1) 1 x 9 x x E( x) = + 3 ( x 3)( x x+ 1) ( x 3)( x x+ 1) 10 x N 4 ' E ' O ' F '