FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)
|
|
- Ζηναις Σκλαβούνος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03.
2
3 UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije realne varijable jest pitanje domene, tj. podru ja u ravnini R na kojem je funkcija denirana - traºimo skup svih to aka (x, y) iz ravnine za koje moºemo izra unati vrijednost funkcije. Pritom skiciramo skup svih to aka domene u koordinatnoj ravnini jer nam esto sam zapis za domenu ne govori previ²e. Funkcije koje emo promatrati su kompozicije nekoliko elementarnih funkcija, i zato se trebamo ukratko prisjetiti koje su njihove domene. Pritom emo elementarne funkcije promatrati kao funkcije jedne varijable, jer je bitno uo iti uvjet koji mora vrijediti na argument funkcije koju promatramo, bila to funkcija jedne ili vi²e varijabli. Do domene zadane funkcije dolazimo rje²avanjem svih uvjeta. Elementarne funkcije jedne varijable Polinomi. Polinom stupnja n N 0 je funkcija P : R R denirana s P (x) = a n x n + a n x n a x + a 0, gdje su a 0, a,..., a n realni brojevi takvi da je a n 0. Brojeve a 0, a,..., a n zovemo koecijentima polinoma. Koecijent a n zovemo vode i koecijent, a a 0 slobodni koecijent. Stupanj polinoma je najve a potencija nepoznanice x. Domena polinoma je itav R, tj. nema ograni enja na domeni. 3
4 Racionalna funkcija. Neka su P (x) = a n x n + a n x n a x + a 0 i Q(x) = b m x m + b m x m b x + b 0 polinomi. Funkciju f(x) = P (x) Q(x) = a nx n + a n x n a x + a 0 b m x m + b m x m b x + b 0 zovemo racionalna funkcija. Ona je denirana za sve x R takve da je Q(x) 0, tj. D(f) = {x R : Q(x) 0}. Uvjet koji pamtimo: Nazivnik razlomka mora biti razli it od nule. Korijen. f(x) = n x. Tu razlikujemo dva slu aja kod odreživanja domene: ako je n = k, k N, tj. ako je n neparan, onda je domena itav R; ako je n = k, k N, tj. ako je n paran, onda su domena svi nenegativni realni brojevi, tj. D(f) = [0, +. Uvjet koji pamtimo: Izraz ispod parnog korijena mora biti ve i ili jednak nuli. Eksponencijalna funkcija. Neka je a > 0, a realan broj. Funkcija f(x) = a x denirana za svaki x R zove se eksponencijalna funkcija baze a. Domena eksponencijalne funkcije je itav R (nema ograni enja na domeni). Svojstva eksponencijalne funkcije: Injektivnost: a x = a x x = x. Monotonost: ako je a >, onda za x < x vrijedi a x < a x ; ako je a <, onda za x < x vrijedi a x > a x. Logaritamska funkcija. Neka je a > 0, a realan broj. Eksponencijalna funkcija baze a je bijekcija. Njen inverz je logaritamska funkcija s bazom a, f(x) = log a x koja je denirana samo za strogo pozitivne brojeve. Domena logaritamske funkcije je D(f) = 0, +. Svojstva logaritamske funkcije: Injektivnost: log a x = log a x x = x.
5 Monotonost: ako je a >, onda za x < x vrijedi log a x < log a x ; ako je a <, onda za x < x vrijedi log a x > log a x. Uvjeti koji pamtimo: Izraz pod logaritmom mora biti strogo ve i od nule. Baza logaritma mora biti strogo ve a od nule i razli ita od jedinice. Trigonometrijske funkcije. Funkcije sinus i kosinus, sin: R [, ], cos: R [, ], denirane su za sve realne brojeve, tj. njihova domena je itav R (nemaju ograni enja na domenama). Funkcija tangens denirana je kao tgx = sin x. Po²to je tu rije o razlomku, cos x nazivnik mu mora biti rali it od nule, tj. cos x 0, pa je domena funkcije f(x) = tgx upravo D(f) = R \ {x : cos x 0} = R \ { π + kπ, k Z}. Dakle, vrijedi tg : R \ { π + kπ, k Z} R Uvjet koji pamtimo: Izraz pod tangensom mora biti razli it od π svaki k Z. + kπ za Funkcija kotangens denirana je kao ctgx = cos x sin x. Po²to je i tu rije o razlomku, nazivnik mu mora biti rali it od nule, tj. sin x 0, pa je domena funkcije f(x) = ctgx upravo D(f) = R \ {x : sin x 0} = R \ {kπ, k Z}. Dakle, vrijedi ctg : R \ {kπ, k Z} R Uvjet koji pamtimo: Izraz pod kotangensom mora biti razli it od kπ za svaki k Z. Ciklometrijske (arkus) funkcije su inverzne funkcije odgovaraju ih restrikcija trigonometrijskih funkcija. Funkcija arkus sinus, f(x) = arcsin x, je inverzna funkcija restrikcije sinusa na interval [ π, π ] pa vrijedi arcsin: [, ] [ π, π ], tj. domena joj je D(f) = {x R : x } = [, ].
6 Funkcija arkus kosinus, f(x) = arccos x, je inverzna funkcija restrikcije kosinusa na interval [0, π] pa vrijedi arccos: [, ] [0, π], tj. domena joj je D(f) = {x R : x } = [, ]. Uvjet koji pamtimo: Izraz koji se nalazi pod funkcijom arkus sinus ili arkus kosinus mora biti po apsolutnoj vrijednosti manji ili jednak jedan. Funkcija arkus tangens, f(x) = arctgx, je inverzna funkcija restrikcije tangensa na interval π, π pa vrijedi arctg: R π, π, tj. domena joj je itav R (nema ograni enja na domeni). Funkcija arkus kotangens, f(x) = arcctgx, je inverzna funkcija restrikcije kotangensa na interval 0, π pa vrijedi arcctg: R 0, π, tj. domena joj je itav R (nema ograni enja na domeni). Zadaci Primjer.. Odredite podru je denicije funkcije f(x, y) = 4 x y, te gra ki predo ite rje²enje. Rje²enje. Postavljamo uvjete: () 4 x y 0 (zbog korijena) () 4 x y 0 (jer se nalazi u nazivniku razlomka) Ako kvadriramo drugi uvjet, dobijemo 4 x y 0, tj. x + y 4. Iz prvog uvjeta imamo x + y 4, pa nam ta dva uvjeta zajedno daju x +y < 4. Dakle, domena funkcije f je D(f) = {(x, y) R : x +y < 4}. Gra ki, domena funkcije f je krug radijusa sa sredi²tem u ishodi²tu bez granica:
7 Zadatak.. Odredite podru je denicije sljede ih funkcija, te rje²enje predo ite gra ki u ravnini. () f(x, y) = x y () f(x, y) = (4x + y 6)(9 x y ) Primjer.. Odredite podru je denicije funkcije f(x, y) = ln(x y) x ki predo ite rje²enje. Rje²enje. Imamo sljede e uvjete: () x 0 (jer se nalazi u nazivniku razlomka) () x y > 0 (zbog logaritma), te gra- Iz drugog uvjeta imamo y < x, pa je domena funkcije f upravo skup D(f) = {(x, y) R : x 0, y < x }. Gra ki, domena od f je dio ravnine ispod parabole y = x bez granica i bez pravca x = 0. Zadatak.. Odredite podru je denicije sljede ih funkcija, te rje²enje predo ite gra ki u ravnini. () f(x, y) = log x ( y) 8x 6y + x + y () f(x, y) = log(xy) ( y 3x ) (3) f(x, y) = ln + 4 x x y y
8 (4) f(x, y) = ln(y + x ) ln(x y ) (5) f(x, y) = ln[x ln(y x)] Primjer.3. Odredite podru je denicije funkcije f(x, y) = arcsin x, te rje²enje y gra ki prikaºite u ravnini. Rje²enje. Postavljamo sljede e uvjete: () y 0 (jer se nalazi u nazivniku razlomka) () x y (zbog arkus sinusa) Ako je y > 0, drugi uvjet moºemo pomnoºiti s y i dobijemo y x y, tj. imamo dvije nejednakosti y x i y x. Za y < 0, kad drugi uvjet pomnoºimo s y dobijemo y x y, tj. y x i y x. Dakle, D(f) = {(x, y) R : (y > 0, y x y) ili (y < 0, y x y)}. Gra ki: Zadatak.3. Odredite podru je denicije sljede ih funkcija, te gra ki predo ite rje²enje. () f(x, y) = arcsin x + xy () f(x, y) = arcsin x + arcsin( y) y (3) f(x, y) = ln x y + arccos x 3y x + y (4) f(x, y) = arcsin(ln(x + y)) (5) f(x, y) = ln 4x + 9y 36 x y + arcsin (x + y) (x + y) +
9 PARCIJALNE DERIVACIJE FUNKCIJA DVIJU VARIJABLI.. Denicija parcijalnih derivacija Parcijalne derivacije funkcije z = f(x, y) u to ki T (x 0, y 0 ) D(f) su redom f x(x 0, y 0 ) = lim x 0 f y(x 0, y 0 ) = lim y 0 f(x 0 + x, y 0 ) f(x 0, y 0 ), x f(x 0, y 0 + y) f(x 0, y 0 ). y Ako funkcija z = f(x, y) ima parcijalne derivacije u svakoj to ki (x, y) iz svoje domene, onda su parcijalne derivacije te funkcije po varijablama x i y nove funkcije koje ra unamo kao odnosno f x(x, y) = lim x 0 f y(x, y) = lim y 0 f(x + x, y) f(x, y), x f(x, y + y) f(x, y). y Parcijalne derivacije funkcije z = f(x, y) moºemo ra unati i na sljede i na in: ako ra unamo f x(x, y), tj. ako funkciju z = f(x, y) deriviramo po varijabli x, onda varijablu y trebamo gledati kao konstantu; ako ra unamo f y(x, y), tj. ako funkciju z = f(x, y) deriviramo po varijabli y, onda varijablu x trebamo gledati kao konstantu. 9
10 Diferencijalni ra un funkcija jedne varijable Neka je f : I R funkcija jedne varijable, te neka je x 0 I proizvoljna to ka iz domene funkcije y = f(x). Ako postoji grani na vrijednost f (x 0 ) = lim x 0 f(x 0 + x) f(x 0 ), x onda ju zovemo derivacija funkcije y = f(x) u to ki x 0. Ako je sad x I bilo koja to ka iz podru ja denicije funkcije y = f(x), onda grani nu vrijednost f (x) = lim x 0 f(x + x) f(x), x ako postoji, zovemo derivacija funkcije y = f(x). Pravila deriviranja Neka su f, g : I R takve da imaju derivaciju za intervalu I. Tada vrijedi [f(x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) (derivacija zbroja) [f(x) g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x) (derivacija umno²ka) [ f(x) ] = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) g (x) (derivacija kvocijenta) [f(g(x))] = f (g(x))g (x) (derivacija sloºene funkcije) [f (x)] = f (f (x)) (derivacija inverzne funkcije)
11 Tablica derivacija elementarnih funkcija Zadaci f(x) f (x) c 0 x x n x a x e x nx n x a x ln a e x log a x x ln a ln x x sin x cos x cos x sin x tgx cos x ctgx sin x arcsin x x arccos x x arctgx + x arcctgx + x Primjer.. Odredite po deniciji parcijalne derivacije u to ki T (, ) za funkciju f(x, y) = x y xy. Rje²enje: Iz denicije parcijalnih derivacija imamo: f x(, f( + x, ) f(, ) ) = lim x 0 x = lim x 0 = lim x 0 + x + ( x) x + x ( + x) ( ) ( + x) x ( x) = lim x 0 x = lim x = 0 x 0
12 f y(, f(, + y) f(, ) ) = lim y 0 x = lim y 0 = lim y 0 = lim y 0 + y y + y ( y) 3 y ( + y) y + y ( + y) ( = lim y 0 y( y 3) = lim y 0 ( + y) y ) y y ( y) y + y y = lim y 0 y 3 + y = 3 = 3 Zadatak.. Odredite po deniciji parcijalne derivacije funkcije () f(x, y) = (x y) u to ki T (, ); () f(x, y) = xy u to ki T (3, ); (3) f(x, y) = x + y x y u to ki T (, 3). Primjer.. Pomo u pravila deriviranja odredite parcijalne derivacije funkcije f(x, y) = x y xy. Rje²enje: Za odrediti f x(x, y) zadanu funkciju deriviramo po varijabli x, i pritom varijablu y gledamo kao konstantu. f x(x, y) = d ( x ) dx y xy = y (x ) y (x) = y (x) y = x y y Za odrediti f y(x, y) zadanu funkciju deriviramo po varijabli y, i pritom varijablu x gledamo kao konstantu. f y(x, y) = d ( x ) ( ) dy y xy = x x (y) y ( = x ) x = x y y x
13 Napomena: Parcijalne derivacije zadane funkcije f u to ki T (, ) moºemo jednostavno izra- unati uvr²tavanjem koordinata to ke T redom u funkcije f x(x, y) i f y(x, y): f x(, ) = = = 0, f y(, ) = = = 3. Zadatak.. Pomo u pravila deriviranja odredite parcijalne derivacije sljede ih funkcija: () f(x, y) = x + y x y u to ki T (, 3); () f(x, y) = xy (x y) u to ki T (, ); (3) f(x, y) = ctg ln(x y) + xy + x y (4) f(x, y) = (x y 3x)e x+y + arcsin y.. Parcijalne derivacije vi²eg reda Parcijalnim deriviranjem funkcije dviju varijabli f : D R, D R dobivamo dvije nove funkcije dviju varijabli f x(x, y) = f (x, y), x f y(x, y) = f (x, y). y Parcijalno deriviraju i svaku od tih funkcija po obje varijable dobivamo etiri parcijalne derivacije drugog reda: f xx (x, y) = x (f x(x, y)) = f x (x, y), f xy(x, y) = y (f x(x, y)) = f (x, y), y x f yx (x, y) = x (f y(x, y)) = f x y (x, y), f yy(x, y) = y (f y(x, y)) = f y Schwarzov teorem. Ako su mje²ovite derivacije y na D R, onda su one jednake, tj. onda vrijedi y ( f ) (x, y) = x x ( f ) i x ( f ) (x, y). y x ( f y (x, y). ) neprekidne
14 Zadaci Primjer.3. Odredite sve parcijalne derivacije drugog reda za funkciju f(x, y) = 3x cos y xy, te pokaºite da za zadanu funkciju vrijedi jednakost u Schwarzovom teoremu. Rje²enje: Najprije trebamo odrediti parcijalne derivacije prvog reda: f x(x, y) = (3x cos y xy) = 3 cos y y, x f y(x, y) = (3x cos y xy) = 3x sin y x. y Parcijalne derivacije drugog reda dobivamo deriviranjem parcijalnih derivacija prvog reda po varijablama x i y: f xx (x, y) = x (f x(x, y)) = (3 cos y y) = 0; x f xy (x, y) = y (f x(x, y)) = (3 cos y y) = 3 sin y ; x f yx (x, y) = x (f y(x, y)) = ( 3x sin y x) = 3 sin y ; x f yy (x, y) = y (f y(x, y)) = ( 3x sin y x) = 3x cos y; y Vidimo da je f xy (x, y) = f yx (x, y), pa jednakost u Schwarzovom teoremu vrijedi. Zadatak.3. Odredite parcijalne derivacije drugog reda za sljede e funkcije. () f(x, y) = ln(x y); () f(x, y) = xy + x y ; (3) f(x, y) = x y + y x ; (4) f(x, y) = arctg x y. Provjerite da li za zadane funkcije vrijedi jednakost u Schwarzovom teoremu.
15 Primjer.4. Ako je z(x, y) = e x y, dokazati da vrijedi y z x y = z y z x. z Rje²enje: Prvo treba izra unati x y, z y i z. Zatim dobivene derivacije x treba uvrstiti u gornju jednakost i provjeriti da li je zadovoljena. ( y y e x y z x = x (e x y ) = y e x y, z x y = x x y 3 e x y ( z ) y ) Vidimo da jednakost vrijedi. Zadatak.4. Ako je z(x, y) = z y = y (e x x y ) = y e x y = ( x ) x y e x y = y e x x y y e x 3 y = x y e x y y e x y x y e x y y e x y xy, dokaºite da vrijedi x y z x + z x y + z y = x y. = x y e x y y e x y Zadatak.5. Ako je u(x, t) = arctg(x t), dokaºite da vrijedi u x + u x t = Parcijalne derivacije implicitno zadanih funkcija Neka je funkcija z = z(x, y) zadana implicitno jednadºbom F (x, y, z) = 0 i neka je zadana to ka T (x 0, y 0, z 0 ). Pretpostavimo da su parcijalne derivacije funkcije F (x, y, z) neprekidne i da vrijedi F (x 0, y 0, z 0 ) = 0. Ako je F z(x 0, y 0, z 0 ) 0, onda vrijedi z(x 0, y 0 ) = z 0, i parcijalne derivacije funkcije z = z(x, y) ra unamo kao: z x(x, y) = F x(x, y, z) F z(x, y, z), z y(x, y) = F y(x, y, z) F z(x, y, z). Primjer.5. Funkcija z = z(x, y) zadana je implicitno jednadºbom x 3 z + yz =. Odredimo parcijalne derivacije te funkcije, te izra unajmo njihovu vrijednost u to ki T (,, z 0 > 0).
16 Rje²enje: Prvo trebamo denirati funkciju F (x, y, z) na na in da u jednadºbi kojom je implicitno zadana funkcija z = z(x, y) sve prebacimo na lijevu stranu i to proglasimo funkcijom F (x, y, z): F (x, y, z) = x 3 z + yz. Zatim ra unamo parcijalne derivacije funkcije F : F x(x, y, z) = 3x z; F y(x, y, z) = z ; F z(x, y, z) = x 3 + yz. Iz gornje formule lako dobivamo parcijalne derivacije funkcije z = z(x, y): z x(x, y) = F x(x, y, z) F z(x, y, z) = 3x z x 3 + yz, z y(x, y) = F y(x, y, z) F z(x, y, z) = z x 3 + yz. Da bi izra unali vrijednost tih parcijalnih derivacija u to ki T (,, z 0 > 0), prvo trebamo odrediti vrijednost od z 0. Vrijedi z 0 = z(, ) i F (,, z 0 ) = 0. Odatle imamo: 3 z 0 + z0 = 0 z0 + z 0 = 0 z 0 = ± + 8, tj. z 0 = ili z 0 =. Po²to je u zadatku zadano z 0 > 0, uzimamo z 0 =. Sada uvr²tavanjem koordinata to ke T (,, ) u parcijalne derivacije z x i z y dobivamo: z x = 3x 0z 0 = 3 T x y 0 z = 3 3 = ; z y z0 = = T x y 0 z = 3. Zadatak.6. Odredite parcijalne derivacije prvog reda funkcije z = z(x, y) zadane implicitno sljede im jednadºbama, te potom izra unajte njihovu vrijednost u danim to kama: () (x + y + z ) 3 =, T (0, 0, z 0 > 0); () ln(x + y z 3 ) = x, T (0, 9, z 0 ); (3) zx + sin(xyz) = 3, T (, 0, z 0 ).
17 3 PRIMJENA PARCIJALNIH DERIVACIJA FUNKCIJA DVIJU VARIJABLI 3.. Diferencijal funkcija dviju varijabli Totalni prirast funkcije z = f(x, y) u to ki T (x, y) je: z = f(x + x, y + y) f(x, y), gdje su x i y prirasti nezavisnih varijabli x i y funkcije f. Totalni diferencijal prvog reda funkcije z = f(x, y) u to ki T (x, y) deniran je sa: dz = z x z (x, y)dx + (x, y)dy. y Ako su x i y dovoljno maleni, onda vrijedi dz = z, tj. vrijedi formula za pribliºno ra unanje (linearnu aproksimaciju) vrijednosti funkcije z = f(x, y) u to ki (x + x, y + y) uz pomo parcijalnih derivacija u to ki (x, y): f(x + x, y + y) f(x, y) + z z (x, y) x + (x, y) y. x y Totalni diferencijal drugog reda funkcije z = f(x, y) u to ki T (x, y) deniran je sa: d z = d(dz) = z x (x, y)dx + z x y (x, y)dxdy + z y (x, y)dy. 7
18 Zadaci Primjer 3.. Odredimo prvi i drugi diferencijal funkcije z = x + xy 3 + u to ki (, ). Rje²enje: Prvo trebamo odrediti prve parcijalne derivacije funkcije z: z x (x, y) = x + y3, z y (x, y) = 3xy. Odatle slijedi da je prvi diferencijal funkcije z jednak dz = (x + y 3 )dx + 3xy dy. Prvi diferencijal funkcije z u to ki (, ) jednak je: dz(, ) = ( + 3 )dx + 3 dy = 5dx + 6dy. Za odrediti dugi diferencijal trebaju nam druge parcijalne derivacije: z (x, y) =, x z x y (x, y) = 3y, z (x, y) = 6xy. y Odatle slijedi da je drugi diferencijal funkcije z jednak d z = dx + 6y dxdy + 6xydy. Drugi diferencijal funkcije z u to ki (, ) jednak je: d z = dx + 6 dxdy + 6 dy = dx + 6dxdy + dy. Zadatak 3.. Odredite prvi i drugi diferencijal, dz i d z, za funkcije: () z = x y u to ki T (, 3); () z = 8 x + x y + y; (3) z = ln x y x + y ; (4) z = x 4 sin(xy 3 ) u to ki T (, 0); (5) z = sin e x y.
19 Primjer 3.. Pribliºno izra unajmo vrijednost Rje²enje: Trebamo denirati funkciju z = x + y. Vidimo da je = f(4.05,.93), pa moºemo koristiti formulu za pribliºno ra unanje vrijednosti funkcije z = x + y u to ki (4.05,.93) uz pomo parcijalnih derivacija u to ki (4, 3). Vrijedi: x = = 0.5; y =.93 3 = 0.7; z x (x, y) = x + y x = x x + y z x (4, 3) = = 4 5 ; z y (x, y) = x + y y = y x + y z y (4, 3) = = 3 5 ; Uvr²tavanjem u formulu za pribliºno ra unanje dobivamo: ( 0.07) = Stvarna vrijednost je = = Zadatak 3.. Pomo u diferencijala pribliºno izra unajte: () ; () ln( ); (3) Tangencijalna ravnina Neka je T (x 0, y 0, z 0 ) neka to ka koja pripada plohi zadanoj eksplicitno jednadºbom z = f(x, y). Jednadºba tangencijalne ravnine na zadanu plohu, tj. na graf funkcije z = f(x, y) u to ki T (x 0, y 0, z 0 ), gdje je z 0 = f(x 0, y 0 ), je z z 0 = f x(x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y(x 0, y 0 )(y y 0 ). Jednadºba normale na graf funkcije z = f(x, y) u to ki T (x 0, y 0, z 0 ) je n... x x 0 f x(x 0, y 0 ) = y y 0 f y(x 0, y 0 ) = z z 0.
20 Ako je funkcija z = f(x, y) zadana implicitno jednadºbom F (x, y, z) = 0, onda jednadºba tangencijalne ravnine na plohu F (x, y, z) = 0 u to ki T (x 0, y 0, z 0 ), gdje je z 0 = f(x 0, y 0 ), glasi F x(x 0, y 0, z 0 )(x x 0 ) + F y(x 0, y 0, z 0 )(y y 0 ) + F z(x 0, y 0, z 0 )(z z 0 ) = 0, a jednadºba normale na tu plohu u to ki T (x 0, y 0, z 0 ) je n... x x 0 F x(x 0, y 0, z 0 ) = y y 0 F y(x 0, y 0, z 0 ) = z z 0 F z(x 0, y 0, z 0 ). Zadaci Primjer 3.3. Odredite jednadºbu tangencijalne ravnine i normale na plohu z = x y u to ki T (,, 4) koja se nalazi na danoj plohi. Rje²enje: Najprije trebamo odrediti parcijalne derivacije funkcije z = x y u to ki (, ): z x(x, y) = xy z x(, ) = = 4; z y(x, y) = x z y(, ) = = 4. Uvr²tavanjem dobivenih vrijednosti u gornje jednadºbe za tangencijalnu ravninu i normalu dobijemo: Π t... z 4 = 4(x ) + 4(y ) Π t... 4x + 4y z 8 = 0 n... x 4 = y 4 = z 4. Zadatak 3.3. Odredite jednadºbu tangencijalne ravnine i normale na plohu z = y x y x + 6y u to ki T (4,, z 0 ) sa te plohe. Primjer 3.4. Odredite tangencijalnu ravninu i normalu u to ki T (x 0 > 0,, ) na plohu zadanu jednadºbom xz + x y = 6. Rje²enje: Prvo treba odrediti x 0. To ka T (x 0 > 0,, ) pripada plohi, pa zadovoljava jednadºbu xz + x y = 6. Vrijedi: x 0 + x 0 = 6 x 0 + x 0 6 = 0 x 0 =, x 0 = 3
21 Zbog uvjeta x 0 > 0 zaklju ujemo da je x 0 = 3 T (3,, ). Trebaju nam prve parcijalne derivacije funkcije F (x, y, z) = xz + x y 6 u to ki T ( 3,, ): F x(x, y, z) = z + xy F x( 3,, ) = + 3 = 7; F y(x, y, z) = x F y( 3,, ) = ( 3 ) = 9 4 ; F z(x, y, z) = xz F z( 3 3,, ) = = 3. Uvr²tavanjem dobivenih vrijednosti u gornje jednadºbe za tangencijalnu ravninu i normalu na plohu zadanu implicitno dobijemo: Π t... 7(x 3 ) (y ) + 3(z ) = 0 Π t... 8x + 9y + z 7 = 0, n... x 3 7 = y 9 4 = z 3. Zadatak 3.4. Odredite jednadºbu tangencijalne ravnine i normale na plohu zadanu jednadºbom x + y + 3z = 5 u to ki T (, y 0 > 0, ) koja pripada toj plohi. Primjer 3.5. Odredite tangencijalnu ravninu na hiperboloid x y +z = koja je paralelna s ravninom Π... x y + z = ln. Rje²enje: Vidimo da je na²a ploha zadana implicitno jednadºbom F (x, y, z) = 0, gdje je F (x, y, z) = x y + z. Dvije ravnine su paralelne ako i samo ako su im vektori smjera kolinearni. Vektor smjera ravnine Π je n = {,, }, a vektor smjera traºene tangencijalne ravnine je n t = {F x(x 0, y 0, z 0 ), F y(x 0, y 0, z 0 ), F z(x 0, y 0, z 0 )}, gdje je T (x 0, y 0, z 0 ) to ka sa hiperboloida u kojoj povla imo tangentu (koordinate te to ke nam trebaju za odrediti jednadºbu tangente). Njaprije trebamo izra unati parcijalne derivacije funkcije F (x, y, z): F x(x, y, z) = x F x(x 0, y 0, z 0 ) = x 0 ;
22 F y(x, y, z) = y F y(x 0, y 0, z 0 ) = y 0 ; F z(x, y, z) = z F z(x 0, y 0, z 0 ) = z 0. Iz uvjeta paralelnosti dviju ravnina imamo: (F x(x 0, y 0, z 0 ), F y(x 0, y 0, z 0 ), F z(x 0, y 0, z 0 )) = λ(,, ), tj. (x 0, y 0, z 0 ) = λ(,, ). Dobili smo sustav jednadºbi: x 0 = λ x 0 = λ y 0 = λ y 0 = λ z 0 = λ z 0 = λ. Po²to se to ka T (x 0, y 0, z 0 ) = ( λ, λ, λ) nalazi na danom elipsoidu, njene koordinate moraju zadovoljavati jednadºbu tog elipsoida, pa imamo: x 0 y 0 + z 0 = 4 λ 4 λ + λ = λ = Dobili smo dvije vrijednosti λ =, λ =, pa emo imati dvije tangencijalne ravnine na hiperboloid koje su paralelne sa zadanom ravninom: ( za λ = imamo T =, ), i n = (,, ), pa je odgovaraju a tangencijalna ravnina jednaka Π t... (x ) (y ) + (z ) = 0, tj. Π t... x y + z = ; ( za λ = imamo T = ),, i n = (,, ), pa je odgovaraju a tangencijalna ravnina jednaka Π t (x + ) + (y + ) (z + ) = 0, tj. Π t... x y + z =. Zadatak 3.5. Odredite tangencijalnu ravninu na plohu zadanu jednadºbom x y + z = koja je paralelna s ravninom Π... x + y + 3z =.
23 3.3. Ekstremi Nuºan uvjet za postojanje lokalnog ekstrema funkcije z = f(x, y): f x(x, y) = 0 f y(x, y) = 0 Neka to ka T (x 0, y 0 ) zadovoljava nuºni uvjet za postojanje lokalnog ekstrema. Tada ju zovemo stacionarna to ka funkcije z = f(x, y). Ne moraju sve stacionarne to ke biti ekstremi funkcije, potrebno je provjeriti dodatne uvjete. Ozna imo: A = fxx(x 0, y 0 ) B = f xy (x 0, y 0 ) = f yx (x 0, y 0 ) C = f yy (x 0, y 0 ) D = A B B C = A C B = f xx (x 0, y 0 )f yy (x 0, y 0 ) fxy(x 0, y 0 ) Dovoljan uvjet za postojanje lokalnog ekstrema funkcije z = f(x, y): ako je D > 0, onda funkcija u toj to ki ima ekstrem, i to: maksimum ako je f xx (x 0, y 0 ) < 0; minimum, ako je f xx (x 0, y 0 ) > 0; ako je D < 0, onda funkcija u toj to ki nema ekstrem, nego sedlastu to ku (analogon to ke ineksije kod funkcija jedne varijable); ako je D = 0, onda u stacionarnoj to ki moºe, ali ne mora biti ekstrem. U tom slu aju treba ispitivati na sloºeniji na in. Zadaci Primjer 3.6. Odredimo lokalne ekstreme funkcije z = x 3 + 8y 3 6xy + 5.
24 Rje²enje: Prvo treba odrediti stacionarne to ke dane funkcije. Njih dobivamo kao rje²enja sustava f x(x, y) = 3x 6y = 0 f y(x, y) = 4y 6x = 0 x = 4y Uvr²tavanjem u prvu jednadºbu sustava dobijemo: 3(4y ) 6y = 0 48y 4 6y = 0 8y 4 y = 0 y(8y 3 ) = 0, tj. dobili smo y = 0 i 8y 3 = 0 y 3 = 8 y = (. Imamo dvije stacionarne to ke: T (0, 0) i T, ). Za provjeriti da li su dobivene stacionarne to ke ekstremi funkcije trebaju nam parcijalne derivacije drugog reda: f xx (x, y) = 6x f x,y (x, y) = 6 f y,y (x, y) = 48y Provjeravamo prvo za to ku T (0, 0): A = 0, B = 6, C = 0. D = A B B C = = 36 < 0 U to ki T (0, 0) funkcija nema ekstrem, nego sedlastu to ku. ( Jo² trebamo provjeriti za to ku T, ) : A = 6, B = 6, C = 4. D = A B B C = = = 08 > 0 ( U to ki T, ) ( funkcija ima ekstrem, i to minimum jer je f xx, ) = 6 > 0. Zadatak 3.6. Odredite ekstreme sljede ih funkcija: () z = x 3 3xy y 3 ; () z = x 4 + y 4 x y. Zadatak 3.7. Ispitajte da li funkcija z = x ln(x + y) ima ekstrema u podru ju denicije (domeni).
25 4 ZADACI ZA SAMOSTALNU VJEšBU Zadatak 4.. Odredite podru je denicije sljede ih funkcija, te rje²enje predo ite gra ki u ravnini. () f(x, y) = x + y x () f(x, y) = ln(x y 3) + 4 x y + x (3) f(x, y) = ln x x 3y + arccos y x + y (4) f(x, y) = log x (3 y) (5) f(x, y) = ln(36 9x 4y ) x + y + arccos x + y Zadatak 4.. Odredite po deniciji parcijalne derivacije funkcije () f(x, y) = xy; () f(x, y) = (x y) 3 ; (3) f(x, y) = xy u to ki T (, ); (4) f(x, y) = (x y) 3 u to ki T (, ). 5
26 Zadatak 4.3. Pomo u pravila deriviranja odredite parcijalne derivacije sljede ih funkcija: () f(x, y) = ln(x + y + ) u to ki T (, ); () f(x, y) = arctg x y cos (3x y); (3) f(x, y) = log 3 (y 4 x 5 ) + xex +y y Zadatak 4.4. Odredite parcijalne derivacije drugog reda za sljede e funkcije. () f(x, y) = 9 x 3 y + xy x + 3y; () f(x, y) = xy; (3) f(x, y) = 4 x x y + 4y3 ; (4) f(x, y) = sin x sin y + sin(x y). Provjerite da li za dane funkcije vrijedi jednakost u Schwarzovom teoremu. ( Zadatak 4.5. Ako je s(x, t) = ln x ), dokaºite da vrijedi s t x + s x t = x. Zadatak 4.6. Ako je f(x, y) = e x y, dokaºite da vrijedi f x + f y = 4f(x, y)(x + y ). Zadatak 4.7. Odredite parcijalne derivacije prvog reda funkcije z = z(x, y) zadane implicitno sa z = + y x + z y.. Zadatak 4.8. Odredite parcijalne derivacije prvog reda funkcije z = z(x, y) zadane implicitno sljede im jednadºbama, te potom izra unajte njihovu vrijednost u danim to kama: () xz + x + x + y + 5 = 0, T (, 0, z 0 < 0); () x cos y + y cos z + z cosx = π, T ( π 3, 0, z 0).
27 Zadatak 4.9. Odredite prvi i drugi diferencijal, dz i d z, za funkcije: () z = 9 x 3 y + xy x + 3y u to ki T (, ); () z = x, y u to ki T (, ); (3) z = e x y ; (4) z = x 3 ln + xy 3 5 u to ki T (, 0); (5) z = 3x 5 7x 3 y; (6) z = x cos(xy). Zadatak 4.0. Pomo u diferencijala pribliºno izra unajte: () arctg ; () ; (3) Zadatak 4.. Odredite jednadºbu tangencijalne ravnine i normale na plohu z = x xy + y x + y u to ki T (,, ) sa zadane plohe. Zadatak 4.. Odredite jednadºbu tangencijalne ravnine i normale na plohu zadanu jednadºbom x y + z = 3 u to ki T (,, z 0 < 0) koja se nalazi na danoj plohi. Zadatak 4.3. Odredite x jednadºbu tangencijalne ravnine na plohu z = xy koja je okomita na pravac = y π = z + 3. Zadatak 4.4. Odredite ekstreme sljede ih funkcija: () z = 3x xy + y 8y; () z = x + y + xy ; (3) z = x + y e ; (4) z = y x y x + 6y.
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραLokalni ekstremi funkcije vi²e varijabla
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 9 Lokalni ekstremi funkcije više varijabla Poglavlje 1 Lokalni ekstremi funkcije vi²e varijabla Denicija 1.0.1 Za funkciju f dviju varijabli
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije i Limesi i derivacije Poglavlje Limesi i derivacije.0. Limesi Limes funkcije f kada teºi nekoj to ki a ovdje a moºe ozna avati i ± moºemo
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραObi ne diferencijalne jednadºbe
VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 1 Obične diferencijalne jednadžbe 1. reda Obi ne diferencijalne jednadºbe Uvodni pojmovi Diferencijalne jednadºbe su jednadºbe oblika: f(,
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραLEKCIJE IZ MATEMATIKE 2
LEKCIJE IZ MATEMATIKE 2 Ivica Gusić Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Lekcije iz Matematike 2. 7. Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija.
Διαβάστε περισσότεραTeorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραf(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)
Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραSeminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije)
Seminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije) Prvo ponoviti/nau iti sadrºaje na sljede oj stani, a zatim rije²iti zadatke na ovoj stranici. Priprema Ove zadatke moºete rije²iti koriste
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραFunkcije više varijabli
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja
Διαβάστε περισσότεραDerivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραPredavanje osmo: Uvod u diferencijalni račun
Predavanje osmo: Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραUvod u diferencijalni račun
Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?
Διαβάστε περισσότεραMATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012
MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x
Διαβάστε περισσότερα4 Elementarne funkcije
4 Elementarne funkcije 4. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E
. Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραFunkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραGeodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA
Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραVVR,EF Zagreb. November 24, 2009
November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115
4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 2 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Povijesno su dva po prirodi različita
Διαβάστε περισσότεραPlohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli
Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli Franka Miriam Brückler f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. Dakle, za svaki par (x, y) u domeni
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable
Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.
Διαβάστε περισσότερα3.1 Elementarne funkcije
3. Elementarne funkcije 3.. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραDijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.
Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραIntegrali Materijali za nastavu iz Matematike 1
Integrali Materijali za nastavu iz Matematike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 202/3 / 44 Definicija primitivne funkcije i neodredenog integrala Funkcija F je primitivna funkcija (antiderivacija)
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Vježbe 2017/ lipnja 2018.
Matematika Vježbe 17/18. 3. lipnja 18. Predgovor Ova neslužbena i nedovršena skripta prati auditorne vježbe iz kolegija Matematika koje se u ljetnom semestru ak. god. 17/18. na Gradevinskom fakultetu u
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Trigonometrija Trigonometrijska kružnica Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Projektna nastava Osnovne trigonometrijske relacije:. +. tgx. ctgx tgx.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραPojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija
Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.
Διαβάστε περισσότερα3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI Homogene funkcije, homogenost Parcijalne derivacije Totalni diferencijal
Sadržaj 3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI 34 3. Homogene funkcije, homogenost................. 34 3.2 Parcijalne derivacije........................ 38 3.3 Totalni diferencijal........................ 40 3.4 Koeficijenti
Διαβάστε περισσότερα