VEKTORSKI PROSTORI 2
|
|
- בַּעַל־זְבוּל Νικολάκος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Odjel za matematiku Sveu ili²ta u Rijeci Ana Jurasi VEKTORSKI PROSTORI 2 Materijali s predavanja Rijeka, 2013.
2 Sadrºaj 1 Topolo²ki vektorski prostori Uvod Vektorski prostori Normirani prostori Topolo²ki prostori Topolo²ki vektorski prostori Linearna preslikavanja Kona nodimenzionalni prostori Metrizabilnost Cauchyjevi nizovi Omeženost i neprekidnost Omeženi skupovi Omeženi linearni operatori Polunorme i lokalna konveksnost Kvocijentni prostor i kvocijentna topologija Potpunost Baireov teorem Banach-Steinhausov teorem Teorem o otvorenom preslikavanju Teorem o zatvorenom grafu Bilinearna preslikavanja Konveksnost Hahn-Banachovi teoremi Slabe topologije Slaba topologija topolo²kog vektorskog prostora Slaba -topologija dualnog prostora Kompaktni konveksni skupovi
3 4 Dualnost u Banachovim prostorima Normirani dual normiranog prostora Drugi dual Banachovog prostora Ortogonalnost u Banachovim prostorima Duali podprostora i kvocijentnih prostora Adjungirani operatori Kompaktni operatori
4 Poglavlje 1 Topolo²ki vektorski prostori 1.1 Uvod Vektorski prostori Prisjetimo se najprije kako se denira struktura vektorskog prostora X = {x, y,...} nad poljem Φ = {α, β,...}. Za polje skalara Φ uzimat emo polje R realnih brojeva, odnosno polje C kompleksnih brojeva. Elemente polja Φ nazivamo sklarima. Vektorski prostor nad Φ je neprazan skup X, ije elemente zovemo vektorima i u kojem su, redom na sljede i na in i sa sljede im algebarskim svojstvima, denirane dvije operacije - zbrajanje i mnoºenje skalarima: Svakom paru vektora x i y pridruºuje se vektor x + y (dakle, + : X X X, (x, y) x + y), tako da je x + y = y + x, x + (y + z) = (x + y) + z, postoji jedinstven vektor 0 X (nul-vektor) takav da je x + 0 = x, za svaki x X i za svaki x X postoji jedninstven vektor x X takav da je x + ( x) = 0. Svakom paru (α, x), gdje je α Φ i x X, pridruºuje se vektor α x (pi²emo αx) (dakle, imamo preslikavanje Φ X X, (α, x) αx), tako da je 1x = x, (posjedovanje jedinice) α(βx) = (αβ)x (kvaziasocijativnost) 4
5 i tako da vrijede sljede a dva zakona distributivnosti gdje su x, y X i α, β Φ. α(x + y) = αx + αy, (α + β)x = αx + βx, Vidimo da je u odnosu na zbrajanje vektorski prostor X komutativna grupa s neutralnim elementom 0. Oznaka 0 koristit e se i za neutralni element za zbrajanje u polju skalara. Realni vektorski prostor je onaj za koji je Φ = R, a kompleksni vektorski prostor onaj za koji je Φ = C. Ne navedemo li posebno polje skalara, podrazumijevat emo ova dva slu aja. Za vektorski prostor X, A, B X, x X i λ Φ, deniramo skupove: x + A := {x + a a A}, x A := {x a a A}, A + B := {a + b a A, b B}, λa := {λa a A}. Napomenimo da se moºe dogoditi da je 2A A + A. Neprazan skup Y X zove se potprostor od X (u oznaci Y < X) ako je Y takožer vektorski prostor (u odnosu na iste operacije, nad istim poljem skalara). Lako se moºe provjeriti da je to slu aj ako i samo ako je 0 Y i αy + βy Y, za sve α, β Φ. Trivijalni potprostor vektorskog prostora X je {0}. Skup C X nazivamo konveksnim ako je tc + (1 t)c C, gdje je 0 t 1. Dakle, C sadrºi tx + (1 t)y, za svaki x, y C. Skup B X je balansiran ako je αb B, za svaki α Φ takav da je α 1. Netrivijalni vektorski prostor X ima dimenziju n (dim X = n) ako X ima bazu {u 1,..., u n }. To zna i da svaki x X ima jedinstven prikaz oblika x = α 1 u α n u n, gdje su α i Φ za i = 1,..., n. Ako je dim X < +, kaºemo da je X kona nodimenzionalan, ina e je beskona nodimenzionalan. Za X = {0}, po deniciji uzimamo dim X = 0. Navedimo nekoliko primjera. 5
6 Neka je Φ n, gdje je n N, skup svih ureženih n-torki s koordinatama iz Φ. Tada je Φ n vektorski prostor nad Φ dimenzije n, uz uobi ajene operacije s ureženim n-torkama. Neka je Φ[x] skup svih polinoma u varijabli x, s koecijentima iz Φ. Tada je Φ[x] vektorski prostor nad Φ (uz uobi ajene operacije s polinomima) i dim Φ[x] = Normirani prostori Vektorski prostor X nazivamo normiranim prostorom ako je svakom x X pridruºen nenegativan realan broj x, koji nazivamo norma od x, na sljede i na in: x + y x + y, za sve x, y X, αx = α x, ako je x X i α je skalar, x > 0, ako je x 0. Primijetimo da iz ove tri to ke slijedi da je x = 0 x = 0. Termin norma koristimo i za funkciju x x sa vektorskog prostora X u skup R. Navedimo nekoliko primjera: Na vektorskom prostoru Φ n deniramo dvije norme na sljede i na- in. Sa x 1 = n i=1 x i i sa x = max{ x 1,..., x n }, gdje je x = (x 1,..., x n ) Φ n. Na vektorskom prostoru C([a, b]) = {f f : [a, b] Φ neprekidna na [a, b]}, uz standardne operacije zbrajanja funkcija i mnoºenja funkcija skalarima, deniramo dvije norme na sljede i na in. Sa f 1 = b f(t) dt a i sa f = max{ f(t) t [a, b]}. Svaki normirani prostor moºe se smatrati metri kim prostorom, u kojem je udaljenost d(x, y) izmežu x i y dana sa x y. Vaºna svojstva metri ke funkcije (metrike) d dana su sa: 0 d(x, y) <, za sve x, y X, d(x, y) = 0 ako i samo ako je x = y, d(x, y) = d(y, x), za sve x, y X, d(x, z) d(x, y) + d(y, z), za sve x, y, z X. 6
7 Navedimo neke poznate metri ke prostore: U R n moºemo uvesti euklidsku metriku ili metriku za p 1, ili metriku ( n ) 1 d 2 (x, y) = (x i y i ) 2 2 i=1 ( n ) 1 d p (x, y) = (x i y i ) p p, i=1 d (x, y) = max 1 i n x i y i, za sve x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n. Dakle, na istom se skupu mogu zadati razli ite metrike. Na vektorskom prostoru C([a, b]) metriku moºemo uvesti formulom d(f, g) = max a t b f(t) g(t) ili pak sa tzv. kvadratnom metrikom d(f, g) = ( b a f(t) g(t) 2 dt) 1 2, gdje su f, g C([a, b]). U metri kom prostoru X, otvorena kugla sa sredi²tem x X i radijusom r > 0 (r R) je skup B r (x) = {y X d(x, y) < r}, a zatvorena kugla je skup B r (x) = {y X d(x, y) r}. Posebno, ako je r = 1, govorimo o otvorenoj ili zatvorenoj jedini noj kugli Topolo²ki prostori Pojam metri kog prostora moºe se dalje poop iti do pojma topolo²kog prostora. Navedimo nekoliko vaºnijih pojmova. Podskup metri kog prostora X je otvoren ako i samo ako je (mogu e prazna) unija otvorenih kugli. Dakle, prazan skup takožer smatramo otvorenim. Preciznije, skup P X je otvoren ako za svaki x P postoji otvorena kugla B r (x) takva da je B r (x) P. Familija svih otvorenih skupova metri kog prostora X je topolo²ka struktura ili topologija na X. Dakle, u svakom metri kom prostoru moºemo uvesti topologiju. Topolo²ki prostor je neprazan skup S u kojem je familija τ otvorenih skupova (podskupova od S) denirana sljede im svojstvima: 7
8 (T1) S je otvoren, (T2) je otvoren, (T3) presjek proizvoljna dva otvorena skupa je otvoren skup, (T4) unija proizvoljne familije otvorenih skupova je otvoren skup. Takva familija τ zove se topologija na S. Topolo²ki prostor koji odgovara topologiji τ ozna it emo s (S, τ). Navedimo nekoliko primjera: Neka je S = R i τ = {U R ( x U)( ε > 0) x ε, x + ε U}. Tada je (R, τ) topolo²ki prostor, koji nazivamo standardni jednodimenzionalni euklidski topolo²ki prostor. Neka je (X, d) metri ki prostor. Familija τ d = {U X ( x U)( ε > 0)B ε (x) U} je topologija na X koju nazivamo topologija inducirana metrikom d. Ako je topologija τ inducirana metrikom d, kaºemo da su d i τ mežusobno usklažene. Neka je X neprazan skup. Topologiju τ 0 = {, X} nazivamo indiskretna topologija, a topologiju τ X = P(X), familija svih podkupova skupa X, diskretna topologija. Uvedimo jo² neke nazive koje emo koristiti. Skup E S je zatvoren ako i samo ako je njegov komplement E C = S\E otvoren. Zatvara E od E je presjek svih zatvorenih skupova koji sadrºe E. To je najmanji zatvoreni skup iz S koji sadrºi E. Unutra²njost (interior) E od E je unija svih otvorenih skupova koji su podskupovi od E. To je najve i otvoreni skup iz S koji je sadrºan u E. Okolina to ke p S je svaki otvoreni skup koji sadrºi p. Navedimo da to ka p pripada E ako i samo ako svaka okolina od p presijeca E. (S, τ) je Hausdorov prostor, a τ je Hausdorova topologija, ako razli ite to ke iz S imaju disjunkstne okoline. Dakle, za svake p, q S, takve da je p q, postoje U, V τ takvi da je p U, q V i U V =. Niz {x n } u Hausdorovom prostoru S konvergira to ki x S (odnosno lim n x n = x) ako svaka okolina od x sadrºi sve osim kona no mnogo to aka x n. 8
9 Skup K S je kompaktan ako svaki otvoreni pokriva 1 od K ima kona an podpokriva. Familija τ τ je baza topologije τ ako je svaki lan od τ unija elemenata iz τ. Familija γ okolina to ke p S je lokalna baza u p ako svaka okolina od p sadrºi lana od γ. Ako je Y S i σ = {Y U U τ}, tada je σ topologija na Y, ²to je lako provjeriti. Kaºemo da je to topologija koju Y naslježuje od S. 1.2 Topolo²ki vektorski prostori Topolo²ki vektorski prostor (ili linearni topolo²ki prostor) jedna je od osnovnih struktura koje se prou avaju u funkcionalnoj analizi 2. Kao ²to samo ime navodi, ovi su prostori spoj topolo²ke strukture i algebarskog koncepta vektorskog prostora. Banachovi prostori Banachov prostor je normirani prostor koji je potpun u metrici deniranoj njezinom normom. To zna i da svaki Cauchyev niz 3 elemenata tog prostora konvergira u tom prostoru. Mnogi poznati funkcijski prostori su Banachovi prostori. Spomenimo ih nekoliko: Skup c svih konvergentnih nizova realnih brojeva na kojem je norma uvedena sa x = sup n N x n, gdje je x = {x n } niz iz c. Hilbertovi prostori. To su potpuni unitarni prostori 4. Prostori C([a, b]) gdje je x = max{ x(t) t [a, b]}, za x C([a, b]). 1 Familiju U podskupova metri kog prostora X nazivamo pokriva skupa K X ako je K A U A. Kaºemo da je pokriva U od K otvoren ako su svi lanovi A U otvoreni skupovi. Podpokriva nekog pokriva a skupa K je podskup tog pokriva a koji i dalje pokriva K. 2 Funkcionalna analiza je grana matemati ke analize, koja se bavi prou avanjem vektorskih prostora (na kojima je denirana norma, topologija itd.) i linearnim preslikavanjima na tim prostorima. 3 Niz {x n }, gdje je n N, normiranog prostora X naziva se Cauchyev niz ako za svaki ε > 0 postoji N N takav da za p, q N vrijedi x p x q ε. 4 Vektorski prostor X je unitarni prostor, ako je svakom ureženom paru vektora (x, y), gdje su x, y X, jednozna no pridruºen njihov skalarni produkt x, y Φ, uz uvjet da vrijede aksiomi skalarnog produkta. Norma od x X je tada denirana sa x = x, x pa je svaki Hilbertov prostor Banachov prostor s obzirom na normu generiranu skalarnim produktom. 9
10 O nekima od ovih prostora biti e rije i u nastavku. Svi normirani vektorski prostori, pa time i svi Banachovi prostori, su topolo²ki vektorski prostori. No, postoje i vaºni prostori, poput ovih navedenih u nastavku, koji imaju svoje prirodne topologije koje se ne mogu uvesti pomo u norme. To su, kao i normirani prostori, primjeri topolo²kih vektorskih prostora. Na primjer: Prostor C(Ω) svih neprekidnih kompleksnih funkcija na nekom otvorenom skupu Ω u euklidskom prostoru R n. Prostor H(Ω) svih holomorfnih funkcija 5 na nekom otvorenom skupu Ω kompleksne ravnine. Denicija topolo²kog vektorskog prostora Neka je τ topologija na vektorskom prostoru X. Neka vrijedi: (a) za svaku to ku x X, skup {x} je zatvoren skup, (b) operacije zbrajanja vektora i mnoºenja vektora skalarom neprekidne su u topologiji τ. Uz te uvjete, τ zovemo vektorskom topologijom na X, a X topolo²kim vektorskim prostorom. U mnogim tekstovima uvjet (a) je izostavljen iz denicije topolo²kog vektorskog prostora, jer je zadovoljen u gotovo svakoj primjeni. Vidjet emo (Teorem ) da uvjeti (a) i (b) zajedno povla e da je τ Hausdorova topologija. Neka su X i Y toplo²ki prostori i f : X Y preslikavanje. Kaºemo da je preslikavanje f neprekidno u to ki x 0 X ako za svaku okolinu V to ke f(x 0 ) u Y postoji okolina U to ke x 0 u X takva da je f(u) V. Preslikavanje f neprekidno je na skupu A X ako je f neprekidno u svakoj to ki skupa A. Pretpostavka da je zbrajanje vektora neprekidno zna i da je preslikavanje (x, y) x + y kartezijevog produkta X X u X neprekidno, odnosno da ako su x i X za i = 1, 2 i ako je V okolina od x 1 + x 2, tada moraju postojati okoline 6 V i od x i takve da je V 1 + V 2 V. 5 Za funkciju f : Ω C kaºemo da je holomorfna ako je derivabilna i derivacija f je neprekidna na Ω. Za funkciju f kaºemo da je holomorfna u to ki z 0 ako postoji okolina to ke z 0 na kojoj je f holomorfna. 6 Postoji okolina ureženog para (x 1, x 2 ), oblika V 1 V 2 (element produktne topologije), koju navedena funkcija zbrajanja vektora preslikava u V 1 + V 2. 10
11 Sli no, pretpostavka da je mnoºenje skalarima neprekidno zna i da je preslikavanje (α, x) αx od Φ X u X neprekidno, odnosno da ako je x X, α skalar i V okolina od αx, tada postoji r > 0 i okolina 7 W od x tako da vrijedi βw V uvijek kada je β α < r. Za podskup E topolo²kog vektorskog prostora kaºemo da je omežen ako za svaku okolinu V od 0 u X postoji broj s > 0 takav da je E tv za svaki t > s. Invarijante Neka je X topolo²ki vektorski prostor. Za svaki a X i za svaki skalar λ 0 deniramo operator translacije T a i operator mnoºenja skalarom M λ formulama gdje je x X. T a (x) = a + x, M λ (x) = λx, Propozicija Operatori T a i M λ su homeomorzmi 8 sa X na X. Aksiomi vektorskog prostora, kako slijedi u dokazu, povla e da su T a i M λ neprekidne bijekcije sa X na X te da su njihovi inverzi T a i M 1, redom, λ neprekidna preslikavanja. Zatvorenost za zbrajanje i mnoºenje skalarom povla i da su T a (x), M λ (x) X. Neka je x X takav da je T a (x) = x. Dakle, a + x = x pa je x = x a. Kako je a X slijedi da je x X pa smo dokazali surjektivnost od T a. Ako je T a (x) = T a (y), tada je a + x = a + y pa je x = y i vrijedi injektivnost. Time smo dokazali da je T a bijekcija. Sli no se dokazuje i da je M λ bijekcija. Pretpostavka neprekidnosti operacija vektorskog prostora povla i da su preslikavanja T a, T a, M λ i M 1 neprekidna. λ Jedna od posljedica Propozicije je da je svaka vektorska topologija τ invarijantna na translacije (invarijantna je i na mnoºenje skalarom). To zna i da je skup E X otvoren ako i samo ako je a+e otvoren skup, za svaki a X. Dakle, τ je u potpunosti odrežena proizvoljnom lokalnom bazom. 7 Postoji okolina ureženog para (α, x), oblika W W (element produktne topologije), gdje je W = {β Φ β α < r}. Navedena funkcija mnoºenja skalarima preslikava W W u βw za svaki β W. 8 Kaºemo da je preslikavanje f homeomorzam ako je f neprekidna bijekcija ije je inverzno preslikavanje takožer neprekidno. 11
12 Obi no za lokalnu bazu uzimamo bazu okolina to ke 0. Dakle, lokalna baza topolo²kog vektorskog prostora X je familija B okolina od 0 takvih da svaka okolina od 0 sadrºi lana od B. Otvoreni skupovi u X time su svi oni koji su unije translata elemenata od B. Baza topologije τ je skup B τ = {x + V x X, V B}. Primijetimo jo² da je A + B, gdje su A, B X, unija translata x + B od B, gdje je x A. Kaºemo da je metrika d na vektorskom prostoru X invarijantna ako je za sve x, y, z X. d(x + z, y + z) = d(x, y), Tipovi topolo²kih vektorskih prostora Normirane i Banachove prostore ve smo denirali, a sada emo navesti jo² neke tipove topolo²kih vektorskih prostora. Neka je X topolo²ki vektorski prostor s topologijom τ. (a) X je lokalno konveksan ako postoji lokalna baza B koja se sastoji od konveksnih skupova. (b) X je lokalno omežen ako 0 ima omeženu okolinu. (c) X je lokalno kompaktan ako 0 ima okolinu iji je zatvara kompaktan. (d) X je metrizabilan ako postoji metrika d na X takva da su τ i d usklažene. (e) X je normabilan ako na X postoji norma takva da je metrika inducirana tom normom usklažena s topologijom τ. (f) X ima Heine-Borelovo svojstvo ako je svaki zatvoren i omežen podskup od X kompaktan. Navedimo neke odnose mežu spomenutim svojstvima topolo²kog vektorskog prostora X. Ve inu emo dokazati - na vjeºbama ili predavanjima. (a) Ako je X lokalno omežen, tada X ima prebrojivu lokalnu bazu (vjeºbe). (b) X je metrizabilan ako i samo ako X ima prebrojivu lokalnu bazu (teorem o metrizabilnosti). 12
13 (c) X je normabilan ako i samo ako je X lokalno konveksan i lokalno omežen. (d) X je kona nodimenzionalan ako i samo ako je X lokalno kompaktan (vjeºbe). (e) Ako lokalno omeženi prostor X ima Heine-Borelovo svojstvo, tada je X kona nodimenzionalan. Prostor H(Ω) je beskona nodimenzionalan i ima Heine-Borelovo svojstvo. Dakle, iz (e) slijedi da nije lokalno omežen pa zatim iz (c) da nije normabilan. Takožer, to je kontraprimjer za obrat tvrdnje (a). Sljede i teorem biti e dokazan na vjeºbama. Teorem Neka su K i C podskupovi topolo²kog vektorskog prostora X, K je kompaktan, C je zatvoren i K C =. Tada 0 ima okolinu V takvu da je (K + V ) (C + V ) =. Primijetimo da je K +V unija translata x+v od V, gdje je x K. Dakle, K +V je otvoren skup koji sadrºi K. Isto vrijedi i za C +V pa teorem povla i postojanje disjunktnih otvorenih skupova koji sadrºe K i C, redom. Kako je C + V otvoren, to niti zatvara od K + V ne sije e C + V. Posebno, zatvara od K + V ne sije e C. Uzmemo li da je K = {0}, dobivamo sljede i vaºan slu aj prethodnog teorema. Teorem Ako je B lokalna baza topolo²kog vektorskog prostora X, tada svaki lan od B sadrºi zatvara nekog elementa od B. Promotrimo Teorem (i komentare nakon tog teorema) i uzmimo da je K = {0}. Sada je K + V = V. Zatim, V C = pa je V C C τ i C C sadrºi 0. Koriste i injenicu da je za svaki x X skup {x} zatvoren skup i primjenjuju i Teorem na K = {x} i C = {y}, gdje su x, y X i x y, zaklju ujemo da te to ke imaju disjunktne okoline ({x} + V = x + V je okolina od x, a analogno imamo i za y). Dakle, vrijedi sljede i teorem. Teorem Svaki topolo²ki vektorski prostor je Hausdorov prostor. 13
14 Na vjeºbama ete dokazati neka svojstva zatvara a i unutra²njosti u topolo²kom vektorskom prostoru. Spomenimo jo² sljede e. Lokalna baza B je balansirana ako su njezini elementi balansirani skupovi te je konveksna ako su njezini elementi konveksni skupovi. Na vjeºbama ete dokazati da vrijedi tvrdnja da svaki topolo²ki vektorski prostor ima balansiranu lokalnu bazu. 1.3 Linearna preslikavanja Neka su X i Y vektorski prostori nad istim skalarnim poljem. Proizvoljnu funkciju (preslikavanje) Λ : X Y nazivamo operator. Kaºemo da je operator Λ : X Y linearan 9 ako je Λ(αx + βy) = αλ(x) + βλ(y), za sve x, y X i za sve skalare α i β. Na primjer, operatori mnoºenja skalarom M λ su linearni, ali operatori translacije T a nisu, osim za a = 0. Linearni operator sa X u Φ 10 nazivamo linearnim funkcionalom, dok svaku funkciju sa X u Φ nazivamo funkcionalom. Navest emo neka svojstva linearnih operatora Λ : X Y, koja se vrlo jednostavno dokazuju. Pretpostavimo da je A X i B Y. (a) Λ(0) = 0. (b) Ako je A podprostor od X (ili konveksan skup ili balansiran skup), isto vrijedi i za Λ(A), gdje je Λ(A) = {Λ(x) Y x A} slika od A. (c) Ako je B podprostor od Y (ili konveksan skup ili balansiran skup), isto vrijedi i za Λ 1 (B), gdje je Λ 1 (B) = {x X Λ(x) B} inverzna slika od B. (d) Skup Λ 1 ({0}) = {x X Λ(x) = 0} = N(Λ) je podprostor od X, koji nazivamo null prostor od Λ ili jezgra operatora Λ. Pozabavimo se sada neprekidno² u linearnih preslikavanja. 9 ƒesto za linearni operator Λ umjesto Λ(x) pi²emo Λx. 10 Polje Φ je vektorski prostor nad samim sobom. 14
15 Teorem Neka su X i Y topolo²ki vektorski prostori. Ako je linearni operator Λ : X Y neprekidan u 0, tada je Λ neprekidan. Posebno, Λ je uniformno neprekidan u sljede em smislu: za svaku okolinu W od 0 u Y, postoji okolina V od 0 u X tako da vrijedi y x V Λ(y) Λ(x) W. Kada smo odabrali W, neprekidnost od Λ u 0 povla i da je Λ(V ) W, za neku okolinu V od 0. Ako je y x V, linearnost od Λ povla i da je Λ(y) Λ(x) = Λ(y x) W. Dakle, Λ preslikava okolinu x + V od x u prethodno dodijeljenu okolinu Λ(x) + W od Λ(x), ²to zna i da je Λ neprekidno preslikavanje u x. Teorem Neka je Λ linearni funkcional na topolo²kom vektorskom prostoru X. Neka je Λ(x) 0 za neki x X. Tada su sljede e tvrdnje ekvivalentne: (a) Λ je neprekidno preslikavanje. (b) Null prostor N(Λ) je zatvoren skup. (c) N(Λ) nije gust u X. (d) Λ je omeženo preslikavanje u nekoj okolini V od 0. Kako je N(Λ) = Λ 1 ({0}) i {0} je zatvoren podskup skalarnog polja Φ, slijedi 11 da (a) povla i (b). Kako x / N(Λ), to je N(Λ) X. Ako je N(Λ) zatvoren skup, tada je N(Λ) = N(Λ) X pa (b) povla i 12 (c). Pretpostavimo da vrijedi (c). Dakle, N(Λ) X pa je N(Λ) C, odnosno postoji x N(Λ) C. Na vjeºbama ste dokazali da svaka okolina od 0 sadrºi balansiranu okolinu od 0 pa je sada (x + V ) N(Λ) =, (1.1) za neku balansiranu okolinu V od 0. Kako je skup V balansiran, to je Λ(V ) balansiran skup u Φ. Dakle, ili je Λ(V ) omežen u Φ, pa vrijedi (d), ili je 11 U sklopu kolegija Metri ki prostori, dokazali ste da za neprekidno preslikavanje f : X Y, gdje su X i Y topolo²ki prostori, vrijedi da je za svaki zatvoren skup F u Y, skup f 1 (F ) zatvoren u X. Analogno vrijedi i za otvorene skupove. 12 Skup S u topolo²kom prostoru X je gust u X ako je S = X. 15
16 Λ(V ) = Φ. U tom slu aju, postoji y V takav da je Λ(y) = Λ(x) pa je x + y N(Λ), ²to je u kontradikciji s (1.1). Dakle, (c) povla i (d). Kona no, ako vrijedi (d), tada je Λ(x) < M za sve x V i za neki M <. Ako je r > 0 i ako je W := (r/m)v, tada je Λ(x) < r, za svaki x W. Dakle, Λ(W ) B r (0) u Φ pa je Λ je neprekidno u 0. Iz Teorema sada slijedi (a). 1.4 Kona nodimenzionalni prostori Mežu najjednostavnijim Banachovim prostorima svakako su R n i C n, n- dimenzionalni vektorski prostori nad poljima R i C, redom. Za svaki z = (z 1, z 2,..., z n ), vektor u C n, gdje su z i C, mogu se uvesti norme z 2 = ( n z i 2) 1 2, z 1 = i=1 n z i, i=1 z = max{ z i i = 1,..., n}. Te tri norme induciraju razli ite metrike na C n (za n > 1), koje induciraju istu topologiju na C n. Vrijedi i vi²e od toga. Ako je X topolo²ki vektorski prostor nad C i dim X = n, tada je X izomorfan 13 sa C n. Moºe se pokazati da je i homeomorfan. To zna i da je topologija od C n jedina vektorska topologija koju jedan n-dimenzionalni kompleksni topolo²ki vektorski prostor moºe imati. Takožer se moºe pokazati da su kona nodimenzionalni potprostori kompleksnih topolo²kih vektorskih prostora uvijek zatvoreni. Sve to vrijedi i ako umjesto kompleksnih skalara uzmemo realne. 1.5 Metrizabilnost Topologija τ na skupu X je metrizabilna ako postoji metrika d na X koja je usklažena s τ. Tada kugle radijusa 1, gdje je n N, sa sredi²tem u x ine n lokalnu bazu u x. 13 Dakle, postoji bijektivno linearno preslikavanje sa X u C. 16
17 Teorem (Teorem o metrizabilnosti) Neka je X topolo²ki vektorski prostor s prebrojivom lokalnom bazom. Tada postoji metrika d na X takva da: (a) d je usklažena s topologijom τ na X, (b) otvorene kugle u metrici d sa sredi²tem u 0 su balansirani skupovi, (c) d je invarijantna metrika na X. Ako je X lokalno konveksan tada se d moºe odabrati tako da vrijedi i: (d) sve otvorene kugle su konveksni skupovi. Na vjeºbama ste dokazali da svaki topolo²ki vektorski prostor ima balansiranu lokalnu bazu i da za svaku okolinu U od 0 postoji okolina V od 0 za koju vrijedi V + V U. Dakle, X ima prebrojivu balansiranu lokalnu bazu {V n } takvu da je V n+1 + V n+1 V n, (1.2) za n = 1, 2, 3,... Ako je X lokalno konveksan, lokalna baza se moºe odabrati tako da je svaki V n i konveksan. Neka je D skup svih r = c n (r)2 n Q, (1.3) n=1 gdje su c n (r) {0, 1}, za svaki n, i samo kona no mnogo vrijednosti c n (r) je jednako 1. Tada za svaki r D vrijedi 0 r < 1. Denirajmo skup A(r) na sljede i na in. A(r) = X, ako je r 1. Za svaki r D deniramo Svaka od ovih suma je kona na. Denirajmo funkciju f : X Φ sa A(r) = c 1 (r)v 1 + c 2 (r)v (1.4) f(x) = inf{r x A(r)}, (1.5) gdje je x X. Denirajmo metriku d : X X Φ sa d(x, y) = f(x y), (1.6) 17
18 gdje su x, y X. Dokaz da d ima svojstva iz tvrdnji teorema slijedi iz inkluzije A(r) + A(s) A(r + s), (1.7) gdje su r, s D, koju emo dokazati indukcijom. Neka je P N tvrdnja: Ako je r + s < 1 i c n (r) = c n (s) = 0, za sve n > N, tada vrijedi (1.7). Dokaºimo da vrijedi P 1. Imamo c 1 (r) = 1, c 1 (s) = 0 ili c 1 (r) = 0, c 1 (s) = 1 ili c 1 (r) = c 1 (s) = 0 (mogu nost c 1 (r) = c 1 (s) = 1 otpada jer je tada r + s = 1). U prvom slu aju je A(r) = V 1, A(s) = {0}, r = 1 i s = 0 pa je 2 A(r) + A(s) = V 1 = A(r) = A(r + s). Za ostale slu ajeve moºemo provesti analogno razmatranje. Pretpostavimo da vrijedi P N 1 za neki N > 1. Odaberimo proizvoljne r, s D takve da je r + s < 1 i c n (r) = c n (s) = 0, za sve n > N. Denirajmo r i s sa r = r + c N (r)2 N, s = s + c N (s)2 N. Dakle, za n N 1 je c n (r) = c n (r ) i c n (s) = c n (s ) pa je A(r) = A(r ) + c N (r)v N, A(s) = A(s ) + c N (s)v N. Zbrojimo li prethodne dvije jednakosti, koriste i P N 1, dobivamo A(r) + A(s) A(r + s ) + c N (r)v N + c N (s)v N. (1.8) Ako je c N (r) = c N (s) = 0, tada je r = r i s = s pa dobivamo (1.7). Ako je c N (r) = 0 i c N (s) = 1, tada je desna strana u (1.8) jednaka A(r + s ) + V N = A(r + s ) + A(2 N ) = A(r + s + 2 N ). Kako je r = r i s = s + 2 N, to je jednako A(r + s). Slu aj c N (r) = 1 i c N (s) = 0 je analogan. Ako je pak c N (r) = c N (s) = 1, tada je desna strana u (1.8) jednaka A(r +s )+V N +V N A(r +s )+V N 1 = A(r +s )+A(2 N+1 ) A(r +s +2 N+1 ) = A(r+s), gdje posljednja inkluzija vrijedi zbog P N 1. Dakle, P N 1 povla i P N pa vrijedi (1.7). Pokaºimo sada kako tvrdnje teorema slijede iz (1.7). Kako svaki A(s) sadrºi 0, iz (1.7) slijedi A(r) A(r) + A(t r) A(r + t r) = A(t), (1.9) za r < t. Dakle, familija skupova {A(r) r D} je totalno urežena relacijom inkluzije. Dokaºimo sada da vrijedi f(x + y) f(x) + f(y), (1.10) 18
19 za sve x, y X. Pretpostavimo da je desna srana u (1.10) < 1. Fiksirajmo ε > 0. Tada postoje r, s D, takvi da je f(x) r < f(x) + ε 2, f(y) s < f(y) + ε, iz ega zbrajanjem dobivamo 2 r + s < f(x) + f(y) + ε. Kako x A(r), y A(s) i (1.7) povla i x + y A(r + s), sada slijedi (1.10) jer je f(x + y) r + s < f(x) + f(y) + ε i ε je bio proizvoljan. Uvjerimo se da je d metrika. Zbog (1.10), vrijedi d(x, z) = f(x z) = f(x y + y z) f(x y) + f(y z) = d(x, y) + d(y, z). Kako je svaki A(r) balansiran, imamo f( x) = inf{r D x A(r)} = inf{r D x A(r)} = f(x). Dakle, d(x, y) = f(x y) = f( (x y)) = d(y, x). Zatim, f(0) = inf{r D 0 A(r)} = 0 pa je d(x, x) = 0. Ako je x 0, kako je {V n } balansirana lokalna baza u 0, to postoji V n = A(2 n ) = A(r) takav da x / V n. Dakle, f(x) r = 2 n > 0 pa je f(x) = 0 ako i samo ako je x = 0. Dakle, Imamo d(x, y) = f(x y) = 0 x = y. d(x, y) = f(x y) 0. Zaklju ujemo da je d metrika. Osim toga, d je invarijantna metrika jer je d(x + z, y + z) = f(x + z (y + z)) = f(x y) = d(x, y). Otvorene kugle sa sredi²tem u 0 su otvoreni skupovi B δ (0) = {x X d(x, 0) < δ} = {x X f(x) < δ} = r<δ A(r). 19
20 Za svakii n N postoji δ > 0 takav da je δ < 2 n pa je A(r) A(δ) A(2 n ) = V n, a onda je i B δ (0) V n. Dakle, {B δ (0)} je lokalna baza topologije na X. Topologije generirane bazom B = {V n n N} i B = {B δ (0) δ > 0} su jednake pa smo dokazali (a). Kako je svaki A(r) balansiran, to je i svaki B δ (0) balansiran pa smo dokazali (b). Ako je svaki V n konveksan, to je i svaki A(r) pa iz (1.9) slijedi da to vrijedi i za svaki B δ (0) pa dakle i za svaki njegov translat. Time smo dokazali (d) Cauchyjevi nizovi Neka je d metrika na skupu X. Niz {x n } u X je Cauchyev niz ako za svaki ε > 0 postoji N N takav da je d(x m, x n ) < ε za svaki m, n > N. Ako svaki Cauchyev niz u X konvergira 14 ka to ki iz X, kaºemo da je d potpuna metrika na X. Neka je τ topologija topolo²kog vektorskog prostora X. Cauchyev niz moºemo denirati i bez pozivanja na metriku. Fiksiramo lokalnu bazu B za τ. Za niz {x n } u X kaºemo da je Cauchyev niz ako za svaki V B postoji N N takav da je x n x m V za svaki m, n > N. Pretpostavimo sada da je X topolo²ki vektorski prostor ija je topologija τ usklažena sa invarijantnom metrikom d. Nazovimo prethodno uvedena dva koncepta d-cauchyevi nizovi i τ-cauchyevi nizovi, redom. Kako je d invarijantna metrika, vrijedi d(x n, x m ) = d(x n x m, x m x m ) = d(x n x m, 0) i kako su d-otvorene kugle sa sredi²tem u 0 (kugle iz skupa {B r (0) r > 0}) lokalna baza za τ, zaklju ujemo: Niz {x n } u X je d-cauchyev niz ako i samo ako je {x n } τ-cauchyev niz. Svake dvije invarijantne metrike na X, koje su usklažene sa istom topologijom τ, imaju istu familiju Cauchyevih nizova i istu familiju konvergentnih nizova. Time je dokazan sljede i teorem. 14 Niz {x n } u topolo²kom prostoru X konvergira ka to ki x 0 X ako za svaku okolinu O to ke x 0 postoji N N takav da je x n O za svaki n N. 20
21 Teorem Neka su d 1 i d 2 invarijantne metrike na istom vektorskom prostoru X, koje induciraju istu topologiju na X, tada: (a) d 1 i d 2 imaju iste familije Cauchyevih nizova, (b) d 1 je potpuna ako i samo ako je d 2 potpuna metrika. Topolo²ki vektorski prostor X nazivamo 15 F -prostor ako je njegova topologija τ inducirana potpunom invarijantnom metrikom d, a Fréchetov prostor ako je X lokalno konveksan F -prostor. Prostor H(Ω) je beskona no dimenzionalan Fréchetov prostor sa Haine-Borelovim svojstvom. Sljede e su tvrdnje ponekad korisne. Teorem (a) Neka je d invarijantna metrika na vektorskom prostoru X. Tada vrijedi d(nx, 0) nd(x, 0), za svaki x X i za n = 1, 2,... (b) Neka je {x n } niz u metrizabilnom topolo²kom vektorskom prostoru X. Ako x n 0 kada n, tada postoji niz {γ n } pozitivnih skalara, takav da γ n i γ n x n 0 kada n. Koriste i nejednakost trokuta, dobivamo d(nx, 0) d(nx, (n 1)x) + d((n 1)x, 0) d(nx, (n 1)x) + d((n 1)x, (n 2)x) d(x, 0) = n d(kx, (k 1)x). k=1 Kako je d invarijantna metrika, to za svaki k vrijedi d(kx, (k 1)x) = d(kx (k 1)x, (k 1)x (k 1)x) = d(x, 0). Sada je d(nx, 0) n d(x, 0) = nd(x, 0). k=1 Time smo dokazali tvrdnju (a). Neka je d invarijantna metrika usklažena s topologijom na X. Kako x n 0, to d(x n, 0) 0 pa postoji rastu i niz {n k } prirodnih brojeva takav da je d(x n, 0) < 1 za n n k 2 k. Deniramo sada niz {γ n }, tako da je γ n = 1 15 Napomenimo da je ova terminologija u literaturi kori²tena i u ne²to druga ijem smislu. 21
22 za n < n 1, a γ n = k za n k n < n k+1. Za takav n, kori²tenjem tvrdnje (a), dobivamo d(γ n x n, 0) = d(kx n, 0) kd(x n, 0) < k 1 k 2 = 1 k. Dakle, γ n x n 0 kada n pa smo dokazali tvrdnju (b). 1.6 Omeženost i neprekidnost Omeženi skupovi Omežen skup u topolo²kom vektorskom prostoru X denirali smo ranije. Moºe se pokazati (vjeºbe) da su kompaktni skupovi omeženi. Kada je X metrizabilan, postoji jo² jedna defnicija omeženosti. Ako je d metrika na skupu X, kaºemo da je skup E X d-omežen (omežen u metrici d) ako postoji M (0 < M < ) takav da je d(x, y) M, za sve x, y E. Ako je X topolo²ki vektorski prostor, ija je topologija usklažena s metrikom d, omeženi skupovi i d-omeženi skupovi ne moraju biti isti, ak i ako je d invarijantna metrika. Na primjer, ako je d metrika denirana kao u Toeremu 1.5.1, tada je X d-omežen (i M = 1), ali niti jedan topolo²ki vektorski prostor ne moºe biti omežen, osim trivijalnog (X = {0}). Ako je X normiran prostor i d metrika inducirana normom, tada se dvije denicije omeženosti podudaraju. Ako pak d zamijenimo s d 1 = d, ²to je invarijantna metrika 1+d koja inducira istu topologiju, denicije se ne podudaraju. Dokaºimo tvrdnju: Cauchyevi nizovi su omeženi 16. Dakle 17, konvergentni nizovi su omeženi. Neka je {x n } Cauchyev niz u X. Postoje balansirane okoline V i W od 0, takve da je V + V W. Kako je niz {x n } Cauchyev, to za V postoji N N takav da je x n x N + V, za svaki n N. Uzmimo s > 1 takav da je x N sv (to moºemo jer je jedno lani skup uvijek omežen). Tada vrijedi x n sv + V sv + sv sw, (prva inkluzija vrijedi jer je V balansiran) za svaki n N. Skup {x 1,..., x N 1 } je kona an pa je omežen, odnosno postoji t > 0, takav da je {x 1,..., x N 1 } 16 Za niz realnih brojeva {a n } kaºemo da je omežen ako postoji M > 0 takav da za sve n N vrijedi a n M. Niz {x n } u topolo²kom prostoru je omežen ako je x n E, gdje je E omežen skup, za svaki n N. 17 U topolo²kom je prostoru svaki konvergentan niz Cauchyev. 22
23 tw. Neka je r := max{t, s}. Tada je x n rw, za svaki n N. Dakle, niz {x n } je omežen. Moºe se pokazati da je zatvara omeženog skupa omežen (vjeºbe). S druge strane, ako je x 0 i E = {nx n = 1, 2,...}, tada skup E nije omežen. Naime, postoji okolina V od 0 koja ne sadrºi x pa nx / nv. Dakle, E nv, za svaki n > 0, pa E nije omežen. Posljedica toga je da niti jedan potprostor od X, osim {0}, nije omežen. Naredni teorem karakterizira omeženost pomo u nizova. Teorem Sljede a dva svojstva skupa E u topolo²kom vektorskom prostoru su ekvivalentna: (a) E je omežen. (b) Ako je {x n } niz u E i {α n } je niz skalara takav da α n 0 kada n, tada α n x n 0 kada n. Neka je {x n } proizvoljan niz u E. Neka je E omežen. Neka je V balansirana okolina od 0 u X. Tada postoji s > 0 takav da za svaki t > s vrijedi E tv. Ako je {α n } niz skalara takav da α n 0, tada postoji N N takav da je α n < 1 za svaki n > N. Sada je t α n x n V. Kako je V je balansiran, slijedi da je α n x n V za svaki n > N. Dakle, α n x n 0. Dokaºimo sada obrat. Ako E nije omežen, tada postoji okolina V od 0 i niz skalara r n, takav da E r n V za svaki n. Odaberimo po jedan x n E, takav da x n / r n V. Tada 1 1 r n 0 i r n x n / V pa 1 r n x n 0. Dakle, dobili smo kontradikciju pa slijedi da je E omežen Omeženi linearni operatori Neka su X i Y toplo²ki vektorski prostori i Λ : X Y linearni operator. Kaºemo da je Λ omežen, ako preslikava omežene skupove u omežene skupove, odnosno ako je za svaki omežen skup E X i Λ(E) Y omežen u Y. Ova se denicija ne poklapa s uobi ajenom denicijom omežene funkcije (prema kojoj je funkcija omežena ako je njezin rang omežen skup). Teorem Neka su X i Y toplo²ki vektorski prostori i Λ : X Y linearni operator. Mežu naredna etiri svojstva od Λ vrijede implikacije (a) (b) (c). 23
24 Ako je X metrizabilan, tada vrijedi i (c) (d) (a), odnosno sva su etiri svojstva ekvivalentna. (a) Λ je neprekidan. (b) Λ je omežen. (c) Ako x n 0, tada je skup {Λ(x n ) n = 1, 2,...} omežen. (d) Ako x n 0, tada Λ(x n ) 0. Pretpostavimo da vrijedi (a). Neka je E omežen skup u X. Neka je W okolina od 0 u Y. Kako je Λ neprekidan i linearan (Λ(0) = 0), postoji V, okolina od 0 u X, takva da je Λ(V ) W. Kako je E omežen, to postoji s > 0 takav da je E tv, za svaki t > s. Dakle, Λ(E) Λ(tV ) = tλ(v ) tw pa je Λ(E) omežen skup u Y, odnosno vrijedi (b). Neka vrijedi (b) i neka x n 0. Kako su konvergentni nizovi omeženi, slijedi da je {x n } omežen. Sada iz (b) slijedi da je skup {Λ(x n ) n = 1, 2,...} omežen u Y. Dakle, slijedi (c). Pretpostavimo sada da je X metrizabilan. Neka vrijedi (c). Prema Teoremu 1.5.3, postoji niz {γ n } pozitivnih skalara, takav da γ n i γ n x n 0. Dakle, i skup {Λ(γ n x n )} je omežen skup u Y, prema (c). Prema Teoremu 1.6.1, imamo Λ(x n ) = γ 1 n Λ(γ n x n ) 0 kada n. Dakle, vrijedi (d). Pretpostavimo suprotno, da ne vrijedi (a), odnosno da Λ nije neprekidan. Tada, postoji okolina W od 0 u Y takva da ne postoji okolina V od 0 u X takva da je Λ(V ) W, odnosno Λ 1 (W ) ne sadrºi niti jednu okolinu od 0 u X. Kako je X metrizabilan, ima prebrojivu lokalnu bazu {V n }. Prema Teoremu 1.5.1, postoji niz {x n } takav da je x n V n i x n 0. No, Λ(x n ) / W, ²to je u kontradikciji s (d). Dakle, vrijedi (a). 24
25 1.7 Polunorme i lokalna konveksnost Polunorma na vektorskom prostoru X je funkcija p : X R, koja zadovoljava uvjete: (a) p(x + y) p(x) + p(y), (b) p(αx) = α p(x), za sve x, y X i za svaki α Φ. Svojstvo (a) nazivamo subaditivnost. Naredni teorem pokazat e da je polunorma norma ako vrijedi jo² i uvjet: (c) p(x) 0 za x 0. Familiju P polunormi na X nazivamo separiraju om ako za svaki x 0 postoji barem jedan p P takav da je p(x) 0. Promotrimo konveksan skup A X, koji je apsorbiraju i 18, u smislu da za svaki x X postoji t = t(x) > 0 takav da je x ta. Funkcional Minkovskog µ A od A deniramo sa µ A (x) = inf{t > 0 t 1 x A}, gdje je x X. Primijetimo da je µ A (x) < za svaki x X, jer je A apsorbiraju i. U nastavku emo pokazati da su polunorme na X upravo funkcionali Minkovskog na balansiranim konveksnim apsorbiraju im skupovima. Polunorme su usko povezane s lokalnom konveksno² u na dva na ina. U svakom lokalno konveksnom prostoru postoji separiraju a familija neprekidnih polunormi. Obratno, ako je P separiraju a familija polunormi na vektorskom prostoru X, tada se pomo u P moºe denirati lokalno konveksna topologija na X sa svojstvom da je svaka polunorma p P neprekidna. To je esto kori²teni na in uvoženja topologije (detalji e biti dani u narednim teoremima). Teorem Neka je p polunorma na vektorskom prostoru X. Tada vrijedi: (a) p(0) = 0, (b) p(x) p(y) p(x y), (c) p(x) 0, (d) {x X p(x) = 0} je potprostor od X, 18 Moºe se pokazati da je svaka okolina od 0 u topolo²kom vektorskom prostoru apsorbiraju a. Svaki apsorbiraju i skup sadrºi 0. 25
26 (e) skup B = {x X p(x) < 1} je konveksan, balansiran, apsorbiraju i i vrijedi p = µ B. Tvrdnja (a) slijedi iz p(αx) = α p(x) za α = 0. Koriste i subaditivnost, dobivamo p(x) = p(x y + y) p(x y) + p(y). Dakle, p(x) p(y) p(x y). Zamijenimo li x i y, dobivamo p(y) p(x) p(y x). Kako je p(y x) = 1 p(x y) = p(x y), slijedi (b). Uvrstimo li u (b) y = 0, koriste i (a), dobivamo 0 p(x) p(x). Dakle, vrijedi (c). Neka su x, y {x X p(x) = 0} i α, β Φ. Tada je αx + βy X. Koriste i (c), dobivamo 0 p(αx + βy) α p(x) + β p(y) = 0 pa je p(αx + βy) = 0, odnosno αx + βy {x X p(x) = 0}, ime smo dokazali (d). Dokaºimo da je skup B konveksan. Neka su x, y B i 0 α 1. Vrijedi p(αx+(1 α)y) α p(x)+ 1 α p(y) = αp(x)+(1 α)p(y) < α+1 α = 1. Dakle, αx + (1 α)y B. Dokaºimo zatim da je B balansiran. Neka je α Φ, takav da je α 1. Za y αb, postoji x B takav da je y = αx. Sada je p(y) = p(αx) = α p(x) 1 p(x) < 1 pa je y B. Dakle, αb B, za α 1. Dokaºimo jo² da je B apsorbiraju i. Ako je x X i s > p(x), tada je p(s 1 x) = s 1 p(x) = 1p(x) < s 1. Dakle, s 1 x B pa je B apsorbiraju i. Pokaºimo jo² i da je p = µ B. Imamo najprije µ B (x) = inf{t > 0 t 1 x B}. Kako je inf{t > 0 t 1 x B} = inf{t > 0 t 1 p(x) < 1} = inf{t > 0 p(x) < t}, vrijedi µ B (x) p(x). Ali, ako je 0 < t p(x), tada je p(t 1 x) 1 pa t 1 x / B pa je p(x) µ B (x). Dakle, p(x) = µ B (x). Teorem Neka je A konveksni apsorbiraju i skup u vektorskom prostoru X. Tada vrijedi: (a) µ A (x + y) µ A (x) + µ A (y). (b) µ A (tx) = tµ A (x), ako je t 0. 26
27 (c) µ A je polunorma ako je A balansiran skup. (d) Ako je B = {x X µ A (x) < 1} i C = {x X µ A (x) 1}, tada je B A C i µ B = µ A = µ C. Pridruºimo svakom x X skup H A (x) = {t > 0 t 1 x A} R. Ako je t H A (x) i s > t, tada je i s H A (x) (jer je 0 A (jer je A apsorbiraju i) i A je konveksan). Svaki H A (x) je polupravac, ija je lijeva krajnja to ka µ A (x). Neka je µ A (x) < s, µ A (y) < t i u = s + t. Tada je s 1 x A i t 1 y A. Kako je A konveksan i s + t = 1, to je u u u 1 (x + y) = 1 u x + 1 u y = s u s 1 x + t u t 1 y A. Dakle, µ A (x + y) u pa vrijedi (a). Vrijedi µ A (tx) = inf{λ > 0 λ 1 (tx) A} = inf{λ > 0 ( λ t ) 1 x A} = inf{λ t > 0 (λ ) 1 x A} = t inf{λ > 0 (λ ) 1 x A} = tµ A (x). Dakle, vrijedi (b). Neka je A balansiran skup. Dokaºimo da je µ A polunorma. Vrijede (a) i (b). Jo² treba provjeriti da li je µ A (tx) = t µ A (x), ako je t < 0. Kako je A balansiran, slijedi da je A simetri an, odnosno da ako je y A tada je i y A. Sada je µ A (tx) = inf{λ > 0 λ 1 tx A} = inf{λ > 0 λ 1 tx A} = t inf{λ > 0 (λ ) 1 x A} = tµ A (x) = t µ A (x). Dokaºimo jo² da vrijedi (d). Ako je x B, tada je µ A (x) < 1 pa je 1 H A (x). Dakle, x A pa je µ A (x) 1, a onda je i x C pa imamo B A C. Iz toga slijedi da je H B (x) H A (x) H C (x), za svaki x X, pa je µ C (x) µ A (x) µ B (x). Kako bismo dokazali da vrijedi jednakost, pretpostavimo da je µ C (x) < s < t. Tada je s 1 x C pa je µ A (s 1 x) 1. Sada je µ A (t 1 x) s t < 1. Dakle, t 1 x B pa je µ B (t 1 x) < 1, a time i µ B (x) t. Dakle, µ C (x) µ A (x) µ B (x) pa vrijedi traºena jednakost. 27
28 Teorem Neka je B konveksna balansirana lokalna baza topolo²kog vektorskog prostora X. Svakom V B pridruºimo funkcional Minkovskog µ V. Tada je familija {µ V V B} separiraju a familija neprekidnih polunormi na X. Kako je V konveksan, balansiran i apsorbiraju i (sadrºi 0), slijedi da je µ V polunorma. Ako je x X i x 0, tada postoji V B takav da x / V. Za taj V imamo µ V (x) 1 pa je {µ V } separiraju a familija. Dokaºimo sada da je, za svaki V, µ V neprekidan. Ako je x V, tada je i tx V za neki t > 1, jer je V otvoren skup. Dakle, µ V (x) < 1 za svaki x V. Ako je r > 0, iz Teorema slijedi da je µ V (x) µ V (y) µ V (x y) < r, za x y rv. Kako je za svaki V, koji je okolina od 0 u X, rv takožer okolina od 0 u X, zaklju ujemo da je µ V : X R neprekidna funkcija. Preciznije, funkcional Minkovskog je uniformno neprekidan funkcional. Teorem Neka je P separiraju a familija polunormi na vektorskom prostoru X. Svakom p P i svakom n N pridruºimo skup V (p, n) = {x X p(x) < 1 n }. Neka je B skup svih kona nih presjeka skupova V (p, n). Tada je B konveksna balansirana lokalna baza topologije τ na X, ime X postaje lokalno konveksan prostor, takav da vrijedi: (a) svaka polunorma p P je neprekidna u toj topologiji, (b) skup E X je omežen ako i samo ako je svaka polunorma p P omežena na E. Denirajmo, A X je otvoren ako i samo je A (mogu e prazna) unija translata elemenata od B. Time je denirana translacijski invarijantna topologija τ na X. Svaki skup V (p, n) je konveksan i balansiran pa je B konveksna i balansirana lokalna baza za τ. Neka je x X, x 0. Kako je P separiraju a familija, to postoji p P takav da je p(x) > 0. Za np(x) > 1 imamo p(x) > 1 pa x / V (p, n). Skup n V (p, n) je otvorena okolina od 0 pa je x V (p, n) okolina od x koja ne sadrºi 28
29 0. Dakle, x nije element zatvara a od {0}. Slijedi da je {0} zatvoren skup. Kako je τ translacijski invarijantna topologija, zaklju ujemo da je svaka to ka iz X zatvoren skup. Sada dokazujemo da su zbrajanje i mnoºenje skalarom neprekidni. Neka je U okolina od 0 u X. Tada je U V (p 1, n 1 ) V (p m, n m ), (1.11) za neke p 1,..., p m P i n 1,..., n m N. Stavimo V = V (p 1, 2n 1 ) V (p m, 2n m ). Svaka polunorma p P je subaditivna pa ako su x, y V tada je p i (x) < 1 2n i i p i (y) < 1 2n i te je p i (x + y) p i (x) + p i (y) < 1 2n i + 1 2n i = 1 n i, odnosno x + y U. Dakle, V + V U, ²to dokazuje da je zbrajanje neprekidno. Neka je x X, α Φ, a U, V okoline od 0 denirane kao gore. Kako je skup {x} omežen, to je {x} sv, za neki s > 0. Stavimo t =. Ako je y x + tv i β α < 1, tada je s s 1+ α s βy αx = β(y x) + (β α)x β tv + β α sv V + V U, jer je β t 1 i V je balansiran. Dakle, ako je y element okoline od x, tada je βy element okoline od αx, za svaki β za koji je β α < 1, ²to dokazuje da s je mnoºenje skalarom neprekidno. Dokazali smo da je X lokalno konveksan prostor. Dokaºimo (a). Ako je x V (p, n), tada je p(x) < 1 pa je p neprekidna n u 0. Za x y V (p, n), p(x) p(y) p(x y) < 1 pa je p uniformno n neprekidna. Dokaºimo (b). Neka je E X omežen. Fiksirajmo p P. Kako je V (p, 1) okolina od 0, E kv (p, 1) za neki k <. Dakle, p(x) < k, za svaki x E pa je svaki p P omežen na E. Obratno, neka je svaka polunorma p P omežena na E. Neka je U okolina od 0 u X za koju vrijedi (1.11). Postoje brojevi M i < takvi da je p i (x) < M i, za svaki x E. Ako je n > M i n i, za i = 1,..., m, tada je E nu pa je E omežen. Napomene: U Teoremu bilo je nuºno uzeti kona ne presjeke skupova V (p, n), sami skupovi V (p, n) ne moraju formirati lokalnu bazu. Na primjer, ako je X = R 2 i P = {p 1, p 2 }, gdje su polunorme denirane sa p i (x) = x i, za i = 1, 2 (ovdje je x = (x 1, x 2 )). Ako je B konveksna balansirana lokalna baza topologije τ na lokalno konveksnom prostoru X, tada B generira separiraju u familiju P neprekidnih polunormi na X, kao u Teoremu Familija P inducira topologiju τ 1 na 29
30 X, kao ²to je opisano u Teoremu Pitamo se da li je τ = τ 1. Odgovor je da. Obrazloºimo. Svaki p P je τ-neprekidan pa su skupovi V (p, n) τ. Dakle, τ 1 τ. Obratno, ako je W B i p = µ W, tada je W = {x X µ W (x) < 1} = V (p, 1). Dakle, W τ 1 za svaki W B, ²to povla i da je τ τ 1. Neka je P = {p i i = 1, 2,...} prebrojiva separiraju a familija polunormi na X. Iz Teorema slijedi da P inducira topologiju τ s prebrojivom lokalnom bazom B (skupova V (p, n) ima prebrojivo mnogo pa time i njihovih presjeka). Prema Teoremu 1.5.1, τ je metrizabilna (odnosno takav prostor je metrizabilan). Translacijski invarijantna metrika usklažena s tom topologijom moºe se denirati sa d(x, y) = i=1 2 i p i (x y) 1 + p i (x y). Pokaºite da je d metrika. Primijetimo da je ovdje d(x, y) i=1 1 2 i pa se radi o redu koji konvergira ka 1. Kako bismo pokazali da je d usklažena s τ, pokazat emo da otvorene kugle B r (0) = {x X d(0, x) < r}, gdje je r > 0 ine lokalnu bazu topologije τ. Neka je W τ okolina od 0 u X. Tada je W k i=1v (p i, n i ). Ako je x B r (0), tada je 2 i p i (x) 1+p i < r, za (x) i = 1, 2, 3,... Za dovoljno mali r, iz prethodne nejednakosti dobivamo da su p 1 (x),..., p k (x) tako mali da B r (0) leºi u svakom od skupova V (p i, n i ). Dakle, B r (0) W pa otvorene kugle B r (0) ine lokalnu bazu. Time smo dokazali da je d usklažena s τ. Teorem Topolo²ki vektorski prostor X je normabilan ako i samo ako njegovo isodi²te (odnosno 0 u X) ima ima konveksnu omeženu okolinu. Neka je X normabilan. Tada postoji norma : X R, takva da je usklažena s topologijom τ na X. Promotrimo otvorene jedini ne kugle B 1 (0) = {x X x < 1}. Uvjerite se da se radi o konveksnim skupovima. Radi se i o omeženim skupovima, jer za svaku okolinu V od 0 u X, postoji kugla B r (0) koja je sadrºana u V. Zatim je tv tb r (0) B 1 (0), za tr > 1. Obratno, neka je V konveksna omežena okolina 0. Na vjeºbama ste dokazali da svaka konveksna okolina od 0 sadrºi balansiranu konveksnu okolinu od 0. Dakle, V sadrºi konveksnu balansiranu okolinu U od 0. Naravno, U je i omežen skup. Denirajmo preslikavanje na X sa x = µ U (x). 30
31 Na vjeºbama ste dokazali da za omežen skup U, skupovi ru, gdje je r > 0, ine lokalnu bazu neke topologije na X. Ako je x 0 tada postoji r > 0 takav da x / ru. Dakle, µ U (x) r. Prema Teoremu 1.7.2, µ U je norma. Denicija funkcionala Minkovskog, zajedno s injenicom da je U otvoren skup, povla i da je {x X x < r} = ru, za svaki r > 0. Dakle, topologija inducirana ovako deniranom normom podudara se s ranije spomenutom topologijom na X. 1.8 Kvocijentni prostor i kvocijentna topologija Neka je N potprostor vektorskog prostora X. skup koji sadrºi x π(x) = x + N. Za svaki x X deniramo Ti su skupovi elementi vektorskog prostora X/N, koji nazivamo kvocijentni prostor od X modulo N. U tom su prostoru zbrajanje i mnoºenje skalarom denirani sa π(x) + π(y) = π(x + y), (1.12) απ(x) = π(αx), (1.13) za x, y X, α Φ. Ovdje je π(x)+π(y) = x+n +y+n, ²to je zbog toga ²to je N vektorski prostor jednako x+y+n. Zatim, απ(x) = αx+αn = αx+n. Za α = 0, imamo απ(x) = N, ²to je druga ije od uobi ajene denicije skalarnog mnoºenja. Kako je N vektorski prostor, operacije (1.12) i (1.13) su dobro denirane. To zna i da ako je π(x) = π(x ) (²to zna i da je x x N) i π(y) = π(y ), tada je π(x) + π(y) = π(x ) + π(y ), απ(x ) = απ(x). Nula u X/N je π(0) = N. Iz (1.12) i (1.13) vidimo da je π linearno preslikavanje sa X na X/N, iji je null prostor N. Obi no π nazivamo kvocijentno preslikavanje sa X na X/N. Neka je τ vektorska topologija na X i N zatvoreni potprostor od X. Tada moºemo denirati toplogiju τ N na X/N sa τ N = {E X/N π 1 (E) τ}. 31
32 Takvu topologiju τ N nazivamo kvocijentna topologija. Neka njezina svojstva dana su narednim teoremom, kojeg ne emo dokazivati. Teorem Neka je N zatvoreni podprostor topolo²kog vektorskog prostora X. Neka je τ vektorska topologija na X i τ N = {E X/N π 1 (E) τ}. Tada vrijedi: (a) τ N je vektorska toplologija na X/N. Kvocijentno preslikavanje π : X X/N je linearno, neprekidno i otvoreno 19. (b) Ako je B lokalna baza za τ, tada je familija B N = {π(v ) V B} lokalna baza za topologiju τ N. (c) Sva naredna svojstva X/N naslježuje od X: lokalna konveksnost, lokalna omeženost, metrizabilnost, normabilnost. (d) Ako je X F-prostor ili Fréchetov prostor ili Banachov prostor, tada je to i X/N. 19 Otvoreno preslikavanje je ono koje otvorene skupove preslikava u otvorene skupove. 32
33 Poglavlje 2 Potpunost 2.1 Baireov teorem Mnogi vaºni teoremi funkcionalne analize ovise o potpunosti sustava kojima se bave. U ovom emo odjeljku iznijeti Baireov teorem o potpunim metri kim prostorima. Opi²imo najprije terminologiju koju je uveo Baire. Neka je S topolo²ki prostor. Kaºemo da je skup E S nigdje gust (koristi se jo² i naziv mr²av) ako je unutra²njost zatvara a E prazan skup, odnosno (E) =. Skupovi prve kategorije u S su oni koji su prebrojive unije nigdje gustih skupova. Za svaki podskup od S koji nije prve kategorije kaºemo da je skup druge kategorije u S. Navedimo neka (o igledna) svojstva kategorija, koja emo koristiti u nastavku. (a) Ako je A B i B je prve kategorije u S, tada je i A prve kategorije u S. (b) Svaka prebrojiva unija skupova prve kategorije je skup prve kategorije. (c) Svaki zatvoreni skup E S, ija je unutra²njost prazan skup, je skup prve kategorije u S. (d) Ako je h : S S homeomorzam i E S, tada E i h(e) imaju istu kategoriju u S. Teorem (Baireov teorem) Ako je S (a) potpun metri ki prostor ili (b) lokalno kompaktan Hausdorov prostor, 33
34 tada je presjek svake prebrojive familije gustih otvorenih skupova u S gust skup u S. Prije dokaza napomenimo da se ovaj teorem obi no naziva i teorem kategorije. Pojasnimo za²to. Ako je {E i } prebrojiva familija nigdje gustih C skupova u S i ako je V i = E i, tada je svaki Vi gust i prema Baireovom teoremu vrijedi V i. Dakle, S E i, odnosno S nije unija prebrojivo mnogo nigdje gustih skupova. Dakle, potpuni metri ki prostori, kao i lokalno kompaktni Hausdorovi prostori su druge kategorije. Dokaz Baireovog toerema: Neka su V 1, V 2,... gusti otvoreni skupovi u S. Neka je B 0 proizvoljan neprazan otvoren skup u S, odnosno B 0 τ S. Ako za n 1 odaberemo otvoren skup B n 1, tada (zbog toga ²to je V n gust pa je V n B n 1 ) postoji otvoreni skup B n takav da je B n V n B n 1. U slu aju (a) za B n moºemo uzeti otvorene kugle radijusa 1. U slu aju (b) n moºemo skup B n odabrati tako da je B n kompaktan skup (²to je mogu e 1 u lokalno kompaktnom Hausdorovom prostoru). Stavimo K = B n. n=1 U slu aju (a) sredi²ta kugli B n ine Cauchyev niz koji (budu i da je S potpun prostor) konvergira ka nekoj to ki iz K. Dakle, K. U slu aju (b) K zbog kompaktnosti 2 od B n i injenice da svaki silazni niz nepraznih podskupova topolo²kog prostora ima svojstvo da je presjek svakog kona nog broja lanova tog niza neprazan. Sada imamo K = B n (V n B n 1 ). n=1 n=1 1 Koristimo lemu: Neka je X lokalno kompaktan Hausdorov prostor, K X kompaktan skup i U X otvoren skup takav da je K U. Tada postoji otvoreni skup V X sa kompaktnim zatvara em V takvim da je K V V U. 2 Ovdje koristimu lemu: Neka je X Hausdorov prostor i neka je {K α α A} familija kompaktnih podskupova od X. Ako je α A K α =, tada postoji kona an skup F A takav da je α F K α =. 34
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραTeorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Διαβάστε περισσότεραMjera i Integral Vjeºbe
Mjera i Integral Vjeºbe September 8, 2015 Chapter 1 σ-algebre 1.1 Osnovna svojstva i prvi primjeri Najprije uvodimo pojmove algebre i σ-algebre 1 skupova. Za skup, familiju svih njegovih podskupova zovemo
Διαβάστε περισσότεραZadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014.
Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014. Zadaća nosi 5 bodova. Sve tvrdnje u zadacima obrazložiti! Renato Babojelić 31 Lea Božić 13 Ana Bulić 7 Jelena Crnjac 5 Bernarda Dragin 19 Gabriela Grdić
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραR ω s uniformnom topologijom i aksiomi prebrojivosti
Opća topologija 116 Opća topologija 118 Drugi aksiom prebrojivosti 4 AKSIOMI SEPARACIJE I PREBROJIVOSTI Aksiomi prebrojivosti Aksiomi separacije Normalni prostori Urysonova lema Urysonov teorem o metrizaciji
Διαβάστε περισσότερα1. Topologija na euklidskom prostoru R n
1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1 skripta za nastavni ke studije na PMF-MO. Zrinka Franu²i, Juraj iftar
LINEARNA ALGEBRA 1 skripta za nastavni ke studije na PMF-MO Zrinka Franu²i, Juraj iftar Sadrºaj 1 Vektorski prostori 2 11 Osnovne algebarske strukture 4 111 Binarna operacija Grupoid 4 112 Grupa 6 113
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Topologije A
Zadaci iz Topologije A 1. Neka je X neprazan skup i Φ : P(X P(X funkcija za koju vaжi: (1 Φ( = ; (2 A Φ(A za sve A P(X; (3 Φ(A B = Φ(A Φ(B za sve A, B P(X; (4 Φ(Φ(A = Φ(A za sve A P(X. Dokazati da postoji
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIƒKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU. Borelovi skupovi
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIƒKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nada Cvetkovi Borelovi skupovi -master rad- Mentor: prof. dr Milo² Kurili Novi Sad, 2014. Sadrºaj Predgovor................................
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematičke analize
Osnove matematičke analize prof.dr.sc. Nikola Koceić Bilan FPMOZ Sveučilište u Mostaru FPMOZ Sveučilište u Mostaru 1 / Sadržaj 1 Topološka i metrička struktura normiranog vektorskog prostora R n. Konvergencija
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραKOMPAKTNI OPERATORI. Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević. Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu. u zimskom semestru akademske godine 2007./2008.
KOMPAKTNI OPERATORI Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu Sveučilišta u Zagrebu u zimskom semestru akademske godine 2007./2008. Zagreb, siječanj 2008. 2 SADRŽAJ 3
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότερα2. Konvergencija nizova
6 2. KONVERGENCIJA NIZOVA 2. Konvergencija nizova Niz u skupu X je svaka funkcija x : N X. Vrijednost x(k), k N, se zove opći ili k-ti član niza i obično se označava s x k. U skladu s tim, niz x : N X
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα1 Svojstvo kompaktnosti
1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραMETRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI. Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974.
METRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI Šime Ungar http://www.mathos.unios.hr/~sime/ Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974. Š. Ungar. Matematička analiza 3, PMF-Matematički
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra i geometrija
Univerzitet u Sarajevu Elektrotehni ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, septembar 2012. Sadrºaj Sadrºaj ii 1 Uvod 1 2 Matrice i determinante 2 3 Sistemi linearnih jedna ina 3
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραBaza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj.
Opća topologija 24 Opća topologija 26 13. Baza topologije Baza topologije 2 TOPOLOŠKI PROSTORI I NEPREKIDNE FUNKCIJE Topološki prostori Baza topologije Uređajna topologija Produktna topologija na X Y Topologija
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραNermin Okičić Vedad Pašić. Metrički prostori
Å Ì Å ÌÁÃ Nermin Okičić Vedad Pašić Metrički prostori 2016 Å Ì Å ÌÁÃ Sadržaj 1 Metrički prostori 1 1.1 Metrika i osobine......................... 2 1.2 Konvergencija u metričkim prostorima.............
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότεραNelinearni dinami ki sustavi
Nelinearni dinami ki sustavi 1 Osnovne denicije Diskretni dinami ki sustav px, f q sastoji se od nepraznog skupa X i preslikavanja f : X Ñ X. Skup X jo² se zove i fazni prostor, a preslikavanje f fazno
Διαβάστε περισσότεραNormirani prostori vjeºbe 2015/2016. Tomislav Beri
Normirani prostori vjeºbe 25/26 Tomislav Beri tberic@math.hr Sadrºaj Unitarni prostori 2 Normirani prostori 2 3 Banachovi i Hilbertovi prostori 5 4 l p prostori 8 5 Ograni eni linearni operatori na normiranim
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc
Linearna algebra za fizičare, zimski semestar 006. Mirko Primc Sadržaj Poglavlje 1. Vektorski prostor R n 5 1. Vektorski prostor R n 6. Geometrijska interpretacija vektorskih prostora R i R 3 11 3. Linearne
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije i Limesi i derivacije Poglavlje Limesi i derivacije.0. Limesi Limes funkcije f kada teºi nekoj to ki a ovdje a moºe ozna avati i ± moºemo
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότερα1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.
1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)
Διαβάστε περισσότεραMetrički prostori i Riman-Stiltjesov integral
Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Dragan S. Djordjević Niš, 2009. 0 Sadržaj Predgovor 3 1 Metrički prostori 5 1.1 Primeri metričkih prostora................. 5 1.2 Konvergencija nizova i osobine
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραMatematička Analiza 3
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet MATEMATIČKI ODJEL Šime Ungar Matematička Analiza 3 Zagreb, 2002. Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet MATEMATIČKI ODJEL Šime
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike. Monika Jović. Skalarni produkt.
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Monika Jović Skalarni produkt Završni rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja 2016. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je I kolekcija svih ograničenih jednodimenzionalnih intervala
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama
Διαβάστε περισσότεραLokalni ekstremi funkcije vi²e varijabla
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 9 Lokalni ekstremi funkcije više varijabla Poglavlje 1 Lokalni ekstremi funkcije vi²e varijabla Denicija 1.0.1 Za funkciju f dviju varijabli
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραSpektralna teorija ograničenih linearnih operatora
Univerzitet u Nišu Prirodno matematički fakultet Departman za matematiku Spektralna teorija ograničenih linearnih operatora Mentor prof. Dragana Cvetković Ilić Niš, oktobar 2013. Student Maja Ţivković
Διαβάστε περισσότερα3 Linearani operatori Ograničenost i neprekidnost Inverzni operator O još dva principa Zatvoreni operator...
Sadržaj 3 Linearani operatori 68 3.1 Ograničenost i neprekidnost................... 68 3.2 Inverzni operator......................... 79 3.3 O još dva principa........................ 83 3.4 Zatvoreni
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότερα2. Vektorski prostori
2. Vektorski prostori 2.1. Pojam vektorskog prostora. Grubo govoreći, vektorski prostor je skup na kojem su zadane binarna operacija zbrajanja i operacija množenja skalarima koje poštuju uobičajena računska
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραx + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.
Linearna algebra A, kolokvijum, 1. tok 22. novembar 2014. 1. a) U zavisnosti od realnih parametara a i b Gausovim metodom rexiti sistem linearnih jednaqina nad poljem R ax + (a + b)y + bz = 3a + 5b ax +
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet
Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme funkcionalne analize i primene u analizi aktivnosti
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO - MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Jelena Petričević Osnovne teoreme funkcionalne analize i primene u analizi aktivnosti Master rad Mentor: Prof.
Διαβάστε περισσότερα