R ω s uniformnom topologijom i aksiomi prebrojivosti

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "R ω s uniformnom topologijom i aksiomi prebrojivosti"

Transcript

1 Opća topologija 116 Opća topologija 118 Drugi aksiom prebrojivosti 4 AKSIOMI SEPARACIJE I PREBROJIVOSTI Aksiomi prebrojivosti Aksiomi separacije Normalni prostori Urysonova lema Urysonov teorem o metrizaciji Tietzeov teorem Smještenja mnogostrukosti Topološki prostor X zadovoljava drugi aksiom prebrojivosti ako ima prebrojivu bazu topologije. Mnogi, iako ne svi, zanimljivi metrički prostori zadovoljavaju drugi aksiom prebrojivosti. To će svojstvo biti ključno za Urysonov teorem metrizacije. Primjeri R, R n zadovoljavaju drugi aksiom prebrojivosti. R ω u produktnoj topologiji zadovoljava drugi aksiom prebrojivosti: prebrojivu bazu čini familija produkata n N U n gdje su za konačno mnogo n-ova U n R otvoreni intervali s racionalnim krajevima, a za ostale n je U n = R. Opća topologija 117 Prvi aksiom prebrojivosti Prostor X zadovoljava prvi aksiom prebrojivosti ako za svaki x X postoji prebrojiva baza okolina točke x. Svaki metrički prostor zadovoljava prvi aksiom prebrojivosti: {B(x, 1 n ) : n N} je prebrojiva baza okolina točke x. Ključno svojstvo tih prostora je da, kao i za metričke prostore, vrijedi: Teorem 30.1 (a) Neka je X topološki prostor i A X. Ako postoji niz u A koji konvergira točki x X onda je x A. Obrat vrijedi ako X zadovoljava prvi aksiom prebrojivosti. (b) Neka je f : X Y. Ako je f neprekidno u točki x onda za svaki konvergentan niz x n x, niz f (x n ) konvergira k f (x). Obrat vrijedi ako X zadovoljava prvi aksiom prebrojivosti. Opća topologija 119 R ω s uniformnom topologijom i aksiomi prebrojivosti R ω s uniformnom topologijom zadovoljava prvi (jer je metrizabilan) ali ne i drugi aksiom prebrojivosti Tvrdnja: Ako topologija prostora X ima prebrojivu bazu, B, onda je svaki diskretan potprostor A X prebrojiv. Zaista, za svaki a A neka je B a B t.d. je B a A = {a}. Tada za a b je B a B b pa dobivamo injekciju a B a s A u B. Neka je A R ω potprostor koji se sastoji od svih nizova 0 i 1. A je neprebrojiv i u uniformnoj topologiji je diskretan, jer za svaka dva različita niza a, b A je ρ(a, b) = 1. Dakle, u uniformnoj topologiji R ω nema prebrojivu bazu.

2 Opća topologija 120 Aksiomi prebrojivosti potprostori i produkti Opća topologija 122 Lindelöf & separabilnost vs. 2. aksiom prebrojivosti Ponašanje prema potprostorima i produktima je dobro: Teorem 30.2 Potprostori i prebrojivi produkti prostora koji zadovoljavaju prvi aksiom prebrojivosti također zadovoljavaju prvi aksiom prebrojivosti. Analogna tvrdnja vrijedi i za drugi aksiom prebrojivosti. Dokaz: Ako su B i prebrojive baze prostora X i, i N, onda je familija svih produkata i U i, gdje su U i B i za konačno mnogo indeksa i, a U i = X i za sve ostale i, prebrojiva baza za i X i. Slično se dokazuju ostale tvrdnje. Potprostor A X je gust u X ako je A = X. Napomena U metričkim se prostorima Lindelöfovo svojstvo i separabilnost podudaraju s drugim aksiomom prebrojivosti, ali se općenito u topološkim prostorima sva tri svojstva međusobno razlikuju. R l i aksiomi prebrojivosti Prostor R l (= R s odozdo graničnom topologijom; bazu topologije čine skupovi oblika [a, b ) zadovoljava prvi aksiom prebrojivosti, ima Lindelöfovo svojstvo i separabilan je, ali ne zadovoljava drugi aksiom prebrojivosti. Dokaz: Skupovi oblika [x, x + 1 n, n N, čine prebrojivu bazu okolina točke x, i očito su racionalni brojevi gusti u R l. Opća topologija 121 Lindelöfovo svojstvo i separabilnost Teorem 30.3 Neka topološki prostor X ima prebrojivu bazu. Tada: (a) svaki otvoren pokrivač od X ima prebrojiv potpokrivač (Lindelöfovo svojstvo); (b) postoji prebrojiv podskup koji je gust u X (separabilnost). Dokaz: Neka je B = {B n } prebrojiva baza topologije od X. (a) Neka je A otvoren pokrivač od X. Za n N odaberimo, ako je moguće, A n A t.d. A n B n. U protivnom neka je A n =. Familija A := {A n : A n, n N} A je prebrojiva. Pokažimo da A pokriva X. Za x X, A A t.d. je x A, a kako je A otvoren, B n B t.d. je x B n A. Dakle za taj n, A n A koji sadrži B n (to ne mora biti baš naš A), pa je x pokriven s A. (b) Za svaki n odaberimo x n B n. Skup D := {x n : n N} je prebrojiv i gust je u X, jer ga svaki bazni otvoren skup siječe. Opća topologija 123 R l nema prebrojivu bazu ali je Lindelöfov R l nema prebrojivu bazu: Neka je B baza topologije za R l. Za svaki x odaberimo B x B t.d. je x B x [x, x + 1. Za x y je B x B y pa je familija B neprebrojiva. R l je Lindelöfov. Dovoljno je pokazati da svaki pokrivač A = {[a α, b α } α J baznim skupovima ima prebrojiv potpokrivač. Neka je C := α J a α, b α R. R C je prebrojiv: Neka je x R C. Tada x / a α, b α, α J, pa je x = a β za neki β. Odaberimo takav β i neka je q x Q a β, b β. Tada je x, q x = a β, q x a β, b β C. Zato za x, y R C, ako je x < y onda je q x < q y, jer bi inače bilo x < y < q y q x, pa bi bilo y x, q x C. Zato je preslikavanje x q x s R C u Q injektivno, pa je R C prebrojiv.

3 Opća topologija 124 R l nema prebrojivu bazu ali je Lindelöfov (nastavak) Pokažimo da A ima prebrojiv potpokrivač: Za svaku točku iz R C odaberimo neki član pokrivača A koji ju sadrži. Tako dobivamo prebrojivu familiju A A koja pokriva R C. Uzmimo sada na C topologiju potprostora od R. U toj topologiji C zadovoljava drugi aksiom prebrojivosti, pa ima Lindelöfovo svojstvo (teorem 30.3 (a)). Kako je C pokriven familijom { a α, b α : α J} koji su otvoreni u R, dakle otvoreni i u C, to već njih prebrojivo mnogo a α1, b α1, a α2, b α2,... pokriva C, pa je A = {[a α1, b α1, [a α2, b α2,... } prebrojiva potfamilija od A koja pokriva C. Zato je A A prebrojiva potfamilija od A koja pokriva R l. Opća topologija 126 Produkt Lindelöfovih prostora ne mora biti Lindelöfov R l je Lindelöfov prostor, ali njegov kvadrat Sorgenfreyeva daska R 2 l = R l R l, nije Lindelöfov. Bazu topologije prostora R 2 l čine produkti [a, b [c, d. Neka je L := {(x, x) : x R l }. Očito je L R 2 l zatvoren potprostor. Pokrijmo R 2 l otvorenim skupom R2 l L i baznim skupovima oblika [a, b [ a, d. Svaki od tih skupova siječe L u 1 točki, a jer je L neprebrojiv, nikoja prebrojiva potfamilije ne može pokriti R 2 l. L Sorgenfreyev pravac (a, a) [a, b [ a, d Opća topologija 125 Potprostor Lindelöfova prostora ne mora biti Lindelöfov Kvadrat I 2 o s uređajnom topologijom je kompaktan, pa je Lindelöfov. Ali potprostor A := I 0, 1 nije Lindelöfov, tj. Lindelöfovo svojstvo nije nasljedno. I 2 o je kompaktan jer je svaki zatvoren segment u totalno uređenom skupu koji ima svojstvo supremuma kompaktan (teorem 27.1). Skup A je jednak uniji međusobno disjunktnih skupova U x := {x} 0, 1 koji su otvoreni u A. To je neprebrojiv pokrivač od A koji se uopće ne može reducirati. Opća topologija 127 Regularnost i normalnost Neka je X T 1 -prostor. X je regularan ako se svaka točka i zatvoren skup koji ju ne sadrži mogu razdvojiti disjunktnim otvorenim okolinama. X je normalan ako se svaka dva disjunktna zatvorena skupa mogu razdvojiti disjunktnim otvorenim okolinama. x x A y B B Hausdorffov regularan normalan

4 Opća topologija 128 Karakterizacija regularnosti i normalnosti Lema 31.1 Neka je X T 1 -prostor. (a) X je regularan ako i samo ako za svaku točku x i okolinu U x postoji okolina V t.d. je x V V U. (b) X je normalan ako i samo ako za svaki zatvoren skup A i okolinu U A postoji otvoren skup V t.d. je A V V U. Dokaz: (a) Stavimo B := X U i neka su V x i W B disjunktni otvoreni skupovi. Tada je V B =, jer je za y B okolina W y disjunktna s V. Dakle, V U. Stavimo U := X B i neka je V x t.d. je V U. Tada su V i X V disjunktne okoline od x odnosno B. (b) Dokaz je isti, samo umjesto x stavimo A. Opća topologija 130 Regularnost potprostora i produkata (dokaz) Dokaz: (b) X regularan, Y X, B Y zatvoren, x Y B. Tada je B Y = B pa x / B. Neka su U, V X disjunktne okoline od x i B. Tada su U Y i V Y tražene disjunktne okoline u Y, od x odnosno B. Neka su X α regularni, X := X α. X je Hausdorffov, dakle i T 1. Neka je x = (x α ) X i U x okolina. Neka je U α bazni otvoren skup t.d. je x U α U. Za one α za koje je U α X α, prema lemi 31.1, postoji otvoren skup V α X α t.d. je x α V α V α U α. Za ostale α neka je V α := U α = X α. Tada je V := V α okolina od x, V = V α prema teoremu 19.5, i očito je V U α U, pa je, prema lemi 31.1, X regularan. Opća topologija 129 Hausdorffovost i regularnost potprostora i produkata Opća topologija 131 Primjer 1: Teorem 31.2 (a) Potprostor Hausdorffova prostora je Hausdorffov; proizvoljan produkt Hausdorffovih prostora je Hausdorffov prostor. (b) Potprostor regularnog prostora je regularan; proizvoljan produkt regularnih prostora je regularan prostor. Niti jedna od dviju analognih tvrdnji za normalne prostore ne vrijedi! Dokaz: (a) Neka su X α, α J, Hausdorffovi, x y X α. Tada postoji β t.d. je x β y β. Neka su U, V X β disjunktne okoline od x β odnosno y β. Tada su πβ 1 (U) i π 1 β (V ) disjunktne okoline od x odnosno y. R K je Hausdorffov ali nije regularan R K je skup realnih brojeva R s topologijom čiju podbazu čine otvoreni intervali i komplement skupa K := { 1 n : n N}. Hausdorffovost je očita. Ne-regularnost: K je zatvoren i 0 / K. Pretpostavimo da postoje disjunktne okoline U 0 i V K. Neka je a, b K U bazni otvoren skup oko 0. Neka je n dovoljno velik da je 1 n a, b, i neka je c, d V bazni otvoren skup oko 1 n. Konačno, odaberimo točku z 1 n+1, 1 n c, d. Tada je z 1 n+1, 1 n U i z c, d V U V =. c z d a 0 b 1 n

5 Opća topologija 132 Primjer 2: R l je normalan R l ima finiju topologiju nego R, 1 pa je R l T 1 -prostor. Normalnost: Neka su A, B R l disjunktni zatvoreni skupovi. Za svaki a A neka je [a, x a bazni otvoren skup koji ne siječe B (takav postoji jer a / B = B), i za svaki b B neka je [b, x b bazni otvoren skup koji ne siječe A. Tada su U := a A [a, x a i V := b B [b, x b disjunktne okoline od A odnosno B. Naime, kada bi bilo U V postojali bi a A i b B t.d. je [a, x a [b, x b. Tada bi, ako je npr. a < b, bilo b [a, x a, tj. bilo bi [a, x a B. b [ [ a x a x b Opća topologija 134 Primjer 3 (nastavak): Kako je skup D prebrojivo beskonačan a L je neprebrojiv, postoji injekcija φ: P(D) L (jer je 2 ℵ 0 = c). θ φ Stoga je kompozicija P(L) P(D) L injektivno preslikavanje s P(L) u L teorem 7.8. Primjer potprostora normalnog prostora koji nije normalan pokazat ćemo kasnije. 1 a, b = { [a + 1 n, b : n N, 1 n < b a}. Opća topologija 133 Primjer 3: Sorgenfreyeva daska R 2 l = R l R l je regularna ali nije normalna R l je normalan, dakle i regularan, pa je R l R l regularan. Pretpostavimo da je R 2 l normalan i neka je L := {(x, x) : x R l} Sorgenfreyev pravac. L je zatvoren u R 2 l i ima diskretnu topologiju, pa je svaki podskup A L zatvoren u R 2 l. Dakle, za svaki A L postoje disjunktni, u R 2 l otvoreni, skupovi U A A i V A L A. Skup D racionalnih točaka u R 2 l je gust u R2 l. Definirajmo θ : P(L) P(D) sa θ(a) := D U A za A L; θ( ) := ; θ(l) := D. θ je injekcija: Za A L je θ(a) = D U A neprazan i D, jer je D V A. Treba pokazati da za neki drugi B L je θ(b) θ(a). Neka je npr. x A B. Tada je x L B pa je x U A V B, što je otvoren skup, pa postoji y (U A V B ) D. Dakle, y U A i y / U B pa je D U A D U B, tj. θ je injekcija. Opća topologija Normalni prostori Normalni prostori Dobra klasa prostora jer sadrži metrizabilne i parakompaktne prostore. Prvi važan teorem je Teorem 32.1 Svaki regularan prostor s prebrojivom bazom je normalan. Dokaz: Neka su A, B X disjunktni zatvoreni skupovi a B prebrojiva baza. Svaki a A ima okolinu W koja ne siječe B i postoji okolina W 1 t.d. je a W 1 W 1 W, pa onda postoji bazna okolina od a sadržana u W 1. Tako dobivamo prebrojiv pokrivač skupa A otvorenim skupovima, nazovimo ih U n, t.d. je U n B =, n N. Analogno dobivamo prebrojiv otvoren pokrivač {V n } skupa B t.d. je V n A =, n N. Neka je U := U n i V := V n. To su okoline skupova A odnosno B, ali ne nužno disjunktne. Zato definiramo U n := U n n i=1 V i i V n := V n n i=1 U i.

6 Opća topologija Normalni prostori uz dokaz teorema 32.1 Opća topologija Normalni prostori Normalnost dobro uređenih prostora Teorem 32.4 Svaki je dobro uređen skup s uređajnom topologijom normalan. Skupovi U := n N U n i V := n N V n su tražene disjunktne okoline skupova A odnosno B. Dokaz: Svaki interval oblika a, y] je otvoren: Zaista, ako je y maksimum DUS-a X onda je a, y] bazni otvoren skup. Inače je a, y] = a, y gdje je y neposredni sljedbenik od y. Neka je a 0 minimum skupa X (minimum postoji jer je X DUS). Neka su A, B X zatvoreni disjunktni i neka ne sadrže a 0. Svaki a A ima baznu okolinu koja ne siječe B, i u njoj postoji interval x, a]. Za svaki a A odaberemo takav interval x a, a] disjunktan s B. Slično, za svaki b B odaberemo y b, b] disjunktan s A. Skupovi U := a A x a, a] i V := b B y b, b] su okoline od A odnosno B. Tvrdnja: U V =. Ako je z U V onda je z x a, a] y b, b] za neke a A, b B. Neka je a < b. Tada je a > y b tj. a y b, b],. Neka je a 0 A. Skup {a 0 } je otvoren i zatvoren pa prema dokazanom postoje disjunktne okoline U A {a 0 } i V B. Tada su U {a 0 } i V tražene disjunktne okoline od A i B. Opća topologija Normalni prostori Normalnost metrizabilnih i kompaktnih Hausdorffovih prostora Teorem 32.2 Svaki je metrizabilan prostor normalan. Dokaz: U := f 1 ([0, 1 2 ) i V := f 1 ( 1 2, 1]) su disjunktne okoline disjunktnih zatvorenih skupova A i B, gdje je f (x) := Teorem 32.3 Svaki kompaktan Hausdorffov prostor je normalan. d(x,a) d(x,a)+d(x,b). Dokaz: Prema lemi 26.4, kompaktan Hausdorffov prostor je regularan. Neka su A, B X disjunktni zatvoreni skupovi. Za svaki a A neka su U a i V a disjunktne okoline od a odnosno B. Familija {U a } a A je otvoren pokrivač skupa A, pa zbog kompaktnosti postoji konačan potpokrivač {U a1,..., U am }. Tada su skupovi U := U a1 U am i V := V a1 V am disjunktne okoline skupova A odnosno B. Opća topologija Normalni prostori Dva primjera za vježbu (dokaži za zadaću!) Neprebrojiv produkt R J nije normalan (dokaz nije jednostavan!) Ovaj primjer pokazuje sljedeće: 1 Regularan prostor ne mora biti normalan. 2 Potprostor normalnog prostora ne mora biti normalan (R J = 0, 1 J [0, 1] J, koji je, prema Tihonovljevu teoremu, kompaktan Hausdorffov, dakle i normalan). 3 Neprebrojiv produkt normalnih prostora ne mora biti normalan. S Ω S Ω nije normalan (ovaj je primjer nešto jednostavniji) I ovaj primjer pokazuje tri stvari: 1 Regularan prostor ne mora biti normalan. 2 Potprostor normalnog prostora ne mora biti normalan. 3 Produkt dvaju normalnih prostora ne mora biti normalan.

7 Opća topologija Urysonova lema A sada,pravi teoremi: Teorem 33.1 (Urysonova lema) Neka je X normalan prostor, A, B X disjunktni zatvoreni skupovi. Tada postoji neprekidna funkcija f : X [0, 1] t.d. je f (x) = 0 za x A i f (x) = 1 za x B. Dokaz: Neka je Q := Q [0, 1]. Za sve q Q definirat ćemo otvorene skupove U q t.d. za p < q vrijedi U p U q. Skup Q je prebrojiv pa ga možemo numerirati, tj. svrstati u niz. Neka su prva dva člana toga niza 1 i 0. Neka je U 1 := X B. A U 1 pa otvoren U 0 t.d. je A U 0 U 0 U 1. Općenito, neka je Q n skup prvih n članova niza Q i neka su za sve q Q n već definirani otvoreni skupovi U q t.d. je U p U q čim je p < q. Neka je r Q sljedeći u nizu, tj. Q n+1 = Q n {r}. S obzirom na običan uređaj u R, Q n+1 je totalno uređen. Kako je r 0 i r 1, u Q n+1 postoji neposredan prethodnik p i neposredan sljedbenik q. Opća topologija Urysonova lema dokaz Urysonove leme (kraj) Za dokaz neprekidnosti trebamo dvije tvrdnjice: (1) x U q f (x) q: Za x U q je x U s, s > q, pa Q(x) sadrži sve racionalne brojeve > q. Stoga je f (x) = inf Q(x) q. (2) x / U q f (x) q: Ako x / U q onda x / U s za sve s < q, pa Q(x) ne sadrži brojeve < q. Stoga je f (x) = inf Q(x) q. f je neprekidna: Za x 0 X i c, d f (x 0 ) treba naći otvoren U x 0 t.d. je f (U) c, d. Neka su p, q Q t.d. je c < p < f (x 0 ) < q < d. Tvrdnja: U := U q U p je tražena okolina od x 0. Prvo, x 0 U jer f (x 0 ) < q (2) x 0 U q, a f (x 0 ) > p (1) x 0 / U p. Drugo, pokažimo da je f (U) c, d. Za x U je x U q U q pa je zbog (1) f (x) q < d. S druge strane x / U p pa x / U p, te zbog (2) vrijedi f (x) p > c. Opća topologija Urysonova lema dokaz Urysonove leme (nastavak) Skupovi U p i U q su već definirani i vrijedi U p U q. Zbog normalnosti postoji otvoren skup U r t.d. je U p U r U r U q. Lako se vidi da za sve s < t u Q n+1 vrijedi U s U t. Tako su induktivno definirani skupovi U q za sve q Q. Proširimo tu definiciju na sve q Q stavljajući U q := za q < 0, i U q := X za q > 1. Sada za sve p, q Q vrijedi U p U q čim je p < q. Za svaki x X definirajmo skup Q(x) := {q Q : x U q }. Očito je Q(x) odozdo omeđen i inf Q(x) [0, 1]. Definirajmo f : X [0, 1] formulom f (x) := inf Q(x) = inf{q Q : x U q }. f je tražena funkcija: Za x A je x U q za sve q 0 pa je f (x) = 0. Za x B, x / U q za q 1, pa je f (x) = 1. Opća topologija Urysonova lema Funkcionalna separabilnost Ako za podskupove A, B X postoji neprekidna funkcija f : X [0, 1] t.d. je f (A) = {0} i f (B) = {1} onda kažemo da se A i B mogu funkcijski separirati. Urysonova lema pokazuje da je X normalan akko se disjunktni zatvoreni podskupovi mogu funkcijski separirati. Međutim, analogna tvrdnja u regularnim prostorima ne vrijedi točka i zatvoren skup ne mogu se uvijek funkcijski separirati. T 1 -prostor X je potpuno regularan ako za svaki zatvoren skup A i točku x 0 / A postoji neprekidna funkcija f : X [0, 1] t.d. je f (x 0 ) = 1 i f (A) = {0}. Vrijedi: {normalni} {potpuno regularni} {regularni}

8 Opća topologija Urysonova lema Potpuna regularnost potprostora i produkata Teorem 33.2 Potprostor potpuno regularnog prostora je potpuno regularan. Produkt potpuno regularnih prostora je potpuno regularan. Dokaz: Y X, A Y zatvoren i x 0 Y A. Zbog je A = A Y, x 0 / A pa postoji f : X [0, 1] t.d. je f (x 0 ) = 1 i f (A) = {0}. Restrikcija f Y : Y [0, 1] je tražena funkcija. Neka je X := X α produkt potpuno regularnih prostora, A X zatvoren i b = (b α ) X A. Neka je b U α X A, gdje je U α = X α osim za α = α 1,..., α n, i neka su f i : X αi [0, 1], i = 1,..., n, t.d. je f i (b αi ) = 1 i f i (X αi U αi ) = {0}. Funkcije φ i (x) := f i (π αi (x)) su neprekidne i iščezavaju izvan πα 1 i (U αi ). Produkt f (x) := φ 1 (x) φ 2 (x) φ n (x) je tražena funkcija jer je f (b) = 1 i f iščezava izvan U α, pa je jednaka 0 na A. Opća topologija Urysonov teorem o metrizaciji Urysonov teorem o metrizaciji Prema teoremu 32.1 svaki je regularan prostor s prebrojivom bazom normalan. Vrijedi, međutim, mnogo više: Teorem 34.1 (Urysonov teorem metrizacije) Svaki regularan prostor s prebrojivom bazom je metrizabilan. Dokaz: Pokazat ćemo, i to na dva načina, da se X može smjestiti u neki metrički prostor. Dokažimo najprije: Tvrdnja: Postoji niz neprekidnih funkcija f n : X [0, 1] t.d. za svaki x 0 X i svaku okolinu U x 0 postoji n N t.d. je f n (x 0 ) > 0 i f n X U = 0. Neka je {B n } prebrojiva baza i za sve n, m t.d. je B n B m neka je g n,m : X [0, 1] t.d. je g n,m (B n ) = {1} i g n,m (X B m ) = {0} (normalnost). Za U x 0 postoji B m t.d. je x 0 B m U, pa zbog regularnosti postoji B n t.d. je x 0 B n B n B m. Tada je g n,m (x 0 ) = 1 > 0 i g n,m X U = 0. Familija {g n,m } je prebrojiva, pa prenumeracijom dobivamo rečene funkcije f n, n N. Opća topologija Urysonova lema Primjer Opća topologija Urysonov teorem o metrizaciji Urysonov teorem metrizacije (1. dokaz) R 2 l i S Ω S Ω su potpuno regularni ali ne i normalni Oba su produkti normalnih, dakle i potpuno regularnih prostora. Postoje regularni prostori koji nisu potpuno regularni, ali su takvi primjeri mnogo složeniji. Prvi dokaz: Definirajmo F : X R ω s F (x) := (f 1 (x), f 2 (x),... ). F je neprekidna jer R ω ima produktnu topologiju. F je injekcija jer za x y postoji n N t.d. je f n (x) > 0 i f n (y) = 0. Tvrdnja: F : X F (X) R ω je otvoreno preslikavanje, pa je F homeomorfizam s X na potprostor F (X) metričkog prostora R ω. Neka je U X otvoren. Za z 0 F (U) neka je x 0 U t.d. je F (x 0 ) = z 0 i neka je N N t.d. je f N (x 0 ) > 0 i f N (X U) = {0}. Neka je V := πn 1 ( 0, + ) Rω. V je otvoren, pa je skup W := V F (X) otvoren u F (X). Pokažimo da je z 0 W F (U). Prvo, z 0 W jer je π N (z 0 ) = π N (F (x 0 )) = f N (x 0 ) > 0. Drugo, za svaki z W je z = F (x) za neki x X, i π N (z) 0, +. Kako je π N (z) = π N (F (x)) = f N (x) i f N X U = 0, mora biti x U. Stoga je z = F (x) F (U), t.j. W F (U). q. e. d. prvog dokaza

9 Opća topologija Urysonov teorem o metrizaciji Urysonov teorem metrizacije (2. dokaz) Drugi dokaz: Sada ćemo X smjestiti u R ω s uniformnom metrikom ρ, zapravo u potprostor [0, 1] ω gdje je ρ(x, y) = sup i x i y i. Neka su f n, n N, funkcije iz tvrdnje na početku dokaza, uz dodatni uvjet da je f n (x) 1 n za sve x (npr. ^f n := 1 n f n). Opet definiramo F : X [0, 1] ω s F (x) := (f 1 (x), f 2 (x),... ), i tvrdimo da je F smještenje s obzirom na ρ. Iz prvog dokaza znamo da je F : X F (X) bijekcija, i da je, s obzirom na produktnu topologiju na [0, 1] ω, otvoreno preslikavanje. Kako je uniformna topologija finija od produktne, F : X F (X) je otvoreno i u uniformnoj topologiji. Treba još pokazati da je F neprekidno i u uniformnoj topologiji. Opća topologija Urysonov teorem o metrizaciji Teorem o smještenju Prvi dokaz Urysonova teorema metrizacije pokazuje i više: Teorem 34.2 (Teorem o smještenju) Neka je X T 1 -prostor i neka je {f α } α J indeksirana familija neprekidnih funkcija f α : X R takvih da za svaku točku x 0 X i svaku okolinu U x 0 postoji α J t.d. je f α (x 0 ) > 0 i f α X U = 0. Tada je funkcija F : X R J definirana s F (x) := (f α (x)) α J, smještenje prostora X u R J (s produktnom topologijom). Ako f α preslikavaju X u [0, 1] onda F smještava X u [0, 1] J (s produktnom topologijom). Dokaz je gotovo identičan prvom dokazu Urysonova teorema metrizacije. Treba samo R ω zamijeniti s R J. Svojstvo T 1 treba za injektivnost preslikavanja F. Opća topologija Urysonov teorem o metrizaciji Urysonov teorem metrizacije (2. dokaz nastavak) Opća topologija Urysonov teorem o metrizaciji Karakterizacija potpune regularnosti Neka je x 0 X i ε > 0. Odaberimo N N t.d. je 1 N < ε, i neka su U i x 0 okoline t.d. je f i (x) f i (x 0 ) < ε za sve x U i, i = 1,..., N. Neka je U := U 1 U N. Tvrdimo da je F (U) B ρ (F (x 0 ), ε). Neka je x U. Za i N je f i (x) f i (x 0 ) < ε, a za i > N je f i (x) f i (x 0 ) 1 i < 1 N < ε (jer je f i : X [0, 1 i ]). Stoga je ρ(f (x), F (x 0 )) = sup i f i (x) f i (x 0 ) < ε za sve x U, pa je F neprekidno preslikavanje. Za familiju {f α } α J realnih funkcija kao u prethodnom teoremu, tj. takvih da za svaku točku x 0 i svaku okolinu U x 0 postoji α t.d. je f α (x 0 ) > 0 i f α (X U) = {0}, kažemo da razdvaja točke od zatvorenih skupova. U T 1 -prostorima je postojanje takve familije funkcija ekvivalentno potpunoj regularnosti (očito), pa, prema teoremu 34.2 o smještenju, imamo: Teorem 34.3 Prostor X je potpuno regularan ako i samo ako je homeomorfan nekom potprostoru od [0, 1] J za neki J.

10 Opća topologija Tietzeov teorem Tietzeov teorem o proširenju preslikavanja Teorem 35.1 (Tietzeov teorem) Neka je X normalan prostor i A X zatvoren potprostor. (a) Svako se neprekidno preslikavanje f : A [a, b] R može proširiti do neprekidnog preslikavanja F : X [a, b]. (b) Svako se neprekidno preslikavanje f : A R može proširiti do neprekidnog preslikavanja G : X R. Dokaz: Konstruirat ćemo niz neprekidnih funkcija na X koji uniformno konvergira, i na A sve bolje i bolje aproksimira f. 1. korak: Najprije ćemo definirati jednu posebnu funkciju g na X koja nije prevelika i na A kako-tako aproksimira f. Točnije, neka je f : A [ r, r]. Konstruirat ćemo g : X R t.d. je g(x) 1 3 r, x X g(a) f (a) 2 3 r, a A. Opća topologija Tietzeov teorem dokaz Tietzeova teorema (2. nastavak) 2. korak: Dokažimo (a). Neka je f : A [ 1, 1] neprekidna funkcija. Prema 1. koraku (za r = 1) postoji g 1 : X R t.d. je g 1 (x) 1 3, x X, f (a) g 1 (a) 2 3, a A. (f g 1 )(A) [ 2 3, 2 3 ] pa 1. korak za r = 2 3 daje g 2 : X R t.d. je g 2 (x) , x X, f (a) g 1 (a) g 2 (a) ( 2 3 )2, a A. Sada primijenimo 1. korak na funkciju f g 1 g 2, itd. Dobivamo niz funkcija g n, n N, t.d. je g n (x) 1 3 ( 2 3 )n 1, x X, (3) f (a) g 1 (a) g n 1 (a) g n (a) ( 2 3 )n, a A. (4) Opća topologija Tietzeov teorem dokaz Tietzeova teorema (nastavak) Podijelimo segment [ r, r] na tri dijela: [ r, r] = [ r, 1 3 r] [ 1 3 r, 1 3 r] [ 1 3 r, r] =: I 1 I 2 I 3, i neka su B := f 1 (I 1 ) i C := f 1 (I 3 ). B i C su zatvoreni u A pa onda i u X, pa prema Urysonovoj lemi, postoji neprekidna funkcija g f C r r 3 r 3 I 3 I 2 I 1 B X g : X [ 1 3 r, 1 3 r] t.d. je g(x) = 1 3 r za x B i g(x) = 1 3r za x C. Očito je g(x) 1 3r za sve x. Pokažimo drugu nejednakost. Za a B je f (a), g(a) I 1, za a C je f (a), g(a) I 3, a za a / B C je f (a), g(a) I 2, pa je uvijek g(a) f (a) 2 3 r. Opća topologija Tietzeov teorem dokaz Tietzeova teorema (3. nastavak) Sada definiramo F : X R s F (x) := g n (x). n=1 F je neprekidna i F (X) [ 1, 1] (red g n konvergira uniformno jer je dominiran redom 1 3 ( 2 3 )n 1, i suma mu je po modulu 1). Ostaje pokazati da je F A = f. Prema (2), za a A vrijedi f (a) n g i (a) ( 2 3 )n, i=1 pa red g i (a) konvergira k f (a) za sve a A. q. e. d. (a) r

11 Opća topologija Tietzeov teorem dokaz Tietzeova teorema (kraj) 3. korak: Dokažimo (b). R možemo zamijeniti intervalom 1, 1 (jer su homeomorfni), pa neka je f : A 1, 1 neprekidna funkcija. Prema (a), postoji neprekidno proširenje F : X [ 1, 1], ali je to preslikavanje u segment [ 1, 1], a treba u otvoren interval 1, 1, pa ćemo ga popraviti jednostavnim trikom. Neka je D := F 1 ({ 1, 1}) X. Skup D je zatvoren, a jer je F (A) = f (A) 1, 1, disjunktan je s A. Prema Urysonovoj lemi, postoji φ: X [0, 1] t.d. je φ(d) = {0} i φ(a) = {1}. Definirajmo G(x) := F (x) φ(x). Funkcija G je neprekidna i proširuje f jer za a A je G(a) = F (a) φ(a) = f (a) 1. Konačno, G(X) 1, 1 jer za x D je G(x) = F (x) 0 = 0, a za x / D je F (x) < 1 pa je G(x) F (x) 1 < 1. Opća topologija Smještenja mnogostrukosti Particija jedinice Nosač funkcije φ: X [0, 1] je zatvorenje skupa φ 1 ( 0, 1]), oznaka: supp φ. Dakle, ako x / supp φ onda postoji okolina oko x na kojoj φ iščezava. Neka je {U 1,..., U n } konačan indeksiran otvoren pokrivač prostora X. Za indeksiranu familiju neprekidnih funkcija φ i : X [0, 1], i = 1,..., n, kažemo da je particija jedinice podređena pokrivaču {U i } ako je: (1) supp φ i U i za sve i; (2) n i=1 φ i (x) = 1 za sve x. Teorem 36.1 (Postojanje konačne particije jedinice) Za svaki konačan otvoren pokrivač {U 1,..., U n } normalnog prostora X postoji njemu podređena particija jedinice. Opća topologija Smještenja mnogostrukosti Topološke mnogostrukosti Za razliku od regularnih prostora s prebrojivom bazom koji se, kao što smo vidjeli u Urysonovu teoremu metrizacije, mogu smjestiti u beskonačno-dimenzionalni euklidski prostor R ω, mnogostrukosti su važna klasa prostora koji se mogu smjestiti u konačno-dimenzionalni euklidski prostor. Topološka n-mnogostrukost je Hausdorffov prostor s prebrojivom bazom i takav da svaka točka ima okolinu homeomorfnu nekom otvorenom podskupu od R n. 1-mnogostrukosti se često nazivaju krivuljama (iako se taj termin često rabi i za mnogo općenitije 1-dimenzionalne prostore), a 2-mnogostrukosti se često nazivaju plohama. Opća topologija Smještenja mnogostrukosti dokaz Dokaz: To je dokaz koji smo napravili u Analizi. Ukratko: 1. korak: sažimanje pokrivača. Koristeći se normalnošću prostora X, pokrivač {U 1,..., U n } zamijenimo otvorenim pokrivačem {V 1,..., V n } t.d. za sve i vrijedi V i U i. 2. korak: Zadani pokrivač {U 1,..., U n } sažmemo do pokrivača {V 1,..., V n }, a njega sažmemo do pokrivača {W 1,..., W n }, pa za svaki i imamo W i V i V i U i. Prema Urysonovoj lemi za svaki i neka je ψ i : X [0, 1] t.d. je ψ i (W i ) = {1} i ψ i (X V i ) = {0}. Kako je ψi 1 ( 0, 1]) V i, to je supp ψ i V i U i. Konačno definiramo φ i (x) := ψ i (x) n j=1 ψ j(x). Funkcije φ 1,..., φ n čine traženu particiju jedinice. Kasnije, u vezi s parakompaktnošću, bavit ćemo se i particijama jedinice i otvorenim pokrivačima koji će biti beskonačni, čak neprebrojivi.

12 Opća topologija Smještenja mnogostrukosti Smještavanje mnogostrukosti Teorem 36.2 Svaka se kompaktna n-mnogostrukost može smjestiti u R N za neki N. Dokaz: Neka je {U 1,..., U k } pokrivač od X otvorenim skupovima koji se mogu smjestiti u R n i neka su g i : U i R n smještenja. Neka je φ 1,..., φ k particija jedinice podređena pokrivaču {U 1,..., U k }. Za i = 1,..., k definirajmo { h i : X R n φi (x) g s h i (x) := i (x), x U i O = (0,..., 0), x X supp φ i. Sada definirajmo F : X R R R n R n k k formulom F (x) := (φ 1 (x),..., φ k (x), h 1 (x),..., h k (x)). Preslikavanje F je neprekidno, a da je smještenje, zbog kompaktnosti od X, dovoljno je pokazati injektivnost. Opća topologija Smještenja mnogostrukosti dokaz: F je injektivno Neka je F (x) = F (y), tj. φ i (x) = φ i (y) i h i (x) = h i (y) za sve i. Kako je φ i (x) > 0 za neki i, to je i φ i (y) > 0, pa su x, y U i. Tada je φ i (x) g i (x) = h i (x) = h i (y) = φ i (y) g i (y) pa je g i (x) = g i (y). Kako je g i smještenje, dobivamo x = y.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj.

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj. Opća topologija 24 Opća topologija 26 13. Baza topologije Baza topologije 2 TOPOLOŠKI PROSTORI I NEPREKIDNE FUNKCIJE Topološki prostori Baza topologije Uređajna topologija Produktna topologija na X Y Topologija

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014.

Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014. Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014. Zadaća nosi 5 bodova. Sve tvrdnje u zadacima obrazložiti! Renato Babojelić 31 Lea Božić 13 Ana Bulić 7 Jelena Crnjac 5 Bernarda Dragin 19 Gabriela Grdić

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

METRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI. Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974.

METRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI. Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974. METRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI Šime Ungar http://www.mathos.unios.hr/~sime/ Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974. Š. Ungar. Matematička analiza 3, PMF-Matematički

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n : 4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

2. Konvergencija nizova

2. Konvergencija nizova 6 2. KONVERGENCIJA NIZOVA 2. Konvergencija nizova Niz u skupu X je svaka funkcija x : N X. Vrijednost x(k), k N, se zove opći ili k-ti član niza i obično se označava s x k. U skladu s tim, niz x : N X

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

1 Svojstvo kompaktnosti

1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja 2016. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je I kolekcija svih ograničenih jednodimenzionalnih intervala

Διαβάστε περισσότερα

Mur Smitova konvergencija

Mur Smitova konvergencija Master rad Mur Smitova konvergencija Autor: Jovana Obradović Mentor: prof. dr Miloš Kurilić Novi Sad, 2012. Sadržaj Predgovor................................ i 1 Uvod 1 1.1 Osnovne oznake i rezultati....................

Διαβάστε περισσότερα

Osnove matematičke analize

Osnove matematičke analize Osnove matematičke analize prof.dr.sc. Nikola Koceić Bilan FPMOZ Sveučilište u Mostaru FPMOZ Sveučilište u Mostaru 1 / Sadržaj 1 Topološka i metrička struktura normiranog vektorskog prostora R n. Konvergencija

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Topologije A

Zadaci iz Topologije A Zadaci iz Topologije A 1. Neka je X neprazan skup i Φ : P(X P(X funkcija za koju vaжi: (1 Φ( = ; (2 A Φ(A za sve A P(X; (3 Φ(A B = Φ(A Φ(B za sve A, B P(X; (4 Φ(Φ(A = Φ(A za sve A P(X. Dokazati da postoji

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

1. Topologija na euklidskom prostoru R n

1. Topologija na euklidskom prostoru R n 1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x

Διαβάστε περισσότερα

Matematička Analiza 3

Matematička Analiza 3 Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet MATEMATIČKI ODJEL Šime Ungar Matematička Analiza 3 Zagreb, 2002. Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet MATEMATIČKI ODJEL Šime

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum 16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Teorema Kantor - Bendiksona i njene primene

Teorema Kantor - Bendiksona i njene primene UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Anika Njamcul Teorema Kantor - Bendiksona i njene primene Master rad Mentor: dr. Aleksandar Pavlović Novi Sad,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalna geometrija u fizici

Diferencijalna geometrija u fizici Diferencijalna geometrija u fizici Bilješke, skice i škrabotine Ivica Smolić 2018 Ožujak 28 Kada narastem, bit ću knjiga Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-Matematički fakultet cbnd Creative Commons licences

Διαβάστε περισσότερα

Linearna uređenja i GO prostori

Linearna uređenja i GO prostori UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Milijana Milovanović Linearna uređenja i GO prostori -Master rad- Mentor: dr Aleksandar Pavlović Novi Sad, 2015.

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011).

DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011). DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU dr. Dženis F. Pučić TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011). Predgovor prvom izdanju Ova skripta nastala su kao rezultat potrebe da se studentima

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003. Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016 Tomislav Berić tberic@math.hr Sadržaj 1 Operatori na Hilbertovim prostorima 1 1.1 Normalni operatori..................................... 3 1.2 Unitarni

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIƒKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU. Borelovi skupovi

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIƒKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU. Borelovi skupovi UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIƒKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nada Cvetkovi Borelovi skupovi -master rad- Mentor: prof. dr Milo² Kurili Novi Sad, 2014. Sadrºaj Predgovor................................

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih

Διαβάστε περισσότερα

Mjera i Integral Vjeºbe

Mjera i Integral Vjeºbe Mjera i Integral Vjeºbe September 8, 2015 Chapter 1 σ-algebre 1.1 Osnovna svojstva i prvi primjeri Najprije uvodimo pojmove algebre i σ-algebre 1 skupova. Za skup, familiju svih njegovih podskupova zovemo

Διαβάστε περισσότερα

TOPOLOŠKA POTPUNOST LOGIKA DOKAZIVOSTI

TOPOLOŠKA POTPUNOST LOGIKA DOKAZIVOSTI SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Luka Mikec TOPOLOŠKA POTPUNOST LOGIKA DOKAZIVOSTI Diplomski rad Voditelji rada: izv. prof. dr. sc. Mladen Vuković doc. dr. sc.

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

REKURZIVNE FUNKCIJE PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc.dr.sc.

REKURZIVNE FUNKCIJE PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc.dr.sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Brigita Švec REKURZIVNE FUNKCIJE Diplomski rad Voditelj rada: Doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, Rujan, 2014. Ovaj diplomski

Διαβάστε περισσότερα

1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI

1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =

Διαβάστε περισσότερα

Dragan Jukić MJERA I INTEGRAL OSIJEK, f = 3 α i χ Ai. α 2. α 1. α 3 A 1 A 2 A 3. 3 fdλ = α i λ(a i )

Dragan Jukić MJERA I INTEGRAL OSIJEK, f = 3 α i χ Ai. α 2. α 1. α 3 A 1 A 2 A 3. 3 fdλ = α i λ(a i ) Dragan Jukić α 2 f = 3 α i χ Ai 3 fdλ = α i λ(a i ) α 1 α 3 A 1 A 2 A 3 MJERA I INTEGRAL OSIJEK, 2012. prof.dr.sc. Dragan Jukić MJERA I INTEGRAL Osijek, 2012. D. Jukić Mjera i integral. Izdavač: Sveučilište

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

KOMPAKTNI OPERATORI. Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević. Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu. u zimskom semestru akademske godine 2007./2008.

KOMPAKTNI OPERATORI. Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević. Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu. u zimskom semestru akademske godine 2007./2008. KOMPAKTNI OPERATORI Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu Sveučilišta u Zagrebu u zimskom semestru akademske godine 2007./2008. Zagreb, siječanj 2008. 2 SADRŽAJ 3

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalna geometrija u fizici

Diferencijalna geometrija u fizici df Diferencijalna geometrija u fizici Bilješke, skice i škrabotine Ivica Smolić Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Radna verzija 2018 Lipanj 3 Sva prava pridržana. Sadržaj Predgovor

Διαβάστε περισσότερα

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Dragan S. Djordjević Niš, 2009. 0 Sadržaj Predgovor 3 1 Metrički prostori 5 1.1 Primeri metričkih prostora................. 5 1.2 Konvergencija nizova i osobine

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima. M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Ivan Ivec SOBOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE

Ivan Ivec SOBOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odjel Ivan Ivec SOOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Nenad Antonić Zagreb, siječnja 001. Zahvaljujem svojem mentoru doc.

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1 Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORSKI PROSTORI 2

VEKTORSKI PROSTORI 2 Odjel za matematiku Sveu ili²ta u Rijeci Ana Jurasi VEKTORSKI PROSTORI 2 Materijali s predavanja Rijeka, 2013. Sadrºaj 1 Topolo²ki vektorski prostori 4 1.1 Uvod................................ 4 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Nermin Okičić Vedad Pašić. Metrički prostori

Nermin Okičić Vedad Pašić. Metrički prostori Å Ì Å ÌÁÃ Nermin Okičić Vedad Pašić Metrički prostori 2016 Å Ì Å ÌÁÃ Sadržaj 1 Metrički prostori 1 1.1 Metrika i osobine......................... 2 1.2 Konvergencija u metričkim prostorima.............

Διαβάστε περισσότερα

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim. 1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα