Električna pogonska tehnika

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Električna pogonska tehnika"

Transcript

1 Električna pogonska tehnika Osnove Projektiranje Primjene Rješenja Jens Weidauer 2. njemačko dopunjeno izdanje, hrvatsko izdanje, 2013.

2 Urednik: doc. dr. sc. Damir Sumina Prevoditelji: prof. dr. sc. Zvonko Benčić, prijevod poglavlja 1 8 i doc. dr. sc. Damir Sumina, prijevod poglavlja 9 11 Recenzenti: Dalibor arković, ing. mr. sc. Dragan Fumić Lektorica: dr. sc. ilica ihaljević Priprema: Graphis d.o.o. Za nakladnika: Elizabeta Šunde, dipl. ing. Zahvala: Ova je knjiga tiskana uz pomoć tvrtke SIEENS d.d. Hrvatska, Heinzelova 70a, Zagreb te SIEENS Solution partnera: ATO, Brodarski institut, Duplico, D.V.V., Energocontrol, ontelektro, Nev-el, Novatec. Autor, prevoditelji i nakladnik veliku su pažnju posvetili tekstu i ilustracijama u ovoj knjizi. Nažalost, pogreške se nikada ne mogu potpuno izbjeći. Nakladnik, autor i prevoditelji u tim slučajevima ne smatraju se pravno odgovornim, bez obzira na pravne temelje. Oznake korištene u ovoj knjizi mogu biti zaštićene oznake čije nedopušteno korištenje krši autorska prava vlasnika. Nakladnik hrvatskog izdanja: Graphis d.o.o., Zagreb Graphis d.o.o., aksimirska 88, Zagreb, graphis1@inet.hr, CIP zapis dostupan u računalnom katalogu Nacionalne i sveučilišne knjižnice u Zagrebu pod brojem ISBN: njemačko izdanje, 2011., 1. hrvatsko izdanje, Licensed edition of Elektrische Antriebstechnik by Jens Weidauer 2nd edition, 2011 ISBN by Publicis Erlangen, Zweigniederlassung der PWW GmbH with the permission of Publicis Publishing, Naegelsbachstr. 33, Erlangen, Germany, Tel: Ova knjiga i svi njezini dijelovi podliježu Zakonu o zaštiti autorskih prava. Svaka uporaba izvan odredbi Zakona o autorskom pravu bez suglasnosti nakladnika strogo je zabranjena i podliježe zakonskim sankcijama. To se posebno odnosi na neovlašteno kopiranje, prevođenje, mikrofilmiranje ili druge obrade i pohrane u elektroničkim sustavima. To se također odnosi na korištenje ilustracija, dijela ilustracija ili izvadaka iz teksta. Tiskano u Hrvatskoj

3 Predgovor Električni pogoni u velikoj su mjeri elektromehanički pretvarači energije koji omogućuju gibanja u proizvodnim strojevima i uređajima, u zgradarstvu i u općoj primjeni. Još od otkrića elektrodinamičkih načela Wernera von Siemensa električna pogonska tehnika izvrsno se razvijala i obuhvatila mnoga područja tehnike. Pritom do danas nije postignuto stanje "zasićenja" jer razvoj i dalje napreduje s novim područjima primjene električne pogonske tehnike u kojima su se prethodno koristili, primjerice, hidraulični pogoni ili motori s unutarnjim izgaranjem. Posebna je prednost relativno jednostavna upravljivost pogona kojom mogu biti ispunjeni sve veći zahtjevi za točnošću i fleksibilnošću. Znatan napredak postignut je dostupnošću moćnih i visokointegriranih mikroprocesora koji omogućuju izvođenje modernih algoritama za regulaciju i nadzor. Današnja snaga poluvodičkih elemenata omogućava primjenu električne pogonske tehnike u gigavatnom području. Dok su se prije u reguliranim pogonima koristili istosmjerni motori, razvojem učinskih pretvarača nastao je izvrstan uspon asinkronih strojeva, koji omogućuju cijenom povoljnu izgradnju i dug životni vijek. Korištenjem novih magnetskih materijala i razvoj motora daleko je od gotovoga. Broj primjena linearnih motora i dalje raste, dok se u mnogim primjenama koriste direktni pogoni bez prijenosnika, tzv. momentni motori. Električna pogonska tehnika kontinuirano je visokorelevantna za istraživanje i razvoj unatoč svojoj velikoj i dugoj povijesti. To je presudno za funkcionalnost i radne značajke stroja ili postrojenja, za njihovu djelotvornost, a time i za ekonomski učinkovito korištenje izvora. Ovom knjigom dr. Weidauer daje pregled električne pogonske tehnike, koji stručnjaku i donositelju odluka omogućava osnovnu orijentaciju u korištenju moderne pogonske tehnike pri gradnji strojeva i uređaja. Neka se ova knjiga nađe u što široj primjeni i na taj način promiče korištenje modernih, ekoloških i visokoučinkovitih mogućnosti tehnike. Dr. Olaf Rathjen Siemens AG, Bereich A&D Leiter Geschäftsgebiet otion Control Systems 5

4 Rije urednika Uz povijesni pregled razvoja električne pogonske tehnike knjiga daje sažeti pregled svih vrsta električnih pogona s naglaskom na opisivanju načela rada. Također, u knjizi su opisane komunikacijske sabirnice za električne pogone, dani su primjeri za jednopogonske i višepogonske sustave te je opisano upravljanje gibanjem s pomoću električnih pogona i pozicioniranje. Kao dodatnu kvalitetu knjige istaknuo bih poglavlje o elektromagnetskoj kompatibilnosti u električnoj pogonskoj tehnici te poglavlje o načelima projektiranja električnih pogona. Knjigu svakako preporučujem čitateljima koji tek ulaze u ovo područje, te sam siguran da će knjiga biti koristan priručnik studentima Fakulteta elektrotehnike i računarstva u Zagrebu i ostalih fakulteta u Hrvatskoj koji se bave pogonskom tehnikom. Nadam se da će knjiga pomoći stručnjacima iz prakse s područja pogonske tehnike i riješiti im mnoge nedoumice. Kao prevoditelj radio sam na poglavljima Komunikacijske sabirnice za elektri ne pogone, Regulacija procesa s pomo u elektri nih pogona i Upravljanje gibanjem s pomo u elektri nih pogona. Istaknuo bih ulogu iskusnog prevoditelja prof. dr. sc. Zvonka Benčića koji je preveo preostali dio knjige, a ujedno mi svojim savjetima pomagao riješiti dvojbe. Radom na ovoj knjizi shvatio sam koliko je uloga prevoditelja i urednika zahtjevna i odgovorna. Pri prevođenju je često trebalo uzeti u obzir nazive prihvaćene u praksi, koji su često anglizmi, i pronaći dobar hrvatski naziv. To je učinjeno zbog čitatelja koji ulaze u svijet pogonske tehnike. Savjet prof. dr. sc. Zvonka Benčića, kojemu se ujedno zahvaljujem na pomoći, bio mi je ključan za ovaj odabir: "Čitatelj koji ulazi u novo tehničko područje može dobro razumjeti knjigu jedino ako je napisana na hrvatskom jeziku". U knjizi su prihvaćeni anglizmi koji nemaju kvalitetnu zamjenu ili su uobičajeni u stručnoj komunikaciji, pa su zadržani zbog jasnoće knjige. Svakako bih naglasio da se u knjizi pazilo na nazive "osovina" i "vratilo". Katkad se u inženjerskoj komunikaciji miješaju pojmovi osovina i vratilo. Razlika je ipak velika jer osovina ne prenosi okretni moment ni snagu, a vratilo prenosi i okretni moment i snagu. Stoga se u knjizi govori o vratilu motora. Veliku zahvalu upućujem prof. dr. sc. Gorislavu Ercegu uz kojeg je bilo zanimljivo učiti inženjerska znanja posljednjih desetak godina. Prenesenim znanjima iz područja pogonske tehnike i industrijske automatizacije omogućio mi je da pojedine primjene pogonske tehnike kvalitetno opišem sa stajališta inženjera koji je određeno vrijeme proveo u industrijskim postrojenjima pri radu s električnim pogonima. Pored svega želio bih zahvaliti kolegi mr. sc. Draganu Fumiću iz tvrtke Siemens d.d., koji je svoje stručno iskustvo na području pogonske tehnike ugradio u recenziranje knjige. Zahvaljujem i kolegi Daliboru arkoviću, ing. iz tvrtke Siemens d.d., koji je također sudjelovao u kvalitetnim raspravama. 7

5 Riječ urednika Zahvaljujem kolegici artini Kutiji, dipl. ing., i kolegama prof. dr. sc. Ivanu Gašparcu, doc. dr. sc. Igoru Ercegu i Šandoru Ilešu, dipl. ing., koji su svojim savjetima doprinijeli kvaliteti knjige. Zahvaljujem lektorici dr. sc. ilici ihaljević na jezičnim savjetima. Zahvaljujem nakladniku tvrtki Graphis d.o.o. i tvrtki Siemens d.d. Hrvatska koja je omogućila prevođenje i novčano poduprla objavljivanje knjige. Zagreb, listopada Damir Sumina 8

6 Sadr aj 1. Ukratko o elektri nim pogonima Povijesni pregled električnih pogona Struktura modernih električnih pogona Razredba električnih pogona ogućnost podešavanja brzine vrtnje Tip motora i vrsta izvršnog uređaja Tehnički podaci ehani ke osnove Elektrotehni ke osnove Električko i magnetsko polje u elektrotehnici Nastajanje okretnog momenta Lorentzova sila Petlja vodiča u magnetskom polju Induciranje napona Veličine i jednadžbe u elektrotehnici Komponente u elektrotehnici Pogoni konstantne i podesive brzine vrtnje s istosmjernim motorima Istosmjerni pogoni Istosmjerni motor Načelo rada Konstrukcija i električni priključci Održavanje istosmjernih motora atematički opis ogućnosti regulacije Pogoni konstantne brzine vrtnje s istosmjernim motorima Struktura i područje primjene otori s nezavisnom i paralelnom uzbudom te uzbudom stalnim magnetima otor sa serijskom uzbudom Pogoni podesive brzine vrtnje s istosmjernim motorima Struktura i područje primjene Usmjerivač Davač brzine vrtnje za istosmjerne pogone Regulacijska struktura

7 Sadržaj 5. Pogoni konstantne i podesive brzine vrtnje s asinkronim motorima Pogoni s asinkronim motorima Asinkroni motor Načelo rada Konstrukcija i električni priključci atematički opis Regulacijske mogućnosti Pogoni konstantne brzine vrtnje s asinkronim motorima Struktura i područje primjene Pokretanje asinkronog motora Kočenje asinkronog motora Pogoni podesive brzine vrtnje s asinkronim motorima Struktura i područje primjene Upravljanje brzinom vrtnje s pomoću sklopnika ijenjanje brzine vrtnje s pomoću frekvencijskih pretvarača Pogon s U/f upravljanjem Pogoni s vektorskom regulacijom Davač brzine vrtnje Funkcije modernih frekvencijskih pretvarača Općenito Opcijske učinske komponente Opcije elektroničkih sklopova Procesno sučelje Korisničko sučelje Regulacijske i upravljačke funkcije Servopogoni Struktura i područje primjene Razredba servopogona Regulacijske funkcije Tip motora, vrsta izvršnog uređaja Tehnički podaci Davači brzine vrtnje i položaja za servopogone Razredba i karakteristični podaci Komutacijski davač Rezolver Sin-cos davač Davač apsolutne vrijednosti Servopogoni s istosmjernim motorima Struktura i područje rada Istosmjerni motori za servopogone Čoper za servopogone s istosmjernim motorima Struktura regulatora Servopogoni s beskolektorskim istosmjernim motorima Struktura i područje rada Beskolektorski istosmjerni motor

8 Sadržaj Pretvarači frekvencije za servopogone s beskolektorskim istosmjernim motorima Struktura regulatora Servopogoni sa sinkronim motorima (motori sa sinusnom komutacijom) Struktura i područje primjene Sinkroni motor Frekvencijski pretvarači za servopogone sa sinkronim motorima Struktura regulatora Servopogoni s asinkronim motorima Izravni pogoni Struktura i područje primjene Linearni motor omentni motor Reguliranje i optimiranje servopogona Opći kriteriji kvalitete za prosuđivanje regulacijskog kruga Regulacijski krug servopogona Optimiranje regulacijskog kruga struje Optimiranje regulacijskog kruga brzine vrtnje Optimiranje regulacijskog kruga položaja Funkcije modernih servopretvarača Općenito Opcije u učinskom dijelu Opcije u elektroničkom dijelu Procesno sučelje Korisničko sučelje Regulacijske i upravljačke funkcije Kora ni pogoni Struktura i područje primjene Razredba koračnih pogona prema vrsti motora Tehnički podaci Koračni motor Općenito Koračni motor sa stalnim magnetima Koračni hibridni motor Uređaji za upravljanje Regulacijsko ponašanje Kratak pregled elektri nih pogonskih sustava Od pogona do pogonskog sustava Razredba električnih pogonskih sustava Komponente pogonskih sustava Funkcionalnost pogonskih sustava Informacijski tokovi u pogonskim sustavima Tok energije između pogona Elektromagnetski utjecaji Projektiranje električnih pogona sustavnosna zadaća

9 Sadržaj 9. Komunikacijske sabirnice za elektri ne pogone Svrha i načelo rada Pregled komunikacijskih sabirnica AS sučelje Pregled Topologija, ožičenje, fizička izvedba Način pristupa CAN Pregled Topologija, ožičenje, fizička izvedba Način pristupa Projektiranje PROFIBUS DP Pregled Topologija, ožičenje, fizička izvedba Način pristupa PROFIBUS DP-V Projektiranje PROFINET I/O Pregled Topologija, ožičenje, fizička izvedba Način pristupa Opis uređaja za projektiranje Regulacija procesa s pomoću elektri nih pogona Definicija pojmova Regulacija procesa s pomoću jednopogonskih sustava Komponente Primjer: regulacija razine pogonom konstantne brzine vrtnje Primjer: regulacija tlaka Primjer: pogon dizala Regulacija procesa s pomoću višepogonskih sustava Komponente Primjer: pogon pokretnog postolja s mehanički povezanim pogonima Primjer: postrojenja za izvlačenje s vlačnim pogonima i pogonima za namatanje Pogoni s integriranim tehnološkim funkcijama Upravljanje gibanjem s pomoću elektri nih pogona Definicije pojmova i funkcije Prikaz i obrada informacija o položaju Pozicioniranje Primjena i osnove pozicioniranja Upravljanje pozicijom

10 Sadržaj Podaci stroja Određivanje položaja, obrada položaja i referenciranje Sinkroniziranje Primjene i osnove Upravljanje sinkroniziranjem Podaci stroja Upravljanje gibanjem s PLCopen Sigurnosne funkcije u električnim pogonima Primjene i osnove Funkcija "sigurnosna blokada impulsa" Sigurnosne funkcije gibanja Sigurnosne komunikacijske sabirnice EC u elektri noj pogonskoj tehnici Osnove Uzroci i definicije pojmova EC model djelovanja Sprežni mehanizam atematički opis Elektromotorni pogon kao izvor smetnji Galvanske smetnje kod istosmjernih pogona s usmjerivačima, protumjere Galvanske smetnje kod izvršnih uređaja s istosmjernim međukrugom, protumjere Galvanske smetnje kod izmjenjivača, protumjere Smetajuće polje izmjenjivača Smetajuće polje digitalnih pogona, protumjere Električni pogoni kao smetani uređaji Općenito Galvanske smetnje, protumjere Kapacitivne smetnje, protumjere Induktivne smetnje, protumjere EC pravila Projektiranje elektri nih pogona Postupak Izbor vrste pogona Izbor motora Postupak Prijenosnik Izbor motora prema mehaničkim karakteristikama Toplinski izbor motora Izbor konstrukcije motora Izbor davača

11 Sadržaj Izbor izvršnog uređaja za pogone podesive brzine vrtnje i servopogone Električki izbor izvršnog uređaja Toplinski izbor izvršnog uređaja Toplinski izbor mrežnog napajanja Izbor mrežnog dijela glede kapaciteta međukruga Izbor kočnog čopera i kočnog otpornika Izbor opcija učinskih komponenata Opcije elektroničkih sklopova, pribor i pribor za spajanje Primjer izbora Podaci o primjeni Izbor Uklanjanje kvarova, smetnji i pogre aka kod elektri nih pogona Izbjegavanje i uklanjanje kvarova ogući kvarovi kod električnih pogona Kvar motora Kvar davača Kvar izvršnog uređaja Kvar napojne mreže Komunikacijski kvar EC problemi Projektne pogreške Pogreške parametriranja Dojava kvarova kod električnih pogona Kazalo

12 1. Ukratko o elektri nim pogonima 1.1. Povijesni pregled elektri nih pogona Električni pogoni pretvaraju električnu energiju u mehaničku i posreduju između električne mreže kao izvora energije i radnog stroja kao trošila energije. tok energije u motornom radu električna mreža električni pogon radni stroj tok energije u generatorskom radu Sl Električni pogon kao posrednik između električne mreže i radnog stroja Zbog svojega središnjeg položaja u protoku energije, električni pogoni su postali ključne komponente u industrijskim primjenama, ali i u transportu i širokoj potrošnji. Oni su potaknuli tehnički razvoj u mnogim područjima, ali su i sami bili objekt brojnih razvojnih koraka. Ključna je komponenta svakoga električnog pogona električni motor. Temelji se na prirodnim zakonima koji su otkriveni početkom XIX. stoljeća. Tako je godine Hans Christian Oerstedt otkrio da magnetska igla skreće u blizini žice kroz koju teče struja. Iste godine André arie Ampère otkriva osnovni zakon o međudjelovanju između električne struje i magnetskog polja. Ta otkrića dovela su do razvoja velikog broja "elektromagnetskih strojeva", no bila su male praktične važnosti jer tada još nisu bili dostupni energetski električni izvori. Struja se dobivala jedino iz galvanskih ćelija, što je sprječavalo široku primjenu tih "strojeva". Oni nisu mogli zamijeniti tadašnji parni stroj i različite vrste plinskih i benzinskih motora. temeljna otkrića na kojima se zasnivaju električni strojevi:

13 1. Ukratko o električnim pogonima Znatan napredak dogodio se godine kada je ichael Faraday otkrio elektromagnetsku indukciju. Taj učinak odmah je iskorišten za izgradnju generatora. Godine Werner von Siemens izumio je dinamo stroj 1. Dinamo je istosmjerni generator; on se koristi zaostalim magnetskim tokom u polovima za induciranje u armaturi niskog napona dovoljnog za početni porast struje uzbude. Struja uzbude raste kumulativno tako da generator "zanjiše" do pune snage. Ti su generatori preteče suvremenih elektromotora. Sl Elektromotor po oritz Hermann Jacobiju, Foto: Deutsches useum ünchen prijenos električne energije: Glavni tehnički problem krajem XIX. stoljeća bio je kako dovesti male količine energije do radnih strojeva u obrtničkim i profesionalnim pogonima. Uporaba parnih strojeva bila je skupa i nije svuda iz sigurnosnih razloga bila moguća. Stoga su se proširili plinski motori. No, počeli su im konkurirati dinamo strojevi svojim daljnjim razvojem i stalnim poboljšanjima. Koristila su se dva električki spojena dinamo stroja. Prvi je stroj radio kao generator, a drugi kao motor. Na taj način mogla se električna energija proizvesti na jednom mjestu, zatim prenijeti na veću udaljenost te na mjestu na kojem je to bilo potrebno ponovno pretvoriti u mehaničku energiju. Takav spoj dvaju strojeva zamijenjivao je mehanički prijenos energije. Težište primjene bile su električne lokomotive i tramvaji, ali i prvi pogoni radnih strojeva (npr. tkalački stan). Godine prvi se put pojavio naziv 'elektromotor' u jednom prodajnom katalogu. Godine opisane su prednosti elektromotora u usporedbi s parnim strojevima i plinskim motorima na sljedeći način: 1 Zastarjeli naziv koji se još rabi samo za istosmjerne generatore u cestovnim i pružnim vozilima. (prim. prev.) 16

14 2. ehani ke osnove Električni pogoni daju radnom stroju mehaničku energiju. Za opisivanje toka mehaničke energije i s njom povezanog gibanja služe fizikalne veličine i zakonitosti translacije i rotacije. U sljedećim tablicama sažet je pregled tih fizikalnih veličina i zakonitosti. Tablica 2.1. Veličine i jednadžbe translacije Veličina Oznaka Jednadžba Znak Objašnjenje m d = m/s d Brzina dobiva se iz promjene puta d u vremenu d. d m/s 2 Ubrzanje dobiva se iz promjene brzine = d d u vremenu d. kg F F = N (kg m/s 2, njutn) P P = F W (vat) Trenutačna snaga P dobiva se iz umnoška trenutačne sile F i trenutačne brzine. η P 2 η = P 1 Djelotvornost η dobiva se iz omjera predane (P 2 ) i dovedene snage (P 1 ). Tablica 2.2. Veličine i jednadžbe rotacije Veličina Oznaka Jednadžba Znak Objašnjenje φ Zadaje se u kutnoj mjeri. Kut od 2π odgovara 360. dφ ω ω = /s d Kutna brzina ω dobiva se iz promjene kuta dφ u vremenu d. dω α 1/s 2 Kutno ubrzanje α dobiva se iz promjene α = d kutne brzine dω u vremenu d. = F Nm Okretni moment opisuje djelovanje sile na kraju poluge duljine. 29

15 2. ehaničke osnove Tablica 2.2. Veličine i jednadžbe rotacije (nastavak) Veličina Oznaka Jednadžba Znak Objašnjenje Okretni moment potreban za kutno dω J = J kg m 2 ubrzanje dω/d dobiva se množenjem d momenta tromosti J i kutnog ubrzanja. P P = ω W (vat) Trenutačna vrijednost P umnožak je trenutačne vrijednosti okretnog momenta i trenutačne vrijednosti kutne brzine ω. η P 2 η = P 1 Djelotvornost η omjer je predane P 2 i dovedene P 1 snage. ω = Hz (Herc) 2π 1 = -- s = 60 (u Hz) okr/min Frekvencija daje broj titraja u jedinici vremena. Trajanje periode recipročna je vrijednost frekvencije., 1 =

16 3. Elektrotehni ke osnove 3.1. Elektri ko i magnetsko polje u elektrotehnici Kod električnih pogona koriste se svojstva električnog i magnetskog polja. Polje je prostor čija je značajka djelovanje sila na tijela i čestice. Za kvalitativno opisivanje djelovanja sile koristi se slikovni prikaz polja. Sila djeluje tangencijalno na tzv. silnice. Sila je to veća, što su silnice bliže jedna drugoj. U elektrotehnici je od iznimne važnosti električno i magnetsko polje (druga su polja npr. gravitacijsko polje i zvučno polje). Oba polja koriste se kod električnih pogona. Električko polje opisuje prostor u kojem djeluje sila na električne nosioce naboja (sl. 3.1.). Ta sila prouzročena je samim nosiocima naboja. Nosioci naboja mogu biti ili pozitivni ili negativni. Vrijedi: električno polje istoimeni naboji se odbijaju raznoimeni naboji se privlače. silnice sila na pozitivni naboj je tangencijalna na silnice a U ab b pozitivni naboj negativni naboj Sl Električno polje Ako se nosioci naboja unesu u električno polje, oni se počinju gibati i stvaraju električnu struju. Elektri nu struju čini broj nosilaca naboja koji u određenom vremenskom intervalu prijeđu put od točke a do točke b. Pri kretanju, ovisno o smjeru kretanja, naboji dobivaju ili daju energiju. 31

17 3. Elektrotehničke osnove Elektri ni napon opisuje električno polje na skalarni način. ože se interpretirati kao mjera za energiju nosilaca naboja na različitim mjestima električnog polja. Energija nekog nosioca naboja dobije se dijeljenjem električnog napona s električnim nabojem tog nosioca. magnetsko polje agnetsko polje opisuje prostor u kojem djeluje sila na magnetična tijela (slika 3.2.). Tako se, primjerice, magnetska igla usmjeruje u magnetskom polju. magnetsko polje Zemlje magnetsko polje svitka protjecanog strujom i magnetska igla silnice idu od geografskoga južnog pola do geografskoga sjevernog pola Sl agnetsko polje agnetsko polje može se stvoriti na dva različita načina: Kod prirodnog magnetizma magnetsko je polje svojstvo tvari. Određeni materijali, kao primjerice tvrdi magnetski materijali (tvrdomagnetsko željezo), okruženi su magnetskim poljem. Umjetno magnetsko polje nastaje gibanjem električnih nosilaca naboja (tok električne struje), primjerice u nekom električkom vodiču. Svi vodiči protjecani strujom su okruženi takvim magnetskim poljem. Obje varijante stvaranja magnetskog polja koriste se kod elektromotora. Kod motora magnetsko polje vodi se kroz magnetske krugove sastavljene od željeza. Zračni putovi i zračni razmaci projektiraju se što je moguće kraćima jer oslabljuju magnetsko polje. Naprotiv, željezo pojačava magnetsko polje. Načelno razlikujemo mekomagnetsko i tvrdomagnetsko željezo (slika 3.3.): ekomagnetsko eljezo tako je dugo magnetizirano dok se nalazi u vanjskom magnetskom polju. Ako nestane vanjsko magnetsko polje (npr. isključenjem struje koja ga je stvorila), željezo nije više 32

18 4. Pogoni konstantne i podesive brzine vrtnje s istosmjernim motorima 4.1. Istosmjerni pogoni Središnji je dio istosmjernog pogona istosmjerni motor (sl. 4.1.). otor se napaja istosmjernom strujom, pa je posljedično tome nastao naziv istosmjerni pogoni za tu skupinu pogona. I u slučaju da je istosmjerna struja valovita, govori se o istosmjernom pogonu. struktura istosmjernih pogona Istosmjerni pogoni i danas se uvelike primjenjuju u industriji, ali ih sve više potiskuju izmjenični pogoni. mali istosmjerni pogon 24 VDC istosmjerni pogon mreža nadređeno upravljanje nadređeno upravljanje sklopni i zaštitni uređaji izvršni uređaj izvršni uređaj signalna elektronika za upuštanje i nadzor upuštač signalna elektronika s regulatorom i sklopovima za nadzor usmjerivač stvarna struja cjelina: motor prijenosnik temperatura motora stvarna brzina vrtnje G davač na motoru kočnica motor Sl Struktura istosmjernog pogona U području manjih snaga (< 500 W) općenito je na raspolaganju istosmjerni napon od 24 V. Korištenjem tog napona profitiraju gotovo svi mali strojevi i pogoni. S motorima sa stalnim magnetima i vrlo jednostavnim izvršnim uređajima mogu se ostvariti cijenom vrlo povoljni mali pogoni. 39

19 4. Pogoni konstantne i podesive brzine vrtnje s istosmjernim motorima U području većih snaga (> 100 kw) regulirani istosmjerni pogoni još uvijek su nadmoćni glede cijene i izvedbene veličine izvršnog uređaja današnjim trofaznim pogonima. Stoga se istosmjerni pogoni i danas primjenjuju u valjačkim prugama, kranskim pogonima i dizalima. Ti pogoni imaju sofisticirane regulacijske i nadzorne funkcije. Na većim snagama primjenjuju se istosmjerni motori s nezavisnom uzbudom. Ne manje važna je i primjena istosmjernih pogona u mnogim drugim strojevima i pogonima. Budući da se ti strojevi i pogoni moraju održavati, tehničari u industriji još uvijek nužno moraju poznavati istosmjerne pogone. Regulacija istosmjernih pogona općenito je dobro i lako razumljiva. Zato su dobro polazište u svijet reguliranih elektromotornih pogona Istosmjerni motor Na elo rada Sl Istosmjerni motor petlja vodiča protjecana strujom Načelo rada istosmjernih motora najbolje je rastumačiti s pomoću strujom protjecane petlje vodiča koju smo već susreli u trećem poglavlju. Okretno uležištena petlja vodiča nalazi se u magnetskom polju. Narine li se na krajeve petlje vodiča istosmjerni napon, kroz nju poteče struja. Pri tome je smjer struje u oba uzdužna vodiča suprotan (sl. 4.3.). Dakle, na oba duža vodiča djeluju dvije jedna prema drugoj suprotne komponente Lorentzove sile. Te dvije komponente prouzročuju rotacijsko gibanje petlje vodiča. 40

20 5. Pogoni konstantne i podesive brzine vrtnje s asinkronim motorima 5.1. Pogoni s asinkronim motorima struktura pogona s asinkronim motorom Asinkroni motor, već prema izvedbi, napaja se izmjeničnim naponom iz jednofazne ili trofazne mreže. ože se izravno priključiti na energetsku razdjelnu mrežu. Jednostavno se instalira. Osim toga cijena mu je vrlo prihvatljiva i ne traži održavanje. Pogoni s asinkronim motorima stoga su vrlo rasprostranjeni, a u industrijskoj primjeni najčešća su vrsta pogona. Razvojem mikroprocesorske tehnike postalo je moguće jeftino ostvariti složene regulacijske algoritme nužne za pogone s asinkronim motorima. Danas su na raspolaganju regulirani pogoni s asinkronim motorima koji glede točnosti i dinamike ne zaostaju za istosmjernim pogonima. Pogoni s asinkronim motorima potpuno pokrivaju područje od pogona konstantne brzine vrtnje do pogona podesive brzine vrtnje i to u vrlo finoj gradaciji regulacijskih svojstava. Slika 5.1. prikazuje strukturu pogona s asinkronim motorima. pogon konstantne brzine vrtnje mreža pogon konstantne brzine vrtnje s upuštačem mreža pogon podesive brzine vrtnje mreža sklopni i zaštitni uređaji nadređeno upravljanje sklopni i zaštitni uređaji nadređeno upravljanje sklopni i zaštitni uređaji izvršni uređaj izvršni uređaj signalna elektronika za upravljanje zaletom i sklopovima za nadzor upuštač signalna elektronika s regulatorom i sklopovima za nadzor stvarna struja pretvarač 3~ motor 3~ motor temperatura motora stvarna brzina vrtnje G davač na motoru kočnica 3~ motor Sl Struktura pogona s asinkronim motorima 68

21 5.2. Asinkroni motor Područje snaga pogona s asinkronim motorima počinje otprilike kod 100 W i doseže u megavatno područje. U području malih snaga jedva da su i zastupljeni. U području manjih snaga (< 500 W) i za jednostavne primjene asinkroni motori spajaju se izravno na jednofaznu ili trofaznu mrežu; to su pogoni konstantne brzine vrtnje. U području većih snaga najmanje što treba je uređaj za upuštanje (tzv. upuštač) koji ograničuje struju zaleta. Ta je struja zaleta velika u usporedbi s nazivnom strujom motora. Ograničenjem struje zaleta izbjegava se naponski propad u energetskoj razdjelnoj mreži. područje uporabe Pogoni podesive brzine vrtnje s asinkronim motorima upotrebljavaju se za sve snage. Već prema zahtjevima na točnost i stabilnost dolaze u obzir frekvencijski pretvarači s različitim regulacijskim algoritmima. Pogoni s asinkronim motorima upotrebljavaju se i kao servopogoni Asinkroni motor Na elo rada Sl Trofazni asinkroni motor Asinkroni motori dolaze u različitim izvedbama. Prema broju faza napona napajanja razlikuju se jednofazni i trofazni motori. Trofazni motori dijele se na motore s kratko spojenim rotorom i na motore s kliznokolutnim rotorom 10 (sl. 5.3.). otori s kliznokolutnim rotorom potrebni su u području velikih snaga za posebne primjene (npr. za vjetroelektrane) te se ovoj knjizi neće više spominjati. Najrašireniji tip motora asinkroni je motor s kratko spojenim rotorom (kaveznim rotorom). Sva daljnja razmatranja odnose se na taj motor. Sustav namota asinkronog motora raspoređen je na statoru. Asinkroni motor s kratko spojenim rotorom ne treba za prijenos energije na rotor mehaničke kontakte kao što treba istosmjerni motor. Tako praktički ne treba održavanje. razredba trofazni asinkroni motor s kratko spojenim rotorom 10 Rotor ima klizne kolute odnosno klizne prstenove. 69

22 6. Servopogoni 6.1. Struktura i podru je primjene Servopogoni su posebna izvedenica pogona podesive brzine vrtnje. Njihova glavna karakteristika nije samo u podesivosti brzine vrtnje nego i u dinamici mijenjanja brzine vrtnje. značenje dinamike Promotrimo opću jednadžbu rotacijskog gibanja: m = dω J d t i preoblikujmo je tako da je na lijevoj strani kutno ubrzanje dω/dt: dω d ( m t ) = J Kutno ubrzanje je to veće što je: manji moment tromosti J veći i dinamičniji narinuti okretni moment motora m veća preopteretivost motora i izvršnog uređaja te mehanički kruća konstrukcija motora (kratko i jako vratilo). Servomotori su stoga projektirani s malim momentom tromosti i velikim udarnim okretnim momentom. Izvršni uređaj servopogona dinamički utiskuje u namote motora zahtijevanu struju za stvaranje okretnog momenta. Stoga se uvijek sastoje od jednog servomotora i od jednoga izvršnog uređaja. Servomotori imaju davač položaja odnosno brzine vrtnje, potreban za postizanje zahtijevane točnosti gibanja. Kod velikih udaraca opterećenja, kakvi nastaju pri ubrzanju i kočenju, dolazi do jakog zagrijavanja motora. Visokovrijedni motori stoga imaju ugrađenu jednu ili više temperaturnih sondi. Podaci temperaturnih sondi obrađuju se u izvršnom uređaju. Ako je potrebno, izvršni uređaj smanjuje opterećenje. Za primjene s visećim teretima (npr. roboti) neizostavno je potrebna sigurnosna kočnica. struktura servopogona Sve komponente pogona treba međusobno pažljivo uskladiti (sl. 6.1.). Zbog toga se servopogoni većinom naručuju u kompletu od jednog proizvođača. 129

23 6. Servopogoni servopogon s istosmjernim motorom mreža servopogon s trofaznim motorom mreža nadređeno upravljanje gibanjem sklopni i zaštitni uređaji nadređeno upravljanje gibanjem sklopni i zaštitni uređaji servouređaj servouređaj signalna elektronika s regulatorom i nadzorom čoper signalna elektronika s regulatorom i nadzorom pretvarač stvarna struja stvarna struja stvarna brzina vrtnje G temperatura motora davač na motoru kočnica servomotor stvarna brzina vrtnje G temperatura motora davač na motoru kočnica 3~ servomotor Sl Struktura servopogona radno područje primjene Servopogoni su u osnovi četverokvadrantni pogoni. U oba smjera vrtnje mogu se ubrzavati u motornom radu, a kočiti u generatorskom radu. Glede okretnog momenta kratkotrajno su preopteretivi 2 do 3 puta. Servopogoni se koriste u primjenama u kojima se traži složen i dinamičan tijek gibanja, kakve prije svega dolaze kod strojeva za obradu i preradu. Tipična su područja primjene: alatni strojevi za obradu drva i metala roboti pakirni strojevi tiskarski strojevi strojevi za injekcijsko lijevanje (injekcijske ljevalice) tkalački strojevi. Glavni raspon snaga servopogona je od ~50 W do ~20 kw. Prodiru i u područje većih snaga, u primjene koje su dosada zauzimali klasični pogoni podesive brzine vrtnje s asinkronim motorima. Predaja snage kod servopogona neuobičajena je. Bitna je karakteristika okretni moment. Kod većine primjena okretni je moment od 0,15 Nm do 50 Nm. No, nude se i servomotori od nekoliko kilonjutna. 130

24 7. Kora ni pogoni 7.1. Struktura i podru je primjene Koračni su pogoni posebna izvedenica servopogona. Upravljani su i koriste se za vođenje gibanja. To znači da koračni pogoni nemaju zatvoreni regulacijski krug struje, brzine vrtnje i položaja. Time su doduše slabije dinamike i robustnosti na poremećajne veličine, ali zato povoljnije cijene i jednostavnijeg rukovanja. struktura Koračni pogoni sastavljeni su od koračnog motora i izvršnog uređaja (sl. 7.1.). Koračnim motorom upravlja se slijedom impulsa struje; jednofazno ili višefazno. Svaki impuls zakrene motor za određeni kutni korak. Impulsi struje generiraju se u izlaznom stupnju izvršnog uređaja. Potrebne kutne korake zadaje nadređeni uređaj za upravljanje gibanjem. Postavna vrijednost pozicije prenosi se inkrementalno slijedom impulsa u izvršni uređaj iz nadređenog uređaja za upravljanje gibanjem. mreža nadređeno upravljanje gibanjem sklopni i zaštitni uređaji impulsni niz izvršni uređaj ispravljač signalna elektronika izlazni stupanj koračni motor Sl Struktura koračnog pogona 190

25 7.2. Razredba koračnih pogona prema vrsti motora Koračni motori mogu pozicionirati bez povratne veze davača na točnost duljine koraka. U tom slučaju pozicioniranje je u biti upravljanje. Zbog toga se pogon ne smije preopteretiti ili pretjerano ubrzati. U protivnom nastaje tzv. gubitak koraka ili se motor jednostavno ne pomakne. Zato se u nekim primjenama postignuta pozicija dodatno nadzire davačem položaja to umanjuje prednosti koračnih pogona. Koračni su pogoni 4-kvadrantni pogoni. U oba smjera vrtnje mogu se motorno ubrzavati i generatorski kočiti. eđutim, praktički nisu preopteretivi. To ih razlikuje od konvencionalnih servopogona. Koračni motori ugrađuju se u raznolike troškovno osjetljive primjene pozicioniranja u nižem području snaga. Koračni pogoni prije svega obavljaju doturna gibanja u strojevima za obradu i preradu te u strojevima za ispis podataka (ploteri, pisači). Koračni su pogoni osim toga uvelike rašireni u gradnji uređaja i aparata za jednostavne primjene pozicioniranja. Treba primijetiti da sve više i više servopogona sa sinkronim motorima prodire u domenu koračnih motora i u području manjih snaga. eđutim, ne treba očekivati da će izvorni servopogoni uvelike zamijeniti koračne pogone. primjene Koračni motori daju okretni moment do 5 Nm Razredba kora nih pogona prema vrsti motora Razredbu koračnih motora najlakše je izvršiti prema vrsti primijenjenog motora (sl. 7.2.). koračni motori koračni motor sa stalnim magnetima reluktantni koračni motor hibridni koračni motor Sl Razredba koračnih motora prema vrsti motora Koračni motori zasnivaju se na tri načela: Kora ni motor sa stalnim magnetima je pravi sinkroni motor. Ima relativno grub korak. Reluktantni kora ni motor ima rotor od mekog željeza i manje zuba od statora. ože se postići vrlo sitan korak. eđutim, danas su reluktantni koračni motori vrlo rijetki. 191

26 8. Kratak pregled elektri nih pogonskih sustava 8.1. Od pogona do pogonskog sustava Sustav je tvorevina čije su komponente u međusobnoj interakciji te u cjelini čine funkcionalnu jedinicu. Komponente sustava imaju određenu funkciju i međudjeluju putem svojih sučelja. Tim međudjelovanjem postiže se nova, viša funkcionalnost. Sustav se može bitno razgraničiti od okoline (od drugih sustava) definiranjem prikladnih granica. Tako se može modelirati i odvojeno analizirati. Sustav se može promatrati ili na makrorazini ili na mikrorazini; na makrorazini promatra se kao cjelina, a na mikrorazini promatraju se pojedine komponente. Električni pogoni sastavljeni su od tipičnih sustavnih komponenti od elektromotora i od izvršnog uređaja. Ovisno o složenosti, sustav je proširen drugim komponentama kao što su davač, kočnica, prijenosnik i sl. Te komponente sustava u uskoj su međusobnoj vezi i utječu jedna na drugu. Stoga je, u skladu s definicijom sustava, svaki električni pogon već jedan sustav. Kod odvojenog promatranja komponenti pogona, ističu se njihove karakteristike glede sustava. I elektromotor i izvršni uređaj sami su po sebi već sustavi. Pretpostavka analize pogonskih sustava stoga daje jasnu definiciju njegovih sastavnih komponenti. U okviru ove knjige električni pogonski sustav sustav je koji ima jedan električni pogon i povezan je s drugim komponentama sustava. Druge komponente sustava mogu biti ostali pogoni, uređaji za automatizaciju, komunikacijske mreže, radni strojevi, energetske razdjelne mreže itd. Što je sustav? sustavi kod električnih pogona izmjena energije i informacija na sučeljima pogonskog sustava Pogonski sustav služi za obavljanje određene funkcije. Pri projektiranju te funkcije utvrđuju se sudjelujuće komponente sustava i njihove međusobne veze. Između pogona i drugih komponenata sustava odvija se izmjena energije i informacija (sl. 8.1.). Izmjena materijala koja postoji u mnogim drugim sustavima ne postoji kod električnih pogonskih sustava. Izmjena materijala, ovisno o primjeni, odvija se u radnom stroju, pa je ne treba analizirati u okviru pogonskog sustava. 203

27 8. Kratak pregled električnih pogonskih sustava nadređeno upravljanje mreža energija informacije električni pogon sklopni i zaštitni uređaji izvršni uređaj signalna elektronika s regulatorom i sklopovima za nadzor učinski dio energija električni pogon G davač na motoru informacije kočnica motor prijenosnik energija stvarni položaj radni stroj G davač na radnom stroju Sl Interna sučelja energetskih i informacijskih tokova pogona Razmatranje električnih pogonskih sustava treba provesti s dvije točke gledišta: razmatranjem funkcionalnosti i odvojenim razmatranjem sučelja između komponenti sustava. funkcionalno gledište na sustav odnosi između komponenti sustava Pri razmatranju s funkcionalnog gledišta ustanovljuje se koje su komponente potrebne za tipične zadaće automatizacije i koje zadaće obavljaju pojedine komponente. Razmatranje započinje od činjenice da je električni pogon središnja komponenta sustava. Ona u najmanju ruku preuzima funkciju jednostavnog podešivača brzine vrtnje. U pogonskim sustavima mnogostruko se isprepliću energetski i informacijski tokovi. Stoga se pri razmatranju sučelja u nekom pogonskom sustavu pobliže razmatraju odabrani odnosi među komponentama sustava. Ti odabrani odnosi željeni su odnosi. Njih treba probitačno iskoristiti. Pored željenih odnosa postoje i neželjeni odnosi (npr. EC) koje treba što je moguće više potisnuti. 204

28 9. Komunikacijske sabirnice za elektri ne pogone 9.1. Svrha i na elo rada svrha uvođenja komunikacijskih sabirnica U modernim strojevima i sustavima rješenja automatizacije imaju sljedeće značajke: povećani broj senzora i aktuatora decentralizacija komponenata i povećana "inteligencija" komponenata. U klasičnim rješenjima automatizacije postoji središnje upravljanje pojedine "inteligentne" komponente na koje se dovode svi statusi signala i stvarne vrijednosti te iz kojeg se odvode svi upravljački signali i postavne vrijednosti. U današnjim je rješenjima "inteligencija" raspodijeljena te je često smještena na lokalnoj razini unutar stroja izvan središnjeg ormara, npr. u decentraliziranim pogonima (sl. 9.1.). S tim je razvojem povezano kvantitativno i kvalitativno povećanje razmijenjenih signala. To posebno dolazi do izražaja kada se uzme u obzir velik broj dijagnostičkih informacija koje su potrebne za praćenje takvoga rješenja automatizacije. Da bi se trošak instalacija i ožičenja unutar potrebnog prostora zadržao u razumnim granicama, razmjena podataka mora se odvijati preko komunikacijske sabirnice. Ožičenje pojedinih signala, zbog njihove ko- konvencionalno ožičenje komunikacijska sabirnica PLC, regulator procesa, kontroler gibanja korisnički uređaji, vizualizacijski sustavi PLC, regulator procesa, kontroler gibanja korisnički uređaji, vizualizacijski sustavi pojedinačno ožičenje komunikacijska sabirnica S S S S S S S S pogoni, aktuatori, senzori pogoni, aktuatori, senzori Sl Od pojedinačnog ožičenja do komunikacijske sabirnice 214

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Primjene motora novih tehnologija

Primjene motora novih tehnologija Program stručnog usavršavanja ovlaštenih inženjera elektrotehnike ELEKTROTEHNIKA - XVII tečaj Nove tehnologije električnih postrojenja Primjene motora novih tehnologija mr sc Milivoj Puzak dipl. ing. viši

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRIČNI AKTUATORI Ak. god. 2011/2012.

ELEKTRIČNI AKTUATORI Ak. god. 2011/2012. FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA www.fer.hr/predmet/eleakt_a ELEKTRIČNI AKTUATORI Ak. god. 2011/2012. Modul: Automatika Predavanja: Prof. dr. sc. Ivan Gašparac Auditorne vježbe: Laboratorij: Goran

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Ovisnost ustaljenih stanja uzlaznog pretvarača 16V/0,16A o sklopnoj frekvenciji

Ovisnost ustaljenih stanja uzlaznog pretvarača 16V/0,16A o sklopnoj frekvenciji Ovisnost ustaljenih stanja uzlaznog pretvarača 16V/0,16A o sklopnoj frekvenciji Električna shema temeljnog spoja Električna shema fizički realiziranog uzlaznog pretvarača +E L E p V 2 P 2 3 4 6 2 1 1 10

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Fazne i linijske veličine Trokut i zvijezda spoj Snaga trofaznog sustava

Fazne i linijske veličine Trokut i zvijezda spoj Snaga trofaznog sustava 7 TROFAZNI SUSTA Fazne i linijske veličine Trokut i zvijezda soj Snaga troaznog sustava Fourierova analiza 7.1. Troazni sustav Elektrorivredne tvrtke koriste troazne krugove za generiranje, rijenos i razdiobu

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROMOTORNI POGONI S IZMJENIČNIM MOTORIMA

ELEKTROMOTORNI POGONI S IZMJENIČNIM MOTORIMA FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ELEKTROMOTORNI POGONI ELEKTROMOTORNI POGONI S IZMJENIČNIM MOTORIMA Modul: Elektroenergetika Predavanja: Prof. dr. sc. Drago Ban Prof.dr.sc. Ivan Gašparac ZAVOD ZA

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa Tranzistori s efektom polja Spoj zajedničkog uvoda U ovoj vježbi ispitujemo pojačanje signala uz pomoć FET-a u spoju zajedničkog uvoda. Shema pokusa Postupak Popis spojeva 1. Spojite pokusni uređaj na

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRONIKA ZABILJEŠKE S PREDAVANJA. literaturi, ovo su samo bitne natuknice

ELEKTRONIKA ZABILJEŠKE S PREDAVANJA. literaturi, ovo su samo bitne natuknice BRODSKA ELEKTROTEHNIKA I ELEKTRONIKA ZABILJEŠKE S PREDAVANJA Napomena: kompletno gradivo je u literaturi, ovo su samo bitne natuknice TROFAZNI SUSTAV Potreba za izmjeničnim strujama proistječe iz distribucije

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1 Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),

Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ), Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel. Zdenko Novak 1. UVOD

VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel. Zdenko Novak 1. UVOD 10.2012-13. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel Zdenko Novak TEHNIČKA SREDSTVA U CESTOVNOM PROMETU 1. UVOD 1 Literatura: [1] Novak, Z.: Predavanja Tehnička sredstva u cestovnom prometu, Web stranice Veleučilišta

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

4. Regulacija AM u KSP V. Ambrožič: Izabrana predavanja iz UEMP, TF Rijeka 4. VEKTORSKA REGULACIJA ASINKRONOG MOTORA

4. Regulacija AM u KSP V. Ambrožič: Izabrana predavanja iz UEMP, TF Rijeka 4. VEKTORSKA REGULACIJA ASINKRONOG MOTORA 4. VEKTORSKA REGULACIJA ASINKRONOG MOTORA 4.1 Regulacija istosmjernog stroja s neovisnom uzbudom ε mikroračunalo i/ili upravljačka elektronika energetski sklop motor ω α ω regulator brzine α* i * α regulator

Διαβάστε περισσότερα

Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan

Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

TOLERANCIJE I DOSJEDI

TOLERANCIJE I DOSJEDI 11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada

Διαβάστε περισσότερα

Prof.dr.sc. Jasmin Velagić. Kolegij: Aktuatori

Prof.dr.sc. Jasmin Velagić. Kolegij: Aktuatori Lekcija 2 Električki strojevi Prof.dr.sc. Jasmin Velagić Elektrotehnički fakultet Sarajevo Kolegij: Aktuatori 2.1. Električki strojevi Koriste se kao izvršni članovi za pokretanje radnih mehanizama. Prema

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRODINAMIKA ELEMENTI STRUJNOG KRUGA IZVOR ELEKTRIČNE ENERGIJE

ELEKTRODINAMIKA ELEMENTI STRUJNOG KRUGA IZVOR ELEKTRIČNE ENERGIJE ELEKTRODINAMIKA ELEKTRIČNA STRUJA I PRIPADNE POJAVE ELEMENTI STRUJNOG KRUGA Strujni krug je sastavljen od: izvora u kojemu se neki oblik energije pretvara u električnu energiju, spojnih vodiča i trošila

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Elektron u magnetskom polju

Elektron u magnetskom polju Quantum mechanics 1 - Lecture 13 UJJS, Dept. of Physics, Osijek 4. lipnja 2013. Sadržaj 1 Bohrov magneton Stern-Gerlachov pokus Vrtnja elektrona u magnetskom polju 2 Nuklearna magnetska rezonancija (NMR)

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

INDUCIRANJE TROFAZNOG NAPONA

INDUCIRANJE TROFAZNOG NAPONA SINKRONI STROJEVI generatori od najmanjih do najvećih snaga motori za snage reda MW i više (dobar η, vrtnja definirana f mreže i brojem pari polova) generatori i motori - jednake izvedbe - razlika u smjeru

Διαβάστε περισσότερα

10. BENZINSKI MOTOR (2)

10. BENZINSKI MOTOR (2) 11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel Zdenko Novak 10. BENZINSKI MOTOR (2) 1 Sustav ubrizgavanja goriva Danas Otto motori za cestovna vozila uglavnom stvaraju gorivu smjesu pomoću sustava za ubrizgavanje

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRIČNE MAŠINE Sinhrone mašine

ELEKTRIČNE MAŠINE Sinhrone mašine ELEKTRIČNE MAŠINE Sinhrone mašine Uvod Sinhrone mašine predstavljaju mašine naizmenične struje. Koriste se uglavnom kao generatori električne energije naizmenične struje, te stoga predstavljaju jedan od

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα