Sistemi linearnih jednačina
|
|
- Ῥεβέκκα Ζέρβας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n.. (0.1) Ako je b 1 = b 2 = = b n = 0, za sistem jednačina (0.1) se kaže da je homogen. Ured ena n-torka brojeva (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) je rešenje sistema jednačina (0.1) ako se svaka jednačina ovog sistema za x k = ξ k (k = 1, 2,..., n) svodi na identitet, tj. svaka jednačina je zadovoljena. Za sistem tada kažemo da je saglasan ili rešiv. Kramerove formule Koordinate vektora rešenja sistema jednačina (0.1) odred ene su formulama gde je i x k = D k D (k = 1, 2,..., n), a 11 a a 1n a 21 a a 2n D = a n1 a n2... a nn 1
2 2 a a 1,k 1 b 1 a 1,k+1... a 1n a a 2,k 1 b 2 a 2,k+1... a 2n D k = a n1... a n,k 1 b n a n,k+1... a nn Gausov metod Kod Gausovog metoda eliminacije polazni sistem se svodi na ekvivalentan sistem (sistem koji ima ista rešenja kao i polazni) a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x a (1) 1n x n = b (1) 1, a (2) 22 x a (2) 2n x n = b (2) 2, a (n) nn x n = b (n) n, gde se do rešenja dolazi sukcesivno, polazeći od poslednje jednačine. x n = b(n) n a (n) nn, x i = 1 a (i) ii ( b (i) i n k=i+1 ) a (i) ik x k (i = n 1,..., 1). Gausov metod se može primeniti i na sistem koji ima različit broj jednačina u odnosu na broj nepoznatih. Na primer, ako je broj jednačina m veći od broja nepoznatih n dobija se ekvivalentan sistem a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x a (1) 1n x n = b (1) 1, a (2) 22 x a (2) 2n x n = b (2) 2, a (n) nn x n = b (n) n, a (n) mnx n = b (n) m. Ovaj sistem ima rešenje ako se iz poslednjih m n+1 jednačina dobija ista vrednost za x n, tj. ako je x n = b(n) n a (n) nn = = b(n) m a (n). mn..
3 3 Kroneker-Kapelijeva teorema Za sistem od m linearnih jednačina sa n promenljivih a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m definišemo matricu sistema a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2... a mn i proširenu matricu sistema a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b 2 B = a m1 a m2... a mn b m Teorema 1. (Kroneker-Kapelijeva) Sistem jednačina je saglasan ako i samo ako je rang A = rang B. Teorema 2. Da bi saglasan sistem linearnih jednačina imao jedinstveno rešenje potrebno je i dovoljno da rang matrice sistema bude jednak broju nepoznatih. Teorema 3. Da bi homogen sistem linearnih jednačina imao netrivijalno rešenje potrebno je i dovoljno da rang matrice sistema bude manji od broja nepoznatih.. Zadaci 1. U zavisnosti od realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina x + ay + z = 1, x + y + az = 1, x + a 2 y + z = a.
4 4 Rešenje: I način. Dati sistem linearnih jednačina je kvadratni, pa za diskusiju i rešavanje može da se primeni Kramerov metod. Determinanta sistema je 1 a 1 D = 1 1 a 1 a 2 1 = 1 a a a 1 0 a 2 a 0 = 1 a a 1 a(a 1) 0 = a(a 1)2. Determinante dobijene zamenom odgovarajućih kolona determinante sistema kolonom sastavljenom od slobodnih članova jednačina su: 1 a 1 D x = 1 1 a a a 2 1 = 1 a a a a = (a 1)2, D y = 1 1 a 1 a 1 = a 1 0 a 1 0 = 0 a 1 a 1 0 = (a 1)2, 1 a 1 D z = a 2 a = 1 a a 0 0 a 2 a a 1 = 1 a 0 a(a 1) a 1 = (a 1)2. Kako je D = 0 za a = 0 ili a = 1, razlikujemo tri slučaja u zavisnosti od parametra a. 1 Ako je a 0 i a 1, tada je D 0, pa sistem ima jedinstveno rešenje odred eno sa x = D x D = (a 1)2 a(a 1) 2 = 1 a, y = D y D = (a 1)2 a(a 1) 2 = 1 a, z = D z (a 1)2 = D a(a 1) 2 = 1 a. ( Dakle, rešenje je (x, y, z) = 1 a, 1 a, 1 ). a 2 Ako je a = 0, tada je D = 0, D x 0, D y 0, D z 0, pa sistem nema rešenje. 3 Ako je a = 1, tada je D = D x = D y = D z = 0, pa Kramerov metod ne daje odgovor da li rešenje sistema postoji. Zamenom vrednosti parametra a = 1, sistem dobija oblik x + y + z = 1, x + y + z = 1, x + y + z = 1,
5 tj. svodi se na jednu jednačinu koja je zadovoljena ako je x = 1 y z, za proizvoljno y, z R. Zato sistem ima beskonačno mnogo rešenja (x, y, z) = (1 y z, y, z), y, z R. II način. Za diskusiju sistema koristićemo Kroneker Kapelijevu teoremu. Matrica sistema i proširena matrica sistema su 1 a 1 1 a 1 1 A = 1 1 a, B = 1 1 a 1. 1 a a 2 1 a Primenom elementarnih transformacija na vrste matrice B, i to: - oduzimanje prve vrste od druge i treće vrste redom, - množenje druge vrste sa a i dodavanje trećoj vrsti, dobijamo njoj ekvivalentnu matricu čiji su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki 0: 1 a a 1 1 B = 1 1 a 1 = 0 1 a a a 2 1 a 0 a 2 a 0 a 1 1 a 1 1 = 0 1 a a a(a 1) 0 a 1 1 a 1 1 = 0 1 a a a(a 1) a 1 Prve tri kolone dobijene matrice čine trougaonu matricu ekvivalentnu matrici A. Njena determinanta jednaka je proizvodu elemenata na glavnoj dijagonali, što znači da je različita od 0 ako je a 0 i a 1. Zato razlikujemo tri slučaja za vrednosti parametra a. 1 Za a 0 i a 1 važi rang A = rang B = 3, što znači da sistem ima jedinstveno rešenje. Umesto polaznog, rešavamo njemu ekvivalentan trougaoni sistem koji odgovara transformisanim matricama: x + ay + z = 1, (1 a)y + (a 1)z = 0, a(a 1)z = a 1. Rešavanjem redom treće, druge i prve jednačine dobijamo pa je rešenje sistema (x, y, z) = 2 Ako je a = 0, važi z = 1 a, y = z = 1 a, x = 1 ay z = 1 a, ( 1 a, 1 a, 1 ). a. 5
6 B = i rang B = 3. Prve tri kolone čine matricu ekvivalentnu matrici A, pa je rang A = 2. Prema Kroneker Kapelijevoj teoremi, sistem nema rešenje. 3 Ako je a = 1, važi B = Sada je rang A = rang B = 1, što znači da sistem ima beskonačno mnogo rešenja, pri čemu se jedna nepoznata izražava kao linearna kombinacija preostale dve. Zaista, sistem se svodi na jednu jednačinu x + y + z = 1, koja je zadovoljena za x = 1 y z, y, z R. Prema tome, rešenja sistema su (x, y, z) = (1 y z, y, z), y, z R. 2. U zavisnosti od realnog parametra k diskutovati i rešiti sistem jednačina x + y 3z = 1, 2x + y + z = 2, x + 2y + kz = 3, x + 4y + 4kz = 1 2k. Rešenje: Dati sistem linearnih jednačina nije kvadratni, pa ne mogu da se primene Kramerove formule. Zato sistem diskutujemo primenom Kroneker Kapelijeve teoreme. Elementarnim transformacijama nad vrstama proširene matrice sistema dobijamo sledeći niz ekvivalentnih matrica: B = k k 1 2k = = k (k + 2) 2(k + 2) k k + 3 2k = k (k + 2).
7 7 Prve tri kolone čine matricu ekvivalentnu matrici A. 1 Za k 2 važi rang A = 3, rang B = 4, što znači da sistem nema rešenja. 2 Ako je k = 2 imamo B = , pa je rang A = rang B = 2, tj. sistem ima beskonačno mnogo rešenja kod kojih su dve koordinate izražene preko treće. Ekvivalentni sistem koji se rešava je x + y 3z = 1, 3y 5z = 4. Iz druge jednačine je y = (4 + 5z)/3, a zamenom u prvoj jednačini dobija se x = ( 1 + 4z)/3. Dakle, rešenja su ( 1 + 4z 4 + 5z ) (x, y, z) =,, z, z R U zavisnosti od realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina 2x y + 28t = 3, x + z + 16t = 1, 5x 3y + z + a 2 t = a. Rešenje: Primenom elementarnih transformacija nad vrstama, matricu sistema i proširenu matricu sistema dovodimo na gornje trougaoni oblik, pogodan za odred ivanje rangova tih matrica B = = a 2 a a 2 a = = a a a a 10 (0.2) I korak: Zamenimo mesta prvoj i drugoj vrsti. II korak: Prvu vrstu pomnoženu sa 2 i 5 dodamo redom drugoj i trećoj vrsti. III korak: Drugu vrstu pomnoženu sa 3 oduzmemo od treće.
8 8 Vrednosti dijagonalnih elemenata (na glavnoj dijagonali i dijagonali paralelnoj njoj, s obzirom da sistem nije kvadratan) odred uju rang posmatranih matrica sistema. 1 a ±10 : rang A = rang B = 3 < 4 = broj nepoznatih. Sistem ima beskonačno mnogo rešenja koja parametarski zavise od jedne od nepoznatih. Iz proširene matrice sistema (0.2) čitamo preured ene jednačine x + z + 16t = 1, y + 2z + 60t = 5, (a 2 100)t = a 10. Eliminacijom nepoznatih dobijamo x + z = 1 16 a+10, y + 2z = 5 60 a+10, t = 1 a+10, x = z + 6 a a+10, y = 2z a a+10, t = 1 a+10, z R, pa su rešenja sistema za vrednosti realnog parametra a ±10 oblika ( (x, y, z, t) = z + 6 a 10 5a, 2z + a + 10 a + 10, z, 1 ), z R. a a = 10 : Zamenom vrednosti parametra a = 10 u (0.2) matrice sistema postaju Sada je rang A = rang B = 2 < 4 = broj nepoznatih, te na osnovu Kroneker- Kapelijevog stava, br.nepoznatih-rang A = 2 nepoznate biramo za slobodne promenljive, i preostale rang A = 2 nepoznate rešavamo u funkciji od slobodnih parametara. Tako, rešenja preured enog sistema, ekvivalentnog polaznom, { x + z + 16t = 1, mogu biti opisana sledećim jednakostima tj. glase y + 2z + 60t = 5, x = z + 16t 1, y = 2z + 60t 5, z, t R,
9 9 (x, y, z, t) = (z + 16t 1, 2z + 60t 5, z, t), z, t R. 3 a = 10 : Iz (0.2), zamenom a = 10, sledi , tj. rang A = 2 rang B = 3. Na osnovu Kroneker-Kapelijeve teoreme, za ovu vrednost parametra rešenje sistema ne postoji. 4. U zavisnosti od realnog parametra a diskutovati sistem linearnih jednačina (a 1)x + y + (1 a)z = 0, x + y + z = 1, (1 + a)x + y + (a + 1)z = 2. Rešenje: Proširena matrica sistema je a a 0 B = , 1 + a 1 a a prve tri kolone čine matricu sistema A. Za odred ivanje njihovog ranga najpre med usobno zamenimo mesta prvoj i drugoj koloni, a zatim nastavimo sa elementarnim transformacijama nad vrstama: 1 a 1 1 a 0 1 a 1 1 a 0 B = = 0 a a a a a 2 1 a 1 1 a 0 1 a 1 1 a 0 = 0 2 2a 2 = 0 1 a 1. 0 a a a(a + 1) a + 1 U zavisnosti od vrednosti parametra a razlikujemo tri slučaja. 1 Za a 0 i a 1 je rang A = rang B = 3, pa sistem ima jedinstveno rešenje. Kako su pri transformaciji matrica zamenjena mesta prvoj i drugoj koloni, tj. kolonama koje su sastavljene od koeficijenata uz x i y redom, rešavamo sistem y + (a 1)x + (1 a)z = 0, x + az = 1, a(a + 1)z = a + 1,
10 10 i dobijamo z = 1 a, x = 1 a 1 a = 0, y = (1 a)1 a = a 1. Dakle, rešenje je a ( a 1 (x, y, z) = 0, a, 1 ). a 2 Za a = 1 imamo B = , odakle je rang A = rang B = 2, pa sistem ima beskonačno mnogo rešenja. Umesto polaznog, rešavamo sistem y 2x + 2z = 0, x z = 1 i dobijamo x = z + 1, y = 2(z + 1) 2z = 2. Dakle, rešenja su (x, y, z) = (z + 1, 2, z), z R. 3 Ako je je a = 0, važi B = Sada je rang A = 2 i rang B = 3, što znači da sistem nema rešenja. 5. U zavisnosti od realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina x + y + z = 6, ax + 4y + z = 5, 6x + (a + 2)y + 2z = 13. Rešenje: Elementarnim transformacijama nad vrstama matrica sistema i pro širena matrica sistema istovremeno dobijaju gornje trougaoni oblik. Iz ovog oblika se jednostavno uočavaju rangovi matrica kao i njihova zavisnost od vrednosti realnog parametra a B = a = 0 4 a 1 a 5 6a 6 a a = 0 a (0.3) a 18 6a
11 11 I korak: prva vrsta matrice pomnožena sa a je dodata drugoj vrsti, a pomnožena sa -6 dodata trećoj vrsti. II korak: treća vrsta dodata drugoj, a zatim su tim dvema vrstama zamenjena mesta. Na osnovu dijagonalnih elemenata matrice sistema, zaključujemo da su za njen rang kritične vrednosti parametra a, 3 i 4. 1 a 3, 4 : Tada je rang A = rang B = 3 = broj nepoznatih. Na osnovu Kroneker-Kapelijeovog stava, sistem ima jedinstveno rešenje za ovakav izbor vrednosti parametra a. Iz (0.3), polazni sistem je ekvivalentan jednačinama x + y + z = 6, (a 4)y 4z = 23, (a + 3)z = 6(a + 3). Odatle, eliminacijom nepoznatih dolazimo do rešenja: z = 6(a + 3) a + 3 = 6, y = a x = 6 y z = y = 1 4 a, = 1 a 4, ( 1 tj. (x, y, z) = 4 a, 1 ) a 4, 6. 2 a = 4 : Zamenom ove vrednosti parametra a u (0.3), matrice sistema postaju B = = /4 = / /4 I korak: drugu i treću vrstu podelimo redom sa 4 i 7. II korak: drugu vrstu oduzmemo od treće. rang A = 2 rang B = 3, pa sistem nema rešenja u ovom slučaju. 3 a = 3 : Na osnovu (0.3), matrice sistema za a = 3 glase B = , Polazni sistem je ekvivalentan jednačinama rang A = rang B = 2 < 3 = broj nepoznatih. x + y + z = 6, 7y + 4z = 23.
12 12 Sistem ima beskonačno mnogo rešenja, pri čemu je jedna od nepoznatih slobodan parametar, npr. x = 1 7 (19 3z), y = 1 (23 4z), z R. 7 ( 19 3z 23 4z ) Rešenja su (x, y, z) =,, z, z R U zavisnosti od parametara a, b R diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina x + y + z = 0, x + ay + a 2 z = 1, ax + y + a 2 z = b. Rešenje: Posmatra se istovremeno rang matrice i rang proširene matrice sistema jednačina, i njihova zavisnost od mogućih vrednosti realnih parametara a i b. Elementarnim transformacijama nad vrstama, pomenute matrice dobijaju gornje trougaoni oblik, iz koga se lako čitaju rangovi matrica B = 1 a a 2 1 = 0 a 1 a a 1 a 2 b 0 1 a a 2 a b = 0 a 1 a (0.4) 0 0 2a 2 a 1 b + 1 I korak: prvu vrstu matrice oduzmemo od druge, a pomnoženu sa a oduzmemo od treće vrste. II korak: drugu vrstu dodamo trećoj. Na osnovu dijagonalnih elemenata matrice sistema a 1 i 2a 2 a 1 = 2(a 1)(a + 1/2), sledi da su za rang kritične vrednosti parametra a = 1 i a = 1/2. 1 a 1, 1/2 : Tada je rang A = rang B) = 3 = broj nepoznatih. Na osnovu Kroneker-Kapelijevog stava, sistem ima jedinstveno rešenje za ovakav izbor vrednosti parametra a, bez obzira na vrednosti parametra b. Čitajući (0.4), polazni sistem je ekvivalentan sistemu x + y + z = 0, (a 1)y + ( a 2 1 ) z = 1, ( 2a 2 a 1 ) z = b + 1.
13 13 Odatle, eliminacijom nepoznatih dolazimo do rešenja b + 1 z = 2a 2 a 1, y = 1 ( a 2 1 ) z = ab + b a a 1 2a 2 a 1, x = y z = ab a 1 2a 2 a 1. 2 a = 1 : Zamenom ove vrednosti parametra a u (0.4), matrice sistema postaju = b Tada je rang A = 1 rang B = 2, pa sistem nema rešenja u ovom slučaju, nezavisno od vrednosti parametra b. 3 a = 1/2 : Na osnovu (0.4), matrice sistema za a = 1/2 glase /2 3/ b + 1 Za b = 1, rang A = rang B = 2 < 3 = broj nepoznatih, za b 1, rang A = 2 rang B = 3. Zaključujemo da za vrednost parametra a = 1/2, polazni sistem ima rešenja akko je b = 1, i tada je ekvivalentan jednačinama { x + y + z = 0, 3/2y 3/4z = 1. Sistem ima beskonačno mnogo rešenja, pri čemu je jedna od nepoznatih slobodan parametar, npr. x = 1 6 (4 3z), y = 1 (4 + 3z), z R U zavisnosti od realnih parametara a i b diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina ax + 4y + z = 0, 2y 3z = 1, 2x bz = 2.
14 14 Rešenje: Matrica sistema i proširena matrica sistema glase a b 2 Elementarnim transformacijama nad vrstama dovodimo ove matrice na gornje trougaoni oblik, zbog jednostavnijeg čitanja rangova tih matrica. a b b = = b 2 a ab 2 a 2 I korak: Drugu vrstu pomnoženu sa 2 oduzmemo od prve vrste. Zamenimo mesta prvoj i trećoj vrsti. II korak: Prvu vrstu pomnoženu sa a/2 oduzmemo od treće vrste. Diskusija rešenja sistema odvija se oko vrednosti 7 + ab 2 = 14+ab 2, poslednjeg elementa glavne dijagonale matrice sistema A. 1 ab 14 : rang A = rang B = 3 = broj nepoznatih. Sistem ima jedinstveno rešenje koje dobijamo eliminacijom nepoznatih iz jednačina 2x bz = 2, x = bz 2 2, x = 2 b+7 14+ab, 2y 3z = 1, y = 1+3z 2, y = ab+6a+2 2(14+ab), 14+ab 2 z = a 2, z = 2(a 2) 14+ab, z = 2(a 2) 14+ab. 2 ab = 14 : Za ovakvu kombinaciju vrednosti parametara a i b transformisane matrice sistema glase 2 0 b , a 2 te je rang A = 2. Rang proširene matrice B zavisi od vrednosti a 2, elementa u trećoj vrsti. U slučaju a 2, rang B = 3 rang A, pa sistem nema rešenja. Za vrednost parametra a = 2, s obzirom na pretpostavku ab = 14, važi b = 7. Matrice sistema tada glase , pa je rang B = 2 = rang A < 3 = broj nepoznatih, i sistem ima beskonačno mnogo rešenja:
15 15 x = 2 + 7z 2, y = 1 + 3z, z R U zavisnosti od realnog parametra λ diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina x y λz = 1, (λ + 1)y + (λ 1)z = 0, (λ + 1)x (λ + 1)z = 1. Rešenje: Od koeficijenata uz nepoznate sistema formiramo matricu sistema A. Dodavanjem kolone slobodnih članova dobijamo proširenu matricu sistema Ã. 1 1 λ 1 0 λ + 1 λ 1 0. λ (λ + 1) 1 Zbog lakšeg odred ivanja i pored enja rangova ovih matrica, elementarnim transformacijama nad vrstama, dovodimo matrice na gornje trougaoni oblik. 1 1 λ λ 1 0 λ + 1 λ 1 0 = 0 λ + 1 λ 1 0 λ (λ + 1) 1 0 λ + 1 (λ 1)(λ + 1) λ 1 1 λ 1 = 0 λ + 1 λ 1 0. (0.5) 0 0 λ(λ 1) λ I korak: Prvu vrstu pomnoženu sa λ + 1 oduzmemo od treće vrste. II korak: Oduzmemo drugu vrstu od treće. Rangovi matrica sistema zavise od vrednosti dijagonalnih elemenata. 1 λ 0, ±1 : rang A = rang B = 3 = broj nepoznatih. Sistem ima jedinstveno rešenje. Eliminacijom nepoznatih iz jednačina koje čitamo iz (0.5) dobijamo x = 1 + y + λz, x y λz = 1, x = 2 (λ 1)z λ 2 1, (λ + 1)y + (λ 1)z = 0, y = λ + 1, y = 1 λ(λ 1)z = λ, z = 1 λ + 1, λ 1, z = 1 λ 1. 2 λ = 0 : Zamenom ove vrednosti parametra λ u (0.5) dobijamo
16 , pa je rang A = rang B = 2 < 3 = broj nepoznatih. Sistem ima beskonačno mnogo rešenja, opisanih sa x = y + 1, z = y, y R. 3 λ = ±1 : Zamenom ovih vrednosti parametra λ u (0.5) dobijamo sledeće matrice λ = 1 : 0 λ = , λ λ = 1 : U oba slučaja je rang A = 2 rang B = 3, i sistem nema rešenja za ovakav izbor vrednosti parametra λ. 9. Ispitati za koje vrednosti parametra a R homogeni sistem ima i netrivijalna rešenja i odrediti ih. x + y + 3z + at = 0, x + 2y + 4z + 2t = 0, x + 3y + 3z + 2t = 0, 2x + 2y + 3z + 4t = 0 Rešenje: Kako je a a a A = = a a = a a a a a a = a a 2 = a a (4 2a) (a 2)
17 Za a 2 je rang A = 4, pa sistem ima samo trivijalno rešenje (x, y, z, t) = (0, 0, 0, 0). Za a = 2 je A = i rang A = 3. Zato homogeni sistem ima i netrivijalna rešenja, koja se nalaze rešavanjem ekvivalentnog sistema x + y + 3z + 2t = 0, y + z = 0, 2z = 0. Iz treće i druge jednačine redom sledi z = 0, y = 0, a zamenom u prvoj jednačini dobija se x = 2t. Prema tome, rešenja sistema su (x, y, z, t) = ( 2t, 0, 0, t), t R. 10. U zavisnosti od parametra a R diskutovati i rešiti homogeni sistem linearnih jednačina x + y z = 0, ax + 4y + z = 0, 5x + (a + 1)y 4z = 0. Rešenje: Odred ujemo najpre rang matrice sistema: A = a 4 1 = 0 4 a 1 + a = 0 4 a 1 + a. 5 a a a + 2 Razlikujemo tri slučaja. 1 Za a 4 i a 2 važi rang A = 3, pa u tom slučaju sistem ima samo trivijalno rešenje (x, y, z) = (0, 0, 0). 2 Za a = 2 je A = 0 6 1, pa je rang A = 2, što znači da homogeni sistem ima i netrivijalna rešenja. Ona se odred uju rešavanjem ekvivalentnog sistema 17
18 18 x + y z = 0, 6y z = 0 i glase (x, y, z) = (5y, 6y, y), y R. 3 U slučaju a = 4 dobijamo A = = 0 0 1, odakle je rang A = 2, pa sistem ima i netrivijalna rešenja: x + y z = 0, z = 0, x = y, z = 0, (x, y, z) = ( y, y, 0). 11. Odrediti vrednost realnog parametra k tako da vektori a = (1, 2, k, 1), b = (0, 3, 2, 1), c = (2, 3, 2k, 3), d = (3, 1, 0, k 2) budu linearno zavisni, a zatim predstaviti vektor d kao linearnu kombinaciju vektora a, b i c. Rešenje: Formirajmo linearnu kombinaciju datih vektora α 1 a + α 2 b + α 3 c + α 4 d = α 1 (1, 2, k, 1) + α 2 (0, 3, 2, 1) + α 3 (2, 3, 2k, 3) + α 4 (3, 1, 0, k 2) = (α 1, 2α 1, kα 1, α 1 ) + (0, 3α 2, 2α 2, α 2 ) + (2α 3, 3α 3, 2kα 3, 3α 3 ) + (3α 4, α 4, 0, (k 2)α 4 ) i izjednačimo je sa nula vektorom. Tada koeficijenti α 1, α 2, α 3 i α 4 zadovoljavaju homogeni sistem linearnih jednačina Odred ujemo rang matrice sistema: α 1 + 2α 3 + 3α 3 = 0, 2α 1 + 3α 2 + 3α 3 α 4 = 0, kα 1 2α 2 + 2kα 3 = 0, α 1 + α 2 3α 3 + (k 2)α 4 = 0.
19 A = k 2 2k k = k k k 10 = = k = k k k (k + 2) k k U zavisnosti od parametra k razlikujemo dva slučaja. 1 Za k 2 je rang A = 4, pa homogeni sistem ima samo trivijalno rešenje (α 1, α 2, α 3, α 4 ) = (0, 0, 0, 0). To znači da su vektori a, b, c, d linearno nezavisni. 2 Kada je k = 2, onda je A = Kako je rang A = 3, sistem ima i netrivijalna rešenja, koja odred ujemo iz α 1 + 2α 3 + 3α 4 = 0, α 2 α 3 α 4 = 0, 2α 3 + 4α 4 = 0. Rešavanjem poslednjeg sistema dobijamo redom α 3 = 2α 4, α 2 = 3α 4 i α 1 = 7α 4, pa je (α 1, α 2, α 3, α 4 ) = ( 7α 4, 3α 4, 2α 4, α 4 ),, α 4 R.. Na primer, za α 4 = 1 imamo: α 1 = 7, α 2 = 3, α 3 = 2, pa važi 7a + 3b + 2c + d = θ, što znači da su dati vektori linearno zavisni. Pri tome je d = 7a 3b 2c U zavisnosti od realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina x + 2y az = 2, x + 7y 4z = a + 2, 2x + (4 5a)y az = 5.
20 20 Rešenje: Matrice sistema, elementarnim transformacijama nad vrstama, preuredimo u slične gornje trougaone matrice. 1 2 a a a + 2 = 0 5 a 4 a 2 4 5a a 5 0 5a a a 2 = 0 5 a 4 a 0 0 a 2 3a a a 2 = 0 5 a 4 a (0.6) 0 0 a(a 3) (a 3)(a + 3) I korak: Prvu vrstu oduzmemo od druge, a pomnoženu sa 2 oduzmemo od treće vrste. II korak: Drugu vrstu pomnoženu sa a dodamo trećoj. Dijagonalni elementi transformisane matrice odred uju kritične vrednosti parametra za diskusiju rešenja. 1 a 0, 3 : rang A = rang B = 3 = broj nepoznatih. Iz (0.6) čitamo ekvivalentan trougaoni sistem x = 2 2y + az, x + 2y az = 2, a (a 4)z 5y + (a 4)z = a, y =, 5 a(a 3)z = (a 3)(a + 3), z = a + 3 a. Jedinstveno rešenje sistema glasi x = 5a2 + 23a 24, 5a y = a a, z = a + 3 a. 2 a = 0 : Zamenom ove vrednosti parametra u (0.6) dobijamo , rang A = 2 < rang B = Sistem u ovom slučaju nema rešenja.
21 21 3 a = 3 : Zamenom ove vrednosti parametra u (0.6) dobijamo , Sistem ima beskonačno mnogo rešenja opisanih sa rang A = rang B = 2 < 3 = broj nepoznatih. x = z, y = z , z R.
22
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.
5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. Inverzna matrica
Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori. Vektorski prostor
Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραGausov algoritam i teorema Kroneker-Kapeli
Gausov algoritam i teorema Kroneker-Kapeli Sistem Rexee sistema linearnih jednaqina a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +... + a 2n x n = b 2 a 31 x 1 +
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)
Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije
Διαβάστε περισσότερα4 Matrice i determinante
4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET SINGIDUNUM. Doc. dr Ivana Kova evi MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA. Prvo izdanje. Beograd, 2010.
UNIVERZITET SINGIDUNUM Doc dr Ivana Kova evi MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA Prvo izdanje Beograd, 00 MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA Autor: Doc dr Ivana Kova evi Recenzent: Prof dr Nenad Caki Izdava : UNIVERZITET
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. skripta. Januar 2013.
Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta
Διαβάστε περισσότεραOsnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru
Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru (0.01) Simetrije Neka je A = [a ij ] kvadratna matrica (matrica oblika n n). a) Za A kažemo da je simetrična matrica kadgod je A = A, tj. kadgod
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. skripta. Januar 2013.
Linearna algebra skripta Januar 23. Reč autora Ovo je verzija teksta koji je pod naslovom Linearna algebra prvobitno bio pripremljen za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. skripta. Januar 2013.
Linearna algebra skripta Januar 03. Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραLinearni operatori. Stepenovanje matrica
Linearni operatori Stepenovanje matrica Nea su X i Y vetorsi prostori nad istim poljem salara K Presliavanje A : X Y zovemo operator Za operator A ažemo da je linearan ao je istovremeno 1 aditivan: A(u
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra i geometrija
Univerzitet u Sarajevu Elektrotehni ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, septembar 2012 Sadrºaj Sadrºaj ii 1 Uvod 1 2 Matrice i determinante 2 3 Sistemi linearnih jedna ina 3
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra i geometrija
Univerzitet u Sarajevu Elektrotehni ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, oktobar 2017 Sadrºaj Sadrºaj ii 1 Uvod 1 2 Matrice i determinante 2 3 Sistemi linearnih jedna ina 3 31
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραKompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.
Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραZbirka rešenih zadataka iz Matematike I
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραStabilnost linearnih sistema automatskog upravljanja
Stabilnost linearnih sistema automatskog upravljanja Najvažnija osobina SAU jeste stabilnost. Generalni zahtev koji se postavlja pred projektanta jeste da projektovani i realizovani SAU bude stabilan (u
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραTestiranje statistiqkih hipoteza
Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραBulove jednačine i metodi za njihovo
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Bulove jednačine i metodi za njihovo rešavanje Master rad Mentor: Slavko Moconja Student: Nevena Dordević Beograd, 2017. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Bulova algebra 3
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραPrediktor-korektor metodi
Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA
LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA Predrag Tanović February 11, 211 {WARNING: Sadržaj ovog materijala NI U KOM SLUČAJU NE MOŽE ZAMENITI UDŽBENIK: radi se o prepravljanim slajdovima predavanja. Reference
Διαβάστε περισσότεραMatematički fakultet
Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet MASTER RAD Tema: Doprinos nestandardnih zadataka iz trigonometrije poboljšanju nastave matematike Profesor: dr Zoran Petrović Student: Marijana Nikolić Beograd
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότερα