5. DETAILI SISEPINNA OMADUSED. ehk. Eelnevast: Ristlõike vastupanuvõime sõltub varda koormamise viisist. σ epüür N. τ epüür. max. Joonis 5.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5. DETAILI SISEPINNA OMADUSED. ehk. Eelnevast: Ristlõike vastupanuvõime sõltub varda koormamise viisist. σ epüür N. τ epüür. max. Joonis 5."

Transcript

1 5. DETL SSEPNN OMDUSED DETL SSEPNN OMDUSED 5.. Ristlõige kui varda tugevuse mõõt Tugevusanalüüsi oluline küsimus: Kas detaili ristlõike kuju ja mõõtmed on optimaalsed? ek Jäme varras on tugevam, kui peenike varras milline jämedus on piisav? Eelnevast: Ristlõike vastupanuvõime sõltub varda koormamise viisist Ristlõike vastupanuvõime koormuste toimele on erinevate sisejõudude mõjudes erinev (Joon. 5.) ning sõltub: tõmbel, survel ja lõikel pindalast, [m ] väändel polaar-inertsimomendist, [m ] ning ümarvarraste korral polaar-tugevusmomendist W, [m ]. Tõmme ja surve (pike) Tugevustingimus Ristlõike tugevuse näitaja Ristlõige σ epüür N σ [ σ ] Pindala Dimensioon [m ] F D σ Kui D korda, siis tugevus korda Lõige F D Lõikepind τ epüür τ Tugevustingimus Q τ [] τ Ristlõike tugevuse näitaja Pindala Dimensioon [m ] Kui D korda, siis tugevus korda Vääne Tugevustingimus Ristlõike tugevuse näitaja Ristlõige τ epüür M τ max T W [] τ Polaar-tugevusmoment W Dimensioon [m ] D τ max Kui D korda, siis tugevus 8 korda Joonis 5. Paindeülesanne (Joon 5.) ristlõike tugevust näitavad telg-tugevusmomendid (telginertsimomendid) ristlõike pinnakeset läbiva peateljestiku sutes. Priit Põdra,

2 5. DETL SSEPNN OMDUSED 67 Painutatud varras Varda ristlõike pinnakese ja kesk-peateljed Pinnakese Varda telg on kõverdunud m Kesk-peateljed Joonis 5. Painutatud varda ristlõike geomeetria analüüs (Joon. 5.) õlmab kolme ülesannet. Painutatud varda ristlõike analüüs Määrata ristlõike pinnakeskme asukot Määrata keskpeateljestiku asend rvutada keskpeainertsimomendid Joonis 5. Kujundi iga sümmeetriatelg kesk-peatelg (see on alati nii) Enamlevinud litsamate ristlõigete jaoks (ring, ellips ruut, ristkülik, -profiil, jt.) on pinnakeskme asukot (sümmeetriatelgede ristumispunkt) ja kesk-peatelgede asend (ristuvad sümmeetriateljed) teada ja visuaalselt määratav. 5.. Tasandkujundi omadused Detaili ristlõige tasapinnaline geomeetriline kujund Ristlõike tunnussuuruste määramine tasandigeomeetria ülesanne Geomeetrilise tasandkujundi olulised parameetrid tugevusanalüüsis (sõltuvalt tugevusanalüüsi ülesandest): ristlõike pindala, pinnamomendid, pinnakeskme asukot, kesk-peateljestiku asend. Pinnamomendid arvutatakse ristlõike geomeetriliste parameetrite (Joon. 5.) järgi. Pinnamomentide väärtusi kasutatakse detaili ristlõike pinnakeskme asukoa ning tugevuse määratlemiseks. Priit Põdra,

3 5. DETL SSEPNN OMDUSED 68 Tasandkujundi geomeetria parameetrid d Pinnaelement Kontuur Rist-teljestik ρ Pindala Tasandkujundi pinnamomendid on: esimese astme momendid ek staatilised momendid [m ]: teise astme momendid ek inertsimomendid [m ]: Joonis 5. S d staatiline moment telje sutes d staatiline moment telje sutes d telg - inertsimoment telje sutes d telg - inertsimoment telje sutes d tsentrifugaal - inertsimoment teljestiku sutes d polaar - inertsimoment mingi pooluse sutes ρ kus: S staatiline moment, [m ] inertsimoment, [m ] d lõpmatult väike pinnaelement, [m ] kujundi pindala, [m ] ρ pinnaelemendi d kaugus koordinaatide alguspunktist (polaarkoordinaat), [m], pinnaelemendi d ristkoordinaadid, [m]. Pinnamomendid on arvutatud alati mingi telje või teljestiku sutes!!! 5.. Staatilised momendid 5... Kujundi staatilised momendid ja pinnakese Tasapindkujundi staatiliste momentide S ja S väärtused sõltuvad -teljestiku asendist kujundi sutes (Joon. 5.5) ning need väärtused võivad olla nii positiivsed, negatiivsed, kui ka võrdsed -ga. Nende telgede ristumispunkt, millede sutes staatiliste momentide väärtused S, ongi kujundi pinnakese. ga sümmeetriatelje sutes S. Priit Põdra,

4 5. DETL SSEPNN OMDUSED 69 ga rist-teljestik, mille sutes keskteljestik S Pinnakese keskteljestiku alguspunkt (sümmeetriatelgede lõikumispunkt) S Mitte-keskteljestik Kujundi pinnakese ja keskteljestik Keskteljestik S Pinnakese S d d Joonis 5.5 Keskteljestikke on lõpmatult palju (iga teljestik läbi pinnakeskme on keskteljestik) 5... Kujundi pinnakeskme asukot ja litkujundi staatiline moment Pinnakeskme määramise ülesanne leida -teljestik, mille sutes S PROBLEEM: Teada on kujundi mõõtmed ja paiknemine mingi (vabalt valitud) teljestiku sutes. Vaja on arvutada kujundi pinnakeskme koordinaadid (selles teljestikus). Kujundile on näiteks määratud kaks paralleelset teljestikku: ja (Joon. 5.6.): -telje koordinaat -teljestikus on a ning -telje koordinaat -teljestikus on b kujundi staatilised momendid nende teljestike sutes on seotud (vastavalt definitsioonidele) valemitega: ( b) d d d bd S b S S a kui -teljestik oleks keskteljestik (telgede ristumispunkt on pinnakese), siis: a ning pinnakeskme koordinaadid saaks S b Priit Põdra,

5 5. DETL SSEPNN OMDUSED 7 S S Kujundi pinnakeskme koordinaadid vabalt valitud teljestikus: ja kus:, kujundi pinnakeskme koordinaadid antud teljestikus (teada), [m] S, S kujundi staatilised momendid telgede ja sutes, [m ]., Kujund ja kaks paralleelset teljestikku Kujundi pinnakeskme asukot d a b Pinnakese Joonis 5.6 Litkujund ( ring, rõngas, ristkülik,ruut, kolmnurk, jne. ) kujund, mille pinnakeskme asukot on teada pindala on õlpsasti arvutatav pindintegraalid on õlpsasti arvutatavad Litkujundi staatilised momendid (pinnakeskme asukoa ja pindala järgi): S S kus: ja litkujundi pinnakeskme koordinaadid (mingis teljestikus), [m] litkujundi pindala, [m ] Liitkujundi pinnakeskme asukot Liitkujund kujund, mille pinnakeskme asukot ei ole teada pindala ei ole õlpsasti arvutatav pindintegraalide arvutamine on keerukas saab jaotada litkujunditeks Liitkujund koosneb litkujunditest (Joon. 5.7): liitkujund jaotatakse sobivateks osakujunditeks: ± ± liitkujundi staatilise momendi avaldis -teljestikus tuleb: () () () S d d ± d ± d ±... S ± S ± S ±... () () () () i S S ± S ± S ±... S ± K. S () i Priit Põdra,

6 5. DETL SSEPNN OMDUSED 7 Liitkujundi staatiline moment (mingi telje sutes) osakujundite staatiliste momentide summa (sama telje sutes) Liitkujund Osakujundite staatilised momendid (). Ristkülik: () S ( ). Ristkülik: ( ) S ( ). Ristkülik: ( ) S Liitkujundi pindala Liitkujundi staatilised momendid Kujundi pinnakese + + ( ) ( ) ( ) S S + S + S S () ( ) ( ) S S + S + S S i, i osakujundite pinnakeskmete koordinaadid -teljestikus, [m] () i () i S, S osakujundite staatilised momendid -teljestiku sutes, [m ] i osakujundite pindalad, [m ] Joonis 5.7 i osakujundi number. Osakujundid võivad olla nii positiivsed kui ka negatiivsed : positiivne osakujund materiaalne osakujund ek kujundi tegelik osa negatiivne osakujund mittemateriaalne osakujund ek kujundist välja lõigatud osa (pindala ja pinnamomentide väärtused on - märgiga). gat liitkujundit saab tavaliselt kirjeldada mitmel viisil koosnevana erinevatest positiivsetest ja/või negatiivsetest osakujunditest 5.. nertsimomendid 5... Mõnede litkujundite inertsimomendid Litkujundite pindintegraalid on õlpsasti avaldatavad (Joon. 5.8) ning inertsimomentide, pindalade ja pinnakeskme koordinaatide valemid on toodud käsiraamatutes. Litkujunditena käsitletakse ka nn. profiilmaterjalide ristlõikeid, milledest levinumad on erineva geomeetriaga nurk-, karp- ja -profiilid, nelikant-torud, aga ka keerukama ristlõikekujuga alumiiniumist materjalid. Nende materjalide ristlõikepindade omadused on mõnikord toodud tootespetsifikatsioonides. Priit Põdra,

7 5. DETL SSEPNN OMDUSED 7 Ristkülik Telg-inertsimomendid d bd d b b b d b d b Tsentrifugaalinertsimoment: d D Kolmnurk b d sd d s / b b b Ring ρ dρ d d πρdρ d b Telg-inertsimomendid b d 9 ( b + b b b ) b + 6 b b 6 b b b 8 b 7 Tsentrifugaalinertsimoment: d ( b b ) Polaarinertsimoment D ρ D πd ρ d π ρ dρ π ek ( + ) d d + d + Telginertsimomendid πd 6 Tsentrifugaalinertsimoment d Joonis nertsimomendid rööpsete telgede sutes PROBLEEM: Teada on (on õlpsasti arvuatavad) kujundi inertsimomendid mingi teljestiku sutes. Vaja on kujundi inertsimomente keskteljestiku sutes (mis on esimesega rööpne). Selline vajadus tekib tavaliselt: NB! Või vastupidi. siis, kui litkujundi inertsimomendi avaldist on õlpsam integreerida telje sutes, mis ei ole kesktelg (üldjuul on vaja arvutada inertsimomente just keskteljestike sutes) liitkujundi summaarsete inertsimomentide arvutamisel Priit Põdra,

8 5. DETL SSEPNN OMDUSED 7 keerulise kujuga kujundi inertsimomentide arvutamisel. Kujundile olgu näiteks antud kaks rööpset teljestikku: keskteljestik ja (Joon. 5.9.): pinnakeskme koordinaadid -teljestikus on a ja b kujundi telginertsimomendid -teljestikus tulevad: + as ( + b) d d d + b d + b d + a kujundi tsentrifugaal-inertsimoment -teljestikus tuleb: ( + a)( + b) + bs + as + ab + bs + b d d d + b d + a d + ab d kuna on keskteljestik, mille sutes S, siis + b + a. + ab Kujund ja kaks rööpset teljestikku Keskteljestik a d Mitte-keskteljestik b Joonis 5.9 Telginertsimomendid rööpsete telgede sutes: M K + e ning Tsentrifugaal-inertsimoment rööpsete teljestike sutes: MM KK + ee kus: e kujundi kesktelje koordinaat mittekeskteljestikus (+/- märgiga), [m] M kujundi inertsimoment mittekesktelje sutes, [m ] MM kujundi inertsimoment mittekeskteljestiku sutes, [m ] K kujundi inertsimoment kesktelje sutes, [m ] KK kujundi inertsimoment keskteljestiku sutes, [m ] 5... Kolmnurga inertsimoment aluse sutes Kolmnurga alusega on pandud ütima -telg, mis on paralleelne kolmnurga keskteljega (Joon. 5.): Priit Põdra,

9 5. DETL SSEPNN OMDUSED 7 Kolmnurga inertsimoment aluse sutes Kesktelg e b b b M K + e + 6 b Joonis 5. nende rööpsete telgede vaekaugus on: e, kolmnurga pindala: b b inertsimoment kesktelje sutes: K 6 inertsimoment aluse sutes saadakse rööpsete telgede seost kasutades Liitkujundi inertsimomendid PROBLEEM: Teada on iga osakujundi inertsimomendid nende oma keskteljestike sutes. Vaja on määrata liitkujundi inertsimomendid liitkujundi keskteljestiku sutes. Liitkujundi inertsimoment (mingi telje sutes) osakujundite inertsimomentide summa (sama telje sutes) Liitkujund koosneb (positiivsestest ja negatiivsetest) litkujunditest (Joon. 5.): liitkujund jaotatakse sobivateks osakujunditeks ± ± ± K e e e Liitkujund Osakujundite inertsimomendid e e () () + e. Ristkülik: () () + e ( ) ( ) + e. Ristkülik: ( ) ( ) + e ( ) ( ) + e. Ristkülik: ( ) ( ) + e ( ) ( ) e e + ( ) ( ) e e + ( ) ( ) e e. + Liitkujundi inertsimomendid ( ) ( ) ( ) + + () ( ) () + + () ( ) ( ) + + e Joonis 5. Priit Põdra,

10 5. DETL SSEPNN OMDUSED 75 liitkujundi inertsimomentide avaldised keskteljestikus tulevad: d d ± d ± d ±... ± ± ±... () ( ) () () i ± ± ±... ± ± ± ± ± ± d d d d K K osakujundite inertsimomendid liitkujundi -keskteljestikus teada () ( ) () () i () ( ) () () i () i ja () i ei ole i i osakujundite inertsimomendid oma i i -keskteljestike sutes i ja i on teada kui kõik osakujundite valitud keskteljestikud i i on rööpsed -teljestikuga, siis: () i () i ( i ) ( i) ( i) ( i) [ i + ei i ], [ i + ei i ] ja [ ii + e iei i ]. () () 5... Keeruka kujundi inertsimomendid Keerukas kujund kujund, mis ei ole litkujund ega ka vaadeldav liitkujundina Keerukas kujund jaotatakse õukesteks ristkülikukujulisteks ribadeks (Joon. 5.): ribade paksus võetakse selle telje rist-siis, mille sutes inertsimomenti arvutatakse kujundi inertsimoment tuleb liitkujundi (koosneb paljudest sama paksusega ristkülikutest) inertsimomendi metoodikale vastavalt võttes ribade paksuse küllalt väikese δ <<, saab ribade omainertsimomendid jätta arvestamata arvutuse tulemus on ligikaudne (seda täpsem, mida rokem on ribasid). Keerukas kujund nertsimoment kesktelje sutes δ Keerukas kujund liitkujund i bi n i biδ või + e i δbi e i n i e δ b (kui δ << ) i i kujundi inertsimoment kesktelje sutes, [m ] e i i-nda riba keskme kaugus -teljest, [m] kujundi mõõde kesktelje ristsiis, [m] n sama paksusega ribade arv b i i-nda riba laius, [m] δ ribade paksus (kõigil üesugune), [m]. Joonis 5.. Priit Põdra,

11 5. DETL SSEPNN OMDUSED nertsimomendid pööratud telgede sutes PROBLEEM: Teada on kujundi inertsimomendid suvalise -teljestiku sutes. Vaja on määrata kujundi inertsimomendid selle sutes pööratud teljestiku sutes Kujundile on antud -teljestik ning selle sutes pööratud (sama alguspunktiga) - teljestik (Joon. 5..): teljestikevaeline pöördenurk on α kujundi telg-inertsimomendid - ( ) teljestikus tulevad seostest: d cosα sinα d d ( cosα + sinα ) d cos α + d sin α d sinα cosαd ek cos α d + sin α d + sinα cosαd kujundi tsentrifugaal-inertsimomendid -teljestikus tulevad seostest: ( cosα + sinα )( cosα sinα ) d d Kujund ja pööratud teljestikud Geomeetrilised teisendused F d OD O + E cosα + sinα DF EF ED cosα sinα nertsimomendid pööratud teljestikus α cos α + sin sin α + cos α α + sin α sin α D E α sin α + cosα Telginertsimomentide liitmisel selgub, et: Joonis 5. Telg-inertsimomentide summa mistaes ristteljestiku sutes on invariantne telgede pööramise sutes (on alati sama sõltumatult pöördenurgast) ( sin α + cos α ) + ( sin α + ) + cos α + Priit Põdra,

12 5. DETL SSEPNN OMDUSED Kesk-peateljestik ja selle asukot Peateljed ja peainertsimomendid Peateljed teljed, mille sutes kujundi tsentrifugaalmoment võrdub nulliga Peainertsimomendid kujundi telginertsimomendid peatelgede sutes Telg-inertsimomendid peatelgede sutes on ekstremaalsed (Joon. 5.): max (või vastupidi) min Kesk-peateljestik kujundi peateljestik (rist-teljestik), mille algus on pinnakeskmes (ja siit ka kesk-peainertsimomendid) NB! Tugevusanalüüsis väga oluline Kujund ja selle teljestikud S Mitte-keskteljestik S Kesk-peateljestik min max Keskteljestik S Joonis Kesk-peateljestiku määramine. Näide Sümmeetriline kujund: üks kesk-peatelg on sümmeetriatelg, teine kesk-peatelg on esimesega risti ja läbib pinnakeset. Rokem, kui kae sümmeetriateljega kujund (korrapärased ulknurgad, ring): kõik keskteljepaarid on ka peateljestikud, inertsimomendid kõigi peatelgede sutes on võrdsed. Mittesümmeetriline kujund: esmalt määratakse pinnakeskme koordinaadid eelnevalt valitud (valitakse nii, et oleks õlbus arvutada) teljestiku sutes, siis arvutatakse antud ülesandes vajalikud inertsimomendid, ja vabalt valitud keskteljestiku (asend valitakse nii, et oleks õlbus arvutada) sutes, Priit Põdra,

13 5. DETL SSEPNN OMDUSED 78 siis leitakse sobiva seose abil selline pööratud keskteljestik, mille sutes tsentrifugaalinertsimoment (see teljestik ongi kujundi keskpeateljestik): arctan ( ), kuiα arcsin arcsin kus: α kesk-peateljestiku pöördenurk keskteljestiku sutes, [rad]. PROBLEEM: Kumba keskpeatelje sutes on inertsimoment suurim? (Visuaalse kontrolli võimalus) REEGEL: Suurim on inertsimoment selle keskpeatelje sutes, millest pinnaelemendid paiknevad suteliselt kaugemal. Kujundi kesk-peateljestik selline kujundi pinnakeskmes algav ristteljestik, mille sutes arvutatud: telginertsimomendid on ekstremaalsed (üks on suurima ja teine väima väärtusega) tsentrifugaalinertsimomendi väärtus on null. Painde tugevusarvutused teakse varda kesk-peatasandites ek Selleks, et paindetugevust analüüsida, peab olema teada ristlõike kesk-peatelgede asend Näide. Liitkujundi kesk-peainertsimomentide arvutus Määrata kujundi (Joon. 5.5) kesk-peatelgede asend ning arvutada keskpeainertsimomendid! Laenduskäik: kujund koosneb kolmest lit-osakujundist: () - poolring, () kolmnurk ja () ristkülik, mille pinnakeskmete asukoad, keskteljestike asendid, pindalad ning oma inertsimomendid on teada: () osakujund poolring: R pinnakeskme asukot: a.7.7mm π π πr π pindala:.7 mm telginertsimomendid: () πr π 8.8 mm.8cm 8 8 ().98R mm 8.9cm Priit Põdra,

14 5. DETL SSEPNN OMDUSED 79 Kujund ja tema geomeetria Jaotus lit-osakujunditeks 8 R Poolringi omadused Kolmnurga omadused Ristküliku omadused a a R R a π πr 8.98R a a b b b 7 a b 6 b 6 a a b a b a b b Joonis 5.5 () osakujund täisnurkne kolmnurk: a..mm pinnakeskme asukot: b 6 a mm b 6 pindala: mm telginertsimomendid: ( ) b 6 mm cm 6 6 ( ) b mm.7cm 6 6 Priit Põdra,

15 5. DETL SSEPNN OMDUSED 8 tsentrifugaal-inertsimoment: ( ) b 6 8 mm 8cm 7 7 () osakujund ristkülik: 8 a mm pinnakeskme asukot: b a mm pindala: b 8 mm telginertsimomendid: ( ) b mm.7cm ( ) b 8 76 mm 7cm määratakse kindlaks kujundi pinnakeskme asukot (see on otsitava keskpeateljestiku alguspunkt): pinnakeskme koordinaadid arvutatakse vabalt valitud abiteljestiku sutes (mis on samaaegselt ka () osakujundi kesk-peateljestik, s.o. ristsümmeetriateljestik) osakujundite pinnakeskmete koordinaadid selles abiteljestikus on: () osakujund ( a + a ) ( +.7) 5.7mm poolring: ( a + R) ( + ) 5mm () osakujund ( a a ) (.) 6.7mm kolmnurk: ( a + a ) ( + ) mm () osakujund ristkülik: ja pinnakese -teljestikus on määratud koordinaatidega (Joon. 5.6): i i i ( 6.7) mm + + i i i 5 + ( ) +..mm + + läbi pinnakeskme määratletakse keskteljestik ning läbi osakujundite pinnakeskmete määratletakse keskteljestikud i i selliselt, kõik need oleksid rööpsed rööpsete telgede teoreemi kasutades arvutatakse kujundi inertsimomendid keskteljestiku -sutes: osakujundite pinnakeskmete koordinaadid keskteljestikus on: () osakujund poolring: e ( a + a ) ( ).mm e ( a + R ) ( +.) 9.6mm () osakujund kolmnurk: e ( a a ) (. 8.) 8.mm e ( a + a ) ( +.) 9.6mm Priit Põdra,

16 5. DETL SSEPNN OMDUSED 8 () osakujund ristkülik: Kujundi pinnakese e e 8.mm.mm Rööpsed keskteljestikud e 8 e 8. e e. e R e Joonis 5.6 osakujundite inertsimomendid keskteljestikus on: () osakujund poolring: () () + e.8 + (.96) cm () () + + ( ) e cm () () + ee + (.) (.96)..9 cm () osakujund kolmnurk: ( ) ( ) + e + (.96) cm ( ) ( ) + + ( ) e cm ( ) ( ) + ee 8 + (.8) (.96).756.8cm () osakujund ristkülik: ( ) ( ) + e cm ( ) ( ) + e cm ( ) ( ) + ee cm kujundi inertsimomendid on osakujundite inertsimomentide summad (samade telgede ja teljestike sutes): () ( ) ( ) cm () ( ) ( ) cm () ( ) ( ) cm kesk-peateljestik YZ läbib pinnakeset ning on keskteljestiku sutes nurga a võrra pööratud (Joon. 5.7): Priit Põdra,

17 5. DETL SSEPNN OMDUSED 8 75 arctan o α arctan.7.7rad kujundi kesk-peainertsimomendid (telginertsimomendid kesk-peatelgede Y ja Z sutes) saab nüüd määrata: cos α + sin α sin α Y cos sin.7 75 sin sin α + cos α + sin α Z sin cos sin (.7) 6. 6cm (.7) cm Z Kujundi kesk-peateljestik 8 Y 7 5 Vastus: Kujundi kesk-peateljestik on orisondi sutes 7 5 kaldu ning keskpeainertsimomendid on: Y 6cm. Z 75cm 8.. R Joonis 5.7 Priit Põdra,

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on

Διαβάστε περισσότερα

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksarvu algebraline kuju

Kompleksarvu algebraline kuju Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa

Διαβάστε περισσότερα

Funktsiooni diferentsiaal

Funktsiooni diferentsiaal Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.

Διαβάστε περισσότερα

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke

Διαβάστε περισσότερα

Geomeetrilised vektorid

Geomeetrilised vektorid Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse

Διαβάστε περισσότερα

(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33

(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 (Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 Normaallõike tugevusarvutuse alused. Arvutuslikud pinge-deormatsioonidiagrammid Elemendi normaallõige (ristlõige) on elemendi pikiteljega risti olev lõige (s.o.

Διαβάστε περισσότερα

Ehitusmehaanika harjutus

Ehitusmehaanika harjutus Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative

Διαβάστε περισσότερα

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}

Διαβάστε περισσότερα

,millest avaldub 21) 23)

,millest avaldub 21) 23) II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.

Διαβάστε περισσότερα

3. DETAILIDE TUGEVUS VÄÄNDEL

3. DETAILIDE TUGEVUS VÄÄNDEL ugevusanalüüsi alused. EAILIE UGEVUS VÄÄNEL 1. EAILIE UGEVUS VÄÄNEL.1. Varda arvutusskeem väändel Väände puhul on tihtipeale koormusteks detaili otseselt väänavad pöördemomendid või jõupaarid (Joon..1):

Διαβάστε περισσότερα

PLASTSED DEFORMATSIOONID

PLASTSED DEFORMATSIOONID PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb

Διαβάστε περισσότερα

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2 PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused

Διαβάστε περισσότερα

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

8. KEEVISLIITED. Sele 8.1. Kattekeevisliide. Arvutada kahepoolne otsõmblus terasplaatide (S235J2G3) ühendamiseks. F = 40 kn; δ = 5 mm.

8. KEEVISLIITED. Sele 8.1. Kattekeevisliide. Arvutada kahepoolne otsõmblus terasplaatide (S235J2G3) ühendamiseks. F = 40 kn; δ = 5 mm. TTÜ EHHATROONIKAINSTITUUT HE00 - ASINATEHNIKA -, 5AP/ECTS 5 - -0-- E, S 8. KEEVISLIITED NÄIDE δ > 4δ δ b k See 8.. Kattekeevisiide Arvutada kahepoone otsõmbus teraspaatide (S5JG) ühendamiseks. 40 kn; δ

Διαβάστε περισσότερα

Lokaalsed ekstreemumid

Lokaalsed ekstreemumid Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,

Διαβάστε περισσότερα

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon 2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides

Διαβάστε περισσότερα

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1 laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad

Διαβάστε περισσότερα

DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud.

DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurk 1 KOLMNURK DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurga tippe tähistatakse nagu punkte ikka

Διαβάστε περισσότερα

Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus

Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus Antud: Õhuke raudbetoonist gravitatsioontugisein maapinna kõrguste vahega h = 4,5 m ja taldmiku sügavusega d = 1,5 m. Maapinnal tugiseina

Διαβάστε περισσότερα

4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks

4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].

Διαβάστε περισσότερα

Analüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets

Analüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets Analüütilise geomeetria praktikum II L. Tuulmets Tartu 1985 2 Peatükk 4 Sirge tasandil 1. Sirge tasandil Kui tasandil on antud afiinne reeper, siis iga sirge tasandil on selle reeperi suhtes määratud lineaarvõrrandiga

Διαβάστε περισσότερα

9. AM ja FM detektorid

9. AM ja FM detektorid 1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid

Διαβάστε περισσότερα

sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =

sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α = KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α

Διαβάστε περισσότερα

Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Deformeeruva keha mehaanika õppetool. Andrus Salupere STAATIKA ÜLESANDED

Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Deformeeruva keha mehaanika õppetool. Andrus Salupere STAATIKA ÜLESANDED Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Deformeeruva keha mehaanika õppetool Andrus Salupere STAATIKA ÜLESANDED Tallinn 2004/2005 1 Eessõna Käesolev ülesannete kogu on mõeldud kasutamiseks eeskätt Tallinna

Διαβάστε περισσότερα

NÄIDE KODUTÖÖ TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL. Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut. AAR0030 Sissejuhatus robotitehnikasse

NÄIDE KODUTÖÖ TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL. Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut. AAR0030 Sissejuhatus robotitehnikasse TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut AAR000 Sissejuhatus robotitehnikasse KODUTÖÖ Teemal: Tööstusroboti Mitsubishi RV-6SD kinemaatika ja juhtimine Tudeng: Aleksei Tepljakov

Διαβάστε περισσότερα

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1 κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii

Διαβάστε περισσότερα

REAALAINETE KESKUS JAAK SÄRAK

REAALAINETE KESKUS JAAK SÄRAK REAALAINETE KESKUS JAAK SÄRAK TALLINN 2006 1 DESCRIPTIVE GEOMETRY Study aid for daily and distance learning courses Compiler Jaak Särak Edited by Tallinn College of Engineering This publication is meant

Διαβάστε περισσότερα

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti

Διαβάστε περισσότερα

Prisma. Lõik, mis ühendab kahte mitte kuuluvat tippu on prisma diagonaal d. Tasand, mis. prisma diagonaal d ja diagonaaltasand (roheline).

Prisma. Lõik, mis ühendab kahte mitte kuuluvat tippu on prisma diagonaal d. Tasand, mis. prisma diagonaal d ja diagonaaltasand (roheline). Prism Prisms nimese ulu, mille s u on vsvl rlleelsee j võrdsee ülgedeg ulnurgd, ning ülejäänud ud on rööüliud, millel on ummgi ulnurgg üine ülg. Prlleelseid ulnuri nimese rism õjdes j nende ulnurde ülgi

Διαβάστε περισσότερα

; y ) vektori lõpppunkt, siis

; y ) vektori lõpppunkt, siis III kusus VEKTOR TASANDIL. JOONE VÕRRAND *laia matemaatika teemad. Vektoi mõiste, -koodinaadid ja pikkus: http://www.allaveelmaa.com/ematejalid/vekto-koodinaadid-pikkus.pdf Vektoite lahutamine: http://allaveelmaa.com/ematejalid/lahutaminenull.pdf

Διαβάστε περισσότερα

TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots

TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots TARTU ÜLIKOOL Teaduskool STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi

Διαβάστε περισσότερα

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Διαβάστε περισσότερα

5. TUGEVUSARVUTUSED PAINDELE

5. TUGEVUSARVUTUSED PAINDELE TTÜ EHHTROONKNSTTUUT HE00 - SNTEHNK.5P/ETS 5 - -0-- E, S 5. TUGEVUSRVUTUSE PNELE Staatika üesandes (Toereaktsioonide eidmine) vaadatud näidete ause koostada taade sisejõuepüürid (põikjõud ja paindemoment)

Διαβάστε περισσότερα

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS

Διαβάστε περισσότερα

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad 6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline

Διαβάστε περισσότερα

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning

Διαβάστε περισσότερα

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna

Διαβάστε περισσότερα

Elastsusteooria põhivõrrandid,

Elastsusteooria põhivõrrandid, Peatükk 4 Elastsusteooria põhivõrrandid, nende lahendusmeetodid ja lihtsamad ruumilised ülesanded 113 4.1. Elastsusteooria põhivõrrandid 114 4.1 Elastsusteooria põhivõrrandid 1. Tasakaalu (diferentsiaal)võrrandid

Διαβάστε περισσότερα

Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül.

Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül. Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln.6 I kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Astmed.. Arvutada avaldise täpne väärtus. 8 * (,8)

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. Juhised lahenduste hindamiseks Lp. hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7.

Διαβάστε περισσότερα

T~oestatavalt korrektne transleerimine

T~oestatavalt korrektne transleerimine T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:

Διαβάστε περισσότερα

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil. 8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,

Διαβάστε περισσότερα

Kontekstivabad keeled

Kontekstivabad keeled Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,

Διαβάστε περισσότερα

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008 Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub

Διαβάστε περισσότερα

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood:

Διαβάστε περισσότερα

Tabel 1 Tala HE800B ristlõike parameetrid

Tabel 1 Tala HE800B ristlõike parameetrid KONSTRUKTSIOONIDE ARVUTUSED Komposiitsilla kandetalaks on valitud valtsitud terastala HE800B (võib kasutada ka samadele ristlõike parameetritele vastavat keevitatud tala). Talade vahekaugus on 1,7 meetrit.

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA III VOOR 6. märts 994. a. Lahendused ja vastused IX klass.. Vastus: a) neljapäev; b) teisipäev, kolmapäev, reede või laupäev. a) Et poiste luiskamise

Διαβάστε περισσότερα

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks

Διαβάστε περισσότερα

Sirgete varraste vääne

Sirgete varraste vääne 1 Peatükk 8 Sirgete varraste vääne 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-8.1 Sissejuhatus ja lahendusmeetod Käesoleva loengukonspekti alajaotuses.10. käsitleti väändepingete leidmist ümarvarrastes ja alajaotuses.10.3

Διαβάστε περισσότερα

Sissejuhatus. Kinemaatika

Sissejuhatus. Kinemaatika Sissejuhatus Enamuse füüsika ülesannete lahendamine taandub tegelikult suhteliselt äikese hulga ideede rakendamisele (öeldu kehtib ka teiste aldkondade, näiteks matemaatika kohta). Seega on aja õppida

Διαβάστε περισσότερα

7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85

7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7 Hii-ruut test Üks universaalsemaid ja sagedamini kasutust leidev test on hii-ruut (χ 2 -test, inglise keeles ka chi-square test). Oletame, et sooritataval katsel on k erinevat

Διαβάστε περισσότερα

HULGATEOORIA ELEMENTE

HULGATEOORIA ELEMENTE HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom. Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised

Διαβάστε περισσότερα

Deformatsioon ja olekuvõrrandid

Deformatsioon ja olekuvõrrandid Peatükk 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3.. Siire ja deformatsioon 3-2 3. Siire ja deformatsioon 3.. Cauchy seosed Vaatleme deformeeruva keha meelevaldset punkti A. Algolekusontemakoor- dinaadid x, y,

Διαβάστε περισσότερα

Eesti LIV matemaatikaolümpiaad

Eesti LIV matemaatikaolümpiaad Eesti LIV matemaatikaolümpiaad 31. märts 007 Lõppvoor 9. klass Lahendused 1. Vastus: 43. Ilmselt ei saa see arv sisaldada numbrit 0. Iga vähemalt kahekohaline nõutud omadusega arv sisaldab paarisnumbrit

Διαβάστε περισσότερα

Vektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias

Vektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias ektorid Matemaatikas tähistab vektor vektorruumi elementi. ektorruum ja vektor on defineeritud väga laialt, kuid praktikas võime vektorit ette kujutada kui kindla arvu liikmetega järjestatud arvuhulka.

Διαβάστε περισσότερα

1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD

1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD 1. Reaalarvud 1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki

Διαβάστε περισσότερα

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass 2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Jõud ja pinged 2-2

2.1. Jõud ja pinged 2-2 1 Peatükk 2 Pinge 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Διαβάστε περισσότερα

Ehitusmehaanika. EST meetod

Ehitusmehaanika. EST meetod Ehitusmehaanika. EST meetod Staatikaga määramatu kahe avaga raam /44 4 m q = 8 kn/m 00000000000000000000000 2 EI 4 EI 6 r r F EI p EI = 0 kn p EI p 2 m 00 6 m 00 6 m Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna

Διαβάστε περισσότερα

Vektori u skalaarkorrutist iseendaga nimetatakse selle vektori skalaarruuduks ja tähistatakse (u ) 2 või u 2 u. u v cos α = u 2 + v 2 PQ 2

Vektori u skalaarkorrutist iseendaga nimetatakse selle vektori skalaarruuduks ja tähistatakse (u ) 2 või u 2 u. u v cos α = u 2 + v 2 PQ 2 Vektorite sklrkorrutis Vtleme füüsikkursusest tuntud olukord, kus kehle mõjub jõud F r j keh teeb selle jõu mõjul nihke s Konkreetsuse huvides olgu kehks rööbsteel liikuv vgun Jõud F r mõjugu vgunile rööbstee

Διαβάστε περισσότερα

Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist

Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist Loeng 2 Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist P2 - tuleb P1 lahendus T P~Q = { x P(x)~Q(x) = t} = = {x P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Tuletis ja diferentsiaal

Tuletis ja diferentsiaal Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.

Διαβάστε περισσότερα

Teaduskool. Alalisvooluringid. Koostanud Kaljo Schults

Teaduskool. Alalisvooluringid. Koostanud Kaljo Schults TARTU ÜLIKOOL Teaduskool Alalisvooluringid Koostanud Kaljo Schults Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi õpilasi, kes on

Διαβάστε περισσότερα

Materjalide omadused. kujutatud joonisel Materjalide mehaanikalised omadused määratakse tavaliselt otsese testimisega,

Materjalide omadused. kujutatud joonisel Materjalide mehaanikalised omadused määratakse tavaliselt otsese testimisega, Peatükk 7 Materjalide omadused 1 Materjalide mehaanikalised omadused määratakse tavaliselt otsese testimisega, mis sageli lõpevad katsekeha purunemisega, näiteks tõmbekatse, väändekatse või löökkatse.

Διαβάστε περισσότερα

PORTATIIVNE KÄSIVINTS

PORTATIIVNE KÄSIVINTS MEHHATROONIKAINSTITUUT MASINAELEMENTIDE JA PEENMEHAANIKA ÕPPETOOL PORTATIIVNE KÄSIVINTS MHX0020- PÕHIÕPPE PROJEKT Üliõpilane: Kood: Juhendaja:....... prof. Maido Ajaots Tallinn 2006 2 Sisukord Eessõna....lk...

Διαβάστε περισσότερα

Elastsusteooria tasandülesanne

Elastsusteooria tasandülesanne Peatükk 5 Eastsusteooria tasandüesanne 143 5.1. Tasandüesande mõiste 144 5.1 Tasandüesande mõiste Seeks, et iseoomustada pingust või deformatsiooni eastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni

Διαβάστε περισσότερα

Skalaar, vektor, tensor

Skalaar, vektor, tensor Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,

Διαβάστε περισσότερα

1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...

1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud... Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega

Διαβάστε περισσότερα

1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014

1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 1 MTMM.00.188 Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 Eksamitöö annab kokku 80 punkti ja ülesanded jagunevad järgmisse kuude gruppi: P1 ( 10p ) - ülesanded I kontrolltöö põhiteemade peale; P2 ( 10p ) - ülesanded

Διαβάστε περισσότερα

Pinge. 2.1 Jõud ja pinged

Pinge. 2.1 Jõud ja pinged Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Διαβάστε περισσότερα

Ecophon Line LED. Süsteemi info. Mõõdud, mm 1200x x x600 T24 Paksus (t) M329, M330, M331. Paigaldusjoonis M397 M397

Ecophon Line LED. Süsteemi info. Mõõdud, mm 1200x x x600 T24 Paksus (t) M329, M330, M331. Paigaldusjoonis M397 M397 Ecophon Line LED Ecophon Line on täisintegreeritud süvistatud valgusti. Kokkusobiv erinevate Focus-laesüsteemidega. Valgusti, mida sobib kasutada erinevates ruumides: avatud planeeringuga kontorites; vahekäigus

Διαβάστε περισσότερα

2. HULGATEOORIA ELEMENTE

2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2.1. Hulgad, nende esitusviisid. Alamhulgad Hulga mõiste on matemaatika algmõiste ja seda ei saa def ineerida. Me võime vaid selgitada, kuidas seda abstraktset mõistet endale kujundada.

Διαβάστε περισσότερα

Andmeanalüüs molekulaarbioloogias

Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Praktikum 3 Kahe grupi keskväärtuste võrdlemine Studenti t-test 1 Hüpoteeside testimise peamised etapid 1. Püstitame ENNE UURINGU ALGUST uurimishüpoteesi ja nullhüpoteesi.

Διαβάστε περισσότερα

Smith i diagramm. Peegeldustegur

Smith i diagramm. Peegeldustegur Smith i diagramm Smith i diagrammiks nimetatakse graafilist abivahendit/meetodit põhiliselt sobitusküsimuste lahendamiseks. Selle võttis 1939. aastal kasutusele Philip H. Smith, kes töötas tol ajal ettevõttes

Διαβάστε περισσότερα

Ecophon Square 43 LED

Ecophon Square 43 LED Ecophon Square 43 LED Ecophon Square 43 on täisintegreeritud süvistatud valgusti, saadaval Dg, Ds, E ja Ez servaga toodetele. Loodud kokkusobima Akutex FT pinnakattega Ecophoni laeplaatidega. Valgusti,

Διαβάστε περισσότερα

6 Mitme muutuja funktsioonid

6 Mitme muutuja funktsioonid 6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad

Διαβάστε περισσότερα

Virumaa Kolledž Reaal ja tehnikateaduste keskus

Virumaa Kolledž Reaal ja tehnikateaduste keskus Viruaa Koedž Reaa ja tehnikateaduste keskus Gennadi rjassov L O E N G U K O N S P E K T Varraskonstruktsioonide staatika ja dünaaika Ehitusehaanika RR Õppevahend Kohta-Järve 7/8 Eessõna Loengukonspekt

Διαβάστε περισσότερα

Geomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a.

Geomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a. Geomeetria põhivara Jan Willemson 19. mai 2000.a. 1 Kolmnurk Kolmnurgas tasub mõelda järgmistest lõikudest ja sirgetest: kõrgused, nurgapoolitajad, välisnurkade poolitajad, külgede keskristsirged, mediaanid,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA AJALUGU MTMM MTMM

MATEMAATIKA AJALUGU MTMM MTMM Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Loenguid: 14 Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Loenguid: 14 Seminare: 2 Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Loenguid: 14 Seminare: 2 Hindamine:

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja

Διαβάστε περισσότερα

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja

Διαβάστε περισσότερα

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,

Διαβάστε περισσότερα

RF võimendite parameetrid

RF võimendite parameetrid RF võimendite parameetrid Raadiosageduslike võimendite võimendavaks elemendiks kasutatakse põhiliselt bipolaarvõi väljatransistori. Paraku on transistori võimendus sagedusest sõltuv, transistor on mittelineaarne

Διαβάστε περισσότερα

Füüsika. Mehaanika alused. Absoluutselt elastne tsentraalpõrge

Füüsika. Mehaanika alused. Absoluutselt elastne tsentraalpõrge 9.09.017 Füüsika Mehaanika alused Absoluutselt elastne tsentraalpõrge Põrkeks nimetatakse keha liikumisoleku järsku muutust kokkupuutel teise kehaga. Kui seejuures ei teki jääkdeformatsioone, nimetatakse

Διαβάστε περισσότερα

Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD

Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD 1 Nõudmised krüptoräsidele (Hash-funktsionidele) Krüptoräsiks nimetatakse ühesuunaline funktsioon

Διαβάστε περισσότερα

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui Ülesnded j lhendused utomtjuhtimisest Ülesnne. Süsteem oosneb hest jdmisi ühendtud erioodilisest lülist, mille jonstndid on 0,08 j 0,5 ning õimendustegurid stlt 0 j 50. Leid süsteemi summrne ülendefuntsioon.

Διαβάστε περισσότερα

Kui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist

Kui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA (kaugõppele). KINEMAATIKA. Ühtlane liikumine Punktmass Punktmassiks me nimetame keha, mille mõõtmeid me antud liikumise juures ei pruugi arestada. Sel juhul loemegi keha tema asukoha

Διαβάστε περισσότερα

Skalaar, vektor, tensor

Skalaar, vektor, tensor Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,

Διαβάστε περισσότερα

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010 KTEGOORITEOORI Kevad 2010 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me

Διαβάστε περισσότερα

Tehniline Mehaanika. I. Staatika II. Tugevusõpetus III. Kinemaatika IV. Dünaamika V. Masinaelemendid /aparaatide detailid/ I STAATIKA

Tehniline Mehaanika. I. Staatika II. Tugevusõpetus III. Kinemaatika IV. Dünaamika V. Masinaelemendid /aparaatide detailid/ I STAATIKA Tehniline Mehaanika I. Staatika II. Tugevusõpetus III. Kinemaatika IV. Dünaamika V. Masinaelemendid /aparaatide detailid/ I STTIK 1.1. Põhimõisted Staatika on jäikade kehade tasakaaluõpetus. Ta uurib tingimus,

Διαβάστε περισσότερα

Veaarvutus ja määramatus

Veaarvutus ja määramatus TARTU ÜLIKOOL Tartu Ülikooli Teaduskool Veaarvutus ja määramatus Urmo Visk Tartu 2005 Sisukord 1 Tähistused 2 2 Sissejuhatus 3 3 Viga 4 3.1 Mõõteriistade vead................................... 4 3.2 Tehted

Διαβάστε περισσότερα

Virumaa Kolledž. Gennadi Arjassov. L O E N G U K O N S P E K T Varraskonstruktsioonide staatika ja dünaamika. Ehitusmehaanika RAR2030.

Virumaa Kolledž. Gennadi Arjassov. L O E N G U K O N S P E K T Varraskonstruktsioonide staatika ja dünaamika. Ehitusmehaanika RAR2030. Viruaa Koedž Gennadi rjassov L O E N G U K O N S P E K T Varraskonstruktsioonide staatika ja dünaaika Ehitusehaanika RR Õppevahend Kohta-Järve 5/ Eessõna Loengukonspekt Varraskonstruktsioonide staatika

Διαβάστε περισσότερα

Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria.

Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Hele Kiisel, Hugo Treffneri Gümnaasium Analüütilise geomeetria teemad on gümnaasiumi matemaatikakursuses jaotatud kaheks osaks: analüütiline geomeetria tasandil,

Διαβάστε περισσότερα