7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY

Transcript

1 7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity (ďalej len ŠTR) len rozširujúcim učivom. Preto si dovolíme výklad len fundamentálnych myšlienok ŠTR s intuitívnymi definíciami pojmov, bez striktných matematických odvodení, ale zato s veľkým množstvom ilustračných kvalitatívnych príkladov a analógií. K textom sú často pripájané doplňujúce poznámky historického, či motivačného charakteru a nemali by byť chápané ako ďalšie učivo vyžadované od študenta. Čitateľov, ktorí majú hlbší záujem, chcú si vedomosti rozšíriť a spresniť, zvládnuť podrobnejšie aj matematickú stránku ŠTR, resp. počítať zložitejšie úlohy, odkazujeme na množstvo dobrých učebníc a materiálov, ktoré možno získať v knižnici, či na Internete. Dobrým zdrojom informácii je aj server FYZIKUS. Úlohy k jednotlivým statiam nájdete tiež na tomto serveri. V tejto kapitole úlohy neuvádzame. 7.1 Úvod Špeciálna teória relativity (ŠTR) vznikla na začiatku 0. storočia a podobne ako kvantová fyzika patrí v súčasnosti k pilierom modernej fyziky. Na rozdiel od kvantovej fyziky je v podstate dielom jediného muža. Jej základy totiž publikoval v jednom z prestížnych fyzikálnych časopisov vtedajšej doby v roku 1905 ALBERT EINSTEIN, vtedy neznámy 6-ročný mladík a úradník z patentového úradu vo švajčiarskom Berne. ŠTR sa zaoberá opisom pohybu hmotných objektov a žiarenia. Priniesla nový a revolučný pohľad na čas a priestor. Dovoľuje nám úspešne opísať nielen pohyb objektov vôkol nás pohybujúcimi sa bežnými rýchlosťami, zlomkami rýchlosti svetla, ale aj rýchlosťami blízkymi 146

2 rýchlosti svetla, kde, ako ukazujú experimenty, newtonovská klasická fyzika a predovšetkým naša intuícia zlyháva. Slovo špeciálna v názve ŠTR nám signalizuje, že sa zaoberáme špeciálnym prípadom teórie relativity, v ktorom neuvažujeme prítomnosť gravitácie. Albert Einstein je aj tvorcom všeobecnej teórie relativity, ktorá dovoľuje analyzovať pohyb objektov a svetla v prítomnosti veľmi hmotných objektov. Náročnosť tejto teórie spočíva v tom, že nemáme žiadnu priamu, hmatateľnú skúsenosť s objektmi pohybujúcimi sa rýchlosťami omnoho väčšími ako je zlomok rýchlosti svetla. Nedostatok našich skúseností potom spôsobuje, že dôsledky ŠTR pre pohybujúce sa objekty, čas a priestor nám pripadajú ako mimoriadne čudné a nepochopiteľné, ako niečo proti zdravému rozumu. Historická poznámka Obr. 7-1 Albert Einstein Rok 1905 bol pre samotného Alberta Einsteina (obr. 7-1), ale aj fyzikálnu komunitu, zázračným rokom. Počas šiestich mesiacov tento dvadsaťšesťročný človek rozuzlil klbko protirečení vtedajšej fyziky. V marci 1905 formuluje hypotézu kvánt svetla neskôr nazvaných fotóny. V júni 1905 vo svojej práci K elektrodynamike pohybujúcich sa telies publikuje základy špeciálnej teórie relativity, čím zrovnoprávni mechaniku s elektromagnetizmom. V septembri 1905 pridáva k relativite najslávnejší dodatok obsahujúci najznámejšiu rovnicu fyziky E = mc aj s predpoveďou: Nie je vylúčené, že pravdivosť mojej teórie by mohli dokázať radioaktívne procesy, pri ktorých sa zásoby energie telies značne menia. Z roku 1905 pochádza aj Einsteinova teória Brownovho pohybu. 147

3 Neskôr po desiatich rokoch namáhavej práce dokončil (1916) asi najkrajšiu zo všetkých fyzikálnych teórií všeobecnú teóriu relativity. V rokoch 1911 až 1913 Einstein pôsobil ako profesor teoretickej fyziky v Prahe. Odtiaľ odišiel do Zürichu, neskôr sa stal členom Pruskej akadémie vied a bol riaditeľom fyzikálneho ústavu v Berlíne. Tam pracoval takmer 0 rokov. Po nástupe nacistov k moci sa demonštratívne vzdal členstva v Pruskej akadémii vied a odcestoval do USA. Žil a pracoval až do konca svojho života v Princetone. 7. Priestor a čas v klasickej mechanike Klasická mechanika vznikla v 17. storočí najmä zásluhou Galileiho a Newtona. Newton zhrnul všetky vtedy známe poznatky o pohybe telies do troch zákonov, ktoré mali veľký význam. Boli základom presných výpočtov pohybu planét aj návrhov rôznych mechanizmov používaných v praxi. Zdalo sa, že princípy, podľa ktorých sa svet riadi, boli objavené raz navždy a na predstavách o priestore a čase použitých pri ich formulácii nebude už treba nič meniť. Pripomeňme si teraz niektoré poznatky klasickej mechaniky, najmä poznatky o priestore a čase. Polohu telesa v priestore opisujeme vždy vzhľadom na ostatné telesá, t. j. vzhľadom na istú vzťažnú sústavu. V tejto sústave si volíme istú súradnicovú sústavu zvyčajne s tromi navzájom kolmými osami. Polohu bodu v priestore určujeme potom pomocou troch súradníc x, y, z. To, čo nastane v určitom mieste priestoru v istom okamihu, nazveme udalosťou. Môže to byť napríklad rozsvietenie alebo zhasnutie baterky, dopad častice do istého miesta na stene. Každú udalosť charakterizujeme štvoricou veličín x, y, z, t, pričom prvé tri určujú miesto a t určuje čas, v ktorom sa udalosť stala. Keď v danej súradnicovej sústave nastanú dve udalosti v rovnakom mieste, nazývajú sa súmiestne. Keď v danej sústave nastanú dve udalosti v rovnakom čase, hovoríme o súčasných udalostiach. Súčasnosť a súmiestnosť je viazaná na určitú súradnicovú sústavu. Opis pohybu telies je najjednoduchší v inerciálnych vzťažných sústavách, v ktorých platí prvý Newtonov pohybový zákon: Telesá, na 148

4 ktoré nepôsobia vonkajšie sily, zostávajú v pokoji, alebo sa pohybujú rovnomerne priamočiaro. Takéto súradnicové sústavy sa nazývajú inerciálne. Ak je S inerciálna sústava, tak každá sústava S', pohybujúca sa vzhľadom na S rovnomerne a priamočiaro, je tiež inerciálnou sústavou. V klasickej mechanike predpokladáme, že čas je absolútny, to znamená, že plynie rovnako rýchlo vo všetkých vzťažných sústavách. To zodpovedá aj našej skúsenosti. Keď cestujeme vlakom, prechádzame najskôr zo sústavy spojenej so Zemou do sústavy spojenej s vlakom a späť do sústavy spojenej so Zemou. Po vystúpení z vlaku si nemusíme posúvať ručičky hodiniek vo vlaku plynul čas rovnako rýchlo ako na Zemi. Nezávislosť plynutia času od vzťažnej sústavy vedie tiež k absolútnosti súčasnosti. Keď sú dve udalosti, ktoré sa stali v rôznych miestach, súčasné v jednej sústave, budú súčasné aj vo všetkých ostatných vzťažných sústavách. Rovnako absolútne sú aj vzdialenosti. Ak je v jednej vzťažnej sústave v určitom čase vzdialenosť dvoch telies napr. 10 m, potom táto vzdialenosť bude 10 m aj v každej inej vzťažnej sústave. V klasickej fyzike hmotnosť telesa nezávisí od veľkosti rýchlosti, ktorou sa teleso pohybuje. Preto veľkosť rýchlosti telesa môže byt' principiálne ľubovoľne veľká. Vyplýva to z druhého pohybového zákona F = ma. Keď pôsobí stála sila F dostatočne dlho, zväčšuje sa veľkosť rýchlosti telesa neobmedzene. Princíp skladania rýchlostí je v klasickej fyzike jednoduchý. Ak sa napr. pohybuje vlak vzhľadom na stanicu rýchlosťou veľkosti v a vo vlaku sa v smere jeho pohybu pohybuje človek rýchlosťou veľkostí u' (vzhľadom na vlak), potom rýchlosť tohto človeka vzhľadom na stanicu má veľkosť u = v + u' (1) Uvažujme o dvoch inerciálnych vzťažných sústavách S a S' (obr. 7-), ktoré sa navzájom pohybujú rovnomerne priamočiaro. V čase t = t' = 0 osi oboch sústav splývajú. Sústava S sa vzhľadom na S pohybuje stálou rýchlosťou v v kladnom smere osi x. Sústava S sa vzhľadom na S' pohybuje opačným smerom rýchlosťou v v smere osi x. Keď v sústave S' 149

5 nastane nejaká udalosť so súradnicami x', y', z', t', potom pozorovateľ v sústave S priradí tejto udalosti súradnice x, y, z, t, pričom platí x = x' + vt, y = y', z = z', t = t' () Zo vzťahov () vidíme, že čas plynie v oboch sústavách rovnako. Vzťah () sa nazýva Galileiho transformácia. Udáva prechod od súradníc udalostí v jednej sústave k súradniciam v druhej sústave a naopak. 150 Obr. 7- Znázornenie dvoch inerciálnych súradnicových sústav Vo vyučovaní fyziky v 1. ročníku ste sa oboznámili s mechanickým (Galileiho alebo klasickým) princípom relativity: Vo všetkých inerciálnych vzťažných sústavách platia rovnaké zákony mechaniky. Pomocou pokusov z oblasti klasickej mechaniky nemožno odlíšiť jednu inerciálnu sústavu od druhej. Z hľadiska zákonov mechaniky sú všetky inerciálne sústavy úplne rovnocenné. Všetky poznatky klasickej mechaniky sú časťami jedného celku. Ak sa ukáže, že jedno jediné z týchto tvrdení treba zmeniť, potom treba zmeniť aj ostatné. A presne toto sa stalo po vzniku teórie relativity. Historická poznámka Všimnite si ako GALILEO GALILEI opísal princíp relativity: Uzavrite sa s niektorým so svojich priateľov do kajuty v podpalubí veľkej lode a zoberte zo sebou muchy, motýle a inú lietajúcu háveď. Zoberte zo sebou aj nádobu s vodou, v ktorej plávajú ryby. Zaveste fľašu, z ktorej kvapká voda do nádoby postavenej pod ňou. Keď vaša loď stojí na mieste, pozorne sledujete, že hmyz lieta vo

6 všetkých smeroch rovnakými rýchlosťami. Ryby plávajú úplne ľubovoľne, a nedávajú prednosť žiadnemu smeru. Kvapky padajú do nádoby pod fľašou. Ak hodíte niečo svojmu priateľovi, potom musíte vynaložiť vo všetkých smeroch rovnaké úsilie, ak hádžete na rovnakú vzdialenosť. Ak sa odrazíte oboma nohami, preletíte vždy rovnakú vzdialenosť v ľubovoľnom smere Potom dajte povel, aby sa loď začala pohybovať ľubovoľnou rýchlosťou, ale rovnomerne a bez otrasov. V žiadnom z predchádzajúcich dejov nezistíte najmenšiu zmenu a podľa žiadneho deja nezistíte, či sa loď pohybuje, alebo stojí na mieste. 7.3 Vznik špeciálnej teórie relativity V druhej polovici 19. storočia vypracoval JAMES CLERK MAXWELL (džejms klark meksvel, ) ucelenú teóriu elektromagnetických javov. Táto teória neobsahovala mechanické veličiny. Pripomeňme si Φ napríklad zákon elektromagnetickej indukcie U i =. Vidíme, že sa t v ňom neuvažuje o žiadnych časticiach alebo silách, ktoré medzi nimi pôsobia. Z Maxwellovej teórie tiež vyplynulo, že svetlo je elektromagnetickým vlnením. Všetky vtedy známe vlnové deje boli vlnením určitého prostredia (vlny na vodnej hladine, zvukové vlny a pod.). Preto sa fyzici domnievali, že aj svetlo musí byť vlnením nejakého prostredia, ktoré nazvali éter. Tento éter by musel mať pozoruhodné vlastnosti. Musel by byť v celom vesmíre (inak by k nám nepreniklo svetlo zo vzdialených hviezd). Musel by byt' ľahko priestupný (inak by brzdil pohyb Zeme okolo Slnka) a svetlo by sa v ňom muselo šíriť rýchlosťou c. Viacerí fyzici, vrátane Maxwella, sa usilovali vymyslieť mechanické modely éteru, ale nepodarilo sa im to a časom sa ustálilo presvedčenie, že elektromagnetické javy nemožno vysvetliť pomocou mechaniky. Inerciálna sústava spojená s éterom by sa odlišovala od všetkých ostatných inerciálnych sústav. Pomocou experimentov so šírením svetla by potom bolo možné zistiť rýchlosť každej inerciálnej sústavy vzhľadom na éter. Pre šírenie svetla by neplatil mechanický princíp relativity. Skutočne, keď sa Zem pohybuje v istom smere vzhľadom na éter rýchlosťou v a zo Zeme vyšleme svetelný signál v tom istom smere, bude rýchlosť signálu vzhľadom na éter c a vzhľadom na Zem c v. Signál 151

7 vyslaný v opačnom smere by sa vzhľadom na Zem pohyboval rýchlosťou c + v (obr. 7-3). Keďže Zem sa pohybuje okolo Slnka rýchlosťou 30 km s 1 približne po kruhovej trajektórii, fyzici očakávali, že Zem sa pohybuje približne takouto rýchlosťou aj vzhľadom na éter. 15 Obr. 7-3 Zem letí éterom rýchlosťou v a svetlo sa pohybuje vzhľadom na éter rýchlosťou c Koncom 19. storočia uskutočnili fyzici viacero pokusov, v ktorých sa snažili odmerať zmeny rýchlosti svetla vzhľadom na Zem spôsobené pohybom Zeme vzhľadom na éter. Všetky výsledky však boli negatívne, svetlo sa vo všetkých smeroch šírilo vzhľadom na Zem rovnakou rýchlosťou c. Dnes je tento fakt o konštantnej rýchlosti svetla potvrdený i prácou medzinárodného časového systému atómových hodín aj pokusmi vo fyzike elementárnych častíc a v jadrovej fyzike (obr. 7-4a, b). Obr. 7-4 a) Rádioaktívne jadro, ktoré je v pokoji vzhľadom na laboratórium, vysiela žiarenie pohybujúce sa rýchlosťou c vzhľadom na laboratórium b) žiarenie vysielané pohybujúcim sa jadrom má vzhľadom na laboratórium zasa rýchlosť c Konštantná rýchlosť svetla ukazuje, že ani pomocou experimentov so šírením svetla nemožno odlíšiť jednu inerciálnu sústavu od druhej. Na vysvetlenie experimentálnych výsledkov, ktoré poukazovali na konštantnú rýchlosť šírenia svetla, sa vyslovilo koncom 19. storočia viacero hypotéz, ale žiadna z nich nepomohla hlbšie pochopiť tento jav. Najvhodnejším sa napokon ukázal Einsteinov prístup: fyzikálny fakt o rovnakej rýchlosti svetla vo všetkých inerciálnych sústavách bol

8 prijatý ako základný postulát, z ktorého vyplýva, že pomocou svetelných dejov nemožno odlíšiť jednu inerciálnu sústavu od druhej. Logickým výsledkom tejto analýzy bolo rozšírenie princípu relativity z mechanických, na všetky fyzikálne deje a vylúčenie pojmu éter z fyziky (éter by bol totiž v pokoji voči jednej inerciálnej sústave, ktorá by sa tým odlišovala od všetkých ostatných). Teória vybudovaná na týchto princípoch sa nazýva špeciálna teória relativity (ŠTR). Špeciálnou sa nazýva preto, že platí iba v inerciálnych sústavách. Teória je založená na dvoch postulátoch: 1. Princíp relativity: Vo všetkých inerciálnych sústavách platia rovnaké fyzikálne zákony. Všetky inerciálne vzťažné sústavy sú fyzikálne úplne rovnocenné. Neexistuje žiadna význačná absolútna sústava, preto nemožno žiadnymi fyzikálnymi pokusmi (mechanickými, optickými, ani inými), uskutočňovanými vnútri sústavy zistiť, či je táto sústava vzhľadom na inú sústavu v pokoji, alebo sa vzhľadom na ňu pohybuje rovnomerne priamočiaro. Princíp relativity platný v mechanike je tu rozšírený na všetky fyzikálne deje.. Princíp konštantnej rýchlosti svetla: Vo všetkých inerciálnych sústavách má rýchlosť svetla rovnakú veľkosť, nezávislú od rýchlosti zdroja svetla. Táto hodnota nezávisí od smeru šírenia svetla a od vzájomného pohybu svetelného zdroja a pozorovateľa. 7.4 Relatívnosť súčasnosti Postulát o konštantnej rýchlosti svetla vo vákuu je kľúčom ku všetkým zdanlivo podivným výsledkom teórie relativity aj k zmenám v našom chápaní priestoru a času. Treba zdôrazniť, že tento postulát je potvrdený všetkými doterajšími experimentálnymi údajmi. Ak vedie k podivným výsledkom, je to spôsobené tým, že tento postulát a fakty, ktoré ho potvrdzujú, nesúhlasia s tým, čo by sme očakávali podľa našej skúsenosti. Naša každodenná skúsenosť však vychádza zo znalosti pohybov s rýchlosťami oveľa menšími, ako je rýchlosť svetla c. Preto neprekvapuje, že pri rýchlostiach, ktorých veľkosť sa približuje k veľkosti rýchlosti svetla, sa objavuje niečo celkom nové. 153

9 Teraz objasníme, že princíp konštantnej rýchlosti svetla vedie k tomu, že súčasnosť dvoch udalostí je relatívna. To znamená, že dve udalosti súčasné v jednej vzťažnej sústave, už nebudú súčasné v druhej sústave. Nech je vzťažnou sústavou S priama trať (obr. 7-5). Sústavou S' je dlhý vagón, ktorý ide rovnomerne a priamočiaro po trati rýchlosťou v. Uprostred vagóna je signálna lampa Z a na oboch koncoch vagóna sú rovinné zrkadlá A, B. V istom okamihu signálna lampa blikne. Pozorovateľ vo vzťažnej sústave S' (vagón) zistí, že svetelný signál dopadne na obidve zrkadlá súčasne, lebo svetlo prebehlo v oboch prípadoch rovnaké vzdialenosti rýchlosťou c. Dve nesúmiestne udalosti sú z jeho hľadiska súčasné. 154 Obr. 7-5 Vzťažná sústava S' je spojená s pohybujúcim sa vagónom, sústava S je v pokoji vzhľadom na nástupište V sústave S (trať) však pozorovateľ na trati zistí, že signály nedopadnú na obe zrkadlá súčasne. Svetlo sa v jeho sústave šíri v oboch smeroch tiež rýchlosťou c. No zrkadlo A sa posunulo počas šírenia svetelného signálu z miesta A do miesta A' (bližšie k zdroju), kým zrkadlo B sa vzdialilo do miesta B' (ďalej od zdroja). Z toho je zrejmé, že pre pozorovateľa na trati dôjde svetlo k zrkadlu A skôr ako k zrkadlu B. Pre tohto pozorovateľa obe udalosti nie sú súčasné. Analyzujme teraz podrobnejšie, čo vidí pozorovateľ v sústave S spojenej s traťou. Dĺžku vagóna označí L. Čas t 1 za ktorý svetlo dôjde k prednej stene vagóna, bude daný rovnicou ct 1 = L + vt 1 kde ct 1 je dráha, ktorú prejde svetlo za čas t 1, L je vzdialenosť prednej steny od zdroja v čase, keď bol signál vyslaný a vt 1 je vzdialenosť, ktorú

10 prejde predná stena za čas medzi vyslaním signálu a jeho dopadom na prednú stenu. Z rovnice dostaneme L t 1 = c v Podobne pre čas, za ktorý dopadne signál na zadnú stenu, dostaneme rovnicu ct = L vt, z ktorej L t = c + v Zrejme t < t 1 a dopad signálu na prednú a zadnú stenu vagóna nebude v sústave S súčasný. Súčasnosť dvoch udalostí je relatívna. O súčasnosti dvoch udalostí možno hovoriť iba vtedy, keď je daná vzťažná sústava. Ako súčasné sa môžu vo všetkých sústavách javiť iba udalosti, ktoré sú v nich tiež súmiestne. Tento zdanlivo paradoxný výsledok je spôsobený tým, že veľkosť rýchlosti svetla je v oboch sústavách rovnaká. O sebe a o teórii relativity Einstein raz povedal: Niekedy sa ma pýtajú, ako som vytvoril teóriu relativity. Myslím, že dôvod je v nasledujúcom: Normálny dospelý človek nikdy nepremýšľa o problémoch priestoru a času. O takých veciach sa premýšľa len v detstve. Môj duševný vývoj bol zrejme spomalený, a tak som začal uvažovať o priestore a čase až v dospelom veku. Prirodzene sa mi podarilo preniknúť do problému hlbšie ako dieťaťu s normálnymi schopnosťami 7.5 Vzťažná sústava a synchronizácia hodín Ak chceme určovať miesto a čas jednotlivých udalostí, potrebujeme definovať v danej inerciálnej sústave priestorové súradnice a čas. Najjednoduchšie si definíciu súradníc predstavíme ako husté pravouhlé trojrozmerné lešenie, zhotovené z pevných jednotkových tyčí. Všetky tyče v danej sústave sa nachádzajú v pokoji. V každom bode, kde sa tyče spájajú (v uzle), je umiestnená tabuľka so súradnicami tohto uzla 155

11 a sú tam umiestnené aj hodiny. Všetky hodiny sú zhotovené úplne rovnako a pred ich rozmiestnením po uzloch lešenia výrobca starostlivo skontroloval, že všetky hodiny idú rovnako rýchlo. Takúto sústavu tyčí a hodín vidíte na obr Teraz príde to najdôležitejšie. Musíme hodiny 156 Obr. 7-6 Mriežka meracích tyčí osadených hodinami, ktorá môže byť len myslenou. nastaviť tak, aby boli synchronizované. Urobíme to tak, že na každé hodiny postavíme maličkého pozorovateľa (inteligentného mravca alebo niečo iné). Pozorovateľa, ktorý je pri hodinách v mieste x = 0, y = 0, z = 0 nazveme hlavný pozorovateľ. Pozorovateľ v mieste s priestorovými súradnicami x, y, z pozná aj svoju vzdialenosť od hlavného pozorovateľa, r = (x + y + z ) 1/. Nastavenie všetkých hodín v sústave sa uskutoční podľa nasledujúcej inštrukcie. V istom (ľubovoľnom) okamihu hlavný pozorovateľ nastaví na svojich hodinách čas t = 0, spustí svoje hodiny a vyšle svetelný signál. Keď svetelný signál dorazí k pozorovateľovi vo vzdialenosti r, tento pozorovateľ nastaví svoje hodiny na čas t = r/c, kde c je rýchlosť svetla a spustí ich. Ak je lešenie konečné, po istom čase sú všetky hodiny spustené. Predpokladáme, že lešenie je dostatočne husté. Každej udalosti v danej inerciálnej sústave vieme potom priradiť súradnice x, y, z a čas t. Súradnicou je to x, y, z, ktoré je napísané na najbližšom uzle (lešenie je husté) a čas t je to, čo ukazujú hodiny v tomto uzle. Synchronizáciu hodín sme urobili pomocou svetelného signálu, pretože vieme, že svetlo sa v každej inerciálnej súradnicovej sústave šíri všetkými smermi rýchlosťou c.

12 Pre každé dve udalosti vieme povedať, či sú v danej súradnicovej sústave súčasné alebo nie. Ak má prvá udalosť súradnice x 1, y 1, z 1 a čas t 1 a druhá udalosť má súradnice x, y, z a čas t, udalosti budú súčasné, ak t 1 = t a nebudú súčasné, ak t 1 t. Synchronizácia hodín v danej súradnicovej sústave vyzerá celkom prirodzene a je v súlade so zdravým rozumom. Ak ju ale spojíme s postulátom o tom, že rýchlosť svetla je v každej (inerciálnej) súradnicovej sústave rovnaká, dostaneme sa k tvrdeniam, ktoré nie sú v súlade so zdravým rozumom. Vráťme sa k situácii, ktorú sme spomínali pri obr Povedali sme tam, že dopad svetelného signálu na prednú a zadnú stenu vagóna bude súčasný v sústave spojenej s vlakom, ale nebude súčasný v sústave spojenej so stanicou a nástupišťom. Argument, ktorý sme tam použili bol jednoduchý a správny, ale hlbšia príčina je v tomto: s vlakom, ktorý sa pohybuje rýchlosťou v vzhľadom na stanicu je spojená inerciálna sústava. V nej sú hodiny synchronizované tak, ako sme to práve opísali. So stanicou je spojená druhá inerciálna sústava a hodiny sú synchronizované tiež tak, ako sme to opísali. V oboch prípadoch sme pri synchronizácii použili tú istú rýchlosť svetla c, pretože svetlo sa šíri rovnakou rýchlosťou v každej súradnicovej sústave. Prípad s dopadom svetla na prednú a zadnú stanu vagóna ale naznačuje, že naše nastavenie hodín v oboch sústavách vedie k tomu, že dve udalosti, ktoré sa odohrali na dvoch rôznych miestach a boli súčasné v jednej súradnicovej sústave (vlaku), nie sú súčasné v inej sústave (stanica). 7.6 Interval Uvažujme v určitej inerciálnej sústave dve udalosti. Prvá z nich nastala v mieste x 1, y 1 = 0, z 1 = 0 a v čase t 1, druhá nastala v mieste x, y = 0, z = 0 a v čase t. Predpokladajme, že t > t 1, x > x 1. Výraz s = c (t t 1 ) (x x 1 ) (1) nazývame intervalom. V ŠTR má táto veličina osobitné postavenie. Predpokladajme najprv, že s = 0. V tom prípade vieme, čo tieto dve 157

13 udalosti môže spájať. Ak s = 0, potom c(t t 1 ) = x x 1 Odtiaľ vidíme, že tieto dve udalosti môžme spojiť svetelným signálom. Signál vyslaný z (x 1, t 1 ) dorazí do miesta x v čase t. V inerciálnej sústave S' pohybujúcej sa vzhľadom na S rýchlosťou v v smere osi x by obe udalosti mali priradené iné súradnice a iné časy. Pre prvú udalosť by sme mali súradnice x' 1, y' 1 = 0, z' 1 = 0, a čas t' 1, pre druhú udalosť by sme dostali x', y' = 0, z' = 0, t'. Skutočnosť, že obe udalosti sú (alebo môžu byť) spojené svetelným signálom, je ale fyzikálny fakt, ktorý musí platiť v každej súradnicovej sústave a rýchlosť svetla je rovnaká v oboch sústavách, takže musí platiť s' = c (t' t' 1 ) (x' x' 1 ) = 0 () V špeciálnom prípade s = 0 je hodnota intervalu v každej súradnicovej sústave rovnaká. Ukazuje sa, že interval, tak ako sme ho definovali, má rovnakú hodnotu v rôznych inerciálnych sústavách aj vtedy, ak sa nerovná nule. Ukážme to na jednoduchom príklade. Keď sme hovorili o synchronizácii hodín, nehovorili sme o konštrukcii hodín. Najjednoduchší typ hodín je na obr zrkadlo odrážajúce sa svetlo zrkadlo Obr. 7-7 Svetelné hodiny Hodiny sa skladajú z dvoch zrkadiel, vzdialených od seba o dĺžku L. Medzi zrkadlami sa pohybuje svetelný lúč a vždy, keď dopadne na jedno zo zrkadiel (napríklad na dolné), urobí tik a toto tiknutie sa zaznamená 158

14 na číselníku hodín. Predstavme si teraz, že sme v sústave, v ktorej sú hodiny v pokoji. Jeden tik bude trvať časový úsek L τ = c Teraz si predstavme, že sme v laboratórnej sústave, v ktorej sa hodiny pohybujú smerom vpravo rýchlosťou v. Tyč spájajúca dve zrkadlá je kolmá na obidve zrkadlá a kolmá aj na smer pohybu hodín. Obr. 7-8 Budeme predpokladať, že aj v našej laboratórnej sústave sa vzdialenosť dvoch zrkadiel rovná L. Na obr. 7-8 je zobrazený chod svetelného lúča v laboratórnej sústave odtiaľ ľahko dostaneme cτ ( ct ) x L x = + = + (ct) (x) = (cτ) V sústave spojenej s hodinami všetky tiky sa uskutočňujú na jednom mieste. Ak odraz svetla od dolného zrkadla považujeme za udalosť A a nasledujúci dopad za udalosť B, bude sa interval medzi týmito udalosťami v sústave spojenej so zrkadlom rovnať (cτ). V laboratórnej sústave (vzhľadom na ktorú hodiny letia rýchlosťou v, bude x B x A = x, t B t A = t a interval sa bude rovnať (ct) (x). Práve sme ukázali, že hodnota tohto intervalu je rovnaká v oboch sústavách. Dôležité je to, že rovnosť hodnôt intervalov platí nezávisle od rýchlosti v. Hodnota intervalu teda 159

15 bude rovnaká v každej inerciálnej sústave, vzhľadom na ktorú hodiny letia rýchlosťou v v smere osi x. Poznámka V našom prípade bola hodnota intervalu kladná. Môžu existovať aj dvojice udalostí, pre ktoré je hodnota intervalu záporná. Aj v takom prípade sa hodnota intervalu nemení pri prechode z jednej inerciálnej sústavy do inej. S tým sa tu ale nebudeme podrobnejšie zaoberať. 7.7 Dôsledky invariantnosti priestoročasového intervalu Úvodná poznámka Podľa teórie relativity sa svetlo pohybuje vždy konštantnou rýchlosťou. Ďalším nezvyčajným dôsledkom ŠTR je to, že žiadny materiálny objekt nesúci energiu, alebo hmotnosť (v ľubovoľnej inerciálnej sústave) sa nemôže pohybovať rýchlosťou väčšou ako c = m s 1. Prečo? V roku 1945 uviedli na Pensylvánskej univerzite do prevádzky prvý elektronický číslicový počítač ENIAC. Počítač dosiahol 000-krát väčšiu rýchlosť pri vykonávaní operácií ako predchádzajúce elektromechanické zariadenia, lenže zaberal plochu úctyhodných 140 m, bolo v ňom elektrónok a relé a vážil asi 30 ton. Po objavení tranzistorov a integrovaných obvodov nastala revolúcia vo zvýšení výkonov počítačov aj v ich miniaturizácii, ktorej svedkami sme dodnes. Rozmery sa zmenšili natoľko, že dnes máme počítače, ktoré si môžeme uložiť do dlane, pričom výkon takého počítača oveľa presahuje výkon 30 tonového dinosaura počítačov. Ukazuje sa však, že zmenšovanie veľkosti počítača nie je módnym výstrelkom, ale nevyhnutnosť. Obmedzenia na veľkosť počítačov dáva práve spomínaný dôsledok ŠTR, že nič nemôže ísť rýchlejšie ako svetlo. Ako konkrétne ovplyvňuje tento dôsledok veľkosť počítača? Priestoročasový interval aj jeho invariantnosť sú vyjadrené rovnicou (cτ) = (ct) x. Táto rovnica patrí k najjednoduchším, ale aj k najprekvapujúcejším rovniciam fyziky. Prečo? Pozrime sa na jej veľmi nezvyčajné dôsledky. Kvôli konkrétnej predstave budeme vždy demonštrovať tieto dôsledky na dvoch sústavách: vašej pohybujúcej sa rakete a našom laboratóriu na Zemi, z ktorého pohybujúcu raketu pozorujeme. 160

16 Dôsledky Naťahovanie dilatácia času. Sledujeme dve udalosti. Udalosť A odchod rakety zo Zeme a udalosť B príchod ku hviezde Proxima Centauri. Nech z pohľadu laboratória x je vzdialenosť (vzdialenosť hviezdy a Zeme), ktorú prešla raketa za čas t rýchlosťou v. Pre kozmonauta obe udalosti A, B nastali na tom istom mieste a nameria medzi nimi preto vlastný čas τ. Z invariantnosti intervalu (cτ) = (ct) x vidíme, že laboratórny čas t musí byť iný a keďže x > 0 je čas t dlhší ako čas τ. Tomuto dôsledku preto hovoríme dilatácia (naťahovanie) času. Z pohľadu Zeme hodiny kozmonauta idú pomalšie ako hodiny na Zemi. Rýchlosť svetla je najväčšou možnou pre materiálne objekty. Ak raketa letí rýchlosťou v prešla z pohľadu laboratória vzdialenosť x = vt. Po dosadení vt za x do vzorca pre priestoročasový interval máme: (cτ) = (ct) (vt), čo po úprave dáva = v τ t 1 (1) c Predstavme si, že by vaša raketa dosiahla rýchlosť väčšiu ako je rýchlosť svetla: v > c. Potom v/c (a tiež v /c ) by malo hodnotu väčšiu ako jedna a výraz 1 v /c v (1) by bol záporný. Lenže to by znamenalo, že druhá mocnina τ je záporná, ale to nie je možné, pretože žiadne reálne číslo, žiadny reálny čas nemôže po umocnení dať zápornú hodnotu. Vzorec (1) sa píše ešte v jednej známejšej podobe: t = τ v 1 c Ak je rýchlosť v menšia ako c, tak v /c je menej ako 1 a všetko je v poriadku. Navyše z (1) vidíme opäť dilatáciu času. Pretože 1 v /c je tiež menej ako 1, vzťah (1) dáva τ < t, resp. τ < t. 161

17 Skracovanie kontrakcia dĺžok. Vieme, že z pohľadu Zeme raketa preletela rýchlosťou v vzdialenosť vt, ktorú sme označili x (vzdialenosť Zem Proxima Centauri). Naopak kozmonaut vidí, že jeho raketa stojí a proti nemu letí hviezda rýchlosťou v. Podľa jeho hodiniek k nemu priletí hviezda za čas τ, a preto pritom prekoná vzdialenosť vτ, ktorú označíme x' (je to aj vzdialenosť Zem hviezda z pohľadu kozmonauta). Keďže v dôsledku dilatácie času je čas τ menší ako vlastný čas t, je x' = vτ menej ako x = vt. Tomuto dôsledku hovoríme kontrakcia (skracovanie) dĺžky. Dosadením za τ môžeme tento jav zachytiť aj vzorcom: x = = v ( vτ ) v t 1, resp. c = v x x 1 c () Pre malé rýchlosti je ŠTR v súlade s klasickou fyzikou. V prípade v v malých pre nás bežných rýchlostí je a hlavne c c omnoho menšie v ako 1. Vtedy je 1 c približne 1 a podľa rovnice (1) by sa čas τ približne rovnal t a podľa () by nebol tiež prakticky žiadny rozdiel medzi x' a x. Pri malých rýchlostiach je ŠTR v súlade s našou každodennou skúsenosťou, a preto, či sme v pohybe alebo v pokoji nameriame rovnaký čas medzi danými udalosťami a aj rovnaké vzdialenosti medzi objektmi. Priestor a čas sú vzájomne previazané a tvoria neoddeliteľný priestoročas. Čas τ, ktorý nameral kozmonaut, kým doletel zo Zeme na hviezdu, podľa invariantnosti intervalu (cτ) = (ct) x závisí nielen od času medzi týmito udalosťami, ale aj od vzdialenosti, kde tieto udalosti z pohľadu Zeme nastali. Obdobne to platí aj o priestore. Preto v ŠTR nikdy nehovoríme o čase a priestore osobitne, ale vždy dokopy ako o priestoročase. Relatívnosť súčasnosti. Ide o jeden z dôsledkov ŠTR, jeho príčinou je to, že každá inerciálna sústava má svoju synchronizáciu. S relatívnosťou súčasnosti sme sa už zaoberali. 16

18 7.8 Niektoré paradoxy ŠTR Veľký Websterov výkladový slovník 18) uvádza dva významy slova paradox : 1. tvrdenie alebo návrh, ktorý vyzerá ako vnútorne protirečivý alebo absurdný, ale v skutočnosti môže byť pravdivý,. názor alebo tvrdenie, ktoré protirečí všeobecne uznávaným názorom. V slovníku je uvedené, že slovo pochádza z gréčtiny, pričom parádoxos znamená neuveriteľný, doslova mimo viery. Špeciálna teória relativity spočíva na postuláte, potvrdenom experimentom, že svetlo sa v každej inerciálnej sústave šíri rovnakou rýchlosťou c nezávisle od toho akou rýchlosťou sa pohybuje zdroj svetla. Tento postulát je v rozpore so zdravým rozumom, a preto nie je prekvapujúce, že špeciálna teória relativity vedie k paradoxom. Spomenieme tu niekoľko paradoxov a upozorníme aj na nesprávne pochopenia niektorých myšlienok ŠTR 19). Ďalšie paradoxy a nesprávne interpretácie tvrdení ŠTR nájdete na serveri FYZIKUS. Paradox dvojčiat Narodia sa dvojčatá a žijú až do svojho dvadsiateho roku normálnym životom a samozrejme sú rovnako staré. Prvé dvojča potom odchádza na výpravu do kozmu, pričom jeho kozmická loď sa niekoľko rokov pohybuje rýchlosťou blízkou rýchlosti svetla. Potom sa vráti na zem, kde sa stretne so svojím dvojčaťom. Ukáže sa, že dvojča astronaut je oveľa mladšie ako dvojča pozemšťan. Podrobnosti argumentu sú trocha zložité, pretože kozmická loď zrýchľuje, mení smer a spomaľuje a vtedy sústava s ňou spojená nie je inerciálna. Teória relativity ale skutočne vedie k tomuto tvrdeniu. Ilustrácia tohto tvrdenia je na obr ) Obdobné vysvetlenie nájdete v každom slovníku cudzích slov. 19) Dokonca aj slovné spojenie teória relativity býva často zavádzajúce a nepochopené, takže z úst laikov počujeme slová Podľa teórie relativity je všetko relatívne! Sám Albert Einstein sa názvu teória relativity dlhé roky vyhýbal. Je pravdou, že vzájomne pohybujúci sa pozorovatelia vnímajú inak čas a priestor, čiže tieto veci sú relatívne, lenže táto vlastnosť nie je základnou vecou relativity. To, čo nazývame teóriou relativity, je založené na fundamentálnom princípe princípe relativity, že zákony prírody nezávisia od voľby pozorovateľa. Tieto zákony nie sú relatívne, sú rovnaké pre každého. 163

19 Experimenty vo fyzike elementárnych častíc to jednoznačne potvrdzujú. Ak sa stredný čas života určitej nestabilnej častice v jej pokojovej sústave rovná τ 0 (jej vlastný čas), potom v sústave, v ktorej sa táto častica pohybuje rýchlosťou v bude jej stredný čas života τ daný vzťahom τ 0 τ = v 1 c Pohybujúca sa častica teda žije dlhšie, t. j. starne pomalšie. Predstavme si, že sme vyprodukovali dva mióny μ, jeden pribrzdili a druhý voviedli do urýchľovača, kde sme ho nechali cirkulovať s rýchlosťou blízkou rýchlosti svetla. Potom by sme vyviedli mión z urýchľovača a zabrzdili. Mión cestovateľ by bol mladší ako mión necestovateľ. Paradox tyče a garáže 164 Obr. 7-9 Ilustrácia paradoxu dvojčiat. Dvojčatá po návrate astronauta Garáž má rýchlo sa zatvárajúce dvere na oboch stranách (obr. 7-10). Dĺžka garáže je L G. Vedľa garáže je tyč s dĺžkou L T, pričom tyč sa do garáže nezmestí, pretože L T > L G. Odmerať dĺžku tyče a dĺžku garáže nie

20 je problém. Obidve sú v pokoji a dĺžky zmeriame tak, ako sme zvyknutí merať dĺžku predmetov. Tyč teraz pripevníme na raketu, raketa aj s tyčou získa rýchlosť blízku rýchlosti svetla. V sústave spojenej s garážou sa dĺžka tyče skráti na hodnotu v T = LT 1 L G L < c Keď sme povedali, že letiaca tyč má určitú dĺžku je užitočné si uvedomiť, čo presne máme na mysli. Predpokladajme, že tyč letí pozdĺž osi x a súradnicová sústava, v ktorej je garáž v pokoji, je synchronizovaná tak, ako sme to už opísali. Pri meraní dĺžky letiacej tyče by najprv hlavný pozorovateľ zistil, že tyč priletí v určitom čase, napríklad o 1,00. Potom by vydal pokyn: Všetci pozorovatelia na osi x, vedľa ktorých sa bude 5 sekúnd pred 1,00 (podľa ich vlastných hodín) nachádzať tyč, zdvihnú modrú zástavku. Potom by vydal ďalší príkaz: Každý pozorovateľ, ktorý má zdvihnutú zástavku a má dvoch susedov so zdvihnutou zástavkou, dá zástavku dolu. Po tomto príkaze držia zástavku hore už len dvaja pozorovatelia. Hlavný pozorovateľ si vyžiada ich súradnice x, odčíta údaje, a tým bola dĺžka tyče zmeraná. Všimnite si, že dĺžka tyče bola zmeraná ako rozdiel súradníc jej krajných bodov v určitom čase v sústave spojenej s garážou. Pre určenie dĺžky letiacej tyče je preto podstatná synchronizácia hodín v sústave, v ktorej jej dĺžku meriame. Na garáži otvoríme obidvoje dvere, necháme tyč vletieť do garáže a keď je tyč vnútri, dvere zavrieme. Tým sme dostali tyč, ktorá je dlhšia ako garáž (ak sú obe v pokoji) do vnútra garáže. Môžeme sa ale pokúsiť opísať veci v sústave spojenej s letiacou tyčou. Poznamenajme, že táto sústava má inú synchronizáciu hodín, a preto v nej veci vyzerajú inak. V tejto sústave má tyč dĺžku L T. Garáž sa v tejto sústave pohybuje rýchlosťou v a jej dĺžka sa skráti na v G = LG 1 L T L < c V tejto sústave sa tyč do garáže nedostane. Paradox spočíva v tom, že v jednej sústave (sústava spojená s garážou) sa tyč zmestí do vnútra 165

21 garáže, v druhej (sústava spojená s tyčou) sa už nezmestí. Opis udalostí v oboch sústavách si tým zdanlivo protirečí. Vysvetlenie paradoxu je v tom, že termín zmestiť sa do závisí od definície súčasnosti. Pod spojením tyč sa zmestí do garáže máme na mysli to, že obidva konce letiacej tyče sú zároveň v garáži. Ale súčasnosť je relatívna, a to čo je súčasné v jednej sústave už nie je súčasné v druhej sústave. Takže to, že v jednej sústave sa tyč do garáže zmestí a v druhej nie, nie je problém. Podstatné je, že výsledok procesu musí byť v oboch sústavách navzájom konzistentný. Ak sa napríklad niečo rozbije pri opise v jednej sústave, musí sa to rozbiť aj v druhej a pod. Situácia v obidvoch sústavách je na obr Obr. 7-10a Obr. 7-10b Garáž a rýchlo letiaca tyč Garáž a tyč v sústave spojenej s garážou v sústave spojenej s tyčou Poďme teraz opísať proces v oboch sústavách. Predpokladajme najprv, že dvere garáže sú slabé a tyč ich ľahko prerazí. V sústave spojenej s garážou budú udalosti opísané takto: skrátená letiaca tyč vletí do garáže, dvere sa súčasne (v sústave spojenej s garážou) zavrú, tyč prerazí zadné dvere garáže a vyletí von. V sústave spojenej s tyčou, letí naproti tyči skrátená garáž. Keď je predný koniec tyče v garáži, zadné dvere garáže sa zavrú, predný koniec tyče ich rozbije a tyč sa pohybuje ďalej. Predné dvere garáže sú ale stále otvorené. Trik je v tom, že dvere sa zatvárali súčasne v sústave spojenou s garážou. Súčasnosť je relatívna, a preto sa dvere v sústave spojenej s tyčou nebudú zatvárať súčasne. Predné dvere garáže sa zavrú až potom, keď zadný koniec tyče bude v garáži. V obidvoch sústavách máme 166

22 rovnaký konečný stav. Tyč preletela zadnými dverami garáže, v ktorých urobila dieru, predné dvere garáže ostali nepoškodené. Ak je stena garáže pevná a tyč ju neprerazí, v obidvoch sústavách dostaneme tiež ten istý výsledok. V sústave spojenej s garážou tyč vletí do garáže a oboje dvere sa zavrú. Tyč narazí na zadné dvere, začne sa lámať a spomaľovať. Tým sa tyč predlžuje a narazí zvnútra aj na predné dvere. V sústave spojenej s tyčou sa najprv otvoria predné dvere garáže. Zadné dvere garáže narazia na predný koniec tyče. Tyč sa začne lámať a pohybovať, garáž letí ďalej prakticky nezmenenou rýchlosťou a predné dvere garáže sa zatvoria až vtedy, keď je celá tyč vnútri. V časticovej a jadrovej fyzike je bežné, že sa interakcie častíc a jadier opisujú v rôznych súradných sústavách. Napríklad zrážku dvoch jadier A, B môžeme opísať v súradnej sústave spojenej s jadrom B. V danom okamihu v sústave B bude situácia vyzerať ako na obr. 7-11a. Obr. 7-11a Zrážka jadier A a B v sústave spojenej s jadrom B Obr. 7-11b Zrážka jadier A a B v sústave spojenej s jadrom A. Jadro B, ktoré je v pokoji (v tejto sústave) má tvar gule, jadro A, ktoré sa pohybuje má rozmery v smere pohybu skrátené. V tejto sústave v určitom okamihu môže byť jadro A vnútri jadra B. V sústave spojenej s jadrom A vyzerajú rozmery jadier ako na obr. 7-11b a v tejto sústave má jadro A tvar gule, zatiaľ čo jadro B je sploštené. 167

23 Samozrejme, môžeme zrážku jadier opisovať aj v sústave, v ktorej sa obe jadrá pohybujú a potom sú v nej obe sploštené. Na urýchľovači SPS sa študujú od roku 1986 až podnes (003) zrážky rôznych jadier až po olovo-olovo (Pb-Pb), pričom jadro terčíka je v pokoji a jadro dopadajúceho zväzku má energiu GeV (každý nukleón v 08 Pb má energiu 160 GeV). Na urýchľovači RHIC v Brookhavene v USA sa od roku 000 študujú zrážky proti sebe letiacich zväzkov jadier, pričom každý nukleón v jadre má energiu 100 GeV. Zrážky sa opisujú bežne v rôznych sústavách a pri plnom rešpektovaní vzťahov platných v špeciálnej teórii relativity. Priame pozorovanie splošťovania jadier sa v týchto experimentoch nesledovalo, ale nepriamo sa splošťovanie prejaví v tom, aká je hustota energie častíc, ktoré vzniknú v zrážkach jadier. A tá je v súlade so splošťovaním jadier podľa špeciálnej teórie relativity. Paradoxy teórie relativity často zvádzajú niektorých ľudí k pokusom o vyvrátenie Einsteina. Ono by to znelo hrdo, keby sa vravelo, že pán X. Y. vyvrátil špeciálnu teóriu relativity. Fyzici, najmä tí, ktorí používajú špeciálnu teóriu relativity v každodennej práci ako úplne štandardný nástroj si o tom myslia svoje a zväčša nemajú čas a chuť komentovať články takýchto vyvracačov Einsteina. Občas na ne niekto našťastie reaguje. Pozri napr. článok Vladimíra Baleka v časopise Quark. Jednu rozprávku o vyvracaní ŠTR nájdete na serveri FYZIKUS. 7.9 Hybnosť a energia v ŠTR Úvodná poznámka ŠTR je neodmysliteľnou súčasťou časticovej fyziky (fyziky elementárnych častíc). Hľadanie odpovedí je pre časticového fyzika jedným z najväčších dobrodružstiev. Z istého pohľadu pripomína jednu obrovskú, ale aj mimoriadne náročnú detektívku. Prečo? Predstavte si, žeby vašou úlohou bolo zistiť a opísať na akom princípe pracujú dedkove náramkové hodinky. Poviete si: ak by sme hodinky otvorili, postupnou analýzou zistíme, ako zapadá jedno koliesko do druhého, ako pružinka roztáča celý mechanizmus koliesok atď. Po istom čase by bolo možné pochopiť ako zhruba tieto hodinky fungujú. Lenže hodinky 168

24 odolávajú všetkému náradiu. V každom prípade je tu možnosť riešiť problém hrubou silou. Buď kladivo alebo hodíte hodinky z celej sily o zem! Hodinky síce povolia, ale štúdium hŕby koliesok a niekedy aj úlomkov je nezávideniahodná úloha, horšia ako hľadať ihlu v kope sena. A práve v takejto situácii sú časticoví fyzici. Jediným spôsobom ako odhaliť vlastnosti hmoty, resp. elementárnych častíc je ostreľovať nimi rôzne terčíky alebo sledovať zrážky proti sebe idúcich zväzkov častíc (to zodpovedá hádzaniu hodiniek oproti sebe). Dokonca je tu jedna ďalšia komplikácia. Pri veľkých rýchlostiach vzniká v zrážkach obrovské množstvo nových častíc. (Pri hodinkách nové kolieska nevznikajú!). Preto časticový fyzik (ako Sherlock Holmes) študuje pri zrážkach mimoriadne komplikované situácie a diagramy. Našťastie príroda poskytuje fyzikom jednu užasnú jednoduchosť. Ak fyzik zráta energiu a hybnosť častíc pred a po zrážke, hodnota týchto veličín sa nemení. Nech by bola zrážka akákoľvek zložitá. Experimenty však ukázali, že pri týchto výpočtoch nie je možné použiť klasický výraz mv pre hybnosť či (1/)mv pre kinetickú energiu, ale ich relativistické verzie. Ako vyzerajú relativistické verzie energie a hybnosti? Definícia hybnosti a energie Uvažujme elementárnu časticu (napr. elektrón), ktorá sa pohybuje konštantnou rýchlosťou v v laboratóriu v nejakom urýchľovači. Podľa klasickej (Newtonovej) fyziky má hybnosť tejto častice veľkosť 0) : x p = mv = m (1) t kde pod x rozumieme vzdialenosť, ktorú prešla pohybujúca častica za čas t. Vzdialenosť x a čas t, môžu predstavovať z pohľadu laboratória napr. priestorovú a časovú vzdialenosť dvoch udalostí vyžiarení dvoch zábleskov svetla časticou, ktoré nastali po sebe. Môžeme si všimnúť, že Newtonova mechanika používa na definíciu hybnosti zmenu polohy x a čas t medzi udalosťami, pričom je táto definícia založená na predpoklade, že čas t v laboratóriu je univerzálnou veličinou, rovnakou pre všetkých pozorovateľov. Lenže z predchádzajúcej stati vieme, že podľa ŠTR vďaka dilatácii času laboratórny čas t medzi 0) Opäť nebudeme kvôli jednoduchosti zápisu používať symbol na rozdiel súradníc. Presnosti chtivý čitateľ si ho vo všetkých vzorcoch iste doplní bez problémov do všetkých rovníc, ak to potrebuje. 169

25 dvomi udalosťami nemá rovnakú hodnotu. Invariantom ŠTR je však vlastný čas τ, ktorý namerajú hodinky, ktoré si nesie elektrón 1). Z tohto poznatku vychádza ŠTR. Hybnosť definujeme takto x p = m () τ Využitím vzorca pre dilatáciu času τ = t 1 v / c a faktu, že rýchlosť v = x/t dostávame relativistický výraz pre hybnosť: x p = m alebo v t 1 c p = mv (3) v 1 c Veličina m je vo všetkých týchto vzorcoch hmotnosť častice meraná v jej sústave, teda v pokoji podobne ako jej vlastný čas τ. Niektorí autori (aj stará učebnica) označujú túto hmotnosť m 0 a výraz m0 / 1 v / c sa chápe ako relativistickú hmotnosť m, ktorá sa mení v závislosti od vzťažnej sústavy. Tým si hybnosť (3) zachováva svoj newtonovský tvar p = mv. Nárast hybnosti však možno chápať nie ako dôsledok nárastu hmotnosti, ale skôr ako prejav vlastností priestoročasu, pretože podľa vzorca () vlastný čas τ spôsobuje prídavný faktor 1/ 1 v / c. Pod označením m pritom chápeme z tohto pohľadu vždy len jednu hmotnosť, a to hmotnosť častice meranú v jej vzťažnej sústave, ktorá je pre všetkých pozorovateľov invariantom (podobne ako vlastný čas τ). Vo fyzike elementárnych častíc je bežnejšia táto druhá symbolika, ktorej sa budeme pridŕžať. Celkovú energiu častice E (vzhľadom na laboratórium) definujeme ako E = mc t = τ mc v 1 c (4) 1) Samozrejme, že elektrón nenosí žiadne hodinky. Myslíme tým hodinky pozorovateľa, ktorý sa pohybuje spolu s elektrónom, pričom elektrón je vzhľadom na pozorovateľa v pokoji. Skrátene povedané myslíme tým hodinky v sústave elektrónu. 170

26 Poznámka Práve uvedené definície hybnosti a energie častice v ŠTR sa vám možno vidia ako niečo veľmi umelé a čudné. Nevieme tu podrobne vysvetliť prečo sú prirodzené, ale aspoň to naznačíme. V geometrii v rovine sú súradnice určitého bodu M(x, y, z) zložkami vektora, ktorý spája začiatok súradnicovej sústavy s bodom M. Ak otočíme nejako tento vektor, dostaneme nový vektor so zložkami (x', y', z'), pričom všetky vektory sa pri rovnakej rotácii transformujú rovnako. Dĺžka vektora r sa pri rotácii nemení. Veličina, ktorá by mala zložky (x/r, y/r, z/r), by bola tiež vektorom, a to práve preto, že v menovateli v jednotlivých zložkách je veličina, ktorá sa pri rotáciách nemení. V ŠTR sa pri prechode z jednej do druhej inerciálnej sústavy správa sústava veličín (ct, x, y, z) ako štvorvektor. Ako štvorvektor sa správa aj sústava veličín (E/c, px, py, pz). Veličina τ sa pri prechode z jednej inerciálnej sústavy do druhej nemení, a preto je v definíciách hybnosti a energie v menovateli. Čo vyplýva z týchto definícií? Energia, hmotnosť a hybnosť sú v ŠTR vzájomne previazané. Ak vychádzame z invariantnosti priestoročasového intervalu (cτ) = (ct) x, predelíme túto rovnicu vlastným časom τ a násobíme m c dostaneme: ( ) t x mc = mc m c τ Prvý člen na pravej strane je celková energia E, druhý člen súčin hybnosti a rýchlosti pc, preto E, p a m sú navzájom previazané fundamentálnou rovnicou, ktorá platí nielen pre častice, ale aj pre žiarenie ) : τ (mc ) = E (pc) (5) ) Keďže v relativite sú čas a priestor previazané intervalom, bolo vhodné (dokonca nevyhnutné) zaviesť pojem priestoročasu. Vzťah (5) dáva dokopy energiu, hybnosť. J. A. Wheeler jeden z najväčších relativistov minulého storočia (mimochodom vymyslel napríklad názov čierna diera) navrhol pre energii a hybnosť názov hybenergia, podobne ako v prípade priestoru a času priestoročas. Časová zložka hybenergie je energia a priestorová hybnosť (možno to vidieť zo vzorcov (4) a (3), kde vystupuje vo vzorci pre hybnosť x a energiu t). 171

27 Pokojová energia častice je daná jej hmotnosťou. Ak je častica v pokoji, jej hybnosť p je nulová a rovnica (5) dáva pre pokojovú energiu najslávnejšiu rovnicu fyziky: E pokoj = mc (6) Rovnica nám prezrádza, že každá častica vo vesmíre je potenciálnym zdrojom energie. Jadrová elektráreň, či žiarenie Slnka sú nápadné, ale aj nesmierne dôležité príklady premeny pokojovej energie na užitočnú energiu pre ľudstvo. Pritom nastáva pri uvoľnení energie v súlade so vzorcom (6) k ekvivalentnému úbytku hmotnosti. Premena hmotnosti na energiu nastáva pri hocijakej reakcii, pri ktorej sa uvoľňuje energia (napr. obyčajná horiaca zápalka). Nesmieme však zabúdať, že rovnica (6) platí len pre pokojovú energiu, inak musíme použiť vzorec (4). Kinetická energia je daná rozdielom celkovej a pokojovej energie. Ak častica nie je v pokoji (p 0), tak zo vzorca (5) (mc ) = E (pc) vidíme, že celková energia musela vzrásť. Potom rozdiel celkovej a pokojovej energie je prirodzené nazývať kinetickou energiou E k = mc v 1 c mc (7) Platnosť zachovania relativistickej energie a hybnosti: Nové verzie energie a hybnosti sa zachovávajú pri ľubovoľných rýchlostiach. Ak pri experimentoch v urýchľovačoch spočítame celkovú energiu všetkých častíc pred a po zrážke (použijeme vzorec (4) pre každú časticu), tak jej hodnota sa nezmení. Podobne aj pre hybnosť. Objekt s nenulovou hmotnosťou nemôže ísť rýchlosťou svetla. Z invariantnosti priestoročasového intervalu vieme, že žiadny materiálny objekt nemôže prekročiť rýchlosť svetla. Z celkovej energie (4) pre časticu s nenulovou hmotnosťou vyplýva, že čím je rýchlosť v častice bližšia c, tým sa viac menovateľ vzorca blíži k nule a energia začína rásť nad všetky medze, čo znamená, že na dosiahnutie rýchlosti 17

28 svetla by muselo získať nekonečnú kinetickú energiu. Tento dôsledok potvrdzujú aj stovky experimentov. Fyzici v Európe, v USA, resp. na celom svete spotrebúvajú milióny dolárov, aby postavili obrovské časticové urýchľovače, ktoré pomocou magnetických a elektrických polí dodávajú energiu elektrónom a protónom. Pri čoraz vyššej energii tieto častice dosahujú rýchlosti čoraz bližšie rýchlosti svetla, ale ani v jednom prípade nedošlo k tomu, aby túto rýchlosť prekročili. Doplňujúce poznámky Pre malé rýchlosti relativistické verzie energie a hybnosti sú v súlade s klasickou fyzikou. Pre malé rýchlosti v porovnaní s rýchlosťou svetla je totiž v /c omnoho menšie ako 1. Vtedy sa 1 v /c približne rovná 1 a podľa rovnice (3) p = mv. V prípade kinetickej energie (7) treba použiť približný vzorec 3) čím dostávame: (1 + x) n 1 + nx pre x << 1 1/ v 1 v 1 = mc 1 mc mc 1 mc mv + E k c = c V oboch prípadoch relativistické výrazy prešli na klasické výrazy pre hybnosť a energiu. Svetlo Z kvantovej fyziky vieme, že fotón je časticou svetla s konečnou energiou danou vzorcom E = hf. Podľa relativity sa vždy pohybuje rýchlosťou svetla c. Ak by mal nenulovú hmotnosť m, musela by mu patriť nekonečná energia. Preto musí mať nulovú hmotnosť (m = 0). Tento dôsledok ŠTR je podoprený aj experimentami. Napríklad poznatky astrofyzika nám hovoria, že hranica pre hmotnosť fotónu musí byť menšia ako kg. Pre fotón zostáva v platnosti fundamentálna rovnica (5), t. j. 0 = E (pc), z čoho vyplýva, že svetlo má nielen energiu, ale aj hybnosť veľkosti p = E/c. 3) Mocniteľ n môže byť ľubovoľné reálne číslo. 173

29 7.10 Špeciálna teória relativity vo fyzike elementárnych častíc Už v 70. rokoch boli urýchľovače protónov používané pri štúdiu vo fyzike elementárnych častíc schopné urýchliť protón tak, že jeho energia pri opustení urýchľovača bola 100 GeV. Akú mal takýto protón rýchlosť? V špeciálnej teórii relativity platí pre energiu častice vzťah E = mc (1) v 1 c pričom m je pokojová hmotnosť častice. Ak je častica v pokoji (alebo sa pohybuje malou rýchlosťou) a pôsobí na ňu sila F, bude platiť F = ma, kde a je zrýchlenie častice. Položme v rovnici (1) E = 100 GeV, mc = 0,938 3 GeV (o hmotnosti protónu sme už písali). Po jednoduchých úpravách z (1) dostaneme v c = mc 1 E 0,995 3 takže rýchlosť protónu je naozaj blízka rýchlosti svetla. 174 Obr. 7-1a Bublinová komora Gargamelle, ktorá stojí dnes na námestí Leon Van Hove v CERN-e pri Ženeve V 70. rokoch sa výsledky interakcií elementárnych častíc zaznamenávali na fotografických snímkach z bublinových komôr. Boli to nádoby s objemom niekoľko m 3, naplnené tekutým vodíkom alebo iným skvapalneným plynom pri teplote okolo 0 K ( 53 C). Tekutý vodík sa

30 pohybom veľkého piestu dostal do prehriateho stavu a pozdĺž dráhy nabitej častice vznikali centrá vyparovania vodíka (ióny) a vytvárali sa malé bublinky. Dráhy častíc sa takto dali nafotografovať na snímky v niekoľkých projekciách a potom sa rekonštruovali v priestore. Bublinová komora bola v magnetickom poli a častica, ktorá mala nenulový náboj, sa v ňom pohybovala po zakrivenej dráhe (ak častica nestrácala energiu, dráha bola kružnica). Dnes sa už bublinové komory používajú len veľmi zriedkavo, dráhy častíc registrujú komplikované detekčné systémy a priestorovú rekonštrukciu dráh urobia a obrázky nakreslia počítače. Bublinové komory sa stali skôr muzeálnou záležitosťou 4). Jednu z najslávnejších vidíme na v múzeu v prírode v CERN-e na obr. 7-1a. Obr. 7-1b Bublinová komora Gargamelle v čase keď pracovala Trocha zjednodušený obrázok toho, čo sa získavalo z bublinovej komory je na obr Povedzme teraz aspoň stručne, ako sa takéto snímky analyzovali. Stopu číslo 1 zanechá protón, ktorý vstupuje do nádoby s tekutým vodíkom. V mieste A sa dopadajúci protón zráža s protónom v jadre atómu vodíka a v tomto mieste vznikajú nové častice. Hybnosť častice je podľa špeciálnej teórii relativity daná vzťahom p = mv () v 1 c 4) Niektorí pamätníci tvrdia, že je to trocha aj škoda. Snímky z bublinových komôr prezerali v časticových laboratóriách scanning girls ; na týchto pracoviskách bývalo viac žien ako dnes. 175