! R. f : D. (x 1 ; x 2 ; :::; x m ) 2 D f! u = f (x 1 ; x 2 ; :::; x m ) 2 R. f pridruen je jedan i samo jedan realan broj u 2 R:) (x; y) 2 D

Transcript

1

2 3.3 Funkcije više varijabli Denicija 3.1 Neka je D R m R R: Funkciju f : D! R nazivamo realnom funkcijom od m realnih varijabla. (x 1 ; x 2 ; :::; x m ) 2 D f! u = f (x 1 ; x 2 ; :::; x m ) 2 R (Svakoj ure denoj m torci (x 1 ; x 2 ; :::; x m ) 2 D pravilom f pridruen je jedan i samo jedan realan broj u 2 R:) Kao i funkciju jedne varijable, funkciju više varijabla (skalarnu funkciju) moemo zadati analiti cki, tabli cno, gra cki, parametarski, implicitno,... Dakle: Ako je D R 2 ; funkciju f : D! R nazivamo funkcijom dviju varijabli. (x; y) 2 D f! z = f(x; y) 2 R

3 f [D] = f z j z = f(x; y); (x; y) 2 Dg slika funkcije, x; y nezavisne varijable, z zavisna vrijabla. Funkciju obicno zadajemo u eksplicitnom obliku z = f(x; y): Budući da, u tom slucaju, nije naznacena domena, podrazumijevamo da je domena maksimalan podskup D f od R 2 za koji pravilo f "ima smisla". Skup f = f (x; y; f(x; y)) j (x; y) 2 Dg R 3 nazivamo graf funkcije f : D! R; D R 2 : Graf u prostoru predstavlja neku plohu. Primjer Zapis z = ln(x + y 2) denira funkciju f : D f! R; D f R 2 ; f(x; y) = ln(x + y 2); pri cemu je denicijsko podrucje D f odre deno nejednadbom x + y 2 > 0, tj. D f = (x; y) 2 R 2 j y > x + 2

4 y x Neka je D R 3 : Funkciju f : D! R nazivamo funkcijom triju varijabli. (x; y; z) 2 D f! u = f(x; y; z) 2 R f [D] = f u j u = f(x; y; z); (x; y; z) 2 Dg funkcije, x; y; z u nezavisne varijable, zavisna vrijabla. slika u = f(x; y; z) eksplicitni oblik (domena D f - maksimalan podskup od R 3 za koji pravilo f ima smisla) graf funkcije f : D! R; D R 3 je f = f (x; y; z; f(x; y; z)) j (x; y; z) 2 Dg R 4 (ne moemo nacrtati)

5 Primjer Pravilo u = arcsin(x 2 + y 2 + z 2 funkciju 2) denira f : D f! R; D f R 3 ; (x; y; z) 7! f(x; y; z) = arcsin(x 2 + y 2 + z 2 2); pri cemu je denicijsko podrucje D f odre deno nejednadbama 1 x 2 + y 2 + z 2 2 1: Dakle, D f = (x; y; z) 2 R 3 j 1 x 2 + y 2 + z 2 3 : Graf f funkcije moguće je nacrtati (djelomicno) samo za m 2. U slucaju m = 2 crtanjem isticemo samo neke njegove vane podskupove. To su, najcešće, presjeci f odabranim ravninama u prostoru R 3. Ako su te ravnine usporedne s ravninom z = 0 (koordinatnom xy-ravninom), dobivene presjeke nazivamo razinskim krivuljama funkcije f (ili grafa f). Po tomu, svaki broj z 0 2 f [D] odre duje jednu razinsku krivulju jednadbom f(x; y) = z 0.

6 z z=z 0 z 0=f(x,y) x z=f(x,y) y Dakle, na svakoj razinskoj krivulji su funkcijske vrijednosti nepromijenjive. Primjer Funkcijski graf G f za funkciju f(x; y) = p x 2 + y 2 crtamo isticući njegove presjeke s koordinatnim ravninama ili ravninama usporednim s njima: ravninom x = 0 (to su zrake: z = y, z 0, x = 0; z = y, z 0, x = 0); ravninom y = 0 (to su zrake: z = x, z 0, y = 0; z = x, z 0, y = 0); ravninom z = 1 (to je razinska krivulja (krunica) x 2 + y 2 = 1, z = 1). Primijetimo da je G f stoasta ploha

7 z= x 2 +y 2 z z=1 x 2 +y 2 =1, z=1 x y Slicno se u slucaju f : D! R, D R 3 ; dakle f R 4, govori o razinskim plohama (ili nivoplohama) funkcije f. Pritom svaka jednadba f(x; y; z) = u 0 ; u 0 2 f [D] ; odre duje tocno jednu pripadnu razinsku plohu na kojoj su sve funkcijske vrijednosti jednake u 0. Primjer Razinske plohe za funkciju f : D! R; D = R 3 n f(x; y; z) j z = 0g ; f(x; y; z) = x2 + y 2 ; z su paraboloidi (bez "tjemena") z = u 0 x 2 + y 2 ; u 0 2 R n f0g.

8 z x y 3.4. Grani cna vrijednost i neprekidnost Najprije treba denirati što u R 3 (R 2 ) znaci "biti blizu", tj. što će biti "mala okolina" po volji odabrane tocke. Posluit ćemo se standardnom udaljenošću d(t; T 0 ) me du tockama, tj. za T = (x; y; z) ; T 0 = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) 2 R 3 udaljenost d(t; T 0 ) deniramo sa d (T; T 0 ) = p (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 ; za T = (x; y) ; T 0 = (x 0 ; y 0 ) 2 R 2 sa d (T; T 0 ) = p (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 ;

9 koja se za T = (x); T 0 = (x 0 ) (slucaj m = 1) svodi na standardnu udaljenost u R d(t; T 0 ) = p (x x 0 ) 2 = jx x 0 j: Sve pojmove i tvrdnje dajemo u dimenziji m = 2 uz napomenu da iskazano vrijedi i za slucaj m = 3 (dakako i za m = 1): Denicija 3.2 Za bilo koju tocku T 0 2 R 2 i bilo koji broj " > 0, skup K(T 0 ; ") ft 2 R 2 j d (T 0 ; T ) < "g R 2 nazivamo ( otvorenom) kuglom polumjera " oko tocke T 0. K(T 0,ε) K(T 0,ε) K(T 0,ε) Kugle Reći ćemo da je skup U R 2 okolina tocke T 0 2 U ako postoji neki " > 0 takav da je kugla K(T 0 ; ") U.

10 Za skup D R 2 ćemo reći da je otvoren ako je on okolina svake svoje tocke (napomena: on tada ne sadri niti jednu tocku "ruba"). Neotvoreni skup sadri tocake kojima nije okolina (napomena: on tada sadri barem jednu tocku "ruba"). y otvoren skup neotvoren skup 0 x Reći ćemo da je tocka T 0 gomilište skupa D ako svaka okolina od T 0 sijece skup D n ft 0 g. Za skup D kaemo da je zatvoren ako sadri sva svoja gomilišta (napomena: on tada sadri i sve tocke "ruba"). Ako za tocku T 2 D postoji neka okolina koja ne sijece skup D n ft g onda kaemo da je T izolirana tocka skupa D Napokon, reći ćemo da je skup D ome den ako postoji neka kugla koja ga sadri. I granicnu vrijednost skalarne funkcije deniramo slicno onoj za realne funkcije realne varijable.

11 Intuitivna denicija: Kaemo da je L 0 2 R limes funkcje f u neizoliranoj tocki T 0 = (x 0 ; y 0 ) (podrucja denicije od f), i pišemo lim f(x; y) = L 0; (x;y)!(x 0 ;y 0 ) ako vrijednosti f(x; y) tee prema L 0 kad (x; y) tei prema (x 0 ; y 0 ) : Denicija 3.3 Neka su dani funkcija f : D! R, D R 2 ; i tocka T 0 koja nije izolirana tocka od D. Reći ćemo da je broj L 0 2 R granicna vrijednost funkcije f u tocki T 0 ako (8" > 0)(9 > 0)(8T 2 D n ft 0 g) d(t; T 0 ) < ) jf(t ) L 0 j < ": ( Primijetimo da se uvjet provjerava u tockama T 2 K(T 0 ; ), T 6= T 0!) U tom slucaju pišemo lim f(t ) = L 0 ili limf(t ) = L 0 : T!T 0 T0

12 Napomena 3.4 Kod funkcija jedne varijable smo imali te lim x!x +0 0 lim x!x +0 0 f(x) = lim f(x) = L =) lim f(x) = L; x!x0 0 x!x0 f(x) 6= lim f(x) =) lim f(x) ne postoji. x!x0 0 x!x0 Ovdje je situacija sloenija. Puteva kako ići u (x 0 ; y 0 ) ima beskonacno. No, jasno je da limes ne smije ovisiti o putanji. Napomena 3.5 Ukoliko je lim f(x; y) = L 1 i lim f(x; y) = L 2 (x;y)!(x 0 ;y 0 ) (x;y)!(x 0 ;y 0 ) c1 c2 te L 1 6= L 2 tada lim f(x; y) ne postoji. Ovo je (x;y)!(x 0 ;y 0 ) postupak kako utvrditi da limes ne postoji (to je puno lakše nego utvrditi da postoji). Primjer Ispitajte granicnu vrijednost funkcije f(x; y) = xy x 2 + y 2 u tocki (0; 0):

13 z = xy x 2 + y 2 Ukoliko (x; y)! (0; 0) ide po putevima koje odre duju pravci y = kx imamo x kx lim f(x; y) = lim (0;0) x!0 x 2 + k 2 x = 2 y=kx k 1 + k 2 i traeni limes ne postoji jer za razlicite k dobijamo razlicite vrijednosti. Primjer Funkcija f : R 2 n f(0; 0)g! R; f(x; y) = sin x2 + y 2 x 2 + y 2, ima u tocki (0; 0) granicnu vrijednost 1, lim (0;0) f(x; y) = 1. Ukoliko (x; y)! (0; 0) ide po putevima koje odre duju pravci y = kx imamo

14 lim f(x; y) = lim sin x2 +k 2 x 2 (0;0) x!0 x 2 +k 2 x 2 y=kx sin x k 2 = lim x!0 x k 2 = 1; što ne znaci da limes postoji i da je jednak 1. Zadatak se moe riješiti i prijelazom na polarne koordinate. Budući je x = cos ' i y = sin ', tada (x; y)! (0; 0) ako i samo ako! 0: Imamo lim (0;0) sin x 2 +y 2 x 2 +y 2 sin 2 = lim = 1:!0 2 Budući da dobiveni rezultat ne ovisi o '; tj. o kutu pod kojim "dolazimo" u tocku (0; 0); dakle ne ovisi o krivulji po kojoj dolazimo u tocku (0; 0); zakljucujemo da limes postoji i da je jednak 1.

15 z = sin (x 2 +y 2 ) x 2 +y 2 Denicija 3.6 Neka je dana funkcija f : D f! R; D f R 2 : Ako je lim f(x; y) = f(x 0; y 0 ) (x;y)!(x 0 ;y 0 ) kaemo da je funkcija f neprekidna u tocki (x 0 ; y 0 ) 2 D f : Ako je f neprekidna u svakoj tocki (x; y) 2 D f kaemo da je f neprekidna funkcija.

16 Primjer Funkcija f(x; y) = 8 >< >: je neprekidna. Jer je lim (x;y)!(0;0) sin(x 2 +y 2 ) x 2 +y 2 ; (x; y) 6= (0; 0) 1; (x; y) = (0; 0) sin x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1 = f(0; 0): Napomena Limes i neprekidnost funkcija triju varijabli se slicno denira. Napomena Zbroj f + g, razlika f g, umnoak f g i kolicnik f g (kad god su denirani) neprekidnih skalarnih funkcija jesu neprekidne skalarne funkcije.

17 3.5. Parcijalne derivacije Promatrajmo funkciju f : D! R, D R 2 i po volji odabranu tocku T 0 = (x 0 ; y 0 ) 2 D: Neka je y0 ravnina y = y 0 i oznacimo s D y0 = y0 \ D D: Ocito je D y0 6= ; jer sadri barem tocku T 0. Suenje fj Dy0 f 1 : D y0! R smijemo smatrati funkcijom jedne varijable jer se mijenja samo koordinata x. Analogno imamo funkciju fj Dx0 f 2 : D x0! R koju moemo smatrati funkcijom varijable y z f 1 (x 0 )=f(x 0,y 0 ) z=f(x 0,y)=f 2 (y) z=f(x,y) z=f(x,y 0 )=f 1 (x) x D T=(x 0,y 0 ) D x0 y D y0

18 Denicija 3.7 Neka je f : D! R; D R 2 ; funkcija dviju varijabli i (x 0 ; y 0 ) 2 D: Ako postoji limes lim x!0 f(x 0 + x; y 0 ) f(x 0 ; y 0 ) x = f x (x 0 ; y 0 ) onda f x (x 0 ; y 0 ) nazivamo prva parcijalna derivacija po x funkcije f u tocki (x 0 ; y 0 ): Ako postoji limes lim y!0 f(x 0 ; y 0 + y) f(x 0 ; y 0 ) y = f y (x 0 ; y 0 ) onda f y (x 0 ; y 0 ) nazivamo prva parcijalna derivacija po y funkcije f u tocki (x 0 ; y 0 ): Ako ovi limesi postoje za sve (x; y) 2 D dobivamo dvije funkcije dviju varijabli: f x : D! R prva parcijalna derivacija od f po y i f y : D! R prva parcijalna derivacija od f po y: (x; y) 2 D f x! f x (x; y) 2 R (x; y) 2 D f y! f y (x; y) 2 R

19 Koristimo još i oznake: f = D xf f = D yf Napomena Ako elimo naći f x, tada u f(x; y) varijablu y treba tretirati kao konstantu i derivirati po x: Analogno, ako traimo f y : Napomena Graf z=f(x; y) funkcije je ploha. Presjecemo li tu plohu ravninom x = x 0 ili y = y 0 dobit ćemo ravninske krivulje c 1 odnosno c 2 : Geometrijska interpretacija parcijalnih derivacija f x (x 0 ; y 0 ) i f y (x 0 ; y 0 ): to su koecijenti smjera tangente na c 2 ; odnosno c 1 u tocki T 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 =f(x 0 ; y 0 )) : Napomena Analogno se deniraju i parcijalne derivacije funkcija tri i više varijabli. Npr. za u = f(x; y; z) imamo lim x!0 f(x 0 + x; y 0 ; z 0 ) f(x 0 ; y 0 ; z 0 ) x = f x (x 0 ; y 0 ; z 0 ) Slicno, f y (x 0 ; y 0 ; z 0 ); f z (x 0 ; y 0 ; z 0 ):

20 Tehnika deriviranja ostaje ista: deriviramo po varijabli x; tretirajući y i z kao konstante, pa dobivamo f x (x; y; z): Ako funkcija f ima u tocki T 0 parcijalnu derivaciju po svakoj varijabli onda kaemo da je funkcija f derivabilna u tocki T 0. Ako je f derivabilna u svakoj tocki T 2 D; nazivamo ju derivabilnom funkcijom. Sjetimo se da za realne funkcije jedne varijable derivabilnost povlaci neprekidnost. Sada ćemo pokazati da za funkcije više varijabla to, općenito, ne vrijedi. Primjer Pokazali smo da je funkcija f : R 2! R zadana propisom ( xy f(x; y) = x 2 + y2, (x; y) 6= (0; 0) 0, (x; y) = (0; 0) prekidna u tocki (0; 0). Ona je, me dutim, derivabilna u tocki (0; 0). Naime

21 f x (0; 0) = f (0 + x; 0) f(0; 0) lim x!0 x = lim x!0 (x)0 (x) x = 0; a slicno se pokae da je i f y (0; 0) = 0. Denicija 3.8 Parcijalnim deriviranjem prvih parcijalnih derivacija f x (x; y) i f y (x; y) (to su opet funkcije dviju varijabli!), dobivamo parcijalne derivacije drugog reda: (f x ) x def = f xx 2 = D xxf (f x ) y def = f xy = D xyf 9 >= - druga parcijalna derivacija po x (f y ) x def = f yx = D yxf >; - druge mješovite parcijalne derivacije (f y ) y def = f yy 2 = D yyf - druga parcijalna derivacija po y Ovo su opet funkcije dviju varijabli.

22 Parcijalnim derivairanjem ovih funkcija dolazimo do parcijalnih derivacija trećeg reda itd. Analogno se deniraju parcijalne derivacije višeg reda funkcija od tri ili više varijabli. Teorem 3.9 (Schwartzov) Neka je funkcija f : D! R, D R 2 ; derivabilna na nekoj "-kugli K((x 0 ; y 0 ); ") D i neka f ima na toj kugli i parcijalnu derivaciju drugoga reda po x i y redom, f xy. Ako je funkcija f xy j K((x0 ;y 0 );") : K((x 0; y 0 ); ")! R neprekidna u tocki (x 0 ; y 0 ), onda postoji parcijalna derivacija drugoga reda funkcije f po y i x redom u tocki (x 0 ; y 0 ) i pritom je f xy (x 0 ; y 0 ) = f yx (x 0 ; y 0 ): Napomena Schwartzov teorem moemo poopćiti i na više derivacije (ako su neprekidne), tj. opet nije bitan poredak deriviranja.

23 Primjer Odredimo sve parcijalne derivacije drugoga reda i treće parcijalne derivacije po x, y i x redom, te po x, x, i y redom (ondje gdje postoje) za funkciju f : D! R; D R 2 ; f(x; y) = x 2 y + x ln y: Denicijsko podrucje D je otvorena poluravnina (x; y) 2 R 2 j y > 0 i funkcija f je derivabilna. Pritom je, u bilo kojoj tocki (x; y) 2 D, f x (x; y) = 2xy + ln y; f y (x; y) = x 2 + x y : Primijetimo da su i obje parcijalne derivacije derivabilne funkcije, tj. da je funkcija f dvaput derivabilna, i da je f xx (x; y) = 2y; f yx (x; y) = 2x + 1 y ; f xy (x; y) = 2x + 1 y ; f yy(x; y) = x y 2: Napokon, ocito je da je f i triput (zapravo, po volji mnogo puta) derivabilna i da je f xyx (x; y) = 2 = f yxx (x; y):

24 Primjer Promatrajmo funkciju f : R 2! R zadanu propisom 8 < xy x2 y 2 f(x; y) = x : 2 + y2, (x; y) 6= (0; 0) : 0, (x; y) = (0; 0) Funkcija f je derivabilna na R 2 n f(0; 0)g i pritom je x 2 y 2 f x (x; y) = y x 2 + y + 4x2 y 2 ; 2 (x 2 + y 2 ) 2 f y (x; y) = x x 2 y 2 4x 2 y 2 : x 2 + y 2 (x 2 + y 2 ) 2 Nadalje, obje ove parcijalne derivacije su derivabilne funkcije (na R 2 n f(0; 0)g) i vrijedi f yx (x; y) = x2 y x2 y 2 = f x 2 + y 2 (x 2 + y 2 ) 2 xy (x; y): Pogledajmo sada što je s derivabinošću u tocki (0; 0)!

25 Budući da je f(x; 0) = 0 za svaki x 2 R i f(0; y) = 0 za svaki y 2 R, to je f derivabilna i u (0; 0) i f x (0; 0) = 0 = f y (0; 0): Primijetimo da je f x (x; 0) = 0; f y (x; 0) = x; f x (0; y) = y; f y (0; y) = 0; pa za druge mješovite parcijalne derivacije od f u (0; 0) dobivamo: f yx (0; 0) = f x (0; 0 + 4y) f lim x (0; 0) 4y!0 4y = = lim 4y!0 4y 0 = 1; 4y f xy (0; 0) = f y (0 + 4x; 0) f y (0; 0) lim 4x!0 4x = 4x 0 = lim 4x!0 4x = 1; Dakle, funkcija f je dvaput derivabilna. Me dutim, "mješovite" druge parcijalne derivacije f yx (0; 0) i f xy (0; 0) su me dusobno razlicite! Uzrok, dakako, lei u prekidnosti funkcije f xy (x; y) u tocki (0; 0).