Zadaci iz Topologije A

Transcript

1 Zadaci iz Topologije A 1. Neka je X neprazan skup i Φ : P(X P(X funkcija za koju vaжi: (1 Φ( = ; (2 A Φ(A za sve A P(X; (3 Φ(A B = Φ(A Φ(B za sve A, B P(X; (4 Φ(Φ(A = Φ(A za sve A P(X. Dokazati da postoji jedinstvena topologija na X takva da se operator zatvorenja u toj topologiji poklapa sa Φ (da je A = Φ(A za sve A P(X. 2. Neka je X beskonaqan skup i T topologija na X koja sadrжi sve beskonaqne podskupove od X. Dokazati da je (X, T diskretan topoloxki prostor. 3. Neka su A i B podskupovi topoloxkog prostora X. (a Dokazati da je int(a \ B int A \ int B. (b Primerom pokazati da u delu pod (a ne mora da vaжi jednakost. (v Da li postoji neka veza (u smislu inkluzije između skupova A \ B i A \ B? 4. Neka je X topoloxki prostor. (a Ako je B zatvoren skup u X, dokazati da je int( B =. (b Primerom pokazati da tvrđenje (a ne vaжi ako se izostavi pretpostavka da je B zatvoren. (v Da li bi tvrđenje (a vaжilo kad bi se pretpostavka da je B zatvoren zamenila pretpostavkom da je B otvoren? (g Dokazati da za svaki A X vaжi da je A = A. 5. Neka je X neprazan skup i {T α } α A familija topologija na X. (a Dokazati da postoji (jedinstvena najxira (najfinija topologija T na X sa svojstvom da za svako α A vaжi T T α (ovu topologiju T oznaqavamo sa inf T α. α A (b Dokazati da postoji (jedinstvena najuжa (najgrublja topologija M na X sa svojstvom da za svako α A vaжi T α M (ovu topologiju M oznaqavamo sa sup α A (v Ako je U uobiqajena topologija na R, a T e topologija uoqene taqke e R na istom skupu, odrediti inf{u, T e } i sup{u, T e }. U topoloxkom prostoru (R, inf{u, T e } na i {(1 + 1 n n n N}. T α. 6. Neka je C[0, 1] = { f : [0, 1] R f je neprekidna }. Za svako f C[0, 1], svako ε > 0 i svaki konaqan skup A [0, 1] definixemo U(f, A, ε := { g C[0, 1] ( x A f(x g(x < ε } C[0, 1]. (a Ako je B familija svih ovih skupova, tj. B = { U(f, A, ε f C[0, 1], A [0, 1], A konaqan, ε > 0 }, dokazati da je B baza neke topologije T na C[0, 1]. ( (b Ako je U topologija na C[0, 1] indukovana ravnomernom metrikom d d (f, g = max f(x g(x, 0 x 1 uporediti topologije T i U ako se one mogu uporediti. (Drugim reqima, utvrditi koji od slede a qetiri iskaza je taqan: (1 T U; (2 U T ; (3 T = U; (4 T i U su neuporedive. (v Ako je M topologija na C[0, 1] indukovana integralnom metrikom d 1 (d 1 1 (f, g = f(x g(x dx, uporediti topologije T i M ako se one mogu uporediti. (g Uporediti topologije U i M ako se one mogu uporediti Dat je topoloxki prostor (X, T X, familija topoloxkih prostora {(X λ, T Xλ } λ Λ i familija preslikavanja f λ : X X λ. Dokazati da je kolekcija B = {f 1 λ (V λ Λ, V T X λ } jedna baza topologije T X ako i samo ako su sva preslikavanja f λ neprekidna i ( B F X ( x X \ B( λ Λ f λ (x / f λ (B. 8. Neka je f : X Y preslikavanje topoloxkih prostora. Dokazati da je f neprekidno ako i samo ako za svaki B Y vaжi (f 1 (B f 1 ( B. 1

2 9. (a Ako je f : R R neprekidna, strogo monotona funkcija, dokazati da je f otvoreno preslikavanje. (b Ispitati neprekidnost, otvorenost i zatvorenost preslikavanja f : R R definisanog sa f(x = { 1 e x, x x, x > Neka je f : X Y neprekidno i zatvoreno preslikavanje. Neka je jox y Y i V otvoren skup u X takav da je f 1 ({y} V. Dokazati da postoji B Y takav da y B, da je f 1 (B otvoren u X i da je f 1 (B V. 11. Dati su potprostori realne prave X := (0, 1 {2} (3, 4 {5}... (3n, 3n + 1 {3n + 2}... i Y := (0, 1] (3, 4 {5}... (3n, 3n + 1 {3n + 2}.... (a Dokazati da postoji neprekidna bijekcija f : X Y. (b Da li je X Y? 12. Neka je X proizvoljan topoloxki prostor i f, g : X R dva neprekidna preslikavanja takva da za svako x X vaжi da je f(x < g(x. Dokazati da je {(x, t X R f(x < t < g(x} X R. 13. (a Ako je D n = { x R n x 1 } i [0, 1] n = [0, 1] [0, 1] [0, 1] R n, dokazati da je D n [0, 1] n. (b Ako je S n 1 = { x R n x = 1 }, dokazati da je S n 1 ( [0, 1] n. 14. Dat je skup Λ i diskretan topoloxki prostor X takav da je X 2. Dokazati da je proizvod X Λ diskretan topoloxki prostor ako i samo ako je Λ konaqan skup. 15. (a Dokazati da je skup svih polinomijalnih funkcija svuda gust u proizvodu R R (sa Tihonovljevom topologijom proizvoda. (b Da li tvrđenje (a vaжi ako na R R posmatramo box topologiju? 16. Neka je C R N skup svih konvergentnih realnih nizova i f : C R preslikavanje definisano na slede i naqin: za x = (x n n N C, f(x := lim n x n. (a Ako je C snabdeven Tihonovljevom topologijom proizvoda (nasleđenom od R N, ispitati neprekidnost preslikavanja f. (b Ako je C snabdeven box topologijom (nasleđenom od R N, ispitati neprekidnost preslikavanja f. 17. Neka je A R. Ako je A kompaktan na Zorgenfrajovoj pravoj (R, S, dokazati da ne postoji strogo rastu i niz elemenata skupa A. Da li moжe postojati strogo opadaju i niz elemenata skupa A? 18. Neka je X kompaktan topoloxki prostor i A P(X \ { } neka familija njegovih nepraznih podskupova takva da je ( A 1, A 2 A A 1 A 2 A. Dokazati da postoji taqka x X takva da svaka njena okolina seqe sve skupove iz familije A ( ( G O(x ( A A G A. 19. Kaжemo da je prostor prebrojivo kompaktan ako se iz svakog njegovog prebrojivog otvorenog pokrivaqa moжe izvu i konaqan potpokrivaq. Dokazati da je svaka neprekidna funkcija iz prebrojivo kompaktnog prostora u realnu pravu ograniqena. 20. (a Neka je K kompaktan, a U otvoren podskup euklidskog prostora R n i neka vaжi K U. Dokazati da postoji kompaktan skup S R n takav da je K int S S U. (b Da li vaжi tvrđenje (a ako se euklidski prostor R n zameni proizvoljnim topoloxkim prostorom X? 21. Neka je A neka familija kompaktnih podskupova euklidskog prostora R n takva da postoji δ > 0 sa svojstvom da za sve A, B A vaжi A = B ili d(a, B > δ. (a Dokazati da je A zatvoren skup. (b Dokazati da je A kompaktan skup ako i samo ako je familija A konaqna. (v Da li bi vaжilo tvrđenje (a ako bismo izostavili uslov da postoji δ > 0 sa gornjim svojstvom?

3 22. Dat je niz topoloxkih prostora { (X n, T n } n N takav da je (X n, T n potprostor od (X n+1, T n+1 za svako n N. Neka je X := n N X n. (a Dokazati da je T := { A X ( n N A X n T n } jedna topologija na X. (b Dokazati da je (X n, T n potprostor od (X, T za svako n N. (v Dokazati da je f : X Y neprekidno ako i samo ako je f Xn neprekidno za svako n N. (g Dokazati da prostor (X, T ima svojstvo T 1 ako i samo ako svi prostori (X n, T n imaju to svojstvo. 23. Neka je f : X Y neprekidno preslikavanje iz T 2 -prostora ( X u T 1 -prostor Y. Ako je {K n } n N opadaju a familija kompaktnih skupova u X, dokazati da je f K n = f(k n. n N 24. Neka je (X, T X Hauzdorfov prostor, F X odgovaraju a familija zatvorenih, a K X odgovaraju a familija kompaktnih podskupova od X. Uoqimo familiju A := { A X ( K K X A c K F X }. (a Dokazati da je i A jedna topologija na X. (b Da li je prostor (X, A Hauzdorfov? n N 25. Neka su f : X Y i g : Y X neprekidna preslikavanja takva da je g f = 1 X. Ako je Y Hauzdorfov, dokazati da je i X Hauzdorfov, kao i da je f(x F Y. 26. Neka je X topoloxki prostor. Dokazati da je X Hauzdorfov ako i samo ako za svako neprekidno preslikavanje f : X X vaжi da je skup N f := {(x, x f(x = x} zatvoren u proizvodu X X. 27. (a Ako je R N prostor svih realnih nizova (sa Tihonovljevom topologijom proizvoda i f : R N (0, π neprekidna funkcija takva da je za sve racionalne nizove q Q N R N ispunjeno f(q = arcctg q 2016, dokazati da za svako x R N vaжi da je f(x = arcctg x (b Da li bi tvrđenje (a vaжilo kad bismo na proizvodu R N posmatrali box topologiju? 28. Neka je X lokalno kompaktan, Y Hauzdorfov i f : X Y neprekidna otvorena surjekcija. Dokazati da za svaki kompaktan skup K Y postoji kompaktan skup C X takav da je f(c = K. 29. (a Neka je X Hauzdorfov prostor, A njegov potprostor, a A i G okolina taqke a takva da je skup G A kompaktan. Dokazati da postoji otvoren skup V takav da a V A A. (b Neka je X lokalno kompaktan T 2 -prostor i A njegov potprostor. Dokazati da je A lokalno kompaktan ako i samo ako se moжe predstaviti kao presek jednog otvorenog i jednog zatvorenog skupa. 30. Ako je (X, T X regularan topoloxki prostor, dokazati da je familija B = { B X int B = B } jedna baza topologije T X. 31. Ako je svaki otvoren potprostor prostora X normalan, dokazati da je onda svaki potprostor prostora X normalan. 32. Dokazati da je topoloxki prostor X normalan ako i samo ako za svaka dva njegova otvorena podskupa U i V koja ga pokrivaju (U V = X vaжi da postoje neprekidne funkcije f, g : X I takve da je f(x + g(x = 1 za svako x X, f(u c = {0} i g(v c = {0}. 33. Neka je X kompaktan Hauzdorfov prostor i {U λ } λ Λ njegov otvoren pokrivaq. Dokazati da postoji n N i neprekidne funkcije f 1, f 2,..., f n : X I takve da vaжi: (1 ( i {1,..., n} ( λ i Λ f i U c λi 0; n (2 ( x X f i (x = 1. i=1 34. (a Neka je X topoloxki prostor, A, B X takvi da je A B = A B = i E A B. Ako je E povezan, dokazati da je onda E A ili E B. (b Da li bi tvrđenje (a vaжilo ako bismo pretpostavku da su skupovi A B i A B prazni zamenili (slabijom pretpostavkom da je samo jedan od njih prazan?

4 35. Na skupu kompleksnih brojeva C data je koprebrojiva topologija T cc. Neka je p : C C polinomijalno preslikavanje (s kompleksnim koeficijentima, deg p > 0. (a Dokazati da je p neprekidno. (b Dokazati da je p zatvoreno. (v Ako za A C vaжi da je p 1 (A povezan, dokazati da je A povezan (u prostoru (C, T cc. (g Da li tvrđenje (v vaжi ako na C posmatramo uobiqajenu (euklidsku topologiju? 36. Neka je X topoloxki prostor (ne obavezno nekompaktan i X njegova kompaktifikacija jednom taqkom (Aleksandrovljeva kompaktifikacija. (a Dokazati da ako je X povezan, onda je X nekompaktan. (b Primerom pokazati da u tvrđenju (a ne vaжi obrnuta implikacija. (v Dokazati da ako je X povezan i nekompaktan, onda je i X povezan. 37. Dato je linearno (totalno uređenje na skupu X. Za a X neka su S a := {x X x < a} i S a := {x X a < x}. Neka je T topologija na X data svojom predbazom S := {S a a X} {S a a X} ( (X, T je uređeni prostor. Dokazati da je prostor (X, T povezan ako i samo ako su ispunjena slede a dva uslova: (1 ( x, y X [ x < y = ( z X x < z < y ]; (2 ako su A, B X takvi da ( a A( b B a b, onda postoji c X takvo da ( a A( b B a c b (Dedekind. 38. Neka je (X, T proizvoljan topoloxki prostor i (R, S Zorgenfrajova prava. (a Dokazati da je f : (X, T (R, S neprekidno ako i samo ako je za svako a R skup f 1( (, a otvoreno-zatvoren u (X, T. (b Ako je (X, T povezan, odrediti sva neprekidna preslikavanja f : (X, T (R, S. 39. Neka su f, g : X R dva neprekidna preslikavanja iz povezanog prostora X u realnu pravu i neka su Γ f, Γ g X R njihovi grafici. Dokazati da je Γ f Γ g povezan potprostor proizvoda X R ako i samo ako postoji x 0 X takvo da je f(x 0 = g(x Neka je X povezan topoloxki prostor i U njegov otvoren pokrivaq. Dokazati da za svake dve taqke a, b X postoje n N i U 1, U 2,..., U n U takvi da vaжe slede a tri uslova: (1 a U 1 \ (U 2... U n ; (2 b U n \ (U 1... U n 1 ; (3 ( i, j {1, 2,..., n} [ U i U j i j 1 ]. 41. Neka je m N, Y metriqki prostor i f : R m Y preslikavanje takvo da za sve A R m vaжe implikacije: (1 ako je A kompaktan, onda je i f(a kompaktan; (2 ako je A povezan, onda je i f(a povezan. Dokazati da je f neprekidno. 42. Neka je X topoloxka grupa sa operacijom (X je topoloxki prostor, X je grupa u odnosu na i : X 2 X, kao i inverz 1 : X X, jesu neprekidna preslikavanja. Dokazati da je komponenta povezanosti prostora X koja sadrжi neutral normalna podgrupa od X. 43. Date su kruжnice u ravni K 1 := {(x, y R 2 (x y 2 = 1} i K 2 := {(x, y R 2 (x y 2 = 1}. Neka je f : S 1 K 1 K 2 neprekidno preslikavanje. Ako koordinatni poqetak O(0, 0 / f(s 1, dokazati da postoji taqka x 0 S 1 takva da je f(x 0 = f( x U ravni je data kruжnica k : (x p 2 + (y q 2 = r 2 (p, q R, r > 0 i taqka (x 0, y 0 R 2. Dokazati da postoji kvadrat oblika [x 0 a, x 0 + a] [y 0 a, y 0 + a] (a > 0 qija granica sadrжi (bar jedan par dijametralno suprotnih taqaka sa kruжnice k.

5 45. Neka su A i B neprazni putno povezani podskupovi euklidskog prostora R n i neka je δ := d(a, B. Ako je, za l > 0, C l := { x R n min{d(x, A, d(x, B} < l }, dokazati da je C l putno povezan ako i samo ako je l > δ Neka je U otvoren skup u euklidskom prostoru R n i φ : I U put u U. Dokazati da postoji otvoren putno povezan skup V R n takav da je φ(i V V U. 47. (a Dati su A, B R n pri qemu je A konveksan ( ( x, y A ( t [0, 1] (1 tx + ty A, a B kompaktan i putno povezan. Ako je d(a, B = 0, dokazati da je A B putno povezan. (b Primerima pokazati da tvrđenje (a ne bi vaжilo kada bi se pretpostavka da je B kompaktan zamenila pretpostavkom da je B (samo zatvoren ili pretpostavkom da je B (samo ograniqen. (v Primerom pokazati da tvrđenje (a ne bi vaжilo kada bi se pretpostavka da je A konveksan zamenila pretpostavkom da je A (samo putno povezan. 48. Neka je f : X Y koliqniqko preslikavanje. (a Primerom pokazati da za A X restrikcija f A : A f(a (s kodomenom suжenim na sliku ne mora biti koliqniqko. (b Ako je B Y otvoren ili zatvoren, dokazati da je f f 1 (B : f 1 (B B koliqniqko. (v Primerom pokazati da, za B Y, f f 1 (B : f 1 (B B ne mora biti koliqniqko. 49. Dat je prostor X i na njemu relacija ekvivalencije. Ako je koliqniqki prostor X/ Hauzdorfov, dokazati da je skup { (x, y X X x y } zatvoren u X X. 50. Neka su A i B potprostori prostora X takvi da je int A int B = X i A B. (a Dokazati da je V X otvoren u X ako i samo ako je V A otvoren u A i V B otvoren u B. (b Ako je i A : A X inkluzija i π : X X/B prirodna surjekcija, dokazati da je kompozicija π i A : A X/B koliqniqko preslikavanje. (v Dokazati da je A/A B X/B.