2. parcijalni koji se polaže u junu na kraju II semestra)

Transcript

1 MATEMATIKE I -ANALIZA- - OSNOVNA PITANJA I ZADACI ZA ISPIT - parcijali koji se polaže u juu a kraju II semestra) 7 REALNA FUNKCIJA REALNE PROMJENLJIVE ) Pojam reale fukcije f jede reale promjeljive: f : A B, Ø A, B R, tj (f : A B) ( A ) (! y B ) f () = y Defiicije pojmova: oblast defiisaosti D(f ) i rag R(f) fukcije f, sirjekcija, ijekcija i bijekcija (tj sirjektivo, ijektivo i bijektivo preslikavaje f ) ) Para, epara, periodiča (period i osovi period), mootoa, ograičea, složea i iverza fukcija (osobie grafika) ) Implicito, tj eksplicito zadaa fukcija 4) Klasifikacija fukcija prema jihovom aalitičkom izrazu (prema formuli f () ): algebarske (racioale, cijele i razlomljee, te iracioale ) i trascedete fukcije 5) Osove elemetare i elemetare fukcije 6) Jedačia: f () = S = { R f ( ) = } ; ejedačia: f () > A R, A = { R f ( ) > } 7) Kvadrata fukcija (triom), kvadrata jedačia i ejedačia, tj (a,b,c Є R, a ) a + b + c =, >, < ; Vietova pravila: + = - b/a, = c/a; faktorizacija: a + b + c = a ( ) ( ) 8) Defiicije i grafici trigoometrijskih fukcija; trigoometrijske jedačie ejedačie Npr: si = m (m [, ] ); tg <; cos < 9) Poliom Rastavljaje polioma a faktore Faktorizacija realog polioma Pricip idetiteta polioma Vietova pravila ) Racioale ule polioma ) Razlomljea racioala fukcija (poliom kao cijela racioala fukcija, prava i eprava racioala fukcija) i rastavljee a parcijale razlomke (prve i druge vrste) 8 NIZ REALNIH BROJEVA ) Smisao defiicije : iz a je preslikavaje a : N R ) Pojam okolie, tj sistema okolia: ( ε > ) O ( A) : = { R A < ε} ; gdje je : A < ε A ε< < A+ε 4) Tačka agomilavaja iza (limsup i limif iza) Graiča vrijedost iza a, tj (za A R) lima = A ( ( ε > ) ( o (ε ) N ) a A < ε > ) Veza izmedu graiče vrijedosti i tačaka agomilavaja iza 5) Defiisati beskoaču graiču vrijedost iza, tj lima = + ( ( M > ) ((ε) N) a >M > ), = ( ( M > ) ((ε) N) a <-M > )

2 6) Račuaje (operacije) sa graičim vrijedostima, tj ako je lim a = A, lim b = B, (A, B R, o {+,-,, : }), tada je lim ( o ) = (lim )o(lim b ) = A o B a b a gdje, u slučaju kad je o operator dijeljeja, treba pretpostaviti: ( N ) b, tj lim b = B 7) Ograičei i mootoi izovi Stav o kovergeciji mootoih (i ograičeih) izova 8) Niz kojim je defiisa broj e, tj dokaz da je: a = + e, ( ) 9) Bolcao-Vajerštrasov i opći Košijev kriterijum kovergecije iza (bez dokaza) ) Pojam (beskoačog) reda: a = a + a + ; = iz parcijalih suma S, suma, kovergecija i divergecija reda Geometrijski red: a + aq + a q +, tj q = lim S = = - a q, q < ; q gdje je parcijalih suma geometrijskog reda S =a+aq++aq - =a q 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE ) Graiča vrijedost fukcije i beskoača graiča vrijedost fukcije (+ ili - ) u (koačoj) tački a R i u beskoačosti (+ ili - ) Defiicije graiče vrijedosti iskazati pomoću ekvivalecija Npr: lim f () = A ( ( > ) ( δ( )>) f ( ) A < < a < δ ) a ili lim f () = ( ( M > ) ( (M)<) f () > M < ) { } ) Pojmovi okolia: O ( A, ε ) = Oε ( A), tj O( A, ε ) = O( A, ε ) \ A, { R > M ( ) } O(, M ) = OM ( ) = >, itd ) Račuaje (operacije) sa graičim vrijedostima fukcije, (viditi 6) 4) Elemetari limesi, apr si a lim = ; lim ( + ) = e = lim ( + ) ; lim = l a, itd ± 5) Neprekidost fukcije (defiicija i jee varijate) Osobie eprekidih fukcija (bez dokaza) 6) Asomptote: vertikala i kosa (tj horizotala) Stav o kosoj asimptoti 7) Algebarske krive liije drugog reda i jihovi grafici: (prava), kružica, elipsa, hiperbola, parabola (kaoske jedacie) 8) Ciklometriske fukcije (iverze trigoometrijske: arcsi, arccos, arctg, arcctg) 9) Ekspoecijale i logaritamske (kao uzajamo iverze: a i log a ) : opadajuće za <a<, rastuće za a> ) Hiperbale i jihove iverze (area) fukcije Osovi ideteti : ch(+y)=chchy+shshy, tj ch - sh y=, itd

3 DIFERENCIJALNI RAČUN ) Defiicija izvoda i jegovo geometrijsko ( i kiematičko) začeje, tj problem tagete (i brzie) Lijevi i desi izvod i diferecijabilost fukcije ) Diferecijabilost i eprekidost fukcije ) Pravila za izvod (u v) ', gdje su u i v diferecijabile fucije i {+,-,, : } 4) Formula o prirastu fukcije f: Δ f() = f '() Δ+ω(Δ ) Δ, ω(δ ) ( Δ ); 5) Stavovi (pravila) za izvod složee i iverze fukcije 6) Određivaje izvoda elemetarih fukcija prema defiiciji izvoda Tablica izvoda 7) Tageta i ormala grafika G(f) fukcije f 8) Defiicija diferecijala fukcije, geometrijsko začeje diferecijala Osobie diferecijala i aproksimacija prirasta fukcije diferecijalom (viditi 5)) 9) Izvodi i diferecijali višeg reda Veza između -tog izvoda i -tog diferecijala: d y=y () d (Objašjeje i začeje formula d ( ) d, d = (d) ) 4) Stavovi o sredjoj vrijedosti (i jihova geometrijska iterpretacija) : Fermaov, Rolov, Lagražov i Košijev 4) Neodređei izrazi: /, /, -,,,, º, (Lopitalova pravila) 4) Višestruke ule fukcijedodir višeg reda 4) Tajlorova i Makloreova formula (bez dokaza) 44) Stacioara tačka i tačka ekstremuma fukcije (lokali i globali ekstremum) 45) Mootoost fukcije i zak prvog izvoda 46) Koveksost (kokavost) fukcije: objašjeje pomoću tetive ili tagete, te defiicioa ejedakost za kovekse (kokave) fukcije 47) Prevoja tačka (i položaj tagete u prevojoj tački) 48) Primjea izvoda a ispitivaje fukcija : (i) kriterijum za tačku ekstrema preko prvog izvoda (i preko drugog i viših izvoda), (ii) kriterijum za koveksost i prevoju tačku pomoću drugog izvoda (ili pomoću viših izvoda) 49) Parametarsko predstavljaje krivih liija (i izvodi tako zadaih fukcija) 5) Krive zadae u polarim koordiatama INTEGRALNI RAČUN 5) Defiicija i osobie određeog itegrala (određei itegral kao površia) Stav o sredjoj vrijedosti itegrala 5) Primitiva fukcija i eodređei itegral Osobie i tablica eodređeih itegrala 5) Lajbic- Njutova formula 54) Parcijala itegracija (u eodređeom i određeom itegralu) PRIMJERI: A= ea sibd, B= ea cosbd 55) Itegracija ( eodređeog i određeog itegrala) metodom smjee promjeljive PRIMJERI: (i) ( +a ) - d, a a a d (a>; geometrijsko začeje); (ii) (a +b+c) - d, gdje je D=b -4ac> (ili D < ); (iii) (a +b+c) -/ d, a> ili a< 56) Itegracija ( razlomljee) racioale fukcije, tj itegracija elemetarih razlomaka Itegracija ekih iracioalih fukcija (Ojlerove smjee) Stav Čebiševa, tj itegracija biomog diferecijala 57) Svođeje itegrala R(si,cos)d a itegral R (t)dt, pogodom smjeom t=ϕ ();(slučajevi o -4 o u zavisosti od osobia poditegrale fukcije R(si,cos))

4 58) Itegrali si d, cos d ( Z ; rekurete formule) 59) Itegrali siusa i kosiusa apr si(a+b) cos(c+d)d 6) Pojam esvojstveog (epravog) itegrala: (i) graice itegracije a ili b є {+,- }, (ii) poditegrala fukcija f je eograičea 6) Primjee određeog itegrala: (i) izračuavaje površie ravih figura (komplaacija), (ii) rektifikacija (dužia luka krive), (diferecijal luka ds, tj Lajbicov trougao), (iii) kubatura, tj zapremia tijela; zapremia obrtih tijela; (iv) površia obrtih tijela (bez dokaza odgovarajuće formule, već samo objašjeje formule dp=yds, (gdje je P površia omotača obrtog tijela, a s dužia luka krive date formulom y=y(), čijom rotacijom oko -ose astaje obrto tijelo) PRIMJERI: obim i površia kruga, površia i zapremia (dijela) lopte ) Pojmovi: krivia i poluprečik krivie, krug krivie, eveluta i evolveta 4 ) IZ ZBIRKE ZADATAKA (BA Mesihović,ŠZArslaagić, Svjetlost Sarajevo,987 god) ZADACI (PO POGLAVLJIMA): ANALIZA REALNE FUNKCIJE: -4; GRANICNI PROCESI: 6Nizovi: -; 6Graica vrijedost fukcije:-9; 6Neprekidost fukcije: -; DIFERENCIJALNI RACUN: -6; 7-8; 8-7; ; ; 6 7-; 7-7; 8 8-; 4 POLINOMI: -4; 4 5 INTEGRALNI RACUN: 5 -; ; ; ; ; ; ; ; ;

5 ; ; 6 KRIVINA 6 -; 7 ZADACI SA PISMENIH ISPITA 5

6 Zadaci sa vježbi (II SEMESTAR) 6 Neka je fukcija f zadaa y=f() Odrediti oblast defiisaosti D(f ) : + a) y = ; b) y = l l ; c) y = l ll + Odrediti oblast defiisaosti D(f ) i skup vrijedosti R( f) fukcije f: a) y = + ; b) y = arccos ; c) ( ) y = ; d) y = arcsi log +, < Fukcija sg : defiisaa je a sljedeći ači: sg : =, =, > Nacrtati grafik te fukcije i dokazati da vrijedi = sg [] 4 Fukcija y = (cijeli dio od ) defiisaa je kao: Nacrtati grafik te fukcije 5 Da li su jedake fukcije: a) f ( ) = ) h ( = ; b) d) f ( ) = si + cos h()=; e) 6Ako je fukcija f () a) f ( ) b) f (si ) ( R) [ ] : =, za f ( ) = h()= ; c) 7 Pokazati da je fukcija ( ) =, mootoa a < + ( Z ) f ( ) = ) f ( ) = l h()=l; h ( = defiisaa a [,] odrediti oblast defiisaosti fukcija:,+ f [ ) 8 Odrediti itervale mootoosti fukcije f ( ) = a + b 9 Odrediti φ ( φ( )), ϕ( ϕ( )), φ( ϕ( )), ϕ( φ( )) ako je φ( ) =, ϕ( ) = Ispitati koja je od datih fukcija para odoso epara: a + a + 5 a) f ( ) = ; b) f ( ) = l ; c) f ( ) = Ispitati periodičost i odrediti osovi period sljedećih fukcija (ako postoji): a) f ( ) = si + si + si ; b) f ( ) = tg tg ; c) f ( ) = si ;, Q d) Dirichlet-ova fukcije χ (): =, R \ Q Pokazati da je f : ijektiva u svom domeu Odrediti f te je dome R( f ) D( f ) i rag Fukcija f ( ) = +, R ema iverzu fukciju Zašto? Odrediti (maksimale) podskupove reale ose a kojima f ima iverzu fukciju 4 Zadata je fukcija u parametarskom obliku: =sit, y=-cost, t R ; a) izraziti y- kao fukciju od ; b) odrediti oblast defiisaosti fukcije; c) ispitati parost fukcije y=y(); d) odrediti y=y(=-); e) odrediti iverzu fukciju fukcije y=y() 5 Nacrtati grafik fukcije y=f() zadae parametarski:

7 a) = acos t, y = asi t, t [, ; b) = cos, = si ] a t y b t, [, ] t ; c) =a(t-sit), y=a(-cost) (cikloida); d) = a cos t y = a si t (astroida); e) =a cht, y=b sht 6 Nacrtati grafike fukcija: a) y = ; b) y = arcsi si 7Nacrtati grafik fukcije zadae formulom: y = arctg 8 Odrediti sup f, if f, ma f, mi f (ako postoje) fukcije y = 4si si Ispitati mootoost fukcije y =, [, ], cos a)dokazati da iz a = c ( =,,) kovergira ka c; b) ( ) = kovergira ka α c) ( ) = kovergira za α, divergira za α > ; d) iz ( ) divergira Primjejujući defiiciju graiče vrijedosti, dokazati: a) lim a = (a>) ; b) lim = + + Pokazati da iz a = + ( ) ima dvije tačke agomilavaja Odrediti lim a i lim a ako je: a) a = cos + ; b) a =,,,,,, Dokazati: lim q = q < = q= = ± q= - (dvije tačke agomilavaja) = ± q> = ± q< - (dvije beskoače tačke agomilavaja) 5 Odrediti graiče vrijedosti izova: a =, b =, = Izračuati: A= + lim ; B= lim + 7 Izračuati graiče vrijedosti izova: a) lim = + ; b) lim + 8 Provjeriti rezultat: lim = sg( ) Izračuati: a) lim + b) lim c) lim + + Koristeći kriterijum Košija, dokazati da iz: a) a = + + +, N kovergira, b) N = + + +, divergira Provjeriti rezultate: a) lim ( = ± ; b) lim ± = + ; 7

8 8 ( ) m A sg, > m, a A + A + + A A c) Ako je A a, tada je : lim =, m ± m m = a + a + + am a, < m Dokazati da: a) fukcije si, cos, R /{ } emaju limes kad ; b) lim si =, lim cos = Dokazati da: l( + ) e a) lim = l( + ) = + o() ( ) ; b) lim = e = + + o() ( ) ; a c) lim = la a = + la + o() ( ) 4 Izračuati: a) lim + ; b) + + lim ; c) 5 lim ; d) lim ; e) 8 lim + + si si a si k 5 Odrediti (koristeći lim = ): a) lim ( b ) b) lim (k,r Z, r ) si b si r cos cos c) lim ; d) lim ; e) lim si si si si ± 6 Izračuati: A= lim cos cos cos ; B= lim cos 7 Odrediti: a) lim ; b) lim( + tg) ctg ; c) lim cos + 8 Izračuati: 9 Izračuati: + si lim l( + ) lim sha ( ) ; lim + e ; d) ( ) tg ; e) ( ) lim tg 4 Odrediti lijevi f( ) i desi limes f( + ) za fukciju f ( ) = 4 Odrediti f(a ) i f(a+ ) : a) f ( ) = sg cos, a = ; b) f() =,a= 4 Koja je od sljedećih fukcija beskoačo mala: + a) f ( ) = ; b) f ( ) = + za : º +, º 4 Koja od sljedećih fukcija je beskoačo velika: a) f ( ) = ( + ) za º + 44 Dokazati asimptotsku relaciju: 4, º ; b) f ( ) = ch sh za º +, º + ( )

9 45 Pokazati da je: si si, a) f ( ) = prekida u tački =; b) g ( ) = prekida u tački =;, = f ( ), c) Kako treba defiisati fukciju h( ) = u tački = da bi bila eprekida h() 46 Odrediti tačke prekida fukcije i vrste tačaka prekida: +, < a) f ( ) =, ; b) f ( ) = + +, 4 47 Odrediti postoje li ili e postoje kostate a i b pri kojima je fukcija eprekida a D(f ), ako je: ( ), f() = a+ b,< <, 48 Ispitati eprekidost složeih fukcija f ( g( )) i g( f ( )) u tačkama gdje je defiisaa ta složea fukcija: f ( ) = sg, g ( ) = + 49 Ispitati eprekidost, odrediti vrstu tačaka prekida i acrtati grafik fukcije: f ( ) = lim + 5 Pokazati da jedačia 6 = + ima jedistve korije i da o leži u itervalu, 5 Fukcija f ( ) = si si ema smisla za = Defiisati f () tako da fukcija f bude eprekidai u tački = 5 Koristeći defiiciju izvoda aći izvod fukcije f ( ) = si( ) za =, < 5 Ispitati diferecijabilost fukcije: f ( ) = u tački = si, 54 Izračuati ugao koji tageta fukcije f ( ) = u tački M (,) zaklapa sa pozitivim dijelom -ose 55 Primjejujući pravila za alažeje izvoda odrediti izvode fukcija: a b a) y = ; b) y = arcsi ; c) y = d) y = si e + +,, < < 56 Data je fukcija f ( ) =,, > º Nacrtati je grafik; º za koji je a)fukcija f eprekida; b) postoji izvod f '( ), b) f '( ) eprekida 9

10 56Pod kojim uglom kriva y = arctg + siječe -osu 57 Odrediti pod kojim se uglom sijeku krive: y= +, y= + 58 Odrediti ' ako je y = e + y 59 Odrediti y' ako je = a cos t, y = bsi t y 6 Odrediti y' ako je fukcija f zadaa implicito: + = b a 6 Naći jedačiu tagete i ormale krive + y y 7 = u tački (,) 6 Naći prvi izvod fukcije y = 6 Primjeom diferecijala odrediti dy ako je y = si( y ) d 64 Ako je fukcija y() defiisaa jedačiom e y + y = e, aći y'' () 65 Naći treći izvod y '''( ) fukcije y() defiisae parametarski: = a cos t, y = bsi t 66 Naći dvadesetpeti diferecijal d 5 y fukcije y = si a 67 Naći -ti izvod fukcije y = e 68Dokazati ejedakost i idetitet: b a b a a) < tgb tga < ( a < b < ) cos a cos b si 69 Odrediti lim l tg 7 Odrediti lim( tg) 4 b) arcsi = arctg, ( < ) si e e 7 Neka je f() = ( ) Da li se može defiisati f() tako da je fukcija f eprekida u tački? si 7 Aproksimirati fukciju f ( ) = l u okolii tačke = Tejlorovim poliomom četvrtog stepea i 9 procjeiti grešku aproksimacije za, si 7 Dokazati da su fukcije: f() = 7, g() = ( < < ) mootoo opadajuće 74 Dokazati ejedakost: si > za > 6 75 Odrediti lokale ekstreme fukcija: a) f ( ) = ch + cos, b) f ( ) = 76 Naći ajveću i ajmaju vrijedost fukcije : f ( ) = 5 4 za 77 U loptu poluprečika r upisati usprava kruži cilidar tako da površia jegovog omotača bude ajveća 78 Ispitati koveksost, kokavost i prevoje tačke krive: y = 79 Ispitati koveksost, kokavost i prevoje tačke krive: f ( ) = l( + ) + 8 Naći asimptote fukcija: a) f ( ) =, b) ( ) f ( ) =, c) 5 + f ( ) = +

11 8 Ispitati tok fukcija i acrtati jihove grafike: a) y = b) y = ( + ) e c) l y = l + d 8Riješiti itegrale: a), b) d, c) tg 4 cos d, d) cos si ( + ) d, e) + d Itegracija metodom zamjee: d 9 8a) (5 ) d, b), c) d, d) ( ) cos + d d si +, e), arcsi e f) d, g) + e + d 84 Dovođejem kvadratog trioma a kaoski oblik izračuati: a) d d d d + +, b), c) +, d) Primjeom metode parcijale iegracije izračuati: a) d, b) d, c), d) cos si ( l ) d e a cos b d Itegarcija racioalih fukcija: a) d 4 + 4, b) d, c) d, + d) d ( + ) Itegracija iracioalih fukcija: + d d 87 a), b) + ( + ) Itegral diferecijalog bioma: d d 88 a), 4 b) Ojlerove smjee: d d 89 a), b) + + ( + ) + Itegracija trigoometrijskih i drugih trascedetih fukcija: d d 9a), b) 8 4si + 7 cos, si 4si cos + 5cos c) si cos d, si d) d, + cos e) si cos d 4 9 Ne riješavajući itegrale, dokazati da je: arcsi d = + cos 9 d, 9 Izračuati: I = f()d =, cos 94 Izračuati: a) 6 5si + si d arctg +, b) d, c) d d + t dt, d) lim cos t dt

12 t 95 Odrediti lokale ekstreme fukcije: f() = (t )edt 96 Iako je fukcija F() = primitiva fukcija fukcije f() =, zašto je f()d F() F()? ( ) + + d d 97 Izračuati: a), b), c) d d, d) + 5 ( ) U presječim tačkama prave y + = i parabole y = povučee su tagete a parabolu Izračuaj površiu ograičeu parabolom i tagetama 99 Naći površiu ograičeu lukom krive = 6 y y i y-osom Izračuati površiu figure omeđee lukom cikloide = a( t si t), y = a( cos t) od tačke O(,) do tačke A ( a,) i odsječkom OA Izračuati površiu figure čiji je rub lemiskata r = a cosϕ Naći zapremiu tijela koje astaje rotacijom dijela površie ograičee krivom y = ee i jeom asimptotom oko asimptote Izračuati zapremiu torusa, tj tijela astalog obrtajem oko -ose figure omeđee sa: + (y b) = r,(b r) 4 Izračuati dužiu luka parabole y = ( ) od tačke A(,) do tačke B(,) 5 Izračuati dužiu luka astroide = acos t, y= asi t 6 Nacrtati krivu 9y = ( ) i aći površiu koja astaje obrtajem petlje oko -ose 7 Izračuati kriviu i poluprečik krivie krive y = u tački M (,) 8 Na krivoj y = l odrediti tačku u kojoj krivia dostiže maksimalu vrijedost te sastaviti jedačiu kruga krivie u toj tački 9 Odrediti parabolu čija je osa simetrije paralela y osi i koja ima isti krug krivie sa krivom y = si u tački = SLIJEDE PRIMJERI ZA II PARCIJALNI I INTEGRALNI ISPIT

13 Itegrali ISPIT MATEMATIKA I 994 OBAVEZNO! NA PRVOJ STRANICI NAPIŠITE SAMO : (i) liče podatke (prezime i ime i godiu upisa ), (ii) MATEMATIKA I itegralo A (iii) popuite tabelu: (svaki zadatak a) ili b) 7 bodova) zadatak Σ a b Σ Na osovu popujee tabele izlazi ocjea : 6 = 5-6; 7 = 6-7; 8 = 7-8; 9 = 8-9; = 9- Kao što vidite e morate sve uraditi Pažljivo pročitajte zadatke i e žurite Sreto! Zadatak a) Defiisati: desi (tj lijevi) trijedar, te vektorski i skalari proizvod vektora Zapisati: sistem liearih algebarskih jedačia sa epozatih, determiatu D tog sistema (zapisujući prvu, drugu i zadju jedačiu i epozatu) i objasiti kako se iz determiat D dobije determiata D k epozate k ( k =, ); te samo iskazati Kramerovo pravilo b) Date su tacke: A(,,-), B(9,,-), C(,4,), D(,-,), (acrtati sliku)odrediti: zapremiu V i visiu H (iz vrha ; podožje ormale povučee iz B a rave ACD A) tetraedra ABCD orjetaciju trijedra vektora ( AB, AC, AD) Koristeci Kramerovo pravilo prvo diskutovati za koje a iz R je (e-)saglasa sistem: 5 + (a )y z = 7, (a ) + 5y z =, + y z = 6, te odrediti rješeja sistema za oo a: (i) kad sistem ima beskoačo mogo rješeja, (ii) kad ima jedistveo rješeja Zadatak a) Defiisati:(i) izvod fukcije, (ii) diferecijal fukcije, te acrtati odgovarajuću sliku, tj objasiti geometrijsko začeje istih Koristeći pravila difereciraja odrediti izvode slijedećih fukcija: l 5 e,, arcctg(e ), Navesti slijedeća pravila (stavove): (i) maksimum (i miimum) u vezi sa prvim izvodom; (ii) koveksost (i kokavost) u vezi sa drugim izvodom y e e e = +, b) Za fukciju ( ) odrediti: ule, asimptote, itervale mootoosti i koveksosti, te acrtati je grafik Izračuati veličiu površie koju grafik fukcije: (i) zatvara sa kordiatim osama, (ii) zatvara sa asimptotom (pazite radi se o esvojstveom itegralu) )Zadatak a) Defiisati: primitivu fukciju, eodređei i određei itegral, te samo avesti (bez dokaza) i objasiti kad vrijedi Leibitz-Newto-ova formula Zapisati i objasiti kako se koriste, (te acrtati odgovarajuću sliku) formule za primjeu određeog itegrala kod izračuavaja: (i) dužia luka krive, (ii) površia obrtog tijela, te primjeiti te formule da sračuate: obim kružice, i površia lopte (svi istog poluprecika r) 5 7+ ; + 4+ cos d ; b) Izračuati: A= d B = ( + ) površiu P ograičeu krivom + y = 4, te zapremiu V koja astaje rotacijom povrsie P oko ose, te V oko y ose

14 MATEMATIKA parcijali ili VI PISMENI ISPIT 994 OBAVEZNO! NA PRVOJ STRANICI NAPIŠITE SAMO : (i) liče podatke (prezime i ime i godiu upisa ), (ii) matematika parcijali ili VI, (iii) popuite tabelu: (svaki zadatak a) ili b) 7 bodova) zadatak Σ a b Σ Na osovu popujee tabele izlazi ocjea : 6 = 5-6; 7 = 6-7; 8 = 7-8; 9 = 8-9; = 9- Kao što vidite e morate sve uraditi Pažljivo pročitajte zadatke i e žurite Sreto! Zadatak a) Defiisati:(i) izvod fukcije, (ii) diferecijal fukcije, te acrtati odgovarajuću sliku, tj objasiti geometrijsko začeje istih Koristeći pravila difereciraja odrediti izvode slijedećih fukcija: l + e,, arcctg(e l ), b) Za fukciju y= ( ) e e odrediti: ule, asimptote, itervale mootoosti i koveksosti, prevoju tačku, te acrtati je grafik Izračuati veličiu površie koju grafik fukcije: (i) zatvara sa kordiatim osama, (ii) zatvara sa asimptotom (pazite radi se o esvojstveom itegralu) Zadatak a) Defiisati pojmove: graiča vrijedost iza, graiča vrijedost fukcije,te eprekidost fukcije Zatim samo zapisati broj e (priroda osova logaritma) kao graiču vrijedost iza Navesti slijedeća pravila (stavove): (i) maksimum (i miimum) u vezi sa prvim izvodom; (ii) koveksost (i kokavost) u vezi sa drugim izvodom + b) Za fukciju y = odrediti: oblast defiisaosti, ule, asimptote, itervale mootoosti i + koveksosti, tačke ekstremuma i ispitati jihovu prirodu pomoću zaka drugog izvoda, te acrtati je grafikizračuati veličiu površie što grafik fukcije zatvara sa osom )Zadatak a) Defiisati: primitivu fukciju, eodređei i određei itegral, te samo avesti (bez dokaza) i objasiti kad vrijedi Leibitz-Newto-ova formula Zapisati i objasiti kako se koriste, (te acrtati odgovarajuću sliku) formule za primjeu određeog itegrala kod izračuavaja: (i) dužia luka krive, (ii) površia obrtog tijela, Primjeiti te formule da sračuate: obim kružice, i površia lopte (svi istog poluprecika r) ; co s6 d; b) Izračuati: A= d B = ( + ) površiu P ograičeu krivom + y + 6 =, te zapremiu V koja astaje rotacijom povrsie P oko ose i V oko y ose Nacrtati odgovarajuću sliku 4

15 MATEMATIKA I ; septembar 4 Na prvoj strai obavezo upisati: lice podatke, kad ste otslusali matematiku, (ocjeu i datum kad ste evetualo položili pismei) i koji put polazete Zatim kako odgovorite a eko od pitaja, popujavajte odmah odgovarajuce polje slijedece tabele vrijedoscu od ) ) ) 4) 5) 6) 7) 8) 9) ) Σ do ; ( za potpu odgovor, a ako uopste iste odgovarali a pitaje) Za pozitivu ocijeu treba uraditi više od pola zahtijeva, tj za pozitivu ocjeu treba bar Σ= 55 Trajaje ispita sata ) Neka su a,a R, defiisati slijedeća tri limesa ispuivši odgovarajuče ekvivalecije (i išta više): (i) lim f ( ) = A ; (ii) li m h ( ) = ; (iii) lim = A ; (iv) Defiisati eprekidost fukcije f a u tački a a ) Defiisati izvod (dati i sliku) Odrediti izvod jede od fukcija po defiiciji, a a osovu tablice izvoda zapisati izvode si, ( ) 5 y ' i y '' fukcija: Zatim zapisati formulu za prvi (dati i sliku) i drugi diferecijal, te odrediti: df d f za f e (), () ( ) =, Δ = ) Za fukciju f( ) = odrediti iverzu fukciju f, te u istom koordiatom sistemu (bez primjee izvoda) skicirati grafike G(f) i G(f ) Zapisati: D(f), R(f), D(f ), R(f ) Odrediti fukcije, koristeći stav o izvodu iverze fukcije a f ' ( ) po defiiciji, te odrediti izvod iverze 4) Samo avesti Lagražov stav o sredjoj vrijedosti i dati geometrijsko tumačeje (slika) Za fukciju y = e odrediti tačke ekstremuma i ispitati jihovu prirodu 5) Defiisati : primitivu fukciju, eodređei itegral i određei itegral Zatim samo zapisati Lajbic-Njutovu formulu avodeći uslove kad ta formula vrijedi Navesti stav o sredjoj vrijedosti itegrala, te avesti geometrijsku iterpretaciju, tj acrtati odgovarajuću sliku 6) Navesti (bez dokaza)stav o smjei promjeljive u određeom itegralu Izračuati Zatim objasiti geometrijsko začeje, tj acrtati odgovarajuću sliku za A r d, gdje je r > r A= r Zapisati formulu parcijale itegracije za određei itegral Zatim izračuati određei itegral: B = si d 7) Neka je: A(,,), B(,-,), C(4,,-), D(,-,5)Izračuati: površiu Δ ABC i A u tom trouglu, te zapremiu V tetraedra ABCD Koje je orjetacije trijedar ( DA, DBDC, )? a = (l,, ), b =,,? Za koje R su ortogoali vektori ( ) ( ) 8) Zapisati: biomi koeficijet ; Paskalov trougao do 6-tog reda; biomu formulu za razliku: ( t s) u v = Izračuati ( ) 4 = 9) Za kompleksi broj z = + iy defiisati, tj samo popuiti jedakosti : Re z =, Im z =, ϕ = arg z =, Arg z =, r = z =, te zapisati z u trigoometrijskom obliku z = ; dovršiti formule za poteciraje z =, te formulu za ω k = z = k = Koliko vrijedosti ima za ω? korjeovaje, Zatim sve te vrijedosti zapisati za z = i, te izračuati z 4 i z ) Defiisati adjugovau i iverzu matricu Zatim izračuati: adja, A -, A - A, AA -, ako je A=, E = Precizo zapisati sistem od k liearih algebarskih jedačia sa k epozatih,,, k BX = H, matricu sistema B (pazi e vrijedi ako upotrebite matricu A umjesto B) i kolou slobodih člaova H, determiatu D sistema i objasiti kako se iz determiate D dobije determiata Di epozate i ( i =, k ) Zatim samo avesti (bez dokaza) Kramerov stav k 5

16 6 Građeviski fakultet: oktobar 4 MATEMATIKA I (sva pitaja) i MATEMATIKA (pitaja -7) ; Na prvoj strai obavezo upisati: liče podatke, kad ste otslušali matematiku, (ocjeu i datum kad ste evetualo položili pismei) i koji put polazete Zatim kako odgovorite a eko od pitaja, popujavajte odmah odgovarajuce polje slijedece tabele vrijedosću od do ; ( za potpu odgovor, a ako uopšte iste odgovarali a pitaje) Potrebo je odgovoriti a više od pola pitaja, tj > 5 5 za MATEMATIKU I (ili > 4 za MATEMATIKU) ) Defiisati fukciju th (=?) i odrediti iverzu fukciju th Zapisati skupove: D(f), R(f), D(f ), R(f ) za tu fukciju Skicirati u istom koordiatom sistemu (bez primjee izvoda) grafike G(th) i G(th ) ) Neka su a,a R, defiisati slijedeća dva limesa ispuivši odgovarajuće ekvivalecije (i išta više): (i) lim f ( ) = A ; (ii) li m h ( ) ; (iii) a u tački c i a [ ab], R a ) Defiisati izvod (dati i sliku) Odrediti izvode y ' i y '' fukcija: = lima = Zatim defiisati eprekidost ( si cos ), e Samo avesti Lagražov stav o sredjoj vrijedosti i dati geometrijsko tumačeje (slika) 4) Zapisati formulu za -ti difericijal, te izračuati diferecijale: Odrediti tačke ekstremuma fukcije y df (), d f () za f e ( ) =, Δ = = e i ispitati prirodu tih tačaka pomoću drugog izvoda 5) Kad vrijedi formulu parcijale itegracije za određei itegral? Izračuati određei itegral: { } 6) Nacrtati figuru S (, y) R a b; y f ( ) = i izračuati jeu površia Zatim avesti stav o smjei u određeom itegralu i izračuati a A = a d a si d 4 fukcije f, te bjasiti geometrijsko začeje za A, tj acrtati odgovarajuću sliku 7) Defiisati : primitivu fukciju, eodređei itegral,određei itegral i esvojstvei itegral; samo avesti uslove kad vrijedi i zapisati Lajbic-Njutovu formulu Izračuati 8) Dovršiti jedakost: a b = a = i + j k; b = i k d + ; ab = ; pra b = ; te objasiti šta predstavlja a b Zatim za vektore izračuati: te tri vrijedosti i za c = 4 j + k odredi orjetaciju trijedra ( bac),, 9) Zapisati: biomi koeficijet; Paskalov trougao do 6-tog reda; bz 4 m = ; ( b u) = ) Samo avesti (bez dokaza) Kramerov stav Ali prethodo zapisati sistem CX=H od (pazite) m liearih algebarskih y y y, matricu C (pazite e matricu A) sistema i kolou slobodih jedačia sa m epozatih,,, m člaova H, determiatu D sistema i objasiti kako se iz determiate D dobije determiata D i epozate i ( i =, m ) Izračuati: A - i AA -, ako je A=, E = 5

17 GF, MATEMATIKA I, 66 5 Na prvoj strai obavezo upisati: liče podatke, te škgodiu kad ste otslušali predmet,grupa A koji put polažete Zatim, ćim odgovorite a eko pitaja, popujavajte odmah odgovarajuće polje slijedeće tabele vrijedošću od do (tj 7) ( (tj 7 za parc) za potpu odgovor, a ako uopšte iste odgovarali a pitaje): a b a b a b 4a 4b Na osovu sume poea ( )izlazi OCJENA: 5-6 = 6- tica, 6-7 = 7-ica itd Jaso, treba uraditi i zadatke (pod b)) i teoriju (pod a)) za ajmaje 5 (od 56 mogućih) poea (AKO TAČNO POPUNITE SVE TRAŽENE PODATKE DOBIČETE 5 POENA,) ZADATAK a) (i) Nacrtati odgovarajuće slike, te defiisati i dati geometrijsko tumačeje izvoda i diferecijala; (ii) defiisati limes i beskoača ( ± ) limes iza u termiologiji ε-n(ε) ; zapisati lim ( + ) a =?; b) Nacrtati grafike krivih y=, y= 4 8 Izračuati površiu omeđeu tim krivim i zapremiu astalu rotacijom te površie oko -ose ZADATAK a) Navesti i dokazati formulu za dušiu luka krive, te a taj ači izračuati obim kruga 4 d b) Izračuati itegrale: A = e ( 5+ ) d, α = ZADATAK a) Zapisati sistem lialg jedačia CZ = B, gdje su C ( cij ) =, ( ) r,r = i Z= ( zj ) B b i r, zapisujući prvu, drugu i zadju jedačiu i epozatu; zatim za taj isti sistem: CZ=B avesti Kramerov stav; pritom opisati kako se iz determiate D = det C dobije determiata D i epozate z i ( i = r, ) Za determiate D = det C, r-tog reda : defiisati subdetermiatu i kofaktor, te zapisati razvoj determiate D po kofaktorima zadje r-te koloe Nedopustivo je promjeiti ime bilo koje varijable u pitjima:svaka PROMJENA IMENA VARIJABLE TRETIRAĆE SE KAO POGREŠAN ODGOVOR! + y + z = 6, a + 4y + z = 5, 6 + ay + 4z = b) Za raze a R, diskutovati i riješiti sistem jedačia: ( ) 4ZADATAK a) Defiisati rotaciou površiu koja astaje rotacijom krive koja leži u ravi oz oko -ose i odrediti jeu jedačiu Zatim krivu 4 y =, z = rotirati oko -ose, te apisati jedačiu rotacioe površie i skicirati jeu sliku b) Naći Re z, Im z, arg z ako je ( ) ( ) z i i 8, te izračuati površiu i obim dobijeog mogougla = + Zatim izraćuati i grafički predstaviti sve vrijedosti PRIMJEDBA: pored Zadataka i studeti koji rade samo aalizu rade još : Zadatak a) Defiisati: primitivu fukciju i eodređei itegral, određei itegral (dati i defiiciju itegrale sume ograičee fukcije f a [a,b] ), apisati jedačiu tagete fukcije y = f() u tački = a b) Ispitati tok i acrtati grafik fukcije y = l Zapisati Tajlorov poliom T () i ostatak R () i krug krivie u tački = ISPIT TRAJE: za aalizu, tj II parcijali sata; za Matematika I- itegralo sata i mi k, 7

18 GF, MATEMATIKA I, 66 5 Na prvoj strai obavezo upisati: liče podatke, te škgodiu kad ste otslušali predmet, grupa B koji put polažete Zatim, ćim odgovorite a eko pitaja, popujavajte odmah odgovarajuće polje slijedeće tabele vrijedošću od do (tj 7) ( (tj 7 za parcijali) za potpu odgovor, a ako uopšte iste odgovarali a pitaje): a b a b a b 4a 4b Na osovu sume poea ( )izlazi OCJENA: 5-6 = 6- tica, 6-7 = 7-ica itd Jaso, treba uraditi i zadatke (pod b)) i teoriju (pod a)) za ajmaje 5 (od 54 mogućih) poea (AKO TAČNO POPUNITE SVE TRAŽENE PODATKE DOBIČETE 5 POENA,) ZADATAK a) (i) defiisati limes fukcije i eprekidost fukcije u termiologiji a ε-δ( ε) ; zapisati lim + =?; (ii) Defiisati i dati geometrijsko tumačeje izvoda i diferecijala i acrtati odgovarajuće slike; b) Nacrtati grafike krivih y=, y= 6 Izračuati površiu omeđeu tim krivim i zapremiu astalu rotacijom te površie oko -ose ZADATAK a) Navesti i dokazati formulu za površiu obrtog tijela, te a taj ači izračuati površiu sfere 4 d 4 6 b) Izračuati itegrale: b= e ( ) d, β = ZADATAK a) Zapisati sistem lialg jedačia B Y = A, gdje su B ( bij) =, ( ) k,k = i Y = ( yj ) A a i k, zapisujući prvu, drugu i zadju jedačiu i epozatu; zatim za taj isti sistem: BX = A avesti Kramerov stav; pritom opisati kako se iz determiate D = det B dobije determiata D i epozate y i ( i = k), Za determiate D = det B, k-tog reda : defiisati subdetermiatu i kofaktor, te zapisati razvoj determiate D po kofaktorima zadje k-te vrste Nedopustivo je promjeiti ime bilo koje varijable u pitjima:svaka PROMJENA IMENA VARIJABLE TRETIRAĆE SE KAO POGREŠAN ODGOVOR! + y + z =, 4 + by + z =, b + + 6y + 6z = 7 b) Za raze b R, diskutovati i riješiti sistem jedačia: ( ) 4ZADATAK a) Defiisati rotaciou površiu koja astaje rotacijom krive koja leži u ravi yoz oko z-ose i odrediti jeu jedačiu Zatim krivu y =, z = rotirati oko -ose, te apisati jedačiu rotacioe površie i skicirati jeu sliku 9 6 b) Naći Re z, Im z, arg z ako je z ( i) ( i ) 7, te izračuati površiu i obim dobijeog mogougla = + Zatim izraćuati i grafički predstaviti sve vrijedosti PRIMJEDBA: pored Zadataka i studeti koji rade samo aalizu, tj parc rade još : Zadatak a) Defiisati: primitivu fukciju i eodređei itegral, određei itegral (dati i defiiciju itegrale sume ograičee fukcije f a [a,b] ), apisati jedačiu tagete fukcije y = f() u tački = a b) Ispitati tok i acrtati grafik fukcije y = l Zapisati Tajlorov poliom T () i ostatak R () i krug krivie u tački = ISPIT TRAJE:za aalizu, tj II parcijali sata; za Matematika I- itegralo sata i mi k, 8

19 GF, MATEMATIKA I, 775 A Na prvoj strai obavezo upisati: liče podatke, te škgodiu kad ste otslušali predmet,grupa A koji put polažete Zatim, ćim odgovorite a eko pitaja, popujavajte odmah odgovarajuće polje slijedeće tabele vrijedošću od do za itegrali (tj 7 za parcijali ) ( (tj 7 za parc) za potpu odgovor, a ako uopšte iste odgovarali a pitaje): a b a b a b 4a 4b Na osovu sume poea ( )izlazi OCJENA: 5-6 = 6- tica, 6-7 = 7-ica itd Jaso, treba uraditi i zadatke (pod b)) i teoriju (pod a)) za ajmaje 5 (od 56 mogućih) poea (AKO TAČNO POPUNITE SVE TRAŽENE PODATKE DOBIČETE 5 POENA,) ZADATAK a) Nacrtati grafike G(f) fukcije f( ) = cos, te u istom koordiatom sistemu skicirati grafik G(f ) Zatim odrediti iverzu fukciju f ; Zapisati: D(f), R(f), D(f ), R(f ' ); Odrediti izvode: f( ) po defiiciji, te odrediti izvod iverze fukcije, koristeći stav o izvodu iverze fukcije b) Nacrtati grafike krivih y=, + y = 4 Izračuati veličiu maje površie omeđee tim krivim te zapremiu i površiu tijela astalu rotacijom te površie oko -ose, (obavezo acrtati sliku rotacioog tijela) ZADATAK a) Navesti stav o smjei u određeom itegralu Nacrtati ravu figuru A (, ) b) Izračuati itegrale: ZADATAK { y R a a ; y 4a } = < i izračuati jeu površia A = d; A = cosd ( ) cos ( + si) a) Neka su date matrice A = ( aij ) i X = ( ij ) Ako postoji matrica B ( bij ) p,q r,s = tako da je B=AX, odrediti : (i) koji uslov ispujavaju formati (p,q) i (r,s) matrica A i X, te kakav je format (u,v) matrice B; (ii) kako se račuaju elemeti matrice B, tj dovršite formulu: ( i =,u;j=,v) b ij = Σ ; (iii) Defiisati Kroekerov simbol δ ij i jediiču matricu E r zapisati koristeći taj simbol, te sračuati: AE q = Nedopustivo je promjeiti ime bilo koje varijable u pitjima:svaka PROMJENA IMENA VARIJABLE TRETIRAĆE SE KAO POGREŠAN ODGOVOR! + y + z = 6, a + 4y + z = 5, 6 + ay + 4z = b) Za raze a R, diskutovati i riješiti sistem jedačia: ( ) 4ZADATAK a) Defiisati kousu površiu Zatim odrediti jedačiu kouse površie sa vrhom u A(,,5) i direktrisom: 5 b) Naći Re z, Im z, arg z ako je ( ) ( ) 6 z i i = + u,v y 4 =, z = Zatim izraćuati i grafički predstaviti sve vrijedosti 8i, te izračuati površiu i obim dobijeog mogougla 5Zadatak a) Defiisati: itegrale sume i određei itegral ograičee fukcije f:[a,b] R, te izračuati: 4 d e d I = ; I = ld; I = 4 4+ b) Ispitati tok i acrtati grafik fukcije y= + jedačiu tagete u tački = (koristiti ovaj rezultat kod crtaja grafika fukcije); diferecijal i drugi diferecijal te fukcije u tački =, za Δ = Matematika I- itegralo: ZADACI,,,4, radi se sata i mi ISPITza aalizu, tj II parcijali: ZADACI, i 5, radi se sata; 9

20 GF, MATEMATIKA I, 775 B Na prvoj strai obavezo upisati: liče podatke, te škgodiu kad ste otslušali predmet, grupa B koji put polažete Zatim, ćim odgovorite a eko pitaja, popujavajte odmah odgovarajuće polje slijedeće tabele vrijedošću od do (tj 7) ( (tj 7 za parcijali) za potpu odgovor, a ako uopšte iste odgovarali a pitaje): Na osovu sume poea ( )izlazi OCJENA: a b a b a b 4a 4b 5-6 = 6- tica, 6-7 = 7-ica itd Jaso, treba uraditi i zadatke (pod b)) i teoriju (pod a)) za ajmaje 5 (od 54 mogućih) poea (AKO TAČNO POPUNITE SVE TRAŽENE PODATKE DOBIČETE 5 POENA,) ZADATAK a) Nacrtati grafike G(f) fukcije f() = cos, te u istom koordiatom sistemu skicirati grafik G(f ) Zatim odrediti iverzu fukciju f ; Zapisati: D(f), R(f), D(f ), R(f ' ); Odrediti izvode: f() po defiiciji, te odrediti izvod iverze fukcije, koristeći stav o izvodu iverze fukcije b) Nacrtati grafike krivih + y = 4, y= Izračuati veličiu maje površie omeđee tim krivim te zapremiu i površiu tijela astalog rotacijom te površie oko -ose, (obavezo acrtati sliku rotacioog tijela) ZADATAK a) Nacrtati ravu figuru ( ) { } B =,y R < b b ; y 4b itegralu, te koristeći taj stav izračuati površia ravu figure B b) Izračuati itegrale: ZADATAK b = d; b = ( ) sid ( + cos) si a) Neka su date matrice Y = ( yij ) i B= ( b ij ) Ako postoji matrica C ( cij ) m, p,q u,v Navesti stav o smjei u određeom = tako da je C=YB odrediti : (i) koji uslov ispujavaju formati (m,) i (p,q) matrica Y i B, te kakav je format (u,v) matrice C; (ii) kako se račuaju elemeti matrice C, tj dovršite formulu: ( i =,u;j=,v) cij = Σ (iii) Defiisati Kroekerov simbol δ ij i jediiču matricu E m zapisati koristeći taj simbol, te izračuati E p B= Nedopustivo je promjeiti ime bilo koje varijable u pitjima:svaka PROMJENA IMENA VARIJABLE TRETIRAĆE SE KAO POGREŠAN ODGOVOR! + y + z =, 4 + by + z =, b + + 6y + 6z = 7 b) Za raze b R, diskutovati i riješiti sistem jedačia: ( ) 4ZADATAK a) Defiisati cilidriču površiu Zatim odrediti jedačiu cilidriče površie sa geeratrisom p = (,,) b) Naći Re z, Im z, arg z ako je z ( i) ( i ) 5 = + y i direktrisom: =, z = 9 6 Zatim izračuati i grafički predstaviti sve vrijedosti 7i, te izračuati površiu i obim dobijeog mogougla 5Zadatak a) Defiisati: itegrale sume i određei itegral ograičee fukcije f:[a,b] R, te izračuati: 4 d e d I = ; I = ld; I = 4 4+ b) Ispitati tok i acrtati grafik fukcije y = + jedačiu tagete u tački = (koristiti ovaj rezultat kod crtaja grafika fukcije); diferecijal i drugi diferecijal te fukcije u tački =, za Δ = Matematika I- itegralo: ZADACI,,,4, radi se sata i mi ISPITza aalizu, tj II parcijali: ZADACI, i 5, radi se sata;

21 GF, MATEMATIKA VI, 77 5 Na prvoj strai obavezo upisati: liče podatke, te škgodiu kad ste otslušali predmet, koji put polažete Zatim, ćim odgovorite a eko pitaja, popujavajte odmah odgovarajuće polje slijedeće tabele vrijedošću od do 7 ( ( 7 za potpu odgovor, a ako uopšte iste odgovarali a pitaje): a b a b a b Na osovu sume poea ( )izlazi OCJENA: 5-6 = 6- tica, 6-7 = 7-ica itd Jaso, treba uraditi i zadatke (pod b)) i teoriju (pod a)) za ajmaje 5 (od 54 mogućih) poea (AKO TAČNO POPUNITE SVE TRAŽENE PODATKE DOBIČETE 5 POENA,) ZADATAK a) Nacrtati grafike G(f) fukcije =, te u istom koordiatom sistemu skicirati grafik G(f ) Zatim odrediti f() iverzu fukciju f ; Zapisati: D(f), R(f), D(f ), R(f ' ); Odrediti izvode: f( ) po defiiciji, te odrediti izvod iverze fukcije, koristeći stav o izvodu iverze fukcije b) Nacrtati grafike krivih y =, + y = 4 Izračuati veličiu maje površie omeđee tim krivim te zapremiu i površiu tijela astalog rotacijom te površie oko -ose, (obavezo acrtati sliku rotacioog tijela) ZADATAK a) Navesti stav o smjei u određeom itegralu Nacrtati ravu figuru A = (, y) R < a a ; y 4a i izračuati jeu površia b) Izračuati itegrale: { } A= d; B= ( ) cosd si( + cos ) ZADATAK a) Defiisati: itegrale sume i određei itegral ograičee fukcije f:[a,b] R, te izračuati: 4 d e d I = ; I = ld; I = 4 4+ b) Ispitati tok i acrtati grafik fukcije y= + ; odrediti : jedačiu tagete u tački = (koristiti ovaj rezultat kod crtaja grafika fukcije); diferecijal i drugi diferecijal te fukcije u tački =, za Δ = ISPIT TRAJE: Matematika (VI- stepe) sata