Prof dr Violeta Dopsaj ISPITIVANJE FECESA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Prof dr Violeta Dopsaj ISPITIVANJE FECESA"

Transcript

1 Prof dr Violeta Dopsaj ISPITIVANJE FECESA Ispitivanjem stolice dobija se uvid u funkciju jetre, pankreasa i celokupnog GIT-a. Za čuvanje i transport uzoraka stolice mogu se koristiti plastične posudice koje sa unutrašnje strane imaju prićvršćenu kašičicu. Obično se stolica sastoji od 25% čvrstih supstanci i 75% vode. Meñu čvrstim supstancama nalaze se ostaci nesvarene hrane (zrnca skroba, komadići mesa, biljna vlakna i sl) i nesvarljive supsatnce. Pored toga pojavljuju se i neki svarljivi sastojci koji se nisu apsorbovali (na pr masne kiseline), sekreti iz digestivnog trakta i organa koji mu pripadaju (žučne boje, enzimi, sluz). Pored ovih supstanci sa stolicom se izlučuju i raspadni produkti proteina: indol, skatol, epitelne ćelije i krvne ćelije, i masa bakterija. Ugljeni hidrati, masti i proteini praktično se potpuno vare i resorbuju, pa u stolici ima znatno manje nesvarenih ostataka hrane nego što se misli. Stolica sadrži mali deo nesvarenih ostataka celuloze, a veći deo sačinjavaju izlučevine sluzokože digestivnog trakta i bakterije (sačinjavaju trećinu suve stolice). Makroskopsko ispitivanje stolice Zdrav čovek ima 1-2 puta dnevno stolicu. Ako se dešava češće ili, obrnuto, jedanput u 3-4 dana, to nije normalno, pri čemu treba uzeti u obzir telesnu konstituciju bolesnika. Količina Kod zdravog čoveka normalna količina stolice iznosi g. Kod biljne ishrane količina je veća. Veća količina stolice karakteristična je za steatoreju. Konzistencija i oblik Normalna stolica je meka i cilindričnog oblika, kod odraslih prečnika 2.5 cm. Kod habitualnog zatvora nalazi se čvrsta stolica koja označava lenjost creva. Kod spastičkog zatvora stolica se formira u obliku brojnih čvrstih brabonjaka. Obilna, meka, kašasta ili tečna stolica stvara se posle uzimanja sredstava za čišćenje ili kod proliva. Kod dizenterije bolesnik često ide napolje, ali pomalo, a stolica je tečno-sluzasta, krvava i ima malo fekalnih materija. Boja Sterkobilin, nastao redukcijom bilirubina, daje svetlo-smeñu do tamno-smeñu boju stolici. Na boju stolice utiče hrana (cvekla, spanać i sl), lekovi ali i stanje organizma. Kod opstrukcione žutice stolica je lepljiva i sivkastožuta, jer ima više masti i ne sadrži žučne boje. Slično izgleda stolica kod pankreatitisa. Posle većeg krvarenja u želucu i gornjem delu tankog creva stolica je lepljiva i crne boje kao katran, zbog oksidacije hemoglobina. Kod krvarenja u rektumu stolica je smeđe-crvena do crna. Kod proliva stolica je crvena, iako mogu da krvare gornji delovi tankog creva, zbog nesvarene krvi. Crveni tragovi krvi ili kapi na površini stolice označavaju krvavljenje iz hemoroida, perianalnih fistula ili ulceracija u debelom crevu ili predelu anusa. Miris Miris normalne stolice izazivaju aromatične supstance, indol i skatol, koji nastaju dezaminacijom i dekarboksilacijom triptofana, usled dejstva bakterija truljenja u debelom crevu. Bakterije stvaraju u debelom crevu još i histamin, fenol, krezol, etilamin i holin, koji utiču na miris stolice. Pri ishrani mesom proteinskih produkata razgradnje ima više pa stolica ima intenzivniji miris nego pri ishrani povrćem. Kod dispepsije sa kiselim vrenjem bakterije pretvaraju glukozu u sirćetnu, buternu i valerijansku kiselinu, koje penastoj stolici daju užegao miris i kiselu reakciju. Kod dispepsije bakterije truljenja razlažu proteine do amonijaka i sulfida, što daje alkalnu reakciju. Stolica odojčadi nema nikakav miris.

2 Sluz U stolici obično nema sluzi. Ako je ima može se kao bezbojna masa rasporediti po površini ili biti jako pomešana sa stolicom. U prvom slučaju je sluzokoža debelog creva nadražena ili zapaljenja, a u drugom sluz dolazi iz tankog creva. Kod akutnih oblika dizenterije, amebnog enteritisa i kod akutnog zapaljenja tankog i debelog creva, stolica je pomešana sa krvlju i sluzi. Kod zatvora se periodično ponavlja i nastaje u vidu kapljica. Ponekad je sluz u stolici formirana u obliku opni, tj otisaka crevne sluzokože (enterokolitis). Izgleda da bolest nije inflamatornog porekla, već je posledica sekretorne neuroze, koja često ima alergijsku osnovu. Hemijsko ispitivanje stolice Normalna stolica je neutralna, lako kisela ili alkalna (ph ). Na reakciju utiče sastav hrane i vreme zadržavanja hrane u crevima. Proteinska ishrana izaziva alkalnu reakciju stolice, a hrana bogata ugljenim hidratima kiselu reakciju (deca). Proteini Normalno u stolici nema proteina. U stolicu proteini dospevaju pri krvarenju u digestivnom traktu i pri eksudacijama kroz zapaljenu sluzokožu. Kad su krvarenja ili eksudacija iz gornjih partija creva, proteini se razlažu i sluzokoža apsorbuje proizvode njihovog razlaganja. Zato se proteini u stolici nalaze samo kod obimnih krvarenja i eksudacija (karcinom, zapaljenja debelog creva koja se razvijaju u ulceracije). Žučne boje Normalno se bilirubin nalazi samo u stolici odojčeta, a kod odraslih se javlja samo u patološkim stanjima. Kako odojče raste tako se razvija sve više flore i bakterije redukuju sve više bilirubina u sterkokobilin, i delom u sterkobilinogen, tako da se u osmom mesecu ne nalazi više bilirubin u stolici. Kod odraslih bilirubin se nalazi u stolici kod crevnih katara sa jakim prolivima, jer ga bakterije ne mogu redukovati. Manje količine bilirubina pomešane su sa stolicom kod hemolitičke žutice i perniciozne anemije, gde se nalazi i više sterkobilina nego obično. U stolici odraslih glavne žučne boje su sterkobilin i sterkobilinogen, koji stolicu boje smeñe. Uopšte, stolica je tamnije obojena kada je ektrahepatično raspadanje eritrocita pojačano (hemolitička žutica). Stolica je intenzivno obojena i kod hroničnih krvarenja iz ulceracija ili karcinoma u GIT-u, a žučne boje prisutne su u normalnim količinama. U početnom stadijumu potpune opstrukcije žučnih puteva, u stolici se ne nalazi ni sterobilin, ni njegov hromogen, pa je stolica neobojena-aholična. Samo kod dugotrajne žutice bilirubin prolazi kroz sluzokožu u creva, gde se redukuje na uobičajen način. Zato kod tih stanja tragovi prisutnih žučnih boja u stolici označavaju opstrukciju žučnih puteva. I u početnom stadijumu hepatocelularne i toksične žutice nalaze se smanjene količine žučnih boja u stolici, ili ih uopšte nema. Kada se boje počnu ponovo javljati, to znači da je došlo do poboljšanja bolesti. Žučne soli Normalno se u stolici ne nalaze ni natrijum tauroholat ni glikoholat. Pojavljuju se u stolici kod proteinske dijete i jakih proliva. Masti U stolici se mogu naći neutralne masti, masne kiseline i sapuni. Neutralne masti ostaju onakve kakve su unešene hranom. Uglavnom se sastoje od triglicerida u kojima su vezane palmitinska, stearinska i oleinska kiselina. Masne kiseline se oslobađaju pri varenju masti u crevima, gde lipaza iz pankreasa razlaže masti u masne kiseline i glicerol. Normalno se masti, posle resorpcije iz tih

3 sastojaka, ponovo sisntetizuju. Sapuni koji se pojavljuju u stolici najčešće su kalcijumove i magnezijumove soli masnih kiselina.kod crevnog varenja govori se o celokupnim mastima koje se sastoji od neutralnih masti, masnih kiselina i sapuna. Kada su prisutne samo masne kiseline i sapuni govorimo o razloženim mastima. Masti se počnu variti pod uticajem lipaze u GIT-u. U normalnim okolnostima lipaza je malo aktivna u želucu, zato se u želucu svari veoma malo masti, i to samo kada je želudačni sok malo kiseo. U tankom crevu većinu masti svari lipaza iz pankreasa i delom iz crevnog soka. Lipaza postepeno odvaja masne kiseline od neutralnih masti, pa nastaju meñuproizvodi-digliceridi i monogliceridi., i na kraju glicerol. U crevima se neutralne masti emulguju zajedno sa meñuproduktima i kompleksima koji nastaju iz masnih kiselina sa žučnim kiselinama. Nerastvorljive masne kiseline ne prolaze kroz ćelijske membrane, a sa žučnim kiselinama stvaraju komplekse koji su hidrsolubilni i prolaze kroz crevni epitel. Slično deluju vitamini rastvorljivi u mastima (A, D, E) i holesterol. Neutralne masti se samo delimično hidrolizuju u crevima, 70% ostaju hidrofobne i samo se emulguju. Iz ostalih 30% neutralnih masti nastaju kompleksna jedinjenja sa žučnim kiselinama, hidrosolubilna, prolaze kroz ćelijske membrane, i delom rastvorljivi mono- i digliceridi. Pored toga oslobaña se i glicerol koji je hidrofilan i prolazi kroz membrane. Kompleksi masnih kiselina sa žučnim kiselinama i glicerol direktno prelaze u portalnu krv, a emulgovane nerastvorne neutralne masti prolaze kroz epitel crevnih resica u limfne sudove. Dakle, sve masti koje dospeju u creva se ne apsorbuju, već se delom izlučuju stolicom. Jedan deo masti izluči i sluzokoža creva, pa i one odlaze u stolicu. Normalno je količina masti u stolici konstantna i nezavisna od sastava hrane. Kod mešovite ishrane u stolici se normalno nalazi: 7.3% neutralnih masti, 5.6% masnih kiselina, 4.6% sapuna (ukupno 17.5%). Po količini masti u stolici može se odrediti kako su se masti svarile u crevima i koliko je crevna sluzokoža sposobna da ih apsorbuje. Količina masti u stolici se izražava u procentu ukupne suve materije 24h stolice. Kada ukupna količina masti prelazi 25% masti se ne vare normalno. Masti se slabo vare ako je ukupna količina veća od 55% (11% neutralne masti) a slabo se apsorbuju ako su veće od 75%. Količina masti u stolici je povećana ili im je sastav izmenjen kod jakih proliva, pankreasne i idiopatske steatoreje i hepatobilijarnih opstrukcija. Kod jakih proliva hrana brzo prolazi kroz creva, pa nema vremena za varenje i apsorpciju. Kod pankreasne steatoreje smanjen je priliv lipaze iz pankreasa kod hroničnog pankreatitisa. U stolici se pojavljuje mnogo, pretežno neutralnih masti, a masnih kiselina ima sasvim malo. Kod idiopatske steatoreje lipaza deluje normalno, ali je apsorpcija sprečena. U stolicu dolazi mnogo neutralnih masti i masnih kiselina, čiji je odnos normalan. Pojavljuje se i makrocitna anemija. Kod hepatobilijarne opstrukcije pankreas normalno funkcioniše, pa u stolici ima više masnih kiselina nego neutralnih masti. Neutralne masti se ne razlažu zbog nedostatka žučnih kiselina u crevima a izgleda da i sluzokoža creva pri tome izlučuje više masti u stolicu nego normalno. Stolica je sivkasto-smeđa, veoma lepljiva i na površini ima staklasti sjaj. Ovakva stolica nalazi se i kod infektivnog i toksičnog hepatitisa, ciroze jetre i masne jetre. Ispitivanje stolice na ostatke hrane Da bi ispitivanje varenja i resorpcije ugljenih hidrata, masti i proteina bude bilo objektivno moraju se obezbediti standardni uslovi. Zato se sprovodi dijeta po Schmidt-u i Strasburger-u koju bolesnik drži 3 dana pre ispitivanja. Ujutru: 1/2 L mleka ili kakaa, 1 zemička i 10 g presnog butera, 1 rovito jaje Dopodne: 40 g ovsenih pahuljica koju treba zakuvati u 25 ml mleka i 300 ml vode U podne: 125 g nemasnog goveñeg mesa, samlevenog i ispečenog na 30 g butera, tako da unutra ostane živo. Dodati 150 g zgnječenog kuvanog krompira Popodne: isto kao dopodne. Uveče: isto kao ujutru.

4 Ako je izgled stolice homogen, dovoljan je pregled jedne serije preparata, a ako je stolica nehomogena treba izvršiti preglede više serija preparata. Mikroskopski se posmatra stolica kašaste konzistencije. Ako je stolica tvrda, pomeša se sa destilovanom vodom da postane kašasta. Pripremaju se tri preparata: Na tri predmetna stakla kanemo po kap kašaste stolice. Na prvi uzorak stolice kanemo 1-2 kapi 30% sirćetne kiseline, na drugi 1-2 kapi Lugolovog reagensa, a na treći 1-2 kapi boje Sudan III. Preparate dobro promešamo, pokrijemo pokrovnom ljuspicom i mikroskopiramo najpre malim a zatim velikim uveličanjem. Prvim preparatom ispituje se varenje proteina prema spoljašnjem izgledu mišićnih vlakana. Želudačni sok vari vezivno tkivo koje spaja mišićna vlakna, a pankreasni sok deluje na samo vlakno. Pod dejstvom tripsina svare se najpre jedra, uglovi komadića se zaoble, poprečna ispruganost nestane, pa na kraju ostanu samo okruglo-ovalne, žutosmeđe pločice, koje ponekad imaju nežne konture uzdužne ispruganosti, ali obično i ona nestane. Dakle, od uspešnosti varenja zavisi oštrina kontura, veličina i oblik komadića. Pri slabom varenju komadići su veliki, imaju oštre ivice, dobro očuvanu strukturu poprečne ispruganosti i dobro vidljivo jedro. Kod osrednje dobrog varenja komadići su osrednje veliki, često četvrtastog izgleda, sa zaobljenim uglovima, sa još vidljivom poprečnom ispruganošću, ali se jedra ne mogu raspoznati. Varenje je dobro kada se nađu samo male poligonalne ili okrugle ploče, sa sasvim nejasnim konturama, koje imaju površinu ravnomernu ili podeljenu u polja. Varenje mišićnih vlakana zavisi, pre svega, od dejstva pepsina i tripsina, pa se komadići mesa slabo vare kada se izlučuje malo želudačnog i duodenalnog soka, ili kada ti sokovi imaju manjak enzima Drugim preparatom ispituje se varenje skroba. Jod u Lugol-ovom reagensu oboji zrnca skroba plavo do plavocrno, a eritrodekstrin crveno. Skrob obložen celulozom se ne boji jodom. Zrnca skroba su ovalnog ili okruglog oblika, a ako su u gomilicama, onda su nepravilnog oblika. Kod zdravog čoveka koji se hrani mešovitom hranom nalaze se pojedinačna zrnca skroba, a posle Schmidt-ove dijete se obično ne nalaze. U stolici se skrob pojavljuje kod poremećene funkcije pankreasa ili kada hrana brzo prolazi kroz GIT (proliv). Često se zrnca skroba u stolici nalaze kod kataralnih zapaljenja sluzokože creva sa dispepsijom. Trećim preparatom ispituje se varenje masti. U stolici se masti nalaze u obliku kapljica, grudvica ili iglica. Sa Sudanom III kapljice neutralnih masti oboje se crveno a njihove grudvice crveno-narandžasto. Iglice masnih kiselina ostaju ponekad bezbojne ili tamno-crvene. Grudvice i kapljice masnih kiselina postanu narandžaste, a spuni se uopšte ne boje. Kada je hrana slabo svarena, pored nesvarenih mišićnih vlakana, skroba i masti, mogu se naći delovi vezivnog tkiva, elastična vlakna i ostaci biljne hrane. Krv u fecesu Krv može dospeti u GIT i pomešati se sa sadržajem, krvavljenjem, od usta do anusa. Krv koja se pomešala sa stolicom tek u izlaznom delu creva, rasporeñena je po površini, i mikroskopski se vide očuvani eritrociti. Krv iz drugih delova GIT izmešana je sa stolicom, razgrađena do hematina ili protoporfirina. Kod većih krvarenja stolica je crna kao katran. Kada su u stolici prisutna neznatna, golim okom nevidljiva količina krvi, radi se o okultnom krvarenju, koje se dokazuje hemijskim putem.

5 Dokazivanje okultnog krvarenja je ponekad veoma važno za dijagnozu, ali se mora uzeti u obzir više činjenica. Rezultat hemijske reakcije na okultno krvarenje je pozitivan uvek kada se u stolici nalaze hemoglobinski derivati koji u svom sastavu imaju i atom gvožđa (meso, mesne prerañevine i supe sadrže takve derivate). Zato je neophodno da pacijent tri dana pre ispitivanja koristi pretežno mlečnu hranu, bez zeleniša i voća. Preporučuje se ispitivanje tri uzastopna uzorka stolice nakon 3 dana mlečne dijete. Fekalno okultno krvarenje predstavlja skreening test za kancer kolona kod asimptomatskih pacijenata. Ovim testom otkriva se kencer kolona u najranijem stadijumu. American Cancer Society i WHO predlažu obavezan screening test na okultno krvarenje kod svih osoba preko 50 godina. Postoje tri grupe testova za ispitivanje okultnog krvarenja: 1. Testovi zasnovani na oksidacionoj sposobnosti hemoglobina da u prisustvu vodonikperoksida oksidiše neke supstance: sa aminopirinom nastaje ljubičasto obojenje a sa benzidinom tamno-plavu boju. Ako se hemoglobin u crevima razloži do porfirina, reakcija je lažno negativna. Soli gvožđa, hroma i bakra mogu dati lažno pozitivnu reakciju. Hlorofil sa benzidinom daje pozitivnu reakciju, pa u dijeti treba izbegavati zeleno povrće. 2. Testovi zasnovani na reakciji sa gvajak-smolom (Hemoccult) Najčešće korišćen test i najjeftiniji. Hemoglobin, u prisustvu gvajak smole i vodonik peroksida daju plavu boju već posle jednog minuta. Lažno pozitivne rezultate mogu dati: - sastojci hrane iz voća i povrća koji sadrže peroksidaze (cvekla, karfiol, brokoli, grožđe) - hemoglobin iz crvenog mesa, aspirin Uzroci lažno negativnih rezultata: - bakterijska degradacija hema u kolonu - vitamin C - neadekvatno uzorkovanje (uzorak uzimati iz različitih delova stolice) Oralna terapija gvožñem ne dovodi do pozitivnog testa, ali se menja boja stolice i plava boja pozitivne reakcije sa gvajak smolom, što može otežati interpretaciju rezultata. Zato se 3 dana pre ispitivanja zabranjuje konzumiranje navedene hrane (sprovodi se mlečna dijeta) a 7 dana pre ispitivanje ne sme se koristiti aspirin i vitamin C. Pošto mnogo faktora utiče na rezultat testa, svaki pozitivan test se mora adekvatno ispitati. Iako je kod najvećeg broja pacijenata sa kolorektalnim kancerom test na okultno krvarenje pozitivan, test nije specifičan i može biti pozitivan i kod nekih benignih i malignih bolesti: ulcer, erozivni gastritis, ulcerozni kolitis, Kronova bolest, kolitis idr. 3. Imunohemijski testovi (Hemolex) Reagens sadrži lateks čestice obložene antitelima protiv humanog hemoglobina koje koje sa hemoglobinom daju vidljivu aglutinaciju. Mnogo skuplji test u odnosu na gvajak smolu. Za kontrolu pozitivnog testa na okultno krvarenja treba mikroskopski pregledati stolicu na nesvarena mišićna vlakna. Ako su nesvarena mišićna vlakna pozitivna, pacijent se nije pridržavao mlečne dijete, pa pozitivan test na okultno krvarenje nema značaja. Enzimi

6 Tripsin i himotripsin koje luči pankreas, nalaze se dvanaestopalačnom crevu, i osim onog dela koji se vari u crevima, luče se fecesom. Određivanje aktivnosti ovih enzima koristi se u dijagnostici poremećaja pankreasa. Himotripsin je serin proteaza koja hidrolizuje peptidne veze sa karboksilnom grupom triptofana, leucina, tirozina i fenilalanina. Delovanje himotripsina suprotno je delovanju pepsina koji raskida peptidne veze amino-grupa aromatičnih amino- kiselina. Himotripsin ispoljava katalitičku aktivnost i prema drugim vrstama veza u proteinima, uključujući estre (posebno prema N-supstituisanim estrima tirozina) i amidne peptide. N-acetil- L-tirozin etil estar (ATEE) je primer specifičnog sintetičkog supstrata koji se vrlo malo hidrolizuje delovanjem tripsina. Acinusne ćelije pankreasa sintetišu dva himotripsina (I i II) u obliku zimogena (himotripsinogen I i II). Zimogeni se akumuliraju u granulama i izlučuju u ductus pancreaticus, istim mehanizmom kao tripsinogen. U crevima se himotripsinogen delovanjem tripsina prevodi u aktivni himotripsin. Himotripsin je otporniji od tripsina na razlaganje u crevima i predstavlja enzim izbora za određivanje u fecesu. U krvi je himotripsin vezan za α1-antitripsin i α2- makroglobulin, uglavnom u obliku himotripsina II. Koncentracija himotripsina u fecesu u korelaciji je sa lučenjem himotripsiana u pankreasu. Određivanje himotripsina U krvi se himotripsina II može određivati metodama koje koriste sintetičke supstrate (peptide) i EIA. EIA pokazuje značajnu ukrštenu reakciju sa himotripsinogenom I, (55-85%), himotripsinom I (25-50%) i kompleksom himotripsini- α1-antitripsin (20-32%). Određivanje himotripsina u krvi ima značaja u dijagnostici cistične fibroze, akutnog pankreatitisa, karcinoma pankreasa. Himotripsin se može određivati u duodenalnom sadržaju nakon sekretin ili sekretin- holecistokinin -pankreozimin stimulacije. Moguće indirektno određivanje himotripsina oralnim unošenjem Benzoil-tirozin-p-aminobenzoeva kiselina, obično sa Lundh-ovim obrokom. U želucu se hidrolizom dejstvom himotripsina oslobađa se p-aminobenzoeva kiselina (PABA). PABA se iz želuca apsorbuje u cirkulaciju, konjuguje se u jetri, izlučuje urinom gde se lako može odrediti. Za određivanje himotripsina u fecesu koristi se sintetički supstrat Succ-Ala-Ala-Phe-p- nitroanilid kao supstrat. Nakon hidrolize supstrata himotripsinom oslobođeni p-nitroanilan, žute boje, određuje se spektrofotometrijski na 405 nm. Može se koristiti pojedinačan ili 24h uzorak stolice. Kod disfunkcije pankreasa sadržaj himotripsina je značajno smanjen u duodenalnom sadržaju, pankreasnom soku i fecesu.

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Kiselo bazni indikatori

Kiselo bazni indikatori Kiselo bazni indikatori Slabe kiseline ili baze koje imaju različite boje nejonizovanog i jonizovanog oblika u rastvoru Primer: slaba kiselina HIn(aq) H + (aq) + In (aq) nejonizovani oblik jonizovani oblik

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Mašinsko učenje. Regresija.

Mašinsko učenje. Regresija. Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Aminokiseline. Anabolizam azotnihjedinjenja: Biosinteza aminokiselina, glutationa i biološki aktivnih amina 22.12.2014

Aminokiseline. Anabolizam azotnihjedinjenja: Biosinteza aminokiselina, glutationa i biološki aktivnih amina 22.12.2014 Anabolizam azotnihjedinjenja: Biosinteza aminokiselina, glutationa i biološki aktivnih amina Predavanja iz opšte biohemije Školska 2014/2015. godina Aminokiseline 1 Metabolizam aminokiselina Proteini iz

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA

Διαβάστε περισσότερα

BIOLOŠKI VAŢNA ORGANSKA JEDINJENJA PROTEINI. AMINOKISELINE. Ključni pojmovi

BIOLOŠKI VAŢNA ORGANSKA JEDINJENJA PROTEINI. AMINOKISELINE. Ključni pojmovi BIOLOŠKI VAŢNA ORGANSKA JEDINJENJA PROTEINI. AMINOKISELINE Ključni pojmovi α - Aminokiseline Peptidna veza Vlaknasti i loptasti proteini Prosti i složeni proteini Piramida ishrane BIOLOŠKI VAŢNA ORGANSKA

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

PRAKTIKUM IZ FIZIOLOGIJE 2

PRAKTIKUM IZ FIZIOLOGIJE 2 1954 PRAKTIKUM IZ FIZIOLOGIJE 2 Doc. dr Zdenko Kanački 2 Doc. dr Zdenko Kanački PRAKTIKUM IZ FIZIOLOGIJE 2 UNIVERZITET U NOVOM SADU POLJOPRIVREDNI FAKULTET Novi Sad, 2015. EDICIJA POMOĆNI UDŽBENIK Osnivač

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Implementacija HE4 i ROMA indeksa u Klinici za tumore Centru za maligne bolesti KBCSM

Implementacija HE4 i ROMA indeksa u Klinici za tumore Centru za maligne bolesti KBCSM Implementacija HE4 i ROMA indeksa u Klinici za tumore Centru za maligne bolesti KBCSM Dr.sc. Ljiljana Mayer, spec.med.biokemije Zagreb, 18. ožujka 2017. Klinika za tumore Centar za maligne bolesti, KBCSM

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

DIGESTIVNI SISTEM ČOVEKA. Doc. dr Snežana Marković Institut za biologiju i ekologiju Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Kragujevcu

DIGESTIVNI SISTEM ČOVEKA. Doc. dr Snežana Marković Institut za biologiju i ekologiju Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Kragujevcu DIGESTIVNI SISTEM ČOVEKA Doc. dr Snežana Marković Institut za biologiju i ekologiju Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Kragujevcu DIGESTIVNI SISTEM. NAPAJANJE TELA ENERGIJOM. Hrana energija (kreatin

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα