2 Elastičnost funkcije Elastičnost funkcija u ekonomiji Formula za koeficijent elastičnosti funkcije zadane algebarski

Transcript

1 Sadržaj 1 Diferencijalni račun funkcija više varijabli Funkcije više varijabli Parcijalni i ukupni prirast funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Parcijalne derivacije višeg reda Lokalni ekstremi funkcija više varijabli Postupak za odredivanje lokalnih ekstrema funkcije dvije varijabli Ekstremi funkcija s ograničenjem (uvjetom) Metoda supstitucije Metoda Lagrangeovih multiplikatora Elastičnost funkcije Elastičnost funkcija u ekonomiji Formula za koeficijent elastičnosti funkcije zadane tablicom Formula za koeficijent elastičnosti funkcije zadane algebarski Engelovi zakoni Koeficijenti parcijalne i križne elastičnosti Eulerov teorem

2 Poglavlje 1 Diferencijalni račun funkcija više varijabli 1.1 Funkcije više varijabli U pravilu ekonomske veličine ne ovise o jednoj nego o više drugih ekonomskih veličina. Želimo li simbolički iskazati da veličina y ovisi o nekim drugim medusobno neovisnim veličinama x 1, x 2,..., x n, pišemo ovako: y = f(x 1, x 2,..., x n ). Pritom se ništa ne kaže o pravilu preslikavanja f kojim se uredenoj n-torci realnih brojeva (x 1, x 2,..., x n ) pridružuje realan broj y. Primjer 1 Neka je f(x, y) = x 3 3x 2 + xy 2 y 3. Odredite područje definicije (prirodnu domenu) funkcije f. Funkcija f ovisi o dvije medusobno neovisne varijable x i y. Budući da su sve naznačene operacije definirane u skupu R za sve uredene parove (x, y), to je područje definicije f Kartezijev produkt skupa R sa samim sobom, tj. D(f) = R R = R 2. 2

3 POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Parcijalni i ukupni prirast funkcije više varijabli Neka je zadana realna funkcija dviju (realnih) varijabli:z = f(x, y) Ako se poveća samo neovisna varijabla x za x (y ostaje nepromijenjen), onda se mijenja i vrijednost ovisne varijable, koja se promijenila sa f(x, y) na Razliku f(x + x, y). x z = f(x + x, y) f(x, y) zovemo parcijalni prirast funkcije z = f(x, y) po varijabli x. Analogno se definira parcijalni prirast funkcije z = f(x, y) po varijabli y: y z = f(x, y + y) f(x, y) Ukupni (totalni) prirast funkcije z = f(x, y) iznosi: z = f(x + x, y + y) f(x, y). Primjer 2 Odredite parcijalne priraste i ukupni prirast funkcije f(x, y) = x 2 + xy 2y 2 ako se x promijeni od 2 na 2.2 a y od 1 na 0.9. Rješenje:Ovdje su: x = = 0.2, y = = 0, 1 f(x, y) = = 4 Parcijalni prirast funkcije z = f(x, y) po varijabli x iznosi: x z = f(x + x, y) f(x, y) x z = = Parcijalni prirast funkcije z = f(x, y) po varijabli y iznosi: Ukupni prirast funkcije z = f(x, y): y z = f(x, y + y) f(x, y) y z = = z = f(x + x, y + y) f(x, y) z = = 1.20

4 POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Parcijalne derivacije Parcijalna derivacija funkcije z = f(x, y) po varijabli x je: z x = z x = lim x 0 f(x + x, y) f(x, y), x a parcijalna derivacija funkcije z = f(x, y) po varijabli y je: z y = z y = lim y 0 f(x, y + y) f(x, y). y Prilikom računanja parcijalne derivacije funkcije z = f(x, y) po varijabli x samo tu varijablu tretiramo kao varijablu koja se mijenja, a sve ostale varijable tretiramo kao konstante. Dakle, u slučaju funkcije dviju varijabli z = f(x, y) parcijalnu derivaciju funkcije z po varijabli x odredimo tako da koristimo pravila za deriviranje funkcije jedne varijable tretirajući y kao konstantu, a parcijalnu derivaciju funkcije z po varijabli y odredimo tako da varijablu x tretiramo kao konstantu. Totalni diferencijal funkcije z = f(x, y) definiramo na sljedeći naćin: dz = z x dx + z y dy. Primjer 3 Odredite parcijalne derivacije funkcije i totalni diferencijal funkcije z = x y. Pri računanju parcijalne derivacije z x varijablu y tretiramo kao konstantu: z x = yx y 1. Pri računanju parcijalne derivacije z y varijablu x tretiramo kao konstantu, pa moramo primijeniti pravilo za deriviranje eksponencijalne funkcije: z y = x y lnx. Totalni diferencijal funkcije z = f(x, y): dz = z x dx + z y dy = yx y 1 dx + x y lnxdy.

5 POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI5 Primjer 4 Odredite parcijalne derivacije funkcije u = x 6 y 4 + 3z 5. Pri računanju parcijalne derivacije u x varijable y i z tretiramo kao konstante: u x = 6x 5. Pri računanju parcijalne derivacije u y varijable x i z tretiramo kao konstante: u y = u y = 4y3. Pri računanju parcijalne derivacije u z varijable x i y tretiramo kao konstante: u z = u z = 15z4. Primjer 5 Odredite parcijalne derivacije funkcije u = x 2 + y 3 + xyz 5. Pri računanju parcijalne derivacije u x varijable y i z tretiramo kao konstante: u x = 2x + yz 5 Pri računanju parcijalne derivacije u y varijable y i z tretiramo kao konstante: u y = 3y 2 + xz 5 Pri računanju parcijalne derivacije u z varijable x i y tretiramo kao konstante: u z = 5xyz 4. Ako je zadana funkcija y = f(x 1,..., x n ), onda se vektor čije su komponente upravo parcijalne derivacije navedene funkcije zove gradijent funkcije y; oznaka y (čitamo nabla y).

6 POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Parcijalne derivacije višeg reda Za funkciju z = f(x, y) imamo dvije parcijalne derivacije prvog reda: f x ili f x f y ili f y i 4 parcijalne derivacije drugog reda: 2 f x 2 ili f xx 2 f y 2 ili f yy 2 f x y ili f xy 2 f y x ili f yx ili ili ili ili ili ili f x f y f xx f yy f xy f yx Primjer 6 Odredite parcijalne z xxy i z yxx za funkciju z = y 2 e x + x 2 y z x = y 2 e x + 2xy 3 z xx = y 2 e x + 2y 3 z xxy = 2ye x + 6y 2 z y = 2ye x + 3x 2 y 2 z yx = 2ye x + 6xy 2 z yxx = 2ye x + 6y 2 Dakle, za razmatranu funkciju je z xxy = z yxx, to znači (barem u ovom sluǎaju) da je bitno koliko puta deriviramo po kojoj varijabli, a pritom nije bitan redoslijed deriviranja. Može se dokazati da navedeni zaključak vrijedi i općenito.vrijedi sljedeći teorem: Teorem 1 (Scwarzov teorem):

7 POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI7 Ako su funkcija z = f(x, y) i njene parcijalne derivacije z x, z y, z xy i z yx definirane i neprekidne u točki T (x, y), onda je u toj točki z xy = z yx, odnosno mješovite parcijalne derivacije su jednake. Totalni diferencijal drugog reda funkcije z = f(x, y) za koju vrijedi prethodni teorem definiramo s: d 2 z = z xx dx 2 + 2z xy dxdy + z yy dy 2 Primjer 7 Odredite totalni diferencijal drugog reda za funkciju z = x 2 + xy 2 2x + 5y = f(x, y). z = x 2 + xy 2 2x + 5y = f(x, y) z x = (y = konst) = 2x + y 2 2 z y = (x = konst) = 2xy + 5 z xx = (y = konst) = (2x + y 2 2) x = 2 z xy = (x = konst) = (2x + y 2 2) y = 2y z yx = (x = konst) = (2xy + 5) x = 2y z yy = (x = konst) = (2xy + 5) y = 2x Totalni diferencijal drugog reda navedene funkcije z = f(x, y) za koju vrijedi prethodni teorem je: d 2 z = z xx dx 2 + 2z xy dxdy + z yy dy 2 = 2dx 2 + 4ydxdy + 2xdy 2 Uz funkciju z = f(x, y) vezana je Hesseova matrica oznaka H(x, y)), matrica čiji elementi su parcijalne derivacije 2. reda funkcije z: [ ] zxx z H(x, y) = xy. z yx z yy Budući da je z xy = z yx, riječ o simetričnoj matrici; [ ] [ ] zxx z H(x, y) = xy zxx z = xy. z yx z yy z xy z yy

8 POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI8 Primjer 8 Odredite Hesseovu matricu za funkciju z = y 2 e x + x 2 y U prethodnom primjeru vidjeli smo da je Dakle, z x = y 2 e x + 2xy 3 z xx = y 2 e x + 2y 3 z yx = z xy = 2ye x + 6xy 2 z yy = 2e x + 6x 2 y [ ] y H(x, y) = 2 e x + 2y 3 2ye x + 6xy 2 2ye x + 6xy 2 2e x + 6x 2. y

9 POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI9 1.2 Lokalni ekstremi funkcija više varijabli Kažemo da funkcija z = f(x, y) ima strogi lokalni maksimum f(a,b) u točki P (a, b) ako je za sve točke T (x, y) različite od P, u nekoj okolini točke P ispunjena nejednakost f(a, b) > f(x, y). Analogno, funkcija z = f(x, y) ima strogi lokalni minimum f(a,b) u točki P (a, b) ako je za sve točke T (x, y) različite od P, u nekoj okolini točke P ispunjena nejednakost f(a, b) < f(x, y). Strogi lokalni maksimum ili minimum funkcije zovemo strogim lokalnim ekstremima te funkcije. Ako umjesto znaka stroge nejednakosti (< ili >) imamo znak nejednakosti ( ili ), govorimo o lokalnim ekstremima funkcije. Analogno se definiraju lokalni ekstremi funkcija triju ili više varijabli. Primjer 9 Funkcije f 1 (x, y) = x 2 + y 2 i f 2 (x, y) = x 2 + y 2 imaju minimum (lokalni i globalni) u točki (0,0). Teorem 2 (Nužan uvjet za lolani ekstrem funkcije dviju varijabli) Ako funkcija f : D R, D R 2, ima u točki T 0 (x 0, y 0 ) D lokalni ekstrem i ako je u toj točki derivabilna, onda je f x (x 0, y 0 ) = 0, f y (x 0, y 0 ) = 0. Točke u kojima su parcijalne derivacije prvog reda funkcije f jednake nuli nazivaju se stacionarne točke. Stacionarna točka je kandidat za prve dvije koordinate lokalnog ekstrema. Teorem 3 (Dovoljan uvjet za lokani ekstrem funkcije dviju varijabli) Neka je T 0 (x 0, y 0 ) D stacionarna točka funkcije f : D R, D R 2, te neka su parcijalne derivacije drugog reda funkcije f neprekidne u nekoj okolini točke T 0 (x 0, y 0 ). Neka su D 2 = f xx(t 0 ) f xy (T 0 ) f xy (T 0 ) f yy (T 0 ) i D 1 = f xx (T 0 ) Tada vrijedi:

10 POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI10 a) Ako je D 2 > 0 i D 1 > 0, tada funkcija f u točki T 0 ima lokalni minimum f(t 0 ); b) Ako je D 2 > 0 i D 1 < 0, tada funkcija f u točki T 0 ima lokalni maksimum f(t 0 ); c) Ako je D 2 < 0, f u točki T 0 nema lokalni ekstrem; d) Ako je D 2 = 0, tada nema odluke.

11 POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Postupak za odredivanje lokalnih ekstrema funkcije dvije varijabli (i) Odredimo stacionarne točke funkcije z = f(x, y). To su točke (x 0, y 0 ) koje su rješenje sustava jednadžbi: f x = 0, f y = 0 (ii) Računamo parcijalne derivacije 2. reda f xx, f xy, f yy. (iii) Izračunamo vrijednost parcijalnih derivacija D 1 = h 11 = z xx (x 0, y 0 ), h 12 = z xy (x 0, y 0 ), h 22 = z yy (x 0, y 0 ) u svakoj stacionarnoj točki. (iv) Formira se Hesseova matrica: [ ] h11 h H = 12 h 12 h 22 i računa vrijednost njene determinante D 2 = deth = h 11 h 22 h Zaključak : (a) Ako je D 2 = deth > 0, onda funkcija f ima u promatranoj stacionarnoj točki strogi lokalni ekstrem i to: minimum ako je D 1 = h 11 > 0, odnosno maksimum ako je D 1 = h 11 < 0. (b) Ako je D 2 = deth < 0, onda funkcija f nema u promatranoj stacionarnoj točki lokalni ekstrem, nego sedlastu točku, ako je D 1 = h 11 h 22 < 0. (c) Ako je D 2 = deth = 0, onda za odluku o postojanju ili ne postojanju lokalnog ekstrema u promatranoj točki valja izvršiti dodatna ispitivanja koja se provode pomoću parcijalnih derivacija višeg reda. Napomena: Korake (iii) i (iv) ponavljamo za svaku stacionarnu točku.

12 POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI12 Teorem 4 (Nužan uvjet za lokalni ekstrem funkcije triju varijabli) Ako funkcija f : D R, D R 3, ima u točki T 0 (x 0, y 0, z 0 ) D lokalni ekstrem i ako je u toj točki derivabilna, onda je f x (x 0, y 0, z 0 ) = 0, f y (x 0, y 0, z 0 ) = 0, f z (x 0, y 0, z 0 ) = 0. Teorem 5 (Dovoljan uvjet za lokalni ekstrem funkcije triju varijabli) Neka je T 0 (x 0, y 0, z 0 ) D stacionarna točka funkcije f : D R, D R 3, te neka su parcijalne derivacije drugog reda funkcije f neprekidne u nekoj okolini točke T 0 (x 0, y 0, z 0 ). Neka su f xx (T 0 ) f xy (T 0 ) f xz (T 0 ) D 3 = f xy (T 0 ) f yy (T 0 ) f yz (T 0 ) f xz (T 0 ) f yz (T 0 ) f zz (T 0 ) D 2 = f xx(t 0 ) f xy (T 0 ) f xx (T 0 ) f yy (T 0 ) i D 1 = f xx (T 0 ) a) Ako je D 3 > 0, D 2 > 0, i D 1 > 0, tada funkcija f u točki T 0 ima lokalni minimum f(t 0 ); b) Ako je D 3 < 0, D 2 > 0, i D 1 < 0, tada funkcija f u točki T 0 ima lokalni maksimum f(t 0 ); c) U svim ostalim slučajevima, kada je D 2 0, f u točki T 0 nema lokalni ekstrem; d) Ako je D 2 = 0, tada nema odluke.

13 POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI13 Primjer 10 Odredite lokalne ekstreme funkcije z = x 2 + 2xy + 2y 2 4x 14y + 5. Na temelju nužnih uvjeta za postojanje lokalnih ekstrema: z x = 2x + 2y 4 = 0, z y = 2x + 4y 14 = 0 nalazimo da funkcija ima samo jednu stacionanu točku:(1,3). Da bismo utvrdili ima li u toj točki funkcija lokalni ekstrem, potrebno je ispitati zadovoljava li ona i dovoljne uvjete. Kako je z xx = 2, z xy = 2, z yy = 4, to je vrijednost determinante Hesseove matrice (neovisno o promatranoj točki D 2 = deth = = ( 2) 4 22 = 12 < 0, tj. u točki (1,3) funkcija nema lokalni ekstrem.

14 POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI14 Primjer 11 Odredite lokalne ekstreme funkcije z = 2x 3 + 2y 3 36xy Na temelju nužnih uvjeta za postojanje lokalnih ekstrema z x = 6x 2 36y = 0, z y = 6y 2 36x = 0 nalazimo da funkcija ima dvije stacionarne točke: (0, 0) i (6, 6). Sada nademo parcijalne derivacije 2. reda: z xx = 12x, z xy = 36, z yy = 12y. Sada je za stacionarnu točku (0, 0): odnosno h 11 = z xx (0, 0) = 0, h 12 = z xy (0, 0) = 36, h 22 = z yy (0, 0) = 0, D 2 = deth = = 0 0 ( 36)2 < 0, pa navedena funkcija nema lokalni ekstrem u stacionarnoj točki (0, 0). Za stacionarnu točku (6,6) imamo: odnosno h 11 = z xx (6, 6) = 72, h 12 = z xy (6, 6) = 36, h 22 = z yy (6, 6) = 72, D 2 = deth = = ( 36)2 > 0. Budući da je h 11 = 72 > 0, navedena funkcija ima strogi lokalni minimum u stacionarnoj točki (6, 6) i taj minimum iznosi: z min = z(6, 6) = = 2

15 POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI15 Primjer 12 Pretpostavimo da je u području A analitički oblik funkcije potražnje za nekim proizvodom p A = x , a u području B p B = y , pri čemu je x količina potražnje (u komadima) u području A, y količina potražnje (u komadima) u području B, a p A i p B su jedinične cijene u navedenim područjima izražene u US dolarima. Izračunajte maksimalni ukupni prihod proizvodača u oba razmatrana područja. Funkcija ukupnog prihoda je Budući da je R(x, y) = x p A + y p B = x ( x ) + y ( y ). R x = 2x , R y = 2y , to iz nužnog uvjeta za postojanje lokalnog ekstrema R x = 0, R y = 0 dobivamo da je stacionarna točka x = 250 (komada), y = 1500 (komada). Kako su elementi Hesseove matrice: h 11 = 2 5, h 12 = 0, h 22 = 2 15 te i D 2 = deth(250, 1500) = = 4 75 > 0 15 D 1 = h 11 (250, 1500) = 2 5 < 0 u stacionarnoj točki (250, 1500) funkcija ukupnog prihoda dostiže strogi lokalni maksimum koji iznosi: R max = R(250, 1500) =

16 POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI16 Primjer 13 Dane su cijene dvaju dobara u ovisnosti o količinama potražnje p 1 = 15 Q 1 i p 2 = 10 Q 2, te funkcija ukupnih troškova T(Q 1, Q 2 ) = 5Q 1 + 4Q Odredimo optimalnu kombinaciju proizvodnje u cilju maksimiziranja dobiti. Rješenje: Prihodi: R(Q 1, Q 2 ) = p 1 Q 1 +p 2 Q 2 = (15 Q 1 )+(10 Q 2 )Q 2 = 15Q 1 Q Q 2 Q 2 2 Troškovi: Dobit: T(Q 1, Q 2 ) = 5Q 1 + 4Q D(Q 1, Q 2 ) = R(Q 1, Q 2 ) T (Q 1, Q 2 ) = 15Q 1 Q Q 2 Q 2 2 (5Q 1 +4Q 2 +5) Tražimo maksimalnu dobit. D(Q 1, Q 2 ) = Q 1 2 Q Q 1 + 6Q 2 5 D Q1 = 2Q = 0 Q 1 = 5 D Q2 = 2Q = 0 Q 2 = 3 (Q 1, Q 2 ) = (5, 3) je stacionarna točka D Q1 Q 1 = 2 D Q1 Q 2 = 0 D Q2 Q 2 = 2 D 1 (5, 3) = D Q1 Q 1 (5, 3) = 2 < 0 D 2 (5, 3) = = 4 > 0 lokalni maksimum D(5, 3) = = 29 M(5, 3, 29) Maksimalna dobit se ostvaruje na razini proizvodnje Q 1 = 5, Q 2 = 3 i iznosi 29.

17 POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI17 Primjer 14 Zadana je funkcija ukupnih troškova i prodajne cijene T(Q 1, Q 2 ) = Q Q Q 1 Q p 1 = 7, p 2 = 20 Ispitajte uz koju se količinu Q 1 i Q 2 ostvaruje maksimum dobiti i koliko ona iznosi. Rješenje: Prihodi: Troškovi: Dobit: R(Q 1, Q 2 ) = p 1 Q 1 + p 2 Q 2 = 7Q Q 2 T(Q 1, Q 2 ) = Q Q Q 1 Q D(Q 1, Q 2 ) = R(Q 1, Q 2 ) T (Q 1, Q 2 ) = 7Q 1 +20Q 2 (Q Q 2 2 +Q 1 Q 2 +10) D(Q 1, Q 2 ) = 7Q Q 2 Q 1 2 3Q 2 2 Q 1 Q 2 10 Tražimo maksimalnu dobit. Rješnje sustava jednaddžbi : D Q1 = 7 2Q 1 Q 2 = 0 D Q2 = 20 6Q 2 Q 1 = 0 7 2Q 1 Q 2 = 0, 20 6Q 2 Q 1 = 0 je stacionarna točka (Q 1, Q 2 ) = (2, 3) D Q1 Q 1 = 2 D Q1 Q 2 = 1 D Q2 Q 2 = 6 D 1 (2, 3) = D Q1 Q 1 (2, 3) = 2 < 0 D 2 (2, 3) = = 11 > 0 lokalni maksimum D(2, 3) = = 27 M(2, 3, 27) Maksimalna dobit se ostvaruje na razini proizvodnje Q 1 = 2, Q 2 = 3 i iznosi 27.

18 POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Ekstremi funkcija s ograničenjem (uvjetom) Pretpostavimo da su f(x, y) i g(x, y) realne funkcije dviju realnih varijabli. Cilj nam je pronaći ekstreme funkcije f(x, y) na skupu točaka (x, y) koje zadovoljavaju jednadžbu g(x, y) = 0. Dakle, rješavamo problem: f(x, y) min,max uz ograničenje: g(x, y) = Metoda supstitucije Ako je moguće, iz uvjeta izrazimo jednu varijablu pomoću druge i to uvrstimo u funkciju čije ekstrem tražimo. Na taj način problem ekstrema funkcije dvije varijable s ograničenjem svodimo na problem ekstrema funkcije jedne varijable bez ograničenja. Primjer 15 Odredite ekstreme funkcije z = x 2 y uz uvjet x + y = 3. x + y = 3 y = 3 x Uvrstimo li y u funkciju z = x 2 y, ona postaje funkcija jedne varijable: z(x) = x 2 (3 x) = 3x 2 x 3 Nužan uvjet za postojanje ekstrema funkcije jedne varijable jest da je prva derivacija jednaka nuli. z (x) = 6x 3x 2 6x 3x 2 = 0 x 1 = 0, x 2 = 2 Kandidati za prvu koordinatu ekstrema funkcije z(x) = 6x 2 3x 2 : x 1 = 0, x 2 = 2 Kako je y = 3 x to su pripadne vrijednosti varijable y: y 1 = 3, y 2 = 1. Funkcija z = x 2 y ima 2 stacionarne točke : (0, 3), (2, 1) Primjenjujemo dovoljan uvjet za lokalni ekstrem funkcije jedne varijable: z (x) = 6 6x, z (0) = 6 > 0, z (2) = 6 < 0

19 POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI19 Funkcija z = x 2 y ima u točki (0, 3) lokalni minimum, a u točki (2, 1) lokalni maksimum. Kako je z(0, 3) = = 0 i z(2, 1) = = 4 Funkcija z(x, y) = x 2 y uz ograničenje x+y = 3 lokalni minimum m(0, 3, 0 i lokalni maksimum (2, 1, 4) Metoda Lagrangeovih multiplikatora Ekstreme funkcije f(x, y) uz ograničenje: g(x, y) = 0 moguće riješiti metodom Lagrangeovih multiplikatora: 1. Definiramo Lagrangeovu funkciju L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y) 2. Odredimo stacionarne točke (x 0, y 0, λ 0 ) Lagrangeove funkcije, tj. točke koje su rješenja sustava jednadžbi L x = 0, L y = 0, L λ = 0 3. Računamo sve parcijalne derivacije drugog reda Lagrangeove funkcije:l xx, L xy, L xλ, L yy, L yx, L a potom determinantu L xx L xy L xλ D = L xy L yy L yλ L xλ L yλ L λλ 4. Za svaku stacionarnu točku provjeravamo njen karakter: (a) Ako je D(x 0, y 0, λ 0 ) < 0, (x 0, y 0 ) je točka lokalnog minimuma. (b) Ako je D(x 0, y 0, λ 0 ) > 0, (x 0, y 0 ) je točka lokalnog maksimuma. Primjer 16 Odredimo ekstreme funkcije f(x, y) = x y uz ograničenje x 2 + y 2 = 2 f(x, y) = x y, g(x, y) = 2 x 2 y 2 = 0 L(x, y, λ) = x y + λ(2 x 2 y 2 ) L x = 1 2λx = 0 λ = 1 2x

20 POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI20 L y = 1 2λy = 0 λ = 1 2y λ = 1, λ = 1 y = x 2x 2y L λ = 2 x 2 y 2 2 x 2 x 2 = 0 x 2 = 1 x 1 = 1, x 2 = 1 y 1 = 1, y 2 = 1, λ 1 = 1, λ 2 2 = 1 2 Dobili smo dvije stacionarne točke: T 1 ( 1, 1) λ 1 = 1 2 T 2 (1, 1) λ 2 = 1 2 L xx = 2λ L xy = 0 L xλ = 2x L yy = 2λ L yλ = 2y L λλ = 0 T 1 ( 1, 1), λ 1 = 1 2 2λ 0 2x D = 0 2λ 2y 2x 2y 0 = = 8 > 0 lok. maksimum f( 1, 1) = = 2 M( 1, 1, 2) T 2 (1, 1), λ 2 = D = = 8 < 0 lok. minimum f(1, 1) = 1 1 = 2 m(1, 1, 2) Primjer 17 Dana je funkcija troškova T (Q 1, Q 2 ) = 2Q 1 2 +Q 1 Q 2 +Q 2 2, gdje su Q 1, Q 2 0 količine proizvodnje za dva proizvoda. Odredite Q 1 i Q 2 tako da troškovi budu minimalni, a da ukupna proizvodnja bude 20. Problem glasi: minizirati funkciju troškova uz ograničenje Q 1 + Q 2 = 20 T (Q 1, Q 2 ) = 2Q Q 1 Q 2 + Q 2 2 I. Metoda supstitucije: Q 2 = 20 Q 1 T (Q 1, Q 2 ) = T (Q 1 ) = 2Q Q 1 (20 Q 1 ) + (20 Q 1 ) 2 T (Q 1 ) = 2Q Q

21 POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI21 T (Q 1 ) = 4Q 1 20 = 0 Q 1 = 5 T (Q 1 ) = 4 > 0 T (5) = 4 > 0 lokalni minimum Q 2 = 20 5 = 15, T (5, 15) = 350 m(5, 15, 350) II. Metoda Lagrangeovih multiplikatora L(Q 1, Q 2, λ) = 2Q Q 1 Q 2 + Q λ(20 Q 1 Q 2 ) L Q1 = 4Q 1 + Q 2 λ = 0 λ = 4Q 1 + Q 2 L Q2 = Q 1 + 2Q 2 λ = 0 λ = Q 1 + 2Q 2 4Q 1 + Q 2 = Q 1 + 2Q 2 Q 2 = 3Q 1 L λ = 20 Q 1 Q 2 = 0 20 Q 1 3Q 1 = Q 1 = 0 Q 1 = 5 Q 2 = 3Q 1 Q 2 = 15 λ = 4Q 1 + Q 2 λ = 35 Dobili smo stacionarnu točku: T (5, 15), λ = 35 L Q1 Q 1 = 4, L Q1 Q 2 = 1, L Q1 λ = 1 L Q2 Q 2 = 2, L Q2 λ = 1, L λλ = Za T (5, 15), λ = 35, determinanta Hesseove matrice: D = = 4 > 0 lokalni minimum f(5, 15) = 350 m(5, 15, 350) Interpretacija Lagrangeovog multiplikatora λ = 35: Ako ukupnu količinu proizvodnje povećamo za jednu (beskonačno malu) jedinicu, ukupni troškovi će se povećati za 35 jedinica. Primjer 18 Potrošačeva funkcija korisnosti za dva dobra je u(x 1, x 2 ) = 2x 1 x 2 + 2x 1 + x 2 Ako je cijena prvog dobra 2, a drugog 1, nadite maksimalnu korisnost uz budžet 8.

22 POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI22 Problem glasi: maksimizirati funkciju troškova uz ograničenje 2x 1 + 1x 2 = 8 u(x 1, x 2 ) = 2x 1 x 2 + 2x 1 + x 2 I. Metoda supstitucije: x 2 = 8 2x 1 u(x 1, x 2 ) = u(x 1 ) = 2x 1 (8 2x 1 ) + 2x x 1 u(x 1 ) = 4x x x 1 u (x 1 ) = 8x = 0 x 1 = 2 u (x 1 ) = 8 < 0 u (2) = 8 < 0 lokalni maksimum x 2 = = 4, u(2, 4) = 24 M(2, 4, 24) II. Metoda lagrangeovih multiplikatora: L(x 1, x 2, λ) = 2x 1 x 2 + 2x 1 + x 2 + λ(8 2x 1 x 2 ) L x1 = 2x λ = 0 λ = x L x2 = 2x λ = 0 λ = 2x x = 2x x 2 = 2x 1 L λ = 8 2x 1 x 2 = 0 8 2x 1 2x 1 = 0 8 4x 1 = 0 x 1 = 2 x 2 = 2x 1 x 2 = 4 λ = 2x λ = 5 Dobili smo stacionarnu točku: T (2, 4), λ = 5 L x1 x 1 = 0, L x1 x 2 = 2, L x1 λ = 2 L x2 x 2 = 0, L x2 λ = 1, L λλ = 0 Za T (2, 4), λ = 5, determinanta Hesseove matrice: D = = 2 > 0 lokalni maksimum f(2, 4) = 24 M(2, 4, 24) Interpretacija Lagrangeovog multiplikatora λ = 5: Ako budžet povećamo za jednu (beskonačno malu) jedinicu, korisnost će se povećati za 5 jedinica.

23 Poglavlje 2 Elastičnost funkcije 2.1 Elastičnost funkcija u ekonomiji Elastičnost u ekonomiji je sposobnost neke ekonomske veličine da reagira manje ili više intenzivno na promjenu neke druge veličine o kojoj ona na bilo koji način ovisi. Veličina je to elastičnija što je reakcija jača. Kao mjeru reakcije uzimamo relativnu promjenu promatranih veličina. Primjer 19 Cijena proizvoda A je a = 5 kn, proizvoda B je b = 1000 kn. Ako jedan i drugi proizvod poskupi za 5 kn, koji je od njih relativno više poskupio? Apsolutno poskupljenje a = b = 5 kn je jednako.relativno poskupljenje je: a a = 5 = 0.5 = 50%, 10 b b = 5 = = 0.5%, 1000 pa je poskupljenje proizvoda A daleko veće (100 puta veće) od poskupljenja proizvoda B. U praksi se koriste dvije formule za mjerenje elastičnosti. Koja od njih će se koristiti ovisi o tome u kojem je obliku zadana veza izmedu ovisne varijable (npr. potražnje) i neovisne varijable (npr. cijene). Ekonomske funkcije često se zadaju u obliku tablice, a mogu se zadati i algebarski. Za svaki od ovih oblika postoji odgovarajuća formula za izračunavanje koeficijenta elastičnosti. 23

24 POGLAVLJE 2. ELASTIČNOST FUNKCIJE Formula za koeficijent elastičnosti funkcije zadane tablicom Neka je y = y(x) funkcija. Mjera elastičnosti je koeficijent elasičnosti E y,x veličine y u odnosu na veličinu x, definiran kao kvocijent: E y,x = y relativna promjena od y relativna promjena od x = y x x = x y y x uz uvjet da se radi o malim promjenama veličina x i y. Uzmemo li da je x = 1, bit će x 100 E y,x = y y = y y 100% Dakle, koeficijent elastičnosti pokazuje za koliko se % promijeni funkcija y ako se neovisna varijabla x, sa neke vrijednosti (razine), poveća za 1%. Primjer 20 Dani su sljedeći podaci o potražnji q za robom ovisno o cijeni p: Cijena Potražnja Izračunajte koeficijent elastičnosti potražnje kada je cijena 32. E q,p = p q q p = = = 0.94 Interpretacija: Ako se cijena na nivou p = 32 poveća za 1%, potražnja će se smanjiti za 0.94%.

25 POGLAVLJE 2. ELASTIČNOST FUNKCIJE Formula za koeficijent elastičnosti funkcije zadane algebarski Ako je y = f(x) neprekidna funkcija zadana formulom, koeficijent elastičnosti možemo napisati u obliku: E y,x = lim x 0 Odatle slijedi Marshallova formula y y x x E y,x = x y dy dx. x = lim x 0 y y x. Interpretacija (značenje) koeficijenta elastičnosti: E y,x pokazuje za koliko se postotaka približno (i u kojem smjeru) promjeni y ako se x (na danoj razini) poveća za 1%. Definicija 1 Neka je dan koeficijent elastičnosti funkcije y u odnosu na varijablu x: E y,x = x y y Ako je E y,x > 1, kažemo da je y elastična veličina u odnosu na x, a ako je E y,x < 1, y je neelastična. Analogno, imamo E y,x = 1(jedinično elastična ), E y,x = 0(savršeno neelastična ), E y,x = (savršeno elastična ). Područje elastičnosti veličine y je skup P el (y) = {x : x D(y), E y,x > 1}, gdje je D(y) područje definicije varijable y. Područje neelastičnosti veličine y je skup P neel (y) = {x : x D(y), E y,x < 1}, Svojstva koeficijenta elastičnosti (y, u, v- funkcije, c- konstanta) (1) E cy,x = E y,x, (2) E x,y = 1 E y,x (elastičnost inverne funkcije),

26 POGLAVLJE 2. ELASTIČNOST FUNKCIJE 26 (3) E u v,x = E u,x + E v,x (4) E u v,x = E u,x E v,x (5) E y,x = d(log y) d(log x) (6) Koeficijent elastičnosti možemo izraziti i na sljedeći način: E y,x = x x dy dy dx = y dx x = d(log a y) d(log a x) Primjer 21 Zadana je funkcija y = x 3 + x + 2 (a) Izračunajte koeficijent elastičnosti od y u odnosu na x za x=1 te interpretirajte rezultat, (b) Izračunajte koeficijent elastičnosti od x u odnosu na y za x=1 te interpretirajte rezultat (a) (b) E y,x = x y x y = x 3 + x + 2 ( 3x2 + 1) 1 E y,x (x = 1) = ( ) = 1 Interpretacija:Povećanje varijable x na nivou x = 1 za 1% uzrokuje smanjenje funkcije y za 1%. E x,y = 1 E y,x = 1 1 = 1 y = x 3 + x + 2 y = = 2 Interpretacija:Povećanje varijable y na nivou y = 2 za 1% uzrokuje smanjenje funkcije x za 1%. Primjer 22 Zadana je funkcija potražnje q = 300 p 2, gdje je p cijena. a) Odredite domenu (područje varijabiliteta) ove funkcije. b) Odredite koeficijent elastičnosti ove funkcije i interpretirajte rezultat na razinini cijene p = 5 i p = 15.

27 POGLAVLJE 2. ELASTIČNOST FUNKCIJE 27 c) Na kojoj razini cijene je funkcija: 1. jedinično elastična, 2. savršeno elastična, 3. savršeno neelastična? d) Odredite područja elastičnosti i neelastičnosti funkcije q. Rješenje: a) Kod ekonomskih funkcija osim općenitih pravila za odredivanje domene, sve varijable su nenegativne, tj. 0. Imamo q 0 i p 0: 300 p 2 0 p [0, 10 3] Dakle, D(q) = [0, 10 3] b) E q,p = p q dq dp = p q q = p 300 p 2 ( 2p) = 2p2 300 p 2 E q,p (p = 5) = 2, E 11 q,p(p = 15) = 6 Interpretacija:Ako se cijena poveća za 1% na razini p = 5, onda se potražnja smanji približno za 2 % 0.182%. 11 Ako se cijena poveća za 1% na razini p = 15, onda se potražnja smanji približno za 6%. c) 1. E q,p = 1 2p2 300 p 2 = 1 p = E q,p = 2p2 300 p 2 = 300 p 2 = 0 p = E q,p = 0 2p2 300 p 2 = 0 2p 2 = 0 p = 0 d) Područje elastičnosti: E q,p > 1 2p2 300 p 2 > 10 p > 10 P el = 10, 10 3] Područje neelastičnosti: P neel = [0, 10 >

28 POGLAVLJE 2. ELASTIČNOST FUNKCIJE Engelovi zakoni To su zakoni dobiveni empirijskom analizom izdataka iz budžeta prosječnog domaćinstva. Pretpostavljamo da se poveća ukupni prihod domaćinstva i promatramo kako se povećavaju pojedini izdaci. I. Engelov zakon: Neka je x prihod (dohodak, budžet) domaćinstva, a y izdaci za hranu.tada je y funkcija od x. Ako prihodi domaćinstva rastu, izdaci za hranu relativno opadaju. ( y x ) < 0 xy y x 2 < 0 xy y < 0 xy < y x y y < 1 E y,x < 1 Izdaci prosječnog domaćinstva za hranu su neelastični. II. i III Engelov zakon:izdaci domaćinsttva za odijevanje(ii.) i stan (III.) približno su jedinične elastičnosti, E y,x 1. IV. Engelov zakon: Izdaci domaćinstva za kulturne potrebe su elastični, E y,x > 1. Primjer 23 Za koje vrijednosti dohotka x funkcija izdataka za kulturne potrebe potvrduje IV. Engelov zakon? y = x2 Primjenjujemo formulu za derivaciju eksponencijalne funkcije: ( a u ) = au ln a u y = (2 0.05x2) = ( x2) ln 2 (0.05x 2 ) = x2 ln x E y,x = x y y = Za x > ln x x x2 ln x = 0.1 ln 2 x 2 > 1 Primjer 24 Izračunajte koeficijent elastičnosti funkcije y = 1 x 2.

29 POGLAVLJE 2. ELASTIČNOST FUNKCIJE 29 E y,x = e x y dy dx = x y 2x x 4 = x 1 x 2 2 x 3 = 2. Budući da koeficijent elastičnosti ne ovisi o varijabli x, to znači da ako se x poveća za 1% na bilo kojoj razini, veličina y se smanji za približno 2%. Primjer 25 Izračunajte koeficijent elastičnosti funkcije: y = 3x x 4 E y,x = x dy = x 3(x 4) 3x = 12. y dx y (x 4) 2 x 4 Sada vidimo da je E y,x = E y,x (x), pa želimo li interpretirati dobiveni koeficijent elastičnosti, moramo naznačiti na kojoj razini (to jest za koju vrijednost veličine x želimo to učiniti. Za x = 8 dobijemo E y,x (8) = = 3, a za x = 0 E y,x (0) = = 3. Primjer 26 Odredite područje elastičnosti i neelastičnosti funkcije potražnje: q(p) = 100p Budući da je riječ o ekonomskoj funkciji ona ima smisla za p 0 i q 0, odakle se dobije da je 0 p 4, tj. p [0, 4]. Koeficijent elastičnosti iznosi: E q,p = p q dq dp = p 100p ( 100) = p p 4. U području elastičnosti su svi p za koje vrijede uvjeti 0 < p 4 i E q,p > 1. Dakle treba riješiti jednadždu: p p 4 > 1. Kada riješimo ovu jednadžbu, uzimajući u obzir da p mora ispunjavati uvjet 0 < p 4, nalazimo da je područje elastičnosti P el (q) =< 2, 4 >. Analogno, kako su u području neelastičnosti svi p D(q)

30 POGLAVLJE 2. ELASTIČNOST FUNKCIJE 30 za koje E q,p < 1, valja riješiti jednadžbu Lako nalazimo da je p p 4 < 1. P el = 0, 2. Na razini cijene p = 4 razmatrana funkcija potražnje je savršeno elastična jer je lim p 4 E q,p =, a na razini cijene p=0 razmatrana funkcija potražnje je savršeno neelastična jer je lim p 0 E q,p = 0. Primjer 27 Funkcija izdataka za hranu ima oblik:y = 4x, gdje je x dohodak domaćinstva. Izračunajte koeficijent elastičnosti izdataka za hranu prema x+50 promjeni dohotka domaćinstva i interpretirajte rezultat. E y,x = x y dy dx = x 4x x+50 4(x + 50) 4x (x + 50) 2 = 200 x Budući da je x dohodak domaćinstva, to je x > 0. Stoga vrijedi: Dijeljenjem s x + 50, dobivamo da je x + 50 > 50 > 0. 1 > x > 0, odnosno 1 > E y,x > 0. Interpretacija:Izdaci za hranu su neelastična veličina (na bilo kojoj razini dohotka domaćinstva) jer povećanje dohotka x za 1% dovodi do povećanja tih izdataka za manje od 1%. Primjer 28 Zadana je cijena p kao funkcija potražnje q: p(q) = 1 5q 30q. Izračunajte koeficijent elastičnosti potražnje u odnosu na promjenu cijene na razini p = 8 i interpretirajte rezultat.

31 POGLAVLJE 2. ELASTIČNOST FUNKCIJE 31 Iz p(q) = 1 5q nalazimo da je q(p) = 1 30q potražnje u odnosu na promjenu cijene E q,p = p q dq dp = p 1 30p+5 30p+5, pa je koeficijent elastičnosti 30 (30p + 5) = 30p 2 30p + 5 = 6p 6p + 1. Dakle, E q,p (p = 8) = 6 8 = 48,što znači da ako se cijena poveća za 1% na razini p = 8, onda se potražnja smanji približno za 48% %. 49 Primjer 29 Odredite vrijednost realnih parametara a i b tako da za funkciju y = x a e bx vrijedi da je za x = 1 E y,x = 5, a za x = 2 E y,x = 8. E y,x = x dy = x = a + bx. y dx 1 Iz E y,x = a + bx za x = 1 i E y,x = 5 dobivamo jednadžbu a + b = 5, a za x = 2 i E y,x = 8 dobivamo jednadžbu a + 2b = 8. Rješenje sustava x a e bx (axa 1 e bx +x a be bx ) je a = 2, b = 3. a + b = 5 a + 2b = 8 Primjer 30 Izračunajte koeficijent elastičnosti funkcije potražnje q(p) = 1, gdje je q količina potražnje, a p cijena te interpretirajte na nivou cijene p = p 1 3. E q,p = p q dq dp = p 1 p 1 1 (p 1) = p 2 p 1 E q,p (p = 3) = 3 2 = 1.5, što znači da ako se cijena na nivou 3 poveća za 1%, potražnja će se smanjiti približno za 1.5%. Potražnja je elastična u odnosu na promjenu cijene jer je postotak njene promjene veći od postotka promjene cijene. Primjer 31 Zadana je funkcija ukupnih troškova proizvodnje T (Q) = 0.5Q 2 + Q Izračunajte koeficijent elastičnosti varijabilnih troškova na nivou proizvodnje Q = 10.

32 POGLAVLJE 2. ELASTIČNOST FUNKCIJE 32 Ukupni troškovi = varijabilni troškovi + fiksni troškovi. Budući da su fiksni troškovi jednaki T f (Q) = T (0) = 600, varijabilni troškovi su: T v (Q) = T (Q) T (0) = (0.5Q 2 + Q + 600) 600 = 0.5Q 2 + Q. E Tv,Q = Q T v dt v dq = Q 0.5Q 2 + Q (Q + 1) = Q2 + Q 0.5Q 2 + Q = Q Q + 1 E Tv,Q(Q = 10) = 11 6 = 1.83 Interpretacija: Ako se proizvodnja na nivou Q = 10, poveća za 1%, varijabilni troškovi će se povećati približno za 1.83%.

33 POGLAVLJE 2. ELASTIČNOST FUNKCIJE Koeficijenti parcijalne i križne elastičnosti Koeficijent elastičnosti Ey, x je mjera promjene ovisne varijable y = f(x) prouzrokovane relativnom promjenom neoviosne varijable x. Ekonomske veličine u pravilu ne ovise samo o jednoj veličini nego o više drugih veličina. Tako, primjerice potražnja q 1 dobra 1 ovisi o cijeni tog dobra p 1, ali i o cijenama p 2, p 3,..., p n nekih drugih dobara, zatim o dohotku d potrošača te eventualno o vremenu t. To simbolički izražavamo formulom q 1 = q 1 (p 1, p 2,..., p n, d, t). Da bismo mogli izmjeriti utjecaj samo jednog faktora od navedenih n + 2, moramo pretpostaviti da se ostali faktori ne mijenjaju. Koeficijent parcijalne elastičnosti E(q 1, p 1 ) = p 1 q 1 q 1 p 1 mjeri smjer i intenzitet promjene potražnje q 1 promatranog dobra 1 ako sve ostale neovisne varijable ostaju nepromijenjene. Koeficijentima križne elastičnosti E(q 1, p i ) = p i q 1 q 1 p i, gdje je i 1 mjerimo smjer i intenzitet potražnje q 1 promatranog dobra 1 kada se mijenja cijena p i, i 1, a sve ostale neovisne varijable ostaju nepromijenjene. Ako želimo izmjeriti smjer i intenzitet promjene potražnje q 1 dobra 1 kad se mijenja dohodak potrošača, a cijene svih ostalih dobara ostaju nepromijenjene, govorimo o koeficijentu dohodovne elastičnosti E(q 1, d) = d q 1 q 1 d. Mjera elastičnosti potražnje q 1 dobra 1 prema tijeku vremena računa se formulom E(q 1, t) = t q 1 q 1 t. Supstituti ili supstitutivna dobra su proizvodi koji se u upotrebi mogu medusobno zamijeniti.

34 POGLAVLJE 2. ELASTIČNOST FUNKCIJE 34 Koeficijent križne elastičnosti pokazuje koliku elastičnost ima potražnja jednog dobra u odnosu na cijenu nekog drugog dobra. Križna elastižnost je velika i pozitivna ako su ta dva dobra supstituti. Što je taj koeficijent veći, to je riječ o boljim supstitutima. Komplementarno dobro je proizvod koji u svojoj potrošnji ili korištenju može zamijeniti neki drugi proizvod. Križna elastičnost je velika i negativna ako se dobra komplementiraju. Napomena: Neka je q i = q i (p 1, p 2,..., p n ) količina potražnje za dobrom i. Ako je E ( q i, p j ) = pj q i > 0, q i p i za i j,onda su dobra i i j supstituti.ako je E ( q i, p j ) = pj q i q i p i < 0, za i j, onda su i i j komplementarna dobra. Primjer 32 Zadana je funkcija potražnje za dobrom A q A (p A, p B ) = 1 2 p2 A + 5 p B u ovisnosti o cijeni dobara A i B. Izračunajte i interpretirajte koeficijent parcijalne (križne) elastičnosti E qa,p B na nivou cijena p A = 1 i p B = 2. Eq A, p B = p B q A q A p A = p B 1 ( 5 ) 2 p2 A + 5 p 2 p B B Eq A, p B (p A = 1, p B = 2) = 5 = 5 = Interpretacija: Ako se cijena dobra B na nivou 2 (uz konstantnu cijenu dobra A na nivou 1) poveća za 1%, potražnja za dobrom A će pasti približno za 0.83%. Proizvodi su komplementarni jer je Eq A, p B (p A = 1, p B = 2) = 0.83 < 0. Primjer 33 Zadana je funkcija potražnje za teletinom u ovisnosti o p t i p p (cijeni teletine i puretine), te o ovisnosti o dohotku d:q = p t + 1.5p p + 0.1d. Izračunajte križne i dohodovne koeficijente elastičnosti na nivou p t = 100, p p = 40 i d = Eq, d = d q = d 0.1 Eq, d(p q d p t+1.5p p+0.1d t = 100, p p = 40, d = ) = 0.1 = Interpretacija: Potražnja je neelastična u odnosu na promjenu dohotka.

35 POGLAVLJE 2. ELASTIČNOST FUNKCIJE 35 Eq, p p = pp q p q p p = p p t+1.5p p+0.1d 40 Eq, p p (p t = 100, p p = 40, d = 5000) = 1.5 = Interpretacija: Kako je koeficijent križne elastičnosti pozitivan, teletina i puretina su supstituti. Primjer 34 Izračunajte koeficijente parcijalne elastičnosti Cobb-Douglasove proizvodne funkcije: Q(L, C) = α L α C β, gdje su C, L, α, β > 0, β < 1 (L je uloženi rad, a C uloženi kapital). E(Q, L) = L Q Q L = L α L α C β α2 L α 1 C β = α E(Q, C) = C Q Q C = C α L α C β α Lα βc β 1 = β.

36 POGLAVLJE 2. ELASTIČNOST FUNKCIJE Eulerov teorem Teorem 6 Neka je funkcija y = f(x 1, x 2,..., x n ) homogena stupnja t. Tada je zbroj umnožaka svake neovisne varijable x i i parcijalne derivacije funkcije f po toj varijabli jednak umnošku stupnja homogenosti funkcije i same funkcije, to jest x 1 E y,x1 + x 2 E y,x2 + + x n E y,xn = t y Teorem 7 (Eulerov teorem u terminima elastičnosti) Neka je funkcija y = f(x 1, x 2,..., x n ) homogena stupnja t. Tada je zbroj koeficijenata parcijalnih elastičnosti jednaka stupnju homogenosti, to jest E y,x1 + E y,x2 + + E y,xn = t. Primjer 35 Proizvodnja P u nekoj tvornici ovisi o uloženom radu L i uloženom kapitalu C na sljedeći način: P (L, C) = L 2 ln C L + C2. Ako se oba proizvodna faktora povećaju istovremeno za 10%, za koliko se promijeni proizvodnja? Istovremeno povećanje oba proizvodna faktora za jednak postotak (10%), znči da treba izračunati vrijednost funkcije na nivou neovisnih varijabli, tj. treba izračunati vrijednost P (1.1L, 1.1C) jer povećanje znači da je L i C potrebno pomnožiti sa = 1.1. Tražena promjena izražena u postocima 100 u odnosu na početni nivo proizvodnje) dobije se na sljedeći način: P P = P (1.1L, 1, 1C) P (L, C) P (L, C) 100% = = 1.12 L 2 ln 1.1C 1.1L + 1.1C2 (L 2 ln C L + C2 ) L 2 ln C L + C2 100% = ( ) 100% = 21%. Uočimo da je navedena funkcija P(L,C) homogena funkcija stupnja homogoniteta t=2 jer vrijedi: P (tl, tc) = (tl) 2 ln tc tl + (tc)2 = t 2 (L 2 ln C L + C2 ) = t 2 P (L, C).

37 POGLAVLJE 2. ELASTIČNOST FUNKCIJE 37 To znači da smo promjenu proizvodnje P mogli izračunati bez obzira za koliko se postotaka promijene neovisne varijable L i C. Jedino je važno da su te promjene jednakog intenziteta (u promatranom primjeru 10%) i istog smjera (u primjeru je riječ o povećanju). Budući da se faktor t izračuna na sljedeći način: t = 1 + p 100 = 1.1, traženu promjenu proizvodnje mogli smo jednostavnije ozračunati ovako: P P = P (1.1L, 1.1C) P (L, C) P (L, C) 100% = (t 2 1) 100% = 21%. Razmatrani primjer omogućuje popćenje interpertacije stupnja homogenosti, što je u ekonomiji veoma značajno. Naime, vrijedi tvrdnja: Neka se sve neovisne varijable x 1, x 2,..., x n funkcije y = f(x 1, x 2,..., x n ) istovremeno povećaju ili smanje za jednak postotak p te neka je i = 1 + p 100. Ako je y homogena funkcija stupnja t, onda se ovisna varijabla poveća ili smanji za (i t 1) 100%. Primjer 36 Proizvodnja P u nekoj tvornici ovisi o uloženom radu L i uloženom kapitalu C na sljedeći način: P (L, C) = L 2 ln C L + C2. Izračunajte zbroj koeficijenata parcijalnih elastičnosti. Funkcija P (L, C) je homogena funkcija supnja 2 jer je P (tl, tc) = (tl) 2 tc tl + (tc)2 = t 2 P (L, C). To znači da možemo primijeniti Eulerov teorem, pa je E P,L + E P,C = 2.