3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI Homogene funkcije, homogenost Parcijalne derivacije Totalni diferencijal
|
|
- Ίρις Μαρία Παπάζογλου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Sadržaj 3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI Homogene funkcije, homogenost Parcijalne derivacije Totalni diferencijal Koeficijenti parcijalne i križne elastičnosti Eulerov teorem Implicitno zadane funkcije Parcijalne derivacije višeg reda Ekstremi funkcija dviju varijabli Ekstremi funkcija dviju varijabli s ograničenjem Metoda supstitucije Metoda Lagrangeovih multiplikatora i
2 Poglavlje 3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI 3. Homogene funkcije, homogenost Napomena: Kažemo da je funkcija f : R n R homogena stupnja α ako i samo ako vrijedi: f(λx, λx 2,..., λx n ) = λ α f(x, x 2,...,x n ). Zadatak 3.. Ispitajte da li su sljedeće funkcije homogene i nadite im stupanj homogenosti. a) f(x, x 2, x 3 ) = x x 3 ln x +x 2 x 2 +x 3 f(λx, λx 2, λx 3 ) = (λx )(λx 3 ) = λ 2 x x 3 ln λx + λx 2 λx 2 + λx 3 ln λ(x + x 2 ) λ(x 2 + x 3 ) = λ 2 x x 3 ln x + x 2 x 2 + x }{{ 3 } = λ 2 f(x, x 2, x 3 ) α = 2 = f(x,x 2,x 3 ) 34
3 b) f(x, y) = x 2 + y 2 ln x f(λx, λy) = (λx) 2 + (λy) 2 ln(λx) = λ 2 x 2 + λ 2 y 2 ln(λx) = λ 2 [x 2 + y 2 ln(λx) }{{} ] f(x,y) fnije homogena funkcija c) f(x, y, z) = 3x 2 y ln z ALI: f(λx, λy, z) = 3(λx) 2 λy ln z = 3λ 2 x 2 λ 2 y 2 ln z = λ 2 λ 2 3x 2 y ln z = λ 5 2 3x 2 y ln z }{{} odmah vidimo da se, kao i u b) dijelu zadatka, iz ln(λz) neće moći izlučiti λ f nije homogena funkcija = f(x,y,z) f je parcijalno homogena u varijablama x i y stupnja homogenosti α = 5 2. d) Q(L, C) =.3[0.3L C 0.5 ] 2 Q(λL, λc) =.3[0.3(λL) (λC) 0.5 ] 2 e) f(x, y) = log x2 +xy y 2 =.3[0.3λ 0.5 L λ 0.5 C 0.5 ] 2 =.3(λ 0.5 ) 2 [0.3L C 0.5 ] 2 = λ.3[0.3l C 0.5 ] 2 }{{} = Q(L,C) Q je homogena funkcija stupnja homogenosti α = f(λx, λy) = log (λx)2 + (λx)(λy) (λy) 2 = log λ2 x 2 + λ 2 xy λ 2 y 2 = log λ2 (x 2 + xy = log x2 + xy = f(x, y) = λ 0 f(x, y) λ 2 y 2 y 2 f je homogena funkcija stupnja homogenosti α = 0 35
4 f) Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje: Q(L, C) = 0.3L 0.4 C 0.6 homogena, α = = g) Cobb-Douglasova funkcija u logaritamskom obliku: ln Q(L, C) = 0.2 lnl lnc + 3 Q je homogena, α = = h) Funkcija potražnje za proizvodom 2 u ovisnosti o cijenama proizvoda i 2: ln q 2 (p, p 2 ) =.2 ln p 0.3 lnp 2 + homogena, α = = 0.9 Zadatak 3.2. Zadana je funkcija x z(x, y) = x 4 + 5x 2 y 2 + 4y x + y Za koliko će se postotaka promijeniti funkcijska vrijednost od z ako se varijable x i y istovremeno povećaju 0%? x x x =.x y y y =.y Računamo z(.x,.y) λ =. 36
5 (λx) z(λx, λy) = (λx) 4 + 5(λx) 2 (λy) 2 + 4(λy) 4 3 2(λx) + (λy) λ = λx 4 x 4 + 5λ 2 x 2 λ 2 y 2 + 4λ 4 y 4 3 2λx + λy λ = λx 4 (x 4 + 5x 2 y 2 + 4y 4 ) 3 λ(2x + y) = λx 3 x λ x 2 y 2 + 4y 4 3 2x + y = λ 2 x x 4 + 5x 2 y 2 + 4y 4 3 =. 2 z(x, y) 2x + y =.2 z(x, y) Vrijednost funkcije z će se povećati za 2%. Zadatak 3.3. Dana je funkcija Q(L, C) =.5L s C 0.7. Odredite parametar s R, s 0, takav da vrijednost funkcije Q(L, C) uslijed smanjenja varijabli za 3.6% ostane nepromijenjena. L L L = 0.964L C C C = 0.964C λ = i želimo da vrijedi Q(λL, λc) = Q(L, C) = λ 0 Q(L, C) Drugim riječima, želimo da funkcija Q(L, C) bude homogena stupnja homogenosti α = 0. Q(λL, λc) =.5(λL) s (λc) 0.7 = λ s+0.7 Q(L, C) α = s = 0 s = 0.7 Napomena: Za homogenu funkciju sa stupnjem homogenosti α kažemo da ima: 37
6 opadajuće prinose ukoliko je 0 < α <, konstantne prinose ukoliko je α =, rastuće prinose ukoliko je α >. Zadatak 3.4. Dana je funkcija Q(L, C) = 0.3L 0.7 C 0.3. Kakvi su prinosi u pitanju? Za koliko će se postotaka promijeniti količina proizvodnje ako se rad i kapital istovremeno povećaju za 5%? α = = U pitanju su konstantni prinosi. Q(.05L,.05C) =.05 α Q(L, C) =.05 Q(L, C) Ako se rad i kapital istovremeno povećaju za 5%, količina proizvodnje će se takoder povećati za 5%. DZ 3.5. Ispitajte homogenost funkcije: a) f(x, y, z) = 200x 2 ze 0.0y, b) ln q (p, p 2, t) = 3.2 ln p lnp t Parcijalne derivacije Parcijalnu derivaciju funkcije f : R n R u točki (x,...,x n ) po i-toj varijabli definiramo kao f f(x,...,x i + h,...,x n ) f(x,..., x i,..., x n ) (x,...,x n ) = lim, x i h 0 h ukoliko taj limes postoji. Za parcijalnu derivaciju funkcije f po i-toj varijabli koriste se sljedeće oznake: f x i = f xi = f i. Za parcijalno deriviranje funkcija više varijabli vrijede ista pravila kao i za deriviranje funkcija jedne varijable uz napomenu da zamišljamo da su sve varijable, osim one po kojoj trenutno deriviramo, zapravo konstante. 38
7 Zadatak 3.6. Nadite parcijalne derivacije funkcije f(x, y) = 3x 2 +xy + y. f x = 3 2x + y + 0 = 6x + y f y = 0 + x + 2 y = x + y Zadatak 3.7. Nadite parcijalne derivacije funkcije z(x, y) = (x + 2y)e x2 +y 3. z x = ( + 0)e x2 +y 3 + (x + 2y)e x2 +y 3 (2x + 0) = e x2 +y 3 ( + 2x(x + 2y)) = e x2 +y 3 ( + 2x 2 + 4xy) z y = (0 + 2)e x2 +y 3 + (x + 2y)e x2 +y 3 (0 + 3y 2 ) = e x2 +y 3 (2 + 3y 2 (x + 2y)) = e x2 +y 3 (2 + 3xy 2 + 6y 3 ) Zadatak 3.8. Nadite parcijalne derivacije funkcije f(x, y, z) = e 2xz ln yz+. f x = e 2xz 2z = 2ze 2xz f y = 0 yz z + 0 = y f z = e 2xz 2x yz y = 2xe2xz z Zadatak 3.9. Nadite parcijalne derivacije funkcije u(x, y) = 2x y x+y. 39
8 u x = = u y = = (2 0)(x + y) (2x y)( + 0) (x + y) 2 2x + 2y 2x + y 3y = (x + y) 2 (x + y) 2 (0 )(x + y) (2x y)(0 + ) (x + y) 2 x y 2x + y = 3x (x + y) 2 (x + y) 2 Zadatak 3.0. Zadana je funkcija f(x, y, z) = x 2 y 2 + 2xz + +ln(y+ e). Izračunajte f x (, 0, 4). f x (x, y, z) = = f x (, 0, 4) = 2 x 2 y 2x xz + 2z + 0 x x2 y + z 2 2xz = = Totalni diferencijal Neka je z = f(x, y) diferencijabilna funkcija dvije varijable. Ako su dx i dy proizvoljni realni brojevi, definiramo totalni diferencijal od z = f(x, y) u (x, y), označen sa dz ili df, kao dz = f f dx + x y dy. 40
9 Kada se x promijeni u x + dx, a y u y + dy, tada promjenu funkcijske vrijednosti zovemo prirast z = f(x + dx, y + dy) f(x, y). Ako su dx i dy mali u apsolutnoj vrijednosti, tada z možemo aproksimirati sa dz z dz = f f dx + x y dy. Zadatak 3.. Za koliko se približno promijeni vrijednost funkcije z(x, y) = xe y ako x = poraste na.5, a y = padne na 0.9? x =, dx =.5 = 0.5 y =, dy = 0.9 = 0. z dz = z x dx + z y dy = e y dx + xe y dy = e e ( 0.) = e (0.5 0.) = 0.05e 3.4 Koeficijenti parcijalne i križne elastičnosti Koeficijent parcijalne elastičnosti funkcije dvije varijable, f(x, y), u odnosu na varijablu x definira se kao E f,x = x f f x Interpretacija: E f,x na nivou (x, y) = (x 0, y 0 ) nam govori za koliko se približno posto poveća vrijednost funkcije f, ako se varijabla x iz nivoa x 0 poveća za %, a varijabla y ostane nepromijenjena. 4
10 Analogno se definira i koeficijent parcijalne elastičnosti funkcije dvije varijable, f(x, y), u odnosu na varijablu y: E f,y = y f f y Interpretacija: E f,x na nivou (x, y) = (x 0, y 0 ) nam govori za koliko se približno posto poveća vrijednost funkcije f, ako se varijabla y iz nivoa y 0 poveća za %, a varijabla x ostane nepromijenjena. Zadatak 3.2. Izračunajte koeficijente parcijalne elastičnosti funkcije f(x, y) = x y2 u odnosu na varijable x i y, te interpretirajte rezultat na nivou x = 25, y = 3. E f,x = x f f x = E f,x (25, 3) = x x y (25 9) = x y = x 2 2(x y 2 ) Na nivou x = 25, y = 3 kada x povećamo za % vrijednost funkcije f će se povećati približno za %. E f,y = y f f y = E f,y (25, 3) = y x y = y2 ( 2y) = x y2 x y 2 Na nivou x = 25, y = 3 kada y povećamo za % vrijednost funkcije f će se smanjiti približno za 9 6 %. Pretpostavimo da na tržistu imamo dva proizvoda. Označimo sa p cijenu prvog, a sa p 2 cijenu drugog. q neka je potražnja za prvim proizvodom. Kako ona ovisi o cijeni tog proizvoda, ali i o cijeni drugog proizvoda, q je zapravo funkcija dvije varijable, tj. q = q (p, p 2 ). Analogno, q 2 (p, p 2 ) je funkcija potražnje za drugim proizvodom. Koeficijenti križne elastičnosti su specijalni slučaj koeficijenata parcijalne elastičnosti i opisuju ponašanje funkcije potražnje jednog proizvoda u slučaju kada se mijenja cijena drugog proizvoda. Dakle koeficijenti križne elastičnosti su E q,p 2 i E q2,p. 42
11 Kažemo da je neki proizvod normalno dobro ukoliko povećanje cijene tog proizvoda (dobra) uzrokuje pad potražnje za tim dobrom (p q ). Proizvodi su supstituti ukoliko rast cijene jednog od njih uzrokuje rast potražnje za drugim. (p 2 q ). Proizvodi su komplementi ukoliko rast cijene jednog od njih uzrokuje pad potražnje za drugim. (p 2 q ). Zadatak 3.3. Dana je funkcija potražnje q (p, p 2 ) = 2 p2 + 5 p 2. Izračunajte i interpretirajte koeficijente parcijalne i križne elastičnosti na nivou cijena p =, p 2 = 2, te interpretirajte rezultat. Jesu li proizvodi komplementi ili supstituti? koeficijent parcijalne elastičnosti: E q,p = p q q p = E q,p (, 2) = p 2 p2 + 5 p = p 2 = 3 p 2 2 p2 + 5 p 2 Na nivou cijena p =, p 2 = 2, kada cijenu prvog proizvoda (p ) povećamo za % potražnja za tim proizvodom (q ) poraste približno za %. Zaključujemo 3 da prvi proizvod nije normalno dobro. koeficijent križne elastičnosti: E q,p 2 = p 2 q q p 2 = E q,p 2 (, 2) = p 2 2 p2 + 5 p 2 ( 5 p = ) = 5 p 2 ( 2 p2 + 5 p 2 ) = 5 2 p2 p Na nivou cijena p =, p 2 = 2, kada cijenu drugog proizvoda (p 2 ) povećamo za % potražnja za prvim proizvodom (q ) smanji se približno za 5 %. Zaključujemo da su proizvodi 6 komplementi. Zadatak 3.4. Zadana je funkcija proizvodnje Q(L, C) = 2 L 3 C. Izračunajte E Q,L i E Q,C. 43
12 Q(L, C) = 2 L 3 2C 2 Cobb-Douglasova funkcija E Q,L = 3 2, E Q,C = 2 Zadatak 3.5. Zadano je ln q =.423 lnp + 4 lnp 2. Izračunajte koeficijente parcijalne i križne elastičnosti funkcije q. E q,p =.423 (proizvod je normalno dobro) E q,p 2 = 4 (proizvodi su supstituti) 3.5 Eulerov teorem Teorem 3.6 (Eulerov teorem). Neka je f = f(x, x 2,..., x n ) homogena realna funkcija n realnih varijabli, sa stupnjem homogenosti α. Tada vrijedi: x f x + x 2 f x x n f xn = α f / : f, E f,x + E f,x E f,xn = α. Zadatak 3.7. Zadana je funkcija Izračunajte xf x + yf y. f(x, y) = x 2 y 3 ln x(y x) y 2. Prvo provjerimo da li je f homogena i, ako jest, kojeg stupnja: f(λx, λy) =(λx) 2 (λy) 3 λx (λy λx) ln (λy) 2 =λ 2 x 2 λ 3 y 3 λ/x λ/ (y x) ln λ/y 2 2 =λ x 2 y 3 x(y x) ln y }{{ 2 } f(x,y) f homogena stupnja α =. 44
13 Sada primjenom Eulerovog teorema dobivamo: xf x + yf y = f = x 2 y 3 ln x(y x) y 2. Zadatak 3.8. Zadana je funkcija f(x, y) = t x(ln x ln y) + y t. Odredite parametar t R, t 0, takav da vrijedi xf x = yf y. Prvo provjerimo homogenost funkcije f: f(λx, λy) = t λx(ln (λx) ln(λy)) + (λy) t =λ λ/x t x t ln λ/y + λ t y t ( ) =λ t x x t ln y + y t =λ t ( t x(ln x ln y) + t y ) }{{} f(x,y) Primjenom Eulerovog teorema dobivamo: f homogena stupnja α = t. xf x + yf y = α f = t f = (uvjet zadatka) = 0. Kako f nije svuda jednaka 0, slijedi = 0, što nije moguće. t Zaključimo, ne postoji takav t R. Zadatak 3.9. Odredite parametar t R, t > 0, takav da vrijedi xu x + yu y + zu z = u, ako je ln u(x, y, z) = ln 2 + ln t x2 ln t+ y ln t+ z. Ispitujemo homogenost u: ln u(x, y, z) = ln 2 + ln x 2 t ln y t+ ln z t+ = ln t lnx t + ln y t + ln z homogena, α = 2 t t + t + = 2 t 2 t +. 45
14 Eulerov teorem α =, 2 t 2 t + =, 2 t 2 t + = 0, 2 t 2 t t(t + ) = 0 t 2 t + 2 = 0 t = 2, t 2 =. Zbog t > 0 t =. Zadatak Dana je funkcija f(x, y, z) = x y ln z. Izračunajte xf x + yf y + zf z. Funkcija f je parcijalno homogena sa koeficijentom α = 2 f(λx, λy, z) = λx λy ln z = λ 2 x ln z. y }{{} f(x,y,z) jer je (Euler) xf x + yf y = x ln z 2 y (fiksiramo z, kao da je neka konstanta). Ostaje nam derivirati f po z: f z = x y z zf z = z\ x y z\ = x y. xf x + yf y + zf z = x ln z + x. 2 y y Zadatak 3.2. Dana je funkcija potražnje za proizvodom u ovisnosti o cijenama proizvoda i proizvoda 2: q (p, p 2 ) = 2p 2 (2p t 2 + pt ) t. Odredite parametar t R takav da je suma parcijalne i križne elastičnosti jednaka 0. 46
15 E q,p + E q,p 2 = 0 = (Euler) = α q (λp, λp 2 ) =2λp 2 (2λ t p t 2 + λ t p t ) t =2λp 2 [λ t (2p t 2 + p t )] t =2λp 2 λ t2 (2p t 2 + p t ) t =λ t2 2p 2 (2p t 2 + p t ) t }{{} q (p,p 2 ) q homogena, α = t 2 t 2 = 0 t = ±. Zadatak Neka je dana funkcija proizvodnje u ovisnosti o radu L i kapitalu C, Q(L, C) = 0.5L C. Izračunajte sumu svih parcijalnih elastičnosti proizvodnje. Q(L, C) = 0.5L C 2 homogena s koeficijentom α = + 2 = 3 2 (Euler) E Q,L + E Q,C = α = + 2 = 3 2. Q je funkcija rastućih prinosa (α > ). Zadatak Neka je dana funkcija proizvodnje Q(L, C, t) = 0.5L Ce 0.3t. Izračunajte sumu svih parcijalnih elastičnosti proizvodnje. Po prethodnom zadatku je E Q,L + E Q,C = 3 2. E Q,t = t Q Q t = t 0.5L Ce 0.3t 0.5L Ce 0.3t 0.3 = 0.3t. E Q,L + E Q,C + E Q,t = t. Zadatak Zadana je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje u logaritamskom obliku, ln Q = lnl lnc. Izračunajte sumu svih parcijalnih elastičnosti proizvodnje. 47
16 E Q,L + E Q,C = (Euler) = α = = 0.58 Q je funkcija opadajućih prinosa (α < ). Zadatak Funkcija potražnje za proizvodom A homogena je stupnja, te ovisi o cijeni proizvoda A i B. Ako je koeficijent elastičnosti te funkcije u odnosu na cijenu proizvoda A jednak -0.5, izračunajte vrijednost koeficijenta elastičnosti te iste funkcije potražnje u odnosu na cijenu proizvoda B, te ga interpretirajte. Neka su p A i p B cijene proizvoda A, odn. B, a q A = q A (p A, p B ) funkcija potražnje za proizvodom A. E qa,p A + E qa,p B = α E qa,p B = E qa,p B = =.5 Interpretacija: Ako cijena proizvoda B naraste za %, potražnja za proizvodom A poraste približno za.5% (p B % q A.5%). Proizvodi A i B su supstituti. 3.6 Implicitno zadane funkcije Pretpostavimo da je jednadžbom F(y, x, x 2,..., x n ) = 0 implicitno definirana funkcija y = f(x, x 2,...,x n ) (tj. da se iz jednadžbe y može izraziti kao funkcija od x,...,x n ). Tada su parcijalne derivacije od f dane sa: f x i = f xi = F x i F y. Zadatak Neka je funkcija y = y(x) dana implicitno formulom F(y, x) = x 2 + xy + y 2 6. Odredite y (x). 48
17 Prije bismo to izračunali ovako (vidi derivacije implicitne funkcije): Sada znamo i jednostavnije: x 2 + xy + y 2 6 = 0 /() 2x + y + xy + 2yy = 0 y (2y + x) = (2x + y) y = y (x) = 2x + y x + 2y dy dx = y (x) = F x F y = 2x + y x + 2y. Zadatak Neka je funkcija z = f(x, y) dana implicitno formulom F(z, x, y) = x 2 2y 2 + 3z 2 yz + y = 0. Odredite parcijalne derivacije funkcije z. z x = F x = 2x F z 6z y z y = F y = 4y z + F z 6z y Zadatak Dana je ovisnost količine proizvodnje, rada i kapitala: Q 3 LC = 0. Odredite graničnu produktivnost kapitala ( Q C ), te graničnu stopu tehničke supstitucije kapitala radom ( C ( Q L F(Q, L, C) = Q 3 LC ), graničnu produktivnost rada L ). 49
18 Q C = Q C = F C F Q = L 3Q 2 = L 3Q 2 (kada C jedinicu Q Q L = Q L = F L F Q = C 3Q 2 = C 3Q 2 L jedinica), 3Q 2 (kada L jedinicu Q C jedinica), 3Q 2 C L = C L = F L = C F C L = C L (kada L jedinicu C C jedinica). L Napomena (2. način): Ovdje smo mogli i izlučiti svaku pojedinu varijablu, pa onda derivirati: npr. Q 3 = LC Q = 3 LC = (LC) 3 Q C = Q C = 2 L 3 (LC) 3 L = 3 3 (LC) = L 2 3Q 2. No, to nije uvijek moguće, a i račun je kompliciraniji od. načina. Zadatak Na nivou proizvodnje Q = 0, rad i kapital su povezani relacijom: L 0.3 C 0.7 = 0. Odredite graničnu stopu tehničke supstitucije kapitala radom i interpretirajte. F(L, C) = L 0.3 C = 0 C L = C L = F L = C L 0.7 C0.7 F C L C = 0.3 C 0.3 = 0.3C 0.3 L L L Interpretacija: L jedinicu C 0.3C jedinica da bi se odrala ista razina 0.7L proizvodnje. Npr. na nivou L = 0, C = 0, ako L povećamo za jedinicu, C se smanji za 3 jedinica. Tada je L = 0 + =, C = 0 3 =
19 3.7 Parcijalne derivacije višeg reda Teorem 3.30 (Youngov ili Schwarzov teorem). Pretpostavimo da su mješovite parcijalne derivacije drugog reda 2 f x j x i 2 f x i x j funkcije f(x,...,x n ) obje neprekidne na otvorenom skupu S. Tada su te dvije parcijalne derivacije jednake u svim točkama skupa S. Drugim riječima, 2 f = 2 f, x i x j x j x i ako su te obje parcijalne derivacije neprekidne. Zadatak 3.3. Za funkciju f(x, y, z) = zy x izračunajte i f x, 2 f y 2, 2 f y x, 3 f x y z. f x = f x = zy x ln y f y = f y = zxy x 2 f y 2 = f yy = zx(x )y x 2 2 f y x = f yx = zxy x ln y + zy x y = zxyx ln y + zy x 3 f x y z = f y x z = f xyz = xy x ln y + y x 3.8 Ekstremi funkcija dviju varijabli Postupak za odredivanje ekstrema funkcije dvije varijable je sljedeći:. Odredimo stacionarne točke. To su točke koje su rješenja sustava jednadžbi: { fx = 0 f y = 0 (x, y ) stacionarne točke 5
20 2. Računamo funkcije: D = f xx, D 2 = f xx f xy f yx f yy = f xxf yy fxy 2 [ ] fxx f Napomena: Matrica xy naziva se Hesseova matrica funkcije f yx f yy f, a njena determinanta, koju smo mi označili s D 2 naziva se Hesijan. 3. Za svaku stacionarnu točku provjeravamo njen karakter: Ukoliko je D (x, y ) > 0 i D 2 (x, y ) > 0 (x, y ) je točka lokalnog minimuma. Ukoliko je D (x, y ) < 0 i D 2 (x, y ) > 0 (x, y ) je točka lokalnog maksimuma. Ukoliko je D 2 (x, y ) < 0 (x, y ) nije ekstrem, nego sedlasta točka. Ukoliko je D 2 (x, y ) = 0 za odredivanje karaktera točke (x, y ) potrebno je provesti daljnja ispitivanja; (x, y ) može biti točka lokalnog maksimuma, točka lokalnog minimuma, ili sedlasta točka. Zadatak Odredite ekstreme funkcije f(x, y) = 80 y 2 +x 3 +2y 3x. Domena: x R, y R f x = 3x 2 3 = 0 x =, x 2 = f y = 2y + 2 = 0 y = 6 f xx = 6x f xy = 0 f yy = 2 T (, 6) i T 2 (, 6) su stacionarne točke } T (, 6) D (, 6) = 6 > 0 D 2 (, 6) = 2 < 0 T 2 (, 6) D (, 6) = 6 < 0 D 2 (, 6) = 2 > 0 D = 6x D 2 = 6x ( 2) 0 = 2x f(, 6) = 8 M(, 6; 8) T (, 6) je sedlasta točka } T 2 (, 6) je točka lokalnog maksimuma. 52
21 Zadatak Odredite ekstreme funkcije u(x, y) = 3 ln x lny + ln(2 x y). Domena: x, y > 0, 2 x y > 0 u x = 3 x 6 2 > x + y tj. x + y < x y ( ) = 3 x 2 x y = 4x 3y+36 x(2 x y) = 0 u y = 2 y + 2 x y ( ) = 2 y 2 x y = 2x 3y+24 y(2 x y) = 0 4x 3y + 36 = 0 2x 3y + 24 = 0 4x + 3y = 36/II ( ) + I 2x + 3y = 24 2x = 2 x = 6, y = 4 T(6, 4) je stacionarna točka u xx = 3 x 2 (2 x y) 2 u xx (6, 4) = = 3 u xy = (2 x y) 2 u xy (6, 4) = 4 u yy = 2 y 2 (2 x y) 2 u yy (6, 4) = = 3 8 D (6, 4) = u xx (6, 4) = 3 < 0 D 2 (6, 4) = u xx (6, 4) u yy (6, 4) [u xy (6, 4)] 2 = 3 ( 3 8 ) ( 4 )2 = 6 > 0 u(6, 4) = 3 ln2 M(6, 4; 3 ln2) je maksimum. Zadatak Odredite ekstreme funkcije z(x, y) = 8 x + x y + y. Domena: x 0, y 0 53
22 z x = 8 x 2 + y = 8y+x2 x 2 y = 0 8y + x 2 = 0 z y = x y 2 + = x+y2 y 2 = 0 x + y 2 = 0 8y + x 2 = 0 x + y 2 = 0 x = y 2 y 4 8y = 0 y(y 3 8) = 0 y = 0, y 2 = 2 x = 4 z xx = 6 x 3 z xx (4, 2) = = 4 T(4, 2) je stacionarna točka z xy = y 2 z xy (4, 2) = 2 2 = 4 z yy = 2x y 3 z yy (4, 2) = = D (4, 2) = z xx (4, 2) = 4 > 0 D 2 (4, 2) = z xx (4, 2) z yy (4, 2) [z xy (4, 2)] 2 = 4 ( 4 )2 = 3 6 > 0 z(4, 2) = 6 m(4, 2; 6) je minimum. Zadatak Dane su cijene dvaju dobara u ovisnosti o količinama proizvodnje p = 5 Q i p 2 = 0 Q 2, te funkcija ukupnih troškova T(Q, Q 2 ) = 5Q + 4Q Nadite optimalnu kombinaciju proizvodnje u cilju maksimiziranja dobiti. Koliko ona iznosi? PRIHODI: P(Q, Q 2 ) = p Q + p 2 Q 2 = (5 Q )Q + (0 Q 2 )Q 2 = 5Q Q 2 + 0Q 2 Q 2 2 TROŠKOVI: T(Q, Q 2 ) = 5Q + 4Q
23 DOBIT: D(Q, Q 2 ) = P(Q, Q 2 ) T(Q, Q 2 ) = 5Q Q 2 + 0Q 2 Q 2 2 5Q 4Q 2 5 = Q 2 Q Q + 6Q 2 5 Tražimo maksimum dobiti. D Q = 2Q + 0 = 0 Q = 5 D Q2 = 2Q = 0 Q 2 = 3 D Q Q = 2 D Q,Q 2 = 0 (Q, Q 2 ) = (5, 3) je stacionarna točka D (5, 3) = 2 < 0 D 2 (5, 3) = 2 ( 2) 0 2 = 4 > 0 D Q2,Q 2 = 2 D(5, 3) = 29 M(5, 3; 29) je maksimum. Maksimalna dobit se ostvaruje na razini proizvodnje Q = 5, Q 2 = 3 i iznosi 79. DZ Zadana je funkcija ukupnih troškova za dva proizvoda T(Q, Q 2 ) = Q 2 + 3Q2 2 + Q Q i prodajne cijene p = 7, p 2 = 20. Ispitajte uz koju se količinu Q i Q 2 ostvaruje maksimum dobiti i koliko ona iznosi. Maksimum dobiti se postiže na razini proizvodnje Q = 2, Q 2 = 3. DZ Odredite ekstreme funkcije z(x, y) = x2 +y 2 x. Ekstremi ne postoje (nema stacionarnih točaka). 3.9 Ekstremi funkcija dviju varijabli s ograničenjem Pretpostavimo da su f(x, y) i g(x, y) realne funkcije dviju varijabli. Cilj nam je pronaći ekstreme funkcije f(x, y) na skupu točaka (x, y) koje zadovoljavaju jednadžbu g(x, y) = 0. Drugim riječima, rješavamo problem: f(x, y) min, max uz ograničenje: g(x, y) = 0. 55
24 3.9. Metoda supstitucije Uputa: Ukoliko je moguće, iz uvjeta izrazimo jednu varijablu preko druge i to uvrstimo u funkciju čije ekstreme tražimo. Na taj način problem ekstrema funkcije dviju varijabli s ograničenjem svodimo na problem ekstrema funkcije jedne varijable bez ograničenja. Zadatak Nadite ekstremne vrijednosti funkcije z(x, y) = e x y uz ograničenje x + y = 4. z(x, y) = e x y x + y = 4 y = 4 x Sada supstitucijom varijable y u funkciji z(x, y) dobivamo: z(x, y) = z(x) = e x(4 x) = e 4x x2 z (x) = e 4x x2 (4 2x) = 0 x = 2 je stacionarna točka z (x) = e 4x x2 (4 2x) 2 + e 4x x2 ( 2) z (2) = 2e 4 < 0, z(2) = e 4, y = 4 2 = 2 M(2, 2; e 4 ) je lokalni maksimum. Zadatak Neka je cijena jedinice rada, jedinice kapitala 2, a fiksni troškovi 0. Ako je dana funkcija proizvodnje Q(L, C) = 0.5( L + C) 2, nadite optimalnu kombinaciju rada i kapitala u cilju minimizacije troškova, a na nivou proizvodnje Q = 8. Koliki su ti minimalni troškovi? T(L, C) = L + 2 C + 0 = L + 2C + 0 min Q(L, C) = 0.5( L + C) 2 = 8 ( L + C) 2 = 6/ L + C = 4 L = 4 C/() 2 L = (4 C) 2 Supstitucijom varijable L funkcija ukupnih troškova prelazi u T(L, C) = T(C) = (4 C) 2 + 2C + 0 T (C) = 2(4 C) ( 2 2 ) + 2 = 0 56
25 4 C = 0 4 C = 3 C = 4 3 C = 6 9 je stacionarna točka L = (4 T (C) = ( 4C 2 + 3) = 4 ( 2 )C 3 2 = 2 T ( 6 9 ) > 0 min, T(6 ) = )2 = ( 8 3 )2 = 64 9 C 3 2 m( 6 9, 64 9 ; 86 ) je lokalni minimum. 9 Zadatak Dana je funkcija troškova T(L, C) = 2L + C + 0 i funkcija proizvodnje Q(L, C) = L C u ovisnosti o radu i kapitalu. Nadite kombinaciju rada i kapitala uz koju se na nivou proizvodnje Q = 8 ostvaruju minimalni troškovi. T(L, C) = 2L + C + 0 Q(L, C) = L C = 8 L = 8 C T(L, C) = T(C) = 6 C + C + 0 T (C) = 6 C 2 + = 0 C 2 = 6 (C > 0) C = 4 je stac. točka L = 8 4 = 2 T (C) = 32 C 3 T (4) = > 0 min, T(4) = 8 m(2, 4; 8) je lokalni minimum. 57
26 3.9.2 Metoda Lagrangeovih multiplikatora Problem f(x, y) min, max uz ograničenje: g(x, y) = 0. moguće je u većini slučajeva (pa i onda kada ne možemo primijeniti metodu supstitucije) riješiti metodom Lagrangeovih multiplikatora:. Definiramo Lagrangeovu funkciju L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y) 2. Odredimo stacionarne točke Lagrangeove funkcije, tj. točke koje su rješenja sustava jednadžbi: L x = 0 L y = 0 (x, y, λ ) stacionarne točke L λ = 0 3. Računamo sve parcijalne derivacije drugog reda Lagrangeove funkcije: L xx, L xy, L xλ, L yy, L yλ, L λλ, L xx L xy L xλ a potom determinantu D = L yx L yy L yλ L λx L λy L λλ. 4. Za svaku stacionarnu točku provjeravamo njen karakter: Ako je D(x, y, λ ) < 0 (x, y ) je točka lokalnog minimuma. Ako je D(x, y, λ ) > 0 (x, y ) je točka lokalnog maksimuma. Zadatak 3.4. Odredite ekstreme funkcije f(x, y) = 4y uz ograničenje (x 5) 2 + 9(y 4) 2 = 9. f(x, y) = 4y g(x, y) = 9 (x 5) 2 9(y 4) 2 58
27 L(x, y, λ) = 4y + λ(9 (x 5) 2 9(y 4) 2 ) L x = 2λ(x 5) = 0 λ(x 5) = 0, λ 0 x = 5 L y = 4 8(y 4)λ = 0 λ = 4 8(y 4) L λ = 9 (x 5) 2 9(y 4) 2 = 0 x = 5 9 9(y 4) 2 = 0 (y 4) 2 = y 4 = ± y = 3, y 2 = 5 Dobivamo dvije stacionarne točke: T (5, 3) λ = 4 8(3 4) 2 9 T 2 (5, 5) λ 2 = 4 8(5 4) 9 T (5, 3), λ = 2 9 : D = L xx = 2λ L xy = 0 L xλ = 2(x 5) L yy = 8λ L yλ = 8(y 4) L λλ = 0 2λ 0 2(x 5) 0 8λ 8(y 4) 2(x 5) 8(y 4) 0 = 4 9 (0 82 ) < 0 lok. minimum = f(5, 3) = 4 3 = 2 m(5,3;2) T 2 (5, 5), λ 2 = 2 : 9 2λ 0 2(x 5) D = 0 8λ 8(y 4) 2(x 5) 8(y 4) 0 = = 4 9 (0 ( 8)2 ) > 0 lok. maksimum f(5, 5) = 4 5 = 20 M(5,5;20) = = Zadatak Odredite ekstreme funkcije f(x, y) = x y uz ograničenje x 2 + y 2 = 2. 59
28 f(x, y) = 4y g(x, y) = 2 x 2 y 2 = 0 L(x, y, λ) = x y + λ(2 x 2 y 2 ) L x = 2λx = 0 λ = 2x L y = 2λy = 0 λ = 2x = 2y 2y x = y L λ = 2 x 2 y 2 = 0 2 x 2 x 2 = 0 Dobili smo dvije stacionarne točke: T (, ), λ = 2 : D = = 2x 2 = 2 x 2 = x =, x 2 = y =, y 2 = λ = 2, λ 2 = 2 T (, ), λ = 2 T 2 (, ), λ 2 = 2 L xx = 2λ L xy = 0 L xλ = 2x L yy = 2λ L yλ = 2y L λλ = 0 2λ 0 2x 0 2λ 2y 2x 2y T 2 (, ), λ 2 = 2 : D = = = = I 2 + III = ( ) ( 4 4) > 0 f(, ) = + = 2 M(-,-;2) 2λ 0 2x 0 2λ 2y 2x 2y = = ( 4 4) < lok. maksimum = I 2 + III lok. minimum 60
29 f(, ) = = 2 m(,;-2) Zadatak Dana je funkcija troškova T(Q, Q 2 ) = 2Q 2 + Q Q 2 + Q 2 2 gdje su Q, Q 2 0 količine proizvodnje za dva proizvoda. Odredite Q i Q 2 tako da troškovi budu minimalni, a da ukupna proizvodnja bude 20. Problem glasi: T(Q, Q 2 ) = 2Q 2 + Q Q 2 + Q 2 2 min uz ograničenje Q + Q 2 = 20 I. Metoda supstitucije: Q 2 = 20 Q T(Q, Q 2 ) = T(Q ) = 2Q 2 + Q (20 Q ) + (20 Q ) 2 = 2Q 2 20Q T (Q ) = 4Q 20 = 0 Q = 5 T (Q ) = 4 > 0 T (5) = 4 > 0 lok. min. Q 2 = 20 5 = 5, T(5, 5) = 350 m(5,5;350) II. Metoda Lagrangeovih multiplikatora: L(Q, Q 2, λ) = 2Q 2 + Q Q 2 + Q λ(20 Q Q 2 ) } L Q = 4Q + Q 2 λ = 0 λ = 4Q + Q 2 Q L Q2 = Q + 2Q 2 λ = 0 λ = Q + 2Q 2 = 3Q 2 L λ = 20 Q Q 2 = 0 20 Q 3Q = Q = 0 Q = 5 Q 2 = 5 λ = 35 Dobili smo stacionarnu točku: T(5, 5), λ = 35 L Q Q = 4 L Q Q 2 = L Q λ = L Q2 Q 2 = 2 L Q2 λ = L λλ = 0 6
30 T(5, 5), λ = 35 : D = I ( ) + II = = = ( ) ( ) 3+3 (3 + ) = 4 < 0 lok. minimum f(5, 5) = 350 m(5,5;350) Interpretacija Lagrangeovog multiplikatora λ = 35: Ako ukupnu količinu proizvodnje povećamo za jednu (beskonačno malu) jedinicu, ukupni troškovi će se povećati za 35 jedinica. Zadatak Potrošačeva funkcija korisnosti za dva dobra je u(x, x 2 ) = 2x x 2 +2x +x 2. Ako je cijena prvog dobra 2, a drugog, nadite maksimalnu korisnost uz budžet 8. Problem glasi: u(x, x 2 ) = 2x x 2 + 2x + x 2 max uz ograničenje 2x + x 2 = 8 I. Metoda supstitucije: x 2 = 8 2x u(x, x 2 ) = u(x ) = 2x (8 2x ) + 2x + 8 2x = 4x 2 + 6x + 8 u (x ) = 8x + 6 = 0 x = 2 u (x ) = 8 < 0 u (2) = 8 < 0 lok. maks. x 2 = = 4, u(2, 4) = 24 M(2,4;24) II. Metoda Lagrangeovih multiplikatora: L(x, x 2, λ) = 2x x 2 + 2x + x 2 + λ(8 2x x 2 ) } L x = 2x λ = 0 λ = x 2 + x L x2 = 2x + λ = 0 λ = 2x + 2 = 2x L λ = 8 2x x 2 = 0 8 2x 2x = 0 62
31 8 4x = 0 x = 2 x 2 = 4 λ = 5 Dobili smo stacionarnu točku: T(2, 4), λ = 5 T(2, 4), λ = 5 : D = L x x = 0 L x x 2 = 2 L x λ = 2 L x2 x 2 = 0 L x2 λ = L λλ = = II + III = = 2 ( ) 2+ (0 ) = 2 > 0 lok. maksimum f(2, 4) = 24 M(2,4;24) Interpretacija Lagrangeovog multiplikatora λ = 5: Ako budžet povećamo za jednu (beskonačno malu) jedinicu, korisnost će se povećati za 5 jedinica. 63
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
2 Elastičnost funkcije Elastičnost funkcija u ekonomiji Formula za koeficijent elastičnosti funkcije zadane algebarski
Sadržaj 1 Diferencijalni račun funkcija više varijabli 2 1.1 Funkcije više varijabli....................... 2 1.1.1 Parcijalni i ukupni prirast funkcije više varijabli.... 3 1.1.2 Parcijalne derivacije...................
VVR,EF Zagreb. November 24, 2009
November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable
Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije
Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
1.1 Funkcije dvije i više promjenljivih
11 Funkcije dvije i više promjenljivih Funkcije dvije i više promjenljivih Zamislimo situaciju u kojoj dva proizvodaa i B i njihove potražnje zavise o cijenamap A i p B Q A je potražnja za proizvodoma,
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Q(y) =100(300 2y) 1 3 y
2. Diferencijalni račun i primjene Rješenje. Dakle, problem se sastoji u maksimizaciji funkcije (2.222) uz ograničenje 50x + 100y = 15000. (2.223) Riješimo ga metodom supstitucije. Iz ograničenja (2.223)
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima
UVOD Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima u svrhu lakšeg praćenja i boljeg razumijevanja predavanja iz kolegija matematika. Ovi materijali čine suštinu nastavnog gradiva pa, uz obaveznu literaturu,
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
3. DIFERENCIJALNI RAČUN I PRIMJENE
3. DIFERENCIJALNI RAČUN I PRIMJENE 1. DERIVIRANJE Derivacije elementarnih funkcija jedne varijable dane su u tablicama: Pravila deriviranja funkcija jedne varijable su: 1. DERIVIRANJE ZBROJA/RAZLIKE 2.
Diferencijalni račun
ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije
1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.
1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije
Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Osnovni teoremi diferencijalnog računa L Hospitalovo pravilo Derivacije višeg reda Derivacija
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i
MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)
FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije
Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli
Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli Franka Miriam Brückler f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. Dakle, za svaki par (x, y) u domeni
Lokalni ekstremi funkcije vi²e varijabla
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 9 Lokalni ekstremi funkcije više varijabla Poglavlje 1 Lokalni ekstremi funkcije vi²e varijabla Denicija 1.0.1 Za funkciju f dviju varijabli
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Matematika 2. Vježbe 2017/ lipnja 2018.
Matematika Vježbe 17/18. 3. lipnja 18. Predgovor Ova neslužbena i nedovršena skripta prati auditorne vježbe iz kolegija Matematika koje se u ljetnom semestru ak. god. 17/18. na Gradevinskom fakultetu u
Uvod u diferencijalni račun
Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115
4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 2 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Povijesno su dva po prirodi različita
Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 13 Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda U ovoj lekciji vježbamo rješavanje jedne klase običnih
Funkcije više varijabli
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja
2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr
DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 (D)
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije
3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu
Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu P R I P R E M N I Z A D A C I za DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Š.G. 005 / 006. UPUTSTVO: 1. Za svaki od prva četiri zadatka
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu