HR P B1 OPIS IZUMA. Područje izuma. Izum je iz područja farmakologije.
|
|
- Παύλος Ρόκας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 OPIS IZUMA Područje izuma Izum je iz područja farmakologije. Izum se odnosi na farmaceutsku smjesu za kožnu primjenu koja sadrži bar jedan vitamin D ili analog vitamina D i bar jedan kortikosteroid. Točnije, izum se odnosi na farmaceutske smjese koje sadrže dva ili više farmakološki aktivnih spojeva koji su slabo usklađeni s ph optimalne stabilnosti, poželjno, pri čemu navedeni farmakološki aktivni spojevi su bar jedan analog vitamina D i bar jedan kotikosteroid. Stanje tehnike Pri tretiranju određenih bolesti korištenjem kožnih pripravaka, npr. pri tretiranju psorijaze, često je indicirana primjena kombinacijskog tretmana koji uključuje ugradnju dviju ili više različitih farmakološki aktivnih spojeva. Dakle, pri tretiranju npr. psorijaze, uobičajeno je da se koristi kombinirani tretman koji uključuje steroidni spoj, kao što je kortikosteroidni spoj, te analog D vitamina kao što je kalcipotriol, a svaki aktivan spoj je formuliran u odvojenim pripravcima. Dosad nije opisana farmaceutska smjesa koja sadrži kombinaciju analoga vitamina D i topičkog steroida. Štoviše, ova dva tipa spojeva obično imaju ph vrijednosti optimalne stabilnosti koje se međusobno značajno razlikuju, što znači da priređivanje farmaceutskog pripravka koji sadrži steroidni spoj zajedno s analogom D vitamina nije očigledno. Američki patent br.,6,462 odnosi se na topičke farmaceutske smjese koje sadrže određene ksantinske spojeve, a navedene smjese mogu dodatno sadržavati aktivne spojeve, kao što su steroidi i derivati D vitamina. Međutim, nije opisana topička smjesa koja sadrži i steroid i vitamin D ili analog vitamina D ili derivat, niti je opisana metoda priređivanja takve smjese. Sljedeći primjer prikazuje poteškoće s kojima se susreće iskusna osoba koja želi prirediti kombinacijsku smjesu za topičku primjenu koja sadrži vitamin D ili analog vitamina D i topički steroid: Analog vitamina D kalcipotriol, kao i drugi primjeri analoga vitamina D, zahtijevaju ph vrijednost iznad 8 da se postigne maksimalna stabilnost, dok kortikosteroidi kao betametazon (9-fluor-11,17,21-trihidroksi-16-metilpregna-1,4-dien-3,-dion) zahtijevaju ph vrijednost u rasponu 4-6 da se postigne maksimalna stabilnost. Budući da osnovni pomoćni materijali i dodaci koji se standardno koriste za priređivanje topičkih formulacija, kao što su kreme i/ili pomasti, uključuju neku vrstu kisele ili bazične prirode ili reakcijske sposobnosti, pa prema tome nije moguće kombinirati dva aktivna spoja u jednu formulaciju uz zadržavanje dobre stabilnosti aktivnih spojeva. Sukladno tome, liječnici su bili prisiljeni bolesniku omogućiti dvokomponentni režim pri čemu se primjenjuju dvije kreme/pomasti, a svaka sadrži spoj koji je formuliran u svojoj ph vrijednosti maksimalne stabilnosti. Do može dovesti do nesnošljivosti pripravaka pa bolesnik mora, primjerice, primijeniti jednu kremu/pomast ujutro, a drugu uvečer. Nije potrebno reći, u takvim uvjetima je problem bolesnikovo praćenje uputa i točan način primjene doze. Richards, H. L. et al. navodi u J Am Acad Dermatol 1999 Oct; 41 (4):81-3 rezultate ispitivanja s bolesnicima koji boluju od psorijaze i njihove suradnje s liječnikom. On navodi slabo pridržavanje uputa u kroničnim slučajevima, kao što je psorijaza, što predstavlja glavni izazov za zdravstvene profesionalce. trideset devet posto sudionika navelo je da se nije pridržavalo preporučenih uputa liječenja. Skupina koja se nije pridržavala uputa imala je uznapredovalu psorijazu, bila je mlađa i u mlađoj dobi su joj se javili simptomi nego onoj koja se pridržavala uputa. Skupina koja se nije pridržavala uputa navela je da je psorijaza imala veći učinak na njihov svakodnevni život. Prema tome, cilj ovog izuma je da se načini farmaceutska smjesa za kožnu primjenu pri čemu navedena smjesa zaobilazi neadekvatnost dvokomponentnog ili višekomponentnog režima u tretiranju psorijaze ili drugih upalnih kožnih bolesti, uključujući bolesti noktiju. Izradom navedene smjese postiže se značajno poboljšanje kvalitete života za bolesnike koji boluju od psorijaze, posebice za skupinu koja ne slijedi terapijske upute, koja pokazuje veću uznapredovalost psorijaze, koja je mlađa i koja je bila mlađa kada su se pojavili simptomi bolesti. Rješenje tehničkog problema s primjerima izvođenja Da bi se prevladali gore navedeni problemi, ovaj izum definira farmaceutsku smjesu za kožnu primjenu, pri čemu se navedena smjesa sastoji od prva farmakološki aktivne komponente A koja sadrži bar jedan vitamin D ili analog vitamina D te drugu farmakološki aktivnu komponentu B koja se sastoji od bar jednog kortikosteroida. 2
2 Opis izuma Kao prva farmakološki aktivna komponenta A poželjno se koristi spoj koji je odabran iz skupa kojega sačinjavaju seokalcitol; kalcipotriol; kalcitriol; takalcitol, maksakalcitol; parikalcitol; falekalcitriol; 1α,24S-dihidroksi vitamin D2 i 1(S),3(R)-dihidroksi-(R)-[((3-(2-hidroksi-2-propil)fenil)-metoksi)-metil]-9,-seco-pregna-(Z),7(E),(19)-trien, te njihove smjese. Poželjnije, analozi vitamina D odabrani su iz skupa kojega sačinjavaju kalcipotriol, kalcitriol, takalcitol, maksakalcitol te 1(S),3(R)-dihidroksi-(R)-[((3-(2-hidroksi-2-propil)-fenil)-metoksi)-metil]-9,-seco-pregna-(Z),7(E),(19)-trien, kao i njihove smjese. Sintetski analozi D vitamina koji se nalaze u smjesama sukladno ovom izumu su poželjniji u odnosu na prirodne D vitamine ili derivate D vitamina, jer terapeutski učinak ovih posljednjih može biti manje selektivan u tretiranju kožnih bolesti kao što je psorijaza. Primjeri spojeva vitamina D, bez ograničenja, koji predstavljaju farmakološki aktivnu komponentu A, su sljedeći: alfakalcidol; 1α-hidroksi-vitamin D2; 1α-hidroksi-vitamin D; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(-etil--hidroksi-1-heptil)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(6-hidroksi-6-metil-1-heptil)-9,-secopregna-(2),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(6-hidroksi-6-metilhept-1(E)-en-1-il-9,)-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(6-etil-6-hidroksi-1-oktil)-9,)-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(7-hidroksi-7-metil-1-oktil)-9,)-secopregna-(2),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(7-hidroksi-7-metilokt-1 (E)-en-1-il-9,)-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(6'-metil-1'-heptil)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(S)-('-hidroksi-'-metil-1'-heksiloksi)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(4'-hidroksi-4'etil-1'-heksiloksi)-9,-seco-pregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(6'-hidroksi-1'-heksiloksi-9,-seco-pregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-('-hidroksi-'-etil-1'-heptiloksi)-9,-seco-pregna-(Z),7(E),,19-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-('-hidroksi-'-metil-1'-heksiloksi)-9,-seco-pregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-('-metil-1'-heksiloksi)-9,-seco-pregna-(Z),7(E),(19-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(4'-hidroksi-4'-(1"-propil)-1'-heptiloksi)-9,-seco-pregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(4'-hidroksi-4'-metil-1'-pentiloksi)-9,-seco-pregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(3'-hidroksi-3'-metil-1'-butiloksi)-9,-seco-pregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(S)-(4-hidroksi-4-metil-1-pentil)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(S)-(-etil--hidroksi-1-hept-il)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(S)-(-etil--hidroksi-hept-1 (E)-en-1-il),9,-secopregna-(2),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi--('-hidroksi-'-metil-heksa-1'(E),3'(E)-dien-1'-il)-9,-secopregna-(2),7(E),(19)-trien;, 1(S),3(R)-Dihidroksi--('-etil-'-hidroksi-hepta-1'(E),3'(E)-dien-1'-il)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi--(6'-hidroksi-hehsa-1'(E),3'(E)-dien-1'-il)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi--('-ciklopropil-'-hidroksi-penta-1'(E),3'(E)-dien-1'-il)-9,-secopregna-(Z)-7(E),,19-trien ('(R) i '(S) izomeri); 1(S),3(R)-Dihidroksi--(6'-hidroksi-6'-metil-hepta-1'(E),3"(E)-dien-1'-il)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(3-(2-hidroksi-2-pentil)-fenilmetoksi)-9,-seco-pregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(3-(3-hidroksi-3-propil)-fenilmetoksi)-9,-seco-pregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(4-hidroksi-4-metil-1-pentiloksimetil)-9,-seco-pregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(4-hidroksi-4-metil-1-pent-2-iniloksimetil)-9,-seco-pregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(4-hidroksi-4-trifluorometil-,,-trifluoro-1-pent-2iniloksimetil)-9,-seco-pregna- (Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-[3-(2-hidroksi-2-propil)-fenoksimetil]-9,-seco-pregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(3-hidroksi-3-etil-1-pentiltiometil)-9,-seco-pregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(3-hidroksi-3-etil-1-pentilsulfonilmetil)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(3-((1-hidroksi-1-metil)etil)fenilthiometil)-9,-seco-pregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(3,3-difluoro-4-hidroksi-4-metil-1-pentiloksimetil)-9,-secopregna-(Z)-7(E),(19)- trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(6'-etil-6'-hidroksi-okt-1'-in-1'-il)-9,-secopregna-(Z),7(E)-(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(7'-etil-7'-hidroksi-non-1'-in-1'-il)-9,-secopregna-(Z),7(E)-(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(1,-dihidroksi--etil-2-heptin-1-il)-9,-secopregna-(Z),7(E)-(19)-trien; izomer A; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(-etil--hidroksi-1-metoksi-2-heptin-1-il)-9,-seco-pregna-(Z),7(E)-(19)-trien; izomer A; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(1-etoksi--etil--hidroksi-2-heptin-1-il)-9,-seco-pregna-(Z),7(E)-(19)-trien; izomer A; 3
3 (S),3(R)-Dihidroksi-(R}-(1-metoksi-4-hidroksi-4-etil-2-heksin-1-il)-9,-seco-pregna-(Z),7(E)-(19)-trien; izomer A; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(1-etoksi-4-hidroksi-4-etil-2-heksin-1-il)-9,-secopregna-(Z),7(E)-(19)-trien; izomer A; 1(S),3(R)-Dihidroksi--(4-etil-4-hidroksi-1-heksin-1-il)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)17()(Z)-tetraen; 1(S),3(R)-Dihidroksi--(-etil--hidroksi-1-heptin-1-il)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19),17()(Z)-tetraen; 1(S),3(R)-Dihidroksi--(6-etil-6-hidroksi-1-oktin-1-il)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19),17()(Z)-tetraen; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(-etil-4,4-difluoro--hidroksi-heptiloksi)-9,-seco-pregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(4,4-diklor--hidroksi--metil-heksiloksi)-9,-seco-pregna-(Z),7(E)-(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(4,4-difluoro--hidroksi--metil-heksiloksi)-9,-seco-pregna-(Z),7(E)-(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(4-fluor-4-metil-pentil-oksi)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(4-etil-4-fluor-heksil-oksi)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(-ffuoro--metil-heksil-oksi)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R),(S)-Trihidroksi--(4-etil-4-hidroksi-1-heksil)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(S)-metoksi--(4-etil-4-hidroksi-1-heksil)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(S)-etoksi--(4-etil-4-hidroksi-1-heksil)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(S)-(3-(2-hidroksi-2-metil-1-propoksi)-prop-1E-en-1-il]-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)- trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(4-etil-4-hidroksi-1-heksiltio)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-[-metil--hidroksi-1-heksiltio]-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-[3-(1-metil-1-hidroksietil)benziltio]-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1 (S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(3-metil-3-hidroksi-1-butiltio)-9,-secopregna-(Z), 7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(-etil--hidroksi-hept-1(E)-en-3-in-1-il)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 24-okso-1(S),3(R),2-Trihidroksi-(S)-9,-seco-kolesta-(Z),7(E),,19-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(3-okso-4-hidroksi-4-etil-1-heksiloksi)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi--metil-18-(-metil--hidroksi-heksiloksi)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi--metil-18-(4-etil-4-hidroksi-heksiloksi)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi--metil-18-(4-etil-4-hidroksi-heks-2-iniloksi)-9,-seco-pregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi--metil-18-(4-hidroksi-4-metilpentiloksi)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi--metil-18-(4-hidroksi-4-metilpent)-2-in-1-iloksi)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi--metil-18-(3,1-hidroksi-1-metiletil)fenilmetiloksi)-9,-seco-pregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(1-metoksi-4-hidroksi-4-metil-1-pentil)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; izomer A; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(1-etoksi-4-hidroksi-4-metil-1-pentil)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; izomer A;, 1(S),3(R),2-Trihidroksi-((S)-9,-seco-kolesta-(Z),7(E),(19),23(E)-tetraen; 1(S),3(R)-Dihidroksi-((S)-(6'-hidroksi-6'-metil-4'(E)-hepten-1'-il)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19)-trien; 1(S),3(R),22(S),2-Tetrahidroksi-(R),9,-seco-kolesta-(Z),7(E),(19),23(E)-tetraen; 22(S)-Etoksi-1(S)-3(R),2-trihidroksi-(R)-,9,-seco-kolesta-(Z),7(E),(1,23(E)-tetraen; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(S)-(3-(1-hidroksi-1-metiletil)fenoksimetil)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19),16-tetraen ili odgovarajući (R) izomer; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(S)-(3-(1-hidroksi-1-metiletil)feniltiometil)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19),16-tetraen ili odgovarajući (R) izomer; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(S)-(4-hidroksi-4-metilpent-1-il)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19),16-tetraen; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(-etil--hidroksihept-1-il)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19),16-tetraen ili odgovarajući (S) izomer; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(-etil--hidroksihepta-1(E),3(E)-dien-1-il)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19),16-tetraen ili odgovarajući (S) izomer; 1(S),3(R)-Dihidroksi-(R)-(3-ciklopropil-3-hidroksiprop-1(E)-en-1-il)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19),16-tetraen (24(S) izomer) ili odgovarajući 24(R) izomer; i 1(S),3(R)-Dihidroksi-(1,-dihidroksi--etil-2-heptin-1-il)-9,-secopregna-(Z),7(E),(19),17()Z-tetraen, oba 22- izomera. Kao druga farmakološki aktivna komponenta B poželjno je koristiti skupinu I, II ili III topičkih steroida, poželjnije steroid koji je slabog do srednjeg djelovanja (skupine I i II). Komponenta B je poželjno odabrana iz skupa kojega sačinjavaju Betamethasone (9-fluor-11,17,21-trihidroksi-16-metilpregna-1,4-dien-3,-dio) i esteri kao što su 21-acetat, 17-adamantoat, 17-benzoat, 17-valerat i 17,21-dipropionat; Alclomethasone i njegovi esteri kao što su dipropionat; Clobetasole i njegovi esteri kao što su propionat; Clobetasone i njegovi esteri kao što su 17-butirat; Desoximetasone; Diflucortolon i njegovi esteri, Diflorasone i njegovi esteri kao što su diacetat; Fluocinonid; Flumetasone i njegovi esteri kao što su pivalat; Fluocinolon i njegovi esteri kao što su acetonid; Fluticasone i njegovi esteri kao što su propionat; Fluprednidene i njegovi esteri kao što su acetat; Halcinonide; Hydrocortisone i njegovi esteri kao što su -17-butirat; Mometasone i njegovi esteri kao što su furoat; and Triamcinolon i njegovi esteri kao što su acetonid; kao i njihove smjese. Poželjniji primjeri kortikosteroida su Betamethasone i njegovi esteri kao što su 17-valerat ili 17,21-dipropionat, 4
4 Clobetasole i njegovi esteri kao što su propionat, Triamcinolon ili njegocvi esteri kao što su acetonid ili acetonid-21-nbenzoil-2-metil-(3-alaninat ili acetonid-21-(3,3-dimetil(butirat), ili Hydrocortisone ili njegovi esteri kao što su 17-- butirat. Štoviše, izum se odnosi na farmaceutske smjese za kožnu primjenu koje sadrže bar jedan vitamin D ili analog vitamina D i bar jedan kortikosteroid, koje pokazuju veću učinkovitost pri tretiranju psorijaze i drugih upalnih kožnih bolesti u ljudi i drugih sisavaca nego kada se samostalno koriste pojedine farmakološki aktivne komponente. Navedena učinkovitost poželjno se mjeri kao postotak promjene PASI parametra za psorijazu i srodne kožne bolesti, kao što su sebo-psorijaza i seboreični dermatitis. PASI (indeks površine i uznapredovalosti) parametrom se procjenjuje doseg i uznapredovalost psorijaze u bolesnika. Za izračunavanje PASI parametra koristi se sljedeća formula: Ruke 0.2(R+T+S)E=X Trup 0.3(R+T+S)E=Y Noge 0.4(R+T+S)E=Z gdje je R=indeks crvenila, T=indeks debljine, S=indeks krastavosti, te E=indeks dosega koji ima vrijednost od 0 do 4, kako slijedi: 0=nije prisutno, 1=<%, 2=-29%, 3=-49% i 4=0-69%. Zbroj X+Y+Z daje ukupni PASI parametar koji može biti u rasponu od 0 do 64,8. Opis slika Slika 1 je grafički prikaz postotne promjene PASI parametra koja je dobivena tijekom 4 tjedna kliničke obrade pri čemu je uspoređena učinkovitost pripravka sukladno ovom izumu, koji sadrži kalcipotriol hidrat (2,2 µg/g) i betametazon dipropionat (0,643 mg/g), u odnosu na učinkovitost pripravka koji u identičnom nosaču sadrži samo kalcipotriol hidrat (2,2 µg/g) i pripravka betametazon dipropionata (0,643 mg/g). Slika 1 prikazuje učinkovitost pripravka izuma koja daleko premašuje učinkovitost dviju pripravaka s jednom komponentom. Promjena PASI parametra odražava u skupini bolesnika koji su tretirani pripravkom ovog izuma uspeh tretmana psorijaze koja se ne može postići komercijalnim pripravcima koji sadrže bilo kalcipotriol ili betametazon, ili izmjenjivim tretmanom s takvim komercijalnim pripravcima da se postigne boljitak pripravka koji sadrži dvije aktivne komponente (EOT=završetak tretmana). Slika 2 je tablica koja pokazuje postotnu promjenu PASI indeksa pri svakoj posjeti i na kraju tretmana za određeni klinički postupak kao što je opisano za sliku 1. Slika 3 je histogram koji pokazuje postotak pozitivnih odgovora kao rezultat procjene istraživača glede ukupne učinkovitosti za svaku posjetu i na kraju tretmana za određeni klinički postupak kao na slici 1. Kao pozitivan odgovor definirani su bolesnici sa značajnim poboljšanjem ili otklonom bolesti. Slika 4 je tablica koja prikazuje brojčano postotke pozitivnih odgovora kao rezultat procjene istraživača glede ukupne učinkovitosti za svaku posjetu i na kraju tretmana, usp. sliku 3, za određeni klinički postupak kao na sl. 1. Topičke formulacije U poželjnim realizacijama izuma definirana je topička farmaceutska smjesa u obliku pomasti, kreme, losiona, poželjno losiona za vlasište, ulja ili druge razmazive tekućine ili polutekućine kao pripravak koji je poželjno nevoden ili u obliku emulzije (ulje u vodi ili voda u ulju). U poželjnoj realizaciji smjesa izuma je jednofaznog sastava, tj. smjesa sadrži sustav jednog otapala, kao što je pomast. U daljnjim poželjnim realizacijama izuma definirana je nevodena farmaceutska smjesa za kožnu uporabu, pri čemu smjesa sadrži prvu farmakološki aktivnu komponentu A koja se sastoji od bar jednog analoga vitamina D; drugu farmakološki aktivnu komponentu B koja se sastoji od bar jednog kortikosteroida; razlika između ph optimalne stabilnosti prve farmakološki aktivne komponente A i ph optimalne stabilnosti druge farmakološki aktivne komponente B je bar 1; i te bar jedno otapalo, komponentu C, koje je odabrani iz skupa kojega sačinjavaju: (i) spojevi opće formule R 3 (OCH 2 C(R 1 )H) x OR 2 (I) gdje je x u rasponu 2-60, R 1 je u svakoj x jedinici neovisno H ili CH 3, R 2 je lančasti ili razgranati C 1- alkil ili benzoil, a R 3 je H ili fenilkarboniloksi; (ii) di-(lančasti ili razgranati)-c 4- alkilni esteri C 4 -C 8 dikarboksilnih kiselina; (iii) lančasti ili razgranati C alkil benzoati; (iv) lančasti ili razgranati C 2-4 -alkil esteri lančastih ili razgranatih C -18 -alkanolinih ili alkenoilnih kiselina; (v) propilenglikolni diesteri s C alkanskim kiselinama; i (vi) razgranati primarni C alkanoli, i
5 komponente A i B su kao što je gore definirano. Nađeno je da u takvim kombiniranim smjesama koje sadrže otapalo C, aktivne komponente mogu biti zajedno bez slabljenja, bez obzira na međusobno različite profile ph/stabilnost. Sklonost aktivnih spojeva da djeluju jedan na drugog obzirom na njihov ph je posve umanjena ili uklonjena. Poželjno je da maksimalna razlika ph optimalne stabilnosti za farmakološki aktivne spojeve bude bar 1,, poželjnije bar 2, konkretno bar 2,, ponajviše bar 3, posebice bar 4, kao što je bar 4,. U općoj formuli (I) koje je gore definirana, poželjno je da čimbenik x (koji označuje broj jedinica unutar zagrada) bude u rasponu 4-0, poželjnije 4-, konkretno 4-, osobito -2, ponajviše -, kao što je 1. Također je poželjno da R bude CH 3. Poželjno je da komponenta C bude odabrana između spojeva opće formule H(OCH 2 C(R 1 )H) x OR 2 (II) gdje su R 1, x i R 2 kao što je gore definirano, te njihovih smjesa. Kao specifični primjeri bez ograničenja za tipove (i)-(vi) komponente otapala C kao što je gore definirano mogu se navesti sljedeći, uključujući trgovačka imena: Arlamol E (polioksietilen(1) stearil eter); Arlamol DoA (diizooktil ester adipinske kiseline); Arlasolve 0 (polioksietilen--izoheksadecil eter); Eutanol G (2-oktildodekanol); Finsolv (izostearil benzoat); Finsolv P (polioksipropilen-1-stearil eter benzoat); Izoprilni esteri lančastih ili razgranatih C -C 18 alkanskih ili alkenskih kiselina kao što su izopropilni miristat, izopropilni palmitat, izopropilni izostearat, izopropilni linolat i izopropilni monooleat; Miglyol 8 (propilen glikol diester kaprilne kiseline i kaprinske kiseline); DPPG (propilen glikol dipelagonat); Procetyl AWS (CH 3 (CH 2 ) 14 CH 2 (OCH(CH 3 )CH 2 ) -(OCH 2 ) OH). Smjese ovog izuma mogu se prirediti sukladno metodama koje su dobro poznate osobama koje su educirane za ovo područje farmacije. Prema tome, nevodene smjese mogu se prirediti ugradnjom komponenata u dobro poznati bazični ekscipijent pomasti ili losiona kao što je bijeli parafin (također poznat kao vazelin) ili PlastibaseTM (osnovica koja je priređena iz polietilena (prosječna molekulska masa oko ) i tekući parafin) ili ESMA-PTM (mikrokristalni vosak). Kao primjer, priređivanje smjese sukladno ovom izumu tipično se vrši taljenjem bijelog mekog parafina, dodavanjem otopine (tipično u koncentracijskom području 0,000-2,% w/w) analoga vitamina D u potrebnoj količini otapala komponente C, npr. Arlamol E, nakon čega slijedi raspršenje kortikosteroidne komponente B u parafinskom ulju, tipično s veličinom čestica od 0,1 do µm, a zatim hlađenjem smjese. Tipičan raspon sadržaja različitih komponenti u konačnoj smjesi sukladno ovom izumu je od 0,00 do 0,1% (w/w) kortikosteroida komponente B, od 0,0001 do 0,02% (w/w) analoga vitamina D komponente A, te od 1 do % (w/w) otapala komponente C, a ostatak je tipično osnovni ekscipijent kao što je prije navedeni bijeli mekani parafin i/ili parafinsko ulje. Smjesa može također sadržavati ostale standardno korištene dodatke kao što su antioksidansi (npr. α-tokoferol). Smjesa sukladno ovom izumu uključuje sljedeće terapeutske prednosti pri tretmanu kožnih bolesti, kao što je psorijaza, sebopsorijaza i srodne bolesti, u usporedbi s terapijsom jednim spojem ili kombiniranom terapijom postojeće tehnike: Kliničko istraživanje je pokazalo da tretman bolesnika koji boluju od psorijaze sa smjesom ovog izuma koja sadrži kalcipotriol i betametazon rezultira bržom pojavom zascjeljenja i zacjeljenjem plakova u odnosu na bolesnike koji su tretirani samo jednim aktivnim spojem. Smjesa koja kombinira analog vitamina D i topički steroid postiže sinergiju u obliku dodatnog boljitka bolesniku bez obzira na izravnu terapeutsku vrijednost aktivnih tvari. Pokazalo se da se sporedni učinci nadražaja kože analoga D vitamina, kao što su kalcipotriol, mogu izbjeći istovremenom primjenom steroida, kao što je betametazone, na psorijatičnu kožu, a taj se učinak može postići samo primjenom dvokomponentnog ili višekomponentnog režima tretiranja kada se analog vitamina D i steroid ne mogu primijeniti istovremeno na oštećenu kožu zbog nesukladnosti pripravaka. Kada se analog vitamina D i topički steroid koriste u kombiniranom tretmanu psorijaze, nužno je koristiti odvojene primjene, tipično jedna ujutro i druga navečer, što onemogućuje pojavu sinergističkog učinka dviju tipova aktivnih spojeva (usp. Ortonne, J.P., Nouv. Dermatol., 1994, 13(}, p ). U slučaju određenog stupnja sinergističkog učinka, kao što je nadražaj kože, koji je uočen za dvokomponentni režim (usp. Kragbalie, K. et al. Br J Dermatol 1998 Oct; 139(4):6494, i Ruzicka, T. et Lorenz, B. Br J Dermatol 1998, 138(2), 24-8), značajan broj bolesnika neće imati boljitak zbog neprovođenja režima tretmana. 6
6 Zadovoljavajući medicinski tretman kožnih bolesti, kao što je psorijaza, može se postići u kraćem vremenu korištenjem smjese ovog izuma što rezultira smanjenjem sporednih učinaka steroida, kao što je atrofija kože i povratno djelovanje. Usput, može se predvidjeti da će čak blaži steroidi skupine I, kao što su hidrokrotizon koji se trenutačno ne primjenjuje u tretiranju psorijaze, biti učinkovit u smanjivanju ili čak uklanjanju nadražja kože koji se često javlja pri trtmanu kalcipotriolom. Dakle, tolerancija tretmana bit će značajno poboljšana zbog smanjenja sporednih učinaka aktivnih spojeva. 1 2 Upute o liječenju bit će jednostavnije kada je potreban jedan pripravak, što rezultira poboljšanim slijeđenjem uputa bolesnika te mogućnošću učinkovitijeg tretmana veće populacije bolesnika koji boluju od psorijaze. Upute o liječenju bit će jednostavnije kada je potreban jedan pripravak što rezultira poboljšanog sigurnošću bolesnika. Izum se također odnosi na poželjne farmaceutske pripravke sukladno izumu koji su posebno korisni za tretiranje psorijatičkih kožnih bolesti koje su usložnjene dodatnim gljivičnim inefekcijama, koji također sadrže protiv-gljivična sredstva koja su odabrana, primjerice iz skupine koju sačinjavaju mikonazol, klotrimazol, terbinafin, ciklopiroks, bifonazol, nistatin, ketokonazol, ekonazol i amorolfin. Poželjno, smjese sukladno ovom izumu ne sadrže druge terapeutski učinkovite spojeve koji su odabrani iz skupine koju sačinjavaju ksantinski derivati pentoksifilina, propentofilina i torbafilina, ili neki drugi ksantin ili derivat ksantina. Izum se također odnosi na metodu tretiranja psorijaze i srodnih kožnih bolesti što obuhvaća topičku primjenu učinkovite količine smjese sukladno ovom izumu bolesniku koji zahtijeva takav tretman. Navedena metoda poželjno obuhvaća topičku primjenu jednom ili dva puta dnevno medicinski dovoljne doze navedene smjese. Smjesa sukladno ovom izumu sadrži 0,001-0, mg/ g ili ml ili poželjnije 0,001-0,2 mg/g ili ml navedene komponente A i 0,0-0,1 mg/g ili ml navedene komponente B. Izum je u nastavku ilustriran sljedećim neograničavajućim primjerima Primjer 1 Pomast koja sadrži Kalcipotriol i Betamethasone dipropionat 919,3 g bijelog mekog parafina rastaljeno je na 80 C, nakon čega je ohlađen na 70 C i održavana je ta temperatura. Nakon toga, 2,2 mg kalcipotriol hidrata (0 mg Kalcipotriol) otopljeno je u 0 g Arlamol E (polioksipropilen-1- stearil eter) da se dobije otopina (otopina 1). Otopina 1 je zatim polako dodana u rastaljeni parafin, uz miješanje. Betametazon (0, g, u obliku 0,643 g svoga dipropionata) u čestičnom obliku (99% <1 µm) raspršeno je u g tekućeg parafina da se dobije disperzija 1. Disperzija 1, kao i mg α-tokoferola dodano je u parafin koji sadrži kalcipotriol uz miješanje, nakon čega je smjesa ohlađena na temperaturu ispod C da se dobije smjesa sukladno izumu sljedećeg sastava. 1 g pomasti sadrži: Betametazon (kao dipropionat 0,643 mg) 0, mg Kalcipotriol (kao hidrat 2,2 µg) 0 µg Parafin, tekući mg Polioksipropilen-1-stearil eter 0 mg α-tokoferol µg Bijeli mekani parafin da se dobije 1 g Primjer 2 Ispitivanje stabilnosti Kemijska stabilnost dviju aktivnih komponenti ispitana je nakon čuvanja 1 mjeseca na ºC i 3 mjeseca na 2ºC, odnosno ºC. Određen je kvantitativan sadržaj kalcipotriola pomoću HPLC. Kalcipotriol je ekstrahiran iz smjese metanola i 0,01 M diamonijeva hidrogenfosfata (70:) i kvantificiran je u sljedećim HPLC uvjetima: Kolona: oko 12 mm Ø 4 mm (unutrašnji promjer) kolona od nehrđajućeg čelika s LiChrospher RP-18, µm; pokretna faza: acetonitril-metanol-0,01 M vodena otopina amonijeva fosfata ph 6 (:0:); protok: oko 2 ml/min; detekcija: UV-detektor promjenjive duljine postavljen na 26 nm. Kalcipotriol i srodne tvari su odijeljen HPLC metodom obrnute faze koja je prije opisana; kolona: Superspher RP-18, 4 µm; protok: 1,2 ml/min. Kvantitativan sadržaj betametazon dipropionata određen je pomoću HPLC. 7
7 Betametazon dipropionat ekstrahiran je iz pripravka u smjesu acetonitril:voda (0:) i kvantificiran je u sljedećim HPLC uvjetima: Kolona: oko 12 mm Ø 4 mm (unutrašnji promjer) kolona od nehrđajućeg čelika koja je napunjena s LiChrospher RP-18, µm. Pokretna faza: acetonitril:voda (0:). Protok: 2 ml/min. Detekcija: UV-detektor promjenljive valne duljine koji je postavljen na 2 nm. Uz betametazon, srodne tvari određene su HPLC metodom obrnute faze koja je analogna gore navedenoj. Betametazon: Određen je kao što je gore opisano, uz izuzetak pokretne faze: acetonitril:metanol/0,0 M pufer ph 7 (2::70). Rezultati su prikazani u sljedećoj tablici 1. Tablica 1 Kalcipotriol Tvar srodna kalcipotriolu,% Betametazon dipropionat Tvar srodna µg/g mg/g betametazonu,% Početak 0,0 1,6 0,63 1,2 2ºC 3 mjeseca 0, 1,4 0,64 0,2 ºC 1 mjesec 48,0 2,1 0,64 0,6 3 mjeseca 49,7 1,8 0,64 0,2 1 Kao što se može vidjeti iz tablice 1, i ester kalcioitriola i ester betametazona su vrlo stabilni u uvjetima ispitivanja. Stabilnost kalcipotriola uspoređena je sa sličnim pomastima gdje je kao otapalo korišten propilen glikol, a lanolin kao emulgator. Sastav pomasti za usporedbu bio je identičan gore navedenoj u odnosu na kalcipotriol i betametazon dipropionat, kao i % (w/w) propilen glikol), % (w/w) bezvodni lanolin i 80% (w/w) bijeli mekani parafin. Pomast za uspoređivanje pohranjena je 2, mjeseci na ºC, odnosno ºC. Na gore opisani način određen je sadržaj samo tvari koje su srodne kalcipotriolu. Rezultati su prikazani u tablici 2. Tablica 2 2 Tvar srodna kalcipotriolu, % ºC ºC 96 Kao što se može vidjeti iz rezultata, kalcipotriol je razgrađen gotovo u potpunosti u smjesama koje su služile za usporedbu, za razliku od smjese ovog izuma, u kojoj je kalcipotriol sačuvan praktički bez razgradnje. Primjer Medicinski losion za kožu sadrži dvofazni sustav otapala. 1 g sadrži Betametazon (kao dipropionat 0,643 mg) Kalcipotriol (kao hidrat 2,2 µg) Dinatrijev fosfat dihidrat Diazolidinil urea Polioksipropilen-1-stearil eter (Arlamol E) Izoheksadekan (Arlamol HD) Polioksietilen-2-stearil eter (Brij 72) Voda se dobije 0, mg 0 mg 2, mg 3 mg 0 mg 0 mg mg 1 g Postupak za priređivanje 1 kg losiona: 2, g dinatrijeva fosfata i 3 g diazolidinil uree otopljeno je u oko 714 g vode. Otopina je zagrijana na 60-70ºC da se dobije vodena faza. g polioksietilen-2-stearil etera rastaljeno je zajedno s 0 g izoheksadekana na 60-70ºC, te je dodana otopina 2,2 mg kalcipotriol hidrata u 0 g polioksipropilen-1-stearil etera da se dobije uljasta faza. Dvije faze su pomiješane tijekom homogeniziranja, u smjesu je raspršeno 643 mg betametazon dipropionata i losion je ohlađen tijekom miješanja na sobnu temperaturu. Pripravak je bio stabilan na 2ºC tijekom više od 14 dana. PATENTNI ZAHTJEVI 8
8 Farmaceutska smjesa za kožnu primjenu, naznačena time što sadrži: prvu farmakološki aktivnu komponentu A koja sadrži bar jedan vitamin D ili analog vitamina D te drugu farmakološki aktivnu komponentu B koja sadrži bar jedan kortikosteroid, pri čemu je razlika između ph optimalne stabilnosti komponente A i ph optimalne stabilnosti komponente B bar jedan, a smjesa također sadrži bar otapalo - komponentu C, koje je odabrano iz skupa kojega sačinjavaju: (i) spojevi opće formule R 3 (OCH 2 C(R 1 )H) X OR 2 (I) gdje je x u rasponu 2-60, R 1 je u svakoj x jedinici neovisno H ili CH 3, R 2 je lančasti ili razgranati C 1- alkil ili benzoil, a R 3 je H; (ii) di-(lančasti ili razgranati)-c 4- alkilni esteri C 4 -C 8 dikarboksilnih kiselina; (iii) lančasti ili razgranati C alkil benzoati; (iv) lančasti ili razgranati C 2-4 -alkil esteri lančastih ili razgranatih C -18 -alkanoilnih ili alkenoilnih kiselina; (v) propilenglikolni diesteri s C alkanskim kiselinama; i (vi) razgranati primarni C alkanoli. 2. Smjesa prema zahtjevu 1, naznačena time što je navedeni analog vitamina D odabran iz skupa kojega sačinjavaju seokalcitol; kalcipotriol; kalcitriol; takalcitol, maksakalcitol; parikalcitol; falekalcitriol; 1α,24S-dihidroksivitamin D2 i 1(S),3(R)-dihidroksi-(R)-[((3-(2-hidroksi-2-propil)fenil)-metoksi)-metil]-9,-seco-pregna-(Z),7(E), (19)-trien, kao i njihove smjese. 3. Smjesa prema zahtjevu 2, naznačena time što je analog vitamina D odabran iz skupa kojega sačinjavaju kalcipotriol, kalcitriol, takalcitol, maksakalcitol i 1(S),3(R)-dihidroksi-(R)-[((3-(2-hidroksi-2-propil)fenil)- metoksi)-metil]-9,-seco-pregna-(z),7(e),(19)-trien, kao i njihove smjese. 4. Smjesa prema bilo kojem patentnom zahtjevu 1-3, naznačena time što je analog vitamina D učinkovit u odnosu na psorijazu i ostale kožne bolesti u ljudi i ostalih sisavaca.. Smjesa prema zahtjevu 4, naznačena time što je analog vitamina D kalcipotriol ili njegov hidrat. 6. Smjesa prema bilo kojem zahtjevu 1-, naznačena time što je navedeni kortikosteroid odabran iz skupine koju sačinjavaju Betamethasone, Clobetasol, Clobetasone, Desoximethasone, Diflucortolon, Diflorasone, Fluocinonid, Flumethasone, Fluocinolon, Fluticasone, Fluprednidene, Halcinonide, Hidrocortizon, Momethasone, Triamcinolon, te farmaceutski prihvatljivi esteri i acetonidi kao i njihove smjese. 7. Smjesa prema zahtjevu 6, naznačena time što su navedeni esteri ili acetonidi odabrani iz skupa kojega sačinjavaju 17-valerat, 17-propionat, 17,21-dipropionat, acetonid, acetonid-21-n-benzoil-2-metil-β-alaninat, acetonid-21-(3,3- dimetilbutirat) i 17-butirat. 8. Smjesa prema bilo kojem zahtjevu 1-, naznačena time što je navedeni kortikosteroid odabran iz skupa kojega sačinjavaju kortikosteroidi srednjeg do slabog djelovanja. 9. Smjesa prema zahtjevu 8, naznačena time što je navedeni kortikosteroid hidrokortizon ili njegov 17-butirat ester.. Smjesa prema bilo kojem zahtjevu 1-9, naznačena time što je u obliku nevodene smjese. 11. Smjesa prema zahtjevu, naznačena time što je pomast. 12. Smjesa prema zahtjevu 11, naznačena time što je sljedećeg sastava: Betamethasone (kao dipropionat 0,643 mg) 0, mg Calcipotriol (kao hidrat 2,2 µg) 0 µg Parafin, tekući mg Polioksipropilen-1-stearil eter 0mg α-tokoferol µg Bijeli parafin da bi se dobio 1 g. 13. Smjesa prema bilo kojem patentnom zahtjevu 1-9, naznačena time što je u obliku losiona. 14. Smjesa prema patentnom zahtjevu 13, naznačena time što ima sljedeći sastav: Betametazon (kao dipropionat 0,643 mg) 0, mg Kalcipotriol (kao hidrat 2,2 µg) 0 mg Dinatrijev fosfat dihidrat 2, mg Diazolidinil urea 3 mg Polioksipropilen-1-stearil eter (Arlamol E) 0 mg Izoheksadekan (Arlamol HD) 0 mg Polioksietilen-2-stearil eter (Brij 72) mg Voda, pročišćena se dobije 1 g. 1. Smjesa prema bilo kojem patentnom zahtjevu 1-14, naznačena time što pokazuje veću učinkovitost pri tretiranju psorijaze i srodnih kožnih bolesti u tretiranju psorijaze i srodnih bolesti u ljudi i ostalih sisavaca nego što je učinkovitost kada se koristi bilo koja smjesa koja sadrži samo komponente A i B. 16. Smjesa prema zahtjevu 1, naznačena time što se učinkovitost mjeri kao postotna promjena PASI parametra. 17. Smjesa prema zahtjevu 1, naznačena time što je navedena komponenta C odabrana između spojeva opće formule H(OCH 2 C(R 1 )H) X OR 2 (II) gdje su R 1, x i R 2 definirani u zahtjevu 1, te njihovih smjesa. 18. Smjesa prema zahtjevu 17, naznačena time što je R 1 CH 3 skupina. 19. Smjesa prema zahtjevu 17, naznačena time što je navedena komponenta C polioksipropilen-1-stearil eter. 9
9 . Smjesa prema bilo kojem patentnom zahtjevu 1-19, naznačena time što sadrži 0,001-0,2 mg/g ili ml navedene komponente A i 0, % (w/w) navedene komponente B. 21. Smjesa prema bilo kojem patentnom zahtjevu 1-, naznačena time što također sadrži sredstvo protiv gljivica koje je odabrano iz skupine koju sačinjavaju mikonazol, klotrimazol, terbinafin, ciklopiroks, bifonazol, nistatin, ketokonazol, ekonazol i amorolfin. 22. Smjesa prema bilo kojem patentnom zahtjevu 1-21, naznačena time što ne sadrži derivat ksantina koji je odabran iz skupine koju sačinjavaju pentoksifilin, propentofilin i torbafilin ili neki drugi ksantin ili derivat ksantina. 23. Uporaba smjese prema bilo kojem patentnom zahtjevu 1-22, naznačena time da se koristi za priređivanje medikamenta za topičko tretiranje psorijaze i srodnih kožnih bolesti u ljudi i drugih sisavaca.
10 CRTEŽI 11
11 12
12 13
13 14
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.
GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom
Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija
Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju Referati za vježbe iz kolegija PRERADA GROŽðA Stručni studij kemijske tehnologije Smjer: Prehrambena
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79
TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )
Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima
Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Prostorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.
Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Periodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog