Determinante. Inverzna matrica
|
|
- Δωρόθεος Μακρή
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši po svim permutacijama p ν = (j 1, j 2,, j n ) skupa {1, 2,, n}, a j je broj inverzija u permutaciji p ν n = 1 : a 11 = a 11 ; n = 2 : a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 ; a 11 a 12 a 13 n = 3 : a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 Kofaktor elementa a ij je + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 A ij = ( 1) i+j D ij, gde je D ij determinanta reda n 1 dobijena iz det A izostavljanjem i te vrste i j te kolone Laplasov razvoj determinante po elementima i te vrste (i = 1, 2,, n): a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in a n1 a n2 a nn 1
2 2 Laplasov razvoj determinante po elementima j te kolone (j = 1, 2,, n): a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n = a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj a n1 a n2 a nn Adjungovana matrica matrice A = [a ij ] n n je matrica A 11 A 21 A n1 adj A = [A ji ] n n = [A ij ] T A 12 A 22 A n2 n n =, A 1n A 2n A nn gde je A ij kofaktor elementa a ij (i, j = 1, 2,, n) Inverzna matrica matrice A = [a ij ] n n je matrica A 1 takva da važi Ako je det A 0, tada je A A 1 = A 1 A = I A 1 = 1 adj A det A Matrica A je regularna ako postoji njena inverzna matrica A 1 U protivnom, matrica A je singularna
3 3 Zadaci: Date su matrice A = i B = Izračunati determinantu det(ab) Rešenje: Kako je det(ab) = det A det B i matrice A i B su trougaone matrice, to odmah nalazimo det(ab) = (1 3 6) (( 3) 1 ( 4) ) = = Izračunati determinantu a a a a D = a b b b a b c c a b c d Odrediti pod kojim uslovima za parametre a, b, c, d R važi D 0 Rešenje: Radi lakšeg računanja determinante, dovedimo je na trougaoni oblik Ako se prva vrsta pomnoži sa 1 i doda drugoj, trećoj i četvrtoj redom, dobija se a a a a a a a a D = a b b b a b c c = 0 b a b a b a 0 b a c a c a a b c d 0 b a c a d a Pomnožimo sada drugu vrstu sa 1 i dodajmo trećoj i četvrtoj Tako je a a a a D = 0 b a b a b a 0 0 c b c b 0 0 c b d b Konačno, ako treću vrstu pomnožimo sa 1 i dodamo četvrtoj, determinanta dobija trougaoni oblik
4 4 a a a a D = 0 b a b a b a 0 0 c b c b, d c pa je njena vrednost jednaka proizvodu elemenata na glavnoj dijagonali, tj D = a(b a)(c b)(d c) Očigledno, D 0 ako je a 0, a b, b c i c d 3 Neka je x P (x) = 1 1 x 1 1 x 1 1 x Odrediti sve nule polinoma P (x) i njihovu višestrukost Rešenje: Polinom P (x), dat u obliku determinante, predstavimo u faktorisanom obliku Rezultat dobijamo postupkom koji se sastoji od sledećih koraka: prvoj koloni dodamo zbir ostalih kolona, iz prve kolone izvučemo x + 3 kao zajednički faktor, prvu vrstu pomnožimo sa 1 i dodamo drugoj, trećoj i četvrtoj vrsti redom, razvijemo determinantu po elementima prve kolone, iz svake kolone izvučemo x 1 kao zajednički faktor, razvijemo determinantu po elementima prve kolone Tako je x x x P (x) = 1 1 x 1 1 x 1 1 = x x 1 x + 3 x 1 1 x x x x = (x + 3) 1 1 x 1 1 x 1 1 = (x + 3) 0 0 x 1 1 x 0 x x x 0 x 1 1 x = (x + 3) x x = (x + 3)(x 1) x = (x + 3)(x 1) = (x + 3)(x 1)3
5 Iz faktorisanog oblika zaključujemo da polinom P (x) ima nulu prvog reda x = 3 i nulu trećeg reda x = Rešiti jednačinu po realnoj promenljivoj x 1 a bx 1 b ax = 0, a, b R 1 x ab Rešenje: Primenićemo osobinu da se determinanta ne menja ako se od elemenata jedne vrste oduzmu odgovarajući elementi neke druge vrste Razvićemo determinantu tako što ćemo primeniti sledeće korake: 1 korak: od elemenata druge i treće vrste oduzimamo odgovarajuće elemente prve vrste; 2 korak: iz druge vrste izvlačimo zajednički činilac (b a), a iz treće zajednički činilac (x a); 3 korak: razvijamo determinantu po elementima prve kolone; 4 korak: razvijamo determinantu drugog reda Imamo 1 a bx 1 b ax 1 x ab = 1 a bx 1 a bx 0 b a (a b)x = (b a)(x a) 0 1 x 0 x a (a x)b 0 1 b = (b a)(x a) 1 x 1 b = (b a)(x a)(x b) Tražimo rešenje jednačine u zavisnosti od a, b R Vidimo da za 1 a = b rešenje je svako x R; 2 a b rešenje je x = a ili x = b (b a)(x a)(x b) = 0 5 Da li je polinom deljiv sa (x 1) 2? 1 x x P (x) = x 1 x x x 1
6 6 Rešenje: Važi osobina da se vrednost determinante ne menja ako se elementima jedne kolone (vrste) doda linearna kombinacija odgovarajućih elemenata ostalih kolona (vrsta) Razvijamo determinantu na sledeći način: 1 korak: elementima prve kolone dodajemo elemente druge i treće kolone; 2 korak: iz prve kolone izvlačimo zajednički činilac (2x + 1); 3 korak: oduzimamo od elemenata druge i treće vrste odgovarajuće elemente prve vrste; 4 korak: izračunavamo vrednost dobijene trougaone determinante znajući da je ona jednaka proizvodu dijagonalnih elemenata Imamo 1 x x x 1 x x x 1 = 2x + 1 x x 1 x x 2x x = (2x + 1) 1 1 x 2x + 1 x 1 1 x 1 1 x x = (2x + 1) 0 1 x x = (2x + 1)(1 x)2 = (2x + 1)(x 1) 2 Vidimo da je polinom P (x) = (2x + 1)(x 1) 2 deljiv sa (x 1) 2 6 Predstaviti polinom P (x) = 1 3 x x 2 3 u faktorisanom obliku Rešenje: Uočimo da su u datoj determinanti skoro svi (tri od četiri) odgovarajući elementi prve i druge kolone jednaki i da je ista situacija i sa odgovarajućim elementima treće i četvrte kolone Zato je pogodno koristiti osobinu da se vrednost determinante ne menja ako se od elemenata jedne kolone oduzmu odgovarajući elementi neke druge kolone Postupak za rešavanje date determinante je: od elemenata druge kolone oduzimamo odgovarajuće elemente prve kolone i od elemenata četvrte kolone oduzimamo odgovarajuće elemente treće kolone, razvijamo dobijenu determinantu
7 četvrtog reda po elementima četvrte kolone U sledećem koraku razvijamo dobijenu determinantu trećeg reda po elementima druge kolone i konačno razvijamo determinantu drugog reda: P (x) = 1 3 x = 1 4 x x x 2 9 = (x ) 1 4 x = (x2 9)(4 x 2 ) = 23(x 2 9)(4 x 2 ) = 23(x 3)(x + 3)(x 2)(x + 2) 7 7 Naći sva rešenja jednačine 1 2x 1 2 x x 3x 2 x = 0 Rešenje: Primetimo da je u datoj determinanti zbir elemenata u svakoj vrsti jednak Stoga možemo dodati elementima, na primer, prve kolone odgovarajuće elemente ostalih kolona U prvoj koloni su na taj način dobijeni svi jednaki elementi 2x + 2 i možemo tu vrednost izvući kao činilac ispred determinante 1 2x 1 2 x x 3x 2 x = 2x + 2 2x 1 1 2x 1 2x + 2 x x = (2x + 2) 1 x x 2x x 1 2 x S obzirom da su u prvoj koloni sada svi elementi jednaki, lako ćemo od tih elemenata (osim jednog) napraviti nule tako što oduzmemo elemente prve vrste od odgovarajućih elemenata druge i treće vrste Dobijenu determinantu trećeg reda razvijamo po elementima prve kolone, a zatim računamo determinantu drugog reda: 1 2x 1 1 2x 1 (2x + 2) 1 x x = (2x + 2) 0 x x 1 = (2x + 2) x x x 0 2 2x x 1 2 2x x 1 = (2x + 2) [ x( x 1) (x 1)(2 2x) ] = (2x + 2)(3x 2 3x + 2)
8 8 Rešenja jednačine su x 1 = 1, x 2 = 3 + i 15 6 (2x + 2)(3x 2 3x + 2) = 0 i x 3 = 3 i Naći sve nule polinoma 1 2x 1 P (x) = 2x x Rezultat: Polinom je jednak P (x) = (2x + 2)(2x 1) 2 Nule su x 1 = 1 (prosta nula), x 2 = 1/2 (dvostruka nula) 9 Ispitati da li je polinom deljiv sa (x + 2) 2 x 1 3 P (x) = 1 x x Rezultat: Polinom je jednak P (x) = (x + 2)(x 1 2)(x 1 + 2) i nije deljiv sa (x + 2) 2 10 Izračunati vrednost D n determinante n tog reda (n N): a) D n = ; b) D n = Rešenje: a) Primetimo najpre da je D n determinanta trodijagonalne matrice A = [a ij ] n n, čiji su dijagonalni elementi a ii = 3 (i = 1, 2,, n), elementi iznad glavne dijagonale a i 1,i = 2, elementi ispod glavne dijagonale a i,i 1 = 1
9 (i = 2, 3,, n), a svi ostali elementi jednaki 0 Razvijanjem determinante D n po elementima prve kolone dobija se D n = = Prva od dve dobijene determinante reda n 1 ima isti trodijagonalni oblik kao polazna, pa može da se označi sa D n 1 Drugu razvijamo po elementima prve vrste i dobijamo = 2 = 2D n 2, jer je poslednja determinanta ponovo istog oblika kao polazna, ali je reda n 2 Prema tome, važi D n = 3D n 1 2D n 2, tj članovi niza {D n } zadovoljavaju homogenu linearnu diferencnu jednačinu drugog reda sa konstantnim koeficijentima Njena karakteristična jednačina je D n 3D n 1 + 2D n 2 = 0 λ 2 3λ + 2 = 0, sa rešenjima λ 1 = 1 i λ 2 = 2 Zato je rešenje diferencne jednačine D n = k 1 λ n 1 + k 2 λ n 2 = k 1 + k 2 2 n, pri čemu se konstante k 1 i k 2 odred uju iz početnih uslova: D 1 = 3 = 3, D 2 = = 7 9
10 10 Kako je D 1 = k 1 + k = k 1 + 2k 2, D 2 = k 1 + k = k 1 + 4k 2, rešavanjem sistema jednačina k 1 + 2k 2 = 3, k 1 + 4k 2 = 7, dobija se k 1 = 1, k 2 = 2 Konačno, tražena vrednost determinante je D n = n = 2 n+1 1 b) Postupkom opisanim u delu zadatka pod a) dobija se D n = = = 4D n 1 4 = 4D n 1 4D n 2, što znači da D n zadovoljava diferencnu jednačinu D n 4D n 1 + 4D n 2 = 0 Karakteristična jednačina ove diferencne jednačine je λ 2 4λ + 4 = 0 i ima jedno dvostruko rešenje λ = 2 Zato je D n = k 1 2 n + k 2 n2 n, gde su k 1 i k 2 konstante odred ene iz početnih uslova
11 D 1 = 2k 1 + 2k 2 = 4 = 4, D 2 = 4k 1 + 8k 2 = = Rešavanjem sistema jednačina 2k 1 + 2k 2 = 4, 4k 1 + 8k 2 = 12, dobija se k 1 = k 2 = 1, pa je D n = 2 n (1 + n) 11 Za n N izračunati vrednost determinante n-tog reda: a) D n = ; b) D n = ; c) D n = ; d) D n = Rešenje: a) Razvijamo determinantu D n po elementima prve vrste i dobijamo D n = 5D n 1 3 = 5D n 1 3 2D n 2, n 1 pri čemu smo poslednju determinantu razvili po elementima prve kolone Dobija se diferencna jednačina D n 5D n 1 + 6D n 2 = 0 čija je karakteristična jednačina
12 12 λ 2 5λ + 6 = 0 λ 1 = 2, λ 2 = 3 Rešenje ove diferencne jednačine je oblika D n = K 1 2 n + K 2 3 n, n N Koeficijente K 1 i K 2 odred ujemo iz uslova D 1 = 5 = 5 = 2K 1 + 3K 2, D 2 = = 19 = 4K 1 + 9K 2 Rešenje dobijenog sistema je jednako K 1 = 2, K 2 = 3 D n = 3 n+1 2 n+1 b) Razvijamo determinantu po elementima prve vrste, a zatim, dobijenu determinantu n 1-og reda po elementima prve kolone: D n = 2D n 1 = 2D n 1 D n 2 D n 2D n 1 + D n 2 = Karakteristična jednačina je n 1 U ovom slučaju je oblik rešenja Početni uslovi za D 1 i D 2 daju λ 2 2λ + 1 = 0 λ 1 = λ 2 = 1 D n = K 1 1 n + K 2 n1 n = K 1 + K 2 n D 1 = 2 = 2 = K 1 + K 2, D 2 = = 3 = K 1 + 2K 2 Dobijamo K 1 = K 2 = 1, pa je sada D n = 1 + n c) Razvijanjem determinante po elementima prve vrste u prvom koraku i po elementima prve kolone u drugom koraku, dobijamo
13 D n = D n n 1 Rešavamo karakterističnu jednačinu λ 2 λ 1 = 0 λ 1 = = D n 1 + D n 2 D n D n 1 D n 2 = 0, λ 2 = Rešenje je oblika ( 1 5 ) n ( ) n D n = K 1 + K2 2 2 Iz početnih uslova za D 1 i D 2 imamo D 1 = 1 = 1 = 1 5 K K 2, 2 2 D 2 = 1 1 ( 1 5 ) 2 ( ) 2K2 1 1 = 2 = K Rešavanjem dobijenog sistema jednačina dobijamo K 1 = , K 2 = , odakle je D n = 5 5 ( 1 5 ) n ( ) n d) Razvijanjem determinante po elementima prve vrste, a onda u drugom koraku po elementima prve kolone, dobijamo D n = D n 1 = D n 1 D n 2 D n D n 1 + D n 2 = n 1 Rešavamo karakterističnu jednačinu λ 2 λ + 1 = 0 λ 1 = 1 + i 3 2 Vrednost determinante D n, n N, je oblika = e iπ/3, λ 2 = 1 i 3 2 = e iπ/3
14 14 D n = K 1 cos nπ 3 + K 2 sin nπ 3 Iz početnih uslova za D 1 i D 2 imamo D 1 = 1 = 1 = K K 2, D 2 = = 0 = 1 2 K K 2 Rešavanjem dobijenog sistema jednačina dobijamo K 1 = 1, K 2 = 3 3, odakle je D n = cos nπ sin nπ 3 12 Odrediti vrednost determinante x + α x x x x x + α x x x x x + α x x x x x + α Rešenje: Vrednost determinante se neće promeniti ako oduzmemo prvu vrstu od svih ostalih vrsta: x + α x x x x + α x x x x x + α x x α α 0 0 x x x + α x = α 0 α 0 x x x x + α α 0 0 α U poslednjoj determinanti dodaćemo sve kolone prvoj koloni: nx + α x x x 0 α α 0 = (nx + α)α n α n n n n
15 15 13 Odrediti inverznu matricu matrice A = Rešenje: Kako je det A = 4 0, za matricu A postoji inverzna matrica A 1 Ona se odred uje prema formuli A 1 = 1 adj A, det A gde je adj A matrica čiji su elementi kofaktori elemenata matrice A, a koji se izračunavaju na sledeći način: A 11 = ( 1) = 1, A 12 = ( 1) = 6, A 13 = ( 1) = 3, A 21 = ( 1) = 2, A 22 = ( 1) = 8, A 23 = ( 1) = 6, A 31 = ( 1) = 1, A 32 = ( 1) = 2, A 33 = ( 1) = 1 Tako je A 11 A 12 A 13 adj A = A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 pa je T = A 1 = T = 6 8 2, Rezultat se može i proveriti: A A 1 = = = I Naći A 1 ako je A =
16 16 Rešenje: Ako je det A 0 odredićemo A 1 iz formule A 1 = 1 A 11 A 12 A 13 adj A, adj A = A 21 A 22 A 23 det A A 31 A 32 A 33 gde je A ij kofaktor elementa a ij, i, j = 1,, n, matrice A Imamo det A = = 1 0 Odgovarajući kofaktori su jednaki: A 11 = ( 1) = 1, A 12 = ( 1) = 1, A 13 = ( 1) = 1, A 21 = ( 1) = 0, A 22 = ( 1) = 1, A 23 = ( 1) = 1, A 31 = ( 1) = 0, A 32 = ( 1) = 0, A 33 = ( 1) = 1 Inverzna matrica je jednaka A 1 = det A adj A = T T = Napomenimo da bismo uočili i otklonili eventualne greške, možemo proveriti da li za nad enu matricu A 1 važi AA 1 = I: AA 1 = = , 15 Odrediti inverznu matricu matrice A =
17 17 Rešenje: Matrica A ima inverznu matricu, jer je det A = 1 Prema formuli A 1 = 1 det A adj A dobija se A 1 = T = T = Date su matrice A = [ ] 0 1, B = 1 0 a) Izračunati det X ako je AXB = C b) Izračunati det ( B 1) [ ] 1 1, C = 1 2 [ ] Rešenje: a) Rešavanjem jednačine AXB = C po matrici X dolazimo do izraza S obzirom na osobinu determinanti zaključujemo X = A 1 CB 1 (01) det(p Q) = det P det Q, P, Q M n n, (02) det X = det(a 1 CB 1 ) = det(a 1 ) det C det(b 1 ) Ponovo, na osnovu (02) za regularnu matricu P važi Kako je P P 1 = I det P det(p 1 ) = det I = 1 det(p 1 ) = 1 det P (03)
18 18 to je det A = = 1, det B = det C = = 0, det A = 0 b) Na osnovu (04) i (03) nalazimo det ( B 1) = 1 1 = 1 = 1, (04) 17 Neka su matrice A = [ ] i B = Ispitati da li postoje sledeće matrice Ako postoje, odrediti ih AB, BA, A 1, (AB) 1, 2A, 2A + B Rešenje: Matrica A je dimenzije 2 3, a matrica B dimenzije 3 2 i kako je broj kolona prve matrice jednak broju vrsta druge matrice proizvod AB postoji i jednak je AB = [ ] = 1 1 [ ] Proizvod BA takod e postoji jer je broj kolona matrice B jednak broju vrsta matrice A i jednak je 1 1 [ ] BA = = Matrica A 1 ne postoji jer matrica A nije kvadratna Da bi postojala inverzna matrica kvadratne matrice AB potrebno je da važi det AB 0 Kako je det(ab) = = 2 0,
19 onda je inverzna matrica jednaka (AB) 1 = odredićemo kofaktore Inverzna matrica je jednaka 19 1 adj(ab) Ako je C = AB, det(ab) C 11 = ( 1) = 1, C12 = ( 1) = 0, C 21 = ( 1) = 2, C 22 = ( 1) = 2 C 1 = (AB) 1 = Matrica 2A postoji 1 2 2A = 2 [ ] T 1 0 = [ ] = [ ] 1 2 = 0 2 [ ] [ ] 1/ i njena dimenzija je 2 3 S obzirom da su dimenzije matrica 2A i B različite (matrica 2A je dimenzije 2 3, a matrica B dimenzije 3 2), one se ne mogu sabirati 18 Date su matrice A = Ako postoje, odrediti matrice [ ] , B = AB, B T A T, A + B, A 1, (AB) 1 Rešenje: AB = [ ] B T A T = (AB) T = = 1 2 [ ] [ ] 0 8, 5 8 A+B nije definisano jer nisu matrice istog tipa A 1 ne postoji jer A nije kvadratna matrica Kako je det(ab) = 40 0 to matrica (AB) 1 postoji i iznosi (AB) 1 = 1 det(ab) adj(ab) = 1 40 [ ]
20 20 19 Date su matrice A = [ ] 1 0 1, B = [ ] Ispitati da li postoje sledeće matrice Ako postoje, odrediti ih A + 2B, AB, BA, A 1, B 1, (A T A) 1 Rešenje: Matrica A je dimenzije 2 3, a matrica B (pa i matrica 2B) je dimenzije 2 2, što znači da se A i 2B ne mogu sabirati Proizvod AB matrica dimenzija 2 3 i 2 2 ne postoji (broj kolona prve matrice se razlikuje od broja vrsta druge matrice) Proizvod BA matrica dimenzija 2 2 i 2 3 postoji i jednak je [ ] [ ] [ ] BA = = Inverzna matrica A 1 ne postoji jer A nije kvadratna matrica Za kvadratnu matricu B postoji B 1 jer je det B = = 3 0 Važi B 1 = 1 [ ] T B11 B adj B, adj B = 12 det B B 21 B 22 Kofaktori su B 11 = 2, B 12 = 1, B 21 = 1, B 22 = 1 Imamo B 1 = 1 [ ] T = 1 [ ] = 1 1 [ 2/3 1/3 1/3 1/3 Matrica A T A se može odrediti i jednaka je 1 0 [ ] A T A = = Med utim, determinanta ove matrice je jednaka nuli = = 0, odakle zaključujemo da inverzna matrica (A T A) 1 ne postoji ]
21 21 20 Ako postoje, odrediti (A T B) 1 i (AB T ) 1, gde su [ ] A =, B = [ Rešenje: Označimo A T B = C i AB T = D Tada je 2 1 [ ] C = A T B = = 1 0 2, D = AB T = [ 2 0 ] = [ ] Kako je det C = 0, matrica C nije regularna, tj ne postoji C 1 Matrica D je regularna, jer je det D = 5, pa postoji njena inverzna matrica i ona je jednaka D 1 = 1 [ ] ] 21 Date su matrice A = [ ] , B = Ako postoje, odrediti matrice C 1 i D 1, gde su C = AB i D = BA Rezultat: [ ] 1 2 C =, det C = 5, C 1 = 1 [ ] 1 2, D = 2 1 1, det D = 0, D 1 ne postoji Rešiti matričnu jednačinu AX = B ako je A = 0 2 1, B =
22 22 Rešenje: Matrična jednačina AX = B ima rešenje X = A 1 B ukoliko inverzna matrica A 1 postoji Kako je zaključujemo da postoji Odredimo matricu adj A : adj A = det A = = = 2 0, Razviti determinantu po trećoj vrsti A 1 = 1 adj A det A = Onda je Konačno, A 1 = 1/2 1/2 3/ X = A 1 B = 1/2 1/2 3/2 0 3 = Odrediti matricu X tako da je [ ] X = [ ]
23 Rešenje: Neka je A = [ ] i B = [ ] Ako postoji inverzna matrica A 1, tada je rešenje date matrične jednačine AX = B jednako X = A 1 B (vodimo računa sa koje strane množimo matricu B matricom A 1 jer množenje matrica nije komutativno) Matrica A 1 postoji jer je det A = 4 9 = 5 0 Odredićemo A 1 = 1 det A adj A Kofaktori matrice A su: A 11 = 4, A 12 = 3, A 21 = 3, A 22 = 1 23 Inverzna matrica je jednaka A 1 = 1 5 [ ] T 4 3 = [ ] Rešenje ove jednačine je X = A 1 B = 1 5 [ ] [ ] 3 5 = [ ] 3 7 = 4 6 [ ] 3/5 7/5 4/5 6/5 24 Rešiti matričnu jednačinu AX = B ako su date matrice A = i B = Rešenje: Pod uslovom da postoji inverzna matrica A 1, rešenje date jednačine je X = A 1 B Zbog toga prvo odred ujemo A 1 Računamo determinantu det A = = = i nalazimo kofaktore A 11 = = 8, A 12 = = 1, A 13 = = 2, A 21 = = 4, A 22 = = 1, A 23 = = 2, A 31 = = 4, A 32 = = 1, A 33 = = 2
24 24 Imamo da je matrica A 1 = 1 det A adj A = T = Rešenje jednačine je matrica X = A 1 B = = Rešiti matričnu jednačinu pri čemu je A = AX = B + 2X, [ ] 3 5, B = 1 1 [ Rešenje: I način Transformišemo najpre jednačinu na sledeći način: AX = B + 2X, AX 2X = B, (A 2I)X = B Ako označimo A 2I = C, jednačina postaje CX = B Množenjem jednačine sa C 1 (ako postoji) sleva dobijamo Kako je C = A 2I = [ ] matrica C 1 postoji i jednaka je C 1 CX = C 1 B, [ ] 1 0 = 0 1 C 1 = 1 2 X = C 1 B ] [ ] 1 5, det C = 1 3 [ ] 3 5, = 2,
25 25 pa je X = C 1 B = 1 2 [ ] II način Potražimo matricu X u obliku [ ] a b X = c d [ ] [ = Zamenom odgovarajućih matrica u jednačini, sledi [ ] [ ] [ ] [ 3 5 a b 4 5 a b = c d 8 3 c d [ ] [ 3a 5c 3b 5d 4 + 2a 5 + 2b = a c b d 8 + 2c 3 + 2d [ ] [ ] a 5c 4 b 5d = a 3c + 8 b 3d Rešavanjem sistema jednačina dobijaju se elementi matrice X: 26 Rešiti matričnu jednačinu a 5c 4 = 0, b 5d 5 = 0, a 3c + 8 = 0, b 3d + 3 = 0, a = 26, b = 15, c = 6, d = 4 ABX = 4X + 2C, ], ], ] ako je A = 0 2, B = A T, C = Rešenje: Sred ivanjem jednačine dobijamo ABX = 4X + 2C ABX 4X = 2C (AB 4I)X = 2C Data jednačina može se rešavati na dva načina
26 26 I način: X = 2(AB 4I) 1 C, pod uslovom det(ab 4I) [ ] AB = = 2 4 2, AB 4I = = 2 0 2, Tada je det(ab 4I) = adj(ab 4I) = (AB 4I) 1 = = = = 16, = /4 1/4 1/4 1 adj(ab 4I) = 1/4 7/4 3/4, det(ab 4I) 1/4 3/4 1/4 pa je traženo rešenje X = 2(AB 4I) 1 C = = II način: Jednačinu (AB 4I)X = 2C predstavimo u njenom skalarnom obliku Uvod enjem nepoznatih koordinata X = [x, y, z] T polazna jednačina postaje sistem 2x + 2y + 4z = 2, 2x + 2z = 0, 4x + 2y + 6z = 2 Sred ivanjem matrice i proširene matrice sistema dobija se
27 27 I korak: Podelimo celu matricu sa 2 Zamenimo mesta prvoj i drugoj vrsti Zbir prve i druge vrste oduzmemo od treće II korak: Treću vrstu podelimo sa 2 Prvu vrstu dodamo drugoj, a oduzmemo od treće Transformisani sistem, ekvivalentan polaznom, tada glasi x + z = 0, y + 3z = 1, z = 0, što nas ponovo dovodi do rešenja x = 0, y = 1, z = 0, tj X = [0 1 0] T 27 Date su matrice A = to je jednačinu Rešenje: Kako je i B = AX = B A T X Rešiti matričnu AX = B A T X AX + A T X = B ( A + A T ) X = B, X = ( A + A T ) 1 B, pod uslovom da je A + A T regularna matrica, tj det ( A + A T ) 0 Potražimo ove matrice
28 A + A T = = 3 0 0, det ( A + A T ) = adj ( A + A T ) = = = 36, = ( A + A T ) 1 = 1 det ( A + A T ) adj ( A + A T ) = X = ( A + A T ) 1 B = = /3 0 1/3 2/9 1/3 0 1/3 1/ , 0 1/3 0 1/3 2/9 1/3, 0 1/3 1/ Rešiti matričnu jednačinu AX = B 2X, ako je [ ] 1 3 A =, B = 5 2 [ Rešenje: Preured enjem jednačine AX = B 2X dobija se AX = B 2X AX + 2X = B (A + 2I)X = B X = (A + 2I) 1 B, pod uslovom da (A + 2I) 1 postoji, tj det(a + 2I) 0 Potražimo ove elemente [ ] [ ] [ ] A + 2I = + =, det(a + 2I) = ] = = 3 0
29 29 Zaklučujemo da inverzna matrica postoji Kako je (A + 2I) 1 = 1 adj(a + 2I), det(a + 2I) za odred ivanje inverzne matrice neophodno je poznavanje adjungovane matrice adj(a + 2I) [ ] 4 3 adj(a + 2I) =, 5 3 pa je Konačno, X = 1 3 (A + 2I) 1 = 1 3 [ ] [ ] [ ] = [ ]
30
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραSistemi linearnih jednačina
Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα4 Matrice i determinante
4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u
Διαβάστε περισσότερα5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.
5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)
Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότεραKompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.
Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραLinearni operatori. Stepenovanje matrica
Linearni operatori Stepenovanje matrica Nea su X i Y vetorsi prostori nad istim poljem salara K Presliavanje A : X Y zovemo operator Za operator A ažemo da je linearan ao je istovremeno 1 aditivan: A(u
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori. Vektorski prostor
Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραZbirka zadataka iz Matematike I
UNIVERITET U NOVOM SADU TEHNOLOŠKI FAKULTET Tatjana Došenović Dušan Rakić Aleksandar Takači Mirjana Brdar birka zadataka iz Matematike I - za studente Tehnološkog fakulteta - Novi Sad, 008. UNIVERITET
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 40 Uvod Matrica: matematički objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni u retke
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET SINGIDUNUM. Doc. dr Ivana Kova evi MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA. Prvo izdanje. Beograd, 2010.
UNIVERZITET SINGIDUNUM Doc dr Ivana Kova evi MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA Prvo izdanje Beograd, 00 MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA Autor: Doc dr Ivana Kova evi Recenzent: Prof dr Nenad Caki Izdava : UNIVERZITET
Διαβάστε περισσότεραMatrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone.
Matrice Uvod u matrice i vektore Pretpostavite da ste odgovorni za iznajmljivanje automobila zaposlenicima svoje firme Sedmični najmovi za različite veličine automobila su: kompaktni 9KM, srednji 60KM,
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmi i strukture podataka - 1.cas
Algoritmi i strukture podataka - 1.cas Aleksandar Veljković October 2016 Materijali su zasnovani na materijalima Mirka Stojadinovića 1 Složenost algoritama Približna procena vremena ili prostora potrebnog
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραPrvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a
Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραMatematički fakultet
Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet MASTER RAD Tema: Doprinos nestandardnih zadataka iz trigonometrije poboljšanju nastave matematike Profesor: dr Zoran Petrović Student: Marijana Nikolić Beograd
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK
SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραMETODA SEČICE I REGULA FALSI
METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Linearna algebra
Riješeni zadaci: Linearna algebra Matrice Definicija Familiju A od m n realnih (kompleksnih) brojeva a ij, i 1,, m, j 1,, n zapisanih u obliku pravokutne tablice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1 a
Διαβάστε περισσότεραPrediktor-korektor metodi
Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραNeodred eni integrali
Neodred eni integrali Definicija. Za funkciju F : I R, gde je I interval, kažemo da je primitivna funkcija funkcije f : I R ako je za svako I. F () f() Teorema 1. Ako je F : I R primitivna funkcija za
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραOBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na
OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραPOGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:
POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije
Διαβάστε περισσότερα1 Obične diferencijalne jednadžbe
1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότεραPROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
Διαβάστε περισσότεραTAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Διαβάστε περισσότερα