Kedy sa za ne predné koleso motorky dvíha?

Transcript

1 Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava Kedy sa za ne predné koleso motorky dvíha? (bakalárska práca) Samuel Ková ik tudijný odbor: Fyzika Vedúci práce: doc. RNDr. Martin Mojºi², PhD. Bratislava, 2010

2

3 Po akovanie Chcel by som po akova vedúcemu mojej bakalárskej práce, doc. RNDr. Martinovi Mojºi²ovi, PhD., za to, ºe ponúkol a následne mi aj pomôhol s touto zaujímavou prácou. Zárove akujem v²etkým ostatným, ktorý ma po as práce podporovali.

4

5 ƒestné prehlásenie Prehlasujem, ºe som túto prácu vypracoval sám len s pouºitím spomenutej literatúry Samuel Ková ik Bratislava, Jún 2010

6

7 Motivácia tart motorky nebýva vºdy hladký. Niekedy dochádza k pre²mykovaniu kolies, niekedy sa zas dvihne predné koleso motorky. Cie om tejto práce je získa aparát, pomocou ktorého by sa dalo nielen týmto javom porozumie, ale zárove aj vypo íta, ktorý z nich nastane. Získané rovnice môºu slúºi aj na skúmanie al²ích javov spojených s motorkou. K ú ové slová : Motorka, prudký ²tart, mechanika vozidla

8

9 Úvod Zdvihnutie predného kolesa motorky, alebo pre²mykovanie kolies motorky sú beºné javy. Aj napriek tomu, nie je ich vysvetlenie aº také jednoduché. Prudko ²tartujúcu motorku sme analyzovali tak, ºe sme odvodili rovnice pre v²etky sily pôsobiace na systém motorky a motorkára. Pre rôzne druhy správania (rôzne kolesa pre²mykujúce, motorka idúca na jednom alebo dvoch kolesách) bolo treba nájs rôzne sady rovníc. Ke sme mali v²etky potrebné sady rovníc, mohli sme numericky preskúma prípady dvoch rozdielnych ²tartov. Po as práce sme v stru nosti nazna ili, ako by sa dál ná² model roz²irova (napríklad o pohyblivého jazdca) a ako by sa dal vyuºi na rie²enie niektorých iných úloh.

10 Obsah 1 ƒo budeme potrebova? Ako budeme k problému pristupova? Sily a momenty síl Trecie sily mykové trenie Statické trenie Valivé trenie Rovnice pre ²tartujúcu motorku Vz ah medzi pohybom kolesa a silami na neho pôsobiacimi Bez²mykový pohyb mykový pohyb Normálové sily Pridanie valivého trenia do rovníc Motorka idúca na jednom kolese Bez²mykový pohyb na jednom kolese Výpo ty Parametre motorky Postup pri skúmaní ²tartu motorky Za iatok ²tartu Úplný ²tart

11 OBSAH 11 4 Záver 41 5 Dodatky A - Trecie sily A1 - myková sila A2 - Koecienty ²mykového a valivého trenia A3 - Pre o dotykové sily nebrzdia koleso B1 - Pre o nemá valivé trenie vplyv na rameno momentu normálovej sily C - Výpo ty C0 - Základné parametre modelového systému motorka s jazdcom C1 - Zmena správania pri zmene parametrov motorky C2 - Korektnos na²ej parametrizácie momentu sily motora C3 - Extrémny prípad ²tartu

12 Kapitola 1 ƒo budeme potrebova? 1.1 Ako budeme k problému pristupova? Opis kaºdodenných dejov asto trpí istým problémom. Tým problémom sú isté predskudky, ºe ak je nie o beºné, musí to ma aj jednoduché vysvetlenie. Takýto predsudok, resp. predpoklad, je problémový hne z dvoch dôvodov. Za prvé je asto úplne zlý. A za druhé asto vytvára priestor úplne pokrútenej logike. A síce takej, ºe ak má dáky beºný dej jednoduché vysvetlenie, tak je asi aj správne. Napríklad odpove na otázku, pre o sa motorka niekedy pri ²tarte zdvihne, trpí presne takýmito predsudkami. V tejto práci vyrie²ime túto úlohu poriadne. Za neme tým, ºe si spí²eme isté elementy klasickej mechaniky, ktoré nám pomôºu pri skúmaní ²tartu motorky s jazdcom. Ide najmä o nieko ko rovníc pre sily a momenty síl. Na niektoré z nich sa pozrieme trochu podrobnej²ie, aby sme problému naozaj rozumeli. Ke budeme ma v²etky potrebné základy, nájdeme rovnice pre rôzne sa správajúce motorky. Rovnice budú vyzera rôzne podla toho, i dáke koleso motorky pre²mykuje, i ide na jednom, i na oboch kolesách a podobne. Na záver nájdeme numericky rie²enie na²ích rovníc. Dos uº s ubov, po me sa pusti do práce. 12

13 KAPITOLA 1. ƒo BUDEME POTREBOVA? Sily a momenty síl zákon Základnou rovnicou klasickej mechaniky je druhý Newtonov pohybový F (t) = m a(t) (1.1) kde v na²om prípade F (t) je výslednica síl pôsobiacich na motorku a jazdca. n F (t) = F i (t) (1.2) i=1 Vektor zrýchlenia a(t) hovorí o zrýchlení aºiska motorky a jazdca. Rovnica (1.1) je základným nástrojom v klasickej mechanike a len rie²enie malého po tu úloh sa zaobíde bez nej. Je ale pote²ujúce, ºe pri rie²ení na²ej úlohy hrá dôleºitú úlohu aj tretí Newtonov pohybový zákon, ktorý asto stojí bokom F akcia (t) = F reakcia (t) (1.3) iná povedané, ak pôsobí teleso A na teleso B silou F, pôsobí teleso B na teleso A silou F. Tento zákon sa asto mylne zjednodu²í na zákon, ºe kaºdá akcia vyvolá reakciu, ktorý uº ale nehovorí o jej ve kosti a smere, a tak sa stáva zna ne nepouºitelným. My ho budeme potrebova v správnom znení. Pri pohybe motorky sa kaºdé koleso otá a okolo svojej osy, pri zdvíhaní predného kolesa motorky sa motorka otá a okolo stredu zadného kolesa. al²í dôleºitý nástroj pri ²tarte motorky teda pre nás bude vz ah medzi momentom hybnosti a momentom síl. d L(t) dt = M(t) (1.4) Aby mala rovnica (1.4) aj istú výpovednú hodnotu, treba identikova, o sa za ou skrýva. Za nime pravou stranou, teda výrazom M(t). Vektorom M(t) ozna ujeme moment síl pôsobiacich na teleso. Výsledný moment síl sa získa s ítaním v²etkých momentov síl 1 n M(t) = M i (t) = i=0 n r i (t) F i (t) (1.5) i=0 1 n v sume je to isté n ako vo vzorci (2.8), teda do momentu síl zapo ítavame v²etky sily pôsobiace na teleso

14 KAPITOLA 1. ƒo BUDEME POTREBOVA? 14 Moment hybnosti L(t) je daný vz ahom L(t) = Ī ω(t) (1.6) kde Ī je vo v²eobecnosti tenzor a ω je vektor, ktorý ma smer kolmý na rovinu rotácie a jeho ve kos je rovná uhlovej rýchlosti ω. 2 Tu prichádzeme k prvému zjednodu²eniu. Aj ke je motorka trojrozmerný objekt, ktorý sa pohybuje v trojrozmernom svete, nás zaujíma len pohyb motorky po priamke a jej vertikálny pohyb, takºe nám posta í zúºi ná² problém na dvojrozmerný. Rovnica (1.6) nás teda bude zaujíma len v zjednodu²enom tvare L(t) = Iω(t) (1.7) kde I ozna ujeme moment zotrva nosti, ktorý je uº v na²om zjednudu²ení íslo a nie tenzor. Podobné zjednodu²enie sa týka aj vz ahov (1.4) a (1.5), ktoré prejdú na rovnice 3 dl(t) = M(t) (1.8) dt n n M(t) = M i (t) = r i (t) F i (t) sin ( r i (t), F i (t)) (1.9) i=0 i=0 Rovnica (1.9) síce nevyzerá jednoduch²ie ako rovnica (1.5), podstatný je ale prechod od vektorov k skalárnym veli inám, o je zna né zjednodu²enie situácie. Práca so silami, momentami síl a spomínanými rovnicami bude tvori nosný pilier analýzi prudkého ²tartu motorky. Pozrime sa teraz bliº²ie, na niektoré sily, ktoré nás budú zaujíma. 1.3 Trecie sily Vo fyzike sa asto pouºíva fráza "trenie zanedbáme". Trecie sily naozaj asto predstavujú zna nú komplikáciu rovníc, a o je e²te hor²ie, námaha 2 Znamienko je otázkou konvencie. 3 r i(t) je polohový vektor vzh adom na os rotácie

15 KAPITOLA 1. ƒo BUDEME POTREBOVA? 15 potrebná na takéto rie²enie asto ani nestojí za to. Základne sa snaºíme pracova bez trenia. To pridávame aº následne, aby sme spresnili rie²enie. Pri ²tarte (a aj pohybe) motorky sú trecie sily esenciálnou zloºkou 4. Ur ite teda budeme chcie rozumie trecím silám medzi kolesom a zemou. Zaujíma nás statické a ²mykové trenie. Skôr ako sa pustíme do ich analýzy, spome me krátku úvahu Richarda Feynmana po as jeho predná²ok z fyziky, ktorou otvára kapitolu o trecích silách [2]. Ako spomína, problém s nimi je taký, ºe sú asto zloºité. Rovnica druhého Newtonovho pohybového zákonu(1.1) je zárove jednoduchá a presná. Na rozdiel od tohoto zákona sú trecie sily zloºité a na²e rovnice o nich nepresné. Trecie sily nie sú fundamentálne záleºitosti, ale ide o výsledok po etných komplexných dejov 5. Preto treba vºdy dáva pozor na to, aby sme týmto rovniciam neprisudzovali vä ²iu presnos, akou reálne disponujú mykové trenie mykové trenie je sila, ktorá pôsobí na teleso ²mýkajúce sa po inom telese v smere opa nom, ako je smer pohybu. Pre ve kos tejto sily platí rovnica F sm = µ sm N (1.10) N vo vzorci je normálová zloºka sily, ktorou daný objekt pôsobí (kontaktom) na plochu, po ktorej sa ²mýka. Podrobnej²í poh ad na ²mykové trenie môºe nájs itate v dodatku A1. 4 Tento fakt je vlastne celkom intuitívny. V²etci vieme, ºe ak by medzi kolesami a zemou nebolo trenie (alebo bolo ve mi malé - koleso na ade) tak by sa motorka skoro vôbec nerozbehla 5 Treba by vda ný aspo za to, ºe sa nám nie o tak zloºité darí prvým, jenoduchým priblíºením asto ve mi dobre popísa

16 KAPITOLA 1. ƒo BUDEME POTREBOVA? 16 F reakcia ΜN F ΜN Obr. 1.1: Graf závislosti reaktívnej sily od sily vonkaj²ej. Pri hodnote teleso ²mýka. V tomto prípade platí µ sm = 0.6µ st. F = 1 sa za ína µn Statické trenie Pre nás je dôleºitej²ím statické trenie. Statické trenie spôsobí, ºe ak sa na teleso pôsobí ne²mykovým dotykom silou 6, vytvorí sa reaktívna sila, ktorá je rovnako ve ká a s opa ným smerom, ako tá, ktorá ju vyvolala. F st = F (1.11) Takéto správanie je ale limitované podmienkou F st µ st N (1.12) kde N je ve kos normálovej sily. Po prekro ení tejto hranica sa dá teleso do pohybu a za ne pre treciu silu plati rovnica pre ²mykové trenie(1.10). Pôvod takéhoto správania je opä na mikroskopickej úrovni a preto pre presnos tejto rovnice platia podobné obmedzenia ako v prípade ²mykového trenia. Závislos reaktívnej sily od ve kosti (kon²tantnej) vonkaj²ej sily je znázornená na obrázku (1.1). V dodatku A2 sa nachádza odpove na otázku, pre o nie je koecient ²mykového trenia vä ²í alebo rovný koecientu static- 6 Uvaºujeme iba zloºku sily rovnobeºnú s dotykovou rovinou

17 KAPITOLA 1. ƒo BUDEME POTREBOVA? 17 kého trenia. Ke uº rozumieme statickému aj ²mykovému treniu, pozrime sa na posledné, valivé trenie Valivé trenie Posledné do zbierky nám chýba valivé trenie. Valivé trenie je povahy trochu odli²nej, ako ostatné dve trenie. Kým ich podstatou bola interakcia dotykových plôch, u valivého trenia ide o nie o iné. Pri rôznych modelovaniach pouºívame ako náhrady rôzne geometricky dokonalé náhrady (gu a namiesto lopty, valec namiesto kolesa a podobne). Skúsenos hovorí, ºe ak sa objekt valí, pôsobí na neho nie o, o ho spoma uje. Ako prvé nás napadne, i nejde o statickú, ²mykovú, i inú silu pôsobiacu v mieste dotyku. V²etky tieto moºnosti môºeme ahko vylú i (vi. dodatok A3). Ako ale teda vysvetlíme experimentálny fakt, ºe dochádza k brzdeniu válajúcich sa telies? Vysvetlenie je jednoduché a nepotrebujeme k nemu ºiadne nové i staré trecie sily. Úplne nám posta ia sily, ktoré uº poznáme. Ak poloºíme koleso na zem, tak na u toto koleso tla í silou F. Zem mu to pod a (1.3) opláca reaktívnou silou o rovnakej ve kosti mieriacou presne na jeho stred (koleso povaºujeme za symetrické). Ke sa koleso dá do pohybu, dôjde k deformácii jeho tvaru (najmä v okolí miesta dotyku telies), o má za výsledok to, ºe reaktívna sila od zeme uº nesmeruje presne na os rotácie kolesa a vznikne tak moment sily, ktorý spôsobí zmen²ovanie uhlovej frekvencie kolesa, a tým pádom aj jeho spoma- ovanie 7. Valivé trenie charakterizujeme parametrom ε, ktoré charakterizuje rameno takéhoto momentu sily. Ak sa koleso nehýbe, tak je ε = 0. Pri pohybe sa stáva nenulovým. Na záver kapitoly o trecích silách spome me e²te al²ie moºné trecie sily, ktoré uº neskôr nebudeme uvaºova. Za prvé ide o trenie sú iastok mo- 7 ƒiºe je tam teda aj nenulová zloºka horizontálnej sily, ale ve mi malá

18 KAPITOLA 1. ƒo BUDEME POTREBOVA? 18 Obr. 1.2: Pôsobenie normálovej sily bez a s valivým trením charakterizovaným parametrom ε. torky. Tie nebudeme uvaºova kvôli tomu, ºe takéto trecie sily a najmä ich momemty sú ve mi malé a kon²tantné (ide o ²mykové trenie). Ni nové by nám o probléme nepovedali. Zárove na motorku a motorkára pôsobí odpor vzduchu. Ten môºe ma istý vplyv na správanie motorky. Aerodynamika motorky a motorkára sú relatívne zloºité záleºitosti. Ak by sme ich zas zjednodu²ili, ná² model by sa presnej²ím nestal.

19 Kapitola 2 Rovnice pre ²tartujúcu motorku 2.1 Vz ah medzi pohybom kolesa a silami na neho pôsobiacimi Bez²mykový pohyb Ako je dobre známe, pri bez²mykovom valení kolesa je rýchlos kolesa v mieste dotyku vzh adom na povrch nulová. Transla ná rýchlos kolesa je prepojená s rýchlos ou, akou sa krúti, a treba si ujasni aký vplyv majú na pohyb sily a aký ich momenty. Za nime rovnicou, ktorá spája horizontálny pohyb kolesa s kruhovou frekvenciou jeho otá ania v(t) = ω(t)r (2.1) kde r je polomer kolesa. Tento vzorec sa dá ahko uvidie. Ak má koleso kruhovú frekvenciu ω(t), tak má kaºdý bod na okraji kolesa rýchlos ω(t)r. A teda aj bod v mieste dotyku kolesa a zeme. Ako sme uº ale povedali, je v tomto bode relatívna rýchlos dotykového bodu kolesa vzh adom na zem nulová. A ak sa teda tento bod vzh adom na zem nehýbe, ale zárove vzh adom 19

20 KAPITOLA 2. ROVNICE PRE TARTUJÚCU MOTORKU 20 Obr. 2.1: Otá anie kolesa a jeho pohyb. Aj ke sa koleso ako celok hýbe, v bode dotyku má vzh adom na zem nulovú rýchlos. Os kolesa sa vzh adom na zem pohybuje takou rýchlos ou, ako okrajový bod kolesa vzh adom na túto os, len s opa ným znamienkom na os kolesa áno, musí os kolesa pohybova vzh adom na zem s rýchlos ou ω(t)r 1. Ke rovnicu (2.1) raz zderivujeme pod a asu, dostaneme rovnicu v(t) = ω(t)r (2.2) a po prenásobení rovnice momentom zotrva nosti kolesa I dostávame pod a vz ahov (1.7) aº (1.9) I v(t) = M(t)r (2.3) Teraz by sme mali tieto rovnice spoji s na²ou motorkou. Motorku uvaºujeme zatia iba ako nie o, o má dve pevne prepojené kolesá. Zadné koleso budeme povaºova za druhé a predné za prvé. Na zadné koleso pôsobí moment sily z motora, ozna íme ho M m. 2 Okrem toho pôsobí na kolesá aj istá reaktívna (statická 3 ) sila v mieste dotyku 4. Patrilo by sa tu e²te spomenú jednu nejasnos. V kapitole o valivom trení (resp. dodatku A3) sme diskutovali o tom, ako nemôºe brzdná sila pôsobi v mieste dotyku v ºiadnom smere a zrazu tvrdíme, ºe tam dáka sila je 1 Smer rýchlosti je znázornený na obrázku 2 Mínus preto, lebo ako vieme, pri pohybe motorky doprava (kladný smer vzh adom na os x) roztá a motor koleso v smere hodinových ru i iek, o je pod a konvencie záporný smer otá ania. 3 Nezabúdajme, ºe teraz rie²ime bez²mykový pohyb. 4 Podobná ako tá, v aka ktorej môºeme krá a. Nohou zatla íme o zem smerom dozadu a statická trenie nás potla í opa ným smerom - teda dopredu.

21 KAPITOLA 2. ROVNICE PRE TARTUJÚCU MOTORKU 21 a ºe má vplyv na rozbiehanie. Ako vysvetli tento spor? V diskusii o valivom trení bola podstatná, aj ke nie aº tak zdôraznená skuto nos, ºe v uvaºovanom prípade nepôsobila okrem diskutovanej sily v horizontálnom smere sila ºiadna iná. Výsledný efekt pohybu iba pri uvaºovaní sily bol vºdy opa ný, ako pri uvaºovaní momentu tej istej sily. Teraz je uº situácia iná. Na koleso pôsobí aj al²ia sila. Dokopy s touto silou v mieste dotyku môºu vyrobi výslednú silu a moment sily, ktoré budú správne opisova pohyb kolesa. Teda rovnica (2.2) pri nich bude plati. Ke uº vieme, ºe by na koleso mala pôsobi sila, ktorá rozbieha motorku, zaujíma nás, ako túto silu vypo íta. Na to potrebujeme rozumie rovnici (2.3). v(t) je horizontálna rýchlos, akou sa pohybuje os kolesa (v na- ²om prípade aj celá motorka, ak ide na oboch kolesách). M(t) je ale výsledný moment síl pôsobiacich na jedno koleso. V skuto nosti nám dáva (2.3) dve rovnice, jednu na kaºdé koleso. I i v(t) = M i (t)r i (2.4) kde i nadobúda hodnotu 1 pre predné kolesa a 2 pre zadné koleso. Ak túto rovnicu prenásobíme celkovou hmotnos ou motorky a jazdca (m) a vyuºijeme druhý Newtonov pohybový zákon (1.1), získame rovnicu F (t) = mm i(t)r i I i (2.5) Ak zatia neuvaºujeme valivé trenie, sú rovnice pre M 1 (t) a M 2 (t) takéto M 1 (t) = F 1 (t)r 1 (2.6) M 2 (t) = F 2 (t)r 2 M m (t) (2.7) kde sme ako F 1 (t) a F 2 (t) ozna ili neznáme sily pôsobiace na kolesá v mieste dotyku so zemou (vi obr. 2.2). Ak si uvedomíme, ºe ide o jediné sily pôsobiace v horizontálnom smere, bude výsledná sila urýchlujúca motorku takáto F (t) = F 1 (t) + F 2 (t) (2.8)

22 KAPITOLA 2. ROVNICE PRE TARTUJÚCU MOTORKU 22 Zrekapitulujme si to. Rovnica (2.5) platí pre obe kolesá. Ak do nej dosadíme momenty síl na prvom (2.6) a druhom kolese (2.7), dostame dve rovnice. Spolu s rovnicou (2.8) máme tri zviazané rovnice pre tri neznáme F 1 (t), F 2 (t), F (t) (moment sily od motoru máme explicitne zadaný). Takºe sily F 1 (t) a F 2 (t) musia by také, aby sp ali tieto tri rovnice pre tri neznáme. al²ie neznáme, ako M i (t), ω i (t), ẍ(t), v(t), x(t) 5 pohodlne získame pomocou uº uvedených rovníc. Teoreticky takto poznáme v²etko potrebné pomocou systému 10 rovníc pre 10 neznámych mykový pohyb Pri pohybe kolies niekedy dochádza k ²myku. A to konkrétne vtedy, ke prestane plati nerovnica (1.12). Vtedy sa zmenie dve veci. Pri ²mýkaní nám neplatí rovnica (2.1) o vz ahu medzi transla nou rýchlos ou stredu kolesa a jeho otá aním. Prichádzame teda o rovnicu (2.5) pre ²mýkajúce sa kolesá, takºe na²a sústava rovníc vyzerá by neúplná. Na²tastie nám ale pribudne rovnica (1.10) pre ²mykové trenie. Takºe teraz silu F i (t) (i-te koleso pre²mykuje) nemusíme hlada ako reaktívnu silu, s ktorou nám sedia rovnice, ale je to rovno sila daná rovnicou (1.10). Ostatné rovnice sa nezmenia. 6 7 Na to, aby sme zistili, kedy prestáva na ktorom kolese plati nerovnica (1.12), musíme pozna normálové sily pôsobiace na koleso. Po me sa teda na ne pozrie. 5 Ke ºe Newtonova pohybová rovnica (1.1) je druhého rádu pre x(t) a prvého pre v(t), prídávame po iato né podmienky x(0) = 0m, ẋ(0) = v(0) = 0ms 1. 6 Ostáva moºno otázne, akým smerom má pôsobi táto ²myková sila. Bude pôsobi tým istým smerom, akým pred ²mykom pôsobila statická sila. mykové trenie má totiº vºdy opa ný smer ako rýchlos ²mýkajúceho sa telesa 7 Budeme ich ozna ova ako sada rovníc ²mykový pohyb kolies, prípadne jedného z kolies

23 KAPITOLA 2. ROVNICE PRE TARTUJÚCU MOTORKU Normálové sily Na to, aby sme vedeli kontrolova platnos nerovnice (1.12), resp. aby sme mohli sledova, kedy sa dvihne predné koleso motorky, potrebujeme pozna normálové sily pôsobiace na kolesá. Na to, aby sme vedeli tieto sily vypo íta, musíme preklopi jeden klasický fyzikálny postup. Beºne postupujeme tak, ºe ak chceme skúma pohyb telesa, zapí²eme v²etky sily, ktoré na teleso pôsobia, výslednú silu vloºíme do Newtonovej pohybovej rovnice (1.1), ím získame diferenciálnu rovnicu druhého rádu pre polohu telesa a tú sa snaºíme pre dané po iato né podmienky rie²i. Sily sú na²ou cestou k cie u. V tomto prípade je ale na²ím cie om získa hodnoty síl. A na²ím nástrojom bude to, o sme sa pred tým snaºili získa. V²etky sily, ktoré pôsobia na motorku a jazdca vo verikálnom smere sú N 1 (t), N 2 (t), mg. N 1 (t) a N 2 (t) sú normálové sily pôsobiace na prvé a druhé kolose, mg je tiaºová sila pôsobiaca na motorku a jazdca. To, o by sme beºne pomocou nich skúmali, je zmena vertikálnej polohy aºiska. Teraz to ale obrátime a povieme, ºe sily h adáme také, aby sa vertikálna poloha aºiska nemenila - teda motorka sa nezdvíha a sily teda musia by v rovnováhe mg = N 1 (t) + N 2 (t) (2.9) Tiaºová sila mg je známa uº z parametrov motorky a jazdca a v ase sa nemení. Sily N 1 (t) a N 2 (t) sú ale trochu komplikovanej²ie. Závisia od tvaru motorky, polohy jazdca, rozloºenia ich hmotnosti, iných síl, ktoré na nich pôsobia, momentov síl a podobne. Zatia sme pridali dve nové neznáme, N 1 (t) a N 2 (t), ale len jednu novú rovnicu (2.9). Potrebujeme získa al²iu rovnicu pre N 1 (t) alebo N 2 (t). A získame ju podobne, ako sme získali rovnicu (2.9). To, o sa beºne snaºíme vypo íta, budeme povaºova za dané a budeme sa snaºi nájs také sily, ktoré také nie o splnia. Pred tým si ale potrebujeme spravi malú odbo ku.

24 KAPITOLA 2. ROVNICE PRE TARTUJÚCU MOTORKU 24 V predo²lej asti sme spomínali, ºe sily F 1 (t) a F 2 (t) sú jediné sily, ktoré pôsobia na motorku v horizontálnom smere. Pri skúmaní pohybu motorky v sústave pevne spojenej so zemou tomu tak aj naozaj je 8. Rotáciu motorky okolo stredu zadného kolesa bude jednoduch²ie skúma v sústave, kde táto os stojí. A ke ºe sa táto sústava vzh adom na tú pevne spojenú so zemou pohybuje, vo v²eobecnosti zrýchlene, pribudne e²te zotrva ná sila F z (t) = m v(t) (2.10) Teraz je uº zoznam síl, ktoré potrebujeme na získanie poslednej potrebnej rovnice úplný. Dôvod, pre o sa sily N 1 (t) a N 2 (t) nedajú tak ahko spo íta je taký, ako sme uº spomínali, ºe závisia nielen od paremetrov motorky a jazdca, ale aj od ich tvaru, pohybu a iných síl. Ak sa motorkár viac naváºi dozadu, tak je vä ²ia normálová sila na zadnom kolese a naopak 9. Na to aby sme ich vedeli vypo íta, znovu pouºijeme obrátený postup. Zoberieme rovnice (1.7) a (1.8), spojíme ich dokopy na tvar I φ(t) = M(t) (2.11) Presnej²ie, budeme vy²etrova rotáciu systému motorka bez zadného kolesa s jazdcom okolo stredu zadného kolesa. Teda, za prvé nebude vo vzorcoch vystupova hmotnos celej motorky s jazdcom, ale len motorky bez zadného kolesa s jazdcom (ozn. m ). Za druhé do celkového momentu síl zarátame len momenty síl pôsobiacich na systém motorky bez zadného kolesa s jazdcom. Prvým z momentov síl je M m = M m (t) (2.12) o je reaktívny moment sily, kvôli momentu sily, ktorým pôsobí motor na zadné koleso. Získame ho rovno z explicitného vyjadrenia. alej pripo ítame 8 Ak teda neuvaºujeme odpor vzduchu a podobné veci 9 Lebo toto koleso tla í na zem silnej²ie ako to druhé

25 KAPITOLA 2. ROVNICE PRE TARTUJÚCU MOTORKU 25 moment zotrva nej sily pôsobiacej na uvaºovaný systém M z (t) = v(t)m h (2.13) kde h je vý²ka aºiska tohto systému vzh adom na os otá ania. Prirátame moment horizontálnej a vertikálnej sily pôsobicej na predné koleso M F1 (t) = F 1 (t)r 1 (2.14) M N (t) = N 1 (t)l (2.15) kde l je vzdialenos osi predného a zadného kolesa. Ako posledný pridáme moment tiaºovej sily M t = m gd (2.16) kde d je horizontálna vzdialenos aºiska uvaºovaného systému od osi otá- ania. O správnosti znamienok sa môºeme presved i z obrázku Obr. 2.2: Sily a momenty sil pôsobiace na motorku a jazdca spolu s dôleºitými parametrami motorky. ƒierny bod v strede vyzna uje aºisko systému motorka bez zadného kolesa a jazdec. Ke tieto momenty síl pospájame dokopy a uvedomíme si, ºe pri jazde na dvoch kolesách platí φ(t) = 0s 2, dostávame spolu s rovnicou (1.7) rovnicu M m (t) + v(t)m h + N 1 (t)l + F 1 (t)r 1 m gd = 0 (2.17)

26 KAPITOLA 2. ROVNICE PRE TARTUJÚCU MOTORKU 26 Z tejto rovnice dokáºeme získa N 1 (t) a teda pomocou (2.9) aj N 2 (t). Teraz uº pokojne môºeme kontrolova, kedy sa dvihne predné koleso, kedy sa ktoré koleso za ne ²mýka, i prida do rovníc valivé trenie Pridanie valivého trenia do rovníc Valivé trenie do týchto rovníc zakomponujeme jednoducho. Na pravú stranu rovníc (2.6) a (2.7) sta í pripísa len +N i (t)ε. Teda budú ma tvar M 1 (t) = F 1 (t)r 1 + N 1 (t)ε (2.18) M 2 (t) = F 2 (t)r 2 M m (t) + N 2 (t)ε (2.19) Týmto sa na²e rovnice zauzlia e²te trochu viac. Rovnica pre otá anie motorky okolo zadného kolesa sa nezmení (vi. dodatok B1). 2.3 Motorka idúca na jednom kolese Pri ²tarte motorky môºe nasta nieko ko rôznych alternatív. My sa neuspokojíme s tým, ºe budeme vedie poveda, ktorá z daných alternatív nastane. Budeme chcie vedie správanie motorky aj v takejto situácii. Reºim pre²mykujúcich sa kolies sme popísali uº v minulej kapitole. Sta ilo nám iba nahradi isté rovnice rovnicami pre ²mykový pohyb. Pre re- ºim jazdy so zdvihnutým kolesom to uº je trochu komplikovanej²ie. Budeme musie modokova postup, ktorým sme na uplynulých stranách pre²li Bez²mykový pohyb na jednom kolese Ke sme rozoberali pohyb na dvoch kolesách, tak sa nám podarilo nájst to ko rovníc, ko ko sme mali neznámych. Ak by sme pridali motorke e²te jedno koleso, tak by pribudli dve neznáme N 3 (t) a F 3 (t), ale iba jedna nová rovnica pre horizontálnu silu pôsobiacu na toto koleso. Ak by sme chceli

27 KAPITOLA 2. ROVNICE PRE TARTUJÚCU MOTORKU 27 takýto problém rie²i, museli by sme získa al²iu rovnicu, ktorá by hovorila o tom, ako sú rozloºené normálové sily pri danom tvare motorky. Pri jazde na dvoch kolesách sa problém zjednodu²il a dal sa vyrie²i bez tejto komplikácie. Vyplýva z toho, ºe problém motorky idúcej na jednom kolese bude e²te jednoduch²í? Bohuºial nie. A to rovno z dvoch dôvodov. Za prvé pribudne jeden stupe vo nosti - uhol o ktorý je motorka zdvihnutá 10. Za druhé prestanú plati isté zjednodu²ujúce predpoklady, ktoré sme pri jazde na dvoch kolesách pouºili. Prvý sme pouºili pri odvodzovaní rovnice (2.9) pre normálové sily. Vyuºili sme fakt, ºe sa vý²ka aºiska motorky nemení. Ten uº pri jazde na jednom kolese plati nemusí. Rovnako sme pri skúmaní pohybu kolesa (2.1) povedali, ºe horizontálna rýchlos stredu kolesa je tá istá, ako horizontálna rýchlos aºiska motorky. Motorka sa pri pohybe na jednom kolese môºe rôzne zdvíha (teda zdvíha predné koleso) a tento predpoklad teda uº tieº neplatí. Po me sa teda pozrie na to, ako by mali vyzera rovnice pre motorku pohybujúcu sa na jednom kolese 11. Na za iatok si e²te treba poloºi otázku, ako budeme opisova pohyb motorky. V mechanike sa beºne zjednodu²í úloha na pohyb aºiska v istej sústave. Pri analýze pohybu na dvoch kolesách sme pouºívali dve vz aºné sústavy. Jednu spojenú so zemou a jednu, ktorá sa pohybovala spolu s motorkou. Zárove sme okrem aºiska pouºívali e²te al²í významný bod : stred zadného kolesa. Pri dvoch kolesách spojených so zemou bola vzájomná poloha aºiska a stredu zadného kolesa kon²tantná a tam, kde to bolo relevantné (pri zrýchleniach) sa derivovaním rozdiel medzi nimi vytratil. Pri pohybe na jednom kolese síce ich absolútna vzdialenos zostáva rovnaká, ale ich horizontálna a vertikálna vzdialenos sa môºe meni. Toto je významný fakt, na ktorý budeme musie pri tvorbe rovníc dáva ve ký pozor. 10 Teda uhol, ktorý zviera spojnica spodných bodov kolies s horizontálnou priamkou. 11 Správania motorky idúcej najednom kolese skúmali uº A. Rucco a R. De Luca [1]. V ich modeli bolo zrýchlenie motorky nezávislé od momentu sily od motoru. Ná² model je teda z tohto poh adu správnej²í.

28 KAPITOLA 2. ROVNICE PRE TARTUJÚCU MOTORKU 28 Vertikálne zloºky ich polohy sú vo vz ahu y(t) = y k (t) + λsin(φ(t)) (2.20) kde y(t) je vý²ka aºiska v ase t, y k (t) je vý²ka stredu kolesa, ktorá je pri nedeformujúcom sa kolese totoºná s polomerom kolesa (y k (t) r). λ je absolútna vzdialenos aºiska motorky a stredu zadného kolesa. Spojnica aºiska a stredu zadného kolesa zviera s horizontálnou osou uhol φ(t). V ase, kým bola motorka na oboch kolesách ozna íme tento uhol φ 0, o poslúºi ako po iato ná podmienka pre uhol φ(t) (vi. obr 2.3). Horizontálne zloºky polohy aºiska motorky a stredu zadného kolesa majú vz ah x(t) = x k (t) + λcos(φ(t)) (2.21) kde x(t) je horizontálna poloha aºiska a x k (t) je horizontálna poloha kolesa. Normálová sila Na motorku pôsobia vo vertikálnom smere iba dve sily. Reaktívna sila od zeme, ozna íme ju N(t) a tiaºová sila mg, pôsobiaca opa ným smerom. Pomocou Newtonovej pohybovej rovnice (1.1) dostávame vz ah N(t) mg = mÿ(t) (2.22) Ak dva krát zderivujeme pod a asu y(t) z rovnice (2.20) a dosadíme do tejto rovnice, získame rovnicu N(t) mg = m(λ φ(t)cos(φ(t)) λ φ 2 (t)sin(φ(t))) (2.23) V om je zaujímavá táto rovnica? Hovorí napríklad o tom, ako rôzne silno tla í motorka na zem pri rôznom zdvíhaní predného kolesa. Pôvod prvého lena na pravej strane rovnice sa dá pochopi, ak si predstavíme, o sa deje pri zdvíhaní motorky. Ak predné koleso stojí na zemi a za ne sa dvíha,

29 KAPITOLA 2. ROVNICE PRE TARTUJÚCU MOTORKU 29 musí zadné koleso tla i silnej²ie na zem. Naozaj, pre φ(t) 0, o odpovedá zdvíhajúcej sa motorke s aºiskom tesne pri zemi, nám vyjde, ºe táto extra sila pôsobiace na zem je presne taká, akú treba na dvíhanie aºiska. Cosínus je tam kvôli tomu, ºe neskôr sa pri zmene uhlu φ(t) mení vý²ka aºiska pomal²ie. Druhá as pravej strany rovnice je odstredivá sila. Ke sa motorka otá a okolo stredu zadného kolesa, pôsobí na u odstredivá sila, ktorej priemet do osi y má presne takúto ve kos. Intuitívne sedí aj jej znamienko. ƒím je táto sila vä ²ia, tým motorka tla í o zem slab²ie. 12 Horizontálna sila Horizontálna sila F (t) je jedinou silou pôsobiacou v horizontálnom smere na motorku(v sústave pevne spojenej so zemou). Ide o reaktívnu silu statického trenia na koleso. Jej rovnicu získame z Newtonovho pohybového zákona (1.1) následovne F (t) = mẍ(t) (2.24) ke znovu za x(t) dosadíme vyjadrenie z (2.21) dostaneme F (t) = m(ẍ k (t) λ φ 2 (t)cos(φ(t)) λ φ(t)sin(φ(t))) (2.25) kde môºeme lenom rovnice porozumie podobne, ako v minulom prípade. Vz ah pohybu kolesa, síl a momentov síl Jeden z dôvodov pre o pouºívame na opis aj stred zadného kolesa je taký, ºe chceme jednoduchý vz ah medzi rýchlos ou motorky a kruhovou frekvenciou kolesa ω. Pre rýchlos stredu kolesa, ktoré je v ne²mykovom 12 Doteraz sme predpokladali, ºe môºu nasta pri ²tarte motorky tri moºnosti - hladký ²tart, pre²mykovanie a zdvihnutie predného koleso. Poh ad na tento vzorec ale ponúka my²lienku, ºe môºe nasta aj ²tvrtá alternatíva. A síce, ºe sa pri ²tarte zdvihnú obe kolesá. Neskôr skúsime nájs aj takéto extrémne rie²enie

30 KAPITOLA 2. ROVNICE PRE TARTUJÚCU MOTORKU 30 kontakte so zemou môºeme napísa ω(t)r = ẋ k (t) (2.26) zderivovaním rovnice pod a asu a jej prenásobením s momentom zotrva nosti kolesa I dostaneme rovnicu I ω(t)r = M(t)r = Iẍ k (t) (2.27) kde M(t) je celkový moment síl pôsobiacich na koleso motorky. V prípade bez valivého trenia to je M(t) = M m (t) + F (t)r (2.28) kde M m (t) je moment sily od motoru motorky. V prípade s valivým trením dostaneme rovnicu M(t) = M m (t) + F (t)r + N(t)ε (2.29) kde ε je koecient valivého trenia. Po úprave prvej rovnice získame preh adnej²í vz ah ẍ k (t) = (M m(t) F (t)r)r I a po úprave druhej rovnice dostaneme ẍ k (t) = (M m(t) F (t)r N(t)ε)r I (2.30) (2.31) Vz ah pre uhlovú rýchlos motorky Otá anie motorky okolo zadného kolesa sa nám bude najpohodlnej²ie skúma v sústave pohybujúcej sa spolu so stredom zadného kolesa. Vä ²inu nepríjemných zmien sme si uº odrobili. Teraz jednoducho spí²eme momenty v²etkých síl pôsobiacich na motorku (znovu uvaºujeme systém motorka bez zadného kolesa s jazdcom rotujúca okolo stredu zadného kolesa (λ a m sú absolútna vzdialenos aºiska od stredu zadného kolesa a hmotnos systému motorka bez zadného kolesa a jazdec)) I m φ(t) = M m (t) + m ẍ k (t)λ sin(φ(t)) m gλ cos(φ(t)) (2.32)

31 KAPITOLA 2. ROVNICE PRE TARTUJÚCU MOTORKU 31 kde I m je moment zotrva nosti motorky bez zadného kolesa s jazdcom rotujúcej okolo stredu zadného kolesa. Obr. 2.3: Sily a momenty sil pôsobiace na motorku a motorkár spolu s dôleºitými parametrami motorky. ƒierne body ozna ujú polohu aºiska jazdca, systému motorka a jazdec a miesto, kde je jazdec spojený s motorkou Roz²írenie modelu o pohyblivého jazdca Na²a práca je základným opisom správania motorky pri ²tarte. Uká- ºeme si e²te, ako sa dá ná² model roz²irova, konkrétne uvaºovaním motorkára, ktorý sa na motorke hýbe. Pre jednoduchos budeme motorkára uvaºova ako tuhé teleso pripevnené na motorku, ktoré má jeden stupe vo nosti pohybu. Jeho správanie môºeme opísa dvoma spôsobmi. Môºeme uvaºova, ºe sa motorkár dotýka motorky na dvoch miestach. Na jednom, kde sedí a na druhom kde sa rukami drºí motorky. Parametrizujeme silu, akou tla í rukami na motorku, spí²eme rovnice pre ostatné sily, akými pôsobí na motorku a vy²etríme správanie motorky (bez jazdca) pod vplyvom takýchto vonkaj²ích síl. My si ale zvolíme inú moºnos. Budeme skúma pohyb celého systému

32 KAPITOLA 2. ROVNICE PRE TARTUJÚCU MOTORKU 32 motorka a motorkár, ktorého pohyb charakterizujeme uhlom α(t) (vi. obrázok 2.3). Výhodou je, ºe nám oproti prípadu bez motorkára nepribudnú ºiadne vonkaj²ie sily. V om je teda rozdiel? V tom, ºe pri pohybe motorkára na motorke sa mení poloha aºiska tohoto systému. Poloha aºiska systému motorka (m) s jazdcom (j) sa dá spo íta následovne M R T (t) = m m r m + m j r j (t) (2.33) kde M = m m +m j je celková hmotnos motorky a jazdca a r i ozna ujú polohu aºiska daného podsystému.vý²ku aºiska samotnej motorky oznaºíme h, jeho horizontálnu polohu zasa d. Vzdialenos aºiska motorkára od miesta, okolo ktorého sa pohybuje (bod ( d, h) v súradnicovej sústave s po iatkom v strede zadného kolesa) ozna íme η. Pre zloºky polohy aºiska motorkára teda platí y tm = h + ηsin(α t ) (2.34) x tm = d + ηcos(α t ) (2.35) Pre zloºky polohy aºiska celého systému motorka s jazdcom potom platia rovnice y T (t) = 1 M (m mh + m j ( h + ηsin(α(t))) (2.36) x T (t) = 1 M (m md + m j ( d + ηcos(α(t))) (2.37) Horizontálne sily urýchlujú aºisko ako N 1 (t) + N 2 (t) Mg = Mÿ T (t) (2.38) a vertikálne ako F 1 (t) + F 2 (t) = Mẍ T (t) (2.39) Ostatné rovnice uº získame identicky, ako v prípade bez motorkára. Rovnice pre otá anie kolies (resp. momenty síl a ulohové zrýchlenie kolies) budú vyzera rovnako, ako v prípade s nehybným jazdcom. Rovnica pre otá- anie systému motorka bez zadného kolesa plus jazdec okolo stredu zadného

33 KAPITOLA 2. ROVNICE PRE TARTUJÚCU MOTORKU 33 kolesa vyzerá následovne (uvaºujeme, ºe obe kolesá sú na zemi) N 1 (t)l + F 1 (t)r + M m (t) + M ẍ(t)y T (t) M gx T (t) = 0 (2.40) kde M je hmotnos systému motorka bez zadného kolesa a jazdec (y T (t) a x T (t) odpovedajú zloºkám polohy aºiska tohoto systému). Podobne by sme mohli roz²íri aj model motorkára na motorke idúcej na jednom kolese. Poznamenajme e²te, ºe teraz máme úplný systém rovníc pre na²e neznáme a správanie motorkára parametrizujeme cez α(t). Úlohu ale môºeme zmeni aj na takú, ºe zadáme asový priebeh dákej veli iny (napríklad φ(t), ke ide motorkár na jednom kolese) a pomocou získaných rovníc dopo ítame α(t), ktorá bude vies práve k tomuto priebehu.

34 Kapitola 3 Výpo ty Kone ne uº poznáme vzorce popisujúce správanie motorky idúcej na jednom aj dvoch kolesách, so v²etkými kombináciami pre²mykujúcich a nepre²mykujúcich kolies. Môºeme si teda kone ne odsledova rôzne detaily ²tartu motorky aj numericky. V²etky výpo ty budeme robi iba s nehybným jazdcom. Na za iatok zistíme, i sa istá motorka pri ²tarte zdvihne na zadné koleso, alebo jej kolesá za nú pre²mykova. Potom si pozrieme úplné ²tarty dvoch motoriek. Isté detaily sa z dôvodu preh adnosti nachádzajú aº v dodatkoch C. 3.1 Parametre motorky Je ve a parametrov motorky (a jazdca), ktoré sa od prípadu k prípadu lí²ia a majú niekedy aº prekvapivo ve ký vplyv na ²tart motorky. My budeme skúma modelové systémy motorka s jazdcom, ktoré sú si navzájom vcelku podobné. Ako základ budeme pouºiva systém s parametrami uvedenými v dodatku C0 a prípadne spomenieme, ím sa práve skúmaný systém od tohoto základného odli²uje. 34

35 KAPITOLA 3. VÝPOƒTY Postup pri skúmaní ²tartu motorky Pri skúmaní budeme postupova jednoducho. Aká je presná závislos momentu sily od motoru nevieme. Pouºijeme preto tvar M m (t) = M m t, kde M m je maximálny moment sily od motoru 1. ƒiºe v ase t = 0s nedodáva motor ºiaden moment sily a v ase t = 1s ide na plný výkon (ozn. t(1s) = t pv ). V skuto nosti je ale situácia trochu zloºitej²ia. Ke sa zadné koleso to í rýchlo, motor do neho dodáva iný, men²í, moment sily 2. Realistickej²ie by teda bolo pouºi parametrizáciu M m (t, ω) = M m tf(ω), kde by bola f(ω) nerastúca funkcia a f(0s 1 ) = 1. My ale skúmame prudký ²tart, pri ktorom uvaºujeme f(ω) = 1. Pri takejto jednoduchej parametrizácii momentu sily motoru sa dajú rovnice rie²i aj analyticky 3. Ná² aparát je ale ur ený na skúmanie ubovolného priebehu momentu sily od motoru (vtedy uº analytické rie²enie nemusí by moºné). Výpo ty budeme robi teda numericky, o je v²eobecne moºný postup. Nájdenie analytického rie²enia rovníc ale aj tak nie je na zahodenie. Dá sa s ním napríklad skontrolova, i je na²e numerické rie²enie (v prípade lineárnej parametrizácie) správne 4. Po as ²tartu sa môºu zdvihnú koleso, alebo môºe jedno z kolies za- a pre²mykova. Ak sa ni z toho do asu t pv nestane, tak motorka ide na plný výkon a ²tart bol hladký. Aby sme zistili, i dáke z kolies neza ne pre- 1 Ke ºe výkon motoru takto rastie v priebehu sekundy lineárne z 0 na 100 percent, môºeme ahko získa predpove, kedy nastane skúmaná udalos pri reálnej závislosti momentu sily motora od asu. Ak teda nie o nastane v ase t, môºeme poveda, ºe táto udalos reálne nastane ak pôjde motor na 100 t percentný výkon. 2 Ak ideme autom ve kou rýchlos ou a zaradíme nízky prevodový stupe, nedokáºeme sa zrýchli tak, ako ke auto stálo (prípadne dokonca auto za ne spomalova ). 3 Minimálne pri motorke idúcej na oboch kolesách. Pri motorke idúcej na jednom kolese sú diferenciálne rovnice kvôli odstredivej sile nelineárne. 4 Aj my sme urobili takúto kontrolu. ƒas, kedy sa za ne pre²mykova predné koleso v prvom prípade v následujúcej sekcii, bol nájdený numericky aj analyticky. Analytické rie²enie v práci neuvádzame (je zd havé a pre cie práce nezaujímavé)

36 KAPITOLA 3. VÝPOƒTY 36 ²mykova, musíme na nich kontrolova, i je splnená nerovnos (1.12). Pre preh adnos zavedieme pomocnú funkciu R i (t) R i (t) = N i (t)µ st F i (t) (3.1) Veli ina R i (t) má následovný význam, pre R i (t) > 0 je na i-tom kolese splnená nerovnos (1.12) a toto koleso nepre²mykuje. Pre R i (t) < 0 uº koleso pre²mykuje 5. To, i sa niektoré z kolies zdvihlo zistíme jednoducho tak, ºe sledujeme, kedy normálová sila N i (t) klesne na nulu, resp. za ne by záporná. Ke sa bu dáke koleso zdvihne zo zeme, alebo za ne pre²mykova, musíme prejs na novú sadu rovníc Za iatok ²tartu V tejto asti rozanalyzujeme za iatok ²tartu, teda správanie motorky skôr neº sa kolesá za nú dvíha alebo pre²mykova. Budeme pouºíva nájdené sady rovníc a na²u modelovú motorku s jazdcom, ktorá má ale na zadnom kolese men²í koecient ²mykového trenia a trochu vy²²ie aºisko (µ 2sm µ 2sm = 0.8, h h = 0.4m). Na za iatok sa pozrieme na k u ové veli iny na zadnom a prednom kolese (Obr ). ƒo zaujímavého je vidno na týchto grafoch? Za prvé, ºe má zmysel uvaºova valivé trenie. Kým s ním za ne pre- ²mykova zadné koleso aº v ase t. = 0.90s, bez neho uº v ase t. = 0.85s. Nie je to úplne ve ký rozdiel, ale nie je ani úplné zanedbate ný a viac menej nás 5 Je otázne, o sa stane, ak veli ina R i (t) klesne na nulu a následne za ne znovu stúpa. H adanie odpovede na otázku, i vtedy koleso za ne alebo neza ne pre²mykova nemá zmysel, ke ºe nepracujeme s nato ko presným modelom. Nevieme poveda, i by za alo alebo neza alo pre²mykova. Akurát vieme, ºe to bude tesnotka. 6 ƒiºe budeme hlada, i skôr nastane as, kedy sa koleso zdvihne, za ne pre²mykova, alebo nastane as t pv. Ak nastane jedna z prvých dvoch moºností, tak zobereme stav motorky v danom ase a pouºijeme ich ako po iato né podmienky pre aktuálnu sadu rovníc

37 KAPITOLA 3. VÝPOƒTY 37 pridanie valivého trenia do rovníc ni nestojí. Za druhé, aj ke sa to nedá presne ur i len z týchto prvých výpo tov, vyzerá to tak, ºe napríklad pre²mykovania na prednom a zadnom kolese a zdvihnutie predného kolesa nastávajú pri porovnate ne ve kom výkone a zmenou istých parametrov budeme môc docieli, ºe sa poradia týchto dvoch udalostí prehodí 7. No a za tretie vidíme, ºe jediné tri zaujímavé udalosti sú pre²mykovanie, resp. dvihnutie predného kolesa a pre²mykovania zadného kolesa. Pri skúmaní toho, o pri ²tarte motorky nastene, nás teda zaujímajú najmä priebehy veli ín N 1 (t), R 1 (t), R 2 (t). F N F 2 t R 2 t Μ st N 2 t t s Obr. 3.1: Priebehy relevantných veli ín na zadnom kolese s válivým trením. H adáme, i sa za ne zadné koleso pre²mykova (R 2 = 0), dvihne sa (N 2 = 0), alebo sa po as t pv ni z toho nenastane. Ak je ná² model e²te správny (do tohto asu sa nedvihne/nepre²mykuje predné koleso) dôjde v ase t =. 0.90s k pre²mykovaniu zadného kolesa. (pripomíname, R 2 (t) = N 2 (t)µ st F 2 (t) ) Na posledných stranách sme si vytvorili dva resty. Tvrdili sme, ºe to vyzerá tak, ºe malou zmenou istým parametrov docielime zmenu správania motorky. Toto porovnanie sa nachádza v dodatku C1. Druhou vecou, ktorú 7 Rovnako je aj vidno, ºe vºdy pred zdvihnutím koleso dôjde k aspo krátkemu pre- ²mykovaniu.

38 KAPITOLA 3. VÝPOƒTY 38 F N F 2 t R 2 t Μ st N 2 t t s Obr. 3.2: Ten istý prípad, ale bez válivého trenia. K pre²mykovaniu do²lo uº v ase t. = 0.85s.(pripomíname, R 2(t) = N 2(t)µ st F 2(t) ) F N 800 F 1 t R 1 t Μ st N 1 t t s Obr. 3.3: Priebehy relevantných veli ín na prednom kolese pri uvaºovaní válivého trenia. Ako vidíme, v ase t =. 0.64s sa za ne predné koleso pre²mykova (R 1 (0.64s) = 0). Musimé v tomto ase prejs na novú sadu rovníc, ktorá nám povie, i sa skôr dvihne predné, pre²mykujúce koloso, alebo sa za ne pre²mykova aj koleso zadné. Priebeh na obrázku (3.1) teda platí len do asu t =. 0.64s. (pripomíname, R 1(t) = N 1(t)µ st F 1(t) ) sme tro²ku zaml ali, je otázka, i nie je správanie motorky závislé od tvaru funkcie M m (t), ím by mohla by na²a vo ba lineárnej závislosti dos zlá.

39 KAPITOLA 3. VÝPOƒTY 39 O tejto záleºitosti sa pojednáva v dodatku C2. Extrémny prípad ²tartu, pri ktorom sa dvihnú obe kolesá motorky je v dodatku C Úplný ²tart Uvedieme si teraz prebiehy dvoch celých ²tartov. Uvádzame priebehy horizontálnej polohy stredu zadného kolesa a uhlu φ(t), pomocou ktorých je pohyb motorky opísaný úplne. V prvom prípade (základná modelová motorka a jazdec) dôjde najprv v ase t =. 0.76s k pre²mykovaniu predného kolesa a v ase t =. 0.77s k jeho dvihnutiu. V druhom prípade ide o mierne pozmenený systém motorky s jazdcom x m φ rad x k t φ t t s Obr. 3.4: Takto sa pohybuje základná modelová motorka. V ase t. = 0.76s sa za alo pre²mykova a v ase t. = 0.77s sa dvihlo predné koleso. (M m M m = 143Nm 1, p p = 4.5, d d = 0.7m, h h = 0.38m, l l = 1.55m). Motorke najprv v ase t. = 0.78s za ne pre²mykova zadné koleso, v ase t. = 0.95s aj predné koleso, ktoré sa v ase t. = 0.98s dvihne.

40 KAPITOLA 3. VÝPOƒTY 40 x m φ rad x k t φ t t s Obr. 3.5: Takto sa pohybuje pozmenená modelová motorka. V ase t. = 0.78s sa za alo pre²mykova zadné koleso, v ase t. = 0.95s aj predné koleso, ktoré sa následne v ase t. = 0.98s dvihlo.

41 Kapitola 4 Záver Dostali sme sa na záver na²ej analýzy ²tartu motorky. Na za iatku sme tvrdili, ºe aj ke ide o ve mi beºný jav, vyºaduje si jeho pochopenie trochu podrobnej²í náhla. Preto sme spísali v²etky potrebné vzorce a skúsili sme sa na ne pozrie trochu podrobnej²ie. Predsa len, dôleºitej²ia je fyzika za vzorcami ako vzorce samotné. Ke uº sme mali nájdené sady rovníc, tak sme sa pozreli na ich rie²enia. Ukázali sme, ºe rie²enie týchto rovníc dáva známe javy, ako pre²mykovanie a dvíhanie kolies. Zárove sme ukázali, ºe zmenou parametrov motorky a jazdca sa môºe zna ne zmeni správanie pri ²tarte. Na záver sme opísali dva kompletné ²tarty motorky. Cie om práce bolo vysvetli kedy a pre o sa dvihne predné koleso motorky. Na túto otázku sme zodpovedali nájdením aparátu, ktorý môºe slúºi aj na vysvetlenie al²ích javov spojených s motorkou (napríklad pre o sa motorkár udrºí relatívne ahko iba na zadnom kolese). Takéto úlohy by uº zachádzali za rámec tejto práce, preto sme sa im bliº²ie nevenovali. ƒo je ale najdôleºitej²ie, podarilo sa nám, aspo dúfame, ukáza, ºe takýto podrobný poh ad na nie o beºné je za prvé potrebný a za druhé zaujímavý. 41

42 Kapitola 5 Dodatky 5.1 A - Trecie sily A1 - myková sila Prvou zaujímavos ou je pozorovanie, ºe ²myková sila nezávisí od rýchlosti. Nech sa teleso ²mýka ubovolným spôsobom, pôsobí na neho rovnako ve ká sila. Toto síce nie je úplne pravda, ale pri beºných rýchlostiach tento vzorec platí celkom dobre 1. Koecient µ závisí (v tabu kách) iba od materiálov, z ktorých sú dotýkajúce sa plochy. Druhou zaujímavos ou je, ºe v skuto nosti závisí od v²eli oho iného. Pri trení sa nám generuje teplo a to môºe meni charakter dotyku skúmaných telies. Rovnako pri ²mýkaní dochádza vplyvom trenia k vybráciam telies[2] 2. al²ie problémy vznikajú pri analýze, ako sa mení µ pri malých zmenách zloºenia povrchu 3. Do takých detailov uº zachádza nebudeme. Chceli sme 1 Dôvod môºe by aj taký, ºe isté deje, ktoré spôsobujú ²mykové trenie, sa dejú takou rýchlos ou, ºe je rozdiel beºných rýchlostí pre ne zanedbate ný. 2 Aj ke vybrácie nekazia ani tak koecient µ, ako správnos opisu, ktorým opisujeme pohyb telesa 3 Za spomenutie ale stojí aj zaujímavos, ktorú spomenul Richard Feynman v uº citovanej predná²ke. Ke chceme, aby sa nie o lep²ie ²mýkalo, tak sa snaºíme vybrúsi nerovnosti. Ak ale ve mi dobre vybrúsime napríklad medenú kocku a poloºíme ju na dobre 42

43 KAPITOLA 5. DODATKY 43 len dôrazni, ºe s takýmito semiempirickými rovnicami, ako (1.10), treba zachádza opatrne a by si neustále vedomý ich obmedzenej presnosti A2 - Koecienty ²mykového a valivého trenia Ako bolo spomenuté, je zaujímavá otázka, pre o nie je koecient ²mykového trenia vä ²í alebo rovný koecientu statického trenia? Existuje jednoduchá odpove na prvú as otázky. Uvaºujme, ºe na teleso pôsobí vonkaj²ia sila, ktorá lineárne rastie s asom. Ako rastie vonkaj²ia sila, tak rastie aj sila statického trenia. Výsledná sila je teda nulová. Takéto správanie platí, kým je splnená podmienka (1.12). V momente, ke sa poru²í, statická sila prestane rás s vonkaj²ou silou, výsledná sila nebude nulová a teleso by sa malo da do pohybu. Hne ako sa tak stane, v prípade, ºe by bol koecient ²mykového trenia vä ²í ako koecient statického trenia, by na teleso za ala pôsobi brzdná sila v smere opa nom ako vonkaj²ia sila, ktorá by bola vä ²ia ako vonkaj²ia sila a teleso by sa znovu zastavilo. Teleso by sa dalo do pohybu, aº keby vonkaj²ia sila splnila podmienku F > µ sm N (5.1) o by ale spravilo z koecientu ²mykového trenia vlastne koecient statického trenia. Takºe koecient ²mykového trenia nemôºe by vä ²í ako koecient statického trenia. Takto jednoduchá odpove na druhú as otázky, teda i sa tieto koecienty môºu rovna, asi neexistuje A3 - Pre o dotykové sily nebrzdia koleso Ak budeme uvaºova ako prí inu spomalovania vá ajúceho sa kolesa dotykovú silu v mieste kontaktu so zemou, ahko dôjdeme k sporu. Totiº, ak brúsený medený plech, tak atómom medi na rozhraní nebude jasné i sú sú as ou kocky alebo plechu a dôjde k brzdeniu pohybu. Kov teda nevybrúsime na nulové µ [2] 4 Pri kontakte istých materiálov za ur itých podmienok, napríklad kontakt teón-teón, sú tieto koecienty naozaj takmer rovnaké

44 KAPITOLA 5. DODATKY 44 Obr. 5.1: Nech by pôsobila brzdná sila hociktorým smerom, jej moment by mal na pohyb presne opa ný efekt. by takáto pôsobila sila proti smeru pohybu, o by malo koleso spomalova, tak by moment tejto sily zákonite spôsoboval zvä ²ovanie kruhovej frekvencie a pohyb by sa mal zárove zrýchlova. To je ale spor. Rovnako, ak by táto sila pôsobila v smere pohybu, aby jej moment sily spôsoboval zniºovanie kruhovej frekvencie, tak by samotná sila mala spôsoba zrýchlovanie pohybu, o je rovnaký spor. Takºe takejto sile nezostáva ni iné, ako neexistova B1 - Pre o nemá valivé trenie vplyv na rameno momentu normálovej sily Moºno je zvlá²tne, ºe rameno normálovej sily od predného kolesa je stále l aj ke vzdialenos pôsobiska sily na motorku je l + ε. Najsprávnej²í postup je napísa aj rovnicu pre sily (reaktívne a gravita né) pôsobiace na predné koleso (vyuºijúc fakt, ºe vý²ka predného kolesa sa nemení) a rie²i potom rotáciu kostry motorky bez kolies okolo stredu zadného kolesa pomocou sily ktorou pôsobí predné koleso na kostru motorky. Ke si to ale premyslíme, tak v týchto rovniciach nebude nikde vystupova samotná veli ina ε a teda musí by rotácia rovnaká(aº na rozdielne zrýchlenie motorky), ako ke bol ε = 0 a teda aj rameno tejto sily musí by rovnaké.

45 KAPITOLA 5. DODATKY C - Výpo ty C0 - Základné parametre modelového systému motorka s jazdcom Následujúca tabu ka obsahuju parametetre modelového systému motorka s jazdcom, s ktorým sme pracovali. Nejedná sa o reálnu motorku (pokia je nám známe). Meno Ozna enie Hodnota[jednotky] Koef. ²mykového trenia koleso-zem µ sm 1 Koef. statického trenia koleso-zem µ st 1.2 Koecient valivého trenia kolies ε 0.01 Polomer kolies r 20 [cm] Hmotnos kolies m k 10 [kg] Gravita né zrýchlenie g 9.81 [ms 2 ] Hmotnos motorky a jazdca m 200 [kg] Vzdialenos stredov kolies l 150 [cm] Vý²ka aº. vzh adom na stred zadného kolesa h 30 [cm] Hor. poloha aº. vzh adom na stred zadného kolesa d 50 [cm] Absolútna vzd. aºiska a stredu zadného kolesa λ 58.3 [cm] Moment sily od motoru prevod (p = 4) M m [Nm] Moment zotrva nosti (MZ) kolies I 0.2 [kgm 2 ] (MZ) mot. a jazdca pri rot. okolo zad. kolesa I m 100 [kgm 2 ] C1 - Zmena správania pri zmene parametrov motorky Na grafe sú vykreslené dôleºité funkcie v prípade modelovej motorky a v prípade, ºe sme posunuli horizontálnu polohu aºiska o 20cm k prednému kolesu (d d = 70cm). Ako vidno na obrázku, dôjde aj pri takejto malej zmene výrazne inému správaniu. Ako prvé za ne pre²mykova zadné koleso.

46 KAPITOLA 5. DODATKY F N N 1 t R 1 t R 2 t t s Obr. 5.2: Modelová motorka. V ase t = 0.76s dôjde k pre²mykovaniu predného kolesa a chví ku nato by sa toto koleso dvihlo (to uº nie je vidno z tohto grafu, trebalo by prejs na novú sadu rovníc). (pripomíname, R i (t) = N i (t)µ st F i (t) ) 1200 F N N 1 t R 1 t R 2 t t s Obr. 5.3: V prípade posunutého aºiska o 20cm dôjde ako prvé k ²myku zadného kolesa v ase t = 0.85s.(pripomíname, R i (t) = N i (t)µ st F i (t) )

47 KAPITOLA 5. DODATKY C2 - Korektnos na²ej parametrizácie momentu sily motora V kapitole s výpo tami bola poloºené otázka, i nemá na²a vo ba parametrizácie momentu sily od motoru (lineárna závislos ) vplyv na výsledky. Uº z rovníc je ale vidno, ºe nezáleºí na presnom tvare M m (t) (pri jazde na oboch kolesách), alebo jeho prípadných deriváciach (rovnako ako nezáleºí od nultých a prvých derivácií polohy aºiska), ale len na tom, v akom ase dosiahne motor konkrétnu hodnotu výkonu (aké percento z maximálneho momentu sily dodáva). Inými slovami, ak nastane pri lineárnej závislosti nie o v ase t a a v inej závislosti M m (t) = M m f(t) v ase t b, bude plati f(t b ) = t a, resp. najjednoduch²ie povedané, pri rôznych závislostiach nastanú rovnaké udalosti pri rovnakom dodávanom momente sily od motoru. Ukáºeme si jeden príklad, kedy je to naozaj tak. Po matematickej stránke to nie je korektný dôkaz. My to ale ani ako dôkaz neprezentujeme. Ide skôr len o ukáºku toho, o vidíme v rovniciach. Zvo me si ako priebeh momentu sily od motoru funkciu M m (t) = M m t 2 Exp(t 1). 5 K. pre²mykovaniu predného kolesa dôjde v ase t = 0.91s, pri om platí, ºe (0.91) 2 Exp(0.91 1). = 0.76, o je výsledok z lineárnej závislosti (pouºili sme základnú modelovú motorku (a jazdcom) s valivým trením). Pri jazde motorky na jednom kolese uº tento argument neplatí. V rovniciach sú uº aj nulté a prvé derivácie veli ín a teda je aj relevantné, ako sa správal moment sily aj pred daným okamºikom. Vi. následujúci dodatok C3 - Extrémny prípad ²tartu. Kým pri pohybe na dvoch kolesách bolo jedno, ako sme parametrizovali moment sily od motoru, pri jazde na jednom kolese tomu uº tak nie je. V rovniciach uº vystupujú nulté a prvé derivácie φ(t) a teda nie je jedno, aký 5 Vymysleli sme si dáku prapodivnú rastúcu funkciu, pre ktorú platí f(0s) = 0 a f(1s) = 1. To aby výsledok nemohol by povaºovaný zá náhodu. Ke uº tak, tak za obrovskú.