Zadaci iz Topologije A
|
|
- Τρύφαινα Αλεβιζόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Zadaci iz Topologije A 1. Neka je X neprazan skup i Φ : P(X P(X funkcija za koju vaжi: (1 Φ( = ; (2 A Φ(A za sve A P(X; (3 Φ(A B = Φ(A Φ(B za sve A, B P(X; (4 Φ(Φ(A = Φ(A za sve A P(X. Dokazati da postoji jedinstvena topologija na X takva da se operator zatvorenja u toj topologiji poklapa sa Φ (da je A = Φ(A za sve A P(X. 2. Neka je X beskonaqan skup i T topologija na X koja sadrжi sve beskonaqne podskupove od X. Dokazati da je (X, T diskretan topoloxki prostor. 3. Neka su A i B podskupovi topoloxkog prostora X. (a Dokazati da je int(a \ B int A \ int B. (b Primerom pokazati da u delu pod (a ne mora da vaжi jednakost. (v Da li postoji neka veza (u smislu inkluzije između skupova A \ B i A \ B? 4. Neka je X topoloxki prostor. (a Ako je B zatvoren skup u X, dokazati da je int( B =. (b Primerom pokazati da tvrđenje (a ne vaжi ako se izostavi pretpostavka da je B zatvoren. (v Da li bi tvrđenje (a vaжilo kad bi se pretpostavka da je B zatvoren zamenila pretpostavkom da je B otvoren? (g Dokazati da za svaki A X vaжi da je A = A. 5. Neka je X neprazan skup i {T α } α A familija topologija na X. (a Dokazati da postoji (jedinstvena najxira (najfinija topologija T na X sa svojstvom da za svako α A vaжi T T α (ovu topologiju T oznaqavamo sa inf T α. α A (b Dokazati da postoji (jedinstvena najuжa (najgrublja topologija M na X sa svojstvom da za svako α A vaжi T α M (ovu topologiju M oznaqavamo sa sup α A (v Ako je U uobiqajena topologija na R, a T e topologija uoqene taqke e R na istom skupu, odrediti inf{u, T e } i sup{u, T e }. U topoloxkom prostoru (R, inf{u, T e } na i {(1 + 1 n n n N}. T α. 6. Neka je C[0, 1] = { f : [0, 1] R f je neprekidna }. Za svako f C[0, 1], svako ε > 0 i svaki konaqan skup A [0, 1] definixemo U(f, A, ε := { g C[0, 1] ( x A f(x g(x < ε } C[0, 1]. (a Ako je B familija svih ovih skupova, tj. B = { U(f, A, ε f C[0, 1], A [0, 1], A konaqan, ε > 0 }, dokazati da je B baza neke topologije T na C[0, 1]. ( (b Ako je U topologija na C[0, 1] indukovana ravnomernom metrikom d d (f, g = max f(x g(x, 0 x 1 uporediti topologije T i U ako se one mogu uporediti. (Drugim reqima, utvrditi koji od slede a qetiri iskaza je taqan: (1 T U; (2 U T ; (3 T = U; (4 T i U su neuporedive. (v Ako je M topologija na C[0, 1] indukovana integralnom metrikom d 1 (d 1 1 (f, g = f(x g(x dx, uporediti topologije T i M ako se one mogu uporediti. (g Uporediti topologije U i M ako se one mogu uporediti Dat je topoloxki prostor (X, T X, familija topoloxkih prostora {(X λ, T Xλ } λ Λ i familija preslikavanja f λ : X X λ. Dokazati da je kolekcija B = {f 1 λ (V λ Λ, V T X λ } jedna baza topologije T X ako i samo ako su sva preslikavanja f λ neprekidna i ( B F X ( x X \ B( λ Λ f λ (x / f λ (B. 8. Neka je f : X Y preslikavanje topoloxkih prostora. Dokazati da je f neprekidno ako i samo ako za svaki B Y vaжi (f 1 (B f 1 ( B. 1
2 9. (a Ako je f : R R neprekidna, strogo monotona funkcija, dokazati da je f otvoreno preslikavanje. (b Ispitati neprekidnost, otvorenost i zatvorenost preslikavanja f : R R definisanog sa f(x = { 1 e x, x x, x > Neka je f : X Y neprekidno i zatvoreno preslikavanje. Neka je jox y Y i V otvoren skup u X takav da je f 1 ({y} V. Dokazati da postoji B Y takav da y B, da je f 1 (B otvoren u X i da je f 1 (B V. 11. Dati su potprostori realne prave X := (0, 1 {2} (3, 4 {5}... (3n, 3n + 1 {3n + 2}... i Y := (0, 1] (3, 4 {5}... (3n, 3n + 1 {3n + 2}.... (a Dokazati da postoji neprekidna bijekcija f : X Y. (b Da li je X Y? 12. Neka je X proizvoljan topoloxki prostor i f, g : X R dva neprekidna preslikavanja takva da za svako x X vaжi da je f(x < g(x. Dokazati da je {(x, t X R f(x < t < g(x} X R. 13. (a Ako je D n = { x R n x 1 } i [0, 1] n = [0, 1] [0, 1] [0, 1] R n, dokazati da je D n [0, 1] n. (b Ako je S n 1 = { x R n x = 1 }, dokazati da je S n 1 ( [0, 1] n. 14. Dat je skup Λ i diskretan topoloxki prostor X takav da je X 2. Dokazati da je proizvod X Λ diskretan topoloxki prostor ako i samo ako je Λ konaqan skup. 15. (a Dokazati da je skup svih polinomijalnih funkcija svuda gust u proizvodu R R (sa Tihonovljevom topologijom proizvoda. (b Da li tvrđenje (a vaжi ako na R R posmatramo box topologiju? 16. Neka je C R N skup svih konvergentnih realnih nizova i f : C R preslikavanje definisano na slede i naqin: za x = (x n n N C, f(x := lim n x n. (a Ako je C snabdeven Tihonovljevom topologijom proizvoda (nasleđenom od R N, ispitati neprekidnost preslikavanja f. (b Ako je C snabdeven box topologijom (nasleđenom od R N, ispitati neprekidnost preslikavanja f. 17. Neka je A R. Ako je A kompaktan na Zorgenfrajovoj pravoj (R, S, dokazati da ne postoji strogo rastu i niz elemenata skupa A. Da li moжe postojati strogo opadaju i niz elemenata skupa A? 18. Neka je X kompaktan topoloxki prostor i A P(X \ { } neka familija njegovih nepraznih podskupova takva da je ( A 1, A 2 A A 1 A 2 A. Dokazati da postoji taqka x X takva da svaka njena okolina seqe sve skupove iz familije A ( ( G O(x ( A A G A. 19. Kaжemo da je prostor prebrojivo kompaktan ako se iz svakog njegovog prebrojivog otvorenog pokrivaqa moжe izvu i konaqan potpokrivaq. Dokazati da je svaka neprekidna funkcija iz prebrojivo kompaktnog prostora u realnu pravu ograniqena. 20. (a Neka je K kompaktan, a U otvoren podskup euklidskog prostora R n i neka vaжi K U. Dokazati da postoji kompaktan skup S R n takav da je K int S S U. (b Da li vaжi tvrđenje (a ako se euklidski prostor R n zameni proizvoljnim topoloxkim prostorom X? 21. Neka je A neka familija kompaktnih podskupova euklidskog prostora R n takva da postoji δ > 0 sa svojstvom da za sve A, B A vaжi A = B ili d(a, B > δ. (a Dokazati da je A zatvoren skup. (b Dokazati da je A kompaktan skup ako i samo ako je familija A konaqna. (v Da li bi vaжilo tvrđenje (a ako bismo izostavili uslov da postoji δ > 0 sa gornjim svojstvom?
3 22. Dat je niz topoloxkih prostora { (X n, T n } n N takav da je (X n, T n potprostor od (X n+1, T n+1 za svako n N. Neka je X := n N X n. (a Dokazati da je T := { A X ( n N A X n T n } jedna topologija na X. (b Dokazati da je (X n, T n potprostor od (X, T za svako n N. (v Dokazati da je f : X Y neprekidno ako i samo ako je f Xn neprekidno za svako n N. (g Dokazati da prostor (X, T ima svojstvo T 1 ako i samo ako svi prostori (X n, T n imaju to svojstvo. 23. Neka je f : X Y neprekidno preslikavanje iz T 2 -prostora ( X u T 1 -prostor Y. Ako je {K n } n N opadaju a familija kompaktnih skupova u X, dokazati da je f K n = f(k n. n N 24. Neka je (X, T X Hauzdorfov prostor, F X odgovaraju a familija zatvorenih, a K X odgovaraju a familija kompaktnih podskupova od X. Uoqimo familiju A := { A X ( K K X A c K F X }. (a Dokazati da je i A jedna topologija na X. (b Da li je prostor (X, A Hauzdorfov? n N 25. Neka su f : X Y i g : Y X neprekidna preslikavanja takva da je g f = 1 X. Ako je Y Hauzdorfov, dokazati da je i X Hauzdorfov, kao i da je f(x F Y. 26. Neka je X topoloxki prostor. Dokazati da je X Hauzdorfov ako i samo ako za svako neprekidno preslikavanje f : X X vaжi da je skup N f := {(x, x f(x = x} zatvoren u proizvodu X X. 27. (a Ako je R N prostor svih realnih nizova (sa Tihonovljevom topologijom proizvoda i f : R N (0, π neprekidna funkcija takva da je za sve racionalne nizove q Q N R N ispunjeno f(q = arcctg q 2016, dokazati da za svako x R N vaжi da je f(x = arcctg x (b Da li bi tvrđenje (a vaжilo kad bismo na proizvodu R N posmatrali box topologiju? 28. Neka je X lokalno kompaktan, Y Hauzdorfov i f : X Y neprekidna otvorena surjekcija. Dokazati da za svaki kompaktan skup K Y postoji kompaktan skup C X takav da je f(c = K. 29. (a Neka je X Hauzdorfov prostor, A njegov potprostor, a A i G okolina taqke a takva da je skup G A kompaktan. Dokazati da postoji otvoren skup V takav da a V A A. (b Neka je X lokalno kompaktan T 2 -prostor i A njegov potprostor. Dokazati da je A lokalno kompaktan ako i samo ako se moжe predstaviti kao presek jednog otvorenog i jednog zatvorenog skupa. 30. Ako je (X, T X regularan topoloxki prostor, dokazati da je familija B = { B X int B = B } jedna baza topologije T X. 31. Ako je svaki otvoren potprostor prostora X normalan, dokazati da je onda svaki potprostor prostora X normalan. 32. Dokazati da je topoloxki prostor X normalan ako i samo ako za svaka dva njegova otvorena podskupa U i V koja ga pokrivaju (U V = X vaжi da postoje neprekidne funkcije f, g : X I takve da je f(x + g(x = 1 za svako x X, f(u c = {0} i g(v c = {0}. 33. Neka je X kompaktan Hauzdorfov prostor i {U λ } λ Λ njegov otvoren pokrivaq. Dokazati da postoji n N i neprekidne funkcije f 1, f 2,..., f n : X I takve da vaжi: (1 ( i {1,..., n} ( λ i Λ f i U c λi 0; n (2 ( x X f i (x = 1. i=1 34. (a Neka je X topoloxki prostor, A, B X takvi da je A B = A B = i E A B. Ako je E povezan, dokazati da je onda E A ili E B. (b Da li bi tvrđenje (a vaжilo ako bismo pretpostavku da su skupovi A B i A B prazni zamenili (slabijom pretpostavkom da je samo jedan od njih prazan?
4 35. Na skupu kompleksnih brojeva C data je koprebrojiva topologija T cc. Neka je p : C C polinomijalno preslikavanje (s kompleksnim koeficijentima, deg p > 0. (a Dokazati da je p neprekidno. (b Dokazati da je p zatvoreno. (v Ako za A C vaжi da je p 1 (A povezan, dokazati da je A povezan (u prostoru (C, T cc. (g Da li tvrđenje (v vaжi ako na C posmatramo uobiqajenu (euklidsku topologiju? 36. Neka je X topoloxki prostor (ne obavezno nekompaktan i X njegova kompaktifikacija jednom taqkom (Aleksandrovljeva kompaktifikacija. (a Dokazati da ako je X povezan, onda je X nekompaktan. (b Primerom pokazati da u tvrđenju (a ne vaжi obrnuta implikacija. (v Dokazati da ako je X povezan i nekompaktan, onda je i X povezan. 37. Dato je linearno (totalno uređenje na skupu X. Za a X neka su S a := {x X x < a} i S a := {x X a < x}. Neka je T topologija na X data svojom predbazom S := {S a a X} {S a a X} ( (X, T je uređeni prostor. Dokazati da je prostor (X, T povezan ako i samo ako su ispunjena slede a dva uslova: (1 ( x, y X [ x < y = ( z X x < z < y ]; (2 ako su A, B X takvi da ( a A( b B a b, onda postoji c X takvo da ( a A( b B a c b (Dedekind. 38. Neka je (X, T proizvoljan topoloxki prostor i (R, S Zorgenfrajova prava. (a Dokazati da je f : (X, T (R, S neprekidno ako i samo ako je za svako a R skup f 1( (, a otvoreno-zatvoren u (X, T. (b Ako je (X, T povezan, odrediti sva neprekidna preslikavanja f : (X, T (R, S. 39. Neka su f, g : X R dva neprekidna preslikavanja iz povezanog prostora X u realnu pravu i neka su Γ f, Γ g X R njihovi grafici. Dokazati da je Γ f Γ g povezan potprostor proizvoda X R ako i samo ako postoji x 0 X takvo da je f(x 0 = g(x Neka je X povezan topoloxki prostor i U njegov otvoren pokrivaq. Dokazati da za svake dve taqke a, b X postoje n N i U 1, U 2,..., U n U takvi da vaжe slede a tri uslova: (1 a U 1 \ (U 2... U n ; (2 b U n \ (U 1... U n 1 ; (3 ( i, j {1, 2,..., n} [ U i U j i j 1 ]. 41. Neka je m N, Y metriqki prostor i f : R m Y preslikavanje takvo da za sve A R m vaжe implikacije: (1 ako je A kompaktan, onda je i f(a kompaktan; (2 ako je A povezan, onda je i f(a povezan. Dokazati da je f neprekidno. 42. Neka je X topoloxka grupa sa operacijom (X je topoloxki prostor, X je grupa u odnosu na i : X 2 X, kao i inverz 1 : X X, jesu neprekidna preslikavanja. Dokazati da je komponenta povezanosti prostora X koja sadrжi neutral normalna podgrupa od X. 43. Date su kruжnice u ravni K 1 := {(x, y R 2 (x y 2 = 1} i K 2 := {(x, y R 2 (x y 2 = 1}. Neka je f : S 1 K 1 K 2 neprekidno preslikavanje. Ako koordinatni poqetak O(0, 0 / f(s 1, dokazati da postoji taqka x 0 S 1 takva da je f(x 0 = f( x U ravni je data kruжnica k : (x p 2 + (y q 2 = r 2 (p, q R, r > 0 i taqka (x 0, y 0 R 2. Dokazati da postoji kvadrat oblika [x 0 a, x 0 + a] [y 0 a, y 0 + a] (a > 0 qija granica sadrжi (bar jedan par dijametralno suprotnih taqaka sa kruжnice k.
5 45. Neka su A i B neprazni putno povezani podskupovi euklidskog prostora R n i neka je δ := d(a, B. Ako je, za l > 0, C l := { x R n min{d(x, A, d(x, B} < l }, dokazati da je C l putno povezan ako i samo ako je l > δ Neka je U otvoren skup u euklidskom prostoru R n i φ : I U put u U. Dokazati da postoji otvoren putno povezan skup V R n takav da je φ(i V V U. 47. (a Dati su A, B R n pri qemu je A konveksan ( ( x, y A ( t [0, 1] (1 tx + ty A, a B kompaktan i putno povezan. Ako je d(a, B = 0, dokazati da je A B putno povezan. (b Primerima pokazati da tvrđenje (a ne bi vaжilo kada bi se pretpostavka da je B kompaktan zamenila pretpostavkom da je B (samo zatvoren ili pretpostavkom da je B (samo ograniqen. (v Primerom pokazati da tvrđenje (a ne bi vaжilo kada bi se pretpostavka da je A konveksan zamenila pretpostavkom da je A (samo putno povezan. 48. Neka je f : X Y koliqniqko preslikavanje. (a Primerom pokazati da za A X restrikcija f A : A f(a (s kodomenom suжenim na sliku ne mora biti koliqniqko. (b Ako je B Y otvoren ili zatvoren, dokazati da je f f 1 (B : f 1 (B B koliqniqko. (v Primerom pokazati da, za B Y, f f 1 (B : f 1 (B B ne mora biti koliqniqko. 49. Dat je prostor X i na njemu relacija ekvivalencije. Ako je koliqniqki prostor X/ Hauzdorfov, dokazati da je skup { (x, y X X x y } zatvoren u X X. 50. Neka su A i B potprostori prostora X takvi da je int A int B = X i A B. (a Dokazati da je V X otvoren u X ako i samo ako je V A otvoren u A i V B otvoren u B. (b Ako je i A : A X inkluzija i π : X X/B prirodna surjekcija, dokazati da je kompozicija π i A : A X/B koliqniqko preslikavanje. (v Dokazati da je A/A B X/B.
Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014.
Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014. Zadaća nosi 5 bodova. Sve tvrdnje u zadacima obrazložiti! Renato Babojelić 31 Lea Božić 13 Ana Bulić 7 Jelena Crnjac 5 Bernarda Dragin 19 Gabriela Grdić
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
x + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.
Linearna algebra A, kolokvijum, 1. tok 22. novembar 2014. 1. a) U zavisnosti od realnih parametara a i b Gausovim metodom rexiti sistem linearnih jednaqina nad poljem R ax + (a + b)y + bz = 3a + 5b ax +
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Zadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
1 Svojstvo kompaktnosti
1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:
Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija
18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi
Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
ODABRANA POGLAVLjA ALGEBARSKE TOPOLOGIJE (Doma i zadaci)
ODABRANA POGLAVLjA ALGEBARSKE TOPOLOGIJE (Domai zadaci) 1. (a) Neka je {A α } familija Abelovih grupa, B Abelova grupa i f α : A α B, α A, homomorfizmi. Oznaqimo sa f α : ( ) A α B homomorfizam dat sa f
I Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIƒKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU. Borelovi skupovi
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIƒKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nada Cvetkovi Borelovi skupovi -master rad- Mentor: prof. dr Milo² Kurili Novi Sad, 2014. Sadrºaj Predgovor................................
1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.
09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB
DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011).
DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU dr. Dženis F. Pučić TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011). Predgovor prvom izdanju Ova skripta nastala su kao rezultat potrebe da se studentima
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Osnove matematičke analize
Osnove matematičke analize prof.dr.sc. Nikola Koceić Bilan FPMOZ Sveučilište u Mostaru FPMOZ Sveučilište u Mostaru 1 / Sadržaj 1 Topološka i metrička struktura normiranog vektorskog prostora R n. Konvergencija
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Funkcije. Predstavljanje funkcija
Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu
Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
R ω s uniformnom topologijom i aksiomi prebrojivosti
Opća topologija 116 Opća topologija 118 Drugi aksiom prebrojivosti 4 AKSIOMI SEPARACIJE I PREBROJIVOSTI Aksiomi prebrojivosti Aksiomi separacije Normalni prostori Urysonova lema Urysonov teorem o metrizaciji
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
METRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI. Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974.
METRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI Šime Ungar http://www.mathos.unios.hr/~sime/ Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974. Š. Ungar. Matematička analiza 3, PMF-Matematički
Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj.
Opća topologija 24 Opća topologija 26 13. Baza topologije Baza topologije 2 TOPOLOŠKI PROSTORI I NEPREKIDNE FUNKCIJE Topološki prostori Baza topologije Uređajna topologija Produktna topologija na X Y Topologija
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Matematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Linearna uređenja i GO prostori
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Milijana Milovanović Linearna uređenja i GO prostori -Master rad- Mentor: dr Aleksandar Pavlović Novi Sad, 2015.
Prvi razred A kategorija
Prvi razred A kategorija 1. Neka su A, B i C konaqni skupovi za koje vaжi Dokazati da tada vaжi A C + B C = A B. A B C A B. (Za skupove X i Y oznaqili smo X Y = (X \Y ) (Y \X), xto se naziva simetriqna
1. Topologija na euklidskom prostoru R n
1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x
Matematička Analiza 3
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet MATEMATIČKI ODJEL Šime Ungar Matematička Analiza 3 Zagreb, 2002. Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet MATEMATIČKI ODJEL Šime
Teorema Kantor - Bendiksona i njene primene
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Anika Njamcul Teorema Kantor - Bendiksona i njene primene Master rad Mentor: dr. Aleksandar Pavlović Novi Sad,
Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral
Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Dragan S. Djordjević Niš, 2009. 0 Sadržaj Predgovor 3 1 Metrički prostori 5 1.1 Primeri metričkih prostora................. 5 1.2 Konvergencija nizova i osobine
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
2. Konvergencija nizova
6 2. KONVERGENCIJA NIZOVA 2. Konvergencija nizova Niz u skupu X je svaka funkcija x : N X. Vrijednost x(k), k N, se zove opći ili k-ti član niza i obično se označava s x k. U skladu s tim, niz x : N X
Mur Smitova konvergencija
Master rad Mur Smitova konvergencija Autor: Jovana Obradović Mentor: prof. dr Miloš Kurilić Novi Sad, 2012. Sadržaj Predgovor................................ i 1 Uvod 1 1.1 Osnovne oznake i rezultati....................
ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Zadaci iz Analize za d(x, y) 0 (ako je d(x, y) = 0 onda je x = y pa oqigledno vai nejednakost
1 Zadaci iz Analize Kako vreme prolazi to u i nasumiqno rexavati ove zadatke. Do tada, savetujem da sami uradite xto vixe moete. Sve vas pozdrav a vax asistent Milan Lazarevi. 1. Neka je (X, d) metriqki
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. imaju istu vrednost.
00200 Prvi razred A kategorija Neka su a 1 < a 2 < < a n dati realni brojevi. Na i sve realne brojeve x za koje je izraz x a 1 + x a 2 + + x a n najmanji. Na i sve trojke međusobno razliqitih dekadnih cifara
Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 5. mart 2016.
Prvi razred A kategorija 1. Neka je operacija,, na skupu G = {1, 2, 3,..., 2016} zadata donjom tablicom. 1 2 3 4 2016 1 5 5 5 5 5 2 1 2 5 5 5 3 4 3 5 5 5 4 5 5 5 5 5......... 2016 5 5 5 5 5 (Unutar tablice
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Jednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije OKRUЖNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA
8.201 Prvi razred A kategorija Aca, Branka, Vera i Goran su od nastavnika matematike dobili zadatak da izraqunaju koliqnik dva pozitivna realna broja, i to: Aca da izraquna a 1 : a 2, Branka da izraquna
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama
4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
ELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B
Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava iz matematike Inverzija. Milivoje Luki
Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava iz matematike 10.12.2005. Inverzija Milivoje Luki milivoje.lukic@gmail.com Inverzija sa centrom O i polupreqnikom r je preslikavanje ψ O,r : E 2 \{O} E 2
FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo
FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A