ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 2010.
|
|
- Τερψιχόρη Χριστόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN. Zadatak B-1.1. Rastavite na faktore izraz x 5 5x + 4x. x 5 5x + 4x = x ( x 4 5x + 4 ) = = x(x 1)(x 4) = = x(x 1)(x + 1)(x )(x + ). ( boda) Zadatak B-1.. Izračunajte 1 1 x x + 5 x x + 5 x x x + 5 x x + 5 x 1 = = x 1 x x + 6x + 5 x x + 5 x 1 = (x 1) (x + 1) (x + 1) (x + 5) x + 5 x 1 = 1 ( boda) x 1, 0, 1, 5 1
2 Zadatak B-1.. Otac je od kćeri stariji godine, a prije 11 godina kći je od njega bila 4 puta mlada. Koliko otac ima godina? Ako broj godina oca označimo s x, broj godina kćeri je x. Tada je: x 11 = 4 (x 11) x 11 = 4x 176 x = 55 ( boda) Otac ima 55 godina. Zadatak B-1.4. Ortocentar jednakokračnog trokuta nalazi se u jednom od vrhova trokuta. Ako su duljine krakova cm, kolika je duljina polumjera tom trokutu opisane kružnice? Sjecište visina je vrh trokuta ako i samo ako je trokut pravokutan. Zaključujemo da je zadani trokut pravokutan. ( boda) Polumjer opisane kružnice pravokutnom trokutu je polovica hipotenuze. r = c = 1 ( ) =. ( boda) Zadatak B-1.5. Neka su A, B, C točke na kružnici sa središtem u točki S takve da je SBC = 0, a BCA = 50. Koliko iznosi mjera kuta ABC? (Točka S nalazi se unutar trokuta ABC.) Prvo rješenje. Trokut BSC je jednakokračan pa je kut BSC = 10. U jednakokračnom trokutu SCA je kut SCA = 50 0 = 0, a kut ASC = 140. Nadalje, kut ASB = 60 ( BSC + ASC) = 60 ( ) = 100. Konačno, ABS = 1 ( ) = 40 i ABC = = 70. Drugo rješenje. Trokut BSC je jednakokračan pa je BSC = = 10. Prema poučku o obodnom i središnjem kutu vrijedi BAC = 1 BSC = 60. ( boda) Kako je zbroj kutova u trokutu 180, slijedi ABC = 180 ( ) = 70.
3 Zadatak B-1.6. Autobus krene iz početne stanice sa stanovitim brojem putnika. Na prvoj stanici izade 0% putnika, a ude 4 putnika. Na idućoj stanici izade putnika, a nitko ne ude. Na posljednjoj se stanici iskrca preostalih 16 putnika. Koliko je putnika ušlo u autobus na početnoj stanici? Označimo broj putnika koji su ušli u autobus na početnoj stanici s x. Nakon što 0% putnika izade na prvoj stanici, u autobusu je x 0%x = 0.8x putnika. ( boda) Kad tome dodamo još i 4 putnika koji udu, nakon prve stanice u autobusu je 0.8x + 4 putnika. Od tog broja na sljedećoj stanici izade putnika, što znači da je preostala 1 tog broja, odnosno 1 (0.8x + 4), ( boda) a kako taj broj iznosi 16, vrijedi 1 (0.8x + 4) = 16, ( boda) odnosno x = 0. ( boda) Na početnoj stanici u autobus je ušlo 0 putnika. Zadatak B-1.7. Ako su a, b realni brojevi takvi da vrijedi a <, b <, onda je b a > 1 ab. Dokažite! Prema uvjetu zadatka je a + < 0 b < 0 ( boda) Množenjem dva negativna broja dobivamo pozitivan broj, tj. (a + ) (b ) > 0. Ako izmnožimo te dvije zagrade, dobivamo tvrdnju zadatka: (4 boda) ab a + b 4 > 0 b a > 4 ab / 1 b a > 1 ab (4 boda)
4 Zadatak B-1.8. Suma dvoznamenkastog broja i broja koji ima iste znamenke, ali napisane obrnutim redoslijedom je potpuni kvadrat. Odredite sve takve brojeve! Označimo traženi broj sa xy. Tada je xy + yx = n ( boda) 10x + y + 10y + x = n 11 (x + y) = n ( boda) Zbroj znamenaka mora biti 11, a to se može postići na sljedeće načine: + 9, + 8, 4 + 7, 5 + 6, 6 + 5, 7 + 4, 8 +, 9 + (4 boda) Traženi brojevi su: 9, 8, 47, 56, 65, 74, 8 i 9. 4
5 ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN. Zadatak B-.1. Riješite jednadžbu x ( x 6 ) ( x ) = 11. x ( x 6 ) ( x ) = 11 Uvodimo supstituciju x = t. x 6 x x = 0 x 8 x + 15 = 0 t 8t + 15 = 0 t 1 =, t = 5 x 1 = 9, x = 5 Zadatak B-.. Izračunajte unutarnji kut pravilnog mnogokuta ako je ukupan broj svih stranica i dijagonala jednak 105. Broj stranica tog mnogokuta označimo s n. Tada je: n + n (n ) Pozitivno rješenje ove kvadratne jednadžbe je 15. Unutarnji kut izračunamo po formuli = 105 (n ) 180 α = n α = 156 5
6 Zadatak B-.. Dana je jednadžba x px + q = 0, gdje su p i q pozitivni realni brojevi. Ako je razlika rješenja jednadžbe 1, a zbroj rješenja, izračunajte p i q. Prvo rješenje. Prema Vieteovim formulama je x 1 + x = p, x 1 x = q, a prema uvjetima zadatka x 1 + x = x 1 x = 1 iz čega slijedi p =. x 1 x = (x 1 x ) = (x 1 + x ) 4x 1 x 1 = 4 4q q = 4 Napomena: Razliku rješenja možemo dobiti i direktnim uvrštavanjem u formulu za rješenja kvadratne jednadžbe: b + D x 1 x = b D = D D = 1 4 4q = 1 q = 4 Priznati i ako nije korištena apsolutna vrijednost. Drugo rješenje. Ako je zbroj rješenja, a razlika 1, onda su rješenja brojevi 1 i. ( boda) Vrijednosti za p i q dobivamo direktnim uvrštavanjem u jednadžbu (ili opet po Vieteu). ( boda) 6
7 Zadatak B-.4. Odredite sve prirodne brojeve x koji zadovoljavaju sustav nejednadžbi x 6 x 1, 1 x 6 0. Rješenje tražimo u skupu prirodnih brojeva pa prvu nejednadžbu smijemo pomnožiti s nazivnikom. Dobivamo nejednadžbu x x 6 0 čije rješenje u skupu N je x {, 4, 5,...}. ( boda) Rješenje nejednadžbe x 6 < 0 u skupu N je x {1,,, 4, 5}. Konačno rješenje zadatka je x {, 4, 5}. Zadatak B-.5. Kojom znamenkom završava zbroj svih pozitivnih djelitelja broja 105? 105 = 5 7 Djelitelji od 105 su 1,, 5, 7, 15, 1, 5, 105. ( boda) Zbroj djelitelja iznosi 19. Zadnja znamenka zbroja je. 7
8 Zadatak B-.6. Izračunajte površinu lika kojeg u Gaussovoj ravnini odreduje skup kompleksnih brojeva z za koje vrijedi z 1 i, Re z 0, Im z 0. Za zadani skup točaka z = x + yi vrijedi Nadalje, x + yi 1 i x 0, y 0 (x 1) + i(y 1) (x 1) + (y 1). Konačno, skup točaka koje treba nacrtati je (x 1) + (y 1), x 0, y 0. ( boda) Treba izračunati površinu dijela kruga sa središtem u S(1, 1) i r =, koji se nalazi u prvom kvadrantu. Taj lik se sastoji od polovice kruga i jednakokračnog pravokutnog trokuta OAB. (Vidi sliku!) Precizno nacrtana slika... ( boda) P = 1 r π + 1 OA = ( boda) = 1 π = π +. ( boda) Napomena: Do kruga sa središtem u S(1, 1) radijusa r =, može se doći i direktno iz modula: kao skup svih kompleksnih brojeva z čija je udaljenost od 1 + i manja ili jednaka od. ( boda) 8
9 Zadatak B-.7. Poprečni presjek tunela ima oblik parabole. Najveća širina tunela je 6 m, a najveća visina 8 m. Može li kamion širine 4 m i visine 4.5 m proći kroz taj tunel? Obrazložite! Ako je visina kamiona 4 m, do koliko najviše metara može iznositi njegova širina tako da prode kroz tunel? Parabolu smjestimo u koordinatni sustav tako da joj tjeme ima koordinate (0, 8). Tada su njene nultočke T 1 (, 0) i T (, 0), a jednadžba je y = 8 9 x + 8. (4 boda) Priznati i neku drugu jednadžbu parabole (ovisno o odabiru koordinatnog sustava) ako je vidljivo kako je učenik do nje došao, npr. y = 8 9 x + 16 x. Ako je širina kamiona 4 metra, onda bi njegova visina trebala biti manja od = Kako je 4.5 > 40, kamion neće moći ući u tunel. ( boda) 9 Ako je visina kamiona 4 metra, onda maksimalnu širinu (x) možemo izračunati iz: 4 < 8 9 x + 8 x < 9 9 Maksimalna širina mora biti manja od. ( boda) 9
10 Zadatak B-.8. Dvije kružnice dodiruju se iznutra u točki F. Promjer jedne kružnice je 8 cm, a promjer druge dvostruko je manji. Iz rubne točke T promjera T F veće kružnice konstruiramo tangentu na manju kružnicu. Ako je točka E sjecište (E T ) tangente i veće kružnice, a S 1 središte manje kružnice, odredite opseg trokuta T S 1 E. Skica... Vrijedi da je T DS 1 = 90 (tangenta) i T EF = 90 (kut nad promjerom kružnice) pa su trokuti T DS 1 i T EF slični. ( boda) Vrijedi da je T S 1 = 6 cm, T F = 8 cm i S 1 D = cm. Zbog sličnosti trokuta je T S 1 : T F = S 1 D : EF pa je 6 : 8 = : EF, tj. EF = 8. Sada je T E = T F EF = = Po Pitagorinom poučku slijedi T D = T S 1 S 1 D = 6 4 = 4. Sada je S 1 E = S 1 D + DE = ( ) = 68 9 = 17. ( boda) Opseg trokuta je o = cm. ( boda) 10
11 ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN. Zadatak B-.1. Izračunajte tg 58 tg tg 58 ctg 6. Prvo rješenje. Kako je ctg 6 = tg 8 tg 58 tg tg 58 ctg 6 = tg 58 tg tg 58 tg 8 = tg (58 8 ) = tg 0 =. ( boda) Drugo rješenje. tg 58 tg tg 58 ctg 6 = sin 58 sin 8 cos 58 cos 8 sin 58 cos 6 = 1 + cos 58 sin 6 = sin 0 sin 6 sin 10 cos 8 = 1 sin (58 8 ) cos 58 cos 8 sin ( ) cos 58 sin 6 = = ( boda). ( boda) Zadatak B-.. Riješite nejednadžbu 16 sin x sin x 4 sin x 1 sin x 1 π 6 + kπ x 5π 6 + kπ/ 1 π π kπ x 18 + kπ, k Z ( boda) Napomena: Analogno bodovati ako je učenik računao u stupnjevima. 11
12 Zadatak B-.. Izračunajte 1 log n + 1 log 1 log n + 1 log = log n + log n = log n n + 1 log 4 n + 1 log 4 n , n N. log n n n 1 + log 4 n ( 4 n n 1 n log n n 1 n = + + log n n n 1 = ) = = log n n = 1. ( boda) Napomena: Zadatak se može riješiti i prikazivanjem danih logaritama pomoću logaritama po bazi 10 (ili nekoj drugoj bazi) te svodenjem danog izraza na zajednički nazivnik. Zadatak B-.4. Oko kružnice promjera 5 cm opisan je jednakokračni trapez površine 6 cm. Odredite opseg trapeza. Trapez je tangencijalni pa za njegove stranice vrijedi a + c = b. Površina trapeza je P = a + c v = b r. Slijedi 6 = 5b, b = 7. cm. Opseg trapeza iznosi O = a + c + b = 4b = 8.8 cm. Zadatak B-.5. Za koje realne brojeve x funkcija f(x) = sin x cos x 1 ima najmanju vrijednost? Funkciju f(x) = sin x cos x 1 zapišimo u pogodnom obliku. f(x) = sin x cos x 1 = sin x ( 1 sin x ) 1 = sin x + sin x Uz t = sin x funkcija f(t) = t + t je kvadratna funkcija koja postiže najmanju vrijednost za t 0 = 1. Kako je t = sin x, to će zadana funkcija imati najmanju vrijednost za sin x = 1, odnosno za x 1 = 7π 6 + kπ, k Z i x = 11π + kπ, k Z. 6 1
13 Zadatak B-.6. U unutrašnjosti kvadrata ABCD postoji točka M takva da je MA = 7 cm, MB = 1 cm i MC = 17 cm. Izračunajte površinu kvadrata ABCD. Neka je a duljina stranice kvadrata. Postavimo koordinatni sustav kao na slici: Za točnu sliku s označenim koordinatama svih točaka: Ako su (x, y) koordinate točke M, slijedi: ( boda) x + y = 49 (x a) + y = 169 (x a) + (y a) = 89 Nakon sredivanja dobije se: a ay = 10 a ax = 10, tj. x = y. Dakle, točka M leži na dijagonali kvadrata. Duljina dijagonale kvadrata je = 4. Površina kvadrata je P = 1 d = 1 4 = 88. ( boda) Napomena: Zadatak se može riješiti i bez koordinatnog sustava. Koristeći Pitagorin poučak, dode se do sličnog sustava jednadžbi. Tada bodujemo kao i gore: 5 bodova za postavljanje sustava i 5 bodova za njegovo rješavanje uključujući i izračunavanje površine. 1
14 Zadatak B-.7. Riješite jednadžbu sin x cos x = sin(010x). Jednadžba sin x cos x = sin(010x) dijeljenjem s prelazi u 1 sin x cos x = sin(010x) cos π sin x sin π cos x = sin(010x) ( sin x π ) = sin(010x) (5 bodova) 1. slučaj: x π. slučaj: x π 1 = 010x + kπ, tj. x = ( π ) 009 kπ, k Z. ( boda) = π 010x + kπ, tj. x = ( ) 4π + kπ, k Z. ( boda) Zadatak B-.8. Pravilnu četverostranu krnju piramidu čiji su osnovni bridovi a = 1 cm i c = 8 cm, a svi bočni bridovi b = 0 cm, presijeca ravnina koja prolazi kroz krajnju točku dijagonale manje osnovke okomito na tu dijagonalu. Koliko je oplošje manjeg dijela piramide koji je nastao tim presijecanjem? Skica: Uvedimo sljedeće oznake: v je visina krnje piramide, d = AC, d 1 = EG, x = P K, y = P C. 14
15 Traženo oplošje nastale piramide KLCG (s vrhom u G i osnovicom KLC) računamo kao zbroj površina: O = P KLG + P KCG + P KCL. Da bismo mogli izračunati površinu danog presjeka, trokuta KLG, odredimo: y = d d 1 = 1 8 = cm, v = b y = 400 ( ) = 9 = 14 cm. ( boda) Iz sličnosti trokuta MBC i P KC slijedi i KC a = y, odnosno KC = 4 cm. d Osnovica piramide je KLC, a njegova je površina d d x = y, odnosno, x = y = cm P KLG = xv = 56 cm. P KLC = xy = 8 cm. Bočne strane piramide su sukladni trokuti KCG i LCG s osnovicom duljine KC = 4 cm i visinom jednakoj visini jednakokračnog trapeza BCGF. Stoga je P KCG = = 1 11 cm. I, konačno, O = = cm. 15
16 ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN. Zadatak B-4.1. Riješite jednadžbu sin x cos x + tg x = 1. Prvo rješenje. sin x cos x + sin x cos x Jednadžbu pomnožimo sa cos x i dobivamo = 1, cos x 0. sin x cos x cos x + sin x = cos x. Grupiranjem članova slijedi (cos x + 1) (sin x cos x) = 0. cos x = 1 ili tg x = 1. Tada je x 1 = π + kπ, x = π 4 + kπ. ( boda) Drugo rješenje. (Univerzalnom supstitucijom) tg x t 1 t t = t, sin x =, cos x =, tg x = 1 + t 1 + t 1 t, t ±1. t 1 + t 1 t 1 + t + t = 1. 1 t t + t 1 = 0 t 1, = 1 ±, x = arctg( 1 ± ) + kπ, k Z. Još treba provjeriti uvjet tg x ±1 i kada tg x nije definirano. Prvi je uvjet zadovoljen jer je tg x = ±1 za x = ±π + kπ, što nije rješenje. tg x nije definiran za x = π + kπ, odnosno x = π + kπ, a to je rješenje. 16
17 Zadatak B-4.. Odredite jednadžbu kružnice koja dira pravac x y + 4 = 0, a središte joj se nalazi na pravcima x y 9 = 0 i y + 1 = 0. Središte kružnice je u točki presjeka pravaca x y 9 = 0 i y + 1 = 0, odnosno rješenje danog sustava, a to je točka (, 1). Polumjer je jednak udaljenosti središta S(, 1) do pravca x y + 4 = 0 r = Rješenje: (x ) + (y + 1) = = 10. Zadatak B-4.. Odredite ( vrijednosti realnog parametra a, ako je koeficijent uz linearni član u razvoju binoma x + 1 ) 7 jednak 7 ax? ( ) ( ) k 7 1 Opći član u razvoju binoma dan je izrazom x 7 k k ax ( ) ( ) k ( ) ili, nakon sredivanja, x 7 k = x 7 k k a k. k ax k Linearni član je onaj kojemu je eksponent od x jednak 1, tj. Sada je Napomena: 7 k = 1 k = ( ) 7 a = 7, a odatle a = 9, tj. a = ±. Ako učenik napiše samo a =, gubi 1 bod. ( boda) 17
18 Zadatak B-4.4. Ako je z rješenje jednadžbe z z + 1 = 0, koliko je z 010 z ? Prvo rješenje. Rješenje dane jednadžbe nije z = 1 pa možemo tu jednadžbu pomnožiti sa z + 1. Dobit ćemo: (z + 1)(z z + 1) = 0 z + 1 = 0 z = 1 Tada je i z 1005 = ( z ) 5 = 1, a z 010 = ( z 1005) = 1 pa je z 010 z =. Drugo rješenje. Riješimo kvadratnu jednadžbu. z 1, = 1 ± 1 4 Dobivena rješenja možemo prikazati u trigonometrijskom obliku: = 1 ± i. z 1 = cos π + i sin π z = cos 5π + i sin 5π Sada je z = cos 1005π + i sin 1005π = 1 i z = 1. Slično je z 1005 = 1 i z 010 = 1. U oba slučaja je z 010 z =. 18
19 Zadatak B-4.5. Elipsa x a + y 16 = 1 i parabola y = px sijeku se u točki T (4, ). Kolika je površina trokuta T F E F P, ako je F E fokus elipse koji se nalazi na pozitivnom dijelu osi x, a F P fokus parabole? Prvo odredimo nepoznate veličine za elipsu: (4 ) + 4 a 16 = 1, a = 64, e = = 4, F E (4, 0). Zatim za parabolu: Površina trokuta je 4 = p 4, p = P = 4 1 ( ) 6, F P 1, 0. = Zadatak B-4.6. Jednadžbe pravaca na kojima leže dvije stranice trokuta su AB : x + y = 0, AC : x + 4y = 0. Ako je jednadžba simetrale kuta β jednaka s β : x y + 5 = 0, odredite koordinate vrhova trokuta ABC. ( ) 4 Vrh A je presjek pravaca AB i AC, A =, 1. ( Vrh B je presjek pravaca AB i s β, B = 1, 9 ). Koeficijente smjera pravaca AB, s β, BC označimo sa k AB, k sβ, k BC. Zbog svojstva simetrale kuta vrijedi da su kutovi (BA, s β ) i (s β, BC) jednaki, a tada su i njihovi tangensi jednaki te vrijedi: k AB k sβ 1 + k AB k sβ = k sβ k BC 1 + k BC k sβ ( ) ( ) 1 = 1 k BC k BC. Ova jednadžba ima dva rješenja: k BC = 1, k BC =, ( boda) 19
20 ali samo je k BC = 1 dobro rješenje jer u drugom slučaju pravci na kojima leže dvije stranice trokuta imaju isti koeficijent smjera, što je nemoguće. Napomena: Pravilnim poretkom koeficijenata smjera može se izostaviti apsolutna vrijednost u ( ) pa se odmah dobije samo jedno, valjano rješenje. U tom slučaju treba postojati skica iz koje se poredak vidi pa se može dati sva boda za odredivanje k BC. Jednadžba pravca BC točkom B uz poznati koeficijent smjera k BC = 1 je BC : y 9 = ( 1 x + 1 ), odnosno BC : x + y 1 = 0. ( boda) ( I, konačno, vrh C je presjek pravaca BC i AC, C = 5 5, 9 ). 5 Zadatak B-4.7. Riješite jednadžbu ( ) x + 4 x ( ) x x ( ) x + = 15. Primjenimo li svojstvo simetričnosti binomnih koeficijenata, jednadžbu pišemo u obliku ( ) ( ) ( ) x x + 1 x = 15. ( boda) x(x 1)(x ) (x + 1)x(x 1) Nakon provedenog množenja imamo: (x + )(x + 1)x 6 = 15. ( boda) x (x x + + 4x 4 + x + x + ) = x = 6 15 x = 5 (4 boda) ( boda) 0
21 Zadatak B-4.8. Dokažite da za svaki prirodni broj n vrijedi sin 1 + sin + sin sin(n 1) = sin n sin 1. Prvo rješenje. Zadatak napišimo u obliku sin 1 sin 1 + sin 1 sin + sin 1 sin sin 1 sin(n 1) = sin n. Koristeći identitet sin x sin y = 1 (cos(x y) cos(x + y)) dobivamo: ( boda) sin 1 sin 1 + sin 1 sin + sin 1 sin sin 1 sin(n 1) = = 1 (cos 0 cos + cos cos 4 + cos 4 cos cos(n ) cos(n)) = (5 bodova) = 1 (1 cos(n)) = sin n. ( boda) Drugo rješenje. Matematičkom indukcijom. Provjerimo tvrdnju za n = 1: sin 1 = sin 1 (baza indukcije) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki prirodni broj n: sin 1 + sin + sin sin(n 1) = sin n. (pretpostavka indukcije) sin 1 Dokažimo da tada tvrdnja vrijedi i za n + 1: sin 1 + sin + sin sin(n 1) + sin(n + 1) = sin (n + 1). sin 1 Krenimo od lijeve strane i iskoristimo pretpostavku sin 1+sin +sin sin(n 1)+sin(n+1) = sin n sin 1 +sin(n+1) = sin n + sin 1 sin(n + 1) sin 1 ( boda) i dalje korištenjem trigonometrijskih identiteta dobivamo = 1 cos n + 1 [cos n cos (n + 1)] sin 1 Dakle, tvrdnja vrijedi za sve prirodne brojeve n. = 1 1 cos (n + 1) sin 1 = sin (n + 1). sin 1 (5 bodova) 1
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 2010.
ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja 009. 1. Riješi nejednadžbu x + x Rješenje. 1 u skupu prirodnih brojeva. x + x 1 x + x + 0 x x < 0 x
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραZdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 17. siječnja 2013.
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 17. siječnja 01. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERE- NSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 25.travnja-27.travnja razred-rješenja
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 5.travnja-7.travnja 01. 5. razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola B kategorija Pula, 30. ožujka 009. Zadatak B-.. (0 bodova) Tomislav i ja, reče Krešimir, možemo završiti posao za 0 dana. No, ako bih radio s Ivanom
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =
Zadatak (Tomislav gimnazija) Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna parna roja Rješenje inačica pća formula za parne rojeve je n n N udući da se parni rojevi povećavaju za možemo
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα2s v A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0
17 1989 1 1.1. Ako je v = gt + v 0 i s = g 2 t2 + v 0 t, onda je t jednak A. 2s B. v + v 0 2s C. v v 0 s D. v v 0 2s v E. 2s v 1.2. Broj rješenja jednadžbe x + 1 x = 10 u skupu realnih brojeva x R, iznosi
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραPošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραmogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.
r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 24. siječnja razred rješenja
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. siječnja 011. 4. razred rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραParabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole
Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................
Διαβάστε περισσότεραRepetitorij matematike zadaci za maturu 2008.
Repetitorij matematike zadaci za maturu 008 Izračunaj : 7 : 5 + : = 5 5 8 Izračunaj : a ( 05 y ) = y b 8 n 7 9 n+ n n Rastavi na faktore : 5 a + a 8a 6= Skrati razlomke : a ( ) + + a b a b a + a b+ ab
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότερα2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.
. Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότερα4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y
. ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je
Διαβάστε περισσότεραRJEŠENJA ZA 4. RAZRED
RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJEJEDANJEDANNAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN.
Διαβάστε περισσότεραOp cinsko natjecanje Osnovna ˇskola 4. razred
9 1. Općinsko natjecanje Općinsko (gradsko) natjecanje je prvi stupanj natjecanja koji se organizira po jedinstvenim kriterijima Državnog povjerenstva za matematička natjecanja. Godine 1996. ono je održano
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραALFA List - 1. Festival matematike "Split 2013." Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013.
ALFA List - 1 Točan odgovor: 10 bodova Pogrešan odgovor: 5 bodova Bez odgovora: 0 bodova 1. Ako je (x+ 3): 4=( x ):3, onda je x jednako: A) 1 B) 1 C) 17 D) 17 E) 6. Kut od 1º30' gleda se kroz povećalo
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO (GRADSKO) NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 4. veljače 2010.
ŠKOLSKO (GRADSKO) NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 4. veljače 2010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI
Διαβάστε περισσότεραFunkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
Διαβάστε περισσότεραPRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE
PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE . 0.: 0.0 0. 0.0 je: 5000 0.0 5 0.00. Izračunajte 0.% od : 0. 4 0. 0.0 0.00 0.. Skratite razlomak a a a 4a + 4 + a a a a a a 0.77 4. Rješenje jednadžbe =. 5 je -
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότερα0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.
Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, 2.travnja-4.travnja razred-rješenja
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, travnja-4travnja 014 5 razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable
Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.
Διαβάστε περισσότεραZadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a
Zadatak 8 (Nina, gimnazija) Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval, 3 ]. Tada je: Rješenje 8 A. c = B. c = C. c = 3 D. c = 4 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi f = a + b
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo. 29. siječnja 2009.
Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnja 009. UPUTE: Na poledini
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija u ravnini
Analitička geometrija u ravnini September 5, 2008 1 Vektori u koordinatnom sustavu 1.1 Udaljenost točaka u koordinatnom sustavu pravokutni koordinatni sustav potpuno je odred en ishodištem jediničnim vektorima
Διαβάστε περισσότεραOpćinsko natjecanje. 4. razred
9 1. Općinsko natjecanje iklus susreta i natjecanja mladih matematičara, učenika osnovnih i srednjih škola Republike Hrvatske i u 1998. godini sastojao se od školskih natjecanja, gradskih i općinskih natjecanja,
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) x y
Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραx + y + z = 2 (x + y)(y + z)+(y + z)(z + x)+(z + x)(x + y) =1 x 2 (y + z)+y 2 (z + x)+z 2 (x + y) = 6
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija,. svibnja 2007. Rješenja Zadatak 1A-1. Na - dite realna rješenja sustava jednadžbi: x + y + z = 2 (x + y)(y + z)+(y + z)(z + x)+(z
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik 1 U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 27. siječnja 2014.
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 7. siječnja 014. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI
Διαβάστε περισσότεραŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. 4. razred osnovna škola. 23. veljače Odredi zbroj svih neparnih dvoznamenkastih prirodnih brojeva.
MINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I ŠPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 1. Na pitanje koliko
Διαβάστε περισσότερα1. Trigonometrijske funkcije
. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija 30. ožujka 2009.
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola A kategorija 30. ožujka 009. Zadatak A-.. Odredi sve trojke uzastopnih neparnih prirodnih brojeva čiji je zbroj kvadrata jednak nekom četveroznamenkastom
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijski prikaz kompleksnog broja
Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Ono sto znamo od prije jest da svakom kompleksnom broju mozemo pridruziti sljedeci uredjeni par: z Re z, Im z Sto znaci da ako je kompleksan broj oblika z = x
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα