2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =
|
|
- Δαίμων Θεοδωρίδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Zadatak (Tomislav gimnazija) Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna parna roja Rješenje inačica pća formula za parne rojeve je n n N udući da se parni rojevi povećavaju za možemo tri uzastopna parna roja ovako zapisati: Najveći roj je hipotenuza pravokutnog trokuta: Iz itagorinog poučka slijedi: n n n + a = n = n c = n + a + = c => (n ) + (n) = (n + ) => 4n 8n n = 4n + 8n + 4 => => 4n 6n = / : 4 => n 4n = => n (n 4) = => n = n = 4 Stranice pravokutnog trokuta su: a = 4 = 6 = 4 = 8 c = 4 + = inačica Jednostavnije je iskoristiti činjenicu da parni rojevi rastu za Stavimo da je a = = c = + a + = c => ( ) + = ( + ) => = => => 8 = => ( 8) = => = 8 Stranice pravokutnog trokuta su: a = 8 = 6 = 8 c = 8 + = Vježa Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna prirodna roja Rezultat: 4 5 Zadatak (Goga ekonomska škola) Neka su trokuti i slični Tada je omjer polumjera kružnica upisanih trokutima jednak koeficijentu sličnostih tih trokuta Dokažite! Rješenje Za dva trokuta i kažemo da su slični ako su im odgovarajuće (homologne) stranice proporcionalne tj ako vrijedi: a = = c = k a c Važno je zapamtiti da za površine vrijedi sljedeći omjer: k = ko se u trokut upiše kružnica polumjera r tada se površina trokuta može izračunati pomoću formule: gdje je s poluopseg trokuta: = r s a + + c s = I za poluopsege trokuta i također vrijedi omjer: s k s =
2 udući da su u oa trokuta i upisane kružnice površine trokuta mogu se izraziti na ovaj način: = r s = r s Iz oje formule izračunamo polumjere: r s = r = s Konačno napišemo omjer polumjera upisanih kružnica: r s s s k s k = = = = = = k r s s k s k s Vježa Neka su trokuti i slični Tada je omjer opsega trokuta jednak koeficijentu sličnostih tih trokuta Dokažite! Rezultat: : = k Zadatak (Goga ekonomska škola ) Duljine kateta pravokutnog trokuta jednake su 5 cm i cm U polovištu hipotenuze podignuta je okomica na hipotenuzu Kolika je duljina dijela te okomice koja je unutar trokuta? Rješenje a = = cm = = 5 cm c = =? M =? M α α β Hipotenuzu pravokutnog trokuta izračunamo pomoću itagorinog poučka: c = a + => c = 5 + => c = = 69 => c = cm udući da je točka polovište hipotenuze vrijedi: = cm Trokuti i N su slični jer imaju iste kutove dgovarajuće (homologne) stranice su im proporcionalne Možemo pisati sljedeći razmjer između njihovih stranica: : = M : = M M = = = = 4 Vježa Duljine kateta pravokutnog trokuta jednake su cm i 4 cm U polovištu hipotenuze podignuta je okomica na hipotenuzu Kolika je duljina dijela te okomice koji je unutar trokuta? Rezultat: 5 cm 8
3 Zadatak 4 (Klarisa gimnazija) Zadan je trokut tako da je = cm α = 6 β = 45 dredite duljine dviju stranica ovog trokuta Rješenje 4 udući da su zadani kutovi α i β treći kut γ lako se izračuna: α + β + γ = 8 => γ = 8 (α + β) => γ = 8 ( ) => γ = 8 5 => γ = 75 odsjetimo se poučka o sinusima (sinusovog poučka) U trokutu vrijedi pri čemu je R polumjer opisane kružnice tog trokuta a c = = = R sinα sin β sin γ udući da je zadana duljina stranice i kutovi α i β možemo napisati sljedeći sinusov poučak a = sinα sin β Sada se lako izračuna duljina stranice a a sinα sin 6 = a sin β = sinα a = = 47 sin sin sin sin 45 cm = cm α β β Duljinu stranice c možemo doiti na dva načina inačica onovno ćemo uporaiti sinusov poučak: c sin γ sin 75 = c sin β = sin γ c = = 64 sin sin sin sin 45 cm = cm β γ β inačica udući da su poznate duljine dviju stranica a i i kut među njima γ duljinu treće stranice izračunat ćemo pomoću kosinusovog poučka odsjetimo se kako glasi kosinusov poučak (poučak o kosinusu) U trokutu vrijede ove jednakosti Sada dalje računamo: a = + c c cos α = a + c ac cos β c = a + a cos γ c = a + a cos γ = (47) + 47 cos 75 = c = 6878 / c = 64 cm Vježa 4 Zadan je trokut tako da je a = 4 cm α = 5 β = 4 dredite duljine dviju stranica ovog trokuta Rezultat: = 448 cm c = 674 cm Zadatak 5 (Nena gimnazija) Duljine kateta pravokutnog trokuta su i 4 Nađite R polumjer opisane kružnice Rješenje 5 U pravokutnom trokutu vrijedi: c R = omoću itagorinog poučka izračunamo duljinu hipotenuze:
4 c = a + = + 4 = = 5 = 5 Tada je c 5 R = = Vježa 5 Duljine kateta pravokutnog trokuta su 6 i 8 Nađite R polumjer opisane kružnice Rezultat: R = 5 Zadatak 6 (Dijana gimnazija) Kružnici polumjera r = 5 opisan je pravokutni trokut duljine hipotenuze c = 9 Nađite opseg trokuta! Rješenje 6 U pravokutnom trokutu vrijedi: a + c r = gdje su a i c duljine stranica a r je polumjer upisane kružnice Iz jednakosti: a + c r = slijedi: a + = r + c pseg kružnice je: = a + + c = r + c + c = r + c = (r + c) = (5 + 9) = 4 = 68 Vježa 6 Kružnici polumjera r = 6 opisan je pravokutni trokut duljine hipotenuze c = 5 Nađite opseg trokuta! Rezultat: = 6 Zadatak 7 (Luka tehnička škola) U pravokutnom trokutu opseg je trostruko veći od hipotenuze c Nađi opseg trokuta! Rješenje 7 U pravokutnom trokutu poznato je: Iz uvjeta zadatka slijedi: a + = c 4 = a a + + c = c => a + = c / ² => a + a + = 4c => a + (a + ) = 4c => => a + c = 4c => a = c / : => a = c ovršina iznosi: = a = c = c 4 Vježa 7 U pravokutnom trokutu opseg je četverostruko veći od hipotenuze c Nađi opseg trokuta! Rezultat: = c Zadatak 8 (rna gimnazija) U pravokutnom trokutu a = 8 + c = 98 Nađite c! Rješenje 8 + c = 98 => c = 98 / ² => c = => [itagorin poučak: a + = c ]
5 Tada je: => a + = => a = => = 9 64 => => 96 = => 96 = 8 8 / : 96 => = 45 c = 98 = = 5 Vježa 8 U pravokutnom trokutu a = 6 + c = 8 Nađite c! Rezultat: c = Zadatak 9 (rna gimnazija) ovršina jednakokračnog pravokutnog trokuta je 8 Koliko je c? Rješenje 9 Za jednakokračan pravokutni trokut vrijedi: Iz uvjeta zadatka slijedi: Hipotenuza iznosi: c = a = 4 = a c = a = a a = 8 a = 6 / a = 4 Vježa 9 ovršina jednakokračnog pravokutnog trokuta je 8 Koliko je c? Rezultat: c = 6 Zadatak (Darjan medicinska škola) Izračunajte nepoznate stranice i kutove trokuta ako je zadano: a = c = 45 α = 8º' Rješenje a = c = 45 α = 8º' β γ =? Kut α je nasuprot manjoj stranici a ( a < c) pa zadatak ima dva rješenja ZMTI! ko su dane dvije stranice trokuta i kut nasuprot manjoj trokut nije jednoznačno određen! Napravimo skicu trokuta i označimo crvenom ojom zadane elemente: Najprije promatramo trokut Kut γ doije se pomoću sinusovog poučka: a c c sinα 45 sin 8 ' = a sin γ = c sinα sin γ sinα sin γ = = a sin γ =
6 U intervalu < 8º > postoje dva kuta koji imaju taj sinus: γ = 4º46'6'' i γ = 8º γ = 79º59'6'' 4º46'6'' = 45º'4'' Kut β računamo iz osnovne relacije za kutove u trokutu : α + β + γ = 8º β = 8º (α + γ ) = 79º59'6'' (8º' + 4º46'6'') = 79º59'6'' 6º56'6'' = 7º '4'' Duljinu stranice možemo doiti na dva načina: inačica (sinusov poučak) a sin sin7 a β '4 '' = sinα = a sin β = = = 64 sinα sin β sin sin 8 α ' inačica (kosinusov poučak) cos cos cos7 = a + c a c β = a + c a c β = + ' 4 '' = 64 Iz trokuta izračunamo kut β : α + β + γ = 8º β = 8º (α + γ ) = 79º59'6'' (8º' + 45º'4'') = 79º59'6'' 7º'4'' = 6º6'6'' Duljinu stranice možemo ponovno doiti na dva načina: inačica (sinusov poučak) a sin sin 6 a β 6 '6 '' = sinα = a sin β = = = 9 sinα sin β sin sin 8 α ' inačica (kosinusov poučak) cos cos cos 6 = a + c a c β = a + c a c β = + 6'6'' = 9 Vježa Izračunajte nepoznate stranice i kutove trokuta ako je zadano: a = 5 c = γ = 56º7' Rezultat: α = 75º8'4'' α = 4º'6'' β = 48º 4'6'' β = 9º '4'' = 6 = 58 Zadatak (Leda gimnazija) Dokažite analitički (služeći se koordinatama) da je površina trokuta kojemu su vrhovi polovišta stranica nekog trokuta jednaka četvrtini površine tog trokuta Rješenje U koordinatnoj ravnini zadamo vrhove trokuta : ( ) ( ) ( ) ovršina trokuta gdje su ( ) ( ) i ( ) dana je formulom: = ( ) + ( ) + ( ) () onovimo kako se doiju koordinate polovišta dužine ( ) ( ): + + 6
7 Točka je polovište stranice pa ima koordinate: + + Točka je polovište stranice pa ima koordinate: + + Točka je polovište stranice pa ima koordinate: + + ovršina trokuta je tada dana izrazom: = = = + + ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = Može se pisati i ovako: = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] = + + = zog () = 4 4 = 4 Vježa Izvedite analitički (služeći se koordinatama) formulu za udaljenost dviju točaka u općem položaju Rezultat: = ( ) + ( ) 7
8 Zadatak (Matija tehnička škola) Stranice trokuta su a = = c = Koliki je kut nasuprot stranice a? Rješenje udući da su zadane sve tri stranice trokuta uporait ćemo kosinusov poučak: ( ) + + c a + + π cosα = = = = α = = c 6 Vježa Stranice trokuta su a =5 = 4 c = Koliki je kut nasuprot stranice a? π Rezultat: α = 9 = Zadatak (Matija tehnička škola) Koliko iznosi površina trokuta sa stranicama a = = 4 c = 7? Rješenje rovjerimo je li ispunjeno osnovno svojstvo trokuta: zroj dviju stranica trokuta mora iti veći od treće stranice Vidimo da je: + 4 = 7 a + = c Dakle trokut ne postoji! a + > c a + c > + c > a Vježa Koliko iznosi površina trokuta sa stranicama a = 6 = 4 c =? Rezultat: Trokut ne postoji Zadatak 4 (Ines gimnazija) ravac p paralelan stranici trokuta dijeli stranicu u točki D tako da je D : D = : 6 a sam trokut dijeli na dva dijela čije se površine razlikuju za cm Kolika je površina trokuta? Rješenje 4 p E D Iz D : D = : 6 i D + D = slijedi: 6 D 8 5 D = = D D + D = D = / D = 8 5 Trokuti i ED su slični (imaju jednake kutove) a koeficijent sličnosti je k = Tada za površinu 8 vrijedi: ovršina trapeza DE je: 5 5 = = 8 64 ED 5 9 = = = DE ED 8
9 Iz uvjeta zadatka slijedi: DE ED = = = / = = 5 cm 4 Vježa 4 ravac p paralelan stranici trokuta dijeli stranicu u točki D tako da je D : D = : a sam trokut dijeli na dva dijela čije se površine razlikuju za 84 cm Kolika je površina trokuta? Rezultat: cm Zadatak 5 (Ines gimnazija) Neka je u pravokutnom trokutu kut od 9º u vrhu i neka je D podnožje visine iz vrha na hipotenuzu ko su oa polumjera kružnica upisanih u trokute D i D redom jednaki cm i cm odredite polumjer upisane kružnice trokuta Rješenje 5 r a cm cm c D Katete a i trokuta su hipotenuze trokuta D i D Trokuti D D i su slični (imaju jednake kutove) pa su im odgovarajući (homologni) elementi proporcionalni Tada su i hipotenuze a i c redom trokuta D D i proporcionalne udući da vrijedi a a = = Uporaom itagorinog poučka doije se: ( ) c = a + = + = + = c = 8 9 U trokutima i D vrijedi: c r = r c /: r olumjer kružnice upisane trokutu je r = cm Vježa 5 Neka je u pravokutnom trokutu kut od 9º u vrhu i neka je D podnožje visine iz vrha na hipotenuzu ko su oa polumjera kružnica upisanih u trokute D i D redom jednaki cm i 5 cm odredite polumjer upisane kružnice trokuta Rezultat: 4 cm Zadatak 6 (na Ivana Zoran gimnazija) Izvedite formulu za površinu trokuta zadanog koordinatama njegovih vrhova Rješenje 6 Neka su u koordinatnoj ravnini zadani vrhovi trokuta : ( ) ( ) ( ) Gledaj sliku! 9
10 ( ) ( ) ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( ) Uočimo na slici tri trapeza: '' '' i '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ovršina trokuta jednaka je zroju površina trapeza '' i '' umanjenom za površinu trapeza '': = '' + '' '' odsjetimo se formule za površinu trapeza: c d v a dredimo površinu svakog od uočenih trapeza: = a + c v
11 Trapez '' ( ) ( ) ' ( ) ' ( ) ' snovice trapeza '' su ' = ' = a visina je '' = te je površina Trapez '' + ' ' = ( ) ( ) ( ) ' ' ( ) ' ( ) snovice trapeza '' su ' = ' = a visina je '' = te je površina + ' ' = ( ) Trapez '' ( ) ( ) ' ( ) ' ' ( ) snovice trapeza '' su ' = ' = a visina je '' = te je površina + ' ' = ( ) ovršina trokuta sada je = '' + '' '' = = ( ) + ( ) ( ) = = ( + ) ( ) + ( + ) ( ) ( + ) ( ) =
12 = = ( ) ( ) ( ) = = + + va formula vrijedi ako su vrhovi označeni u pozitivnom smislu (u smjeru kazaljke na satu) kao na slici ko su vrhovi označeni u negativnom smislu (u smjeru kazaljke na satu) tada gornji izraz ima negativnu vrijednost te trea uzeti njegovu apsolutnu vrijednost kao rezultat = ( ) ( ) ( ) + + Vježa 6 Izračunajte površinu trokuta ako je ( ) ( 4) (4 ) Rezultat: = Zadatak 7 (Ines gimnazija) Jednakokračnom trokutu osnovice i kraka opisana je i upisana kružnica Koliko iznosi udaljenost središta tih kružnica? Rješenje 7 R v U d r D a a = = = = = v = D R = r = DU onovimo neke formule za površinu kosokutnog trokuta ko je zadana duljina osnovice a i pripadna visina v vrijedi:
13 a v = ko su zadane duljine sve tri stranice a c polumjer r upisane kružnice i polumjer R opisane kružnice vrijedi: a c a + + c = = r s gdje je s = 4 R Sa slike vidi se da je: a v = 6 = = 64 v = 8 ovršina trokuta je: a v 8 = = = 48 olumjer opisane kružnice iznosi: a c a a = [ trokut je jednakokračan] = R = = = = 65 4 R 4 R olumjer upisane kružnice iznosi: = r s r = = [ trokut je jednakokračan] r = r = = = s a + + c a + + Sa slike je: D = + D D = + DU U v = R + r d => d = R + r v = = 5 Vježa 7 Jednakokračnom trokutu osnovice 6 i kraka opisana je i upisana kružnica Koliko iznosi udaljenost središta tih kružnica? Rezultat: 5 Zadatak 8 (Ira gimnazija) Visina na osnovicu jednakokračnog trokuta iznosi 8 cm a polumjer trokutu upisane kružnice je cm Koliki je polumjer kružnice koja dira upisanu kružnicu i krakove trokuta? Rješenje 8 S r E v D R Sa slike vidi se da su trokuti D i SE slični (jedan kut zajednički a jedan pravi) r S v R r D SE = = r ( v R) = R ( v R r) R v R ( ) ( 8 4) R v R r v r R = R v R R r r v = R ( v R) r = = = cm v 8
14 Vježa 8 Visina na osnovicu jednakokračnog trokuta iznosi 6 cm a polumjer trokutu upisane kružnice je 4 cm Koliki je polumjer kružnice koja dira upisanu kružnicu i krakove trokuta? Rezultat: cm Zadatak 9 (Ivana na Sandra Nina gimnazija) Izvedi dokaz itagorinog poučka Rješenje 9 Dokaz itagorinog poučka prema američkom predsjedniku J Garfieldu (8 88) a c c 9 9 a 9 Sa slike vidi se da je površina trapeza jednaka zroju površina triju pravokutnih trokuta iz kojih je složen a + a c ( a + ) = + / ( a + ) = a + c a + a + = a + c a + = c Vježa 9 Dokaži da je trokut sa stranicama a = cm = 4 cm c = 5 cm pravokutan trokut Rezultat: U literaturi je poznat kao ''egipatski trokut'' Zadatak (Marko gimnazija Hrvoje tehnička škola) U pravokutni trokut s katetama duljine 6 i 8 upisan je kvadrat tako da mu se jedan vrh podudara s vrhom pravog kuta Kolika je duljina stranice kvadrata? Rješenje F E a a D = 8 = 6 D = F = DE = FE = a D = D = 8 a F = F = 6 a ravokutni trokuti DE i FE su slični (imaju jednake kutove) pa vrijedi razmjer: D : DE = FE : F => (8 a) : a = a : (6 a) => => (8 a) (6 a) = a => 48 8a 6a + a = a => 4a = 48 /:( 4) 48 4 a = = 4 7 Vježa U pravokutni trokut s katetama duljine 6 i 8 upisan je kvadrat tako da mu se jedan vrh podudara s vrhom pravog kuta Kolika je površina tog kvadrata? Rezultat:
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραZdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραPošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότερα0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.
Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότερα2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.
. Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
Geometrija 1. dio. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα2s v A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0
17 1989 1 1.1. Ako je v = gt + v 0 i s = g 2 t2 + v 0 t, onda je t jednak A. 2s B. v + v 0 2s C. v v 0 s D. v v 0 2s v E. 2s v 1.2. Broj rješenja jednadžbe x + 1 x = 10 u skupu realnih brojeva x R, iznosi
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik 1 U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja 009. 1. Riješi nejednadžbu x + x Rješenje. 1 u skupu prirodnih brojeva. x + x 1 x + x + 0 x x < 0 x
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραPRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE
PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE . 0.: 0.0 0. 0.0 je: 5000 0.0 5 0.00. Izračunajte 0.% od : 0. 4 0. 0.0 0.00 0.. Skratite razlomak a a a 4a + 4 + a a a a a a 0.77 4. Rješenje jednadžbe =. 5 je -
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραTemeljni pojmovi o trokutu
1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.
Διαβάστε περισσότεραSveučilište u Zagrebu. Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek. Tonio Škaro. Diplomski rad
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tonio Škaro Težišnice trokuta i težište Diplomski rad Zagreb, rujan, 015 Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet
Διαβάστε περισσότεραγ = 120 a 2, a, a + 2. a + 2
Zdtk (Slvi, gimnzij) Duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom Jedn kut iznosi Koliki je opseg trokut? Rješenje inči udući d duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom,
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα13. SFERNA TRIGONOMETRIJA
Geodetski fakultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 13 SFERNA TRIGONOMETRIJA UVOD Trigonometrija je dio geometrije unutar koje se proučavaju odnosi između stranica i kutova u ravninskom
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola B kategorija Pula, 30. ožujka 009. Zadatak B-.. (0 bodova) Tomislav i ja, reče Krešimir, možemo završiti posao za 0 dana. No, ako bih radio s Ivanom
Διαβάστε περισσότεραmogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.
r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 2010.
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 2010.
ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI
Διαβάστε περισσότεραOp cinsko natjecanje Osnovna ˇskola 4. razred
9 1. Općinsko natjecanje Općinsko (gradsko) natjecanje je prvi stupanj natjecanja koji se organizira po jedinstvenim kriterijima Državnog povjerenstva za matematička natjecanja. Godine 1996. ono je održano
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραAlgebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske
Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.
Διαβάστε περισσότεραTemeljni pojmovi trigonometrije i vektorskog računa
1 Temeljni pojmovi trigonometrije i vektorskog računa 1. Trigonometrijske funkcije Trigonometrijske funkcije su omjeri stranica u pravokutnom trokutu. Mjerenjem je utvrdeno - da medusobni - omjeri stranica
Διαβάστε περισσότεραALFA List - 1. Festival matematike "Split 2013." Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013.
ALFA List - 1 Točan odgovor: 10 bodova Pogrešan odgovor: 5 bodova Bez odgovora: 0 bodova 1. Ako je (x+ 3): 4=( x ):3, onda je x jednako: A) 1 B) 1 C) 17 D) 17 E) 6. Kut od 1º30' gleda se kroz povećalo
Διαβάστε περισσότεραProširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu
Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu Ratko Višak 1. Uvod Na osnovu poučka o obodnom i središnjem kutu izvedene su relacije kada točka nije na kružnici, nego je izvan ili unutar nje. Relacije
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραGeometrijski trikovi i metode bez imena
Geometrijski trikovi i metode bez imena Matija Bašić lipanj 2016. U ovom tekstu želimo na jednom mjestu navesti vrlo klasične ideje u rješavanju planimetrijskih zadataka. Primjeri variraju od jednostavnih
Διαβάστε περισσότεραProširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu
Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu Ratko Višak 1. Uvod Na osnovu poučka o obodnom i središnjem kutu izvedene su relacije kada točka nije na kružnici, nego je izvan ili unutar nje. Relacije
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραOpćinsko natjecanje. 4. razred
9 1. Općinsko natjecanje iklus susreta i natjecanja mladih matematičara, učenika osnovnih i srednjih škola Republike Hrvatske i u 1998. godini sastojao se od školskih natjecanja, gradskih i općinskih natjecanja,
Διαβάστε περισσότεραL. Kralj, Z. Ćurković, D. Glasnović Gracin, S. Banić, M. Stepić. Petica+ 5. udžbenik i zbirka zadataka za 5. razred osnovne škole DRUGI SVEZAK
L. Kralj, Z. Ćurković, D. Glasnović Gracin, S. Banić, M. Stepić Petica+ 5 udžbenik i zbirka zadataka za 5. razred osnovne škole DRUGI SVEZAK 1. izdanje Zagreb, 010. Autorice: Dubravka Glasnović Gracin,
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραKut je skup točaka ravnine odre - den dvama polupravcima sa. Polupravci a i b su krakovi kuta, a njihov zajednički početak V je vrh kuta.
UDŽBENIK 2. dio Pojam kuta Dva polupravca sa zajedničkim početkom dijele ravninu na dva dijela (jače naglašeni i manje naglašeni dio). Svaki od tih dijelova zajedno s polupravcima zove se kut. Da bi se
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
5. GEOMETRIJA 5.1 Opcenito o kutevima Poznate su slijedece vrste kuteva: siljasti kut α < 90 pravi kut α = 90 tupi kut 90 < α < 180 ravni kut α = 180 izboceni kut 180 < α < 360 puni kut α = 360 Komplementi
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραProf. Mira Mihajlović Petković 1
Prof. Mira Mihajlović Petković 1 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE ŠILJASTOG KUTA sin nasuprotna kateta a hipotenuza c cos priležeća kateta b hipotenuza c tg nasuprotna kateta a priležeća kateta b ctg Definicijski
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραRepetitorij matematike zadaci za maturu 2008.
Repetitorij matematike zadaci za maturu 008 Izračunaj : 7 : 5 + : = 5 5 8 Izračunaj : a ( 05 y ) = y b 8 n 7 9 n+ n n Rastavi na faktore : 5 a + a 8a 6= Skrati razlomke : a ( ) + + a b a b a + a b+ ab
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) x y
Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραje B 1 = B 2. Prvi teorem kojeg ćemo dokazati primjenom Menelajeva teorema je Euklidski slučaj poznatog Desargesova 2 teorema. B 2 Z B 1B 2 B 1 O
Zoran Topić, Imotski Menelajev teorem i neke primjene U ovom članku ćemo dokazati Menelajev 1 teorem i pokazati neke primjene tog teorema. Menelajevo najvažnije djelo je Sphaerica u kojem dokazuje i Menelajev
Διαβάστε περισσότερα12 1. GEOMETRIJA. vrhove novog trokuta. Dokažite da taj trokut ne može biti jednakostraničan.
11 1. Geometrija 1.1. Kvadratni komad papira D presavijen je tako da točka D prije - de u proizvoljnu točku D na. Novi položaj točke je.neka je E sjecište dužina i D.Označimo s r polumjer kružnice upisane
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραMINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I ŠPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO
4. razred-osnovna škola 1. Umjesto zvjezdica upiši odgovarajuće znamenke i obrazloži. * * 8 5 * * 5 5 * 0 + 4 * * 5 * * * * * 2. U jednoj auto-radionici u jednom mjesecu popravljena su 44 vozila i to motocikli
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραLjetno kolo 2017./2018.
Ljetno kolo 217./218. ŠKOLA EKIPA KATEGORIJA POVJERENIK NATJECANJA C3 R. IME I PREZIME UČENIKA RAZRED IME I PREZIME MENTORA 1. 2. 3.. ODGOVORI: 1. 11. 26. 2. 12. 27. 3. 13. 28.. 1. 29. 5. 15. 3. 6. 16.
Διαβάστε περισσότεραα =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.
Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6
Διαβάστε περισσότεραKonstruktivni zadaci. Uvod
Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότερα