Q(y) =100(300 2y) 1 3 y
|
|
- Βαρβάρα Μακρή
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 2. Diferencijalni račun i primjene Rješenje. Dakle, problem se sastoji u maksimizaciji funkcije (2.222) uz ograničenje 50x + 100y = (2.223) Riješimo ga metodom supstitucije. Iz ograničenja (2.223) možemo izraziti varijablu x i dobiti x = 300 2y. (2.224) Nakon zamjene (2.224) u (2.222) dobivamo funkciju jedne varijable Q(y) =100(300 2y) 1 3 y 2 3. (2.225) Deriviranjem funkcije (2.225) i izjednačavanjem derivacije s nulom dobivamo jednadžbu [ ] Q 600 6y (y) =100 = 0. (2.226) 3(300 2y) 2 3 y 1 3 Rješenje jednadžbe (2.226) dobije se tako da se brojnik izjednači s nulom, tj y = 0, a odatle je y 0 = 100. Nije teško pokazati da je Q (100) = 2 < 0, pa je y 0 = 100 točka lokalnog maksimuma funkcije Q(y). Vrijednost funkcije utojtočki je Q(100) = = Iz relacije (2.224) proizlazi da je x 0 = 300 2y 0 = 100, dok je maksimalna vrijednost funkcije (2.222) uz ograničenje (2.223) jednaka Q max = Q(100, 100) = = Prema tome, maksimalna proizvodnja od jedinica, uz zadano ograničenje, ostvarujesezakoličinu uloženog rada x 0 = 100 i količinu uloženog kapitala y 0 = Karakterizacije stacionarnih točaka Fundamentalni rezultati diferencijalnog računa poznati su od 17. stoljeća. Prema jednom od tih rezultata za derivabilne funkcije je točka lokalnog ekstrema funkcije njezina stacionarna točka. Obratna tvrdnja općenito ne vrijedi. Taj rezultat znao je Fermat koji ga je koristio u formulaciji metode za nalaženje ekstremnih točaka i poznat je pod nazivom Fermatov teorem. 130 Uveli smo ga kao Teorem 2.7 i ilustrirali u primjeru U ovom pododjeljku bavimo se pitanjem mogu li se i kako okarakterizirati stacionarne točke. Odgovor se može naći u radovima Zlobec [90] i [91] za funkcije više varijabli. Ovdje ćemo ga prikazati za dvaput neprekidno derivabilne funkcije jedne varijable, 130 Pierre de Fermat ( ) francuski matematičar bio je po profesiji pravnik. Otkrio je važne rezultate i u teoriji brojeva. U tom području poznat je poteoremu koji sumatematičari nazvali zadnji Fermatov teorem. U specijalnom slučaju teorem kaže da ne postoje prirodni brojevi x, y i z za koje je x 3 + y 3 = z 3. Originalni dokaz tog teorema nije pronaden, - a teorem je dokazan tek 1993.! 324
2 2.7. Funkcije više varijabli tj. funkcije koje imaju neprekidnu drugu derivaciju. U tom slučaju rezultati iz literature znatno se pojednostavnjuju i nema potrebe da uvodimo nove pojmove. TEOREM (Karakterizacije stacionarnih točaka) Nekajef (x) dvaput neprekidno derivabilna funkcija jedne varijable na otvorenoj domeni koja sadrži interval I =[a, b]. Tada su u proizvoljnoj unutarnjoj točki x 0 intervala sljedeće tri tvrdnje ekvivalentne, tj. svaka tvrdnja povlači druge dvije. (i) f (x 0 )=0. (ii) Postoji broj Λ 0takavdaje f (x) f (x 0 ) Λ(x x 0 ) 2 za svako x I. (iii) Funkcija f (x) f (x 0 ) (x x 0 ) 2 je ograničena na skupu I \ x 0 = {x I x x 0 }. 131 Dokaz. Očigledno je da su tvrdnje (ii) i (iii) ekvivalentne. Zato ćemo dokazati samo ekvivalentnost tvrdnji (i) i (ii). Pretpostavimo da je ispunjeno (i). Dokažimo da tada vrijedi (ii)! Funkciju f (x) možemo prikazati u obliku f (x) = [ f (x)+(1/2)αx 2] (1/2)αx 2 gdje je α proizvoljan broj. Prema pododjeljku znamo da je (1/2)αx 2 konveksna funkcija za svako α 0. Označimo funkciju u uglatoj zagradi s C(x, α) =f (x)+(1/2)αx 2. Pokazat ćemo da postoje brojevi α 0 zakojejei C konveksna u varijabli x. Prvo, budući da je f (x) po pretpostavci neprekidna funkcija na I, ona doseže svoju minimalnu vrijednost na I, prema Weierstrassovu teoremu (Teorem 2.11). Označimo tu vrijednost s α. Pogledajmo sada drugu derivaciju funkcije C, tj. C (x, α) =f (x)+α. Znamo da je f (x) α za svako x I. Zato je C (x, α) =f (x)+α α + α. Bez obzira na predznak broja α uvijek možemo naći brojeve α 0takvedajeα + α 0. Za te brojeve je C (x, α) 0 i sada znamo, na osnovu pododjeljka 2.6.3, ne samo da je (1/2)αx 2 konveksna funkcija nego je to i C(x, α). Tako smo, usput, pokazali da se svaka dvaput neprekidno derivabilna funkcija f (x) može prikazati kao razlika neke konveksne funkcije C(x, α) i kvadratne konveksne funkcije (1/2)αx 2 na intervalu I =[a, b] za svako dovoljno veliko α 0. (Ovaj rezultat nije intuitivan jer nije očigledno da se npr. periodične funkcije, kao f (x) =sin x, mogu tako prikazati.) 131 Ovaj rezultat prvi put je prikazan na 13. Me - dunarodnoj konferenciji iz Operacijskih istraživanja KOI 2010, koju je organiziralo Hrvatsko društvo za operacijska istraživanja na Ekonomskom fakultetu Sveučilišta u Splitu u rujnu godine. Referenca rada Zlobec [90] spomenuta je na Google-u pod JGO-2010 most viewed paper 325
3 2. Diferencijalni račun i primjene S druge strane, f (x) možemo prikazati i kao f (x) = [ f (x)+(1/2)βx 2] (1/2)βx 2 za svaki broj β.označimo funkciju u uglatoj zagradi s C (x, β) =f (x)+(1/2)βx 2. Funkcija (1/2)βx 2 je konkavna za svako β 0, a C (x, β) je konkavna ako i samo ako je C (x, β) =f (x)+β 0. Označimo s β maksimalnu vrijednost funkcije f (x) na I.Sadajef (x) β za svako x I pa imamo C (x, β) =f (x)+β β + β. Bez obzira na predznak broja β možemo naći brojeve β 0takvedajeβ + β 0. Za te je brojeve C (x, β) 0, tj. C (x, β) je konkavna na I. Ovo pokazuje da je svaka dvaput neprekidno derivabilna funkcija razlika neke konkavne funkcije C (x, β) i konkavne kvadratne funkcije (1/2)βx 2 na I za svako dovoljno malo β 0. Nastavljamo dokaz s nekim dovoljno velikim fiksnim α 0 i dovoljno malim fiksnim β 0. Budući da je C(x, α) konveksna u x za takvo α, prema definiciji konveksne funkcije na intervalu izmedu - x 0 i x u I imamo C(λx +(1 λ)x 0, α) λc(x, α)+(1 λ)c(x 0, α) za 0 λ 1. Budući da je C(x, α) =f (x)+(1/2)αx 2,ovoznači da je f (λx +(1 λ)x 0 ) (1/2)α[λx +(1 λ)x 0 ] 2 + λf (x) (1/2)αλx 2 + +(1 λ)f (x 0 )+(1/2)α(1 λ)(x 0 ) 2. Nakon sre - divanja i dijeljenja s λ > 0, slijedi [f (x 0 + λ(x x 0 )) f (x 0 )] f (x) f (x 0 )+(1/2)α(1 λ)(x x 0 ) 2. λ Na lijevoj strani imamo kvocijent funkcija u varijabli λ tipa 0/0. U ovoj situaciji koristimo L Hospitalovo pravilo koje nakon graničnog procesa λ 0daje f (x 0 )(x x 0 ) f (x) f (x 0 )+(1/2)α(x x 0 ) 2. Vratimo se tvrdnji (i). Kad je f (x 0 )=0, zaključujemo da je (1/2)α(x x 0 ) 2 f (x) f (x 0 ). Analogan postupak možemo primijeniti na konkavnu funkciju C (x, β) =f (x)+(1/2)βx 2. Prvo koristimo definiciju konkavne funkcije, zatim prelazimo natrag na f, primjenjujemo L Hospitalovo pravilo i zaključujemo da je Posljednje dvije nejednadžbe daju f (x) f (x 0 ) (1/2)β(x x 0 ) 2. (1/2)α(x x 0 ) 2 f (x) f (x 0 ) (1/2)β(x x 0 )
4 2.7. Funkcije više varijabli Brojevi α 0iβ 0sufiksni, zato postoji broj Λ 0takavdaje (1/2)α Λ (tj. Λ (1/2)α) i (1/2)β Λ (tj. Λ (1/2)β).BrojΛ zadovoljava Λ(x x 0 ) 2 f (x) f (x 0 ) Λ(x x 0 ) 2 što znači da je f (x) f (x 0 ) Λ(x x 0 ) 2 za svako x I, što je tvrdnja (ii). Znatno je jednostavnije dokazati da (ii) povlači (i). Prvo vidimo da iz (ii), nakon dijeljenja s x x 0 0 slijedi [f (x) f (x 0)] Λ x x 0. (x x 0 ) Na granici kad x x 0 desna strana postaje nula, dok lijeva strana postaje apsolutna vrijednost derivacije. Odavde slijedi f (x 0 ) 0, pa zaključujemo da je f (x 0 )=0, što je (i). Geometrijska interpretacija stacionarne točke. Teorem 2.16 ima jednostavnu geometrijsku interpretaciju: Unutarnja točka x 0 nekog intervala I =[a, b] je stacionarna točka dvaput neprekidno derivabilne funkcije f ako i samo ako postoji broj Λ 0zakojije funkcija apsolutne vrijednosti f (x) f (x 0 ) omedena - odozgo parabolom Λ(x x 0 ) 2 na I. Vizualne ilustracije ovog teorema i nekih njegovih primjena mogu se naći u Zlobec [90], [91] i [92]. 132 U primjeru 2.45, koristeći Fermatovu metodu, vidjeli smo da je x 0 = 0 stacionarna točka funkcije f (x) =x 3.Sadaćemo taj rezultat provjeriti koristeći Teorem 2.16 (ii), (iii). PRIMJER Prema teoremu 2.16 (ii) slijedi da je x 0 = 0 stacionarna točka funkcije f (x) =x 3 na intervalu I =[ 1, 1] ako i samo ako postoji Λ 0 takvo da vrijedi x 3 Λx 2 na I. Uzmimo npr. Λ = 1. Budući da je x 3 x 2 na intervalu I, zaključujemo da je x 0 = 0 stacionarna točka. Ilustrirajmo tvrdnju (iii)! Ona kaže da je x 0 = 0 stacionarna točka ako i samo ako je razlomljena funkcija x 3 /x 2 ograničena na skupu I \{0}. Budući da je x 3 /x 2 = x za x 0, a ova funkcija je ograničena na I, ponovno zaključujemo da je x 0 = 0 stacionarno. Kakva je situacija s drugim točkama? Je li neka proizvoljna točka x 0 stacionarna? Prema teoremu 2.16 (ii) slijedi da je x stacionarno ako i samo ako postoji neko Λ 0 za koje vrijedi x 3 (x ) 3 Λ(x x ) 2 na intervalu I. Budući da je, nakon skraćivanja tj. dijeljenja s x x 0, funkcija [x 2 + x x +(x ) 2 ]/(x x ) neograničena na I \{x }, što se vidi kad pustimo x da teži prema x (tada brojnik teži prema 3(x ) 2 0, a nazivnik prema nuli) zaključujemo da takvo Λ ne postoji. Zaključak: Niti jedno x 0nemože biti stacionarna točka funkcije f (x) =x 3. Fermatova metoda sastoji se od računanja derivacije f (x) irješavanja jednadžbe f (x) = 0. Za funkcije jedne varijable metoda je jednostavna i pouzdana. Karakterizacije (ii) i 132 Rad Zlobec [92] dostupan je na internetu u časopisu Mathematical Communications, godina, Vol. 17, No. 2. Časopis izdaje Odjel za matematiku osječkog sveučilišta u suradnji s Udrugom matematičara Osijek. 327
5 2. Diferencijalni račun i primjene (iii) koriste se uglavnom za provjeru stacionarnosti i za dobivanje globalnih informacija o ponašanju funkcije. Tako iz (ii) vidimo da za specificirano ε > 0svakox koje zadovoljava Λ(x x 0 ) 2 ε mora zadovoljavati i f (x) f (x 0 ) ε. Za broj Λ možemo uzeti bilo koje Λ (1/2)max f (x) gdje se maksimum funkcije apsolutne vrijednosti druge derivacije uzima po x na intervalu I. Ako neko Λ 0 zadovoljava (ii), tada je (ii) zadovoljeno i za svaku njegovu veću vrijednost. PRIMJER Znamo da funkcija f (x) =x 3 ima stacionarnu točku x 0 = 0 na intervalu I = [ 1, 1]. Kako se f (x) ponaša oko te točke? Specificirajmo npr. ε = 0, 1. Ako uzmemo Λ = 1, zaključujemo da je f (x) = x 3 0, 1 za svako x za koje je x 2 0, 1. Za isto ε, ali s izborom većeg Λ, interval oko stacionarne točke u kojem možemo ocijeniti vrijednost f (x) tipično je manji. Tako za ε = 0, 1iΛ = 3 znamo da je f (x) = x 3 0, 1zasvakox za koje je 3x 2 0, 1. Zadaci Zadana je funkcija dviju varijabli z(x, y) =+ 25 (x 1) 2 (y 2) 2. Odredite njenu domenu A i kodomenu B. 2. Prikažite grafički funkciju dviju varijabli z(x, y) = 1 (4 2x y) Prikažite grafički funkciju dviju varijabli z(x, y) =16 x 2 y 2 direktno i pomoću razinskih linija. 4. Ispitajte homogenost funkcije z(x, y) =2x 3 3xy 2 + 4x 2 y 5y 3 te ako je homogena, navedite interpretaciju stupnja homogeniteta. 5. Je li homogena Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje Q(L, K) =250L 0,125 K 0,875? Za koliko % se približno promijeni Q,akoseL i K povećaju za 1%? 328
6 2.7. Funkcije više varijabli 6. Ispitajte homogenost CES funkcije proizvodnje 133 Q(L, K) =A [ δk ρ +(1 δ)l ρ] 1 ρ, (A > 0, 0 < δ < 1, 1 < ρ 0), gdje su K i L faktori proizvodnje ( K -kapital, L -rad), dok su A, δ i ρ parametri. Interpretirajte rezultat. 7. Izračunajte parcijalne derivacije prvog reda funkcije utočki (1, 1). z(x, y) =5x 2 y 2 e x+y, 8. Izračunajte parcijalne derivacije prvog reda funkcije utočki (1, 0). z = 3x 2 e 5y 9. Primjenom totalnog diferencijala izračunajte približnu vrijednost izraza 32, , Primjenom totalnog difrencijala izračunajte približnu vrijednost izraza 3, , Koliko iznosi apslutna, a koliko relativna greška? 11. Za funkciju potražnje q 1 = 5p 1 + 4p 2 + 8p 3 odredite koeficijente parcijalne i križne elastičnosti ako je p 1 = 4, p 2 = 5, p 3 = 10, te interpretirajte rezultate. 12. Ako je funkcija potražnje q 1 = 45p 0,2 1 p 0,3 2 p1,2 3, izračunajte koeficijente parcijalne i križne elastičnosti, te interpretirajte rezultate. 13. Zadana je funkcija potražnje u logaritamskom obliku ln q 1 = ln 120 0, 6lnp 1 + 1, 4lnp 2 + 0, 8lnp 3. Izračunajte koeficijente parcijalne i križne elastičnosti, te ih interpretirajte. 133 Vidi Arrow et al., [4], Chiang [20], str Kratica CES dolazi od Constant Elasticity Substitution, što znači konstantna elstičnost supstitucije. Ocjenjivanju takve funkcije posvećen je rad Kmenta [39]. 329
7 2. Diferencijalni račun i primjene 14. Za funkciju potražnje ln q 1 = ln 40 2, 5lnp 1 + 1, 1lnp 2 izračunajte zbroj koeficijenata parcijalne i križne elastičnosti, te interpretirajte rezultat. 15. Primjenom Eulerovog torema izračunajte zbroj koeficijenata parcijalnih elastičnosti funkcije proizvodnje Q(L, K) =250 L 0,4 K 0,8 i iterpretirajte rezultat. 16. Za funkciju proizvodnje ln Q = ln , 6lnK + 0, 5lnL izračunajte zbroj koeficijenata parcijalnih elastičnosti te funkcije. 17. Izračunajte derivaciju funkcije zadane uimplicitnom obliku F(x, y) =8x 2 3y 2 + 4xy 10x + 6y + 15 = Izračunajte totalnu derivaciju funkcije ako je y = 3x 2 + 6x Odredite Hesseovu matricu funkcije utočki (2, 1). 20. Za funkciju z = 15x 2 y + 8x, z(x, y) =2x 2 + 3x 2 y 2 5y 2. z = 2x x2 1 x2 2 4x3 2 izračunajte Hesseovu matricu u točki T(1, 1). 21. Za funkciju f (x, y, z) =3x 4 + 2x 2 y 2 5z 3 izračunajte Hesseovu matricu u točki T(1, 1, 1). 22. Ispitajte ima li ekstrema funkcija 23. Ispitajte ima li ekstrema funkcija z = x 2 + y 2 + xy 7x + 4y z = x 2 y x + 2y xy
8 2.7. Funkcije više varijabli 24. Ispitajte ima li ekstrema funkcija 25. Ispitajte ima li ekstrema funkcija z = x 2 + y 2 xy + 8x y z = x 2 y 2 + 2x 5y xy Pomoću Lagrangeove funkcije i Lagrangeovog množitelja riješite problem uz ograničenje maxz = 25xy g(x, y) =5x + 4y 100 = 0. Navedite interpretaciju Lagrangeovog multiplikatora. 27. Pomoću Lagrangeove funkcije i Lagrangeovog množitelja riješite problem uz ograničenje maxz = xy g(x, y) =x + 5y 150 = 0. Navedite interpretaciju Lagrangeovog množitelja. 28. Uz pomoć Lagrangeove funkcije i Lagrangeovog množitelja riješite problem uz ograničenje maxz = 5xy g(x, y) =25x + 10y 400 = 0. Koja je interpretacija Lagrangeovog množitelja? 29. Primjer riješite metodom Lagrangeovog množitelja. Navedite interpretaciju Lagrangeovog množitelja. 30. Primjer riješite metodom Lagrangeovog množitelja. Navedite interpretaciju Lagrangeovog množitelja. 31. Primjer riješite metodom Lagrangeovog množitelja. Navedite interpretaciju Lagrangeovog množitelja. 331
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραVVR,EF Zagreb. November 24, 2009
November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI Homogene funkcije, homogenost Parcijalne derivacije Totalni diferencijal
Sadržaj 3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI 34 3. Homogene funkcije, homogenost................. 34 3.2 Parcijalne derivacije........................ 38 3.3 Totalni diferencijal........................ 40 3.4 Koeficijenti
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable
Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραSadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije
Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Osnovni teoremi diferencijalnog računa L Hospitalovo pravilo Derivacije višeg reda Derivacija
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραOsnovni teoremi diferencijalnog računa
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραDerivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότερα1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.
1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)
Διαβάστε περισσότερα2 Elastičnost funkcije Elastičnost funkcija u ekonomiji Formula za koeficijent elastičnosti funkcije zadane algebarski
Sadržaj 1 Diferencijalni račun funkcija više varijabli 2 1.1 Funkcije više varijabli....................... 2 1.1.1 Parcijalni i ukupni prirast funkcije više varijabli.... 3 1.1.2 Parcijalne derivacije...................
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije
Διαβάστε περισσότερα4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115
4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 2 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Povijesno su dva po prirodi različita
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalni račun
ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραFunkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
Διαβάστε περισσότερα1 Obične diferencijalne jednadžbe
1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότερα2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije
Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότερα1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα6. Nelinearne jednadžbe i sustavi
6. Nelinearne jednadžbe i sustavi 6.. Osnovne napomene Neka je I interval u R, f : I R neprekidna funkcija na I inekajedana jednadžba f(x) =0. (6.) Riješiti jednadžbu (6.) znači naći one x za koje vrijedi
Διαβάστε περισσότεραNeprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija
Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα