Teoretične osnove za poučevanja naravoslovja za 6. in 7. razred devetletke

Transcript

1 Teoretične osnove za poučevanja naravoslovja za 6. in 7. razred devetletke T. Kranjc, PeF 6. marca 2009 Kazalo 1 Modul 7: Svetloba in slike Uvod Odboj svetlobe 2 3 Lomni zakon Popolni (totalni) odboj Planparalelna plast Prizma 7 5 Zrcala Ravna zrcala Krogelna zrcala Leče Zbiralna leča Razpršilna leča Optične priprave Oko Lupa Daljnogled Mikroskop

2 1 Modul 7: Svetloba in slike 1.1 Uvod V geometrijski optiki se ne menimo za uklon in interferenco. Pri podrobnem opazovanju meje svetlobnega curka niso preme. V geometrijski optiki pa obravnavamo curke kot preme in vzamemo, da se odbijajo po odbojnem zakonu in lomijo po lomnem. Pri tem označujemo curke z žarki (pri širokih curkih zaznamujejo žarki meje curka, pri ozkih žarkih pa osi). Žarki so osnovno pomagalo geometrijske optike. Z žarki, ki so nam pomenili pravokotnice na valovne ploskve (slika 1), se žarki geometrijske optike ujemajo le, če se ni treba ozirati na uklon. Slika 1: Ravno valovanje, ki se širi proti desni. Žarki so ravne črte, pravokotne na valovne ploskve. Žarki vedno kažejo v smeri razširjanja valovanja. Geometrijska optika je uporaben približek, dokler ostanemo pri razsežnostih, ki so zelo velike v primerjavi z valovno dolžino svetlobe (slika 2). Prehod iz valovne optike v geometrijsko naredimo, če postavimo valovno dolžino svetlobe enako nič. V tem modulu bomo ves čas delali v približku geometrijske optike. 1

3 Slika 2: Ravno valovanje z valovno dolžino λ vpada na oviro z odprtino širine d. (a) Če je λ d, ni opaznega uklona curka in meje curka so preme geometrijska optika je dober približek. (b) Ko je λ d, postane uklon pomemben, približek geometrijske optike ni več uporaben. (c) Pri λ d deluje odprtina kot točkast izvir krogelnih valov. 2 Odboj svetlobe Poskus: Slika 3: Odboj svetlobe, odbojni zakon. Na ravno zrcalo usmerimo droben curek svetlobe kakor kaže slika 3. Ob tem zasledujmo potek vpadnega in odbitega žarka. Sučimo svetilo tako, da curek vpadne svetlobe spreminja smer. Ugotovimo, da se hkrati s spreminjanjem smeri curka vpadne svetlobe spreminja tudi smer curka odbite svetlobe. Narišimo v točki, v kateri vpada curek na 2

4 zrcalo, vpadno pravokotnico. Kót med vpadnim curkom in vpadno pravokotnico imenujemo vpadni kot, kot med odbitim curkom in vpadno pravokotnico pa odbojni kot. Ugotovimo, da vedno velja odbojni zakon, ki pravi: Svetloba se na gladki ploskvi odbije tako, da je odbojni kot enak vpadnemu; vpadni žarek, odbiti žarek in vpadna pravokotnica leže v isti ravnini. Odbojni zakon ne velja le za ravna zrcala, temveč tudi za kriva zrcala in sploh za kakorkoli nagubane površine. Samo paziti moramo, da narišemo vpadno pravokotnico vedno tam, kjer pade nek žarek na površino. Če posvetimo na neravno površino z več vzporednimi tankimi curki svetlobe, odbiti curki niso več vzporedni kakor pri ravnem zrcalu. To je zato, ker imajo vpadne pravokotnice za različne curke različne smeri; zato ima tudi vsak curek svojo smer. Kadar je hrapavost površine zelo drobna, se na njej tudi tanek curek svetlobe odbija razpršeno. Saj tedaj že znotraj tankega curka vpadne pravokotnice kažejo v različne smeri. 3 Lomni zakon Poskus: Slika 4: Lom in odboj svetlobe na meji zrak-voda: (a) prehod curka iz zraka v vodo. (b) prehod curka iz vode v zrak. (c) popolni (totalni) odboj svetlobe pri prehodu iz vode v zrak. V stekleno kad nalijmo vode. S tankim curkom svetlobe (npr. iz laserske svetilke) posvetimo poševno na vodno gladino. (Da svetlobne curke vidimo, kanemo v vodo nekaj kapljic mleka, nad vodo pa zrak nekoliko zakadimo.) 3

5 Opazimo, da se svetloba na vodni gladini (na meji dveh prozornih sredstev, namreč zraka in vode) delno odbije, delno vstopi v vodo. Opazimo tudi, da je svetlobni curek v vodi bolj strm kakor v zraku. Žarki se ob prehodu iz zraka v vodo lomijo. Poskus lahko dopolnimo: svetilko potopimo v vodo in opazujemo prehajanje svetlobe iz vode v zrak. Tudi v tem primeru opazimo, da se svetlobni curki na meji sredstev lomijo in da so v vodi bolj strmi kakor v zraku. Zaznamujmo vpadni kot (tj. kot med vpadnim žarkom in vpadno pravokotnico) z α ter lomni kot, tj. kot med vpadno pravokotnico in lomljenim žarkom, z β (slika 4). Ko spreminjamo vpadni kot, se spreminja tudi lomni kot. Povezava med njima je odvisna od lomnih količnikov snovi, v katerih potuje svetloba. Pokaže se, da pri prehodu svetlobnega curka iz sredstva z lomnim količnikom n 1 v drugo sredstvo z lomnim količnikom n 2 velja lomni zakon: sinα sinβ = n 2 oziroma n 1 sinα = n 2 sinβ. n 1 Pravimo, da je sredstvo z večjim lomnim količnikom optično gostejše, sredstvo z manjšim lomnim količnikom pa optično redkejše. Iz lomnega zakona vidimo, da se svetlobni curek pri prehodu iz optično redkejšega sredstva v optično gostejše sredstvo lomi proti vpadni pravokotnici, pri prehodu iz optično gostejšega sredstva v optično redkejše pa stran od vpadne pravokotnice. Slika 5: Lom valovanja na meji dveh sredstev. Lom svetlobe je posledica tega, da je hitrost svetlobe v različnih snoveh različna. Svetlobni valovi se vedejo kakor četa vojakov, ki korakajo tako, da so njihove vrste vedno 4

6 pravokotne na smer hoje. Kaj se zgodi, ko četa vojakov s kopnega, kjer napreduje s hitrostjo c 1, zagazi v sneg, kjer vojaki korakajo z manjšo hitrostjo c 2? Če zakoraka četa na zasneženo področje v poševni smeri, potem vojaki, ki prvi zagazijo v sneg, zaostanejo. Če naj četa še vedno napreduje v smeri, ki je pravokotna na njihove vrste, mora spremeniti smer hoje (slika 5) in sicer tako, da je sinα sinβ = c 1 c 2. Ker je c 1 = c 0 /n 1 in c 2 = c 0 /n 2 (c 0 je svetlobna hitrost v vakuumu), je c 1 /c 2 = n 2 /n 1, tako da je sinα/sinβ = c 1 /c 2 = n 2 /n 1. Še drugače lahko pridemo do lomnega zakona. Imejmo dve optično različni sredstvi, v enem je svetlobna hitrost c 1, v drugem c 2. V vsakem si izberimo po eno točko. Vprašajmo se, kako se mora gibati svetlobni curek, da prepotuje pot iz ene točke v drugo v najkrajšem času. Pokaže se, da mora ubogati lomni zakon (Fermatovo načelo). Pri prehodu svetlobe iz zraka (ki ima lomni količnik 1, ) v vodo ali steklo ali kako drugo prozorno sredstvo z lomnim količnikom n lahko zapišemo lomni zakon takole: sinα sinβ = n. Saj je sedaj n 1 = 1 in n 2 = n, tako da je n 2 /n 1 = n. 3.1 Popolni (totalni) odboj Pri prehodu iz svetlobe iz optično gostejšega sredstva v optično redkejše (npr. iz vode v zrak) se svetloba lomi stran od vpadne pravokotnice. Iz svetila pod vodo (n 1 = n) padajo žarki z vodne strani na vodno gladino in se lomijo v zrak (n 2 = 1). Izračunajmo kot žarka v zraku (β), če oklepa v vodi (n = 4/3) z vpadno pravokotnico kote α = 40, 48, 49 in 50 stopinj! Iz lomnega zakona sinα/sinβ = n 2 /n 1 = 1/n dobimo sinβ = n sinα; od tod imamo: α = 40, sinβ = 0,857 in β = 59 ; α = 48, sinβ = 0,991 in β = 82 ; α = 49, sinβ = 1,0 in β = 90 ; pri α = 50 bi dobili sinβ = 1,02 toda sinus ni pri nobenem kotu večji od 1! Po lomnem zakonu za ta vpadni kot ni na razpolago nobene smeri za žarek v zraku. Ali svetloba, ki prihaja z vodne strani pod takim kotom na vodno gladino, sploh more skozi gladino? S poskusi ugotovimo, da se svetloba vse do kota 49 iz vode lomi v zrak. Ko je vpadni kot α blizu 49, poteka žarek v zraku skoraj vodoravno, β je blizu 90. Ko pa prekoračimo mejni kot (49 ), žarek v zraku izgine. Vsa svetloba se odbije 5

7 nazaj v vodo. Pojav imenujemo popolni (totalni) odboj. Vpadni kot, pri katerem se to zgodi, imenujemo mejni kot popolnega odboja. Izračunajmo mejni kot popolnega odboja za prehod iz sredstva z lomnim količnikom n 1 v sredstvo z lomnim količnikom n 2. Če naj dobimo popolni odboj, mora seveda biti n 1 > n 2. Mejni vpadni kot α 0 je določen tako, da je lomni kot (β) ravno enak 90. Tedaj je po lomnem zakonu sinα 0 /sin90 = sinα 0 = n 2 /n 1. Pri prehodu iz vode (lomni količnik n 1 = n) v zrak je sinα 0 = n 2 /n 1 = 1/n = 1/(4/3) = 3/4 in α 0 = arcsin3/4 = 49, kakor smo že ugotovili. Račun se da obrniti: z merjenjem mejnega kota lahko določimo lomni količnik. Pri prehodu svetlobe iz stekla v zrak namerimo α 0 = 41. Za mejni kot je sinα 0 = 1/n, od koder dobimo n = 1/sinα 0 = 1/sin41 = 1,52. Lomni količnik največkrat merijo na ta način. Totalni odboj se uporablja v optičnih instrumentih za spreminjanje smeri svetlobnega curka, npr. v daljnogledih, mikroskopih, v periskopih itn. (slika 6). Slika 6: Totalni odboj v prizmi. (a) Sprememba smeri žarka za 90 stopinj. (b) Žarku obrnemo smer. (c) Periskop: z dvema prizmama svetlobni curek vzporedno premaknemo. Na totalnem odboju temelji tudi vodenje svetlobe v optičnih vlaknih (slika 7). 3.2 Planparalelna plast Z vzporednim curkom svetlobe poševno posvetimo na enakomerno debelo stekleno ploščico ( planparalelno plast ) z lomnim količnikom n (slika 8). Opazimo, 6

8 Slika 7: Optični vodnik: zaradi totalnih odbojev na stenah vodnika svetloba vodnika ne more zapustiti, tudi kadar je ta ukrivljen, ampak potuje vzdolž vodnika. da je svetlobni curek, ki izhaja iz ploščice, vzporeden z vpadnim curkom, a premaknjen. To brez težav razumemo, če dvakrat zaporedoma uporabimo lomni zakon. Slika 8: Premik curka pri prehodu skozi planparalelno plast. 4 Prizma Prizmo smo že nekajkrat srečali. Newton je uporabil prizmo, da je z njo razklonil belo svetlobo na njene mavrične sestavine. Radi bi ugotovili, kako pride do razklona oz. kako se curek, ki vpada na prizmo, odkloni od prvotne smeri. Sklepamo, da je odklon svetlobnega curka (δ) odvisen od prizme (od lomnega količnika (n) snovi, iz katere je prizma, in od njene oblike) ter od vpadnega kota (α). 7

9 Zaradi enostavnosti se bomo zanimali samo za simetričen prehod curka monokromatične svetlobe skozi prizmo (slika 9). Zaznamujmo kót ob vrhu prizme s Φ (imenujemo ga lomeči kot). Izkaže se, da je pri simetričnem prehodu odklon curka najmanjši (δ min ). Kolikšen je odklon curka pri simetričnem prehodu? Če bi imela prizma enak lomni količnik kakor zrak, se curek sploh ne bi odklonil. Ker je njen lomni količnik večji, se curek odkloni; sklepamo, da tem bolj, čim večji je od lomnega količnika zraka. Torej je odklon sorazmeren z n 1. Nadalje sklepamo: če bi bil lomeči kot zelo majhen, bi bila prizma za curek skoraj kakor planparalelna plošča; curek se sploh ne bi odklonil. Sklepamo: ko se lomeči kot veča, se veča tudi odklon. Torej je odklon sorazmeren z lomečim kotom (Φ). Slika 9: Odklon curka pri simetričnem prehodu skozi prizmo. Pri zelo tanki (ploski) prizmi (Φ 1) za odklon zares dobimo δ min = (n 1)Φ. Odklon curka je odvisen od lomnega količnika; ker je ta odvisen od valovne dolžine, je tudi odklon odvisen od nje večji ko je n, večji je odklon. Slika 10 kaže odvisnost lomnega količnika od valovne dolžine; n z naraščajočo valovno dolžino pada. Zato se pri razklonu bele svetlobe na prizmi najmanj odkloni rdeča, najbolj pa vijolična svetloba. To izkoriščajo spektrometri na prizmo. 8

10 Slika 10: Lomni količnik v odvisnosti od valovne dolžine za tri snovi, kremenovo steklo, akrilno steklo in steklo brez svinca. 5 Zrcala Ko postavimo pred zrcalo svečo, skorajda ne vidimo, kje zadeva svetloba površino zrcala. Pač pa v zrcalu zagledamo svečo. Zdi se, ko da bi bila za zrcalom še ena sveča in da od nje prihaja svetloba. Pravimo, da je tam slika sveče. Za vsak predmet, ki ga postavimo pred zrcalo, dobimo zrcalno sliko. Geometrijska optika se največ ukvarja s preslikavami: Neko telo (predmet) z zrcalom ali lečo preslikamo (upodobimo) v sliko. Kako nastane zrcalna slika predmeta? Zakaj se vidimo v zrcalu? Svetloba, ki pada na predmet, se na njem razpršuje in gre z vsakega mesta narazen na vse strani. V zrcalu vidimo sliko tega mesta na predmetu tako, kakor smo prej videli sliko svetila (sveče). Slike vseh mest na predmetu dajo skupaj sliko celotnega predmeta, ki je pri ravnem zrcalu enaka kakor predmet pred zrcalom. Samo strani sta zamenjani kar je pri predmetu na levi, je pri sliki na desni in obratno (slika 11). To je povezano s simetrijo: predmet in njegova slika ležita simetrično glede na zrcalo. Taki simetriji pravimo zrcalna simetrija, zrcalo predstavlja simetrijsko ravnino. Poleg ravnih zrcal se veliko uporabljajo tudi ukrivljena zrcala. Ta imajo največkrat obliko krogelne kapice. Pravimo, da je zrcalo konveksno, če se svetloba odbija na izbočeni strani. Pri konkavnem zrcalu se svetloba odbija na vdrti strani. Primer konveksnega zrcala so prometna zrcala, primer konkavnega imamo v avtomobilskih žarometih. 9

11 Slika 11: Večina ogledal zamenja levo in desno. Ta pa zgoraj in spodaj!? 5.1 Ravna zrcala Kako nastane slika predmeta pri ravnih zrcalih? Sliki 12a in 12b sta geometrijski konstrukciji, ki kažeta upodobitev predmeta v sliko. Povedali smo že, da sliko predmeta sestavljajo slike vseh točk predmeta. Slike posameznih točk dobimo z odbojnim zakonom (slika 12a). Žarki, ki izhajajo iz neke točke (P na sliki 12a), se po odboju na zrcalu razpršijo in se nikoli ne zberejo nazaj v eno točko. Podaljški teh na zrcalu odbitih žarkov pa se zberejo v eni točki (S na sliki 12a); tam nastane slika (upodobitev) prvotne točke. Dobili smo preslikavo P S. Iz simetrije vidimo, da je razdalja predmeta P od zrcala (a) enaka razdalji slike S od zrcala (b): a = b. Če znamo preslikati eno točko, znamo preslikati ves predmet. Seveda nam ni treba risati vseh žarkov, ampak se omejimo le na nekaj zančilnih, iz katerih lahko potem povzamemo vso sliko. Na sliki 12b smo upodobili le najbolj zgornjo točko predmeta (vrh puščice). Za to zadoščata že dva žarka: eden, ki pade na zrcalo pod pravim kotom in se odbije vase, ter še en žarek mi smo ga izbrali tako, da vpada na zrcalo pri tleh. Slika nastane v presečišču podaljškov obeh žarkov. Če bi narisali več žarkov, bi se podaljški vseh sekali v isti točki v sliki upodobljene točke. Upodobitev najbolj spodnje točke bi potekala na enak način kakor upodobitev najbolj zgornje. Zgornja in spodnja točka sta skrajni točki na predmetu, vse druge so vmes; isto velja za točke slike. Na sliki 12b je prikazana upodobitev predmeta P v sliko P, za konstrukcijo katere sta nam zadoščala samo dva značilna žarka zgornje točke. Z risanjem dodatnih žarkov se lahko brez težav prepričamo, da je 10

12 Slika 12: (a) Preslikava predmeta v sliko na ravnem zrcalu. Iz točke (P) na vse strani izhajajo žarki. Na zrcalu se snop žarkov odbije; v sliki (S) se sekajo podaljški odbitih žarkov. (b) Geometrijska konstrukcija, s katero poiščemo upodobitev predmeta (P) v sliko (P ). upodobitev vsake točke predmeta določena s presečiščem podaljškov tistih žarkov, ki izhajajo iz točke predmeta in se odbijajo na zrcalu. Pri upodabljanju bomo slike predmetov opredelili s tremi osnovnimi značilnostmi: i) Ali je slika prava (realna) ali navidezna (virtualna)? ii) Ali je slika pokončna ali obrnjena? iii) Ali je slika povečana ali pomanjšana? Če se žarki, ki izhajajo iz neke točke (P), po odboju na zrcalu ali po prehodu skozi lečo vsi sekajo v eni točki (P ), je točka P prava slika točke P. Točka P je navidezna slika, če se v njej sekajo podaljški žarkov, ki izhajajo iz točke P. Kaj pomeni, da je slika pokončna ali obrnjena, povečana ali pomanjšana, povedo same besede, ki jih ni treba posebej razlagati. Za preslikave z ravnim zrcalom ugotovimo: slika je vedno navidezna (saj se sekajo podaljški žarkov), pokončna in enako velika kakor predmet. Kako lahko z očmi vidimo navidezno sliko, ki je nastala za ravnim zrcalom in ni nič drugega kakor geometrijska konstrukcija podaljškov tam, kjer v resnici sploh ni nobenih žarkov? Ko gledamo navidezno sliko, vpadajo v oko od zrcala odbiti žarki na popolnoma enak način (če odmislimo nepopolnosti zrcala), kakor če bi izhajali iz pravega predmeta, ki bi stal na mestu slike. Oko ne more ločiti pravega predmeta od navidezne slike, če v obeh primerih vpada vanj natančno 11

13 enaka svetloba (če odmislimo nepopolnosti upodobitve). Če pa je vidna informacija, ki jo prejema oko, v obeh primerih (pri pravem predmetu in pri navidezni sliki) enaka, je enak ves proces gledanja in s tem tudi vidni vtis. Kako se vidimo v ogledalu? Kako veliko mora biti ravno zrcalo, da se v njem ravno v celoti vidimo? Na sliki 13 sta prikazana dva žarka, ki vpadata v naše oko: žarek z vrha glave in žarek s stopal. Žarki z vseh drugih ( vmesnih ) delov telesa, ki dospejo do naših oči, leže v snopu med tema skrajnima žarkoma. Iz geometrijske konstrukcije je razvidno, da se ravno še v celoti vidimo v ravnem zrcalu, ki je pol tako visoko kakor mi. To je neodvisno od tega, kako daleč od zrcala stojimo. Slika 13: Kako veliko ogledalo potrebujemo, da se v njem v celoti vidimo? 12

14 5.2 Krogelna zrcala Vrnimo se h krogelnim (sfernim) zrcalom. Krogelno zrcalo dobimo, če del steklene krogelne ploskve prevlečemo s kovinsko plastjo. Pri konkavnem (vbočenem, zbiralnem) zrcalu je predmet na vdrti strani, pri konveksnem (izbočenem, razpršilnem) zrcalu pa je predmet na izbočeni strani. Središče krogle, katere del je zrcalo, imenujemo krivinsko središče, radij krogle pa krivinski radij. Premica, ki gre skozi krivinsko središče in teme krogelnega zrcala, se imenuje optična os. Konkavno krogelno zrcalo Posvetimo na konkavno krogelno zrcalo s curkom vzporednih žarkov, ki tečejo vzporedno z optično osjo. Žarki se na zrcalu odbijejo po odbojnem zakonu in pokaže se, da se vsi sekajo v eni točki na optični osi (slika 14). (To dobro velja le za darke, ki tečejo blizu optične osi.) To točko imenujemo gorišče in zaznamujemo z F. Lega gorišča je seveda odvisna od krivinskega radija (r) zrcala. Dá se izračunati, da je goriščna razdalja ( f ), to je razdalja gorišča od zrcala, enaka f = 1 2 r. Potek nekega žarka lahko obrnemo. Če vpada žarek na zrcalo tako, da gre skozi gorišče, se odbije tako, da teče vzporedno z optično osjo. Žarek, ki gre skozi krivinsko središče, imenujemo središčni žarek. Tak žarek vpada na zrcalo vedno pravokotno, zato se odbije vase. Pri temenskem žarku, tj. žarku, ki pada v teme zrcala, je vpadna pravokotnica kar optična os. Zato vpadni in odbiti žarek z optično osjo oklepata enak kot. Zanima nas upodabljanje s konkavnim zrcalom. Pomagamo si z risbo, na kateri določimo, kje nastane slika, kako je obrnjena in kako velika. Gorišče bomo vedno zaznamovali z F in goriščno razdaljo z f, velikost predmeta z y in razdaljo predmeta od zrcala z a ter velikost slike z y in razdaljo slike od zrcala z b. Na risbi predstavimo predmet kot puščico, ki jo postavimo z dnom na optično os in pravokotno nanjo. Za konstrukcijo slike zadošča, da potegnemo nekaj žarkov, ki izhajajo iz konice puščice. Risali bomo nekaj značilnih žarkov: žarek, ki je vzporeden z optično osjo, se odbije tako, da gre skozi gorišče; smer žarka smemo obrniti, zato: žarek, ki gre skozi gorišče, je po odboju vzporeden z optično osjo; žarek, ki vpada na teme, se odbije simetrično glede na optično os; središčni žarek se odbije vase. Če vse te žarke narišemo iz ene točke (glej npr. sliko 14), 13

15 Slika 14: Upodobitev predmeta s konkavnim krogelnim zrcalom. (a) Krivinsko središče zrcala (C) je med predmetom in zrcalom. Iz poteka žarkov dobimo sliko, ki je prava, obrnjena in pomanjšana. (b) Fotografija predmeta (sveče) in njegove slike. se sekajo v eni točki. Tudi drugi žarki, ki izvirajo iz konice puščice in jih ne narišemo, bi šli skozi isto točko. Tam je slika konice puščice. Na enak način bi lahko dobili slike vseh drugih delov predmeta in s tem sliko celotnega predmeta. Izkaže se, da obstaja enačba, ki povezuje goriščno razdaljo zrcala z razdaljo predmeta in slike od zrcala; imenujemo jo enačba zrcala: 1 a + 1 b = 1 f. Za predmet, ki je daleč pred zrcalom, pravimo, da je neskončno oddaljen oziroma da je v neskončnosti; daleč pomeni, da je a f. Slika neskončno oddaljenega predmeta nastane v goriščni ravnini. S konkavnim zrcalom lahko dobimo prave in navidezne slike. Če postavimo predmet pred gorišče, je slika prava; če ga postavimo med zrcalo in gorišče, je slika navidezna. Slika 14 kaže upodobitev predmeta, ki stoji pred krivinskim središčem (torej dalj od dvojne goriščne razdalje). Na sliki smo narisali tri žarke: - Žarek 1 teče z vrha predmeta vzporedno z optično osjo in se na zrcalu odbije tako, da gre skozi gorišče F. - Žarek 2 gre z vrha predmeta skozi gorišče in se odbije vzporedno z optično osjo. - Žarek 3 gre z vrha predmeta skozi krivinsko središče in se odbije nazaj vase. 14

16 Za konstrukcijo slike bi si lahko izbrali tudi kake druge žarke (npr. žarek, vzporeden z optično osjo, temenski žarek in žarek skozi gorišče). Iz poteka žarkov je razvidno, kje in kakšna slika nastane: slika je prava (saj nastane kot presečišče žarkov), obrnjena in pomanjšana. Na sliki 15 stoji predmet med zrcalom in goriščem. Vidimo, da gredo žarki, ki izhajajo iz konice puščice, po odboju na zrcalu narazen. Torej se ne sekajo; pač pa se sečejo njihovi podaljški. Zato dobimo navidezno sliko (za zrcalom), ki je pokončna in povečana. Slika 15: Upodobitev predmeta s konkavnim krogelnim zrcalom, predmet je med goriščem in zrcalom. (a) Potek žarkov kaže, da je slika navidezna, pokončna in povečana. Slika nastane kot presečišče podaljškov žarkov za zrcalom. (b) Fotografija predmeta (sveče) in slike. Žal je tu potrebna pripomba glede predznakov količin a, b in f v enačbi zrcala. Razdalja predmeta od zrcala (a) je vedno pozitivna. Razdaljo slike od zrcala (b) pa štejemo kot pozitivno, če nastane slika pred zrcalom (prava slika), toda kot negativno, če nastane slika za zrcalom (navidezna slika). V tabeli 1 so prikazane vse možnosti za predznake tako za konkavna kakor tudi za konveksna zrcala. Tabela 1 Predznaki za b in f v enačbi zrcala b je +, če je slika pred zrcalom (prava slika) b je, če je slika za zrcalom (navidezna slika) f in r sta +, če je krivinsko središče pred zrcalom (konkavno zrcalo) f in r sta, če je krivinsko središče za zrcalom (konveksno zrcalo) 15

17 Konveksno krogelno zrcalo Ko posvetimo na konveksno krogelno zrcalo s curkom vzporednih žarkov, ki tečejo vzporedno z optično osjo, se žarki na zrcalu odbijejo po odbojnem zakonu; vidimo, da gredo narazen in se nikoli ne sekajo. Pač pa se pokaže, da se podaljški žarkov sekajo vsi v eni točki na optični osi za zrcalom. To točko imenujemo gorišče (F). Tudi sedaj velja, enako kakor pri konkavnem zrcalu, da je f = 1 2 r. Potek žarka lahko obrnemo. Če vpada žarek na zrcalo tako, da bi šel njegov podaljšek skozi gorišče (za zrcalom), se dejansko odbije tako, da je odbiti žark vzporedno z optično osjo. Žarek, katerega podaljšek gre skozi krivinsko središče (za zrcalom) (središčni žarek), vpada na zrcalo pravokotno in se odbije vase. Pri temenskem žarku, tj. žarku, ki pada v teme zrcala, je vpadna pravokotnica optična os in zato vpadni in odbiti žarek oklepata z optično osjo enak kot. S konveksnim zrcalom lahko dobimo le navidezne, pokončne in pomanjšane slike. Slika 16 kaže primer upodobitve predmeta s konveksnim zrcalom. Slika 16: Upodobitev predmeta s konveksnim krogelnim zrcalom. (a) Iz podaljškov žarkov dobimo sliko, ki je navidezna, pokončna in pomanjšana. (b) Fotografija predmeta (sveče) in slike. 6 Leče Leče so telesa iz prozorne snovi (na primer stekla) z lomnim količnikom n. Ploskvi, ki omejujeta lečo, sta pogosto krogelni kapici s krivinskima radijema r 1 in r 2. 16

18 Včasih je ena od mejnih ploskev ravna. Skozi obe krivinski središči gre optična os leče (slika 17). Slika 17: Različne vrste leč. Prve tri leče (bikonveksna, plankonveksna in konkavno konveksna) so zbiralne, druge tri (bikonkavna, plankonkavna in konveksno konkavna) so razpršilne. Pri prvi leči smo zaznamovali krivinska radija r 1 in r 2. Leče so bistveni sestavi del mnogih optičnih priprav, kakor so lupa, očala, mikroskop, daljnogled, fotoaparat itn. Včasih rabimo zbiralne leče, ki so na sredini debelejše kakor na robovih, včasih pa razpršilne leče, ki so tanjše na sredini in debelejše ob robovih. Pogosto potrebujemo kombinacijo enih in drugih leč. Zaradi enostavnosti bomo obravnavali le tanke leče, pri katerih je debelina majhna v primerjavi s krivinskima radijema. Žarki se na leči dvakrat lomijo, pri vstopu v lečo in pri izstopu iz nje. Kako se žarki pri prehodu skozi lečo odklonijo od prvotne smeri, je odvisno od snovi, iz katere je leča (od lomnega količnika n) in od oblike leče (krivinskih radijev r 1 in r 2 ). V naslednjih razdelkih bomo ugotovili potek nekaterih značilnih žarkov skozi zbiralne in skozi razpršilne leče. 6.1 Zbiralna leča Vzemimo tanko bikonveksno lečo in posvetimo nanjo s curkom z optično osjo vzporednih žarkov. (Žarki naj potekajo blizu optične osi.) Vidimo, da se vsi žarki za lečo zberejo v eni točki v gorišču F 2 (slika 18). Goriščna razdalja f je razdalja med lečo in goriščem. Če posvetimo na lečo s curkom vzporednih žarkov vzdolž optične osi z nasprotne strani, se žarki spet zberejo v eni točki gorišču 17

19 F 1. Vsaka leča ima tako dve gorišči. Goriščna razdalja je na obeh straneh enaka ( f ). Slika 18: Curek z optično osjo vzporednih žarkov vpada na zbiralno lečo. Žarki se po prehodu skozi lečo zberejo v gorišču (F 2 ali F 1 ). Goriščna razdalja je na obeh straneh enaka ( f ). Goriščna razdalja je odvisna od lastnosti leče od snovi, iz katere je leča (od lomnega količnika n), in od njene oblike (od krivinskih radijev r 1 in r 2 ). Brez dokaza zapišimo izraz za goriščno razdaljo f : 1 f ( 1 = (n 1) + 1 r 1 r 2 Pripomnimo, da velja gornja enačba le za lečo v zraku z lomnim količnikom 1. V vodi ima enaka leča drugačno goriščno razdaljo, ker je drugačen lomni količnik okolnega sredstva vode. Splošno lahko zapišemo, da je goriščna razdalja f n leče z lomnim količnikom n v sredstvu z lomnim količnikom n enaka 1 = ( n ( 1 f n n 1) + 1 ) = n n r 1 r 2 n (n 1) 1. f 1 (Z f 1 smo zaznamovali goriščno razdaljo leče v zraku.) Lahko se zgodi, da dobimo za goriščno razdaljo f n negativno vrednost, čeprav je f 1 pozitivna. Pozneje bomo videli, da to pomeni, da je postala leča, ki je zbiralna v zraku ( f 1 > 0), v snovi z lomnim količnikom n razpršilna ( f n < 0). Torej odloča o tem, ali je neka leča zbiralna ali razpršilna, tudi lomni količnik snovi, ki obdaja lečo. Kaj se pri prehodu skozi lečo zgodi s središčnim žarkom? Središčni žarek ne spremeni svoje smeri. (Srednji del leče deluje kot planparalelna ploščica, ki samo vzporedno premakne žarek. Če je ploščica tanka, je premik zanemarljivo majhen.) 18 ).

20 Povzemimo potek žarkov pri zbiralni leči: Žarek, ki je vzporeden z optično osjo, se lomi skozi gorišče na nasprotni strani leče. Žarek, ki pride skozi gorišče, se lomi tako, da teče vzporedno z optično osjo. Središčni žarek ne spremeni smeri. Upodabljanje z zbiralno lečo Upodabljanje predmeta v sliko je pri lečah čisto podobno kakor pri zrcalih. Sliko izbrane točke na predmetu poiščemo tako, da narišemo nekaj značilnih žarkov, ki izhajajo iz nje, in ugotovimo, kako potekajo pri prehodu skozi lečo. Če se vsi žarki iz opazovane točke na predmetu po prehodu skozi lečo spet zberejo v eni točki, je to slika tiste točke. Slika 19: Upodabljanje z zbiralno lečo. (a) Predmet stoji pred goriščem; leča ustvari pravo in obrnjeno sliko. Slika je pomanjšana, če je predmet dalj od dvojne goriščne razdalje, in povečana, če je predmet med enojno in dvojno goriščno razdaljo. (b) Če postavimo predmet med lečo in gorišče, dobimo navidezno, pokončno in povečano sliko. Na slikah, ki bodo kazale upodabljanje z lečami, bomo uporabljali enake oznake kakor pri zrcalih. Pokaže se, da tudi pri lečah povezuje goriščno razdaljo ( f ) ter oddaljenost predmeta od leče (a) in oddaljenost slike od leče (b) enaka enačba kakor pri zrcalih (imenujemo jo seveda enačba leče): 1 a + 1 b = 1 f. Goriščno razdaljo leče torej najlaže dobimo tako, da upodobimo neskončno oddaljen predmet; tedaj je a in očitno b = f : slika nastane v goriščni ravnini, iz česar lahko odmerimo goriščno razdaljo. Slike bomo konstruirali tako, da bomo iz točke na vrhu predmeta narisali tri značilne žarke (glej sliko 19): 19

21 - Žarek 1, ki je vzporedno z optično osjo, gre po prehodu skozi lečo skozi gorišče. - Žarek 2 je središčni žarek, ki pri prehodu skozi lečo ne spremeni smeri. - Žarek 3 gre skozi gorišče in se lomi tako, da gre vzporedno z optično osjo. Kakor pri zrcalih so tudi pri upodobitvah z lečami slike lahko prave ali navidezne, pokončne ali obrnjene ter povečane ali pomanjšane. Z zbiralno lečo lahko dobimo tako prave kakor tudi navidezne slike. Na sliki 19 sta predstavljena dva tipična primera upodobitve z zbiralno lečo. 6.2 Razpršilna leča Posvetimo s curkom z optično osjo vzporednih žarkov na tanko bikonkavno lečo. Vidimo, da se žarki pri prehodu skozi lečo razpršijo. Hkrati ugotovimo, da se njihovi podaljški zberejo vsi v eni točki na strani vpadnih žarkov v gorišču F 1 (slika 20). Goriščna razdalja f je spet razdalja med lečo in goriščem. Če posvetimo na lečo z nasprotne strani, se zgodi isto: žarki, ki gredo skozi lečo, se razpršijo, njihovi podaljški pa se spet zberejo v gorišču (F 2 ) na strani vpadnega curka. Tudi razpršilne leče imajo dve gorišči, goriščna razdalja ( f ) je na obeh straneh enaka. Slika 20: Curek z optično osjo vzporednih žarkov vpada na razpršilno lečo. Žarki se po prehodu skozi lečo razpršijo tako, da se njihovi podaljški zberejo v gorišču na strani vpadnega curka (F 1 ali F 2 ). Goriščna razdalja je na obeh straneh enaka ( f ). Za razpršilne leče veljajo enake enačbe kakor za zbiralne. Vendar moramo biti pozorni na predznak nekaterih količin (r 1, r 2, a, b in f ), ki so lahko pozitivne ali 20

22 negativne (tako pri zbiralnih kakor tudi pri razpršilnih lečah). Naredimo podobno kakor pri zrcalih preglednico (Tabela 2), v katerih bo razvidno, kakšen je predznak teh količin. V tabeli 2 so prikazane vse možnosti za predznake tako za konkavne kakor tudi za konveksne leče. Tabela 2 Predznaki za b in f v enačbi leče b je +, če je slika za lečo (prava slika) b je, če je slika pred lečo (navidezna slika) f je + pri zbiralnih lečah f je pri razpršilnih lečah Pri računanju goriščne razdalje iz enačbe 1/ f = (n 1)(1/r 1 + 1/r 2 ) velja, da je krivinski radij kake ploskve pozitiven, če je leča med ploskvijo in ustreznim krivinskim središčem. Če je ploskev med lečo in ustreznim krivinskim središčem, pa je krivinski radij negativen. Upodabljanje z razpršilno lečo Slike bomo pri razpršilnih lečah konstruirali enako kakor pri zbiralnih. Iz točke na vrhu predmeta bomo narisali tri značilne žarke (glej sliko 21): - Žarek 1, ki je vzporedno z optično osjo, se pri prehodu skozi lečo lomi tako, kakor da bi prihajal iz gorišča na vpadni strani. - Žarek 2 je središčni žarek, pri prehodu skozi lečo ne spremeni smeri. - Žarek 3, ki vpada na lečo v smeri proti gorišču na nasprotni strani leče, se lomi tako, da gre vzporedno z optično osjo. Z razpršilno lečo dobimo vedno le navidezne slike. Slika nastane na strani predmeta tam, kjer se sekajo podaljški žarkov, ki gredo skozi lečo. Sliki 21 kaže primer upodobitve z razpršilno lečo. Naredimo dva primera. Z zbiralno lečo z goriščno razdaljo 10cm upodobimo predmet, ki ga postavimo (a) 30cm, (b) 10cm in (c) 5cm pred lečo. Kje in kakšne slike dobimo? Bralcu prepuščamo nalogo, da nariše skico upodobitve predmeta (slika 19 a in b). Kakšna slika predmeta se pokaže na skici? 21

23 Slika 21: Upodobitev z razpršilno lečo. Slika je navidezna, pokončna in pomanjšana. (a) Iz enačbe leče, a b = 1 f, izrazimo 1 b = 1 f 1 a ; ko vstavimo f = 10cm in a = 30cm, dobimo b = 15cm. Pozitiven predznak za b pomeni, da nastane slika za lečo in da je slika prava. Iz podobnosti trikotnikov razberemo, da je y/a = y /b in tedaj y /y = b/a = 15cm/30cm = 0,5cm. Slika je pomanjšana, je polovico tako visoka kakor predmet. Pozitiven y pomeni, da je slika obrnjena, kar vidimo tudi iz skice. (b) Predmet smo postavili v gorišče leče (a = f ). Tedaj nastane slika v neskončnosti (b ). Bralcu priporočamo, da nariše sliko. (c) Predmet stoji med goriščem in lečo. Enačba leče za ta primer pove, da je b = 10cm. Negativen b pomeni, da nastane slika na isti strani kakor predmet; slika je navidezna. Iz podobnih trikotnikov (slika 19b) vidimo, da je y /y = b /a = 2. Slika je dvakrat večja od predmeta, leča dá dvakratno povečavo. Vidimo, da je y = y(b/a) po predznaku negativen; slika je torej pokončna. Z razpršilno lečo z goriščno razdaljo 20cm upodobimo 2cm visok predmet, ki ga postavimo 30cm, pred lečo. Kje in kakšno sliko dobimo? Bralcu spet toplo priporočamo, da nariše skico (slika 21). Iz enačbe leče 1 a + 1 b = 1 f dobimo b = 12cm. Negativen predznak za b pomeni, da nastane slika pred lečo; slika je navidezna in pokončna. Iz podobnosti trikotnikov (slika 21) razberemo, da je y /y = b /a = 12/30 = 0,4. Slika torej meri 0,8cm. Ne bomo se spuščali v nepopolnosti pri upodabljanju z zrcali in z lečami (z napakami zrcal in leč). 22

24 7 Optične priprave 7.1 Oko O očesu nas bo podučil seminar. 7.2 Lupa Lupa je zbiralna leča, ki jo uporabljamo kot povečalo. Lupa naredi povečano sliko predmeta, tako da z njo gledamo navidezno povečan predmet. Zanima nas, kolikšna je povečava lupe. Z zdravim očesom lahko gledamo predmete na razdaljah od neskončnosti do nekako 10 centimetrov. Oko se mora gledanju na različnih razdaljah prilagoditi (akomodirati). Najbolj udobno je gledanje na razdalji nekako 25 cm. Razdaljo a 0 = 25cm so poimenovali normalna vidna razdalja. Majhen predmet, ki ga postavimo v normalno vidno razdaljo, vidimo pod zornim kotom ϕ, za katerega velja tgϕ = y/a 0 (slika 22). Če bi predmet gledali bolj od blizu, bi bil zorni kot večji, a bi teže gledali, ker bi morali oko bolj napenjati. Z lupo (zbiralna leča z goriščno razdaljo f ) lahko povečamo zorni kot, ne da bi obremenjevali oko. Slika 22: (a) Tangens zornega kota, pod katerim vidimo predmet na razdalji a 0 = 25cm, je tgϕ = y/a 0. (b) Predmet, ki ga gledamo z lupo, lahko postavimo v goriščno ravnino. Skozi lupo vidimo predmet pod zornim kotom ϕ. Navadno uporabljamo lupo tako, da postavimo predmet v goriščno ravnino. Tedaj so žarki, ki izhajajo iz posamezne točke na predmetu, na drugi strani leče vzporedni. Opazovalcu se tedaj zdi, da prihajajo žarki iz neskončnosti: dobimo navidezno sliko v neskončnosti in oko prilagodimo na neskončnost. Ko gledamo predmet skozi lupo, ga vidimo pod zornim kotom ϕ. Iz slike 22b vidimo, da je tgϕ = y/ f ; spomnimo se, da je pri opazovanju predmeta s prostim 23

25 očesom tgϕ = y/a 0. Povečavo M lupe definiramo kot razmerje obeh tangensov, torej M = tgϕ tgϕ = y/ f = a 0 / f. y/a 0 Seveda lahko postavimo predmet, ki ga gledamo z lupo, tudi med lupo in njeno gorišče (slika 19b). Tedaj dobimo navidezno, pokončno in povečano sliko, ki jo gledamo z očesom (povečava y /y = b /a). Slika nastane v končni razdalji (b), na katero moramo prilagoditi oko. 7.3 Daljnogled Z daljnogledom povečamo zorne kote zelo oddaljenih predmetov. (Seveda z daljnogledom ne dobimo povečane slike, npr. oddaljene zvezde. Slika je pomanjšana; a zorni kot pri gledanju z daljnogledom je večji kakor pri gledanju s prostim očesom.) V najpreprostejši izvedbi sestavljata daljnogled dve zbiralni leči, objektiv (goriščna razdalja f 1 ) in okular (goriščna razdalja f 2 ), ki sta nameščeni na skupni optični osi vsaka na enem koncu cevi; razdaljo med objektivom in okularjem lahko spreminjamo (slika 23). Slika 23: Potek žarkov v daljnogledu. Proti opazovanemu predmetu usmerimo objektiv, ki ustvari v svoji goriščni ravnini pravo, obrnjeno in pomanjšano sliko (saj je predmet v neskončnosti ) velikosti y. To sliko gledamo z okularjem, ki ga uporabljamo kot lupo: okular namestimo na razdalji f 2 od slike, tako da je slika y tudi v njegovi goriščni ravnini. Slika slike y, ki jo da okular, je v neskončnosti, vidimo jo pod zornim kotom ϕ. Povečavo daljnogleda M spet definiramo kot razmerje tangensa zornega kota ϕ, pod katerim vidimo predmet skozi daljnogled, in tangensa zornega kota ϕ, pod 24

26 katerim vidimo predmet s prostim očesom. Iz slike 23 razberemo, da je tgϕ = y / f 1 in tgϕ = y / f 2, tako da je povečava M = tgϕ tgϕ = y / f 2 y / f 1 = f 1 / f 2. Vidimo, da mora biti goriščna razdalja objektiva ( f 1 ) večja od goriščne razdalje okularja ( f 2 ), če naj naprava deluje kot daljnogled (in je povečava večja od 1). Daljnogled z objektivom z goriščno razdaljo f 1 = 1m in z okularjem z goriščno razdaljo f 2 = 2cm da 50-kratno povečavo. Če gledamo skozi daljnogled narobe (tako da sta okular in objektiv zamenjana), vidimo vse pomanjšano. Seveda, če sta objektiv in okluar zamenjana, je povečava M = f 2 / f 1, kar je v resnici pomanjšava. 7.4 Mikroskop Z mikroskopom delamo povečane slike bližnjih majhnih predmetov. Slika 24: Potek žarkov v mikroskopu. V najpreprostejši izvedbi je tudi mikroskop sestavljen iz dveh zbiralnih leč, objektiva (goriščna razdalja f 1 ) in okularja (goriščna razdalja f 2 ), ki sta nameščeni 25

27 na skupni optični osi vsaka na enem koncu cevi. Razdaljo med objektivom in okularjem lahko spreminjamo (slika 24). Opazovani predmet (velikosti y) postavimo pred objektiv med enojno in dvojno goriščno razdaljo, tako da nastane prava, obrnjena in povečana slika velikosti y. To sliko gledamo z okularjem, ki spet služi kot lupa: okular namestimo na razdalji f 2 od slike, tako da je slika y v njegovi goriščni ravnini. Slika slike y, ki jo da okular, je v neskončnosti in jo vidimo pod zornim kotom ϕ. Povečava mikroskopa M je razmerje tangensa zornega kota ϕ, pod katerim vidimo predmet skozi mikroskop, in tangensa zornega kota ϕ, pod katerim bi ga videli s prostim očesom v normalni vidni razdalji a 0. Od prej vemo (podrazdelek o lupi), da je tgϕ = y/a 0, iz slike 24 pa razberemo, da je in tgϕ = y / f 2. Nadalje iz podobnosti trikotnikov razberemo, da je y/ f 1 = y /(b f 1 ); zaznamujmo x = b f 1, pa dobimo tgϕ = y / f 2 = xy/ f 1 f 2. Potemtakem je povečava M = tgϕ tgϕ = xy/ f 1 f 2 y/a 0 = xa 0 / f 1 f 2. Mikroskop, ki ima f 1 = 1,5mm, f 2 = 2,5cm ter x = 15cm, poveča krat. Pri tem naredi objektiv 100-krat povečano pravo sliko (y /y = x/ f 1 = 15cm/0,15cm = 100), okular pa to sliko poveča še 10-krat, saj je a 0 / f 2 = 25cm/2,5cm =