1 Svojstvo kompaktnosti
|
|
- Κλυταιμνήστρα Αντωνόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip: Ako je {I n } n N niz zatvorenih intervala za koje važi I n+1 I n, n N, onda postoji realan broj α koji pripada svim intervalima, to jest n N I n. 1.1 Topološki prostor Definicija 1.1. Okolina tačke x 0 R je svaki podskup skupa R koji sadrži otvoren interval (x 0 ε, x 0 + ε) za neko ε > 0. Skup A R je otvoren ako je on okolina svake svoje tačke ili ako je prazan. Skup B R je zatvoren ako je skup A = R \ B otvoren. Definicija 1.2. a) Tačka a R je unutrašnja tačka skupa A R ako je skup A okolina tačke a. Skup unutrašnjih tačaka skupa A naziva se unutrašnjost skupa A i označava se sa A. b) Tačka a R je adherentna tačka skupa A R ako u svakoj okolini tačke a postoji barem jedna tačka iz skupa A. Skup adherentnih tačaka skupa A naziva se adherencija ili zatvaranje skupa A i označavamo sa Ā. c) Tačka a R je tačka nagomilavanja skupa A ako u svakoj okolini tačke a postoji bar jedna tačka b A, b a. Skup tačaka nagomilavanja skupa A (ili izvodni skup skupa A) označava se sa A. d) Tačka a R je izolovana tačka skupa A ako postoji barem jedna okolina tačke a koja osim tačke a ne sadrži ni jednu drugu tačku skupa A. e) Tačka a R je rubna tačka skupa A ako u svakoj okolini tav cke a postoji bar jedna tačka iz skupa A i bar jedna tačka iz skupa R \ A. Skup rubnih tačaka skupa A naziva se rub skupa A i označava se sa A. Definicija 1.3. Skup A B R je gust u skupu B ako je svaka tačka b B adherentna tačka skupa A, to jest ako je B Ā. Na osnovu navedenih definicija mogu se dokazati sledeća svojstva skupa realnih brojeva kao topološkog prostora. 1) Neka je tačka a tačka nagomilavanja skupa A. Tada u svakoj okolini tačke a postoji beskonačno mnogo elemenata skupa A. 2) Svaka tačka nagomilavanja skupa A je i adherentna tačka skupa A. Obrnuto ne mora da važi. 3) Za svake dve tačke a, b R, a b, postoje disjunktne okoline tih tačaka. 4) Skup A R je zatvoren ako i samo ako sadrži sve svoje tačke nagomilavanja. 5) Svaki beskonačan i ograničen skup A R ima barem jednu tačku nagomilavanja u skupu realnih brojeva. Neka je O kolekcija otvorenih skupova u R. Tada je ured ena dvojka (R, O) topološki prostor u smislu sledeće definicije. 1
2 1.2 Metrika i norma Definicija 1.4. Neka je X neprazan skup. Kolekcija O podskupova skupa X je kolekcija otvorenih skupova ako i samo ako važe sledeća tri uslova: 1) Prazan skup i skup X su otvoreni, to jest, X O; 2) Presek svaka dva otvorena skupa je otvoren skup, to jest ako O 1, O 2 O onda važi: O 1 O 2 O; 3) Unija proizvoljno mnogo otvorenih skupova je otvoren skup, to jest za svaku kolekciju {O λ ; : λ Λ} O važi λ Λ O λ O. Kolekcija O je topologija na skupu X, a ured eni par (X, O) je topološki prostor. Topologija u R koju čine otvoreni skupovi u smislu definicije 1.1 naziva se uobičajena topologija na R i označava se sa (R, O uob ). U proizvoljnom skupu X, pa i u skupu R postoje i različite topologije. Na primer, antidiskretna (najgrublja) i diskretna (najfinija) topologija su date respektivno sa O = {, X} i O = P(X), gde je sa P(X) označen partitivni skup skupa X, to jest u najfinijoj topologiji su otvoreni skupovi svi podskupovi skupa X. 1.2 Metrika i norma Gotovo svi topološki prostori koji se proučavaju u klasičnoj matematičkoj analizi (prostori brojeva, nizova, neprekidnih funkcija i slično), mogu da se posmatraju kao prostori u kojima je topološka struktura odred ena nekom metrikom. Iz ovog razloga, u nastavku se definiše metrički prostor i njime odred ena topologija. Metrički prostor je par (X, d) gde je X neprazan skup, a d preslikavanje d : X X [0, ) za koje važe sledeći uslovi: 1. d(x, y) = 0 x = y, 2. Za sve x, y X važi d(x, y) = d(x, y), 3. Za sve x, y, z X važi nejednakost trougla: d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Preslikavanje d je metrika na skupu X, a nenegativan broj d(x, y) je rastojanje tačaka x i y. Na primer, lako se proverava da je (R, d) metrički prostor ako je metrika d definisana na uobičajeni način: d(x, y) = x y, x, y R. U svakom metričkom prostoru se topologija, kao i svi prethodno uvedeni pojmovi, definiše preko otvorenih lopti. Preciznije, neka je dat metrički prostor (X, d), a X i r > 0. Skup tačaka L(a, r) = {x X d(a, x) < r} je otvorena lopta u (X, d) sa centrom u tački a i poluprečnikom r. Čitaocu ostavljamo da za vežbu pokaže da za proizvoljnu otvorenu loptu L(a, r) u metričkom prostoru (X, d) važi: x L(a, r))( ε = ε x > 0)(L(x, ε) L(a, r)). Za neprazan skup A X kažemo da je otvoren u metričkom prostoru (X, d) ako za svako a A postoji r > 0 tako da važi L(a, r) A. Prazan skup je, po definiciji otvoren. Zatvoren skup se definiše kao komplement nekog otvorenog skupa metričkog prostora (X, d). 2
3 1.3 Dodatak - tačke nagomilavanja skupova i nizova Na osnovu prethodnih razmatranja sledi da je otvorena lopta otvoren skup u metričkom prostoru. Može se dokazati da je familija τ svi otvorenih skupova metričkog prostora (X, d) topologija metričkog prostora (X, d). Kaže se da je ta topologija indukovana metrikom d. Ako X ima strukturu vektorskog prostora nad poljem realnih brojeva, onda se preslikavanje : X [0, ) koje ispunjava uslove: 1 x = 0 x = 0 X 2 λ = λ x, λ R, x X 3 x + y x + y, x, y X naziva normom nad X, a uredjen par (X, ) je normiran prostor. Svaki normirani prostor (X, ) je i metrički prostor (X, d) sa metrikom d koja je definisana na sledeći način: Dokaz ostavljamo čitaocu za vežbu. d(x, y) = x y, za sve x, y X. 1.3 Dodatak - tačke nagomilavanja skupova i nizova U prethodnoj lekciji, o topološkom prostoru, navedena je definicija tačke nagomolavanja skupa. S obzirom da je uveden i pojam tačke nagomolavanja niza, u ovom dodatku navode se razmišljanja o sličnosti i razlici ovih pojmova. Radi jednostavnosti izlaganja, posmatra se prostor (X, τ) u kojem je topologija τ indukovana metrikom d. 1. Ako je A X i a X njegova tačka nagomilavanja, tada u svakoj okolini tačke a postoji beskonačno mnogo elemenata skupa A, pa stoga skup A ne može biti konačan. Dakle, skup tačaka nagomilavanja proizvoljnog konačnog skupa je prazan skup. (Za vežbu, napisati ovaj iskaz simbolima.) 2. Neka je {a n } niz u X takav da je skup S = {a n n N} konačan. Tada postoji a X tako da je a m = a za beskonačno mnogo indeksa m N. Prema tome, postoji (stacionaran) podniz datog niza koji konvergira ka a, to jest a je tačka nagomolavanja datog niza. Primetimo da skup S nema tačku nagomolavanja! 3. Neka je sada {a n } niz u X takav da je skup S = {a n n N} beskonačan i neka je a X tačka nagomilavanja datog niza. (Na primer, ako je dati niz ograničen, onda on sigurno ima barem jednu tačku nagomolavanja.) Dakle, ( ε > 0)( n N)( m N)(d(a, a m ) < ε). Tipičan izbor, ε = 1/n, n N, daje konstrukciju podniza {a nk } različitih elemenata skupa S koji konvergira ka tački a. Po toj konstrukciji (i na osnovu Arhimedovog principa) zaključuje se da se u svakoj okolini tače a nalazi beskonačno mnogo elemenata skupa S pa je a tačka nagomilavanja skupa S. 4. Sada se lako dokazuje tvrd enje: Ako svaki niz elemenata skupa A sadrži konvergentan podniz i granica tog podniza je elemenat skupa A onda svaki beskonačan podskup skupa A ima tačku nagomilavanja i ona pripada skupu A. 3
4 Dokaz: Primetimo da se u ovom tvrd enju implicitno pretpostavlja da je A beskonačan skup. Neka je B beskonačan podskup skupa A. Tada postoji {b n } niz različitih elemenata skupa B. Iz uslova teoreme sledi da postoji {b nk } podniz niza {b n } koji konvergira ka nekom elementu b A. Da je b tačka nagomilavanja skupa B sledi iz prethodnih razmatranja. Naime, ako je O(b) proizvoljna okolina tačke b, onda postoji m N takav da je lopta sa centrom u b poluprečnika 1/m sadržana u O(b). Tada postoji k 0 = k(m) N takav da se svi članovi niza {b nk }, k k 0 nalaze u toj lopti. Znači, proizvoljna okolina tačke b sadrži beskonačno mnogo elemenata skupa B, pa je b tačka nagomilavanja tog skupa. 1.4 Kompaktnost u skupu realnih brojeva Pretpostavlja se da je čitalac upoznat sa strukturom skupa realnih brojeva i sa njenim osnovnim svojstvima. Podsetimo se: Niz realnih brojeva (ili brojni niz) je funkcija a : N R, koju ćemo označavati sa {a n } n N. Neka je n : N N strogo rastući niz prirodnih brojeva, tj. neka je n 1 < n 2 < n 3 <... n k 1 < n k <... i neka je a : N R brojni niz. Niz a n : N R sa članovima a nk, k = 1, 2,..., je podniz niza {a n } n N. Označavaćemo ga sa {a nk } k N, a oznaka {a nk } k N {a n } n N se koristi kada želimo da istaknemo da je {a nk } k N podniz niza {a n } n N. Element a R = R {, } je tačka nagomilavanja niza {a n } n N ako postoji podniz {a nk } k N koji teži ka a, to jest takav da je lim k a nk = a. Teorema 1.5. Element a R je tačka nagomilavanja niza {a n } n N ako i samo ako u svakoj okolini elementa a ima beskonačno mnogo članova niza {a n } n N. Teorema 1.6. (Bolcano- Vajerštrasova teorema za nizove) Svaki ograničen niz ima barem jednu tačku nagomilavanja u R, to jest svaki ograničen niz ima barem jedan konvergentan podniz. Definicija 1.7. Familija skupova {A λ } λ Λ je pokrivač skupa A ako za svako a A postoji λ 0 Λ tako da važi a A λ0. Ako su pri tome skupovi A λ, λ Λ, otvoreni, tada se familija {A λ } λ Λ naziva otvoreni pokrivač skupa A. Ako je {A λ } λ Λ pokrivač skupa A, onda se svaka podfamilija familije {A λ } λ Λ koja je takodje pokrivač skupa A naziva potpokrivač datog pokrivača. Definicija 1.8. Topološki prostor (X, O) je kompaktan ako i samo ako svaki otvoren pokrivač skupa X sadrži konačan potpokrivač. Na primer, (R, O uob ) nije kompaktan topološki prostor, jer pokrivač {( n, n)} n N ne sadrži konačan potpokrivač. Neka je (X, O) topološki prostor i A X. Uredjeni par (A, O A ), gde je O A kolekcija skupova dobijena presekom otvorenih skupova iz X i skupa A je topološki prostor, koji se naziva topološkim potprostorom prostora (X, O). Kaže se da je (A, O A ) snabdeven topologijom koju u A indukuje topologija iz X. Sada konačno možemo definisati kompaktan skup. 4
5 Definicija 1.9. Skup A je kompaktan skup u prostoru (X, O) ako i samo ako je potprostor (A, O A ) kompaktan topološki prostor. U proizvoljnom topološkom prostoru svaki konačan skup je kompaktan, pa ako sa C(X) označimo kolekciju svih kompaktnih podskupova datog prostora, a sa K(X) kolekciju njegovih konačnih podskupova, onda je K(X) C(X) P(X). Definicija Topološki prostor (X, O) je Hauzdorfov prostor ako i samo ako za svake dve različite tačke x, y X postoje disjunktni otvoreni skupovi O 1 i O 2 tako da važi x O 1 i y O 2. Drugim rečima, topološki prostor je Hauzdorfov ako u njemu svake dve tačke imaju disjunktne okoline. Takav prostor je na primer (R, O uob ) i, opštije, svaki metrički prostor. Kažemo da familija skupova ima osobinu konačnog preseka ako svaka njena konačna podfamilija ima neprazan presek (barem jednu zajedničku tačku). Konačno, navodimo ključnu teoremu o kompaktnim skupovima u R. Teorema Neka je A R. Sledeći iskazi su ekvivalentni: 1. A je zatvoren i ograničen. 2. Svaki beskonačan podskup skupa A ima tačku nagomilavanja i ona pripada skupu A (Bolcano Vajerštrasovo svojstvo za skupove) 3. Svaki niz elemenata skupa A sadrži konvergentan podniz i granica tog podniza je element skupa A. 4. Svaki otvoren pokrivač skupa A sadrži konačan potpokrivač (Hajne Borelovo svojstvo). 5. Svaka familija zatvorenih podskupova skupa A koja ima osobinu konačnog preseka ima neprazan presek. Skup A koji ima neku od gore navedenih osobina zove se kompaktan skup. U dokazu će se na više mesta koristiti činjenica da je neki skup zatvoren ako i samo ako sadrži sve svoje tačke nagomilavanja/ Dokaz. Svojstvo (4) je, u stvari, karakterizacija kompaktnog skupa u R u smislu definicije 1.8 i 1.9. (1) (2) Neka je skup A ograničen i zatvoren. Ako je skup A konačan, onda on nema nijednu tačku nagomilavanja i tada trivijalno važi (2). Prema tome, pretpostavimo da je skup A beskonačan skup i da je skup S njegov beskonačan podskup. Skup S je ograničen pa, na osnovu Bolcano Vajerštrasove teoreme on ima bar jednu tačku nagomilavanja, označimo je sa α R. Pošto je S podskup od A, to je α tačka nagomilavanja i za skup A, pa α A jer je A zatvoren. (2) (1) Pokazaćemo prvo da je skup A zatvoren, što je ekvivalentno sa iskazom da skup A sadrži sve svoje tačke nagomilavanja. Neka je β R proizvoljna tačka nagomilavanja skupa A. Po definiciji tačke nagomilavanja to znači da, za proizvoljno ε 1 > 0, u skupu (β ε 1, β + ε 1 ) A postoji barem jedna tačka a 1 A i a 1 β. Neka je d 1 = a 1 β > 0 i neka je ε 2 = d 1 /2. U skupu (β ε 2, β +ε 2 ) A postoji barem jedna tačka a 2 A i a 2 β. Naravno, a 2 a 1. Nastavljajući 5
6 postupak, dobijamo beskonačan skup S = {a 1, a 2,... } A, kojem je β tačka nagomilavanja skupa. Ona, po pretpostavci pripada skupu A. Prema tome, sve tačke nagomilavanja skupa A pripadaju skupu A, to jest skup A je zatvoren. Preostaje da se dokaže da je skup A ograničen podskup skupa R. Pretpostavimo suprotno, to jest da A nije ograničen skup. Ideja dokaza je da se konstruiše beskonačan skup S A, koji nema tačku nagomilavaja u skupu A, čime se dokbija kontradikcija. Neka je a 1 proizvoljan element skupa A i neka je n 1 prirodan broj za koji važi a 1 < n 1. Pošto A nije ograničen, sledi da postoji a 2 A za koji važi n 1 < a 2, i neka je n 2 N takav da važi a 2 < n 2. Nastavljajući ovaj postupak izbora tačaka skupa A dobija se beskonačan skup prirodnih brojeva {n 1, n 2,... } i beskonačan podskup S skupa A tako da važi a 1 < n 1 < a 2 < n 2 < a 3 < n 3 <... Skup S očigledno nema nijednu tačku nagomilavanja u R, što je u suprotnosti sa (2). Primetimo da iz ograničenosti skupa A sledi da on ne može da ima tačku nagomilavanja koja je "fiktivni element", ±, pa pretpostavka β R u prvom delu dokaza nije ograničenje. (1) (3) Neka je {a n } n N proizvoljan niz elemenata skupa A. Iz ograničenosti skupa A sledi da je i niz {a n } n N ograničen. Dokažimo najpre da on ima konvergentan podniz. Neka je S = {a n n N} skup vrednosti članova niza {a n } n N. Jasno, S A. Ako je skup S konačan, onda postoji elemenat a S takav da je a nk = a za beskonačno mnogo vrednosti n 1 < n 2 < n 3 <... iz skupa N. To znači da je {a nk } k N konvergentan podniz niza {a n } n N, pa je a tačka nagomilavanja datog niza, koja, pri tome, pripada skupu A. Ako je skup S beskonačan onda, na osnovu (2), sledi da S ima bar jednu tačku nagomilavanja u A, označimo je sa a. Po definiciji, u svakoj okolini tačke a nalazi se beksonačno mnogo elemenata skupa S. Tako se u (a 1, a + 1) nalazi barem jedan element a n1 S. U okolini, (a 1/2, a + 1/2) nalazi se barem jedan element a n2 S takav da je n 1 < n 2. Ovo je moguće jer se u (a 1/2, a + 1/2) nalazi beskonačno mnogo elemenata skupa S. Nastavljajući ovaj postupak, zaključujemo da, za svako m N, postoji a nm (a 1/m, a + 1/m) S, pri čemu je n 1 < n 2 < < n m 1 < n m. Tako je {a nm } m N konvergentan podniz niza {a n } n N, a element a je tačka nagomilavanja datog niza koja pripada skupu A. (3) (1) Dovoljno je da se dokaže (3) (2), jer znamo da (2) (1), pa tada (3) (1) na osnovu tranzitivnosti implikacije. Neka je B beskonačan podskup skupa A. Tada postoji niz {a n } n N medjusobno različitih elemenata skupa B. Iz (3) sledi da postoji {a nk } k N konvergentan podniz niza {a n } n N, čija je granična vrednost a element skupa A. To znači da se u svakoj okolini tačke a A nalazi beskonačno mnogo elemenata skupa B, pa je a tačka nagomilavanja skupa B, odnosno važi (2). (1) (4) Neka je A ograničen i zatvoren skup. Ako je A konačan, carda = n i {O λ } λ Λ pokrivač skupa A, onda za svaki element a k A, k = 1, 2,..., n postoji λ k Λ, k = 1, 2,..., n tako da važi a k O λk. Tada je {O λk } λk Λ konačan potpokrivač skupa A. 6
7 Pretpostavimo sada da je A beskonačan skup i da on nema Hajne Borelovo svojstvo, što znači da postoji otvoreni pokrivač {O λ } λ Λ koji ne sadrži konačan potpokrivač. Iz ograničenosti skupa A sledi da postoji interval [a 1, b 1 ] takav da A [a 1, b 1 ]. Posmatrajmo skupove [a 1, (a 1 + b 1 )/2] A i [(a 1 + b 1 )/2, b 1 ] A. Za barem jedan od tih skupova važi da {O λ } λ Λ ne sadrži konačan potpokrivač tog skupa, jer bi u suprotnom skup A imao Hajne Borelovo svojstvo. Neka je [a 2, b 2 ] izabran tako da je [a 2, b 2 ] = [a 1, (a 1 + b 1 )/2] ako {O λ } λ Λ, pokrivač skupa [a 1, (a 1 + b 1 )/2] A ne sadrži konačan potpokrivač tog skupa, odnosno [a 2, b 2 ] = [(a 1 + b 1 )/2, b 1 ] u suprotnom slučaju. Jasno, ovako izabran interval [a 2, b 2 ] sadrži beskonačno mnogo elemenata skupa A. Sada posmatramo skupove [a 2, (a 2 + b 2 )/2] A i [(a 2 + b 2 )/2, b 2 ] A. Za barem jedan od tih skupova, po konstrukciji važi da {O λ } λ Λ ne sadrži konačan potpokrivač tog skupa. Neka je [a 3, b 3 ] izabran tako da je [a 3, b 3 ] = [a 2, (a 2 +b 2 )/2] ako {O λ } λ Λ, pokrivač skupa [a 2, (a 2 + b 2 )/2] A ne sadrži konačan potpokrivač tog skupa, odnosno [a 3, b 3 ] = [(a 2 + b 2 )/2, b 2 ] u suprotnom slučaju. Nastavljajući postupak, dobija se niz zatvorenih intervala {[a n, b n ]} n N na koji se može primeniti Kantorov princip. Neka je α n N [a n, b n ]. Neka je U(α) proizvoljna okolina tačke α i ε > 0 izabran tako da je (α ε, α + ε) U(α). Po konstrukciji, dužine intervala [a n, b n ], n N, teže ka nuli, odnosno, postoji n 0 n N takav da je [a n0, b n0 ] (α ε, α + ε). Pošto se u intervalu [a n0, b n0 ] nalazi beskonačno mnogo elemenata skupa A, sledi da je α tačka nagomilavanja skupa A, a kako je A zatvoren skup, važi α A. Po definiciji pokrivača, postoji λ 0 Λ tako da je α O λ0. Skup O λ0 je otvoren skup, pa postoji ε 0 > 0 takav da je (α ε 0, α + ε 0 ) O λ0. Za tako odabran broj ε 0 > 0 postoji m N tako da je [a m, b m ] (α ε 0, α + ε 0 ) O λ0. To znači da postoji konačan pokrivač skupa [a m, b m ] A, što je u kontradikciji sa konstrukcijom niza zatvorenih intervala {[a n, b n ]} n N. Dakle, skup A ima Hajne Borelovo svojstvo. (4) (1) Neka skup A ima Hajne Borelovo svojstvo. Ako je skup A konačan, onda (1) trivijalno važi, pa stoga pretpostavljamo da je A beskonačan. Dokazaćemo svojstvo (2) iz kojeg sledi (1). Pretpostavimo da je S beskonačan podskup skupa A koji nema tačku nagomilavanja u skupu A. To znači da za svaki element a A \ S postoji okolina O a za koju važi O a S =. Takod e, ako s S, onda s nije tačka nagomilavanja skupa S, jer je S A, pa postoji okolina O s S = {s}. Kako je A ( a A\S O a ) ( s S O s ), iz pokrivača koji se sastoji od skupova O a, a A \ S i O s, s S, se ne može izdvojiti konačan potpokrivač, što je u kontradikciji sa pretpostavkom da skup A ima Hajne- Borelovo svojstvo. (4) (5) Neka je {F λ } λ Λ kolekcija zatvorenih podskupova skupa A koja ima svojstvo konačnog preseka. Napominjemo da se svi skupovi posmatraju u topološkom prostoru (A, O A ), potprostoru prostora (R, O uob ). To znači da je, na primer A otvoren skup u (A, O A ), iako je on zatvoren skup u (R, O uob ). Pretpostavimo da je λ Λ F λ =. Tada je A = A \ ( λ Λ F λ ) = λ Λ (A \ F λ ). 7
8 Dakle, {A \ F λ λ Λ} je otvoreni pokrivač skupa A, pa postoji konačan skup indeksa λ k, k = 1, 2,..., n tako da je A 1 k n (A \ F λk ). Odavde sledi 1 k n F λk =, što je u kontradikciji sa pretpostavkom da {F λ } λ Λ ima svojstvo konačnog preseka. (5) (4) Neka je {O λ } λ Λ otvoreni pokrivač skupa A. Dakle, A λ Λ O λ odakle sledi λ Λ (A \ O λ ) =. Pošto su skupovi A \ O λ zatvoreni (u topološkom prostoru (A, O A )), sledi da postoji konačno mnogo indeksa = 1, 2,..., n tako da je 1 k n (A \ O λk ) =, jer bi u suprotnom familija {A \ O λ λ Λ} imala svojstvo konačnog preseka, pa bi bilo λ Λ (A \ O λ ). Dakle, A \ 1 k n O λk =, odnosno A 1 k n O λk, pa skup A ima Hajne Borelovo svojstvo čime je teorema dokazaa. Čitaocu za vežbu ostavljamo da, koristeći Hajne Borelovo svojstvo, dokaže da su zatvoreni intervali kompaktni skupovi u prostoru (R, O uob ). 8
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραMetrički prostori i Riman-Stiltjesov integral
Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Dragan S. Djordjević Niš, 2009. 0 Sadržaj Predgovor 3 1 Metrički prostori 5 1.1 Primeri metričkih prostora................. 5 1.2 Konvergencija nizova i osobine
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα2. Konvergencija nizova
6 2. KONVERGENCIJA NIZOVA 2. Konvergencija nizova Niz u skupu X je svaka funkcija x : N X. Vrijednost x(k), k N, se zove opći ili k-ti član niza i obično se označava s x k. U skladu s tim, niz x : N X
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo
1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo 1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo U predavanju se osvrćemo na osnovne principe kombinatorike i njihovu primenu na rešavanje elementarnih kombinatornih problema.
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραОво дело је заштићено лиценцом Креативне заједнице Ауторство некомерцијално без прерадa 1.
Ово дело је заштићено лиценцом Креативне заједнице Ауторство некомерцијално без прерадa 1. This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4. International License.
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011).
DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU dr. Dženis F. Pučić TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011). Predgovor prvom izdanju Ova skripta nastala su kao rezultat potrebe da se studentima
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost
Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ
Διαβάστε περισσότεραMur Smitova konvergencija
Master rad Mur Smitova konvergencija Autor: Jovana Obradović Mentor: prof. dr Miloš Kurilić Novi Sad, 2012. Sadržaj Predgovor................................ i 1 Uvod 1 1.1 Osnovne oznake i rezultati....................
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραZadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014.
Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014. Zadaća nosi 5 bodova. Sve tvrdnje u zadacima obrazložiti! Renato Babojelić 31 Lea Božić 13 Ana Bulić 7 Jelena Crnjac 5 Bernarda Dragin 19 Gabriela Grdić
Διαβάστε περισσότεραNermin Okičić Vedad Pašić. Metrički prostori
Å Ì Å ÌÁÃ Nermin Okičić Vedad Pašić Metrički prostori 2016 Å Ì Å ÌÁÃ Sadržaj 1 Metrički prostori 1 1.1 Metrika i osobine......................... 2 1.2 Konvergencija u metričkim prostorima.............
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότεραTeorema Kantor - Bendiksona i njene primene
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Anika Njamcul Teorema Kantor - Bendiksona i njene primene Master rad Mentor: dr. Aleksandar Pavlović Novi Sad,
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOn predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.
Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότερα1. Topologija na euklidskom prostoru R n
1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότερα3.1. Granične vrednosti funkcija
98 3. FUNKCIJE: GRANIČNE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST 3.1. Granične vrednosti funkcija 3.1.1. Definicija i osnovne osobine Da bismo motivisali definiciju granične vrednosti funkcija, dajemo dva primera. Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραDimenzija vektorskog prostora
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Marija Delić Dimenzija vektorskog prostora -master rad- Mentor: Akademik Prof. dr Stevan Pilipović Novi Sad,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότεραUvod. Aksiome polja realnih brojeva. Supremum skupa.
АНАЛИЗА I припрема испита Оно што следи представља белешке које сам правио непосредно пред полагање усменог дела испита (јул, 2002. године). Због тога нису потпуне, и може понешто бити нетачно, или пропуштено.
Διαβάστε περισσότεραLinearna uređenja i GO prostori
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Milijana Milovanović Linearna uređenja i GO prostori -Master rad- Mentor: dr Aleksandar Pavlović Novi Sad, 2015.
Διαβάστε περισσότεραSkupovi, relacije, funkcije
Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραSpektralna teorija ograničenih linearnih operatora
Univerzitet u Nišu Prirodno matematički fakultet Departman za matematiku Spektralna teorija ograničenih linearnih operatora Mentor prof. Dragana Cvetković Ilić Niš, oktobar 2013. Student Maja Ţivković
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραNepokretna tačka za kontraktivna preslikavanja lokalnog tipa u tački
Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Nepokretna tačka za kontraktivna preslikavanja lokalnog tipa u tački Master rad Mentor: Prof.dr Dejan Ilić Student: Sanja Randelović
Διαβάστε περισσότεραPrsteni neprekidnih funkcija
0 Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Prsteni neprekidnih funkcija Master rad Student: Damjan Kocić Mentor: Prof. dr Vladimir Pavlović Niš, Oktobar 2013. Sadržaj
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα1. Nizovi - definicija i osnovni pojmovi
. Nizovi - definicija i osnovni pojmovi Definicija i osnovni pojmovi Definicija... Svako preslikavanje a : N R, skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva, nazivamo realnim nizom. Broj koji se ovim
Διαβάστε περισσότεραAksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.
Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki
Διαβάστε περισσότεραRelacije poretka ure denja
Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραU raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije.
Šta je to relacija? U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije. Na primer, često se javlja potreba da se izvesni objekti uporede
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότερα1. Dušan Adnad ević i Zoran Kadelburg, Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, 1990.
PREDGOVOR Predavanja su namenjena studentima koji polažu ispit iz predmeta Matematička analiza. Materijal je u nastajanju, iz nedelje u nedelju se dodaju novi sadržaji, moguće su i izmene u prethodno unešenom
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότεραNorme vektora i matrica
2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραKardinalni brojevi i Lebegova mera
Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu, Srbija http://wwwpmfniacyu/mii Matematika i informatika 1 (1-2) (2008), 41-50 Kardinalni brojevi i Lebegova mera Dragan S Dor dević U ovom radu prikazujemo
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Predstavljanje funkcija
Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIƒKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU. Borelovi skupovi
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIƒKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nada Cvetkovi Borelovi skupovi -master rad- Mentor: prof. dr Milo² Kurili Novi Sad, 2014. Sadrºaj Predgovor................................
Διαβάστε περισσότεραR ω s uniformnom topologijom i aksiomi prebrojivosti
Opća topologija 116 Opća topologija 118 Drugi aksiom prebrojivosti 4 AKSIOMI SEPARACIJE I PREBROJIVOSTI Aksiomi prebrojivosti Aksiomi separacije Normalni prostori Urysonova lema Urysonov teorem o metrizaciji
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Topologije A
Zadaci iz Topologije A 1. Neka je X neprazan skup i Φ : P(X P(X funkcija za koju vaжi: (1 Φ( = ; (2 A Φ(A za sve A P(X; (3 Φ(A B = Φ(A Φ(B za sve A, B P(X; (4 Φ(Φ(A = Φ(A za sve A P(X. Dokazati da postoji
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet
Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo
FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Διαβάστε περισσότεραMatematička Analiza 3
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet MATEMATIČKI ODJEL Šime Ungar Matematička Analiza 3 Zagreb, 2002. Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet MATEMATIČKI ODJEL Šime
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραNeka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B
Διαβάστε περισσότερα10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku
10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku Definicija 20 Iskazni račun je deduktivni sistem H = X, F orm, Ax, R, gde je X = S {,, (, )}, gde S = {p 1, p 2,..., p n,... }, F orm je skup iskaznih
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematičke analize
Osnove matematičke analize prof.dr.sc. Nikola Koceić Bilan FPMOZ Sveučilište u Mostaru FPMOZ Sveučilište u Mostaru 1 / Sadržaj 1 Topološka i metrička struktura normiranog vektorskog prostora R n. Konvergencija
Διαβάστε περισσότεραMETRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI. Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974.
METRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI Šime Ungar http://www.mathos.unios.hr/~sime/ Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974. Š. Ungar. Matematička analiza 3, PMF-Matematički
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραTEORIJA REDOVA. n u k (n N) (2) k=1. u k. lim S n = S, kažemo da zbir (suma) reda. k=1 S = k=1
TEORIJA REDOVA NUMERIČKI REDOVI. OSNOVNI POJMOVI DEFINICIJA. Neka je {u n } n N realan niz. Izraz oblika k= u k = u + u 2 + + u n + () naziva se beskonačan red, ili kraće red. Broj u n naziva se opšti
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραTeorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.
Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je
Διαβάστε περισσότερα