1. Prisjetimo se modela vremenski konzistentne monetarne politike. Prvo, poslodavci formiraju. π π. Isplata monetarne vlasti dana je kao funkcija 2 *

Transcript

1 Vjžb 9 1. Prisjtimo s modla vrmnski konzistntn montarn politik. Prvo, poslodavi formiraju očkivanj inflaij,. Drugo, montarna vlast promatra ovo očkivanj i bira stvarnu inflaiju,. Isplata poslodavu j ( ) inflaij,, i proizvodnj y : ( ). Isplata montarn vlasti dana j kao funkija U (, y) = y y, gdj j > 0 paramtar trgovanja montarnog vlasti izmñu dva ilja, a y fikasna razina proizvodnj. Prtpostavimo da j stvarna proizvodnja funkija iljn proizvodnj i iznnañujuć inflaij: y = by + d, gdj j b < 1, d > 0. ( ) (a) Izvdit isplatu montarn vlasti kao funkiju stvarn inflaij i očkivan inflaij. (b) Pronañit Nashovu ravnotžu ov dinamičk igr. () Razmotrimo igru s bskonačnim ponavljanjm s diskontnim faktorom δ, čija j tapna igra dana pod (b). Prtpostavimo da poslodavi drž očkivanj = 0 u prvom priodu. Uz tu stratgiju poslodavaa, montarna vlast ima dva izbora: (i) = 0, što u sljdćm priodu vodi na = 0 i istoj odlui u nardnom priodu. Isplata montarn vlasti u svakom koraku j W (0, 0). (ii) [kršnj dogovora] = (0) iz (b) dijla, što vodi k izboru poslodavaa = s za svaki sljdći priod, pa ć i montarna vlast odabrati = s. Odrdit za koji s paramtar δ 0,1 montarnoj vlasti isplati držati dogovora. Rjšnj izvdit u općnitom obliku. (d) DZ Za koji s diskontni paramtar δ montarnoj vlasti isplati držati dogovora, ako j isplata za poslodav ( ), a isplata montarn vlasti 0.3 ( y 1600), gdj j 1600 iljna proizvodnja. Prtpostavimo da j stvarna proizvodnja dana s y = Rjšnj: ( ). Funkija isplat poslodavima: ( ) U (, y) = y y, > 0. Funkija isplat montarnoj vlasti: ( ) Pri tom j stvarna proizvodnja zadana s y by d ( ) = +, gdj j b < 1, d > 0. (a) Uvrštavanjm stvarn proizvodnj u funkiju isplat montarnoj vlasti, dobivamo funkiju isplat montarnoj vlasti u ovisnosti o varijablama i : W (, ) = U (, by + d( )) = ( ( ) ) = by + d y = = ( b 1) y + d( ). (b) Uočimo da su dominantan igrač poslodavi. U invrznoj indukiji stoga krćmo od montarn vlasti (ndominantan igrač). U drugom koraku montarna vlast promotri očkivanj poslodavaa i rjšava sljdći problm: max W (, ). 1

2 Vjžb 9 Nužan uvjt (lako s provjri da j to i dovoljan uvjt) kstrma nam daj: dw = ( b 1) y + d( ) d = 0 : ( ) d + b y + d d = ( 1) ( ) 0 + d + d( b 1) y d = 0 + = + + > ( d ) d(1 b) y d : ( d ) 0 d + d = (1 b) y + d Dakl najbolji odgovor montarn vlasti na očkivanj poslodavaa j: ( d ) = (1 b) y d. () d + + U prvom koraku poslodavi antiipiraju takav najbolji odgovor montarn vlasti, pa rjšavaju sljdći problm: max ( ( ) ). Jasno j da j maksimalna vrijdnost ov funkij koju maksimiziramo jdnaka 0 jr s radi o kvadratu izraza u zagradi pomnožnom s -1. Ta s maksimalna vrijdnost postiž kada j izraz u zagradi jdnak 0, tj. kada vrijdi ( ) =. Iz t činjni, uvrštavajući () dobivamo: d ( ) = (1 b) y + d = + d d d = (1 b) y + d + d + d d d + d = (1 b) y + d + d d = = (1 b) y = : Dakl Nashova ravnotža ov dinamičk igr jst: d d d d (, ) = (1 b) y, (1 b) y = (1 b) y, (1 b) y = : = : optimalna optimalna stratgija stratgija montarn vlasti poslodavaa () Dok s montarna vlast drži dogovora o nultoj inflaiji, njna isplata u svakom koraku iznosi W (0,0) = ( b 1) y.

3 Vjžb 9 U koraku u kojm montarna vlast krši dogovor, njna isplata iznosi d W ( (0),0) = W ( (1 b) y,0) + d d (1 ) ( 1) (1 ) d = b y b y + d b y + d + d ( b 1) ( y ) = =. + d U svakom koraku nakon kršnja dogovora oba igrača igraju ravnotžn količin, pa j isplata montarn vlasti jdnaka d d W (, ) = W ( (1 b) y, (1 b) y ) d d d = (1 b) y ( b 1) y + d (1 b) y (1 b) y d (1 b) ( y ) = ( b 1) ( y ) d = ( b 1) ( y ) + 1. Montarnoj vlasti s isplati držati dogovora ako j: W (0,0) + W (0,0) δ + W (0,0) δ + > W ( (0),0) + W (, ) δ + W (, ) δ + W > W + W + + (0,0)(1 δ δ ) ( (0),0) (, )( δ δ ) 1 δ W > W + W 1 δ 1 δ (0,0) ( (0),0) (, ) (1 δ ) W > W δ + W δ (0,0) ( (0),0)(1 ) (, ) W ( (0),0) W (, ) δ > W ( (0),0) W (0,0) ( b 1) ( y ) d ( b 1) ( y ) + + > + + d + d ( b 1) ( y ) 1 ( 1) δ b y d ( b 1) ( y ) + 1 > ( b 1) ( y ) 1 : ( b 1) ( y ) + d + d δ d ( + d ) + ( + d ) + d δ > ( + d ) + d d ( + d ) d + d δ > ( + d ) + d d + d δ > 1 + d δ >. + d Kako j > 0, d > 0 jasno j da su i brojnik i nazivnik gornjg razlomka pozitivni i pri tom j brojnik manji od nazivnika. toga zaključujmo da j 0,1 + d. Dakl za δ > montarnoj vlasti s isplati držati dogovora. + d 3

4 Vjžb 9. (d) Funkija isplat poslodavima: ( ) U (, y) = 0.3 y Funkija isplat montarnoj vlasti: ( ) Pri tom j stvarna proizvodnja zadana s y ( ) = +. Uvrštavanjm stvarn proizvodnj u funkiju isplat montarnoj vlasti, dobivamo funkiju isplat montarnoj vlasti u ovisnosti o varijablama i : W (, ) = U (, ) = ( ) ( ( ) ) = = ( ) 100. = Uočimo da su dominantan igrač poslodavi. U invrznoj indukiji stoga krćmo od montarn vlasti (ndominantan igrač). U drugom koraku montarna vlast promotri očkivanj poslodavaa i rjšava sljdći problm: max W (, ). Nužan uvjt (lako s provjri da j to i dovoljan uvjt) kstrma nam daj: dw = ( ) = 0 d = 0 = = Dakl najbolji odgovor montarn vlasti na očkivanj poslodavaa j: ( ) =. () U prvom koraku poslodavi antiipiraju takav najbolji odgovor montarn vlasti, pa rjšavaju sljdći problm: max ( ( ) ). Jasno j da j maksimalna vrijdnost ov funkij koju maksimiziramo jdnaka 0 jr s radi o kvadratu izraza u zagradi pomnožnom s -1. Ta s maksimalna vrijdnost postiž kada j izraz u zagradi jdnak 0, tj. kada vrijdi ( ) =. Iz t činjni, uvrštavajući () dobivamo: ( ) = = = = 1680 = = 800 = : Dakl Nashova ravnotža ov dinamičk igr jst: (, ) = ( ( 800 ), 800) = 800, 800 = : = : optimalna stratgija montarn vlasti optimalna stratgija poslodavaa 4

5 Vjžb 9 Dok s montarna vlast drži dogovora o nultoj inflaiji, njna isplata u svakom koraku iznosi W (0, 0) = [ 100] = U koraku u kojm montarna vlast krši dogovor, njna isplata iznosi 1680 W ( (0),0) = W (,0) = = =. U svakom koraku nakon kršnja dogovora oba igrača igraju ravnotžn količin, pa j isplata montarn vlasti jdnaka W (, ) = W (800, 800) [ ] = ( ) 100 = Montarnoj vlasti s isplati držati dogovora ako j: W (0,0) + W (0,0) δ + W (0,0) δ + > W ( (0),0) + W (, ) δ + W (, ) δ + W > W + W + + (0,0)(1 δ δ ) ( (0),0) (, )( δ δ ) 1 δ W > W + W 1 δ 1 δ (0,0) ( (0),0) (, ) (1 δ ) W > W δ + W δ (0,0) ( (0),0)(1 ) (, ) W ( (0),0) W (, ) δ > W ( (0),0) W (0,0) δ > δ > δ > 9696 δ > δ > Uočimo da smo do istog rzultata mogli doći i jdnostavno uvrštavajući = 0.3 i d = 0.7 u izraz dobivn u () dijlu zadatka:. + d Dakl za δ > montarnoj vlasti s isplati držati dogovora. 5

6 Vjžb 9. (a) Prikažit sljdć igr u normalnom obliku: (b) Koliko stratgija ima prvi, a koliko drugi igrač u sljdćim igrama: Rjšnj: (a) (1) () (L',L') (L',D') (D',L') (D',D') L 1, 1, 3,4 3,4 D 6,5 8,7 6,5 8,7 (x,x,x) (x,x,y) (x,y,x) (x,y,y) (y,x,x) (y,x,y) (y,y,x) (y,y,y) L 1, 1, 1, 1, 4,3 4,3 4,3 4,3 5,6 5,6 8,7 8,7 5,6 5,6 8,7 8,7 D 9,10 1,11 9,10 1,11 9,10 1,11 9,10 1,11 (3) (,) (,M) (,L) (M,) (M,M) (M,L) (L,) (L,M) (L,L) G 1,1 1,1 1,1 0, 0, 0, 3,4 3,4 3,4 D,0 1,1 4,3,0 1,1 4,3,0 1,1 4,3 (b) (1) Prvi igrač ima 3 stratgij (prostor stratgija mu j jdnak prostoru akija). Drugi igrač, kao odgovor na bilo koju od 3 akija prvog igrača, mož poduzti n različitih akija. Drugim rijčima, svaka stratgija drugog igrača prdstavljna j jdnom urñnom trojkom oblika ( bi, bj, b k ), gdj j i = 1,, n, j = 1,, n, k = 1,, n. Zaključujmo da drugi igrač ima ukupno n n n 3 = n stratgija. () Prvi igrač ima n stratgija (prostor stratgija mu j jdnak prostoru akija). Drugi igrač, kao odgovor na bilo koju od n akija prvog igrača, mož poduzti različit akij. Drugim rijčima, svaka stratgija drugog igrača prdstavljna j jdnom urñnom n-torkom oblika ( b, b,, b ) i, i,, i 1,. Zaključujmo da drugi igrač, gdj su { } i1 i i n ima ukupno = n stratgija. 1 n 6

7 Vjžb 9 3. Dva konkurntska poduzća žl otvoriti svoj prodajn ntr u jdnom od sljdća tri grada: Baltazarova, Ciplgrad i Graškograd. Udaljnost izmñu Baltazarova i Ciplgrada j 15 km, izmñu Baltazarova i Graškograda j 10 km, t Ciplgrada i Graškograda 5 km. Proijnjno j da s u Baltazarovu mjsčno mož zaraditi kn, u Ciplgradu 40000, t u Graškogradu Ako oba poduzća otvor prodajn ntr u istom gradu, ukupna s zarada iz sva tri grada dijli na pola. U slučaju da prodajn ntr otvor u različitim gradovima, ntar koji j bliži prostalom trćm gradu zaradit ć i iznos koji bi s ostvario u tom gradu. (a) Promatrajt ovu igru kao statičku s potpunom informaijom, t j kao takvu prikažit i normalnom obliku. (b) Promatrajt ovu igru kao dinamičku sa savršnom informaijom, t j kao takvu prikažit u kstnzivnom obliku, uz prtpostavku da j prvo poduzć dominantno. () Promatrajt ovu igru kao dinamičku sa savršnom informaijom, t j kao takvu prikažit u kstnzivnom obliku, uz prtpostavku da j drugo poduzć dominantno. (d) Promatrajt ovu igru kao dinamičku sa nsavršnom informaijom, t j kao takvu prikažit u kstnzivnom obliku, uz prtpostavku da j prvo poduzć dominantno. () Promatrajt ovu igru kao dinamičku sa nsavršnom informaijom, t j kao takvu prikažit u kstnzivnom obliku, uz prtpostavku da j drugo poduzć dominantno. (f) DZ Koliko akija, a koliko stratgija ima svaki igrač u igrama (a) ()? Rjšnj: (a) Radi kraćg zapisa, u tablii ćmo izraziti isplat igračima u tisućama kuna: (b) Prvo poduzć j dominantno: B C G B 60,60 80,40 90,30 C 40,80 60,60 40,80 G 30,90 80,40 60,60 7

8 Vjžb 9 () Drugo poduzć j dominantno: (d) () (f) U (a) dijlu oba igrača imaju 3 akij i 3 stratgij jr kod statičkih igara općnito vrijdi da su prostori akija i prostori stratgija isti. 8

9 Vjžb 9 U (b) dijlu prvi igrač ima 3 akij i tri stratgij (kod dinamičkih igara prostor akija j jdnak prostoru stratgija za dominantnog igrača). Drugi (ndominantan) igrač ima 3 akij i = 7 stratgija. U () dijlu drugi (dominantan) igrač ima 3 akij i tri stratgij. Prvi (ndominantan) igrač ima 3 akij i = 7 stratgija. U (d) dijlu prvi (dominantan) igrač ima 3 akij i tri stratgij. Drugi (ndominantan) igrač ima 3 akij i 3 stratgij (budući da nma informaiju o tom koji j čvor iz njgovog informaijskog skupa dostignut). U () dijlu drugi (dominantan) igrač ima 3 akij i tri stratgij. Prvi (ndominantan) igrač ima 3 akij i 3 stratgij (budući da nma informaiju o tom koji j čvor iz njgovog informaijskog skupa dostignut). 9