Osnove matematičke analize
|
|
- Σήθι Ζάππας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Osnove matematičke analize prof.dr.sc. Nikola Koceić Bilan FPMOZ Sveučilište u Mostaru FPMOZ Sveučilište u Mostaru 1 /
2 Sadržaj 1 Topološka i metrička struktura normiranog vektorskog prostora R n. Konvergencija i neprekidnost u R n (u metričkim i topološkom prostorima) 2 Diferencijabilnost funkcija f : Ω R m R n. Diferencijalni račun i primjene FPMOZ Sveučilište u Mostaru 2 /
3 Topološka i metrička struktura normiranog n-dimenzionalnog realnog vektorskog prostora Realni vektorski prostor (V, +, h) se sastoji od abelovske grupe (V, +), te vanjskog (hibridnog) množenja h : R V V h (α, a) =: αa koje udovoljuje sljedećim uvjetima: (i) α (βa) = (αβ) a, za sve a V, a, β R; (ii) 1a = a1 = a, za svaki a V ; (iii) (α + β) a = αa + βa, za sve a V, a, β R; (iv) α (a + b) = αa + αb, za sve a, b V, a R. Skup R n, zajedno s koordinatnim zbrajanjem (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) := (x 1 + y 1,..., x n + y n ) i s vanjskim množenjem (skraćeno množenje sa skalarom) zadanim s tvori realni vektorski prostor. λ (x 1,..., x n ) := (λx 1,..., λx n ) FPMOZ Sveučilište u Mostaru 3 /
4 Njegove elemente e 1 = (1, 0,..., 0),..., e n = (0,..., 0, 1) nazivamo elementima kanonske baze jer se svaki element x = (x 1,..., x n ) R n može na jedinstven način prikazat u obliku x = n x i e i. i=1 FPMOZ Sveučilište u Mostaru 4 /
5 Funkciju A : R m R n nazivamo linearnim operatorom ako, za sve x, y R m, λ, η R, vrijedi A (λx + ηy) = λa (x) + ηa (y). Svaki linarani operator A : R n R m je jednoznačno određen djelovanjem na kanonsku bazu. Ako je A (e i ) = (a 1i,..., a mi ), i = 1,..., n, onda djelovanje linearnog operatora na x = (x 1,..., x n ) R n smijemo matrično zapisivati kao a 11 a 1n A (x) =... a m1 a mn x 1 x n, pa linearni operator A često poistovijećujemo s matricom m n. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 5 /
6 Normirani prostori Definicija Normiranim prostorom nazivamo svaki uređeni par (X, ) koji se sastoji od (realnoga) vektorskog prostora X i funkcije ( norme) : X R, (x) x, s ovim svojstvima: (N1) x 0; (N2) x = 0 x = 0; (N3) λx = λ x, λ R; (N4) x + y x + y. Broj x nazivamo normom vektora x. Ako je x = 1 za vektor kažemo da je normiran. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 6 /
7 Normu na R n zadanu sa x 2 = n i=1 (x i ) 2, x = (x 1,..., x n ) R n, nazivamo euklidskom normom, a normirani vektorski prostor (R n, 2 ) n-dimenzionalnim euklidskim prostorom. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 7 /
8 U analizi se često koriste i sljedeće norme na R n : FPMOZ Sveučilište u Mostaru 8 /
9 U analizi se često koriste i sljedeće norme na R n : : R n R, (x) x = max{ x i i = 1,, n}, x = (x 1,, x n ) FPMOZ Sveučilište u Mostaru 8 /
10 U analizi se često koriste i sljedeće norme na R n : : R n R, (x) x = max{ x i i = 1,, n}, x = (x 1,, x n ) 1 : R n R, 1 (x) x 1 = n x i, x = (x 1,, x n ) i=1 FPMOZ Sveučilište u Mostaru 8 /
11 Za svaki x R n vrijedi x x 2 2 x n x x x 1 n x x 2 x 1 n x 2. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 9 /
12 Metrički prostori Definicija Pod metrikom ili udaljenošću na skupu X podrazumijevamo svaku funkciju d : X X R s ovim svojstvima: (M1) d(x, y) 0; (M2) d(x, y) = 0 x = y; (M3) d(x, y) = d(y, x); (M4) d(x, y) + d(y, z) d(x, z). Uređeni par (X, d) tada nazivamo metričkim prostorom, a elemente x X - točkama metričkoga prostora (X, d). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 10 /
13 Primjer Svaki neprazni skup X postaje metričkim prostorom (X, d) čim se definira d(x, y) = { 0, x = y c, x = y. Radi se o tzv. diskretnoj metrici, odnosno, o diskretnom metričkom prostoru. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 11 /
14 Primjer Svaki neprazni skup X postaje metričkim prostorom (X, d) čim se definira d(x, y) = { 0, x = y c, x = y. Radi se o tzv. diskretnoj metrici, odnosno, o diskretnom metričkom prostoru. Teorem Svaka norma na vektorskom prostoru X inducira metriku d : X X R zadanu pravilom d (x, y) = x y. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 11 /
15 Na euklidskom prostoru R n, n N, (s euklidskom normom 2 ) inducirana euklidska metrika d 2 : R n R n R je zadana pravilom d 2 (x, y) = x y 2 = n i=1 (x i y i ) 2, x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ). Metrički prostor (R n, d 2 ) ćemo nazvati n-dimenzionalnim euklidskim prostorom i označiti samo s R n. Primijetimo da za n = 1 dobivamo metrički prostor R realnih brojeva s metrikom d(ξ, η) = ξ η. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 12 /
16 Pored euklidske norme, norme i 1 na vektorskomu prostoru R n induciraju metričke prostore (R n, d ) i (R n, d 1 ). Ovdje je, dakle, d (x, y) = max{ x i y i i = 1,, n}, d 1 (x, y) = n i=1 x i y i. Iz međusobnog odnosa odgovarajućih normi proizlazi i odnos metrika d 1, d 2 i d. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 13 /
17 Neka su (X, d ) i (X, d ) metrički prostori. Definirajmo na X = X X funkciju d : X X R, d(x, y) = d (x, y ) 2 + d (x, y ) 2, x = (x, x ), y = (y, y ) X. Pokaže se da je d metrika na X, tj. (X, d) novi metrički prostor. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 14 /
18 Neka su (X, d ) i (X, d ) metrički prostori. Definirajmo na X = X X funkciju d : X X R, d(x, y) = d (x, y ) 2 + d (x, y ) 2, x = (x, x ), y = (y, y ) X. Pokaže se da je d metrika na X, tj. (X, d) novi metrički prostor. Dobiveni metrički prostor (X, d) nazivat ćemo (standardnim) produktom metričkih prostora (X, d ) i (X, d ) i pisati (X, d) = (X, d ) (X, d ). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 14 /
19 Neka su (X, d ) i (X, d ) metrički prostori. Definirajmo na X = X X funkciju d : X X R, d(x, y) = d (x, y ) 2 + d (x, y ) 2, x = (x, x ), y = (y, y ) X. Pokaže se da je d metrika na X, tj. (X, d) novi metrički prostor. Dobiveni metrički prostor (X, d) nazivat ćemo (standardnim) produktom metričkih prostora (X, d ) i (X, d ) i pisati (X, d) = (X, d ) (X, d ). Ova konstrukcija se prirodno poopćuje na direktni produkt od konačno mnogo metričkih prostora. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 14 /
20 Neka su (X, d ) i (X, d ) metrički prostori. Definirajmo na X = X X funkciju d : X X R, d(x, y) = d (x, y ) 2 + d (x, y ) 2, x = (x, x ), y = (y, y ) X. Pokaže se da je d metrika na X, tj. (X, d) novi metrički prostor. Dobiveni metrički prostor (X, d) nazivat ćemo (standardnim) produktom metričkih prostora (X, d ) i (X, d ) i pisati (X, d) = (X, d ) (X, d ). Ova konstrukcija se prirodno poopćuje na direktni produkt od konačno mnogo metričkih prostora. Euklidski prostor (R n, d 2 ) je produkt (R, d) (R, d), d : R R R, d(ξ, η) = ξ η. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 14 /
21 Ako je (X, d) metrički prostor i Y X bilo koji podskup, onda se suženjem metrike d na Y Y, tj, s funkcijom d Y d Y Y : Y Y R, dobiva novi metrički prostor (Y, d Y ). Pri tom govorimo o (metričkom) potprostoru metričkoga prostora (X, d) i pišemo (Y, d) (X, d). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 15 /
22 Definicija Neka je (X, d) metrički prostor, x 0 X bilo koja točka i r R + bilo koji pozitivan realni broj. Skup B(x 0, r) = {x X d(x 0, x) < r} X, nazivamo kuglom polumjera r sa središtem u točki x 0. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 16 /
23 Primjer Nacrtajte kugle B 2 ((0, 0), 1), B ((0, 0), 1), B 1 ((0, 0), 1) i B d ((0, 0), 1) u metričkim prostorima (R 2, d 2 ), (R 2, d ), (R 2, d 1 ) i (R 2, d) (d označava diskretnu metriku) redom. Što su odgavarajuće kugle u prostorima (R 3, d 2 ), (R 3, d ), (R 3, d 1 )? FPMOZ Sveučilište u Mostaru 17 /
24 Primjer Nacrtajte kugle B 2 ((0, 0), 1), B ((0, 0), 1), B 1 ((0, 0), 1) i B d ((0, 0), 1) u metričkim prostorima (R 2, d 2 ), (R 2, d ), (R 2, d 1 ) i (R 2, d) (d označava diskretnu metriku) redom. Što su odgavarajuće kugle u prostorima (R 3, d 2 ), (R 3, d ), (R 3, d 1 )? Primjer U slučaju n = 1 pripadni metrički prostori (R n, d 2 ), (R n, d ), (R n, d 1 ) se podudaraju s euklidskim pravcem (R, d), d(ξ, η) = ξ η, pa se i odgovarajuće kugle podudaraju. Na euklidskomu pravcu je svaka kugla B d (ξ 0, r) neki simetrični interval ξ 0 r, ξ 0 + r R. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 17 /
25 Zadatak Opišite kugle u potprostorima N i 2, 5] euklidskog prostora (R, ), te u potprostorima { (x, y) x 2 + y 2 1 }, { (x, y) x 2 + y 2 = 1 }, {(x, 0) x R} euklidskog prostora ( R 2,d 2 ). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 18 /
26 Zadatak Opišite kugle u potprostorima N i 2, 5] euklidskog prostora (R, ), te u potprostorima { (x, y) x 2 + y 2 1 }, { (x, y) x 2 + y 2 = 1 }, {(x, 0) x R} euklidskog prostora ( R 2,d 2 ). Napomena Za svaki m n, (R m, d 2 ) se može smatrati metričkim potprostorom od (R n, d 2 ), R m R n. (Obično pri tom točku y = (y 1,, y m ) R m identificiramo s točkom ỹ = (y 1,, y m, 0,, 0) R n.) Uz takvu identifikaciju za svaki y R m vrijedi B (y, r) = B (ỹ, r) R m pri čemu je B (y, r) kugla u prostoru (R m, d 2 ) a B (ỹ, r) kugla u prostoru (R n, d 2 ). Isto vrijedi i za metrike d 1 i d. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 18 /
27 Definicija Reći ćemo da je skup A (X, d) omeđen, ako postoji x 0 X i r > 0 takvi da je A B (x 0, r) tj. {d(a, a ) a, a A} [0, r] R. Za funkciju f : T (X, d) kažemo da je omeđena, ako je slika f [T ] omeđeni skup u (X, d). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 19 /
28 Definicija Reći ćemo da je skup A (X, d) omeđen, ako postoji x 0 X i r > 0 takvi da je A B (x 0, r) tj. {d(a, a ) a, a A} [0, r] R. Za funkciju f : T (X, d) kažemo da je omeđena, ako je slika f [T ] omeđeni skup u (X, d). Definicija Ako je skup A (X, d) omeđen, onda je posve određen broj diam A = sup{d(a, a ) a, a A} 0 kojeg nazivamo dijametar skupa A. Ako A nije omeđen onda stavljamo diam A =. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 19 /
29 Definicija Reći ćemo da je skup A (X, d) omeđen, ako postoji x 0 X i r > 0 takvi da je A B (x 0, r) tj. {d(a, a ) a, a A} [0, r] R. Za funkciju f : T (X, d) kažemo da je omeđena, ako je slika f [T ] omeđeni skup u (X, d). Definicija Ako je skup A (X, d) omeđen, onda je posve određen broj diam A = sup{d(a, a ) a, a A} 0 kojeg nazivamo dijametar skupa A. Ako A nije omeđen onda stavljamo diam A =. Zadatak Pokažite da je svaki diskretni metrički prostor omeđen a euklidski neomeđen prostor. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 19 /
30 Definicija Reći ćemo da je skup U X otvoren u metričkom prostoru (X, d) ako je U unija neke množine kugala u prostoru (X, d). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 20 /
31 Definicija Reći ćemo da je skup U X otvoren u metričkom prostoru (X, d) ako je U unija neke množine kugala u prostoru (X, d). Teorem Skup U (X, d) je otvoren točno onda kad za svaku točku x 0 U postoji neka kugla B(x 0, r) U. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 20 /
32 Zadatak Ispitaj da li su otvoreni sljedeći podskupovi euklidkog ravnine: A = {(x, 0) x R}, B = R 2 \ {(x, 0) x N}, C = R 2 \ { (x, y) x 2 + y 2 = 1 } n, D = {(x, y) y < x}. 2 n N FPMOZ Sveučilište u Mostaru 21 /
33 Zadatak Ispitaj da li su otvoreni sljedeći podskupovi euklidkog ravnine: A = {(x, 0) x R}, B = R 2 \ {(x, 0) x N}, C = R 2 \ { (x, y) x 2 + y 2 = 1 } n, D = {(x, y) y < x}. 2 n N Zadatak Ispitaj da li su otvoreni sljedeći podskupovi euklidskog pravca: Z, a,, [a, b]. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 21 /
34 Teorem Neka je T 2 X množina svih otvorenih skupova U X u metričkom prostoru (X, d). Tada T udovoljava ovim uvjetima: (T1) T je zatvorena na uniranje, tj. ( U = {U j j J} T ) U j T ; (T2) T je zatvorena na konačno presijecanje, tj. ( U = {U j j J T }) J < ℵ 0 U j T ; j J (T3), X T. Množinu T svih otvorenih skupova u metričkom prostoru (X, d) nazivamo topologijom na prostoru (X, d). j J FPMOZ Sveučilište u Mostaru 22 /
35 Topološki prostori Definicija Topološkim prostorom nazivamo svaki uređeni par (X, T ) što se sastoji od skupa X i množine T 2 X nekih njegovih podskupova sa svojstvima (T1), (T2) i (T3). Množinu T nazivamo topološkom strukturom (ili topologijom) a podskupove U X koji su članovi od T, otvorenim skupovima u prostoru (X, T ). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 23 /
36 Topološki prostori Definicija Topološkim prostorom nazivamo svaki uređeni par (X, T ) što se sastoji od skupa X i množine T 2 X nekih njegovih podskupova sa svojstvima (T1), (T2) i (T3). Množinu T nazivamo topološkom strukturom (ili topologijom) a podskupove U X koji su članovi od T, otvorenim skupovima u prostoru (X, T ). Primjer Svaki skup X dopušta dvije trivijalne topološke strukture: najmanju (najgrublju, indiskretnu) T = {, X } i najveću (najsitniju, diskretnu) T = 2 X. U prvoj su, dakle, otvoreni skupovi samo i X, dok je u drugoj svaki skup A X otvoren. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 23 /
37 Svaki metrički prostor (X, d) je ujedno topološki prostor (X, T ), pri čemu je toplogija T dobivena uniranjem kugala u metrici d. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 24 /
38 Svaki metrički prostor (X, d) je ujedno topološki prostor (X, T ), pri čemu je toplogija T dobivena uniranjem kugala u metrici d. Kad god se topološka struktura T na prostoru (X, T ) može dobiti pomoću kugala u nekoj metrici d na X, govorimo o metrizabilnom (topološkom) prostoru (X, T ) (skraćeno X ). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 24 /
39 Svaki metrički prostor (X, d) je ujedno topološki prostor (X, T ), pri čemu je toplogija T dobivena uniranjem kugala u metrici d. Kad god se topološka struktura T na prostoru (X, T ) može dobiti pomoću kugala u nekoj metrici d na X, govorimo o metrizabilnom (topološkom) prostoru (X, T ) (skraćeno X ). Primjerice diskretna toplogija je metrizabilna bilo kojom diskretnom metrikom FPMOZ Sveučilište u Mostaru 24 /
40 Svaki metrički prostor (X, d) je ujedno topološki prostor (X, T ), pri čemu je toplogija T dobivena uniranjem kugala u metrici d. Kad god se topološka struktura T na prostoru (X, T ) može dobiti pomoću kugala u nekoj metrici d na X, govorimo o metrizabilnom (topološkom) prostoru (X, T ) (skraćeno X ). Primjerice diskretna toplogija je metrizabilna bilo kojom diskretnom metrikom Propozicija Euklidski prostor R n, n N, s topologijom što je inducira metrika d 2, ima istu topologiju kao i prostor R n s topologijom induciranom metrikom d 1, odnosno d. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 24 /
41 Definicija Neka je (X, T ) topološki prostor, a Y X bilo koji njegov podskup. Tada je množina T Y {U Y U T } 2 Y topološka struktura na Y. To je tzv. nasljeđena (ili relativna) topologija na podskupu. Topološki prostor (Y, T Y ) nazivamo potprostorom topološkoga prostora (X, T ). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 25 /
42 Definicija Neka je (X, T ) topološki prostor, a Y X bilo koji njegov podskup. Tada je množina T Y {U Y U T } 2 Y topološka struktura na Y. To je tzv. nasljeđena (ili relativna) topologija na podskupu. Topološki prostor (Y, T Y ) nazivamo potprostorom topološkoga prostora (X, T ). Zadatak Odredite relativnu toplogiju na skupu: N i [2, 5 {7} kao potprostoru euklidskog prostora R, { (x, y) x 2 + y 2 = 1 } i {(x, 0) x R} kao potprostoru euklidkog prostora R 2, skupu kao potprostoru euklidkog prostora R 2. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 25 /
43 Definicija Neka je (X, T ) topološki prostor, a Y X bilo koji njegov podskup. Tada je množina T Y {U Y U T } 2 Y topološka struktura na Y. To je tzv. nasljeđena (ili relativna) topologija na podskupu. Topološki prostor (Y, T Y ) nazivamo potprostorom topološkoga prostora (X, T ). Zadatak Odredite relativnu toplogiju na skupu: N i [2, 5 {7} kao potprostoru euklidskog prostora R, { (x, y) x 2 + y 2 = 1 } i {(x, 0) x R} kao potprostoru euklidkog prostora R 2, skupu kao potprostoru euklidkog prostora R 2. Primjer Za svaki m n, R m se može smatrati topološkim potprostorom od R n, R m R n. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 25 /
44 Definicija Nutrina ili interior Int A skupa A X iz topološkog prostora X je unija svih otvorenih skupova O A. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 26 /
45 Definicija Nutrina ili interior Int A skupa A X iz topološkog prostora X je unija svih otvorenih skupova O A. Zadatak Odredite nutrinu sljedećih skupova u euklidskom prostoru: A = 1, { 2 {3} u R, B } = I\ {π} u R, C = R\ {π} u R, D = (x, y) x y 2 1 u R 2, E = {(x, 0) x [1, 2]}, E [0, 1] u R 2. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 26 /
46 Definicija Pod okolinom točke x X u topološkom prostoru (X, T ) podrazumijevamo svaki skup O X (O (x)) takav da je x Int O. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 27 /
47 Definicija Pod okolinom točke x X u topološkom prostoru (X, T ) podrazumijevamo svaki skup O X (O (x)) takav da je x Int O. Primjer Interval [a, b], a = b, nije okolina točke a, ali je točke a+b 2 u euklidskom prostoru R. Točki a+b 2 skup [a, b nije okolina ali skup [a, b [ c, c] je okolina u euklidskom prostoru R 2. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 27 /
48 Definicija Pod okolinom točke x X u topološkom prostoru (X, T ) podrazumijevamo svaki skup O X (O (x)) takav da je x Int O. Primjer Interval [a, b], a = b, nije okolina točke a, ali je točke a+b 2 u euklidskom prostoru R. Točki a+b 2 skup [a, b nije okolina ali skup [a, b [ c, c] je okolina u euklidskom prostoru R 2. Propozicija Skup U (X, T ) je otvoren točno onda kad za svaku točku x 0 U postoji neka okolina O (x 0 ) takav da je O U. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 27 /
49 Definicija Reći ćemo da je skup F X zatvoren u topološkom prostoru X ako je njegov komplement X F X otvoren. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 28 /
50 Definicija Reći ćemo da je skup F X zatvoren u topološkom prostoru X ako je njegov komplement X F X otvoren. Teorem Množina C 2 X svih zatvorenih skupova F X u topološkom prostoru X udovoljava ovim uvjetima: (T1) C je zatvorena na presijecanje; (T2) C je zatvorena na konačno uniranje; (T3) X, C. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 28 /
51 Lako je provjeriti da su sljedeći važni podskupovi euklidskih prostora zatvoreni: jednotočkovni skup; n-kvadar K [ξ 1, η 1 ] [ξ n, η n ] R n (za n = 1 radi se o segmentu I [ξ, η] R, a za n = 2 o pravokutniku P [ξ 1, η 1 ] [ξ 2, η 2 ] R 2 u ravnini); n-sfera (središnja, jedinična) S n {x R n+1 x 2 = 1} R n+1 (za n = 0 radi se o dvotočju S 0 = { 1, 1} R, a za n = 1 o jediničnoj središnjoj kružnici S 1 R 2 u ravnini); n-disk (središnji, jedinični) D n {x R n x 2 1} R n (za n = 1 dobivamo segment [ 1, 1] R, a za n = 2 središnji jedinični krug D 2 R 2 u ravnini). D n se često naziva i zatvorenom kuglom i označuje sa B n. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 29 /
52 Definicija Neka je X topološki prostor i A X. Reći ćemo da je x X izolirana točka skupa A u prostoru X ako postoji okolina U od x u X takva da je U A = {x} tj. ako je x A i skup {x} je otvoren u relativnoj topologiji na A. Ako za svaku okolinu U od x u X vrijedi (U {x}) A = govorimo da je x gomilište skupa A u prostoru X. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 30 /
53 Definicija Neka je X topološki prostor i A X. Reći ćemo da je x X izolirana točka skupa A u prostoru X ako postoji okolina U od x u X takva da je U A = {x} tj. ako je x A i skup {x} je otvoren u relativnoj topologiji na A. Ako za svaku okolinu U od x u X vrijedi (U {x}) A = govorimo da je x gomilište skupa A u prostoru X. Skup svih gomilišta promatranoga skupa A u prostoru X označujemo sa A. Reći ćemo da je točka x X blizu skupa A X ako je x A A. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 30 /
54 Definicija Neka je X topološki prostor i A X. Reći ćemo da je x X izolirana točka skupa A u prostoru X ako postoji okolina U od x u X takva da je U A = {x} tj. ako je x A i skup {x} je otvoren u relativnoj topologiji na A. Ako za svaku okolinu U od x u X vrijedi (U {x}) A = govorimo da je x gomilište skupa A u prostoru X. Primjer Skup svih gomilišta promatranoga skupa A u prostoru X označujemo sa A. Reći ćemo da je točka x X blizu skupa A X ako je x A A. Svaka točka iz diskretnog topološkog prostora je izolirana točka. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 30 /
55 Zadatak Odredite sva gomilišta i izolirane točke sljedećih podskupova euklidskih prostora: N, { Q i 2, 5 {6}u R, (x, y) x 2 + y 2 = n+1 n, n N}, {( 1 n, 1 ) } { m n, m N i (x, y) 0 < x < 1 π, y = sin 1 } x u R 2. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 31 /
56 Zadatak Odredite sva gomilišta i izolirane točke sljedećih podskupova euklidskih prostora: N, { Q i 2, 5 {6}u R, (x, y) x 2 + y 2 = n+1 n, n N}, {( 1 n, 1 ) } { m n, m N i (x, y) 0 < x < 1 π, y = sin 1 } x u R 2. Zadatak Neka je A R omeđen skup. Tada su inf A i sup A gomilišta skupa A. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 31 /
57 Teorem Skup A X je zatvoren u prostoru X ako i samo ako sadrži sva svoja gomilišta, tj. A A (sve točke blizu A su u A). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 32 /
58 Teorem Skup A X je zatvoren u prostoru X ako i samo ako sadrži sva svoja gomilišta, tj. A A (sve točke blizu A su u A). Definicija Zatvarač Cl A skupa A X iz topološkog prostora X je presjek svih zatvorenih skupova koji sadrže A. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 32 /
59 Teorem Skup A X je zatvoren u prostoru X ako i samo ako sadrži sva svoja gomilišta, tj. A A (sve točke blizu A su u A). Definicija Zatvarač Cl A skupa A X iz topološkog prostora X je presjek svih zatvorenih skupova koji sadrže A. Očigledno je zatvarač skupa A najmanji zatvoreni skup koji sadrži A i vrijedi Cl A = A A. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 32 /
60 Teorem Skup A X je zatvoren u prostoru X ako i samo ako sadrži sva svoja gomilišta, tj. A A (sve točke blizu A su u A). Definicija Zatvarač Cl A skupa A X iz topološkog prostora X je presjek svih zatvorenih skupova koji sadrže A. Očigledno je zatvarač skupa A najmanji zatvoreni skup koji sadrži A i vrijedi Cl A = A A. Definicija Granica skupa A X iz topološkog prostora X je skup Fr A = Cl A Cl (X \A) FPMOZ Sveučilište u Mostaru 32 /
61 Zadatak Odredite zatvarače i granice sljedećih podskupova euklidskih prostora: a, b, N i Q u R i u R 2 ; {( x, sin 1 x ) x > 0 } R 2 ; { (x, y) y = 1 n x, n N, x R} u R 2. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 33 /
62 Zadatak Odredite nutrinu, zatvarač i granicu sljedećih podskupova u potprostorima euklidskih prostora: 0, 1] u potprostoru, 1] prostora R; 0, 1 0, 1 u potprostoru 1, 1 1, 1 prostora R 2. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 34 /
63 Definicija Reći ćemo da topološki prostor X nije povezan (ili da je nepovezan), ako dopušta rastav X = U V pri čemu su podskupovi U, V X neprazni, otvoreni i disjunktni. U protivnom, za prostor X kažemo da je povezan. Reći ćemo da je skup A X povezan ( nepovezan) ako je povezan (nepovezan) kao potprostor od X, tj. skup A je nepovezan ako postoje otvoreni skupovi U i V u X takvi da je U A =, V A =, (U A) (V A) = i A U V. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 35 /
64 Definicija Reći ćemo da topološki prostor X nije povezan (ili da je nepovezan), ako dopušta rastav X = U V pri čemu su podskupovi U, V X neprazni, otvoreni i disjunktni. U protivnom, za prostor X kažemo da je povezan. Reći ćemo da je skup A X povezan ( nepovezan) ako je povezan (nepovezan) kao potprostor od X, tj. skup A je nepovezan ako postoje otvoreni skupovi U i V u X takvi da je U A =, V A =, (U A) (V A) = i A U V. Primjer Skupovi N i Q su nepovezani podskupovi od R. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 35 /
65 Definicija Reći ćemo da topološki prostor X nije povezan (ili da je nepovezan), ako dopušta rastav X = U V pri čemu su podskupovi U, V X neprazni, otvoreni i disjunktni. U protivnom, za prostor X kažemo da je povezan. Reći ćemo da je skup A X povezan ( nepovezan) ako je povezan (nepovezan) kao potprostor od X, tj. skup A je nepovezan ako postoje otvoreni skupovi U i V u X takvi da je U A =, V A =, (U A) (V A) = i A U V. Primjer Skupovi N i Q su nepovezani podskupovi od R. Teorem Euklidski prostor R je povezan. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 35 /
66 Neka je X topološki prostor. Familiju A = (A λ λ Λ) podskupova od X nazivamo pokrivačem prostora (skupa) X ako je A = X. Ako su λ Λ svi skupovi iz A otvoreni tada za A kažemo da je otvoreni pokrivač za X. Svaku podfamiliju A = (A λ λ Λ ), Λ Λ, od A nazivamo potpokrivačem od A ako je i sam pokrivač prostora X. Definicija Reći ćemo da je topološki prostor X kompaktan ako svaki otvoreni pokrivač U za prostor X dopušta konačni potpokrivač U za X. Za skup A X kažemo da je kompaktan, ako je kompaktan kao potprostor od X. Definicija Za metrički prostor koji je povezan i kompaktan kažemo da je kontinuum. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 36 /
67 Primjer Niti jedan euklidski prostor R n, n N, nije kompaktan. Uočimo li, naime, otvoreni pokrivač U = {B(0, n) n N} za R n što ga tvore sve kugle oko ishodišta 0 = (0,, 0) R n s polumjerima n N, razvidno je da ga nije moguće reducirati na konačni potpokrivač. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 37 /
68 Primjer Niti jedan euklidski prostor R n, n N, nije kompaktan. Uočimo li, naime, otvoreni pokrivač U = {B(0, n) n N} za R n što ga tvore sve kugle oko ishodišta 0 = (0,, 0) R n s polumjerima n N, razvidno je da ga nije moguće reducirati na konačni potpokrivač. Zadatak Dokažite da interval a, b nije kompaktan podskup od R. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 37 /
69 Primjer Niti jedan euklidski prostor R n, n N, nije kompaktan. Uočimo li, naime, otvoreni pokrivač U = {B(0, n) n N} za R n što ga tvore sve kugle oko ishodišta 0 = (0,, 0) R n s polumjerima n N, razvidno je da ga nije moguće reducirati na konačni potpokrivač. Zadatak Dokažite da interval a, b nije kompaktan podskup od R. Teorem Svaki kompaktni metrički prostor je omeđen. Svaki kompaktni podskup K metričkog prostora X je zatvoren. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 37 /
70 Primjer Niti jedan euklidski prostor R n, n N, nije kompaktan. Uočimo li, naime, otvoreni pokrivač U = {B(0, n) n N} za R n što ga tvore sve kugle oko ishodišta 0 = (0,, 0) R n s polumjerima n N, razvidno je da ga nije moguće reducirati na konačni potpokrivač. Zadatak Dokažite da interval a, b nije kompaktan podskup od R. Teorem Svaki kompaktni metrički prostor je omeđen. Svaki kompaktni podskup K metričkog prostora X je zatvoren. Teorem Podskup euklidskog prostora je kompaktan akko je zatvoren i omeđen. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 37 /
71 Neprekidnost Definicija Neka su X i Y topološki prostori. Kažemo da je f : X Y neprekidno preslikavanje (funkcija) u točki x 0 X ako za svaku okolinu V točke f (x 0 ) postoji okolina U točke x 0 takva da je f (U) V. U protivnome kažemo da je f prekidno u točki x 0. Ako je f neprekidno u svakoj točki x X kažemo da je f neprekidno. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 38 /
72 Neprekidnost Definicija Neka su X i Y topološki prostori. Kažemo da je f : X Y neprekidno preslikavanje (funkcija) u točki x 0 X ako za svaku okolinu V točke f (x 0 ) postoji okolina U točke x 0 takva da je f (U) V. U protivnome kažemo da je f prekidno u točki x 0. Ako je f neprekidno u svakoj točki x X kažemo da je f neprekidno. Primjer Identiteta id = 1 X : X X definirana sa id (x) = x, x X je neprekidna. Konstantno preslikavanje c : X Y definirano sa c (x) = y 0, x X, y 0 Y, je neprekidno. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 38 /
73 Neprekidnost Definicija Neka su X i Y topološki prostori. Kažemo da je f : X Y neprekidno preslikavanje (funkcija) u točki x 0 X ako za svaku okolinu V točke f (x 0 ) postoji okolina U točke x 0 takva da je f (U) V. U protivnome kažemo da je f prekidno u točki x 0. Ako je f neprekidno u svakoj točki x X kažemo da je f neprekidno. Primjer Identiteta id = 1 X : X X definirana sa id (x) = x, x X je neprekidna. Konstantno preslikavanje c : X Y definirano sa c (x) = y 0, x X, y 0 Y, je neprekidno. Primjer Neka je X topološki prostor, a A X bilo koji njegov potprostor. Tada je ulaganje (inkluzija) i A : A X, i A (x) = x za svaki x A, neprekidna funkcija. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 38 /
74 Zadatak Neka je f : X Y preslikavanje topoloških prostora i neka je x 0 X izolirana točka. Dokažite da je f neprekidno u x 0. Primjer Neka je X diskretan topološki prostor. Dokažite da je za svaki topološki prostor Y svaka funkcija f : X Y neprekidna. Primjer Dokažite da je funkcija f : [ 1, 4] {5} R zadana sa f (x) = { 1, x Q 0, x I prekidna u svakoj točki domene osim u 5. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 39 /
75 Teorem Neka su X i Y topološki prostori, a f : X Y funkcija. Tada su ove tvrdnje međusobno ekvivalentne: (i) f je neprekidna; (ii) ( V Y otvoren) f 1 [V ] X je otvoren; (iii) ( F Y zatvoren) f 1 [F ] X je zatvoren. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 40 /
76 Zadatak Ako je f : X Y neprekidno preslikavanje onda je, za svaki potprostor A X, i suženje (restrikcija) f A : A Y neprekidno preslikavanje. Nadalje, ako je f : X Y neprekidno preslikavanje onda je, za svaki potprostor Y Y, i funkcija g : X Y g (x) = f (x), x X, neprekidno preslikavanje. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 41 /
77 Zadatak Ako je f : X Y neprekidno preslikavanje onda je, za svaki potprostor A X, i suženje (restrikcija) f A : A Y neprekidno preslikavanje. Nadalje, ako je f : X Y neprekidno preslikavanje onda je, za svaki potprostor Y Y, i funkcija g : X Y g (x) = f (x), x X, neprekidno preslikavanje. Teorem Neka su X, Y i Z topološki prostori, a f : X Y i g : Y Z funkcije. Ako je f neprekidna u točki x 0 X i g neprekidna u točki f (x 0 ) Y, onda je kompozicija gf : X Z neprekidna u točki x 0. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 41 /
78 Teorem ( Ljepljenje preslikavanja) Neka je X = A 1 A 2 pri čemu su oba A 1,2 X otvoreni ili zatvoreni podskupovi topološkog prostora X. Ako su f j : A j Y, j = 1, 2, neprekidna preslikavanja što se podudaraju na presjeku, tj. f 1 A1 A{ 2 = f 2 A1 A 2, onda je i funkcija f1 (x), x A f : X Y, f (x) = 1, neprekidno preslikavanje. f 2 (x), x A 2 FPMOZ Sveučilište u Mostaru 42 /
79 Teorem ( Ljepljenje preslikavanja) Neka je X = A 1 A 2 pri čemu su oba A 1,2 X otvoreni ili zatvoreni podskupovi topološkog prostora X. Ako su f j : A j Y, j = 1, 2, neprekidna preslikavanja što se podudaraju na presjeku, tj. f 1 A1 A{ 2 = f 2 A1 A 2, onda je i funkcija f1 (x), x A f : X Y, f (x) = 1, neprekidno preslikavanje. f 2 (x), x A 2 Primjer { 0, x < 0 Funkcija f : R R f (x) = nije neprekidna iako su suženja 1, x 0 f 1 f (,0) i f 2 f [0, ) neprekidna (konstante). S druge strane, primjenom prethodnog teorema, izlazi da je funkcija h f (0, ) (,0) neprekidna. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 42 /
80 Neprekidnost u metričkim prostorima Korolar Neka su (X, d X ) i (Y, d Y )metrički prostori. Funkcija f : X Y je neprekidna u točki x 0 X onda i samo onda, ako udovoljava ovomu uvjetu: ( ɛ > 0)( δ > 0)( x X ) d X (x 0, x) < δ d Y (f (x 0 ), f (x)) < ɛ. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 43 /
81 Neprekidnost u metričkim prostorima Korolar Neka su (X, d X ) i (Y, d Y )metrički prostori. Funkcija f : X Y je neprekidna u točki x 0 X onda i samo onda, ako udovoljava ovomu uvjetu: ( ɛ > 0)( δ > 0)( x X ) d X (x 0, x) < δ d Y (f (x 0 ), f (x)) < ɛ. Primjer Svaka koordinatna projekcija p i : R n R, p i (x) = x i, x = (x 1,, x n ), i = 1,, n, je neprekidna funkcija. (Primijetimo da je skup [ ξ, η ] = R R ξ, η R R R n otvoren) p 1 i FPMOZ Sveučilište u Mostaru 43 /
82 Neprekidnost u metričkim prostorima Korolar Neka su (X, d X ) i (Y, d Y )metrički prostori. Funkcija f : X Y je neprekidna u točki x 0 X onda i samo onda, ako udovoljava ovomu uvjetu: ( ɛ > 0)( δ > 0)( x X ) d X (x 0, x) < δ d Y (f (x 0 ), f (x)) < ɛ. Primjer Svaka koordinatna projekcija p i : R n R, p i (x) = x i, x = (x 1,, x n ), i = 1,, n, je neprekidna funkcija. (Primijetimo da je skup [ ξ, η ] = R R ξ, η R R R n otvoren) p 1 i Primjer Norma : X R na vektorskom prostoru X je neprekidno preslikavanje, pri čemu X uzimamo kao metrički prostor s metrikom induciranom normom, a R kao standardni euklidski prostor. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 43 /
83 Svako preslikavanje f : X R n, je određeno svojim koordinatnim preslikavanjima f i := p i f : X R, i = 1,..., n, gdje je f (x) = (f 1 (x),..., f n (x)). Stoga ćemo pisati f = (f 1,..., f n ) : X R n. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 44 /
84 Svako preslikavanje f : X R n, je određeno svojim koordinatnim preslikavanjima f i := p i f : X R, i = 1,..., n, gdje je f (x) = (f 1 (x),..., f n (x)). Stoga ćemo pisati f = (f 1,..., f n ) : X R n. Teorem Neka je X metrički prostor. Funkcija f : X R n je neprekidna u točki x 0 X ako i samo ako su sve njezine koordinatne funkcije f j : X R, j = 1,, n, neprekidne u točki x 0. Posljedično, funkcija f je neprekidna točno onda kad su joj sve koordinatne funkcije f 1,, f n neprekidne. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 44 /
85 Svako preslikavanje f : X R n, je određeno svojim koordinatnim preslikavanjima f i := p i f : X R, i = 1,..., n, gdje je f (x) = (f 1 (x),..., f n (x)). Stoga ćemo pisati f = (f 1,..., f n ) : X R n. Teorem Neka je X metrički prostor. Funkcija f : X R n je neprekidna u točki x 0 X ako i samo ako su sve njezine koordinatne funkcije f j : X R, j = 1,, n, neprekidne u točki x 0. Posljedično, funkcija f je neprekidna točno onda kad su joj sve koordinatne funkcije f 1,, f n neprekidne. Analogno se pokaže da je funkcija f : X R m 1 R m 2 R m n neprekidna akko je neprekidna svaka njezina koordinatna funkcija f i : X R m i, f i = p mi 1 +1,m i f gdje je p i : R m 1+m 2 + +m n R m i projekcija od m i ve koordinate do m i -te koordinate (m i 1 = 0) vektora iz R m 1+m 2 + +m n. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 44 /
86 Teorem Neka su X i Y metrički prostori, a f, g : X Y dva neprekidna preslikavanja. Tada je skup {x X f (x) = g (x)} zatvoren podskup od X. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 45 /
87 Teorem Neka su X i Y metrički prostori, a f, g : X Y dva neprekidna preslikavanja. Tada je skup {x X f (x) = g (x)} zatvoren podskup od X. Korolar Neka su X i Y metrički prostori, a f, g : X Y dva neprekidna preslikavanja, te neka je f A = g A za neki podskup A X. Tada je f Cl A = g Cl A. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 45 /
88 Teorem Neka su X i Y metrički prostori, a f, g : X Y dva neprekidna preslikavanja. Tada je skup {x X f (x) = g (x)} zatvoren podskup od X. Korolar Neka su X i Y metrički prostori, a f, g : X Y dva neprekidna preslikavanja, te neka je f A = g A za neki podskup A X. Tada je f Cl A = g Cl A. Korolar Neka su X i Y metrički prostori i neka je A X gust podskup (Cl A = X ). Ako neprekidna funkcija f : A Y dopušta neprekidno proširenje f : X Y na X onda je ono jedinstveno. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 45 /
89 Teorem U (realnom) normiranom vektorskom prostoru X su zbrajanje i množenje sa skalarom neprekidne funkcije. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 46 /
90 Teorem U (realnom) normiranom vektorskom prostoru X su zbrajanje i množenje sa skalarom neprekidne funkcije. Korolar Ako su f, g : X R neprekidna preslikavanja, onda su i f + g : X R, (f + g)(x) = f (x) + g(x), i f g : X R, (f g)(x) = f (x)g(x), neprekidna preslikavanja. Posebice, zbrajanje i množenje funkcije s danom konstantom λ R (tj. konstantnom funkcijom c λ : X R) jesu neprekidna preslikavanja. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 46 /
91 Teorem U (realnom) normiranom vektorskom prostoru X su zbrajanje i množenje sa skalarom neprekidne funkcije. Korolar Ako su f, g : X R neprekidna preslikavanja, onda su i f + g : X R, (f + g)(x) = f (x) + g(x), i f g : X R, (f g)(x) = f (x)g(x), neprekidna preslikavanja. Posebice, zbrajanje i množenje funkcije s danom konstantom λ R (tj. konstantnom funkcijom c λ : X R) jesu neprekidna preslikavanja. Korolar Za svaki topološki prostor T i svaki n N, skup svih neprekidnih preslikavanja x : T R n tvori (realni) vektorski prostor C(T, R n ). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 46 /
92 Dokaz Teorema Označimo vektorsko zbrajanje funkcijom f, tj. f : X X X, f (x, y) = x + y. Neka je (x 0, y 0 ) X X bilo koja točka i neka je ɛ > 0 bilo koji realni broj. Odaberimo δ = ɛ 2 (ne ovisi o (x 0, y 0 )!), pa neka (x, y) X X d ((x 0, y 0 ), (x, y)) = x x y y 0 2 < δ. Tada je x x 0 < δ i y y 0 < δ pa je f (x, y) f (x 0, y 0 ) = (x + y) (x 0 + y 0 ) x x 0 + y y 0 < 2δ = ɛ, što pokazuje da je zbrajanje f neprekidno u (x 0, y 0 ). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 47 /
93 Neka f sada označuje množenje skalara i vektora, tj. f : R X X, f (λ, x) = λx. Neka je (λ 0, x 0 ) R X bilo koja točka i neka je ɛ > 0 bilo koji realni broj. Primijetimo da je f (λ, x) f (λ 0, x 0 ) = λx λ 0 x 0 = (λ λ 0 )(x x 0 ) + λ 0 (x x 0 ) + (λ λ 0 )x 0 λ λ 0 x x 0 + λ 0 x x 0 + λ λ 0 x 0. ɛ Odaberimo δ = min{1, 1+ λ 0 + x 0 } > 0 (ovisi i o (λ 0, x 0 )!), pa neka (λ, x) R X bilo koja točka do na δ-blizu točki (λ 0, x 0 ). Tada je λ λ 0 < δ i x x 0 < δ pa je, po prethodnom računu, f (λ, x) f (λ 0, x 0 ) = λx λ 0 x 0 < δ + λ 0 δ + x 0 δ < ɛ, što pokazuje da je množenje vektora i skalara f neprekidno u (x 0, y 0 ). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 48 /
94 Teorem Neka su funkcije f, g : X R, X R m, neprekidne u točki x 0 X. (i) Ako je g(x 0 ) = 0 onda postoji okolina U R m od x 0 za koju je dobro definirana funkcija h : X U R, h(x) = f (x ), i h je neprekidna u g (x ) točki x 0. (ii) Funkcija f : X R je neprekidna u x 0. (iii) Funkcije min {f, g}, max {f, g} : X R su neprekidne u x 0. Korolar Polinomi jedne ili više varijabli su neprekidne funkcije. Racionalne funkcije su neprekidne u svim točkama u kojima je funkcija definirana (sve točke iz R osim nul točaka nazivnika). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 49 /
95 Uniformna neprekidnost Definicija Neka su (X, d X ) i (Y, d Y ) metrički prostori i f : X Y funkcija. Reći ćemo da je f jednoliko preslikavanje ili da je jednoliko ( uniformno) neprekidna funkcija, ako udovaljava ovomu uvjetu: ( ɛ > 0)( δ > 0)( x X )( x X ) d X (x, x ) < δ d Y (f (x), f (x )) < ɛ FPMOZ Sveučilište u Mostaru 50 /
96 Uniformna neprekidnost Definicija Neka su (X, d X ) i (Y, d Y ) metrički prostori i f : X Y funkcija. Reći ćemo da je f jednoliko preslikavanje ili da je jednoliko ( uniformno) neprekidna funkcija, ako udovaljava ovomu uvjetu: ( ɛ > 0)( δ > 0)( x X )( x X ) d X (x, x ) < δ d Y (f (x), f (x )) < ɛ Primjer Identička i konstantna preslikavanja metričkih prostora su uniformno neprekidna. Zbrajanje vektora na normiranom vektorskom prostoru je uniformno neprekidno. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 50 /
97 Svaka uniformno neprekidna funkcija je neprekidna, no obrat općenito ne vrijedi kao što pokazuju sljedeći primjeri. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 51 /
98 Primjer Svaka uniformno neprekidna funkcija je neprekidna, no obrat općenito ne vrijedi kao što pokazuju sljedeći primjeri. Množenje vektora normiranog vektorskog prostora sa skalarom, R X X, nije uniformno neprekidna funkcija. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 51 /
99 Primjer Svaka uniformno neprekidna funkcija je neprekidna, no obrat općenito ne vrijedi kao što pokazuju sljedeći primjeri. Množenje vektora normiranog vektorskog prostora sa skalarom, R X X, nije uniformno neprekidna funkcija. Zadatak Preslikavanje f : R R f (x) = x 2 nije uniformno neprekidno, a preslikavanje g : R R g (x) = ax + b jest. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 51 /
100 Definicija Neka su X i Y metrički prostori i f : X Y funkcija. Reći ćemo da f ima Lipschitzovo svojstvo ako ( λ 0)( x, x X ) d(f (x), f (x )) λd(x, x ). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 52 /
101 Definicija Neka su X i Y metrički prostori i f : X Y funkcija. Reći ćemo da f ima Lipschitzovo svojstvo ako ( λ 0)( x, x X ) d(f (x), f (x )) λd(x, x ). Teorem Ako funkcija f : X Y ima Lipschitzovo svojstvo onda je f jednoliko neprekidna. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 52 /
102 Teorem Svaki linearni operator A : R m R n je linearno ograđen, tj. ( µ 0)( x R m ) A(x) µ x. (Norma je euklidska norma 2 ili 1 ili ) FPMOZ Sveučilište u Mostaru 53 /
103 Teorem Svaki linearni operator A : R m R n je linearno ograđen, tj. ( µ 0)( x R m ) A(x) µ x. (Norma je euklidska norma 2 ili 1 ili ) Korolar Svaki linearni operator A : R m R n ima Lipschitzovo svojstvo pa je jednoliko neprekidan. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 53 /
104 Teorem Svaki linearni operator A : R m R n je linearno ograđen, tj. ( µ 0)( x R m ) A(x) µ x. (Norma je euklidska norma 2 ili 1 ili ) Korolar Svaki linearni operator A : R m R n ima Lipschitzovo svojstvo pa je jednoliko neprekidan. Množenje vektora normiranog vektorskog prostora X sa fiksnim skalarom λ 0, ϕ : X X ϕ (x) = λ 0 x, je linearni operator pa je uniformno neprekidan. Ta funkcija je zapravo restrikcija funkcije množenja vektora sa skalarom R X X na {λ 0 } X X koja nije uniformno neprekidna. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 53 /
105 Teorem Svaki linearni operator A : R m R n je linearno ograđen, tj. ( µ 0)( x R m ) A(x) µ x. (Norma je euklidska norma 2 ili 1 ili ) Korolar Svaki linearni operator A : R m R n ima Lipschitzovo svojstvo pa je jednoliko neprekidan. Množenje vektora normiranog vektorskog prostora X sa fiksnim skalarom λ 0, ϕ : X X ϕ (x) = λ 0 x, je linearni operator pa je uniformno neprekidan. Ta funkcija je zapravo restrikcija funkcije množenja vektora sa skalarom R X X na {λ 0 } X X koja nije uniformno neprekidna. Ako je funkcija f : Ω R m Ω R n uniformno neprekidna uz bilo koju od metrika d 1, d 2, d na R m i R n onda je uniformno neprekidna i uz svaku drugu od tih metrika. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 53 /
106 Homeomorfizam Definicija Neka su X i Y topološki prostori, a f : X Y funkcija. Reći ćemo da je f homeomorfizam, ako udovoljuje ovim uvjetima: (i) f je bijekcija; (ii) f je neprekidno; (iii) f 1 je neprekidno. Reći ćemo da je prostor X homeomorfan prostoru Y i pisati X Y čim postoji neki homeomorfizam f : X Y. Homeomorfnost topoloških prostora je razredbena relacija na klasi svih topoloških prostora. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 54 /
107 Primjer Za svaki a, b R, potprostor a, b R i cijeli prostor R su homeomorfni. Svaka dva segmenta [a, b] i [c, d] su homeomorfna. Svake dvije n 1 sfere S n 1 u R n su homeomorfne. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 55 /
108 Primjer Za svaki a, b R, potprostor a, b R i cijeli prostor R su homeomorfni. Svaka dva segmenta [a, b] i [c, d] su homeomorfna. Svake dvije n 1 sfere S n 1 u R n su homeomorfne. Primjer Funkcija exp : [0, 2π S 1 exp (t) = (cos t, sin t) eksponencijalnog namatanja pravca na kružnicu je neprekidna bijekcija, ali nije homeomorfizam. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 55 /
109 Invarijante neprekidnih preslikavanja Teorem Neka je f : X Y neprekidno preslikavanje. Ako je prostor X povezan, onda je i slika f (X ) Y povezan skup. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 56 /
110 Invarijante neprekidnih preslikavanja Teorem Neka je f : X Y neprekidno preslikavanje. Ako je prostor X povezan, onda je i slika f (X ) Y povezan skup. Primjer Kružnica S 1 je povezana. Segment [a, b] R je povezan. Interval (a, b) R je povezan. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 56 /
111 Invarijante neprekidnih preslikavanja Teorem Neka je f : X Y neprekidno preslikavanje. Ako je prostor X povezan, onda je i slika f (X ) Y povezan skup. Primjer Kružnica S 1 je povezana. Segment [a, b] R je povezan. Interval (a, b) R je povezan. Napomena Graf funkcije f : X R n, X R m, je skup Γ f = {(x, f (x) x X )} R m+n. Povezanost grafa nije niti nužan niti dovoljan uvjet za neprekidnost funkcije f. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 56 /
112 Teorem Neka je (X j j J) množina nepraznih podskupova X j X topološkog prostora X takvih da je X j = X i X j =. Ako je svaki X j povezan onda je i X povezan. j J j J FPMOZ Sveučilište u Mostaru 57 /
113 Definicija Pod putom u topološkom prostoru X podrazumijevamo svako neprekidno preslikavanje ω : [a, b] X. Točku x 0 = ω(a) nazivamo početkom, a točku x 1 = ω(b) svršetkom puta ω u X. Pri tom govorimo da put ω povezuje točku x 0 s točkom x 1, a skup ω ([a, b]) nazivamo slikom ili trajektorijom puta ω. Ako x 0 = x 1 put nazivamo zatvorenim. Ako je put ω injektivno preslikavanje onda ga nazivamo lukom. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 58 /
114 Definicija Pod putom u topološkom prostoru X podrazumijevamo svako neprekidno preslikavanje ω : [a, b] X. Točku x 0 = ω(a) nazivamo početkom, a točku x 1 = ω(b) svršetkom puta ω u X. Pri tom govorimo da put ω povezuje točku x 0 s točkom x 1, a skup ω ([a, b]) nazivamo slikom ili trajektorijom puta ω. Ako x 0 = x 1 put nazivamo zatvorenim. Ako je put ω injektivno preslikavanje onda ga nazivamo lukom. Primjer U normiranom vektorskom prostoru X svaki par točaka x 0 i x 1 određuje pravocrtni put koji povezuje x 0 sa x 1. To je put definiran sa ω : [0, 1] X, ω (t) = x 0 + t (x 1 x 0 ). U jediničnom kvadratu u R 2 postoji put čija trajektorija prolazi svim točkama kvadrata (Peanova krivulja). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 58 /
115 Definicija Reći ćemo da je topološki prostor X putovima povezan, ako za svake dvije točke x 0, x 1 X postoji put ω u X koji ih povezuje. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 59 /
116 Definicija Reći ćemo da je topološki prostor X putovima povezan, ako za svake dvije točke x 0, x 1 X postoji put ω u X koji ih povezuje. Teorem Ako je prostor X putovima povezan onda je i povezan. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 59 /
117 Definicija Reći ćemo da je topološki prostor X putovima povezan, ako za svake dvije točke x 0, x 1 X postoji put ω u X koji ih povezuje. Teorem Ako je prostor X putovima povezan onda je i povezan. Primjer Skup W = {( x, sin 1 x ) x (0, 1) } {(0, 0)} je povezan, ali nije putovima povezan jer ne postoji put koji povezuje točku (0, 0) i bilo koju drugu točku iz W. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 59 /
118 Definicija Za skup K iz normiranog prostora X kažemo da je konveksan ako za svaki par točaka x 0, x 1 K postoji pravocrtni put u K koji povezuje x 0 s x 1. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 60 /
119 Definicija Za skup K iz normiranog prostora X kažemo da je konveksan ako za svaki par točaka x 0, x 1 K postoji pravocrtni put u K koji povezuje x 0 s x 1. Teorem Svaki konveksni skup K u normiranom vektorskom prostoru je povezan i putovima povezan. Posebno je svaki normirani vektorski prostor (putovima) povezan. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 60 /
120 Definicija Za skup K iz normiranog prostora X kažemo da je konveksan ako za svaki par točaka x 0, x 1 K postoji pravocrtni put u K koji povezuje x 0 s x 1. Teorem Svaki konveksni skup K u normiranom vektorskom prostoru je povezan i putovima povezan. Posebno je svaki normirani vektorski prostor (putovima) povezan. Primjer Kugla B(x 0, r) R n je putovima povezana. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 60 /
121 Definicija Za skup K iz normiranog prostora X kažemo da je konveksan ako za svaki par točaka x 0, x 1 K postoji pravocrtni put u K koji povezuje x 0 s x 1. Teorem Svaki konveksni skup K u normiranom vektorskom prostoru je povezan i putovima povezan. Posebno je svaki normirani vektorski prostor (putovima) povezan. Primjer Kugla B(x 0, r) R n je putovima povezana. Teorem Neprazni podskup K R je povezan akko je konveksan tj. ako je ili jednotočkovan skup ili (polu)otvoreni i (polu) zatvoreni interval ili zraka. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 60 /
122 Definicija Otvoren i povezan skup Ω u R n zovemo područjem. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 61 /
123 Definicija Otvoren i povezan skup Ω u R n zovemo područjem. Teorem Otvoreni skup U R n je područje onda i samo onda, ako za svake dvije točke x, x U postoji poligonalni put u U koji ih povezuje, tj. ako postoji konačno mnogo točaka x 0 = x, x 1,, x k 1, x k = x, k N, takvih da sve dužine x l 1 x l := {(1 t) x l 1 + x l }, l = 1,, k, leže u skupu U. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 61 /
124 Teorem (Teorem o međuvrijednostima) Neka je X povezan, f : X R omeđena neprekidna funkcija, i neka je m := inf f [X ], M := sup f [X ]. Tada za svaki t (m, M) postoji točka x X takva da je f (x) = t. Ako je c, d f [X ] onda je [c, d] f [X ]. Korolar Neka je ϕ : [a, b] R neprekidna funkcija takva da je ϕ (a) ϕ (b) < 0. Tada postoji t (a, b), ϕ (t) = 0. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 62 /
125 Teorem Neka je f : X Y neprekidno preslikavanje. Ako je X kompaktan onda je i slika f [X ] Y kompaktna. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 63 /
126 Teorem Neka je f : X Y neprekidno preslikavanje. Ako je X kompaktan onda je i slika f [X ] Y kompaktna. Teorem Neka je X R m i Y R n i neka je f : X Y bijektivno neprekidno preslikavanje. Ako je X kompaktan onda je f 1 : Y X neprekidno, tj. f je homeomorfizam. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 63 /
127 Teorem Neka je f : X Y neprekidno preslikavanje. Ako je X kompaktan onda je i slika f [X ] Y kompaktna. Teorem Neka je X R m i Y R n i neka je f : X Y bijektivno neprekidno preslikavanje. Ako je X kompaktan onda je f 1 : Y X neprekidno, tj. f je homeomorfizam. Zadatak Dokažite da je f : (0, 1) {2, 3} [0, 1] f (x) = x, x (0, 1), f (2) = 0, f (3) = 1, neprekidna bijekcija koja nije homeomorfizam. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 63 /
128 Teorem Neka je f : X Y neprekidno preslikavanje. Ako je X kompaktan onda je i slika f [X ] Y kompaktna. Teorem Neka je X R m i Y R n i neka je f : X Y bijektivno neprekidno preslikavanje. Ako je X kompaktan onda je f 1 : Y X neprekidno, tj. f je homeomorfizam. Zadatak Dokažite da je f : (0, 1) {2, 3} [0, 1] f (x) = x, x (0, 1), f (2) = 0, f (3) = 1, neprekidna bijekcija koja nije homeomorfizam. Zadatak Ispitajte je li f : [0, π] { (x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1 } f (t) = (cos t, sin t) homeomorfizam. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 63 /
129 Teorem Neka je f : X Y neprekidno preslikavanje metričkih prostora. Ako je X kompaktan onda je f jednoliko neprekidno. Teorem (Weierstrassov teorem) Neka je X neprazni kompaktni prostor i f : X R neprekidno preslikavanje. Tada (i) f poprima svoju najmanju i svoju najveću vrijednost; (ii) ako je prostor X i povezan onda je slika f [X ] segment [min f [X ], max f [X ]]. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 64 /
130 Limes funkcije Definicija Neka su X i Y topološki prostori, A X podskup, x 0 X gomilište od A i f : A Y funkcija. Reći ćemo da funkcija f ima graničnu vrijednost (ili da ima limes) u točki x 0, ako postoji točka y 0 Y takva da, za svaku okolinu V Y od y 0, postoji okolina U X od x 0 za koju je f [A (U {x 0 })] V. Pri tom govorimo da je točka y 0 granična vrijednost ili limes funkcije f u točki x 0 i pišemo: f (x) y 0 čim x x 0. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 65 /
131 Limes funkcije Definicija Neka su X i Y topološki prostori, A X podskup, x 0 X gomilište od A i f : A Y funkcija. Reći ćemo da funkcija f ima graničnu vrijednost (ili da ima limes) u točki x 0, ako postoji točka y 0 Y takva da, za svaku okolinu V Y od y 0, postoji okolina U X od x 0 za koju je f [A (U {x 0 })] V. Pri tom govorimo da je točka y 0 granična vrijednost ili limes funkcije f u točki x 0 i pišemo: f (x) y 0 čim x x 0. U slučaju metričkih prostora X i Y smijemo birati kugle V = B(y 0, ɛ) i U = B(x 0, δ), pa se funkcijska granična vrijednost može opisati ovako: Fukcija f : A Y ima u točki x 0 A graničnu vrijednost y 0 Y ako i samo ako ( ɛ > 0)( δ > 0) ( x A {x 0 }) d(x 0, x) < δ d(y 0, f (x)) < ɛ. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 65 /
132 Teorem Ako je Y metrički prostor, onda funkcija f : A Y, A X, može u točki x 0 A imati najviše jednu graničnu vrijednost. Prethodni teorem nam dopušta rabiti oznaku lim x x 0 f (x) = y 0 za limes funkcije f : X Y kadgod je Y metrički prostor. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 66 /
133 Primjer Realna funkcija realne varijable zadana analitičkim izrazom f (x) = x 3 8 x 2 ima limes u točki x 0 = 2 i on iznosi lim f (x) = 12, iako u točki x 0 = 2 x 2 funkcija f nije definirana. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 67 /
134 Primjer Realna funkcija realne varijable zadana analitičkim izrazom f (x) = x 3 8 x 2 ima limes u točki x 0 = 2 i on iznosi lim f (x) = 12, iako u točki x 0 = 2 x 2 funkcija f nije definirana. Primjer Za realnu funkcija realne varijable zadanu analitičkim izrazom x 2 2x +1 x 2 g (x) = nema smisla promatrati limes u točki x 0 = 1 iako je g (1) = 0. Naime x 0 = 1 nije gomilište područja definicije funkcije g. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 67 /
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραZadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014.
Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014. Zadaća nosi 5 bodova. Sve tvrdnje u zadacima obrazložiti! Renato Babojelić 31 Lea Božić 13 Ana Bulić 7 Jelena Crnjac 5 Bernarda Dragin 19 Gabriela Grdić
Διαβάστε περισσότερα1. Topologija na euklidskom prostoru R n
1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραMETRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI. Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974.
METRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI Šime Ungar http://www.mathos.unios.hr/~sime/ Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974. Š. Ungar. Matematička analiza 3, PMF-Matematički
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότερα2. Konvergencija nizova
6 2. KONVERGENCIJA NIZOVA 2. Konvergencija nizova Niz u skupu X je svaka funkcija x : N X. Vrijednost x(k), k N, se zove opći ili k-ti član niza i obično se označava s x k. U skladu s tim, niz x : N X
Διαβάστε περισσότεραMatematička Analiza 3
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet MATEMATIČKI ODJEL Šime Ungar Matematička Analiza 3 Zagreb, 2002. Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet MATEMATIČKI ODJEL Šime
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραBaza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj.
Opća topologija 24 Opća topologija 26 13. Baza topologije Baza topologije 2 TOPOLOŠKI PROSTORI I NEPREKIDNE FUNKCIJE Topološki prostori Baza topologije Uređajna topologija Produktna topologija na X Y Topologija
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα1 Svojstvo kompaktnosti
1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότεραNermin Okičić Vedad Pašić. Metrički prostori
Å Ì Å ÌÁÃ Nermin Okičić Vedad Pašić Metrički prostori 2016 Å Ì Å ÌÁÃ Sadržaj 1 Metrički prostori 1 1.1 Metrika i osobine......................... 2 1.2 Konvergencija u metričkim prostorima.............
Διαβάστε περισσότεραR ω s uniformnom topologijom i aksiomi prebrojivosti
Opća topologija 116 Opća topologija 118 Drugi aksiom prebrojivosti 4 AKSIOMI SEPARACIJE I PREBROJIVOSTI Aksiomi prebrojivosti Aksiomi separacije Normalni prostori Urysonova lema Urysonov teorem o metrizaciji
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Topologije A
Zadaci iz Topologije A 1. Neka je X neprazan skup i Φ : P(X P(X funkcija za koju vaжi: (1 Φ( = ; (2 A Φ(A za sve A P(X; (3 Φ(A B = Φ(A Φ(B za sve A, B P(X; (4 Φ(Φ(A = Φ(A za sve A P(X. Dokazati da postoji
Διαβάστε περισσότερα1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.
1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije
3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011).
DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU dr. Dženis F. Pučić TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011). Predgovor prvom izdanju Ova skripta nastala su kao rezultat potrebe da se studentima
Διαβάστε περισσότεραVEKTORSKI PROSTORI 2
Odjel za matematiku Sveu ili²ta u Rijeci Ana Jurasi VEKTORSKI PROSTORI 2 Materijali s predavanja Rijeka, 2013. Sadrºaj 1 Topolo²ki vektorski prostori 4 1.1 Uvod................................ 4 1.1.1
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραLinearna uređenja i GO prostori
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Milijana Milovanović Linearna uređenja i GO prostori -Master rad- Mentor: dr Aleksandar Pavlović Novi Sad, 2015.
Διαβάστε περισσότεραMur Smitova konvergencija
Master rad Mur Smitova konvergencija Autor: Jovana Obradović Mentor: prof. dr Miloš Kurilić Novi Sad, 2012. Sadržaj Predgovor................................ i 1 Uvod 1 1.1 Osnovne oznake i rezultati....................
Διαβάστε περισσότεραKOMPAKTNI OPERATORI. Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević. Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu. u zimskom semestru akademske godine 2007./2008.
KOMPAKTNI OPERATORI Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu Sveučilišta u Zagrebu u zimskom semestru akademske godine 2007./2008. Zagreb, siječanj 2008. 2 SADRŽAJ 3
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραMetrički prostori i Riman-Stiltjesov integral
Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Dragan S. Djordjević Niš, 2009. 0 Sadržaj Predgovor 3 1 Metrički prostori 5 1.1 Primeri metričkih prostora................. 5 1.2 Konvergencija nizova i osobine
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραRIEMANNOV TEOREM. Marko Marić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: prof. dr. sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marko Marić RIEMANNOV TEOREM Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Goran Muić Zagreb, rujan, 2014. Ovaj diplomski rad obranjen
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραFlag-tranzitivni linearni prostori
Flag-tranzitivni linearni prostori Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) 5. studenoga 2010. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Flag-tranzitivni linearni prostori 5. studenoga 2010. 1 / 31 Djelovanja grupe
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc
Linearna algebra za fizičare, zimski semestar 006. Mirko Primc Sadržaj Poglavlje 1. Vektorski prostor R n 5 1. Vektorski prostor R n 6. Geometrijska interpretacija vektorskih prostora R i R 3 11 3. Linearne
Διαβάστε περισσότεραREKURZIVNE FUNKCIJE PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc.dr.sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Brigita Švec REKURZIVNE FUNKCIJE Diplomski rad Voditelj rada: Doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, Rujan, 2014. Ovaj diplomski
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalna geometrija u fizici
Diferencijalna geometrija u fizici Bilješke, skice i škrabotine Ivica Smolić 2018 Ožujak 28 Kada narastem, bit ću knjiga Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-Matematički fakultet cbnd Creative Commons licences
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότερα1.2. Funkcije više realnih promjenljivih opšta svojstva i predstavljanje
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 1.. Funkcije više realnih promjenljivih opšta svojstva i predstavljanje 1..1. Pojam funkcije on n realnih promjenljivih Definicija 1..1. Realna funkcija od n
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραTeorema Kantor - Bendiksona i njene primene
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Anika Njamcul Teorema Kantor - Bendiksona i njene primene Master rad Mentor: dr. Aleksandar Pavlović Novi Sad,
Διαβάστε περισσότερα