UNIVERZITET U BEOGRADU ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET

Transcript

1 UNIVERZITET U BEOGRADU ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Veran V. Vaić ANALIZA EFEKTA MRTVOG VREMENA NA STABILNOST FREKVENTNO REGULISANOG ELEKTROMOTORNOG POGONA SA ASINHRONIM MOTOROM -magitarki rad- Članovi komiije: Dr Slobodan Vukoavić, docent Dr Vladan Vučković, redovni profeor Dr Milić Stojić, redovni profeor Dr Borilav Jeftenić, docent Dr Radiša Jevremović, docent Datum odbrane teze: Beograd 1996.

2 Tokom izrade magitarkog rada nizom korinih ugetija, veliku pomoć u mi pružili mentor, dr Slobodan Vukoavić, kao i dr Vladan Vučković. Ekperimentalna ipitivanja u izvršena u Elektrotehničkom Intitutu Nikola Tela u Beogradu. Značajnu pomoć pri izvođenju ekperimenata pružio mi je Đorđe Stojić, dipl. ing. Izuzetno korina uputtva i ugetije tokom pianja računarkog programa i tehničke obrade data u od trane Miodraga Zubića, dipl. ing. Autor e vima rdačno zahvaljuje. Na kraju želeo bih da e zahvalim vojim roditeljima na talnu podršku tokom doadašnjeg školovanja.

3 Kratak pregled rada: U ovom radu analizira e neželjeni, parazitni, ocilatorni režim rada ainhronog motora. Pri napajanju ainhronog motora a naponom učetanoti manje od polovine nazivne vrednot potoji mogućnot natanka ocilatornog režima rada. Svojtvene vrednoti linearizovanog modela pogona imaju pozitivan realan deo. Linearizovani model koriti e za predikciju oblati netabilnoti. Pomatran je uticaj mrtvog vremena invertora i parametara motora na tabilnot pogona. Abtract: Thi paper deal with ocillatory mode of induction motor drive. Poibility of ocillatory mode exit when induction motor i driven by voltage with frequency i le then half of nominal value. Eigenvalue of linearized drive model have poitive real part. Linearized model wa ued for the prediction of intability area. Influence of inverter dead time and motor parameter on tability wa analyzed

4 SADRŽAJ 1. UVOD UVODNA RAZMATRANJA MRTVO VREME INVERTORA I STABILNOST POGONA U LITERATURI KRATAK SADRŽAJ I ORGANIZACIJA RADA 4 2. MATEMATIČKI MODEL POGONA ASINHRONOG MOTORA NAPAJANOG IZ PWM INVERTORA MATEMATIČKI MODEL ASINHRONOG MOTORA MODELOVANJE INVERTORA MATEMATIČKI MODEL ULAZNE ISPRAVLJAČKE SEKCIJE PRETVARAČA SNAGE STABILNOST POGONA ASINHRONOG MOTORA KOJI SE NAPAJA IZ PWM INVERTORA LINEARIZOVANI MATEMATIČKI MODEL POGONA Linearizovani matematički model ainhronog motora Linearizovani model PWM invertora a zanemarenim mrtvim vremenom Linearizovani matematički model ulazne ipravljačke ekcije pretvarača nage Uvažavanje mrtvog vremena invertora u linearizovanom matematičkom modelu pogona SINTEZA RAČUNARSKOG PROGRAMA ZA SIMULACIJU POGONA ASINHRONOG MOTORA UZ UVAŽAVANJE MRTVOG VREMENA PRETVARAČA SNAGE Numeričko rešavanje diferencijalnih jednačina Opi programa za imulaciju vremenkog odziva pogona Opi programa za određivanje oblati netabilnoti pogona REZULTATI SIMULACIJA 45

5 4. ELIMINACIJA PODRŽANIH OSCILACIJA UVOĐENJEM POVRATNE SPREGE PO STRUJI JEDNOSMERNOG MEĐUKOLA EKSPERIMENTALNI REZULTATI ZAKLJUČAK LITERATURA PRILOZI 73

6 VAŽNIJE OZNAKE KORIŠĆENE U RADU Δ - odtupanje relevantne veličine od njene tacionarne vrednoti, 0 - u indeku, tacionarna vrednot relevantne veličine, - referentne vrednoti, d, q - d, q komponente veličina tatora, D, Q - D, Q komponente veličina rotora, i - vektor truje tatora, i r u u r k k r σ m a m f V d i i i R u AN u ε P J L f C f L ω M ' T ' T r R f - vektor truje rotora, - vektor napona tatora, - vektor napona rotora, - koeficijent prege namotaja tatora, - koeficijent prege namotaja rotora, - ukupni koeficijent raipanja, - indek amplitudke modulacije, - relativna frekvencija modulacije, - napon na jednomernoj trani invertora, - truja na jednomernoj trani invertora, - truja ipravljača, - napon prema negativnom polu jednomernog međukola, - napon uled efekta mrtvog vremena invertora, - broj pari polova, - moment inercije, - induktivnot filtra, - kapacitivnot filtra, - komutaciona induktivnot, - učetanot mreže, - vremenka kontanta prelaznih pojava u tatorkom namotu, - vremenka kontanta prelaznih pojava u rotorkom namotu, - otpor prigušnice, 6

7 Δu n R Δ L γ L γ r f 1 ω 1 ω k Dω U m - napon prema zvezdištu motora uled mrtvog vremena, - otpornik kojim e ekvivalentira efekat mrtvog vremena, - induktivnot raipanja tatora, - induktivnot raipanja rotora, - učetanot izlaznog napona invertora, - inhrona brzina polja, - brzina obrtanja rotora, - pojačanje u povratnoj prezi, - makimalna vrednot faznog napona. 7

8 1. UVOD 1.1. UVODNA RAZMATRANJA Savremeni indutrijki i tehnološki procei zahtevaju pogone a promenljivom brzinom obrtanja. Za pogon pumpi, ventilatora i l. ve e više korite ainhroni motori koji u napajani iz frekventnog pretvarača, što omogućuje promenu brzine obrtanja u širokom opegu. Poznato je da ainhroni motor može potati netabilan u pogonu a promenljivom brzinom obrtanja. Uzrok ovome je manjenje faktora prigušenja pri manjenju učetanoti. Poledica netabilnoti ainhronog motora nije neograničen porat ocilacija koji bi doveo do zautavljanja motora, već e imaju ocilacije brzine i momenta čija je amplituda konačna. Ove ocilacije u nepogodne za rad pogona. Netabilnot e ne javlja nužno kod vakog motora jer je faktor prigušenja funkcija parametara pogona. Matematički model pogona dobijen na onovu teorije električnih mašina opiuje dovoljno tačno pojave u električnim mašinama [1-3], pa e može korititi za izučavanje tabilnoti ainhronog motora. Pri napajanju ainhronog motora iz izvora promenljive učetanoti potoji mogućnot natanka ocilatornog režima rada ainhronog motora. Kod tandardnih ainhronih motora u indutrijkoj primeni, oblat netabilnog rada ne prevazilazi grubo 50% nazivne učetanoti [4-28]. Ocilatorni režim rada ainhronog motora može e javiti i kod ainhronih motora napajanih iz inunog izvora napona [6]. Ainhroni motori e napajaju iz energetkih pretvarača koji omogućuju promenu učetanoti i napona na motoru tako da je odno U/f 1 približno kontantan. Izlazni napon e generiše po algoritmu impulno širinke modulacije (PWM). Mrtvo vreme (dead time) invertora onemogućuje itovremeno provođenje oba prekidača u jednoj grani invertora, odnono pojavu kratkog poja jednomernog izvora napona [4, 29-36]. Izlazni napon invertora dodatno je izobličen uled mrtvog vremena, a truja motora adrži harmonike na nižim učetanotima. Razvoj komponenti energetke elektronike omogućio je mrtva vremena reda od nekoliko totina nanoekundi do par mikroekundi. Mrtvo vreme invertora ima uticaja na faktor prigušenja odnono na tabilnot pogona. Razvijene u tehnike kompenzacije mrtvog vremena kojima e u potpunoti eliminišu izobličenja napona izazvana efektom mrtvog vremena [11-25]. Predložena u rešenja koja zahtevaju hardverke izmene ali i rešenja koja u realizovana promenom amo oftvera. Kompenzacija napona izobličenja izazvana efektom mrtvog vremena realizuje e modifikovanjem vremena vođenja prekidača invertora [11-15, 18-23] ili uvođenjem dodatnih povratnih prega po naponu tatora ili po truji jednomernog međukola [15-17, 25]. U ovom radu detaljno e objašnjava ocilatorni režim rada ainhronog motora koji e napaja iz PWM invertora. Razmatra e uticaj mrtvog vremena invertora na tabilnot ainhronog motora. Matematički model pogona ainhronog motora, PWM invertora, L-C filtra omogućuje imulaciju 8

9 vremenkog odziva pogona. Linearizacijom matematičkog modela pogona dobijen je model koji omogućuje ipitivanje tabilnoti odziva pogona. Onovna ideja ovog rada je predlog efikanog potupka za predviđanje oblati netabilnoti unutar koje ainhroni motor poeduje podržane ocilacije (utained ocillation) i predlog jednotavnog rešenja za uzbijanje ocilacija. Linearizovani matematički model pogona koriti e za ipitivanje tabilnoti. Pri izvođenju linearizovanog modela dat je predlog za uvažavanje dikontinualnog režima filtra i mrtvog vremena invertora. Predloženo rešenje može polužiti pri izboru parametara invertora i motora kako bi e izbegao ocilatoran režim rada ainhronog motora. Pokazano je da e promenom vrednoti parametara pogona (dodatni otpornik ili induktivnot u kolu rotora, moment inercije) mogu eliminiati podržane ocilacije. Dato je jedno rešenje kojim je moguće potići eliminaciju podržanih ocilacija već izgrađenog pogona ako je rapoloživa informacija o truji jednomernog međukola MRTVO VREME INVERTORA I STABILNOST POGONA U LITERATURI U ovom delu dat je pregled literature koja e bavi problemom tabilnoti pogona ainhronog motora, mrtvim vremenom invertora i načinima za tabilizaciju pogona i eliminaciju izobličenja napona uled mrtvog vremena [2-37]. U radu [6] je izveden matematički model ainhrone mašine prikazan u matričnoj notaciji. Predviđanje oblati netabilnoti vrši e primenom metode geometrijkog meta korenova na linearizovani matematički model ainhrone mašine. Analiza tabilnoti pogona ainhronog motora napajanog iz šetopulnog naponkog invertora provodi e za učetanoti ipod 30 Hz [7,8]. Pri analizi tabilnoti zanemaruju e viši harmonici u izlaznom naponu invertora. U matematičkom modelu koji je u radu [7] predložen nije uvažena mogućnot dikontinualnog režima truje ipravljača i R, a matrica itema je edmog reda. Predviđanje oblati netabilnoti e vrši primenom Nyquitovog kriterijuma tabilnoti. Motor, koji je tabilan pri imetričnom inunom napajanju, može biti netabilan pri napajanju iz frekventnog pretvarača. Interakcijom između frekventnog pretvarača i motora modifikuje e oblat netabilnoti ainhronog motora. U navedenim radovima e itiče da do podržanih ocilacija u pogonu dolazi zbog neuklađenoti parametara motora i pretvarača. U radovima [6-8] prikazani u odzivi nekih karakteritičnih veličina dobijenih imulacijom na analognom računaru. Podržane ocilacije zapažene u i kod pogona a bekonačnom inercijom (infinite inertia load) [9], što e reće u električnoj vuči. Mehanički poditem nema uticaja na pojavu podržanih ocilacija. Sa šet prekidača u invertoru, moguće je otvariti oam prekidačkih tanja, dva tanja u nulta. Linearizovani model pogona, potreban za analizu tabilnoti, napian je uz pretpotavku da je brzina obrtanja kontantna i za vako prekidačko tanje data je matrica itema [9]. Matematički model napian na ovaj način je jednotavan, ali tabilnot pogona za vako prekidačko tanje ne znači i tabilnot pogona kao celine. Da bi e ipitala tabilnot pogona 9

10 potrebno je primeniti prvi kriterijum Ljapunova. Matrica itema i karakteritični polinom potreban za Routh-Hurwitzov kriterijum tabilnoti jednotavno e mogu dobiti zbog kontantnoti brzine. Mana predloženih metoda za ipitivanje tabilnoti pogona je pretpotavka o kontantnoti brzine, što je ograničava na neke poebne lučajeve. U opštoj teoriji električnih mašina uobičajeno e uvodi idealizacija o zanemarenju zaićenja magnetnog materijala. Magnetno zaićenje ima relativno mali uticaj pri normalnim radnim režimima ainhronog motora, ali ima važan tabilišući efekat kada je faktor prigušenja mali. Zanemarenje zaićenja dovelo bi do pogrešne lokacije nula i polova itema. Pri ipitivanju tabilnoti ainhronog motora uvažavanje magnetnog zaićenja dalo bi optimitičnije rezultate [10]. Ekperimentalni rezultati za pogon a podržanim ocilacijama brzine prikazani u u radu [13]. Ekperimentalnim putem locirana je oblat netabilnoti u u - f 1 ravni pri kojoj je odziv brzine netabilan. Odtupanjem od kontantnoti odnoa U/f 1 moguće je eliminiati podržane ocilacije. Pokazani u odzivi brzine, truje motora, truje na jednomernoj trani invertora, aktivna i reaktivna naga koju motor uzima. Kada motor radi u netabilnoj oblati ve navedene veličine poprimaju ocilatoran karakter. Locirano je pomeranje oblati netabilnoti pri promeni prekidačke učetanoti invertora, mrtvog vremena i kapacitivnoti kondenzatora u jednomernom međukolu. Za promenu brzine obrtanja ainhronog motora potrebno je vršiti napajanje motora iz izvora promenljivog napona (truje) i učetanoti. Izlazni napon invertora generiše e nekom od PWM tehnika. Potrebno je vreme kašnjenja između komutacija prekidača koji e nalaze u jednoj grani invertora. Uvođenjem mrtvog vremena izlazni napon invertora odtupa od referentne vrednoti napona, tako da nije moguće korititi referentnu vrednot napona kao informaciju o tvarnom naponu na motoru u pogonima čiji upravljački algoritmi zahtevaju ovu informaciju. U navedenoj literaturi data u rešenja kojima e realizuje kompenzacija mrtvog vremena kod inunog PWM ili kod PWM a protornim vektorom (pace vector PWM) [11-23]. Netabilnot pogona a ainhronim motorom može e izbeći upotrebom motora i L-C filtra a odgovarajućim parametrima, odnono boljom njihovom uklađenošću [6-8], što dovodi do pogoršanja tatičkih karakteritika motora. Predlažu e i hardverke izmene za detektovanje vremenkog intervala između komutacije prekidača i promene napona na potrošaču izazvane komutacijom prekidača. Detektovani vremenki interval omogućuje kompenzaciju izobličenja izlaznog napona invertora uled efekta mrtvog vremena [12,14]. Uvedenom kompenzacijom naponkih izobličenja prouzrokovanih mrtvim vremenom eliminišu e harmonici truje na nižim učetanotima, što je pokazano ekperimentalno. Uvođenjem dodatnih kontura prega kao i poboljšanih tehnika za generianje izlaznog napona invertora moguće je uticati na tabilnot pogona [15-18]. Na tabilnot pogona ainhronog motora bazično utiču mrtvo vreme invertora i pad napona na poluprovodničkim komponentama. U radovima [15-17] je pokazano da mrtvo vreme invertora utiče na izobličenje izlazne truje, koje je najizraženije za vrednoti truje blike nuli (zero current clamping), kada podržane ocilacije niu priutne. Izobličenje truje najizraženije je pri učetanotima napona na motoru koje u ipod polovine nazivne vrednoti. Uvođenjem dodatne povratne prege po tranformianom naponu tatora potiže e eliminacija izobličenja napona uled mrtvog vremena i pada napona na 10

11 prekidačkim komponentama. Navedena metoda kompenzacije orijentiana je prema PWM a protornim vektorom. Lo u radu [18] razmatra kompenzaciju napona uled mrtvog vremena kod invertora u itemu beprekidnog napajanja. Trenuci komutacije prekidača određuju e poređenjem inune reference napona i trougaonog modulišućeg ignala. Kompenazacija napona je realizovana promenom reference napona za izno ofeta, koji je jednak promeni napona uled mrtvog vremena. Znak promene napona je određen referentnim merom truje potrošača koji je induktivnog karaktera. Predviđanje ponašanja ainhronog motora, tokom prelaznog procea i u utaljenom tanju, moguće je potići imulacijom na računaru. Lockwood u radu [24] prikazuje rezultate imulacija vremenkog odziva pogona ainhronog motora za ocilatorni režim rada ainhronog motora. Napajanje motora je iz PWM invertora. Netabilan režim rada ainhronog motora može e prevazići i uvođenjem povratne prege po promenljivim tanja [26]. Za promenljive tanja izabrane u truje po d i q-oi. Struja po q-oi razmerna je razvijenom momentu dok je napajanje motora iz ciklokonvertora. Predloženo rešenje može e primeniti pri napajanju iz pretvarača a jednomernim međukolom i povratnom pregom po truji jednomernog međukola [25]. Povratnom pregom modifikuje e napon jednomernog međukola ili učetanot izlaznog napona šetopulnog invertora. Kod inhronih reluktantnih motora napajanih iz invertora potoji mogućnot natanka podržanih ocilacija. Problem a tabilnošću e javlja pri brzinama ipod polovine nazivne vrednoti. Rezultantne mehaničke ocilacije dovode do opano velikih truja i gubitka inhronizma. Analiza tabilnoti pogona vrši e pomoću modela za režim malih poremećaja. Stabilizacija pogona otvaruje e pomoću povratne prege po izvodu truje jednomernog međukola [27,28]. Struja jednomernog međukola modifikuje učetanot napona kojim e napaja motor. Koriti e redukovani matematički model inhronog reluktantnog motora (model drugog reda) [27]. Za realizaciju pogona a promenljivom brzinom obrtanja koriti e pretvarač a promenljivim izlaznim naponom (trujom) i učetanošću. Napajanje može biti naponko ili trujno. Zavino o kom invertoru e radi naponkom ili trujnom zavii i kakvo je jednomerno međukolo. Razvijeni u različiti algoritmi za generianje prekidačkih impula invertora i ipravljača kako bi e potigla minimizacija jednomernog međukola [29-34]. U referentnoj literaturi upravljački algoritam e modifikuje tako da u napon tatora i učetanot funkcije truje jednomernog međukola da bi e poboljšala tabilnot razmatranih pogona [19, 25, 27, 28]. Povratna prega po truji jednomernog međukola koriti e u pogonima ainhronih i inhronih reluktantnih motora. Rekontrukcija truje jednomernog međukola kod inunog PWM invertora imulacijom na računaru prikazana je u radu [35]. U radu [36] razvijen je regulacioni algoritam za kalarno upravljanje pogonom a ainhronim motorom primenom principa koji e korite u vektorkom upravljanju. Upravljački algoritam koriti iključivo informaciju o truji jednomernog međukola. 11

12 1.3. KRATAK SADRŽAJ I ORGANIZACIJA RADA Predmet naučne raprave u ovom radu je analiza uticaja mrtvog vremena frekventnog pretvarača na tabilnot pogona ainhronog motora. Pokazaće e pomoću imulacija vremenkog odziva pogona da mrtvo vreme invertora bazično utiče na pojavu ocilatornog načina rada ainhronog motora. Polazeći od potpunog nelinearnog matematičkog modela pogona izvešće e linearizovani matematički model. Uvažiće e mrtvo vreme invertora u linearizovanom modelu pomoću dodatnog otpornika u kolu tatora. Linearizovani matematički model pogona može e ikorititi za predviđanje tabilnoti odziva pogona. Biće predložen način za efikanu eliminaciju podržanih ocilacija. Ekperimentalnim putem pokazaće e potojanje podržanih ocilacija i lociraće e opeg učetanoti unutar kojeg ainhroni motor poeduje ocilatorni režim rada. U ovom radu izučava e uticaj mrtvog vremena invertora na tabilnot pogona a ainhronim motorom. Razvijen je linearizovani matematički model pogona koji omogućuje predviđanje oblati netabilnoti pogona i analizu uticaja parametara pogona na oblat netabilnoti. Matematički model pogona a ainhronim motorom, invertorom i jednomernim međukolom je nelinearan i adrži edam ili šet nelinearnih diferencijalnih jednačina u zavinoti od truje filtra. Na onovu znaka truje filtra određuje e topologija diferencijalnih jednačina. Mrtvo vreme invertora uvažava e modifikovanjem napona na motoru u zavinoti od znaka truje motora. Da bi e primenili kriterijumi tabilnoti, koji u razvijeni za linearne iteme, neophodno je uraditi linearizaciju modela pogona. Model filtra za dikontinualni režim u linearizovanom modelu pogona je prikazan a kolom prvog reda. U radu e predlaže rešenje a promenljivim otpornikom čija e vrednot menja a promenom rednje vrednoti truje jednomernog međukola. Mrtvo vreme invertora u linearizovanom modelu pogona uvaženo je pomoću otpornika čija vrednot varira u funkciji truje motora. Smatra e da je promena napona uled efekta mrtvog vremena ekvivalentna padu napona na datom otporniku. Matrica itema e modifikuje a uvedenim otpornikom. Rad e atoji od šet poglavlja, pika literature i priloga. U drugom poglavlju prikazan je matematički model pogona ainhronog motora pri napajanju iz PWM invertora. Matematički model ainhronog motora prikazan je u 2.1. uz uobičajene idealizacije koje e uvode u opštoj teoriji električnih mašina. Ainhroni motor e napaja iz frekventnog pretvarača. Mrtvo vreme invertora predtavlja ekundarni efekt koji je objašnjen u 2.2. Mrtvo vreme invertora izobličuje napon na motoru što modifikuje oblat tabilnoti motora i može uzrokovati pojavu podržanih ocilacija u pogonu. Modelovanje jednomernog međukola frekventnog pretvarača uz uvažavanje mogućeg dikontinualnog režima filtra prikazano je u 2.3. Treće poglavlje adrži izvođenje linearizovanog modela pogona, opi metode integracije korišćene u radu, opi programa i prikaz rezultata imulacija. Linearizovanjem matematičkog modela datog u 2.1. dobija e model ainhronog motora za režim malih poremećaja. Model za režim malih poremećaja je flukni i adrži tacionarne vrednoti fluka koje je neophodno određivati pri vakom proračunu optvenih vrednoti motora. Pri izučavanju tabilnoti pogona zanemaruju e 12

13 viši harmonici napona uneti PWM invertorom. Linearizovani model PWM invertora upotavlja vezu između veličina jednomernog međukola i veličina motora, što omogućuje da e model jednomernog međukola napiše u inhrono rotirajućem koordinatnom itemu. Linearizovani model PWM invertora bez uvaženog mrtvog vremena i linearizovani model jednomernog međukola prikazani u u i Mrtvo vreme invertora u linearizovanom modelu pogona uvaženo je preko ekvivalentnog otpornika, kojim e uvažava promena napona invertora uled efekta mrtvog vremena. Za efikanu imulaciju vremenkog odziva nelinearizovanog modela pogona, potrebno je izabrati pogodnu metodu za numeričku integraciju itema diferencijalnih jednačina. Program za imulaciju vremenkog odziva pogona napian je korišćenjem programkog jezika FORTRAN a program za određivanje oblati netabilnoti primenom programkog paketa MATLAB. Rezultati imulacija dobijeni pomoću programa opianih u i prikazani u u 3.3. Simulirani u vremenki odzivi pogona i rezultati predviđanja oblati netabilnoti pomoću linearizovanog matematičkog modela. U četvrtom poglavlju predlaže e jedno rešenje za tabilizaciju pogona pomoću povratne prege po truji jednomernog međukola. Pokazano je da e uvođenjem povratne prege, vi polovi nalaze u levoj poluravni komplekne ravni te je vremenki odziv pogona tabilan. Uvedena povratna prega ne utiče na odziv pogona kada je on već tabilan. Kvalitetniji odziv pogona e potiže uvođenjem pojačanja koje je promenljivo a referentnom učetanošću. U petom poglavlju u prikazani ekperimentalni rezultati, dobijeni kada ainhroni motor radi u netabilnoj oblati. Ekperimentalnim putem u locirane učetanoti pri kojima je motor netabilan. Promenom napona jednomernog međukola može e uticati na eliminaciju podržanih ocilacija. Šeto poglavlje umira potignute rezultate. Sedmo poglavlje adrži piak referentne literature. U prilozima u dati parametri motora, kao i litinzi programa koji u korišćeni za računarke imulacije u ovom radu. 13

14 2. MATEMATIČKI MODEL POGONA ASINHRONOG MOTORA NAPAJANOG IZ PWM INVERTORA Problem i potupak modelovanja ainhronog motora dat je u radovima [1-3]. Matematički model ainhrone mašine u domenu fizičkih veličina je prilično ložen, jer adrži nelinearne diferencijalne jednačine a promenljivim koeficijentima, što otežava analizu. Da bi e manjio broj i eliminiala vremenka zavinot elemenata u matrici induktivnoti, neophodno je primeniti tranformaciju raprezanja i tranformaciju obrtanja. Tranformacija u tvari vrši zamenu promenljivih i parametara matematičkog modela prilikom čega ne dolazi do gubitka informacija [1]. Tranformiani model je podeniji za analizu. Pored već pomenutih tranformacija, primenjuje e i navojna tranformacija, kojom e rotorke veličine vode na tator. Svedene vrednoti parametara rotorkog kola mogu e dobiti merenjem tatorkih veličina, što opravdava primenu navojne tranformacije MATEMATIČKI MODEL ASINHRONOG MOTORA Matematički model je kup matematičkih relacija (diferencijalnih i algebarkih jednačina) koji opiuje relevantne apekte dinamičkog ponašanja ainhronog motora. Za imulaciju na računaru i analizu, diferencijalne jednačine e najčešće predtavljaju u obliku jednačina tanja. Promenljive tanja mogu biti flukevi i brzina, čime e dobija flukni model, ili truje i brzina (trujni model), ili neke truje i neki flukevi (kombinovani modeli) [2]. Pomatra e ainhroni motor a tri identična fazna navoja na tatoru protorno pomerena za 120 električnih. Pri izvođenju matematičkog modela ainhrone mašine tandardne kontrukcije, u opštoj teoriji električnih mašina, uvajaju e ledeće pretpotavke [1]: 1. Pojave u električnoj mašini, dovoljno e tačno opiuju primenom koncentrianih parametara. 2. Zanemaruju e kapacitivne pojave u mašini. 3. Gubici u magnetnom kolu mašine mogu e zanemariti. 4. Zavinot truje i fluka je linearna. 5. Rapodela magnetopobudne ile po obodu zazora je inuna. 6. Omke otpornoti e uvajaju kao kontante. 7. Zanemaruje e uticaj zubaca tatora i rotora. Na l prikazana je šematki trofazna ainhrona mašina, pri čemu je kavezni namotaj rotora ekvivalentiran odgovarajućim trofaznim namotajem A, B, C. Električni ugao ϑ je funkcija vremena i njime je definian trenutni položaj između magnetkih oa navoja "a" tatora i navoja "A" rotora. 14

15 Sl Šematki prikaz trofazne ainhrone mašine Uz navedene pretpotavke moguće je napiati jednačine naponke ravnoteže namotaja tatora i rotora u matričnom obliku u domenu faznih veličina: U = Ri+ d Ψ ; (2.1) dt ( ) Ψ = L ϑ i. (2.2) Jednačina mehaničke ravnoteže: dω p dt J m e m tr = ω m. (2.3) kp Elektromagnetni moment: m e p = i 2 T dl( ϑ) i. dϑ (2.4) gde u: U R i Ψ L (ϑ) - vektor napona tatora i rotora, - matrica otpornoti namotaja tatora i rotora, - vektor truja tatora i rotora, - vektor fluknih obuhvata tatora i rotora, - matrica induktivnoti, 15

16 ϑ m e m m p J ω k tr - ugao između oe navoja "a" (tatora) i oe navoja "A" (rotora), - elektromagnetni moment, - mehanički moment opterećenja, - broj pari polova, - moment inercije, - električna ugaona brzina rotora, - koeficijent trenja. Matrice u izrazima (2.1) - (2.4), mogu e prikazati u razvijenom obliku: T T [ ua ub uc ua ub uc] ; i [ ia ib ic ia ib ic] ; T [ a b c A B C ] R diag{ R R R Rr Rr Rr} U = = Ψ = ψ ψ ψ ψ ψ ψ ; = ; ( ) L L L = r T L L. r r gde ubmatrice L, Lr, Lrimaju oblik: L L r L L L = L L L L L L = L aa ab ac ba bb bc ca cb cc aa LAA LAB LAC ; Lr = LBA LBB L BC ; LCA LCB LCC 2π 2π coϑ co ϑ + co ϑ 3 3 2π 2π co ϑ coϑ co ϑ π 2π co ϑ + co ϑ coϑ 3 3 (2.10) gde u: ua, ub, uc - fazni naponi navoja tatora, ua, ub, uc - fazni naponi navoja rotora, ia, ib, ic - fazne truje navoja tatora, ia, ib, ic - fazne truje navoja rotora, 16

17 ψ a, ψ b, ψ c - flukni obuhvati navoja tatora, ψ A, ψ B, ψ C - flukni obuhvati navoja rotora, R R r - omki otpor navoja tatora, - omki otpor navoja rotora, Laa, Lbb, Lcc - optvene induktivnoti navoja tatora, Lab, Lbc, Lca - međuobne induktivnoti navoja tatora, LAA, LBB, LCC - optvene induktivnoti navoja rotora, LAB, LBC, LCA - međuobne induktivnoti navoja rotora, L aa - međuobna induktivnot navoja "a" na tatoru i navoja "A" na rotoru. Jednačine (2.1) - (2.2) predtavljaju matematički model trofazne ainhrone mašine u domenu faznih veličina. Matrica induktivnoti je kvadratna, dimenzije 6 x 6, funkcija je vremena i trenutnog položaja rotora. Diferencijalne jednačine u nelinearne a vremenki promenljivim koeficijentima, jer u neki od elemenata matrice induktivnoti funkcija ugla ϑ, odnono vremena. Stoga je matematički model u domenu faznih veličina nepogodan za analizu i mora e tranformiati. Primenom odgovarajućih tranformacija moguće je eliminiati vremenku zavinot koeficijenata, tako što e originalni trofazni namotaji tatora (a, b, c) i rotora (A, B, C) ekvivalentiraju fiktivnim dvofaznim namotajima. Zahvaljujući pomeraju fiktivnih navoja od 90, netaju prege između navoja. Ova grupa tranformacija predtavlja tranformaciju raprezanja. Elementi tranformiane matrice induktivnoti u funkcije ugla ϑ. Primenom tranformacije obrtanja eliminiše e relativno kretanje između fiktivnog namotaja tatora (d,q) i fiktivnog namotaja rotora (D,Q). Tranformacije raprezanja i obrtanja u uzatopne, pa e mogu pojiti u jednu kojom e potižu oba efekta [1]. Matrične tranformacije koje obezbeđuju efekat raprezanja i olobađanje vremenke zavinoti matrice induktivnoti poznate u iz literature [1, 2] i mogu e podeliti na realne i komplekne tranformacije raprezanja i obrtanja. Prednoti komplekne tranformacije u odnou na realne u: 1. Komplekna tranformacija raprezanja jedina provodi potpunu dijagonalizaciju ve četiri ubmatrice induktivnoti. 2. Pole primene komplekne tranformacije obrtanja, u lučajevima kada ne potoje nulte komponente, dobija e jedna komplekna diferencijalna jednačina za naponku ravnotežu tatora i jedna komplekna diferencijalna jednačina naponke ravnoteže rotora, umeto odgovarajućih polaznih matričnih diferencijalnih jednačina. Druga dobijena jednačina za tator i za rotor je konjugovano komplekna a prvom i može e izotaviti iz razmatranja jer ne noi nikakvu novu informaciju. Komplekne promenljive (truje, flukevi i naponi) koje e dobijaju nakon primene 17

18 komplekne tranformacije raprezanja i obrtanja predtavljaju vektore (protorne vektore, polifazore, pace vector) koji u funkcije vremena. 3. U lučaju potrebe može e jednotavno preći u najbliži realni domen primenom odgovarajuće inverzne tranformacione matrice. Za imulaciju pogona korišćen je model ainhrone mašine u realnom području, a za odgovarajuća matematička izvođenja korišćen je model ainhrone mašine u kompleknom području. Ako primenimo kompleknu tranformaciju [1,2] na veličine trofazne ainhrone mašine dobija e: 2 [ ] 2π 3 2 j f = f af a f a e a + b + c ; = ; 3 2 [ ] 2 f = f + af + a f 3 r A B C (2.11). (2.12) gde u: f = i, ψ, u, f - vektor odgovarajuće veličine tatora ili rotora. Svaki vektor e može izraziti u polarnoj formi [1] j f = f e α ; (2.13) j r f = f e α. (2.14) r r i grafički predtaviti u kompleknoj ravni u vidu potega koji polazi iz koordinatnog početka i zaklapa ugao α odnono α r a pozitivnim delom odgovarajuće realne referentne oe a ima dužinu proporcionalnu njegovom modulu, što je ilutrovano na l

19 Sl Ilutracija vektora u različitim koordinatnim itemima Na l prikazana u tri koordinatna itema pri čemu je koordinatni item α - β vezan za tator, koordinatni item α r - β r je vezan za rotor, dok e koordinatni item d - q obrće a brzinom ω g, tzv. generalizovani koordinatni item. ω g dϑ g =. (2.15) dt Tranformacija kretanja je zamena jedne referentne oe drugom. Izbor tranformacije kretanja vodi e na izbor referentne oe koordinatnog itema. Vektor tatorkih (rotorkih) veličina f ( f ) r u generalizovanom koordinatnom itemu glai: jϑ j( α g ϑ g) f = f e = f e ; (2.16) g j( ϑ g ϑr) jα j( ϑ r g ϑ r) f = f e = f e e. (2.17) rg r r Primenom jednačina (2.11), (2.12), (2.16) i (2.17) na jednačine (2.1), (2.2) i primenom navojne tranformacije, dobijaju e jednačine naponke ravnoteže u kompleknom domenu: u u dψ g = R i + + jω gψ ; (2.18) dt g g g dψ rg = R i + + j( ω g ω) ψ ; (2.19) dt rg rg r rg ψ g Li g Lmirg = + ; (2.20) ψ rg Li r rg Lmig = +. (2.21) Elektromagnetni moment u terminima vektora [1, 2] glai: ( ) 3 me = p ψ i. (2.22) 2 19

20 Jednačine (2.3), (2.18) - (2.22) predtavljaju matematički model ainhrone mašine u kompleknom domenu. Vektor f g e može predtaviti kao vaki komplekan broj preko njegovog realnog i imaginarnog dela: f = f jf g d + q. (2.23) gde u: f g - vektor fluka, truje, napona u generalizovanom koordinatnom itemu, f d, f - projekcije vektora na dq, ou, q j - imaginarna jedinica. Ako e odgovarajući vektori predtave pomoću jednačine (2.23) i uvrte u jednačine (2.18) - (2.22) a zatim izvrši razdvajanje realnih i imaginarnih delova, dobija e model ainhrone mašine u BT g domenu prikazan a jednačinama tanja (2.3), (2.24) - (2.26) dψ d dt dψ q dt dψ dt dψ dt ψ ψ D Q = u R i + ω ψ ; d d g q = u R i ω ψ ; q q g d ( ω ) = u R i + ω ψ ; D r D g Q ( ω ) = u R i ω ψ ; (2.24) Q r Q g D = Li + Li ; ψ = Li + Li ; d d m D D r D m d = Li + Li ; ψ = Li + Li; (2.25) q q m Q Q r Q m q dω p dt J m e m tr = ω m ; (2.3) kp ( ) 3 me = p ψ diq ψ qid. (2.26) 2 gde u: L - optvena induktivnot navoja tatora, 20

21 L m L r f - međuobna induktivnot navoja tatora i navoja rotora, - optvena induktivnot navoja rotora vedena na tator, - ui,,ψ, f f d, f - veličine d -navoja, q-navoja na tatoru, D q, f - veličine D-navoja, Q-navoja na rotoru vedene na tator, Q ω g - brzina obrtanja koordinatnog itema. Ilutracija tranformacije originalnih faznih navoja na ekvivalentne navoje u rotacionom d, q području data je na l gde e vidi i međuobni odno pojedinih uglova. Sl Prikaz tranformacije namotaja ainhrone mašine na obrtni item zajedničkih oa Kod ainhrone mašine potoji loboda u izboru brzine obrtanja referentnog koordinatnog itema [1-3]. Potoje tri varijante koje e najčešće korite: ωg = ω1 = 2 πf1, gde je f 1 učetanot napona napajanja tatora, što odgovara inhrono rotirajućem koordinatnom itemu oa, ω g = ω, čime e dobija model a referentnim oama koje rotiraju brzinom rotora, ω g = 0, čime e dobija model u tojećem itemu oa. Za razmatranja u ovom radu izabran je koordinatni item koji rotira inhronom brzinom. Rotorki namotaj je kavezni pa toga treba uvažiti u D =0, u Q =0. Matematički model ainhrone mašine predtavlja jedan od načina opiivanja pojava u električnim mašinama. Drugi način predtavljanja pojava u električnim mašinama u ekvivalentne šeme [1-3]. Ekvivalentna šema ainhrone mašine u inhrono rotirajućem itemu referentnih oa prikazana je na l

22 Sl Ekvivalentna šema ainhrone mašine u inhrono rotirajućem koordinatnom itemu oa 2.2. MODELOVANJE INVERTORA Za realizaciju elektromotornog pogona promenljive brzine a ainhronim motorom potreban je pretvarač nage a promenljivim izlaznim naponom i frekvencijom [2,4]. U tu vrhu koriti e dvotepeni energetki pretvarač. Razvojem energetke elektronike, uavršeni u pretvarači a jednomernim međukolom, tako da je moguće otvariti kvalitetnu kontrolu dinamike izlaznog napona. Na l prikazan je tatički pretvarač a jednomernim međukolom. Sl Statički pretvarač a jednomernim međukolom Jednomerni napon najčešće e dobija iz diodnog ipravljača. Problem a energijom tokom kočenja ainhronog motora može e rešiti pomoću još jednog ipravljača ili pomoću otpornika za kočenje u jednomernom međukolu. Najjednotavniji način rada ovog pretvarača ima e kada je učetanot izlaznog napona jednaka prekidačkoj učetanoti amog invertora. Tada je najlakše upravljati a prekidačkim elementima ali u napon i truja bogati višim harmonicima. Uvođenjem 22

23 većeg broja impula po periodi poboljšava e harmonijki atav izlaznog napona. Onovni cilj tehnike PWM je kontrola amplitude i učetanoti izlaznog napona, pri kontantnom jednomernom naponu V d, tako da harmonici budu što manji. Invertor e atoji od šet tranzitora i njima paralelno vezanih povratnih dioda. Tranzitori rade u prekidačkom režimu, što znači da u u zaićenju ili u zakočeni. Ovim invertorom e jednomerni napon napajanja konvertuje u trofazni item napona različitog oblika. Jednomerno međukolo atoji e od induktivnoti L f i kondenzatora C f. Kondenzator C f treba da eliminiše harmonike napona V d. Induktivnot L f ograničava truju punjenja kondenzatora C f. U zavinoti od vrednoti L f, C f i opterećenja motora, truja kroz induktivnot L f može biti kontinualna ili dikontinualna. Trenuci komutacije prekidača određeni u poređenjem inune reference truje (napona) i trougaonog modulišućeg noioca. Potoji više različitih načina za određivanje trenutaka komutacije. Definišu e odnoi: m a V = $ V$ 1 tr ; m f = f f c 1. (2.27,2.28) gde je: m a -indek amplitudke modulacije (amplituda prvog harmonika, V $ 1 / amplituda trougaonog noioca, V $ tr ), m f -relativna frekvencija modulacije (učetanot modulišućeg ignala, f c / učetanot izlaznog napona invertora, f 1 ). Čučej je u radu [33] izložio harmonijku analizu PWM napona i opiao prirodnu i regularnu tehniku odabiranja. Potoje različiti tipovi PWM invertora [4] i to pre vega: PWM invertori kojima e potiže eliminianje nekog harmonika. Kod inunog PWM invertora trougaoni noilac e poredi a inunim modulišućim ignalom fundamentalne učetanoti. Tačke preeka određuju trenutke komutacije prekidača (prirodno odabiranje). Promenom amplitude i učetanoti modulišućeg ignala utiče e na učetanot i amplitudu prvog harmonika napona invertora. Modulišući ignal koji e koriti kod inunog PWM ima oblik: ( ) Gt = m in t. a ω 1 (2.29) Strujno kontroliani PWM invertor je u tvari naponki PWM invertor nabdeven a brzom povratnom pregom po truji. 23

24 Tranzitorki invertor prikazan na l u tvarnoti unoi nelinearnoti, iz ledećih razloga: - Prelazni procei u poluprovodničkim elementima zahtevaju konačan vremenki interval između trenutka iključenja jednog i trenutka uključenja drugog prekidačkog elementa u vakoj od grana invertora. U tom vremenkom intervalu, prekida e upravljanje izlaznim naponom, što dovodi do problema u upravljanju trujom. - Konačno vreme kašnjenja između promene tanja upravljačkog ignala na ulazu (bazi) tranzitorkog prekidača (T 1 -T 6 ) i promene tanja na izlazu tranzitorkog prekidača invertorkog mota. - Neidealnot tacionarnih tanja prekidačkih elemenata (otpor vođenja i truja curenja). Za invertore koji izlazni napon generišu pomoću impulno-širinke modulacije neophodno je izveno vreme tokom koga u iključena oba prekidača u grani, kako bi e izbeglao da itovremeno vode oba prekidača. Tokom trajanja mrtvog vremena napon invertora je neupravljiv. Polaritet napona je određen merom truje a amplituda izlaznog napona je određena naponom jednomernog međukola. Tokom mrtvog vremena truja može teći amo kroz povratne diode. Choi u radovima [15-18] ukazuje da za vreme trajanja mrtvog vremena bez obzira na mer truje, dolazi do manjenja amplitude truje faze invertora, nezavino od referentne vrednoti truje. Ako je truja faze blika nuli na početku mrtvog vremena, onda ona opada na nulu i ne menja vrednot tokom otatka mrtvog vremena. Izobličenja fazne truje invertora u najizraženija kada truje faze prolaze kroz nulu i pri malim vrednotima učetanoti napona. 24

25 Sl Efekat mrtvog vremena invertora Uticaj mrtvog vremena na izlazni napon invertora objašnjen je na primeru jedne grane trofaznog invertora, što je prikazano na l. 2.6a. Prikazan je izgled naponke reference u cont za koju e pretpotavlja da je kontantna tokom jedne prekidačke periode. Poređenjem napona u cont a trougaonim noiocem u tr određeni u uglovi paljenja prekidačkih komponenti. Upravljački ignali za gornji prekidač T A+ i donji T A- u prikazani na l. 2.6b. 25

26 Upravljački ignali prikazani na l. 2.6b. ne uvažavaju efekat mrtvog vremena. Ako bimo bili u mogućnoti da dovodimo ove upravljačke ignale na bazu (gejt) prekidača invertora onda ne bi bilo izobličenja izlaznog napona invertora uled efekta mrtvog vremena. U praki, zbog konačnog vremena uključenja i iključenja prekidača, mora e uvažiti mrtvo vreme tako da e prekidači uključuju u trenucima kao na l. 2.6c. Prekidač T A+ je iključen, ali trenutak uključenja prekidača T A- mora biti pomeren za vreme t Δ u odnou na trenutak iključenja prekidača T A+. Analogno e dešava pri iključenju prekidača T A-. Tokom mrtvog vremena iključena u oba prekidača, polaritet napona uled mrtvog vremena određen je merom truje, kao što je prikazano na l. 2.6d. i 2.6e. Moguća u četiri lučaja u pogledu znaka truje i komutacije prekidača u grani. U prvom lučaju neka e prekidač T A+ iključuje, a T A- uključuje, truja invertora i A neka je pozitivna. Tokom mrtvog vremena truju će provoditi dioda D 2, napon U AN je jednak nuli. Kada ne bi bilo mrtvog vremena, tada bi napon U AN imao itu vrednot (jednaku nuli) kao kada e uvaži mrtvo vreme. U drugom lučaju T A+ prekidač e uključuje, a T A- e iključuje, truja invertora i A je pozitivna. Struju će provoditi dioda D 2 tokom mrtvog vremena, napon U AN je jednak nuli. Kada ne bi uvažili mrtvo vreme, tada bi napon U AN iznoio V d. Uled mrtvog vremena ima e gubitak napona u odnou na idealan lučaj. U trećem lučaju prekidač T A+ e uključuje, a T A- e iključuje, truja invertora je i A negativna. Tokom mrtvog vremena truju će provoditi dioda D 1, napon U AN je jednak nuli. Kad ne bi bilo mrtvog vremena, tada bi napon U AN imao itu vrednot (jednaku nuli) kao kada e uvaži mrtvo vreme. U četvrtom lučaju prekidač T A+ e iključuje, a T A- e uključuje, truja invertora i A je negativna. Struju će provoditi dioda D 1 tokom mrtvog vremena, napon U AN iznoi V d. Kada ne bi uvažili mrtvo vreme, tada bi napon U AN bio jednak nuli. Naponko odtupanje prouzrokovano mrtvim vremenom u ε definiano je kao razlika napona U AN bez uvažavanja mrtvog vremena i napona U AN a uvažavanjem mrtvog vremena [4]. u ε = (U AN ) ideal - (U AN ) tvarno (2.30) Napon u ε je impulnog oblika i ima ledeće oobine: 1. Amplituda impulnog napona je jednaka naponu jednomernog međukola V d. 2. Širina impula je t Δ. 3. Polaritet impula zavii od polariteta truje i A. Za avremene prekidačke komponente mrtvo vreme iznoi manje od 10 μ. Ainhroni motor napajan iz PWM invertora neće reagovati na izobličenje napona tokom tako malog vremenkog perioda. Izobličenje napona invertora uled mrtvog vremena akumulira e tokom periode truje i A. Sa poratom prekidačke učetanoti f c rate izobličenje napona uled mrtvog vremena. Za tabilnot rada ainhronog motora, rizik predtavlja tendencija akumulacije izobličenja. Pri učetanotima 26

27 onovnog harmonika izlaznog napona koje u ipod polovine nominalne vrednoti, potoji mogućnot pojave podržanih ocilacija MATEMATIČKI MODEL ULAZNE ISPRAVLJAČKE SEKCIJE PRETVARAČA SNAGE U zavinoti od invertora, filtar u jednomernom međukolu može biti elektrolitki kondenzator, L-C filtar ili induktivnot. Upotrebom kondenzatora od nekoliko milifarada manjene u fluktuacije napona V d na zadovoljavajući nivo. Filtar ima dvojnu ulogu. Smanjuje harmonike napona V d na ulazu invertora koje unoi ipravljač. Druga uloga e atoji u ograničavanju harmonika truje i R koje unoi invertor. Kao induktivnot filtra L f najčešće je dovoljna komutaciona induktivnot mreže koja napaja ipravljač. Razvojem pretvarača nage značajna pažnja e povećuje minimizaciji filtra u jednomernom međukolu [34], uz primenu odgovarajućih tehnika PWM. Jednomerno međukolo (L-C filtar) naponkog invertora prikazano je na l Ako je truja ipravljača i R >0, L-C filtar e može opiati a ledeće dve diferencijalne jednačine u tacionarnom koordinatnom itemu: di dt u R i V = L R R f R d f ; (2.31) Sl L-C filtar dv dt i i =. (2.32) C d R i f gde u: R f L f C f V d i i u R - otpor prigušnice, - induktivnot filtra, - kapacitivnot filtra, - napon invertora na jednomernoj trani, - truja invertora na jednomernoj trani, - napon ipravljača. 27

28 u R 3ω MLi = UR0 π R ; (2.33) U R0 3 3 = U. (2.34) π m gde u: L U m - komutaciona induktivnot, - makimalna vrednot faznog napona, ω M - učetanot mreže. Jednačina (2.33) važi amo za lučaj kada je truja i R kontinualna. Matematički model jednomernog međukola (2.31) i (2.32) napian je uz pretpotavku da je truja i R >0 odnono da je kontinualna. Matematički model pogona prikazanog na l adrži edam nelinearnih diferencijalnih jednačina. Pretvarač nage treba da poeduje što manji gabarit i težinu pa e zbog toga u jednomerno međukolo potavlja induktivnot relativno male vrednoti. Struja i R potaje dikontinualna ako e induktivnot filtra L f manji ipod neke vrednoti ili ako je truja mala, što nije uvaženo u (2.31) i (2.32). Većina pretvarača zaita ima ulazni tepen u dikontinualnom modu. Na l u prikazani vremenki oblici za napon V d i truju i R uz pretpotavku da je truja i R dikontinualna. Sl Dikontinualni režim filtra Srednja vrednot truje kroz induktivnot filtra je : ω t M U Ir = ir t d M t = 2π 2πω ( L + L) ω t M 1 [ M 1 M 2 ] m ( ) ( ω ) co( ω t ) co ( ω t ) 6 2 3U m 2 L + L t t t V t 2 L + L t t V π( ) π( ) 2π( L + L) f M f 6 dω M 1 3 d 2 ( 2 1) inω 1 + ( 2 1) ω ( t2 t 2 M 1 ) f 28 f ;

29 t 1 1 = ω M 2 3U ω Vd arcco ; 2 3U m m [ ω ω ] in( t ) in( t ) V ( t t ) = d 2 1 (2.35) Promenom napona V d u (2.35) moguće je dobiti izlaznu karakteritiku kola na l. 2.8, zavinot I r - V d. Uobičajeno e daje zavinot V d - I r, što je prikazano na l V d [V] I r [A] Sl Izlazna karakteritika filtra Sl Ekvivalentno kolo L-C filtra za dikontinualni režim Vremenki tok truje i R e ponavlja vakih 3,3 m, što je puno manje od električne vremenke kontante ainhronog motora. Ovo omogućuje da e L-C filtar u kolu na l zameni a R-C kolom, što je prikazano na l Otpornot R u kolu na l je promenljiva a trujom I r. Otpornot R grafički predtavlja nagib tangente na krivoj I r - V d u datoj radnoj tački. V R = I d r. (2.36) Zavinot V d - I r i R - I r na l i dobijene u za L f = 1,1 mh i C f = 2,2 mf. R [Ω] Matematički model L-C filtra za dikontinualni režim adrži amo jednu jednačinu tanja a naponom kondenzatora kao promenljivom tanja I r [A] Sl Otpornot R 29 dv dt u V = RC d R d f ii. (2.37) C f

30 Jednačine (2.31), (2.32) i (2.37) u matematički model L-C filtra u kontinualnom odnono dikontinualnom režimu. U narednom poglavlju biće upotavljena veza između promenljivih tanja L-C filtra i veličina motora, što će omogućiti da e dobije matematički model celokupnog pogona. Dobijeni matematički model pogona koriti e za dobijanje linearizovanog matematičkog modela. 30

31 3. STABILNOST POGONA ASINHRONOG MOTORA KOJI SE NAPAJA IZ PWM INVERTORA Skup diferencijalnih jednačina koji predtavlja matematički model pogona ainhronog motora je nelinearan. Analiza tabilnoti nelinearnog itema zahteva primenu prve i druge Ljapunovljeve metode. Da bimo primenili relativno jednotavne kriterijume tabilnoti razvijene za linearne iteme potrebno je izvršiti linearizaciju kupa diferencijalnih jednačina. Podržane ocilacije imaju malu amplitudu pa je greška koja e čini pri linearizaciji prihvatljiva. U vakoj tački f 1 - m e ravni izračunavaju e optvene vrednoti Jakobijeve matrice linearizovanog itema, kako bi e dobila oblat u kojoj bar jedna optvena vrednot ima pozitivan realan deo, dakle oblat netabilnoti. Linearizovan matematički model (model za režim malih poremećaja) moguće je dobiti na dva načina [1,2]. Razvojem u Taylorov red promenljivih (truja, flukeva, napona, momenata) oko tacionarne vrednoti, uz zanemarenje vih članova koji u drugog reda. Drugi način da e dobije linearizovan matematički model je da e vaka promenljiva izrazi kao uma tacionarne vrednoti i odtupanja od tacionarne vrednoti, uz zanemarenje proizvoda dva odtupanja i eliminaciju tacionarnih vrednoti. U radu je korišćen drugi način za dobijanje linearizovanog modela LINEARIZOVANI MATEMATIČKI MODEL POGONA Linearizovani matematički model ainhronog motora Matematički model ainhronog motora izveden je u odeljku 2.1. Jednačine naponke ravnoteže (2.18), (2.19) i jednačina kretanja (2.3) zajedno a jednačinom za moment konverzije (2.22), korite e za dobijanje linearizovanog modela ainhronog motora. Za analizu tabilnoti ainhronog motora uobičajeno e koriti linearizovan matematički model napian u inhrono rotirajućem koordinatnom itemu. Jednačine naponke ravnoteže ainhrone mašine u inhrono rotirajućem koordinatnom itemu dobijaju e kada e u (2.18) i (2.19) uvrti ω g = ω 1. u u dψ = R i + + jωψ 1 ; (3.1) dt dψ r = R i + + j( ω1 ω) ψ. (3.2) dt r r r r 31

32 Sve veličine u definiane u odeljku 2.1. Uvođenje linearizacije nelinearnih relacija e zaniva na pretpotavci da je natupio mali poremećaj oko tacionarne vrednoti i da e vaka promenljiva može predtaviti kao uma tacionarne vrednoti i odtupanja od tacionarne vrednoti: u = u + Δu ; u = u + Δu ; 0 r r0 r i = i + Δi ; i = i + Δi ; 0 r r0 r ψ = ψ + Δψ ; ψ = ψ + Δψ ; 0 r r0 r ω = ω + Δω ; ω = ω + Δω. (3.3) Veličine a indekom 0 odgovaraju tacionarnim vrednotima odgovarajućih veličina. Veličine a prefikom Δ predtavljaju odtupanje odgovarajućih veličina od tacionarnih vrednoti. Uvrštavajući jednačinu (3.3) u (3.1) i (3.2), zanemarujući proizvode odtupanja kao i poništavajući tacionarne vrednoti a jedne i druge trane znaka jednakoti, dobija e: dδψ Δu = RΔi + + jδω 1ψ + jω Δψ dt 0 10 ; (3.4) dδψ r Δur = Rr Δir + + j( Δω 1 Δω ) ψ + j( ω ω ) Δψ dt r r (3.5) Vektore Δi, Δi r neophodno je izraziti pomoću Δψ, Δψ r da bi e dobio flukni model. 1 kr Δi = Δψ Δψ ; (3.6) L L r k Δi r = 1 Δψ + Δψ. (3.7) L L r r r gde u: k k r Lm = - koeficijent prege namotaja tatora, L Lm = - koeficijent prege namotaja rotora, L r 32

33 2 Lm σ = 1 LL r L = L σ, L = L σ. r r - ukupni koeficijent raipanja, Jednačine tanja linearizovanog matematičkog modela dobijene iz jednačina naponke ravnoteže (3.1) i (3.2) glae: dδψ dt 1 = T kr jω10 Δψ + Δψ jδω ψ Δu T r 1 + ; (3.8) 0 dδψ dt r k 1 = Δψ + j( ω ω ) Δψ jδω ψ jδωψ Δu T T 0 0 r r r r r r. (3.9) gde u: T = L R - vremenka kontanta prelaznih pojava u tatorkom namotu, Lr T = r R r - vremenka kontanta prelaznih pojava u rotorkom namotu. Sličnom procedurom dolazi e do linearizovane jednačine za elektromagnetni moment. Jednačina za elektromagnetni moment izražena preko flukeva tatora i rotora: m e = 3 2 r p k L [ r r ] 3 r ( ψ ψ ) = ( ψ + ψ ) ( ψ + ψ ) r p k L Δ Δ. (3.10) Linearizovana jednačina za elektromagnetni moment: ( ψ ψ + ψ ψ ) 3 Δm p k r e = Δ Δ L = 2 r0 r p k r L [( ψ D0 q ψ Q0 d ) + ( ψ q0 D ψ d0 Q) ] Δψ Δψ Δψ Δψ. (3.11) Jednačina kretanja u linearizovanom obliku ima ledeću formu: dδω p ktr = ( Δme Δmm) Δω. (3.12) dt J J 33

34 Za prelazak u realno područje neophodno je (2.23) uvrtiti u odgovarajuće jednačine i razdvojiti realne i imaginarne delove tako da kompletan linearizovani model ainhronog motora u realnom domenu glai: dδψ d 1 kr = Δψ d + ω10δψ q + Δψ D + Δω 1ψ q0 + Δud ; dt T T dδψ dt dδψ dt q D 1 kr = ω10δψ d Δψ q + Δψ Δω 1ψ 0 + Δu T T Q d q k 1 = Δψ d Δψ q + ( ω10 ω0 ) Δψ Q + Δω 1ψ Q0 Δωψ Q0 + ΔuD; T T r r ; dδψ dt Q dδω 3p = dt 2J k 1 = Δψ q Δψ Q ( ω10 ω0 ) Δψ D Δω 1ψ D0 + Δωψ D0 + ΔuQ; T T r 2 kr L r [( D0 q Q0 d) ( q0 D d0 Q) ] ktr p ψ Δψ ψ Δψ + ψ Δψ ψ Δψ Δω Δmm. (3.13) J J Promenljive tanja u linearizovanom modelu (3.13) ainhrone mašine u Δψ d, Δψ q, Δψ D, Δψ Q i Δω. Sl Ekvivalentna šema ainhronog motora nakon izvršene linearizacije Na l prikazana je ekvivalentna šema ainhronog motora nakon izvršene linearizacije. U odnou na ekvivalentnu šemu ainhronog motora l. 2.3, priutni u dodatni članovi u tatorkoj i rotorkoj grani uled izvršene idealizacije. Matrica itema linearizovanog modela ainhronog motora, potrebna za analizu tabilnoti, glai: 34

35 35 ( ) A AM = T k T T k T k T T k T T c c c c k J r r r r Q r r D Q D q d tr ω ω ω ω ψ ω ω ψ ψ ψ ψ ψ ; (3.14) gde je: c p J k L r = Stacionarne vrednoti za flukeve u matrici A AM dobijaju e iz jednačine (3.1) i (3.2) kada e uvrti d dt ψ = 0 i d dt r ψ = 0, izraze e vektori i i r, preko vektora ψ ψ r, i nakon prelaka u realni domen dobija e: ( ) u u T k T T k T k T T k T T d q r r r r r r d q D Q = ω ω ω ω ω ω ψ ψ ψ ψ. (3.15) Za ainhronu mašinu a kratko pojenim rotorkim namotajem vredi da je u u D Q = = 0. Karakteritični polinom matrice itema A AM je det (A AM - λi 5 ). (3.16) petog reda. I 5 je jedinična matrica dimenzije 5x5. Nije moguće analitički naći vih pet optvenih vrednoti matrice itema, pa je neophodno korititi neku numeričku metodu. Od pet optvenih