TERMODINAMIČKI PARAMETRI su veličine kojima opisujemo stanje sistema.
|
|
- Λαδων Λύτρας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 TERMODINAMIKA U svakodnevnom govoru, često dolazi greškom do koriščenja termina temperatura i toplota u istom značenju. U fizici, ova dva termina imaju potpuno različito značenje. Razmatračemo kako se temperatura meri, kako je definišemo kao i efektivne promene dimenzija tela pri promeni njihove temperature. Videčemo da toplota predstavlja količinu energije koja kada se dovede nekom telu uzrokuje njegovu promenu temperature. Podsetičemo se, takođe nekih transformacija energije kao na primer: prelaz mehaničke energije u toplotnu prilikom kretanja tela po neravnoj podlozi, hemijske u električnu itd. što nam ukazuje na procese u termodinamici o kojima če biti reči. Termodinamika i njen formalizam su neodvojivi deo temelja fizike, hemije i drugih prirodnih i primenjenih nauka. Primeri kao što su rad frižidera, rad automobilskih motora, biohemijski procesi, struktura zvezda itd. su jedni od onih koji nam ukazuju na primenu termodinamičkog formalizma na ovaj ili onaj način u prirodnim ili ljudskom rukom stvorenim sistemima. Govoreči o zakonu održanja mehaničke energije naglašavamo da ovaj zakon važi u slučaju sistema u kojima deluju konzervativne sile. Ukoliko na sistem deluju nekonzervativne sile, onda ne važi ovaj zakon, jer se mehanička energija troši pod delovanjem nekonzervativnih sila. Nekonzervativne sile se javljaju u interakcijama mnogočestičnih sistema. Rasipanje mehaničke energije je karakteristično za mnogočestične sisteme. TERMODINAMIČKI SISTEM je fizički sistem sa velikim brojem interagujučih čestica koji je ograničen. OKOLINA sistema je sve što se nalazi izvan granica sistema. Sistem je odvojen od okoline graničnom površi koja može biti zamišljena (posmatrani deo tečnosti) i realni ( gas zatvoren u nekoj posudi). TERMODINAMIČKI PARAMETRI su veličine kojima opisujemo stanje sistema. TOPLOTNO KRETANJE I UNUTRAŠNJA ENERGIJA Kod mnogočestičnog sistema postoje dva tipa kretanja: Mehaničko kretanje sistema, a to je kretanje sistema kao celine usled delovanja spoljašnjih sila Toplotno kretanje čestica sistema koje postoji kada sistem kao celina miruje. Zbog toplotnog kretanja svaka čestica sistema ima kinetičku energiju, a zbog interakcije sa ostalim česticama ima i potencijalnu energiju.
2 Izolovani sistemi Zatvoreni sistem Otvoreni sistem Slika. IZOLOVAN SISTEM: i masa i energija su konstantni (ne izmjenjuju se s okolinom) ZATVOREN SISTEM: masa je konstantna, ali energija se može izmjenjivati s okolinom. OTVOREN SISTEM: i masa i energija se mogu izmjenjivati s okolinom.
3 Statistički metod se koristi u statističkoj fizici. Statistička fizika je oblast fizike koja se bavi fizičkim sistemima sastavljenim iz velikog broja čestica (reda veličine Avogadrovog broja). Njen zadatak je da opiše makroskopske, merljive fizičke veličine na osnovu osobina, ponašanja i uzajamnog dejstva mikro konstituenata tog sistema. Pri određivanju ponašanja čestica sistema, statistička fizika se koristi metodama teorije verovatnoče i statistike.
4 Kao prvi od značajnih radova, javlja se rad Rudolfa Klauzijusa ( ) iz molekularne teorije gasova u kome je pokazano da je toplota u stvari kinetička energija haotičnog kretanja molekula. TERMODINAMIČKI PARAMETRI su veličine koje fenomenološki opisuju osobine sistema: Temperatura (T), pritisak (p), zapremina(v), unutrašnja energija (U), entropija (S) Intenzivni parametri (pritisak i temperatura) ne zavise od veličine sistema odnosno od količine supstance. Ekstenzivni parametri ( zapremina, unutrašnja energija, entropija) zavise od veličine sistema. Njihova vrednost poraste onoliko puta koliko puta poraste broj čestica u sistemu, dakle proporcionalna je količini supstance. Niz termodinamičkih parametara potpuno određuje stanje sistema. Svaki put kada se sistem vrati u početno stanje, sve veličine stanja (parametri) poprimiče odgovarajuče početne vrednosti Funkcija stanja sistema zavisi samo od početnog i krajnjeg stanja sistema, ali ne i od puta ili načina na koji je sistem došao u to stanje. Funkcije procesa zavise od puta ili načina promene stanja sistema. To su npr. toplota, rad itd. Postoje dva osnovna termodinamička stanja sistema: Ravnotežno stanje je stanje sistema u kome se svi termodinamički parametri, pri ne promenjenim spoljašnjim uslovima, ne menjaju u toku vremena. Stacionarno stanje je stanje sistema kod koga se parametri sistema ne menjaju u toku vremena iako sistem sa okolinom razmenjuje energiju. Postoje dva osnovna termodinamička procesa Termodinamički proces je prelaz sistema iz jednog stanja u drugo usled promene spoljašnjih uslova.
5 Povratni ( reverzibilni) procesi mogu se odvijati u oba smera preko istih međustanja. U reverzibilnom procesu sistem prolazi kroz niz ravnotežnih stanja. Nepovratni (ireverzibilni) procesi su procesi u kojima iz jednog prelazimo u drugo stanje ali se istim putem ne možemo vratiti u prvo stanje. Večina realnih termodinamičkih procesa su nepovratni. Iz početnog stanja sistem pređe u stanje ravnoteže, ali se prelaz u obrnutom smeru neče dogoditi. Termodinamičke sisteme karakterišu termodinamički parametri: pritisak, zapremina, temperatura, unutrašnja energija, entropija.. Sistem se nalazi u stanju termodinamičke ravnoteže kada su u bilo kojoj tački sistema parametri nepromenljivi u toku vremena. Vreme koje protekne između narušavanja termodinamičke ravnoteže i ponovnog vraćanja u ravnotežni položaj, naziva se vreme relaksacije, a taj proces se naziva relaksacija U termodinamici ima više vrsta ravnoteža. Ovde dajemo primer mehaničke i toplotne ravnoteže.
6 S 1, P 1 P 1 =P 2 P 2, S 2 Izjednačavanjem pritisaka podsistema, složeni sistem dolazi u ravnotežno stanje, a podsistemi u stanje mehaničke ravnoteže Termodinamički sistemi sa jednakim pritiscima su u stanju mehaničke ravnoteže TEMPERATURA Kelvin je termodinamička temperatura koja je jednaka 1/273,15 delu termodinamičke temperature trojne tačke vode. Kelvin je osnovna jedinica u SI za temperaturu, koja se skraćeno označava sa K. Raspon od jednog kelvina je jednak jednom stepenu celzijusa ( C). Najniža moguća temperatura u svemiru je 0 kelvina i naziva se apsolutna nula. Tačka mržnjenja vode iznosi 273,15 Kelvina (napomena: na pojedinim mestima je to 273,14 Kelvina)
7 Termodinamički sistemi sa jednakim temperaturama su u stanju toplotne ravnoteže. TERMODINAMIČKI RAD Posmatrajmo otvoreni cilindar u kome se nalazi nekakav gas i zatvoren je pokretnim klipom. Ako zagrevamo gas u cilindru, spontano dolazi do pomeranja klipa. Tada možemo reči da dolazi do vršenja rada sistema. Polazimo od definicije mehaničkog rada i dolazimo do rada u termodinamici: da = F dx = p S dx = pdv F-sila kojom se deluje na klip dx-pomeraj klipa
8 dv-zapremina dela klipa =Sdx Daljim razmatranjem, dolazimo do opštijeg oblika za termodinamički rad : A = x x 2 1 psdx = V 2 V 1 pdv Slika koja prati ovu definiciju rada može se prikazati kao p V dijagram u kome se odigrava prelaz iz jednog u drugo stanje sistema: Površ ispod linije procesa jednaka je izvršenom radu u datom procesu.
9 Ako posmatramo kružni proces u pv dijagramu, rad takvog procesa nije nula već je jednak površi unutar kružnog procesa.u termodinamici je uobičajeno da se diferencijali funkcija procesa obeležavaju simbolom. PRIMERI ZA PRVI PRINCIP TERMODINAMIKE Ako uzmemo konzervu soka iz frižidera i ostavimo je na kuhinjskom stolu njena temperatura će rasti brzo na početku, a zatim sporije dok se temperatura konzerve ne izjednači sa sobnom temperaturom. Na isti način šolja vruče kafe će opadati sve dok ne dostigne sobnu temperaturu. Ukoliko ovaj slučaj uopštimo možemo opisati konzervu pića ili šolju kafe kao sistem (temperature T s ), a odgovarajuže delove kuhinje kao okolinu (temperature T 0 ) datog sistema. Zapažamo da ako T s nije jednako T 0, tada će se T s menjati sve dok se te dve temperature ne izjednače. Ovakva promena temperature je posledica prenosa jednog oblika energije između sistema i njegove okoline. Ova energija je unutrašnja energija koja predstavlja skup kinetičkih i potencijalnih energija povezanih sa slučajnim kretanjem atoma, molekula i drugih mikroskopskih čestica unutar predmeta. Prenesena unutrašnja energija se naziva količina toplote i označava se sa Q. Usvojeno je da je količina toplote pozitivna kada se unutrašnja energija prenosi (dovodi) sistemu iz njegove okoline (kaže se da je toplota apsorbovana), a negativna kada se unutrašnja energija prenosi (odvodi) iz sistema u njegovu okolinu (tada se kaže da se toplota oslobađa ili gubi). Primer: Kada je T s >T 0, unutrašnja energija se prenosi od sistema ka okolini, pa je Q negativno.
10 Kada je T s =T 0,tada nema prenosa, Q=0. Kada je T s <T 0, prenos je od okoline ka sistemu, pa je Q pozitivno. Definišimo količinu toplote: Količina toplote je energija koja se prenosi između sistema i njegove okoline usled razlike temperatura koja postoji između njih. PRVI ZAKON TERMODINAMIKE Drugi način formulacije zakona održanja energije je I zakon termodinamike δq = δa + du Količina toplote dovedena sistemu potroši se na porast unutrašnje energije sistema du i na rad koji sistem δa izvrši nad okolinom δq i δa nisu funkcije stanja sistema. One imaju značenje samo dok opisuju prenošenje energije u sistem ili iz njega, dodajuči ili oduzimajuči određenu količinu unutrašnje energije sistema. Dakle one su funkcije procesa. Neki specijalni slučajevi prvog zakona termodinamike. 1) Adijabatski proces δq=0. Sledi da je du= - δa. Ovo znači idealno izolovan sistem. 2) Izohorni proces V=const. δa=pdv sledi da je dv=0 i odatle δa=0. To znači da je ne vrši rad. du=δq. Ako se zapremina sistema održava konstantnom onda takav sistem 3) Ciklični procesi u kojima se sistem, posle određene razmene toplote i rada vrača u početno stanje. U tom slučaju se nijedna unutrašnja veličina sistema ne menja a to znači ni unutrašnja energija. Tada imamo δq=δa. Ovo je karakteristika i izotermskog procesa, odnosno pri T=const unutrašnja energija sistema se ne menja.
11 DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE Posmatramo a) proces topljenja komada leda u metalnoj kutiji koja je zagrejana do 70 stepeni. U ovom slučaju povratni proces nije moguč. Metalna kutija se rashladi do 40 stepeni i u njoj ostaje voda. U slučaju b) Posmatramo metalnu kutiju čija je temperatura 0 stepeni i unutar nje komad leda na 0 stepeni. Kada infinitezimalno malo menjamo temperaturu unutar metalne kutije možemo imati povratni proces u smislu da naizmenično led postaje voda i voda ponovo postaje led. Slika. Nadovezujemo se na ovaj primer tako što uvodimo funkciju entropije S kao kvantitativnu meru uređenosti sistema. Uzimamo primer izotermskog procesa pri veoma maloj promeni zapremine (izotermska ekspanzija) Pošto je T=const sledi da je i du=0. Odatle imamo da je δq = δa = pdv = i tako dobijamo nrt V dv dv δq = V nrt dv nr V δq = T dv/v ovaj relativni odnos zapremina može se razumeti kao mera rasta neuređenosti. Gas je u stanju veče neuređenosti posle širenja nego pre širenja, jer se molekuli kreču u večoj zapremini i imaju veču neodređenost u nalaženju njegovog položaja. Na ovaj način uvodimo pojam entropije.
12 Stoga II zakon termodinamike kaže da spontanim procesom sistem prelazi iz stanja manjeg u stanje većeg nereda. Stanje veće neuređenosti je verovatnije. Entropiju možemo povezati sa stanjem neuređenosti sistema. Entropija predstavlja meru neuređenosti sistema. Možemo meriti promenu entopije sistema.po definiciji : Ne merimo apsolutnu entropiju sistema već njenu promenu. T-temperatura sistema, dq- količina toplote Drugi zakon termodinamike može se formulisati u obliku: Ne postoji mašina koja bi uzimala toplotu iz rezervoara određene temperature i pretvarala ga potpuno u rad ili Pri svakom spontanom procesu, ukupna entropija sistema i okoline se povečava.entropija, dakle opisuje i smer spontanih procesa. Oni svi teku u smeru sveopšteg povečanja entropije. U izolovanim sistemima kada dođe do ravnoteže termodinamičkog sistema,entropija ima maksimalnu vrednost.termodinamički potencijalisu unutrašnja energija U, Gipsov potencijal G, slobodna energija F i entalpija H. Svaka od ovih funkcija zavisi od određenih parametara sistema. U(S,V); G(T, p); F(T,V); H(S,p) TERMODINAMIKA IDEALNOG GASA pv=const: IDEALAN GAS pv nije jednako konstanti: REALAN GAS
13 Osnovni zakoni termodinamike
14 Slika. Prikazana su tri osnovna empirijska zakona termodinamike u p-v dijagramima. Jednačina stanja idealnog gasa Na osnovu prethodno navedenih eksperimentalnih zakona, došlo se do jednačine Koja je poznata kao jednačina idealnog gasa m- masa gasa p-pritisak, V-zapremina, T-temperatura M-molarna masa gasa R-gasna konstanta
15 Ova jednačina povezuje toplotne kapacitete sistema pri konstantnom pritisku I konstantnoj temperaturi sa gasnom konstantom R TERMODINAMIKA REALNOG GASA R je gasna konstanta
16 Slika. Eksperimentalne izoterme za vrednosti temperature 330K Ako budemo uračunavali dimenzije čestica i međumolekulske sile, lako ćemo jednačinu stanja idealnog gasa pretvoriti u Van der Valsovu jednačinu realnog gasa:
17 Slika. Zapremina koje čestice koriste za kretanje (tj. zapremina okolo čestica) je manja od zapremine suda, jer i same čestice zauzimaju neku zapreminu: Faktor za zapreminu korigovao je Van der Vals. Gde je n - broj molova gasa, b - zapremina koja zauzimaju molekuli jednog mola gasa. Pritisak koji određujemo zapravo je manji od stvarnog pritiska zbog međumolekulskihprivlačnih sila. Pa važi: Gde je - odnos kvadratne vrednosti broja molova gasa i kvadrata zapremine, a - konstanta koja govori o tome koliko su jake međumolekulske sile. Odavde se zamenom u: dobija Van der Valsova jednačina stanja: Na osnovu ove formule možemo tačnije meriti i vršiti eksperimente sa gasovima koji su svugde oko nas (gasovi koji su realni u prirodi).
18 XX T k T 3 T 2 T 1
19 Slika. Zapaža se da se plato eksperimentalne izoterme realnog gasa smanjuje sa porastom temperature. Temperature ovih eksperimentalnih izotermi stoje u odnosu: T k >T 3 >T 2 >T 1 SPONTANI PROCESI PRENOSA Prenos toplote provođenjem se ostvaruje interakcijom delića koji vrše termičko kretanje, pri čemu se delovi tela ne pomeraju. Prenošenje toplote putem pokretanja(strujanja) toplog materijala (fluida) je konvekcija Prirodna konvekcija je pojava kada se topli materijal kreće sam od sebe (spontano) zbog razlika u gustini. Prinudna konvekcija je kretanje (strujanje) toplog materijala pod uticajem spoljašnjih faktora. Slika. Konvekcija molekula vode Toplota se između tela može prenositi i bez direktnog kontakta zračenje, tj. emisijom elektromagnetnog toplotnog zračenja Ako je gustina u jednom delu zapremine veča nego u drugom delu zapremine, počeče kretanje molekula gasa ili fluida iz dela sa večom gustinom u deo sa manjom gustinom. Ovaj proces prenosa mase iz jednog dela zapremine u drugi deo, usled različite koncentracije molekula, naziva se difuzija.
20
Drugi zakon termodinamike
Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραBIOFIZIKA TERMO-FIZIKA
BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA Akademik, prof. dr Jovan P. Šetrajčić jovan.setrajcic@df.uns.ac.rs Univerzitet u Novom Sadu Departman za fiziku PMF Powered byl A T E X 2ε! p. / p. 2/ Termika FENOMENOLOŠKA TEORIJA
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραU unutrašnja energija H entalpija S entropija G 298. G Gibsova energija TERMOHEMIJA I TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA
HEMIJSKA TERMODINAMIKA Bavi se energetskim promenama pri odigravanju hemijskih reakcija. TERMODINAMIČKE FUNKCIJE STANJA U unutrašnja energija H entalpija S entropija Ako su određene na standardnom pritisku
Διαβάστε περισσότεραGASNO STANJE.
GASNO STANJE http://www.ffh.bg.ac.rs/geografi_fh_procesi.html AGREGATNA STANJA MATERIJE Četiri agregatna stanja materije na osnovu stepena uređenosti, tj. odnosa termalne energije čestica i energije međumolekulskih
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραTOPLOTA I RAD, PRVI ZAKON TERMODINAMIKE
TOPLOTA I RAD, PRI ZAKON TERMODINAMIKE Mehanički rad u termodinamici uvek predstavlja razmenu energije izmedju sistema i okoline. Mehanički rad se javlja kao rezultat delovanja sile duž puta: W Fdl W Fdl
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραRad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet
Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri
Διαβάστε περισσότεραC 273,15, T 273,15, 1 1 C 1 50 C 273,15 K 50K 323,15K 50K 373,15K C 40 C 40 K
1 Zadatak temperatura K- C Telo A se nalazi na temperaturi 50 C i zagreje se za 50 K. Telo B se nalazi na temperaturi 313 K.i zagreje se za 40 C. Koje je telo toplije posle zagravanja i kolika je razlika
Διαβάστε περισσότεραTOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem.
1.OSNOVNI POJMOVI TOPLOTA Primjeri * KALORIKA Nauka o toploti * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. * TD SISTEM To je bilo koje makroskopsko tijelo ili grupa tijela,
Διαβάστε περισσότεραTERMOENERGETIKA. Boričić Aleksandra
TERMOENERGETIKA Boričić Aleksandra Šta proučava termodinamika? Termodinamika je nauka koja proučava pojave vezane za međusobno pretvaranje jednog oblika energije u drugi. Termodinamika analizira i definiše
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραMolekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika
Molekularna fizika proučava strukturu i svojstva supstanci polazeći od molekularno -kinetičke teorije: supstance su sastavljene od vrlo malih čestica (molekula, atoma i jona) koji se nalaze u stalnom haotičnom
Διαβάστε περισσότεραKonstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Διαβάστε περισσότεραIdealno gasno stanje-čisti gasovi
Idealno gasno stanje-čisti gasovi Parametri P, V, T i n nisu nezavisni. Odnos između njih eksperimentalno je utvrđeni izražava se kroz gasne zakone. Gasni zakoni: 1. ojl-maritov: PVconst. pri konstantnim
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραTERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota
TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota TERMODINAMIKA TERMO TOPLO nauka o kretanju toplote DINAMO SILA Termodinamika-nauka odnosno naučna disciplina koja ispituje odnose između promena u sistemima
Διαβάστε περισσότεραTermodinamika se bavi materijom u svim agregatnim stanjima.
Termodinamika - Termo toplota - Dinamika promena, snaga Termodinamika je oblast fizike koja se bavi odnosima između toplote i drugih oblika energije. Konkretno objašnjava kako se toplotna energija pretvara
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραPrvi zakon termodinamike
Prvi zakon termodinamike Uvod Prvi princip termodinamike je apsolutni prirodni zakon koji važi za sve pojave koje se odigravaju na svim prostornim nivoima (mikro, makro i mega svetu). Zasnovan je na brojnim
Διαβάστε περισσότεραRAD, SNAGA I ENERGIJA
RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραEnergetska priroda toplote Mejer i Džul (R. Mayer, , i J. Joul, ) W. Thomson S. Carnot J. W. Gibbs
ERMODINAMIKA ermodinamika naučna disciplina koja proučava energetske promene koje prate univerzalne procese u prirodi kao i vezu tih promena sa osobinama materije koja učestvuje u njima. ermodinamika je
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραNULTI I PRVI ZAKON TERMODINAMIKE
NULTI I PRVI ZAKON TERMODINAMIKE NULTI ZAKON (princip)termodinamike ako su dva sistema A i B u međusobnom termičkom kontaktu, i u ravnoteži sa trećim sistemom C onda su u ravnoteži i jedan sa drugim Ako
Διαβάστε περισσότεραPRELAZ TOPLOTE - KONVEKCIJA
PRELAZ TOPLOTE - KONVEKCIJA Prostiranje toplote Konvekcija Pri konvekciji toplota se prostire kretanjem samog fluida (tečnosti ili gasa): kroz fluid ili sa fluida na čvrstu površinu ili sa čvrste površine
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti
MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom
Διαβάστε περισσότεραTermohemija. C(s) + O 2 (g) CO 2 (g) H= -393,5 kj
Termohemija Termodinamika proučava energiju i njene promene Termohemija grana termodinamike odnosi izmeñu hemijske reakcije i energetskih promena koje se pri tom dešavaju C(s) + O 2 (g) CO 2 (g) H= -393,5
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότερα2. TERMODINAMIKA 2.1. Prvi zakon termodinamike
. ERMODINAMIKA.. rvi zakon termodinamike ermodinamika je naučna disciplina koja proučava energetske promene koje prate univerzalne procese u prirodi kao i vezu tih promena sa osobinama materije koja učestvuje
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραza reverzibilan kružni proces količina toplote koju je sistem na svojoj nižoj temperaturi T 1 predao okolini i ponovo prešao u početno stanje
ENROPIJA Spontani procesi u prirodi se uvek odvijaju u određenom smeru (npr. prelazak toplote sa toplijeg na hladnije telo) što nije moguće opisati termodinamičkim funkcijama do sad obrađenim. Nulti zakon
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραReverzibilni procesi
Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože
Διαβάστε περισσότεραMašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραTermodinamika. Termodinamika
ermodinamika Postoje brojne definicije termodinamike kao nauke o toploti. ako na primjer, prema Enriku Fermiju: Glavni sadržaj termodinamike je opisivanje transformacije toplote u mehnaički rad i obratno
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραSPONTANI PROCESI II ZAKON TERMODINAMIKE
SPONANI PROCESI II ZAKON ERMODINAMIKE I zakon termodinamike se bavi termodinamičkim procesom kao procesom koji je praćen ekvivalentnošću različitih oblika energije bez ikakvih ograničenja odnosno ne govori
Διαβάστε περισσότεραOsnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji
Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότερα13.1. Termodinamički procesi O K O L I N A. - termodinamički sustav: količina tvari unutar nekog zatvorenog volumena
13. TERMODINAMIKA - dio fizike koji proučava vezu izmeñu topline i drugih oblika energije (mehanički rad) - toplinski strojevi: parni stroj, hladnjak, motori s unutrašnjim izgaranjem - makroskopske veličine:
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραTERMODINAMIKA.
TERMODINAMIKA http://www.ffh.bg.ac.rs/geografi_fh_procesi.html 1 Termodinamika naučna disciplina koja proučava energetske promene koje prate univerzalne procese u prirodi kao i vezu tih promena sa osobinama
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραTERMODINAMIKA. Sistem i okruženje
TERMODINAMIKA Sistem i okruženje SISTEM je deo sveta koji nas zanima; to je bilo koji objekat, bilo koja količina materije, bilo koji deo prostora, izabran za ispitivanje i izdvojen (misaono) od svega
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραPRVI I DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE
PRVI I DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE TERMODINAMIČKI SUSTAVI - do sada smo proučavali prijenos energije kroz mehanički rad i kroz prijenos topline - uvijek govorimo o prijenosu energije u ili iz specifičnog
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραTermodinamički zakoni
Termodinamički zakoni Stanje sistema Opisano je preko varijabli stanja tlak volumen temperatura unutrašnja energija Makroskopsko stanje izoliranog sistema može se specificirati jedino ako je sistem u unutrašnjoj
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότερα