MATEMATIKE I - OSNOVNA PITANJA I ZADACI ZA ISPIT -

Transcript

1 MATEMATIKE I - OSNOVNA PITANJA I ZADACI ZA ISPIT - LINEARNA ALGEBRA (polaže se a kraju I semestra) UVOD ) Osovi pojmovi matematičke logike: tablice istiitosti a osove operacije sa sudovima (iskaima); eke formule matematičke logike (DeMorgaove, pricip kotrapoicije itd); kvatifikatori (,,! ) i jihova upotreba ) Operacije sa skupovima i jihove osobie, eke formule, apr DeMorgaove formule a skupove Uređe par (-torka) i Dekartov proivod Biara relacija (poredka i ekvivalecije) Fukcija ili preslikavaje (sirjekcija, ijekcija i bijekcija) i operacija ) Algebarske strukture: (Abelova ili komutativa) grupa i algebarske strukture sa dvije operacije: prste, polje ) Lieari vektorski prostor 5) Aksiom uređeog skupa realih brojeva (R,+,, ) Podskupovi skupa realih brojeva R, tjobjašjeje ikluije: N Z Q R = Q I, gdje je : N - skup prirodih brojeva, Z - skup cijelih brojeva, Q - skup realih brojeva, I - skup iracioalih brojeva ( koji se sastoje i algebarskih i trascedetih iracioalih brojeva) Stav: Q, tj I Začeje simbola{, } ; proširei skup realih brojeva R = R {, }; operacije u skupu R ) Pricip matematičke idukcije Biomi koeficijeti i jihove osobie, Paskalov trougao, biomi obraac Berulijeva ejedakost ) Apsoluta vrijedost realog broja i osobie (ejedakosti sa apsolutim vrijedostima) i račuaje s apsolutim vrijedostima KOMPLEKSNI BROJEVI 8) Polje kompleksih brojeva (C, +, ) ; algebarski i trigoometrijski oblik kompleksog broja (moduo, argumet i osova vrijedost argumeta, kompleksa jediica pod uglom ϕ ); Ojlerove formule; 9) Muavrovi obrasci (a stepeovaje kompleksog broja) i jihova primjea da se six i cosx ( N) irae kao poliomi promjeljivih six i cosx (i obrato potecije si x i cos x irae kao lieara kombiacija siusa i kosiusa višestrukih uglova); ) Bioma jedačia, tj korjeovaje kompleksog broja Geometrijska iterpretacija operacija u C: ejedakost trougla, pravili -torougao sa cetrom u koordiatom početku itd DETERMINANTE ) Pojmovi: determiata -tog reda ( Ν) (ravoj determiate po prvoj vrsti); subdetermiata ili mior, kofaktori ili algebarski komplemet; osobie determiate

2 ) Sistem od liearih algebarskih jedačia sa epoatih x,x,,x ; determiata sistema D i determiate D k epoate x k (k=,,); rješeje sistema, saglasa i esaglasa sistem jedačia ) Gausov algoritam (trougaoa elimiacija) ) Kramerovo pravilo Homegei sistem jedacia MATRICE 5) Pojam matrice, tj objašjeje apisa A = ( a ij ) m, Jedakost matrica i operacije (sabiraje, možeje matrice skalarom i možeje matrice sa matricom) i jihove osobie ) Jediiča matrica E=[ δ ij ], gdje je: δ, ij = a i=j, δ ij = a i j Poteciraje matricamatriči poliom ) Skup realih ili kompleksih matrica M m, = { A = [ aij ] ( i =, m; j =, ) a R ( ili C )} m, ij istog formata je Abelova grupa u odosu a sabiraje matrica 8) Možeje matrice skalarom Algebarska struktura (M m,, + ) je lieari vektorski prostor u odosu a skalaro polje R (ili C) 9) Determiata matrice Ivera, regulara i sigulara matrica Submatrica i rag matrice Elemetare trasformacije matrica, ekvivalete matrice, praktičo odredivaje raga ) Adjugovaa matrica i vea imedu adjugovaje i ivere matrice date matrice A, ako je deta ) Primjea matrica a rješavaje sistema liearih algebarskih jedačia; matriče jedačie: AX=B ( YA=B ) ) Kroeker-Kapelijev stav i posljedice (elimiata, homogei sistemi) ) Karakterističe (sopstvee): vrijedosti i vektori matrice ) Keli-Hamiltoov stav (be dokaa) i primjee 5 VEKTORSKA ALGEBRA 5) Skup vektora V kao skup orjetisaih duži Jedakost i sabiraje u V Abelova grupa (V,+) ) Možeje vektora skalarom; (V, +) je lieari vektorski prostor ad poljem (R, +, ) realih brojeva ) Trijedar vektora (O, a, b, c ) dese (lijeve) orjetacije Lieara (e-)avisost vektora, kolieari i komplaari vektori Baa i dimeija vektorskog prostora (prostori V dimeije =,, itd) Rastavljaje vektora a kompoete 8) Koordiati sistemi Kordiate vektora Operacije sa vektorima koji su adai preko koordiata Vektor položaja tačke 9) Projekcija vektora a vektor (ili a osu adau ortom) ) Skalari, vektorski, mjesoviti i dvostruki proivod vektora, osobie i geometrijska ačeja tih operacija (ugao imeđu vektora, površia i apremia; uslovi ortogoalosti, koliearosti i komplaarosti) ANALITIČKA GEOMETRIJA ) Rastojaje dvije tačke Podjela duži u adatoj ramjeri (polovište duži, težište trougla) ) Rai oblici jedačie ravi i rai adaci sa ravima i tačkama ) Prava(Rai oblici jedačie prave i rai adaci sa pravim, tačkama i ravima) ) Jedačia površi F(x,y,)= ; parametarske jedačie površi 5) Kriva kao presjek dvije površie, tj F(x,y,)= i G(x,y,)=

3 Parametarske jedačie krive ) Defiicija i jedačia: (i) obrte površie, (ii) cilidriče površie, (iii) kouse površie, (iv) površie drugog reda ) Ispitivaje jedačie površie (a osovu presjeka sa ravima paralelim koordiatim ravima ili a osovu simetrije) ZADACI IZ ZBIRKE ZADATAKA (BA Mesihović,ŠZArslaagić, Svjetlost Sarajevo,98 god) (PO POGLAVLJIMA): OSNOVI MATEMATIKE: Osovi pojmovi matemlogike: -; Skup, relacija, fukcija, operacija: -, 8-, 9; Osove osobie skupa realih brojeva i jegovih podskupova:,,,5,,,9,, - KOMPLEKSNI BROJEVI: -9; DETERMINANTE I SISTEMI JEDNACINA: -; VEKTORSKA ALGEBRA: -8; 5 ANALITICKA GEOMETRIJA: 5-9; 5-5; ; ; -58; MATRICNI RACUN: -; ZADACI URAĐENI NA VJEŽBAMA (І PARCIJALNI) xab Neka je f : x ( x [ ab, ], ab, R) Dokaati da je f bijekcija sa[ a, b] a[, ] b a Riješiti jedačiu : x + x = Riješiti ejedačiu : + Matematičkom idukcijom dokaati jedakost (obraac a bir člaova geometrijske progresije) K q S aq a ( q N ) = =, K= q 5 Matematičkom idukcijom (il a eki drugi aci) dokaati idetitet : = k( k + ) k= + Dokaati idetitet : r = ( + ) r= r

4 Dokaati formule: a)( ) = ( ) k k + k ; b) ( ) = ( ) ( ) k ; c) ( ) ( ) k k k ( k) k ( k )!! k! = = ( ) ( k )!!! 8 Iračuati sume : a) ( ) + ( ) + + ( ) = ( ) k k ; b) ( ) ( ) k K= K= ; c) ( ) + ( ) + 9 Odrediti Re, Im,, arg,arg, i grafički iterpretirati te reultate ako je : i i i + a)5i ; b) + ; c) + ; d) ; e) ; f ) i ; g) ; h) - + i i Odrediti skup tačaka S { x iy; x, y R } = = + u kompleksoj ravi, koje ispujavaju uslov : a) Re = Im ; b ) Re < ; c ) Re ; d ) Im ; e ) ; f ) < ; g ) i ; π π h) > i ; i ) π < arg π ; j ) < arg a) Kompleksi brojevi: = + i; = i; = i apisati ih u trigoometrijskom obliku b) Komplekse brojeve, pomožiti eposredo i poslije prelaska u trigoometrijski oblik Iraiti cosx, six a =,,,5 u avisosti od cosx i six Iračuati sve vrijedosti korijea i kompleksog broja ili riješiti odgovarajuću biomu jedačiu : a) i; b ) ; c ) i; d ) + i = 5x Neka je = x+, i x = + i ( x R) Iračuati x, ako je Re( ) = 5 Provjeriti reultate : a a) ( i) ( i ) ( cosa isia) cis π + i = ; b) + = ( i ) i u+ v Neka su u i v kompleksi brojevi, takvi da je u = v = Dokaati da je,( uv ) čisto uv imagiara Odrediti i uslova + = i, a atim iračuati i grafički predstaviti 8 Neka je P(x) poliom petog stepea i eka o ima jedu trostruku ulu x = i jedu dvostruku ulu x = - Odrediti poliom P(x) ako je P() = 8 9Odrediti reala poliom ajmajeg stepeačije su ule : x =, x = + i, x = + i Ako je x = ula polioma x - x + x -, odrediti ostale ule toga polioma Naći ule polioma P(x) = x + Odrediti racioale korijee polioma x + x - x - 8x Dat je poliom : P(x) = x + x - 5x -, P() = Pomoću Vietovih formula aći ostale korijee jedačie P(x) = Odrediti koeficijete a,b,c realog polioma P(x) = x + ax + bx + c, tako da : a) poliom bude djeljiv biomima x, x +, a da podijelje biomom x da je ostatak 8

5 5 b) poliom bude djeljiv biomom x i, a da podijelje biomom x + daje ostatak -5 5 Pokaati da je poliom P (x) djeljiv poliomom Q(x) : P (x) = (x-) x + x, Q(x) = x x +x, N Provjeriti ( ralagaje racioalih fukcija a proste ralomke): + + = + ( )( + ) ( + ) + Iračuati determiate trećeg reda: a) 8 Iračuati: 5 a) ; b) 9 + b), ako kompleksi broj adovoljava uslov 5 = c) π, gdje je = cis d) Dokaati da je D R, gdje je: D = i i i a b c a b c, = i, (a, b, c C) 9 Riješiti sistem jedačia: X X X =, X + X X =, X X + X = Odrediti a R a koje je sistem liearih jedačia suglasa i riješiti ga: a) X + Y + Z = a, X + ( + a)y + Z = a, X + Y + (+a)z = ; b) X + Y + Z =, ax + Y + Z = 5, X + (a + )Y + Z = Riješiti sistem homogeih jedačia ( λ R ): a) x + λy =, x y + 5 =, x y + (λ + ) =, b) x + y =, x + 5y =, x 5y = Navesti Kramerovo pravilo Diskutovati a koje realo a sistem jedačia: (a + )x y = a, x y + a = -, x (a + )y = - a, a) ima jedistveo rješeje, ili b) ima beskoačo mogo rješeja, ili c) odrediti oo a a koje sistem ema rješeja Zatim odrediti rješeja sistema kada postoje, tj u slučajevima (a) i (b) Odrediti poliom P: R R ajižeg stepea koji ispujava slijedeće uslove: P() = -, P(-) = 9, P() = - Odrediti sve matrice komutative s matricom: A = 5 Neka su A i B kvadrate matrice istog reda; dokaati da je uslov AB BA ekvivaleta sa: a) (A + B) A + AB + B ; b) (A + B)(A B) A B Provjeriti reultat: = 5

6 Ako su A i B kvadrate matrice reda i AB + A + I =, dokaati da je matrica A regulara i da je A - = - I B 8 Riješiti matriče jedačie: a) = X, b) = X 9 Riješiti matriču jedačiu: (A I) X = A + I, gdje je A = Ako imaju smisla jedakosti: X = (A + B)(C + D), Y = A(B + C)D, kakvog su formata matrice A, B, C, D, X i Y? Dokaati da je: + = ( Z) Neka je X = (x x x ) T, Y = (y y y ) T, Z = ( ) T, A =, B = i vrijedi X = AY, Z = BY Iraiti X pomoću Z Odrediti rag matrice A = 5 Provjeriti reultat: rag = 5 Naći a i b a koje A = b a ima ajmaji rag Naći rag A a ostale vrijedosti a i b Ispitati liearu avisost liearih formi: y = x x x x, y = x + x + x x, y = x + x + x x, y = x + x + x x Odabrati a tako da sistem jedačia ima rješeje, te riješiti sistem jedačia: X X + X + X =, X + X X + X =, X + X X + X = a 8 Riješiti ili dokaati esaglasost sistema jedačia: a) x + x x = - b) x + x + x = x + x x = x + x + x = 5 x + x + x = x + x + 5x = - x + x x = x + x x =

7 c) x + x + x = d) x + x x + 5x = x x + x = x x + x x = x 5x + x = x + x x + x = x + x +x = x x + x x = 9 Pomoću matrica apisati, paatim matričo riješiti: x y =, x y + =, x y + = 5 Riješiti sistem jedačia primjeom Gausovog postupka: x + x + x + x = x + x + x + x = 5 5x + x + x + x = x + 5x + x + x = x x x + x = Odrediti svojstvee vrijedosti i stvojstvee vektore matrice: Neka je ABCD paralelogram čiji su vrhovi oačei u smislu obilaska koture paralelograma i eka je a = AB, a = AD Iraiti vektore straa i dijagoala tog paralelograma preko vektora a i b 5 Isti ahtjev kao u prethodom adatku, ali su adai vektori dijagoala paralelograma: AC = a i DB = f 5 Dokaati metodama vektorske algebre sljedeća geometrijska svojstva: a) četverougao je paralelogram ako i samo ako mu se dijagoale polove, b) sredja liija trapea (duž koja spaja sredie krakova trapea) paralela je osovama trapea i jea dužia jedaka je polubiru osovica 55 Neka su CB = a i CA = b vektori straa ABC Iraiti pomoću vektora a i b vektore paralele simetrali ugla γ = a, b i π γ = a, b 5 Vektori m,, pi x adai su u odosu a bau a b, c p = a+ b+ c,, : x = a+ 9 b+ c Pokaati da vektori koordiate vektora x u odosu a bau m,, p m = a+ b+ c, = a+ b+ c, m,, p također obrauju bau Naći 5 Odrediti parametre u i v tako da su vektori a = (u,, -), b = (-,, v) kolieari 58 Odrediti parametar k, tako da vektori a (-,, ), b = (, k, -), c = (k,, ) budu komplaari Za veće ađeo k vektor a raložiti po pravcima vektora b i c 59 Iračuati a, b = θ, ako je je a = 5 i j, b = i + j+ k Ako je a = i projekcija tog vektora a osi : a = -5, odrediti ugao imeđu tog vektora i ose Iračuati površiu paralelograma kostruisaog ad vektorima: ϕ =, a a = i + j+ k, b = i + j k

8 Odrediti apremiu tetraedra ABCD i visiu koja odgovara strai ABD ako je: A(, -, ), B(,, -), C(-, -, ), D(,, ) Nad vektorima a = 5 p+ q, b = p q kostruisa je paralelogram Ako je: p =, π q =, p, q =, iračuati dužiu dijagoala paralelograma i ugao imeđu tih dijagoala Odrediti uurtašje uglove trougla čiji su vrhovi: A(5,, -), B(9, -8, -), C(, -, -) 5 Pokaati da tačke A(, -, ), B(, -, ), C(, -, ) i D(, -, 5) leže u jedoj ravi Neka je a = (,, ), b = (,, ), c = (,, -) a) Iračuati a ( b+ a) ; cos ( a b, a+ b) ; proj ( c b), b)naći kompoetu vektora a ormalu a b c, c)pokaati da su vektori ( a b+ c, a 5 b+ c, a b+ c) ortogoali i da čie bau, d)naći koordiate svakog od vektora a, b, c u odosu a bau adau u c) Provjeriti da tačke A(,-,), B(,,-), C(-,,-), D(,-5,) čie tjemea trapea Naći dužie jegovih paralelih straa 8 Odrediti koordiate težišta T trougla ABC ako je A(5,,), B(,,8), C(,5,) 9 Duž AB je podjeljea tačkama C, D, E, F a pet jedakih dijelova Ako je C(,-5,), F(-,,-8), aći koordiate tačaka A, B, D, E Sastaviti jedačiu ravi koja: a) prolai kro osu i kro tačku M(,-,), b) prolai kro tačku M(,,-) i paralela je ravi y c) prolai kro tačku P(,-,-) i odsjeca odreak a x-osi a=- a a -osi c= Odrediti ugao pod kojim se sijeku ravi: x + y + = i x y + + = Irčuati visiu H s piramide čiji su vrhovi u tačkama: S(,,), A(,5,), B(-,,-5), C(,-,) Odrediti kosiuse uglova koje prava defiisaa jedačiama: x y + 8 =, x + y + 5 = gradi sa koordiatim osama Ispitati odose imeđu pravih: x + y a) =,, x y 5 8 = ; x + y = x y + x y + 5 b) = =, = = ; x y 5 x y + c) = =, = = x y + x y 5 Naći jedačiu prave koja siječe prave: = = (a) i = = (b), x y + 5 a paralela je sa pravom: = = (c) Odrediti rastojaje tačke P(,,) od prave koja prolai tačkama: A(,,), B(,-,) x + y x y + + Iračuaj rastojaje imeđu mimoilaih pravih: = = i = = 8 a b 8

9 x y + 8 Odredi jedačiu ravi koja sadrži tačku M (,,) i ormala je a pravoj: = = x + y + 9 Naći jedačiu kose projekcije prave = = a rava x +y + =, ako se projiciraje vrši paralelo vektoru: i + j + k 8 Odrediti jedačiu ravi koja prolai kro tačku: T(,-,) i paralela je sa pravama x y + 5 x + y + 5 (p) : = = i (q) = =, 5 te odrediti tačku simetriču koordiatom početku u odosu a tu rava 8 Napisati parametarske jedačie prave koja siječe prave: x + 5 y + x y + (p) = = i (q) = = i paralela je ravima: α: x + y 5 = i β: x y = 8 Naći jedačiu sfere čiji je cetar u tački C(,,-) i koja od prave: 5x y + + = x y + 8 = odsijeca odsječak dužie 8 Naći poluprečik i cetar kružice koja je defiisaa presjekom ravi α: x + y 9 = i sfere: (x ) + (y ) + ( + ) = 8 Kro pravu defiisau jedačiama: 8x y + 8 = i x y = povući ravi koje će dodirivati sferu: x + y + + x y + 5 = 85 Naći jedačiu kouse površi čija je direktrisa (D) x + 9y =, = i vrh u tački A(,,) 8 Naći jedačiu cilidriče površi čija je ivodica paralela sa vektorom: a = i + j + k, a jea vodilja je kružica: x + y + =, y = 9 SLIJEDE PRIMJERI PARCIJALNIH ISPITA ODRŽANI PROŠLE ŠKOLSKE GODINE:

10 I parcijali, jauar 5 grupa A Na prvoj strai obaveo upisati (INAĆE VAM RAD NE VRIJEDI): liče podatke i grupa A (samo ovo mastiljavom, a ostalo možete pisati grafitom olovkom), škgodiu kad ste otslušali predmet, koji put polažete Zatim kako odgovorite a eko od pitaja, popujavajte odmah odgovarajuće polje slijedeće tabele vrijedosću od do ; ( a potpu odgovor, a ako uopšte iste odgovarali a pitaje): a b a b a b Na osovu sume poea ( ) ilai OCJENA: 5- = -tica, - = -ica itd ZADATAK a) Zapisati:trigoometrijski oblik kompleksog broja a i defiisati: arg a, Arga, a, (acrtati odgovarajuću sliku); Za a C, m N dovršiti i dokaati jedakost: a m = (edopustivo je promjeiti imea varijabli a i m) 8+ i b) Neka je a = + i, odrediti arg a, Arg a, te iračuati A = ( a i) 8 ; + i Riješiti jedačiu + 8i = i rješeja apisati u algebarskom obliku; Nacrtati rješeja u kompleksoj ravi, te odrediti obim i površiu dobijeog trougla ZADATAK a)zapisati sistem lialg jedačia AY=F, gdje su A ( aij ) =, = ( ) i ( ) s,s F f k s, Y = y k (edopustivo je s, promjeiti imea varijabli A, Y, F i s) apisujući prvu, drugu i adju jedačiu i epoatu; Za determiate D=detA s-tog reda : defiisati subdetermiatu D i,j i kofaktor A i,j, te apisati ravoj determiate po kofaktorima predadje (s-)-te koloe; Objasiti kako se i determiate D dobije determiata D i epoate y i ( i = s), Navesti (be dokaa) Kramerov stav b) Za rae a R, diskutovati i riješiti sistem jedačia: x + y =, ax+ y = 5, x+ a+ y = ( ) ZADATAK a) Defiisati cilidriču površiu i odrediti jeu jedačiu b) Neka su data tri uastopa vrha B(-,,s),C(,-5,),D(5,s,) paralelograma ABCD Odrediti vrh A parelograma ABCD i aći s a koje je AB = ; Za veću vrijedost od s odrediti ugao imeđu dijagoala i površiu paralelograma, te vektor položaja a tačke A raložiti preko vektora položaja b, c,d tačaka B,C,D NAPOMENA: OBRATITE PAŽNJU NA IMENA VARIJABLI U TEKSTU! Nedopustivo je promjeiti ime bilo koje varijable u pitjima, tj e smije se apr u adatku u sistemu AY=F umjesto matrice A= a ij s,s ueti eku drugu matricu, ili umjesto formata s x s ueti eki drugi format Itd SVAKA PROMJENA IMENA VARIJABLE TRETIRAĆE SE KAO POGREŠAN ODGOVOR! ISPIT TRAJE sata

11 grupa B GF, I parcijali, jauar 5 Na prvoj strai obaveo upisati (INAĆE VAM RAD NE VRIJEDI): liče podatke i grupa B (samo ovo mastiljavom, a ostalo možete pisati grafitom olovkom), škgodiu kad ste otslušali predmet, koji put polažete Zatim kako odgovorite a eko od pitaja, popujavajte odmah odgovarajuće polje slijedeće tabele vrijedosću od do ; ( a potpu odgovor, a ako uopšte iste odgovarali a pitaje): a b a b a b Na osovu sume poea ( ) ilai OCJENA: 5- = -tica, - = -ica itd ZADATAK a) Zapisati:trigoometrijski oblik kompleksog broja b i defiisati: arg b, Argb, b (acrtati odgovarajuću sliku); atim a b C, m N (edopustivo je promjeiti imea varijabli b, m, w k ) samo m dopuiti jedakosti: w = b =,k = Koliko vrijedosti ima m b? k 9i b) Neka je b = + i, odrediti arg b, Arg b; Iračuati ( ) 8 9 c = v ; 5i Riješiti jedačiu i =, rješeja apisati u algebarskom obliku; ZADATAK a) Zapisati sistem lialg jedačia BZ=H, gdje su B ( bij ) =, = ( ) i = ( ) u,v H h k u, Z k v, apisujući prvu, drugu i adju jedačiu i epoatu (edopustivo je pritom promjeiti imea varijabli B,Z, H, u,v ); defiisati rag matrice, te avesti (be dokaa) Kroeker-Kapelijev stav Za sistem BZ=H apisati prošireu matricu sistema apisujući prvu, drugu i adju vrstu i kolou; b) Za rae b R, diskutovati i riješiti sistem jedačia: x + y = 5, b x + y =, x + y b = ( ) ZADATAK a) Defiisati kousu površiu i odrediti jeu jedačiu b) Neka su C(-,,t), D(,-,), A(,t,) tri uastopa vrha parelograma ABCD, odrediti četvrti vrh B, te aći t a koje je BC = Za veću vrijedost od t odrediti ugao imeđu dijagoala i površiu paralelograma, te vektor položaja b tačke B raložiti preko vektora položaja a, c,d tačaka A,C,D NAPOMENA: OBRATITE PAŽNJU NA IMENA VARIJABLI U TEKSTU! Nedopustivo je promjeiti ime bilo koje varijable u pitjima, tj u adatku apr u sistemu BZ = H umjesto matrice B = bij u,v ueti eku drugu matricu, ili umjesto formata uxv matrice B ueti eki drugi format SVAKA PROMJENA IMENA VARIJABLE TRETIRAĆE SE KAO POGREŠAN ODGOVOR! ISPIT TRAJE sata

12 I parcijali, 9 5 grupa A Na prvoj strai obaveo upisati (INAĆE VAM RAD NE VRIJEDI): liče podatke i grupa A (samo ovo mastiljavom, a ostalo možete pisati grafitom olovkom), 5 škgodiu kad ste otslušali predmet, koji put polažete Zatim kako odgovorite a eko od pitaja, popujavajte odmah odgovarajuće polje slijedeće tabele vrijedosću od do ; ( a potpu odgovor, a ako uopšte iste odgovarali a pitaje): a b a b a b Na osovu sume poea ( ) ilai OCJENA: 5- = -tica, - = -ica itd ZADATAK a) i) OBJASNITI: Kako se sve može adati jedačia krive u prostoru E? (ii) IZVESTI jedačiu rotacioe površie, koja astaje kad kriva, koja leži u kordiatoj ravi XOY, y-ose (obaveo acrtati sliku) α α b) Iračuati determiatu A( α ) = α α (Ako iste odredili A, stavite A = ) α α rotira oko Odrediti sve vrijedosti a: 5π A cis ; rješeja apisati u algebarskom obliku i acrtati u kompleksoj ravi, te odrediti obim i površiu dobijeog mogougla ZADATAK a) Neka su date matrice A = ( a ij ) i X = ( x ij ) Ako postoji matrica B ( bij ) p,q r,s = tako da je B=AX, odrediti : (i) koji uslov ispujavaju formati (p,q) i (r,s) matrica A i X, te kakav je format (u,v) matrice B; (ii) kako se račuaju elemeti matrice B, tj dovršite formulu: ( i =,u;j=,v) b ij = Σ ; (iii) Defiisati Kroekerov simbol δ ij i jediiču matricu E r apisati koristeći taj simbol, te dokaati jedakost: AE q =A b) Rješiti matriču jedačiu: X E ( AX) 5 + = + A, ako je A =, E = ij δ ZADATAK a (e eke druge tačke) od ravi a) Ivesti: sve oblike jedačie ravi i formulu a udaljeost tačke A ( ) b) Odrediti jedačiu ajedičke ormale pravaca: x y + a : = = = t( R ); a : x+ + =, x y =, i tačke A a i A a u kojima ta ormala siječe prave NAPOMENA: OBRATITE PAŽNJU NA IMENA VARIJABLI U TEKSTU! Nedopustivo je promjeiti ime bilo koje varijable u pitjima, tj e smije se apr u adatku umjesto matrica A, X, B ueti eke druge matrice, ili umjesto formata pxq matrice A ueti eki drugi format Itd SVAKA PROMJENA IMENA VARIJABLE TRETIRAĆE SE KAO POGREŠAN ODGOVOR! ISPIT TRAJE : mi u,v

13 grupa I parcijali, 9 5 Na prvoj strai obaveo upisati (INAĆE VAM RAD NE VRIJEDI): liče podatke i grupa B (samo ovo mastiljavom, a ostalo možete pisati grafitom olovkom), 5 škgodiu kad ste otslušali predmet, koji put polažete Zatim kako odgovorite a eko od pitaja, popujavajte odmah odgovarajuće polje slijedeće tabele vrijedosću od do ; ( a potpu odgovor, a ako uopšte iste odgovarali a pitaje): B a b a b a b Na osovu sume poea ( ) ilai OCJENA: 5- = -tica, - = -ica itd ZADATAK a) (i) OBJASNITI: Kako se sve može adati jedačia krive u prostoru E? (ii) IZVESTI jedačiu rotacioe površie, koja astaje kad kriva, koja leži u kordiatoj ravi YOZ, oko -ose (obaveo acrtati sliku) β β b) Iračuati determiatu B( β ) = β β, (Ako iste odredili B, stavite B = ) β β rotira π Odrediti sve vrijedosti a Bcis 9, rješeja apisati u algebarskom obliku i acrtati u kompleksoj ravi, te odrediti obim i površiu dobijeog mogougla ZADATAK a) Neka su date matrice Y = ( y ij ) i B = ( b ij ) Ako postoji matrica C ( cij ) m, r,s = tako da je C=YB odrediti : (i) koji uslov ispujavaju formati (m,) i (r,s) matrica Y i B, te kakav je format (u,v) matrice C; (ii) kako se račuaju elemeti matrice C, tj dovršite formulu: ( i =,u;j=,v) cij = Σ (iii) Defiisati Kroekerov simbol δ ij i jediiču matricu E m apisati koristeći taj simbol, te dokaati E r B=B Y 5 + B = YB + E, ako je B = b) Rješiti matriču jedačiu: ( ) u,v, = δij E ZADATAK a) Ivesti: sve oblike jedačie prave, te formulu a udaljeost tačke B ( b ) (e eke druge tačke) od prave x+ y b: s R, koja(-e) je (su) jedako udaljea od ravia: R : x y =, R : x + = b) Odrediti tačku (-e) a pravoj: = = = ( ) NAPOMENA: OBRATITE PAŽNJU NA IMENA VARIJABLI U TEKSTU! Nedopustivo je promjeiti ime bilo koje varijable u pitjima, tj e smijete apr u adatku umjesto matrica Y, B, C ueti eku drugu matricu, ili umjesto formata mx matrice Y ueti eki drugi format Itd SVAKA PROMJENA IMENA VARIJABLE TRETIRAĆE SE KAO POGREŠAN ODGOVOR ISPIT TRAJE : mi