1.1 Funkcije dvije i više promjenljivih

Transcript

1 11 Funkcije dvije i više promjenljivih Funkcije dvije i više promjenljivih Zamislimo situaciju u kojoj dva proizvodaa i B i njihove potražnje zavise o cijenamap A i p B Q A je potražnja za proizvodoma, dok je Q B potražnja za proizvodomb Onda bi bilo realno očekivati da su potražnje ovisne o obje cijene, tj Q A (p A,p B ) i Q B (p A,p B ) Na primjer Q A (p A,p B ) = 100 5p A +2p B, Q B (p A,p B ) = 3p A 1 2p 2 B Neka su recimo ukupni troškovi tada T(Q A,Q B ) = Q A +3Q B, a prosječni troškovi proizvodnje proizvoda A i B zajedno su T(Q A,Q B ) = T(Q A,Q B ) Q A +Q B Općenito, ako imamo n proizvoda sa cijenama p 1,p 2,,p n onda će odgovarajuće funkcije potražnje biti Q 1 = Q 1 (p 1,p 2,p n ) Q 2 = Q 2 (p 1,p 2,p n ) Q n = Q n (p 1,p 2,p n ) Ovdje su Q i funkcije ili zavisno promjenljive, dok su cijene nezavisno promjenljive Općenito: y = f(x 1,x 2,,x n ) se naziva funkcija sa n promjenljivihx 1,x 2,x n Ovakava funkcija uzima n brojeva i vraća jedan broj, tj f : R n R Specijalno, ako je n = 2, imamo funkcije dvije promjenljive,f(x 1,x 2 ) ili f(x,y) Na primjer f(x 1,x 2 ) = x 2 1 3x 1 x 2 +2x , f(x,y) = x 2 3xy +2y 2 10, 1

2 Primjer Neka je data funkcija proizvodnje P u nekoj fabrici koja zavisi o uloženom radu L i kapacitetu C: 1 P(L,C) = α L a 1 C a - Doublasova funkcija 2 P(L,C) = L 2 ln L C +C2 Ako jel = 10, a C = 5, tada je P(10,5) = 10 2 ln = 100ln Parcijalni izvodi funkcija više promjenljivih Parcijalni izvodi funkcija više promjenljivih Ako nam je data funkcija više promjenljivih f(x 1,x 2,,x n ), izvod ove funkcije po promjenljivoj x 1 dobivamo na uobičajen način, dok sve ostale promjenljive x 2,x 3, držimo fiksnim! Općenito, izvod funkcije po x k nalazimo tako što x 1,x 2,,x k 1,x k+1,,x n držimo fiksnim Posmatrajmo sad izvod pox 1 Slično kao kod standarnih izvoda, ako postoji limes f lim = f(x 1 + x 1,x 2,,x n ) f(x 1,x 2,,x n ) x 1 x 1 x 1 onda se vrijednost tog limesa naziva prvi parcijalni izvod funkcije f po promjenljivoj x 1 Pišemo, f x 1, f x1 Prilikom izračunavanja ovog izvoda, sve ostale promjenljive su fiksne se izračunava kada se smatra da sux 1,x 3,,x n fiksne, itd Primjer 1 f(x 1,x 2 ) = 3x 2 1 2x 1x 2 2 +x2 2 10x f(x,y) = (2x 3y)(6xy 1) 3 f(x 1,x 2 ) = (x 2 1 2x 2) e x1x2 Obratno, x Parcijalni diferencijali Parcijalni diferencijali Ako je kod funkcija jedne promjenljive diferencijal bio definisan kao dy = y dx, za funkciju n promjenljivih definišemo n parcijalnih diferencijala: d 1 f = dx 1 2

3 d 2 f = x 2 dx 2 d n f = x n dx n Totalni diferencijal funkcije više promjenljivih Imamo da je totalni diferencijal Specijalno, za n = 2, df = d 1 f +d 2 f ++d n f df = dx 1 + x 2 dx 2 ++ x n dx n df = dx 1 + x 2 dx Parcijalni izvodi drugog reda Parcijalni izvodi drugog reda Generalno govoreći, a kako smo vidjeli iz primjera, funkcije više nezavisnih promjenljivihx 1,x 2,x n,,, x n su tako der Od svake od njih možemo tražiti izvod po bilo kojoj promjenljivoj, te dobiti parcijalni izvod drugog reda! = f(x 1,x 2,,x n ) ( ) = 2 f = 2 f Ukoliko tražimo drugi parcijalni izvod prvog izvoda, dobijemo mješoviti drugi parcijalni izvod ( ) = 2 f x 2 x 2 ( ) = 2 f x n x n Na isti način dobijemo za parcijalni izvod pox 2 : ( ) = 2 f x 2 x 2 x 2 1 3

4 VAŽNO - ovi mješoviti izvodi nisu obavezno isti!!! Ovaj proces onda možemo nastaviti unedogled kako bismo dobili treći, četvrti, peti, itd mješoviti parcijalni izvod, npr za funkciju dvije promjenljive 2 f x y, 2 f 3 f 3 f y 2, y x 2, x y x Primjenjujemo tačno isti pristup kao prije, dakle ako izvodimo pox 1, onda ostale promjenljive držimo fiksnim! Primjer Naći sve druge parcijalne izvode funkcije f(x,y) = xe xy Schwartzov teorem Teorem 11 Ako suf(x,y) i parcijalni izvodif x,f y,f xy,f yx definirane i neprekidne u tački n(x, y) i nekoj njenoj okolini, tada su mješoviti parcijalni izvodi me dusobno jednaki, tj 2 f x y = 2 f y x Napomena: iz prethodnog primjera se vidi da ovaj teorem vrijedi općenito za bilo koje parcijalne izvode Važno je koliko se puta derivira po odre denoj promjenljivoj a da pri tome uopće nije bitan poredak deriviranja Primjer z(x,y) = x 2 log[y siny +ye y ln(2y 3 13)] Primjena diferencijalnog računa više promjenljivih Primjena diferencijalnog računa više promjenljivih Neka je sada dozvoljeno da i naše ekonomske funkcije imaju više promjenljivih, npr Q 1 (p 1,p 2,,p n,k,t), gdje su p i cijene različitih proizvoda, k dohodak, t vrijeme Onda možemo definisati koeficijent parcijalne elastičnosti funkcijeq 1 kao: E Q1,p 1 = p 1 Q 1 Q 1 p 1 No tako de možemo posmatrati kako promjene cijena drugih proizvoda utiču na Q 1 To nazivamo koeficijent ukrštene elastičnosti E Q1,p i = p i Q 1 Q 1 p i, i = 2,3,,n 4

5 S druge strane imamo i koeficijent dohodovne elastičnosti E Q1,k = k Q 1 Q 1 k, te koeficijent elastičnosti u odnosu na vrijeme E Q1,t = t Q 1 Q 1 t Primjer Izračunati koeficijente parcijalne i ukrštene elastičnosti funkcije Q A (p A,p B ) = 50 3p A +5p B na nivou cijenep A = 10 i p B = 4 Interpretirati rezultat Primjer je funkcija potražnje sa cijenamap 1, p 2 Q 2 (p 1,p 2 ) = 100+2p 1 4p 2 1 Za koje cijenep 1 i p 2 ova funkcija ima ekonomskog smisla 2 Skicirati graf u koordinatnom prostoru 3 Izračunati stopu promjene prethodne funkcije u odnosu na cijenep 1 = 5,p 2 = 1 Funkcija potražnje (ponude) Q i (p 1,p 2,,p n ) Q i p k je stopa promjene funkcije potražnjeq i u odnosu na cijenup k,(i,k = 1,2,,n) Ako je ovaj parcijalni izvod veći od nule,q i je rastuća funkcija u odnosu na cijenu p k Ako je ovaj parcijalni izvod manji od nule, Q i je opadajuća funkcija u odnosu na cijenup k Funkcija ukupnih troškova Ako pretpostavimo da imamo proizvodnju dva dobra sa potražnjamaq 1 iq 2, funkcija ukupnih troškova je T(Q 1,Q 2 ) = VT(Q 1,Q 2 )+FT Očito, kao i prije, F T = T(0, 0) Sada je funkcija prosječnih troškova me dutim T(Q 1,Q 2 ) = T(Q 1,Q 2 ) Q 1 +Q 2 T Q i je marginalni (granični) trošak u odnosu na potražnjuq i, i = 1,2,n 5

6 Primjer Ako je T(Q 1,Q 2 ) = 1+10(Q 1 +Q 2 ) 1, odrediti koji su fiksni troškovi te naći funkcije graničnih troškova u odnosu naq 1, a onda u odnosu naq 2 Interpretirati rezultat Funkcija ukupnih prihoda i dobiti Posmatrajmo proizvodnju dva dobra čije su potražnje Q 1 i Q 2, a cijene p 1 i p 2 Tada je P(p 1,p 2 ) = Q 1 p 1 +Q 2 p 2 = Q 1 (p 1,p 2 )p 1 +Q 2 (p 1,p 2 )p 2 funkcija ukupnog prihoda kao funkcija cijena, dok je P(Q 1,Q 2 ) = Q 1 p 1 (Q 1,Q 2 )+Q 2 p 2 (Q 1,Q 2 ) funkcija ukupnog prihoda kao funkcija potražnji P Q i je granični prihod u odnosu na potražnjuq i, i = 1,2,,n je onda funkcija dobiti, dok je prosječni prihod D(Q 1,Q 2 ) = P(Q 1,Q 2 ) T(Q 1,Q 2 ) P(Q 1,Q 2 ) = P(Q 1,Q 2 ) Q 1 +Q 2 Primjer Date su cijene dva dobra p 1 i p 2 kao funkcije proizvodnje Q 1 i Q 2, kao i funkcija ukupnih troškovat(q 1,Q 2 ) p 1 = 10 Q 1, p 2 = 20 Q 2, T(Q 1,Q 2 ) = 4Q 2 1 +Q Izvesti funkciju dobiti u ovisnosti oq 1,Q Homogene funkcije Homogene funkcije Definicija 11 Za funkciju f = f(x 1,x 2,,x n ) kažemo da je homogena stepena homogenosti α ako vrijedi Primjer f(λx 1,λx 2,,λx n ) = λ α f(x 1,x 2,,x n ) f(x 1,x 2,x 3 ) = x x x 1 x 3 Primjer Proizvodnja P zavisi o uloženom radu L i uloženom kapitalu C: P(L,C) = L 2 ln C L +C2 Ako se oba proizvoda faktora (L, C) istovremeno povećaju za 10%, za koliko procenata se promjeni proizvodnja 6

7 Općenito, za proizvoljnu funkcijuf(x 1,x 2,,x n ) koja je homogena stepena homogenosti α f f = (λα 1) 100%, tj procenat promjene funkcije f kada se svaka promjenljiva uveća za λ = 1 + p 100, gdje je p procenat promjene svake promjenljive 122 Eulerov teorem Eulerov teorem Teorem 12 Neka je funkcija f homogena funkcija stepena homogenosti α Tada vrijedi x 1 +x 2 ++x n = α f x 2 x n Ako cijelu jednakost podijelimo sa f, dobijemo ekvivalent: Teorem 13 Neka je funkcija f homogena funkcija stepena homogenosti α Tada je zbir svih koeficijenata elastičnosti te funkcije jednak stepenu homogenosti funkcije α i vrijedi x 1 f + x 2 f ++ x n x 2 f x n = α Primjer E P,L + E P,C = 2, gdje je P(L,C) = L 2 ln C L + C2, tj P je homogena funkcija stepena homogenosti α = 2 13 Ekstremi funkcija više promjenljivih Ekstremi funkcija više promjenljivih Na isti način kao što je to bio slučaj kod funkcija jedne promjenljive, sada posmatramo lokalne ekstreme funkcija više promjenljivih Definicija 12 Za funkciju f = f(x) = f(x 1,x 2,,x n ) kažemo da ima lokalni minimum u tački A(a 1,a 2,,a n ) ako je ona definisana u nekoj okolini U A tačke A i ako vrijedi da je f(x) > f(a) za svakox U A Definicija 13 Za funkciju f = f(x) = f(x 1,x 2,,x n ) kažemo da ima lokalni maksimum u tačkia(a 1,a 2,,a n ) ako je ona definisana u nekoj okoliniu A tačkea i ako vrijedi da je f(x) < f(a) za svakox U A Stacionarna tačka funkcije f(x 1,x 2,,x n ) je tačka u kojoj su svi parcijalni izvodi funkcije jednaki nuli, tj = x 2 = = x n = 0 7

8 Primjedba Stacionarna tačka ne mora biti tačka lokalnog ekstrema Da li je stacionarna tačka uopće tačka lokalnog ekstrema i ako jeste, da li je maksimum ili minimum, ispituje se po tzv Silvestrovom kriteriju Hessian Definicija 14 Neka je f = f(x 1,x 2,,x n ) Za ovu funkciju definiramo Hesseovu matricu ili Hessian funkcije: f 11 f 12 f 1n f 21 f 22 f 2n H =, f n1 f n2 f nn gdje su f ij = 2 f x i x j,i,j {1,2,,n} 131 Silvesterov kriterij Silvesterov kriterij 1 Ako za Hessijan odre den u stacionarnoj tački funkcije vrijedi D 1 = f 11 > 0, D 2 = f 11 f 12 f 21 f 22 > 0, D f 11 f 12 f 13 3 = f 21 f 22 f 23 f 31 f 32 f 33 > 0,, D n = H > 0 tada je stacionarna tačka tačka lokalnog minimuma 2 Ako za Hessijan odre den u stacionarnoj tački funkcije vrijedi D 1 = f 11 < 0, D 2 = f 11 f 12 f 21 f 22 > 0, D f 11 f 12 f 13 3 = f 21 f 22 f 23 f 31 f 32 f 33 < 0,, tj naizmjenično se mijenja znak glavnih minora Hessijana, počevši od negativnog, tada je stacionarna tačka tačka lokalnog maksimuma Primjer Naći lokalne ekstreme funkcijef(x,y) = x 2 +y 2 16 Primjer Naći optimalnu kombinaciju proizvodnje u cilju maksimiziranja dobiti iz primjera funkcija prihoda i dobiti: D(Q 1,Q 2 ) = 5Q 2 1 2Q Q 1 +20Q

9 Optimum - vezani (uvjetni) ekstrem Optimum - vezani (uvjetni) ekstrem Imamo funkciju cilja f (x, y) i tražimo ili maksimum ili minimum te funkcije nezavisnih promjenljivih x, y pod uslovom g(x, y) = 0 Metod supstitucije Ovaj metod primjenjujemo kada iz uslova g(x, y) = 0 možemo jednu od promjenljivih izraziti pomoc u one druge, npr y = ϕ(x), a zatim to zamjenimo (supstituišemo) u jednac inu funkcije f (x, y) Na taj nac in funkcija postaje funkcija jedne promjenljive za koju znamo kako se odred uje minimum i maksimum f (x, y) = f (x, ϕ(x)) = F (x) Primjer Zadana je funkcija korisnosti za potrošac a u(q1, Q2 ) = Q1 Q2, gdje je Q1 kolic ina proizvoda A a Q2 kolic ina proizvoda B Jedinic na cijena proizvoda A je 1KM a cijena proizvoda B je 4KM Ukoliko potršac ima na raspolaganju 1200KM koje želi u potpunosti potrošiti, pronad ite kolic ine proizvoda A i B uz koje se ostvaruje maksimalna korisnost Kolika je maksimalna korisnost? Metod Lagrangeovih multiplikatora Ovaj se metod koristi u sluc aju kad iz dodatnog uvjeta ne možemo izraziti jednu nepoznanicu preko druge, ako je u pitanju funkcija cilja sa dvije promjenljive Dakle ako je funkcija cilja f (x, y) a dodatni uvjet g(x, y) = 0, umjesto funkcije f (x, y) uvodimo novu funkciju F (x, y, λ) = f (x, y) λg(x, y) i sada se problem svodi na odred ivanje ekstrema funckije F (x, y, λ) Stacionarne tac ke odred ujemo iz Fx = fx λgx = 0 Fy Fλ = fy λgy = 0 = g(x, y) = 0 9

10 Dalji postupak je isti kao u slučaju ekstrema sa više promjenljivih kada koristimo Silvesterovo pravilo Primjer Maksimizirati funkciju f(x, y) = x + y na jediničnoj kružnici Primjer Riješiti problem f(x,y) = x 2 +y 2 ext x+y = 1 Kao što smo rekli, formiramo prvo lagranžijan Λ(x,y,λ) = f(x,y) λg(x,y) = x 2 +y 2 λ(x+y 1), gdje je sa g(x,y) = x+y 1zadata uslovna funkcija U drugom koraku računamo gradijent lagranžijana ( Λ Λ(x,y,λ) = x, Λ y, Λ ) = (2x λ,2y λ,x+y 1) λ Sada rješavamo sistem 2x λ = 0 2y λ = 0 x+y 1 = 0 Iz prve dvije jednačine sistema imamo 2x = 2y, tj x = y, pa uvrštavajući to u treću jednačinu, dobijamo( x = y = 1 2 i za ove vrijednosti je λ = 1 Dakle, imamo jednu stacioarnu tačkux 1 0 2, 1 2,1) Posljedni korak je utvrdjivanje karaktera tačkex 0 Računajući druge parcijalne izvode, imamo d 2 f(x 0 ) = 2dx 2 +2dy 2, i vidimo da je d 2 f(x 0 ) > 0 (kao suma kvadrata), te dakle imamo minimum funkcije f, pri uslovug, u tački ( 1 2, 1 2), i on iznosi fmin =