TROŠKOVI U POSLOVANJU

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "TROŠKOVI U POSLOVANJU"

Transcript

1 Sveučilište u Zagrebu Rudarsko-geološko-naftni fakultet TROŠKOVI U POSLOVANJU EKONOMIKA NAFTNOG RUDARSTVA Doc. dr. sc. Daria Karasalihović Sedlar dkarasal@rgn.hr

2 Za obavljanje privredne djelatnosti poduzeće mora trošiti sredstva i predmete rada, tuñe usluge i ljudsku energiju, pritom treba paziti na troškove kako bi se održala profitabilnost.

3 POJAM TROŠKOVA Troškovi predstavljaju financijski iskaz vrijednosti ukupne količine proizvodnih čimbenika koji su potrebni za proizvodnju robe ili usluge. Sirovine, rad i kapital koji se troše u procesu proizvodnje prenose dio ili cjelokupnu svoju vrijednost na proizvod te tako postaju dio cijene proizvedene robe. 3

4 POJAM TROŠKOVA Za obavljanje gospodarske djelatnosti potrebno je trošenje tri temeljna elementa radnoga procesa: rada, predmeta rada i sredstava za rad. Njihovo trošenje može se iskazati u naturalnim ili novčanim pokazateljima. UTROŠAK - iskaz u naturalnim pokazateljima fizički izraz trošenja pojedinih elemenata, (sati rada strojeva, količina utrošenih materijala i sl.) TROŠKOVI - novčani izraz utroška pojedinih elemenata radnoga procesa. 4

5 ISPLATA- svaki izdatak gotova novca iz blagajne, nije bitna namjena isplate. Riječ "isplata" ukazuje da je novac prešao iz posjeda jedne osobe u posjed druge. IZDATAK- može značiti isto što i isplata ako se radi o izdavanju gotovine. Izdavati se mogu i druge stvari - npr. materijal, uvjerenja, potvrde itd. RASHOD- širi i općenitiji pojam od troškova. Vrijednost svih dobara koja se potroše ili na drugi način izgube u poslovanju poduzeća ili izvan njega. 5

6 DEFINICIJE TROŠKOVA Troškovi u užem smislu - omogućuju uvid i kontrolu, praćenje i analizu stvarnih troškova pojedinih elemenata u procesu rada. Troškovi u širem smislu - omogućuju realnu procjenu uspješnosti poduzeća. Za ilustraciju, ako poduzeće ne posluje uspješno, neće biti u stanju ostvarivati, npr. neposlovne rashode u obliku troškova za poboljšanje standarda svojih radnika. 6

7 VRSTE TROŠKOVA U poduzeću postoje različite vrste troškova i različite klasifikacije. Četiri su temeljne podjele troškova s obzirom na: trošenje pojedinih elemenata procesa rada (troškova rada, predmeta rada i sredstava rada), obračun i evidencija troškova po jedinici proizvoda i usluga (direktni i indirektni troškovi), ovisnost troškova o stupnju iskorištenja kapaciteta (fiksni i varijabilni troškovi) i mjesto nastanka i nositelja troškova (troškovi pojedinih dijelova poduzeća). 7

8 OSTALE PODJELE TROŠKOVA 1) Po prirodi njihova nastajanja troškovi sredstava za rad (amortizacija, održavanje, osiguranja, kamate, zajmovi) troškovi tuñih usluga troškovi angažiranih sredstava troškovi rada (plaće, materijal, sirovine, energija) troškovi ugovornih i zakonskih obveza. 8

9 OSTALE PODJELE TROŠKOVA 2) Po funkcijama u poduzeću troškovi upravljanja troškovi nabave troškovi proizvodnje i usluga troškovi prodaje troškovi financiranja 3) Po načinu snimanja i uračunavanju troškova u cijenu proizvoda i usluga Direktni Indirektni 9

10 OSTALE PODJELE TROŠKOVA 4) Prema ulasku u proizvodni proces Primarni - troškovi koji po prvi puta ulaze u proizvodni proces Npr. vrijednosno izražen utrošak materijala za izradu isplake kod bušenja. Sekundarni - troškovi koji po drugi puta ulaze u proces Npr. u cijenu izrade bušotine je uključena i cijena isplake. 10

11 OSTALE PODJELE TROŠKOVA 5) Prema složenosti Jednostavni - prirodni troškovi (originalni) Složeni - kombinirani od dvije ili više vrsta jednostavnih troškova Npr. opći troškovi uprave su složeni od više prirodnih vrsta. 11

12 OSTALE PODJELE TROŠKOVA 6) Prema načinu prikazivanja Ukupni = troškovi u masi - pokazuju najniži ukupni novčani izdatak koji je potreban da se proizvede svaka pojedina razina proizvodnje Q. Ukupni troškovi = fiksni troškovi + varijabilni troškovi UT = F + V Prosječni = troškovi po jedinici proizvoda Prosječni troškovi = UT / q broj proizvedenih jedinica (količina proizvodnje) 12

13 OSTALE PODJELE TROŠKOVA 7) Prema odnosu troškova i korištenja kapaciteta Fiksni = opći ili režijski troškovi, troškovi kapaciteta Varijabilni izdaci koji se mijenjaju s razinom proizvodnje Tisuća kn UT V F Proizvodnja Q 13

14 TROŠKOVI S OBZIROM NA TROŠENJE ELEMENATA PROCESA RADA Za poduzeće je najvažnija struktura troškova prema elementima procesa rada. Elementi koji se koriste u proizvodnom procesu: rad, predmeti rada i sredstva za rad. Svi se elementi troše, a vrijednosni iskaz tih troškova su troškovi proizvodnje. Kako se ovi troškovi pojavljuju u svakom proizvodu, najčešće se još nazivaju i prirodnim troškovima. Važno je da poduzeće posluje sa što manjim troškovima kako bi ostvarilo što veći prihod i niže cijene proizvoda ili usluga. 14

15 TROŠKOVI RADA Rad je sposobnost čovjeka da proizvodi upotrebne vrijednosti. Rad ima svrsishodnost i društveni karakter. Čovjek troši energiju koju prenosi u vrijednost novoga proizvoda ili usluge. Kada se za izvršeni rad dobije plaća to predstavlja trošak rada vrijednosno izražena ulaganja rada svih zaposlenih. Svaki rad predstavlja svjesnu djelatnost čovjeka i trošenje energije (fizičke i psihičke). Prije početka rada čovjek osmišljava plan svojih aktivnosti: planira, organizira, izvršava i nadzire aktivnost. 15

16 TROŠKOVI RADA Troškovi rada mogu znatnije djelovati na ukupne troškove. Veličina ovih troškova se može mijenjati pod utjecajem: visine plaće, proizvodnosti rada, kvalifikacijska struktura zaposlenih i slično. Visina plaća - temeljni čimbenik troškova rada. Plaće bi trebale osigurati egzistenciju zaposlenih, ali bi morala odgovarati i općoj proizvodnosti rada u društvu. Visoke plaće povećavaju troškove rada ukoliko nisu odraz odgovarajuće proizvodnosti rada. Niske plaće destimulativno djeluju na povećanje proizvodnosti rada iako mogu djelovati kao čimbenik sniženja troškova rada. 16

17 TROŠKOVI PREDMETA RADA Razlika pojmova troškovi materijala i materijalni troškovi. Troškovi materijala predstavljaju uži pojam, a materijalni troškovi obuhvaćaju i druge izdatke vezane uz poslovanje poduzeća. Predmete rada čine samo materijali za izradu i u potpunosti se troše u jednom proizvodnom ciklusu. Čimbenici koji značajnije djeluju na visinu troškova materijala su: cijena materijala, kvaliteta materijala i racionalno trošenje materijala. 17

18 TROŠKOVI SREDSTAVA ZA RAD Sredstva za rad - najveći dio osnovnih sredstava. Uz vrijednost zgrada čine, najveću vrijednost imovine poduzeća. U procesu rada i ova se sredstva troše i njihova vrijednost se prenosi na novi proizvod ili uslugu. Troškovi sredstava za rad imaju pojedinačno znatno veću cijenu od predmeta rada, duži vijek trajanja (više od jedne godine dana) i ne mijenjaju svoj oblik u procesu rada. 18

19 TROŠKOVI SREDSTAVA ZA RAD Na visinu troškova sredstava rada utječu: cijena i uvjeti nabave sredstava, visina amortizacije, tekuće i investicijsko održavanje, premije osiguranja itd. Važnost politike nabave. Troškovi amortizacija - zamjena sredstava za rad tekuće i investicijsko održavanje, osiguranje osnovnih sredstava. 19

20 DIREKTNI TROŠKOVI Direktni (pojedinačni) troškovi - koji se mogu obuhvatiti po mjestu nastanka troška, i po nosiocima troškova: materijal izrade (osnovni i pomoćni), energija i gorivo, osobni dohoci, amortizacija. 20

21 INDIREKTNI TROŠKOVI Indirektni (opći) troškovi - zajednički troškovi za više mjesta troškova ili više vrsta učinaka: opći troškovi izrade (pogonska režija), opći troškovi uprave i prodaje. Mjesta nastanka troškova su pojedini dijelovi poduzeća u kojima troškovi nastaju. Nosioci troška su pojedini učinci tj. proizvodi i usluge bez obzira na mjesta gdje su troškovi nastali. 21

22 FIKSNI TROŠKOVI Pokazuju ukupni novčani izdatak koji se plaća čak i kad nema proizvodnje. Nisu pod utjecajem promjene proizvodnje osim u slučaju promjene kapaciteta poduzeća Fiksni troškovi: najam zgrade i opreme, troškovi investicijskog održavanja amortizacija, režijsko osoblje kamate, premije osiguranja, itd. 22

23 FIKSNI TROŠKOVI Period costs (troškovi perioda) ili time costs (vremenski troškovi) Ukupni fiksni troškovi su konstantni (pravac paralelan s osi x) Prosječni fiksni troškovi imaju degresivan karakter (oblik hiperbole) Diferencijalni troškovi omjer promjene troškova i promjene korištenja kapaciteta. UT / % IK Podjela fiksnih troškova obzirom na iskoristivost iskorišteni i neiskorišteni 23

24 PODJELA FIKSNIH TROŠKOVA 1. Apsolutni fiksni troškovi nezavisni o iskorištenju kapaciteta. 2. Relativno fiksni troškovi - nastaju promjenom kapaciteta, odnosno opsega proizvodnje. trošak y y/q Ukupni fiksni troškovi relativni apsolutni proizvodnja Q Prosječni fiksni troškovi Q 24

25 Primjer FT= kn Q= kom. ft= 4 kn/kom Ako za isti vremenski period, uz iste FT proizvedemo kom. tada su ft= 5 kn/kom. Iskorišteni FT= kom. 4 kn/kom. = kn Neiskorišteni FT= kom. 1 kn/kom. = kn Ukupni FT = kn Poduzeće treba u što većem stupnju iskorištavati svoj kapacitet, u tom je slučaju utjecaj fiksnih troškova na ukupne troškove 25 manji.

26 VARIJABILNI TROŠKOVI Predstavljaju izdatke koji se mijenjaju s razinom proizvodnje. Tipični varijabilni troškovi su: materijal za izradu proizvoda plaće amortizacija pomoćni materijal i energija vezani neposredno za proizvodnju Podjela varijabilnih troškova: 1) Proporcionalno varijabilni troškovi - PT 2) Neproporcionalno varijabilni troškovi 26

27 PROPORCIONALNO VARIJABILNI TROŠKOVI Proporcionalni su sa stupnjem iskorištenja kapaciteta (opsegom proizvodnjom) - materijal za izradu, plaće. Konstantni su po jedinici proizvodnje pt = PT / Q = konst. Trošak y PT y/q pt Q Q 27

28 NEPROPORCIONALNO VARIJABILNI TROŠKOVI Degresivno - varijabilni troškovi DT- rastu sporije od stupnja iskorištenja kapaciteta (opsega proizvodnje). Pojavljuju se kod poduzeća koja su intenzivna sredstvima za rad (električne centrale, plinare, rafinerije i sl. i predstavljaju troškove ogrjeva, pomoćnog materijala itd.) Proizlaze iz nedovoljnog korištenja kapaciteta. 28

29 DEGRESIVNO VARIJABILNI TROŠKOVI - DT Trošak y DT y/q dt Proizvodnja Q Proizvodnja Q 29

30 PROGRESIVNO VARIJABILNI TROŠKOVI - PGT Rastu brže od opsega proizvodnje, Progresija V znak nenormalnih pojava u procesu proizvodnje - uvoñenje prekovremenog i/ili noćnog rada kada osjetno rastu osobni dohoci, troškovi rasvjete, grijanja.. Trošak y PGT y/q pgt Q Q 30

31 FIKSNI, VARIJABILNI I UKUPNITROŠKOVI Količina (000) Fiksni trošak Varijabilni tr. Ukupni trošk

32 FIKSNI, VARIJABILNI I UKUPNITROŠKOVI Ukupni troškovi Varijabilni troškovi Fiksni troškovi

33 UKUPNI TROŠKOVI I TOČKA POKRIĆA Količina (000) Ukupni trošk. Ukupni prihod Dobit/gubitak

34 Točka pokrića Ukupni prihod, troškovi Proizvodnja u

35 GRANIČNI ILI MARGINALNI TROŠKOVI Troškovi proizvodnje prve slijedeće jedinice proizvoda. Prosječni varijabilni troškovi izazvani u posljednjem sloju proizvodnje GT = UT/ Q Količina Fiksni trošak FT ($) Varijab. trošak VT ($) Ukupni trošak UT ($) Granični trošak GT ($)

36 STRUKTURA CIJENE PROIZVODA Cijenu proizvoda čine troškovi nastali u procesu proizvodnje. Kalkulacije cijena omogućavaju kontrolu i analizu svih elemenata poslovanja kao i meñusobno usporeñivanje cijena istih proizvoda različitih proizvoñača. Razlikujemo tri vrste cijena : cijena koštanja cijena prodaje cijena nabave 36

37 CIJENA KOŠTANJA Sadržani su svi troškovi i izdaci koji su nastali u vezi s proizvodnjom učinaka (sredstva za rad, predmeti rada i rad) i svi ostali izdaci (ugovorne i zakonske obveze, reklame, službena putovanja i sl.). Cijena koštanja se sastoji od troškova: materijala za izradu, plaća, amortizacije, općih troškova izrade, općih troškova uprave i prodaje. Struktura cijene koštanja formirana je na osnovi podjele troškova na direktne i indirektne 37

38 CIJENA PRODAJE Cijena prodaje formira se na tržištu pod djelovanjem zakona ponude i potražnje. Predstavlja cijenu koštanja uvećanu za odreñenu dobit koju očekujemo. o Ako cijena prodaje padne ispod cijene koštanja poduzeće više ne ostvaruje dobitak već gubitak. 38

39 CIJENA NABAVE Nabavna cijena sredstava za rad i predmeta rada utvrñuje se na temelju fakture dobavljača koja predstavlja prodajnu cijenu proizvoda. Strukturu cijene nabave čine : iznos fakture troškovi prijevoza i/ili osiguranja troškovi carine troškovi montaže ostali troškovi (PTT, dnevnice, putni troš. i.sl.). 39

40 ODNOS PRODAJNE I TRŽIŠNE CIJENE Ako je: prodajna cijena = tržišna cijena tržišna konkurencija prodajna cijena < tržišna cijena gubitak prodajna cijena > tržišna cijena dobit (profit) 40

41 RASHODI Neposlovni - trošenje vrijednosti, ali ne zbog ostvarenja poslovne svrhe poduzeća. Oni su najčešće u funkciji promidžbe npr. sponzorstva (sportskih klubova i dr.). Poslovni Uračunati = troškovi Izvanredni - npr. elementarne štete, kazne, gubici uslijed procjene imovine na dan bilanciranja itd. 41

42 OPORTUNITETNI TROŠKOVI Poslovna odluka je izbor izmeñu jedne ili više mogućnosti. Kaže se da odluke imaju oportunitetne troškove jer izbor jedne stvari znači odustajanje od neke druge. Oportunitetni trošak znači vrijednost dobra ili usluge koja je žrtvovana donesenom poslovnom odlukom. Primjer: Vlasnik nekog malog poduzeća ne prima plaću već ima profit od poslovanja poduzeća; radeći negdje drugdje on bi mogao imati veliku plaću. Primjer: Zašto studenti gledaju TV više poslije nego prije ispita? zato što bi gledanje TV-a prije ispita bio prevelik oportunitetni trošak. 42

43 METODE RAZLIKOVANJA FIKSNIH I VARIJABILNIH TROŠKOVA Za poduzeće je bitno znati koliko bi moguća dodatna proizvodnja zahtijevala dodatnih troškova. Postoji nekoliko metoda odreñivanja graničnih troškova: a) Knjigovodstvena metoda b) Metoda interpolacije c) Matematička d) Metoda linije regresije 43

44 KNJIGOVODSTVENA METODA Na temelju knjigovodstvenih podataka promatra pojedine troškove na različitim stupnjevima zaposlenosti. Prilikom promjene zaposlenosti troškove koji se ne mijenjaju svrstava u fiksne, a koji se mijenjaju u varijabilne troškove. Prednosti: jednostavna metoda Nedostaci: ova metoda zahtijeva relativno dosta truda i vremena Najčešća metoda 44

45 METODA INTERPOLACIJE Promatrajući knjigovodstvene podatke moguće je ustanoviti približni iznos ukupnih troškova za stupnjeve zaposlenosti. Primjer: Kod 50% korištenja kapaciteta proizvodnja je kom uz ukupne troškove kn, a pri korištenju 65% kapaciteta proizvodi se kom s troškovima od kn. Utvrñivanje graničnih i ukupnih troškova (uz pretpostavku da se varijabilni troškovi mijenjaju proporcionalno) za iskorištavanje kapaciteta sa 55% ili pak proizvodnju od kom: 45

46 METODA INTERPOLACIJE a) Granični troškovi GT (za %IK)= UT / %IK = ( )/(65 50) = kn GT(Q)= UT / Q = ( )/( ) = kom. b) Ukupni troškovi 1) Za 55% od maksimalnog kapaciteta T = T(za 50%) + T(za 5% od max. kap) T = = kn ili T = T(za 60%) T(za 5%) 2) Za proizvodnju od kom. T = T(za ) + T(za ) T = = kn ili T = T( ) T(14 000) 46

47 MATEMATIČKA METODA Pretpostavke: Ukupni fiksni troškovi su nepromijenjeni (postoji samo jedna veličina kapaciteta) Varijabilni troškovi izmeñu dva zadana stupnja se kreću proporcionalno (nije slučaj za niske i visoke stupnjeve iskorištavanja kapaciteta) 47

48 MATEMATIČKA METODA Primjer (kao i za metodu interpolacije): 1) Za 55% od max.kapac. VT = GT %IK = = kn FT= UT (za 55%) VT (za 55%) FT = = kn 2) Za proizvodnju od kom. VT = TG (za Q) Q = = kn FT = = kn 48

49 METODA LINIJE REGRESIJE Metoda linije trenda ili metoda najmanjih kvadrata. Podaci o ukupnim troškovima za nekoliko stupnjeva zaposlenosti se unesu u koordinatni sustav i izmeñu toga se povuće pravac (linija regresije) do ordinate i u točki gdje dira ordinatu se povuče linija paralelno s apcisom. Ta linija je linija fiksnih ukupnih troškova, pa udaljenost od nje do apcise označava fiksne ukupne troškove, a udaljenost od nje do odgovarajuće točke na pravcu pokazuje ukupne varijabilne troškove. 49

50 METODA LINIJE REGRESIJE Linija regresije se izračunava: T = FT + vt Q vt = (Σ TQ NTQ) / (Σ Q 2 NQ 2 ) FT = T - vtq Q = Σ Q / N T = Σ T / N gdje je: N- broj stupnjeva zaposlenosti UT- ukupni troškovi za stupanj zaposlenosti Q FT- fiksni troškovi vt- prosječni varijabilni trošak 50

51 METODA LINIJE REGRESIJE troškovi vt FT Proizvodnja 51

52 ELASTIČNOST TROŠKOVA Obično elastičnost varijabilnih troškova jer se oni mijenjaju s promjenom proizvodnje Za fiksne troškove se elastičnost izračunava samo u slučaju proširivanja postojećeg kapaciteta. Elastičnost troškova izražavamo koeficijentom elastičnosti: E = % UT / % Q Za E = 0 fiksni troškovi Za E = 1 proporcionalno- varijabilni troškovi Za 0< E <1 degresivno- varijabilni troškovi Za E>1 progresivno- varijabilni troškovi 52

53 TROŠKOVI I PRIHODI Optimalno korištenje kapaciteta - najniži prosječni troškovi. Meñutim, taj optimum ne mora biti i optimum sa stajališta ostvarenog poslovnog rezultata. Poslovni rezultat ne ovisi samo o troškovima već i o prodajnim cijenama. Poslovni (financijski) rezultat- dobit: FR = UP UT UP = Q pc UT = FT + VT = Q ck AKUMULACIJA = SLOBODNA SREDSTVA = FR POREZ NA DOBIT 53

54 GRANIČNI FINANCIJSKI REZULTAT Prosječan financijski rezultat u posljednjem ili graničnom sloju GFR = UP GT = FR / Q gfr = pc gt UT UP y Q TP ck- cijena koštanja UT- ukupni troškovi FT- fiksni troškovi VT- varijabilni troškovi UP- ukupni prihod TP- točka pokrića Q = FT / (pc vt) y = FT / (1- VT/UP) UP VT FT Q ck UT 54

55 TOČKA POKRIĆA TROŠKOVA Mrtva točka rentabilnosti, granica rentabilnosti Predstavlja poslovnu situaciju u kojoj su troškovi i prihod jednaki U toj točki je financijski rezultat jednak nuli tj. ukupni prihod je jednak ukupnim troškovima 55

56 IZRAČUN TOČKE POKRIĆA a) Utvrdi se koju bi količinu proizvoda poduzeće trebalo proizvesti da bi ostvareni prihod bio jednak troškovima za tu količinu proizvoda gdje je : Potrebna količina učinka Qp: UP = ck Qp UT = FT vt Qp U točki pokrića UP = UT Qp = FT / (pc vt) Qp- potrebna količina proizvodnje pc- prodajna cijena po jedinici proizvoda FT- ukupni fiksni troškovi vt- prosječni varijabilni troškovi 56

57 IZRAČUN TOČKE POKRIĆA b) Tako da se utvrdi visina prihoda koju bi trebalo postići da se pokriju troškovi za njegovo ostvarivanje UP p = pc Q p UP p = (UP FT) / (UP VT) c) Tako da se utvrdi granična proizvodnja (% smanjena proizvodnje) kod koje poduzeće još uvijek nije u gubitku- prag korisnosti = minimalno prihvatljiv obujam proizvodnje %PK = FT / (UP VT) 57

58 EKONOMIZIRANJE TROŠKOVIMA Temeljno pravilo ekonomike je minimalizacija troškova (uz zadovoljavajuće tehničke norme i standarde kvalitete proizvoda). Izborom dobavljača s nižim cijenama sirovina i usluga poduzeće utječe na smanjenje troškove te time i na povećanje dobiti poduzeća. 58

59 EKONOMIZIRANJE TROŠKOVIMA I PRAVILO SUPSTITUCIJE Pravilo najmanjih troškova: Kako bi proizvelo zadanu količinu proizvoda uz najmanji trošak, poduzeće bi trebalo kupovati utroške ili proizvodne faktore po minimalnim cijenama. Pravilo supstitucije: Ako se cijena jednog faktora smanji dok cijene drugih faktora ostaju iste, poduzeća će profitirati zamjenom svih drugih faktora jeftinijim faktorom (npr. radnointenzivne industrije u zemljama s jeftinom radnom snagom). 59

60 TROŠKOVI I RAČUNOVODSTVO Troškovi se iskazuju u rashodima poduzeća te time predstavljaju jedan od bitnih sadržaja računa dobiti i gubitka poduzeća. Troškovi neposredno utječu na na dobit profitabilnost poduzeća. Troškovi utječu na zaduživanje poduzeća te tako posredno utječu i na bilancu poduzeća. 60

61 HVALA NA PAŽNJI!

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Prema stupnju iskorištenja kapaciteta troškovi se dijele na: 1. Promjenjive (varijabilne) troškove 2. Nepromjenjive (fiksne) troškove

Prema stupnju iskorištenja kapaciteta troškovi se dijele na: 1. Promjenjive (varijabilne) troškove 2. Nepromjenjive (fiksne) troškove TROŠKOVI I KALKULACIJE Troškove je moguće definirati kao novčanu vrijednost inputa korištenih u proizvodnom procesu tijekom vremena. Visina troškova ovisi o količini korištenih inputa i njihovoj cijeni.

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

UPRAVLJANJE TROŠKOVIMA

UPRAVLJANJE TROŠKOVIMA UPRAVLJANJE TROŠKOVIMA Troškovi Predstavljaju novčano izražena trošenja sredstava i rada. Postoji više različitih klasifikacija troškova, u zavisnosti od aspekta posmatranja. Vrste troškova U zavisnosti

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 (D)

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

VELEPRODAJNO I MALOPRODAJNO POSLOVANJE - VJEŽBE 9 - Sveučilišni preddiplomski studij Ekonomika poduzetništva

VELEPRODAJNO I MALOPRODAJNO POSLOVANJE - VJEŽBE 9 - Sveučilišni preddiplomski studij Ekonomika poduzetništva VELEPRODAJNO I MALOPRODAJNO POSLOVANJE - VJEŽBE 9 - Sveučilišni preddiplomski studij Ekonomika poduzetništva 08.01.2013. Sadržaj 1. Cjenovna elastičnost potražnje 2. Izračunavanje marže, prodajne cijene

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

7. Troškovi Proizvodnje

7. Troškovi Proizvodnje MIKROEKONOMIJA./. 7. Troškovi Proizvodnje Autori: Penezić Andrija Miković Ivana Pod vodstvom: Prof.dr. Đurđice Fučkan Prezentacije su napravljene prema : Pindyck, R.S./ Rubinfeld, D.L. () MIKROEKONOMIJA

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Vježbe 6. ass. Lejla Dacić

Vježbe 6. ass. Lejla Dacić Vježbe 6 ass. Lejla Dacić TEORIJA TROŠKOVA TEORIJA TROŠKOVA Troškovi predstavljaju vrijednosni izraz utrošaka faktora proizvodnje Fiksni i varijabilni roškovi Troškovi u kratkom i dugom vremenskom periodu

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

RAZLIKA U CIJENI RAZLIKE U CIJENI U TRGOVINI UKUPNA RAZLIKA U CIJENI UKUPNA RAZLIKA U CIJENI

RAZLIKA U CIJENI RAZLIKE U CIJENI U TRGOVINI UKUPNA RAZLIKA U CIJENI UKUPNA RAZLIKA U CIJENI RAZLIKA U CIJENI RAZLIKE U CIJENI U TRGOVINI Služi za pokriće troškova poslovanja i ostvarenje dobiti; Troškovi poslovanja: materijalni troškovi; amortizacija; troškovi rada; ostali troškovi; Razlikujemo

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

ZADACI ZA VEZBE1 MENADZERSKO RACUNOVODSTVO BEOGRADSKA POSLOVNA SKOLA VISOKA SKOLA STRUKOVNIH STUDIJA

ZADACI ZA VEZBE1 MENADZERSKO RACUNOVODSTVO BEOGRADSKA POSLOVNA SKOLA VISOKA SKOLA STRUKOVNIH STUDIJA ZADACI ZA VEZBE1 MENADZERSKO RACUNOVODSTVO BEOGRADSKA POSLOVNA SKOLA VISOKA SKOLA STRUKOVNIH STUDIJA ZADATAK BR. 1 Na osnovu podataka preduzeca Valsacor u 2010.godinisastaviti bilans stanja i bilans uspeha

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R. Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora). UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Varijabilni. troškovi. Ukupni. troškovi. Granični troškovi

Varijabilni. troškovi. Ukupni. troškovi. Granični troškovi Ovisnost troškova o promjenama opsega proizvodnje Stalni troškovi Varijabilni troškovi Ukupni troškovi Granični troškovi Prosječni troškovi troškovi proizvodnje su različiti po: svom porijeklu (prirodnim

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Analiza savršene konkurencije u kratkom roku

Analiza savršene konkurencije u kratkom roku Analiza savršene konkurencije u kratkom roku Jedanaesto predavanje, 11. svibnja 2016. godine Pripremljeno iz: Binger i Hoffman, Microeconomics with Calculus Maksimizacija profita poduzeća koje posluje

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

III. TEORIJA PROIZVODNJE

III. TEORIJA PROIZVODNJE III. TEORIJA PROIZVODNJE 3.1. ČIMBENICI PROIZVODNJE stvaranje nove vrijednosti u proizvodnim procesima glavna je funkcija svih proizvodnih organizacija.... proizvodnja je proces u kojem se dobra ili usluge

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Financijski izvještaji, novčani tokovi i porezi

Financijski izvještaji, novčani tokovi i porezi Financijski izvještaji, novčani tokovi i porezi Uvod u poslovne financije P 02 Uloga financijskog izvještavanja Računovodstvo: dokumentacijska osnova komuniciranja poduzeća s javnošću Revizija: dokaz korektnosti

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije)

Seminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije) Seminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije) Prvo ponoviti/nau iti sadrºaje na sljede oj stani, a zatim rije²iti zadatke na ovoj stranici. Priprema Ove zadatke moºete rije²iti koriste

Διαβάστε περισσότερα