Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
|
|
|
- Νικάτωρ Παυλόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013.
2 Transformacije koordinata tačaka
3 Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne vektore repera Oe i O f važi f1 = c 11 e1 +c 21 e2, f2 = c 12 e1 +c 22 e2 Matrica C = (c ij ) je tzv. matrica prelaska sa baze e na bazu f.
4 Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne vektore repera Oe i O f važi f1 = c 11 e1 +c 21 e2, f2 = c 12 e1 +c 22 e2 Matrica C = (c ij ) je tzv. matrica prelaska sa baze e na bazu f. Neka su koordinate novog koord. početka su [O ] Oe = (b 1, b 2 ).
5 Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne vektore repera Oe i O f važi f1 = c 11 e1 +c 21 e2, f2 = c 12 e1 +c 22 e2 Matrica C = (c ij ) je tzv. matrica prelaska sa baze e na bazu f. Neka su koordinate novog koord. početka su [O ] Oe = (b 1, b 2 ). Za koordinate proizvoljne tačke M u tim sistemima važi: (x, y) = [M] Oe = [ OM] e, (x, y ) = [M] O f = [ O M] f, odnosno odnosno OM= x e 1 +y e 2, O M= x f 1 +y f 2.
6 Odatle imamo x e 1 +y e 2 = OM= OO + O M= b 1 e1 +b 2 e2 +x f 1 +y f 2 = = b 1 e1 +b 2 e2 +x (c 11 e1 +c 21 e2 ) + y (c 12 e1 +c 22 e2 ) = = (c 11 x + c 12 y + b 1 ) e 1 +(c 21 x + c 22 y + b 2 ) e 2.
7 Odatle imamo x e 1 +y e 2 = OM= OO + O M= b 1 e1 +b 2 e2 +x f 1 +y f 2 = = b 1 e1 +b 2 e2 +x (c 11 e1 +c 21 e2 ) + y (c 12 e1 +c 22 e2 ) = = (c 11 x + c 12 y + b 1 ) e 1 +(c 21 x + c 22 y + b 2 ) e 2. Zato važe formule: x = c 11 x + c 12 y + b 1, y = c 21 x + c 22 y + b 2. Te formule predstavljaju transformaciju koordinata tačaka ravni, tj. vezu koordinata (x, y) i (x, y ) iste tačke M u dva različita koordinatna sistema.
8 Odatle imamo x e 1 +y e 2 = OM= OO + O M= b 1 e1 +b 2 e2 +x f 1 +y f 2 = = b 1 e1 +b 2 e2 +x (c 11 e1 +c 21 e2 ) + y (c 12 e1 +c 22 e2 ) = = (c 11 x + c 12 y + b 1 ) e 1 +(c 21 x + c 22 y + b 2 ) e 2. Zato važe formule: x = c 11 x + c 12 y + b 1, y = c 21 x + c 22 y + b 2. Te formule predstavljaju transformaciju koordinata tačaka ravni, tj. vezu koordinata (x, y) i (x, y ) iste tačke M u dva različita koordinatna sistema. Matrično ih zapisujemo ovako: ( x y ) ( ) ( c11 c = 12 x c 21 c 22 y ) + ( b1 b 2 ). (1)
9 Primer Neka je OABC paralelogram i e = ( OA, OC), f = ( OB, CA) dve baze. Odrediti formule transformacija koordinata u reperima Oe i Bf, kao i inverzne formule.
10 Transformacije koordinata ortonormiranih repera a) Ako su ON reperi Oe i O f formule (1) postaju: ( ) ( ) ( ) ( x cos φ sin φ x q1 = y sin φ cos φ y + q 2 ). (2)
11 Transformacije koordinata ortonormiranih repera a) Ako su ON reperi Oe i O f formule (1) postaju: ( ) ( ) ( ) ( x cos φ sin φ x q1 = y sin φ cos φ y + q 2 ). (2) Ovo je kompozicija rotacije za ugao φ i translacije za vektor (q 1, q 2 ).
12 Transformacije koordinata ortonormiranih repera a) Ako su ON reperi Oe i O f formule (1) postaju: ( ) ( ) ( ) ( x cos φ sin φ x q1 = y sin φ cos φ y + q 2 ). (2) Ovo je kompozicija rotacije za ugao φ i translacije za vektor (q 1, q 2 ). b) Ukoliko su reperi različitih orjentacija formule su: ( ) ( ) ( ) ( x cos φ sin φ x q1 = y sin φ cos φ y + q 2 ). (3)
13 Transformacije koordinata ortonormiranih repera a) Ako su ON reperi Oe i O f formule (1) postaju: ( ) ( ) ( ) ( x cos φ sin φ x q1 = y sin φ cos φ y + q 2 ). (2) Ovo je kompozicija rotacije za ugao φ i translacije za vektor (q 1, q 2 ). b) Ukoliko su reperi različitih orjentacija formule su: ( ) ( ) ( ) ( x cos φ sin φ x q1 = y sin φ cos φ y + q 2 ). (3) Ovo je kompozicija refleksije u odnosu na pravu kroz O koja gradi ugao φ 2 sa x-osom i translacije za vektor (q 1, q 2 ).
14 ( cos φ sin φ Matrica R φ = sin φ cos φ ) je matrica rotacije za ugao φ.
15 ( cos φ sin φ Matrica R φ = sin φ cos φ Za nju važi: 1) R 1 φ = R T φ = R φ; ) je matrica rotacije za ugao φ.
16 ( cos φ sin φ Matrica R φ = sin φ cos φ Za nju važi: ) je matrica rotacije za ugao φ. 1) R 1 φ = R T φ = R φ; 2) det R φ = 1 (> 0 zato što reperi imaju istu orjentaciju).
17 ( cos φ sin φ Matrica R φ = sin φ cos φ Za nju važi: ) je matrica rotacije za ugao φ. 1) R 1 φ = Rφ T = R φ; 2) det R φ = 1 (> 0 zato što reperi imaju istu orjentaciju). ( ) cos φ sin φ Matrica S φ = je matrica refleksije. sin φ cos φ
18 ( cos φ sin φ Matrica R φ = sin φ cos φ Za nju važi: ) je matrica rotacije za ugao φ. 1) R 1 φ = Rφ T = R φ; 2) det R φ = 1 (> 0 zato što reperi imaju istu orjentaciju). ( ) cos φ sin φ Matrica S φ = je matrica refleksije. sin φ cos φ Za nju takodje važi 1) S 1 φ = S T φ,
19 ( cos φ sin φ Matrica R φ = sin φ cos φ Za nju važi: ) je matrica rotacije za ugao φ. 1) R 1 φ = Rφ T = R φ; 2) det R φ = 1 (> 0 zato što reperi imaju istu orjentaciju). ( ) cos φ sin φ Matrica S φ = je matrica refleksije. sin φ cos φ Za nju takodje važi 1) S 1 φ = S T φ, ALI 2) S φ = 1 (< 0 zato što reperi imaju istu orjentaciju).
20 ( cos φ sin φ Matrica R φ = sin φ cos φ Za nju važi: ) je matrica rotacije za ugao φ. 1) R 1 φ = Rφ T = R φ; 2) det R φ = 1 (> 0 zato što reperi imaju istu orjentaciju). ( ) cos φ sin φ Matrica S φ = je matrica refleksije. sin φ cos φ Za nju takodje važi 1) S 1 φ = S T φ, ALI 2) S φ = 1 (< 0 zato što reperi imaju istu orjentaciju). Primer Pravougaonik OABC ima ivice OA = 4, OC = 3 i središte S. Napisati vezu koordinata ON repera Oe i Sf, različitih orjentacija, gde je e 1 = OA 4, e 2 = OC 3, a f 1 je kolinearan sa SB.
21 Afina preslikavanja
22 Afina preslikavanja Jednačine (1) se mogu posmatrati i sa tzv. aktivne tačke gledišta, tj. kao formule preslikavanja.
23 Afina preslikavanja Jednačine (1) se mogu posmatrati i sa tzv. aktivne tačke gledišta, tj. kao formule preslikavanja. Definicija Afino preslikavanje ravni je preslikavanje koje tački M(x, y) preslikava u tačku M (x, y ) po pravilu ( x y uz uslov det(a ij ) 0. ) ( a11 a = 12 a 21 a 22 ) ( x y ) ( q1 + q 2 ), (4)
24 Afina preslikavanja Jednačine (1) se mogu posmatrati i sa tzv. aktivne tačke gledišta, tj. kao formule preslikavanja. Definicija Afino preslikavanje ravni je preslikavanje koje tački M(x, y) preslikava u tačku M (x, y ) po pravilu ( x y uz uslov det(a ij ) 0. ) ( a11 a = 12 a 21 a 22 ) ( x y ) ( q1 + q 2 Kolone matrice A = (a ij ) su slike baznih vektora pri tom preslikavanju, a (q 1, q 2 ) je slika koordinatnog početka. ), (4)
25 Afina preslikavanja Jednačine (1) se mogu posmatrati i sa tzv. aktivne tačke gledišta, tj. kao formule preslikavanja. Definicija Afino preslikavanje ravni je preslikavanje koje tački M(x, y) preslikava u tačku M (x, y ) po pravilu ( x y uz uslov det(a ij ) 0. ) ( a11 a = 12 a 21 a 22 ) ( x y ) ( q1 + q 2 Kolone matrice A = (a ij ) su slike baznih vektora pri tom preslikavanju, a (q 1, q 2 ) je slika koordinatnog početka. Slično se definiše i afino preslikavanje prostora. ), (4)
26 Teorema (Osobine afinih preslikavanja ravni) Bijekcije su Preslikavaju pravu na pravu; Preslikavaju krug u krug ili elipsu; Čuvaju razmeru tri tačke; Čuvaju paralelnost (recimo, slika paralelograma je paralelogram); jednoznačno su odredjena slikama tri nekolinearne tačke; Odnos površina slike i originalne figure je V (F ) V (F) = det A.
27 Teorema (Osobine afinih preslikavanja ravni) Bijekcije su Preslikavaju pravu na pravu; Preslikavaju krug u krug ili elipsu; Čuvaju razmeru tri tačke; Čuvaju paralelnost (recimo, slika paralelograma je paralelogram); jednoznačno su odredjena slikama tri nekolinearne tačke; Odnos površina slike i originalne figure je V (F ) V (F) = det A. Primer Date su tačke A( 1, 1), B(1, 1), C(1, 1), D( 1, 1); A (4, 5), B (8, 7), C (6, 9), D (2, 7). 1) Odrediti jednačine afinog preslikavanja koje kvadrat ABCD preslikava u paralelogram A B C D. 2) Odrediti jednačinu slike kruga upisanog u kvadrat. 3) Kolika je površina slike kruga.
28 Predstavljanje afinih preslikavanja matricama Afino preslikavanje ( ) ( x a11 a y = 12 a 21 a 22 ) ( x y ) ( q1 + q 2 ), (5) možemo predstaviti matricom: a 11 a 12 q 1 A q = a 21 a 22 q 2. (6) 0 0 1
29 Predstavljanje afinih preslikavanja matricama Afino preslikavanje ( ) ( x a11 a y = 12 a 21 a 22 ) ( x y ) ( q1 + q 2 ), (5) možemo predstaviti matricom: a 11 a 12 q 1 A q = a 21 a 22 q 2. (6) Teorema Proizvod matrica (6) odgovara kompoziciji afinih preslikavanja. Drugim rečima, grupa svih matrica oblika (6) je izomorfna grupi afinih preslikavanja ravni.
30 Translacija Translacija τ q za vektor q (q 1, q 2 ) data je formulama x = x + q 1, y = y + q 2,
31 Translacija Translacija τ q za vektor q (q 1, q 2 ) data je formulama x = x + q 1, y = y + q 2, ili u matričnom obliku ( ) x = y ( ) ( x y ) ( q1 + q 2 ).
32 Translacija Translacija τ q za vektor q (q 1, q 2 ) data je formulama ili u matričnom obliku ( ) x = y x = x + q 1, y = y + q 2, ( ) ( x y odnosno τ q : ) ( q1 + q q q ).
33 Translacija Translacija τ q za vektor q (q 1, q 2 ) data je formulama ili u matričnom obliku ( ) x = y x = x + q 1, y = y + q 2, ( ) ( x y odnosno τ q : ) ( q1 + q q q ). Kompozicija translacija je translacija, tj. sve translacije čine komutativnu podgrupu grupe afinih transformacija.
34 Rotacija Rotacija oko koordinatnog početka, za ugao φ, je data formulama ( ) ( ) ( ) x cos φ sin φ x R φ : y =. sin φ cos φ y
35 Rotacija Rotacija oko koordinatnog početka, za ugao φ, je data formulama ( ) ( ) ( ) x cos φ sin φ x R φ : y =. sin φ cos φ y Za rotaciju oko proizvoljne tačke Q(q 1, q 2 ) se realizuje malim trikom: R Q,φ = τ OQ R φ τ QO.
36 Rotacija Rotacija oko koordinatnog početka, za ugao φ, je data formulama ( ) ( ) ( ) x cos φ sin φ x R φ : y =. sin φ cos φ y Za rotaciju oko proizvoljne tačke Q(q 1, q 2 ) se realizuje malim trikom: R Q,φ = τ OQ R φ τ QO. R Q,φ : 1 0 q q cos φ sin φ 0 sin φ cos φ q q
37 Primer Odrediti formule rotacije oko tačke S(1, 2) za ugao od 2π 3.
38 Primer Odrediti formule rotacije oko tačke S(1, 2) za ugao od 2π 3. Rešenje: R S, 2π 3 =
39 Refleksija Kao što smo već videli, preslikavanje dato formulama ( ) ( ) ( ) x cos φ sin φ x S p0 : y =. sin φ cos φ y je refleksija u odnosu na pravu p 0 kroz koord. početak, koja gradi ugao φ sa x osom.
40 Refleksija Kao što smo već videli, preslikavanje dato formulama ( ) ( ) ( ) x cos φ sin φ x S p0 : y =. sin φ cos φ y je refleksija u odnosu na pravu p 0 kroz koord. početak, koja gradi ugao φ sa x osom. Ako prava p p 0 ne prolazi kroz koordinatni početak, nego kroz neku tačku Q p, tada je refleksija u odnosu na pravu p : S p = τ OQ S p0 τ QO.
41 Refleksija Kao što smo već videli, preslikavanje dato formulama ( ) ( ) ( ) x cos φ sin φ x S p0 : y =. sin φ cos φ y je refleksija u odnosu na pravu p 0 kroz koord. početak, koja gradi ugao φ sa x osom. Ako prava p p 0 ne prolazi kroz koordinatni početak, nego kroz neku tačku Q p, tada je refleksija u odnosu na pravu p : S p = τ OQ S p0 τ QO. Kasnije ćemo videti i drugi, opštiji, način da odredimo formule refleksije.
42
43 Preslikavanja koja čuvaju dužine (a samim time i uglove) nazivaju se izometrije. Izometrije koje čuvaju orjentaciju zovu se kretanja.
44 Preslikavanja koja čuvaju dužine (a samim time i uglove) nazivaju se izometrije. Izometrije koje čuvaju orjentaciju zovu se kretanja. Pošto izometrija preslikava ON bazu u ON bazu, već smo pokazali (formule (2), (3)) da su jedine izometrije ravni: kompozicija translacije i rotacije i kompozicija translacije i refleksije.
45 Preslikavanja koja čuvaju dužine (a samim time i uglove) nazivaju se izometrije. Izometrije koje čuvaju orjentaciju zovu se kretanja. Pošto izometrija preslikava ON bazu u ON bazu, već smo pokazali (formule (2), (3)) da su jedine izometrije ravni: kompozicija translacije i rotacije i kompozicija translacije i refleksije. Primetimo da u svim tim slučajevima važi AA T = I.
46 Preslikavanja koja čuvaju dužine (a samim time i uglove) nazivaju se izometrije. Izometrije koje čuvaju orjentaciju zovu se kretanja. Pošto izometrija preslikava ON bazu u ON bazu, već smo pokazali (formule (2), (3)) da su jedine izometrije ravni: kompozicija translacije i rotacije i kompozicija translacije i refleksije. Primetimo da u svim tim slučajevima važi AA T = I. Teorema Svaka izometrija prostora R n je afino preslikavanje. Šta više, afino preslikavanje je izometrija ako i samo je matrica A preslikavanja ortogonalna, tj. važi AA T = I.
47 Preslikavanja koja čuvaju dužine (a samim time i uglove) nazivaju se izometrije. Izometrije koje čuvaju orjentaciju zovu se kretanja. Pošto izometrija preslikava ON bazu u ON bazu, već smo pokazali (formule (2), (3)) da su jedine izometrije ravni: kompozicija translacije i rotacije i kompozicija translacije i refleksije. Primetimo da u svim tim slučajevima važi AA T = I. Teorema Svaka izometrija prostora R n je afino preslikavanje. Šta više, afino preslikavanje je izometrija ako i samo je matrica A preslikavanja ortogonalna, tj. važi AA T = I. Matrice reda n za koje važi AA T = I čine tzv. ortogonalnu grupu O(n).
48 Preslikavanja koja čuvaju dužine (a samim time i uglove) nazivaju se izometrije. Izometrije koje čuvaju orjentaciju zovu se kretanja. Pošto izometrija preslikava ON bazu u ON bazu, već smo pokazali (formule (2), (3)) da su jedine izometrije ravni: kompozicija translacije i rotacije i kompozicija translacije i refleksije. Primetimo da u svim tim slučajevima važi AA T = I. Teorema Svaka izometrija prostora R n je afino preslikavanje. Šta više, afino preslikavanje je izometrija ako i samo je matrica A preslikavanja ortogonalna, tj. važi AA T = I. Matrice reda n za koje važi AA T = I čine tzv. ortogonalnu grupu O(n). Njena podgrupa SO(n) := {A O(n) det A = 1} O(n) zove se specijalna ortogonalna grupa i predstavlja kretanja.
49 Istezanje Sa H Q,λ1,λ 2 označavamo istezanje u pravcu koordinatnih osa, sa centrom u tački Q (λ 1, λ 2 0).
50 Istezanje Sa H Q,λ1,λ 2 označavamo istezanje u pravcu koordinatnih osa, sa centrom u tački Q (λ 1, λ 2 0). Ako je tačka Q koordinatni početak, ( ) ( ) ( ) x λ1 0 x H λ1,λ 2 : y =. 0 λ 2 y
51 Istezanje Sa H Q,λ1,λ 2 označavamo istezanje u pravcu koordinatnih osa, sa centrom u tački Q (λ 1, λ 2 0). Ako je tačka Q koordinatni početak, ( ) ( ) ( ) x λ1 0 x H λ1,λ 2 : y =. 0 λ 2 y Primetimo da je H 1, 1 refleksija u odnosu na x osu.
52 Istezanje Sa H Q,λ1,λ 2 označavamo istezanje u pravcu koordinatnih osa, sa centrom u tački Q (λ 1, λ 2 0). Ako je tačka Q koordinatni početak, ( ) ( ) ( ) x λ1 0 x H λ1,λ 2 : y =. 0 λ 2 y Primetimo da je H 1, 1 refleksija u odnosu na x osu. Ako je tačka Q proizvoljna, slično kao kod rotacije: H Q,λ1,λ 2 = τ OQ H λ1,λ 2 τ QO.
53 Istezanje Sa H Q,λ1,λ 2 označavamo istezanje u pravcu koordinatnih osa, sa centrom u tački Q (λ 1, λ 2 0). Ako je tačka Q koordinatni početak, ( ) ( ) ( ) x λ1 0 x H λ1,λ 2 : y =. 0 λ 2 y Primetimo da je H 1, 1 refleksija u odnosu na x osu. Ako je tačka Q proizvoljna, slično kao kod rotacije: H Q,λ1,λ 2 = τ OQ H λ1,λ 2 τ QO. Primetimo da je homotetija specijalan slučaj ovog preslikavanja za λ 1 = λ 2.
54 Smicanje Preslikavanje dato formulama ( ) x = y ( 1 λ 0 1 ) ( x y ) naziva se smicanje sa koeficientom λ u pravcu x ose.
55 Smicanje Preslikavanje dato formulama ( ) x = y ( 1 λ 0 1 ) ( x y ) naziva se smicanje sa koeficientom λ u pravcu x ose. Smicanje preslikava kvadrat u paralelogram iste visine i osnovice, pa dakle i iste površine (det A = 1).
56 Smicanje Preslikavanje dato formulama ( ) x = y ( 1 λ 0 1 ) ( x y ) naziva se smicanje sa koeficientom λ u pravcu x ose. Smicanje preslikava kvadrat u paralelogram iste visine i osnovice, pa dakle i iste površine (det A = 1). Primer Prestaviti kao afinu transformaciju sledeće dogadjaje: 1) pan : miš je pritisnut u P(x 0, y 0 ), a otpušten u Q(x 1, y 1 ). 2) zoom in : klikom miša u P(x 0, y 0 ), slika se uvećava 40%. 2) zoom to window : miš je pritisnut u tački P(x 0, y 0 ), a otpušten u Q(x 1, y 1 ), gde je PQ dijagonala prozora.
57 Afina preslikavanja prostora Afino preslikavanje prostora je preslikavanje koje tačku M(x, y, z) preslikava u tačku M (x, y, z ) po pravilu x y z det(a ij ) 0. = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 x y z + q 1 q 2 q 3, (7)
58 Afina preslikavanja prostora Afino preslikavanje prostora je preslikavanje koje tačku M(x, y, z) preslikava u tačku M (x, y, z ) po pravilu x y z = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 x y z + q 1 q 2 q 3, (7) det(a ij ) 0. Kolone matrice A = (a ij ) su slike baznih vektora, a tačka (q 1, q 2, q 3 ) je slika koordinatnog početka.
59 Afina preslikavanja prostora Afino preslikavanje prostora je preslikavanje koje tačku M(x, y, z) preslikava u tačku M (x, y, z ) po pravilu x y z = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 x y z + q 1 q 2 q 3, (7) det(a ij ) 0. Kolone matrice A = (a ij ) su slike baznih vektora, a tačka (q 1, q 2, q 3 ) je slika koordinatnog početka. Preslikavanje (7) se može predstaviti 4x4 matricom: A q := a 11 a 12 a 13 q 1 a 21 a 22 a 23 q 2 a 31 a 32 a 33 q i tada kompoziciji preslikavanja odgovara množenje matrica.
60 Najznačajnija klasa afinih preslikavanja su izometrije jer se njima realizuju kretanja objekata u prostoru.
61 Najznačajnija klasa afinih preslikavanja su izometrije jer se njima realizuju kretanja objekata u prostoru. Videli smo da je preslikavanje (7) izometrija ako je AA T = I. Ako je dodatno i det A = 1, ta izometrija je kretanje.
62 Najznačajnija klasa afinih preslikavanja su izometrije jer se njima realizuju kretanja objekata u prostoru. Videli smo da je preslikavanje (7) izometrija ako je AA T = I. Ako je dodatno i det A = 1, ta izometrija je kretanje. Teorema (Ojlerova 1) Svaka matrica kretanja (AA T = I, det A = 1) se može predstaviti kao kompozicija tri rotacije oko koordinatnih osa, tj: A = R x,φ R y,θ R z,ψ. Uglove ψ, φ [ π, π], θ [ π 2, π 2 ] zovemo Ojlerovi uglovi. Ovde y i x označava da su te ose već zarotirane, a ne ose originalnog koordinatnog sistema.
63 Na ovoj animaciji oznake se podudaraju sa našima. Primetite samo da koordinatni sistem jeste pozitivne orjentacije, samo je z-osa okrenutna nadole. Koordinatni sistem je vezan za avion: x-osa je pravac aviona, y-osa krila, a z-osa upravna na ravan aviona.
64 Na ovoj animaciji oznake se podudaraju sa našima. Primetite samo da koordinatni sistem jeste pozitivne orjentacije, samo je z-osa okrenutna nadole. Koordinatni sistem je vezan za avion: x-osa je pravac aviona, y-osa krila, a z-osa upravna na ravan aviona. Matrice rotacija oko koordinatnih osa su date sa: R z,ψ = cos ψ sin ψ 0 sin ψ cos ψ , R y,θ = cos ψ 0 sin ψ sin ψ 0 cos ψ, R x,φ = 0 cos φ sin φ sin φ cos φ.
65 Na ovoj animaciji oznake se podudaraju sa našima. Primetite samo da koordinatni sistem jeste pozitivne orjentacije, samo je z-osa okrenutna nadole. Koordinatni sistem je vezan za avion: x-osa je pravac aviona, y-osa krila, a z-osa upravna na ravan aviona. Matrice rotacija oko koordinatnih osa su date sa: R z,ψ = cos ψ sin ψ 0 sin ψ cos ψ , R y,θ = cos ψ 0 sin ψ sin ψ 0 cos ψ, R x,φ = 0 cos φ sin φ sin φ cos φ. Na osnovu prethodnog, svako kretanje prostora je kompozicija tri rotacije oko koordinatnih osa i translacije.
66 Na ovoj animaciji oznake se podudaraju sa našima. Primetite samo da koordinatni sistem jeste pozitivne orjentacije, samo je z-osa okrenutna nadole. Koordinatni sistem je vezan za avion: x-osa je pravac aviona, y-osa krila, a z-osa upravna na ravan aviona. Matrice rotacija oko koordinatnih osa su date sa: R z,ψ = cos ψ sin ψ 0 sin ψ cos ψ , R y,θ = cos ψ 0 sin ψ sin ψ 0 cos ψ, R x,φ = 0 cos φ sin φ sin φ cos φ. Na osnovu prethodnog, svako kretanje prostora je kompozicija tri rotacije oko koordinatnih osa i translacije. Izometrija koja ne čuva orjentaciju (tj. det A = 1) dodatno sadrži i ravnsku refleksiju tj. ogledanje.
67 Refleksija u odnosu na ravan (pravu) Pretpostavimo da je n kolona koordinata JEDINIČNOG normalnog vektora ravni α 0, koja sadrži koordinatni početak O.
68 Refleksija u odnosu na ravan (pravu) Pretpostavimo da je n kolona koordinata JEDINIČNOG normalnog vektora ravni α 0, koja sadrži koordinatni početak O. 3x3 matrica refleksije S α0 u odnosu na ravan α 0 je data sa S α0 : I 3 2nn T, gde je I 3 jedinična 3x3 matrica, a n 1 nn T = n 2 n 3 ( ) n 1 n 2 n 3 = n 2 1 n 1 n 2 n 1 n 3 n 1 n 3 n 2 2 n 1 n 3 n 1 n 3 n 1 n 3 n 2 3.
69 Refleksija u odnosu na ravan (pravu) Pretpostavimo da je n kolona koordinata JEDINIČNOG normalnog vektora ravni α 0, koja sadrži koordinatni početak O. 3x3 matrica refleksije S α0 u odnosu na ravan α 0 je data sa S α0 : I 3 2nn T, gde je I 3 jedinična 3x3 matrica, a n 1 nn T = n 2 n 3 ( ) n 1 n 2 n 3 = n 2 1 n 1 n 2 n 1 n 3 n 1 n 3 n 2 2 n 1 n 3 n 1 n 3 n 1 n 3 n 2 3 Ako ravan α α 0 ne sadrži O nego neku tačku A, tada se refleksija S α može predstaviti kao kompozicija S α = T OA S α0 T AO..
70 Rotacija oko prave u prostoru Pretpostavimo da je p kolona koordinata JEDINIČNOG vektora prave p 0, koja sadrži koordinatni početak O.
71 Rotacija oko prave u prostoru Pretpostavimo da je p kolona koordinata JEDINIČNOG vektora prave p 0, koja sadrži koordinatni početak O. 3x3 matrica rotacije R p0,φ u odnosu na pravu p 0 za ugao φ u pozitivnom smeru, je data sa R p0,φ : pp T + cos φ(i 3 pp T ) + sin φp, gde je p matrica vektorskog množenja vektorom p: 0 p 3 p 2 p = p 3 0 p 1. p 2 p 1 0
72 Rotacija oko prave u prostoru Pretpostavimo da je p kolona koordinata JEDINIČNOG vektora prave p 0, koja sadrži koordinatni početak O. 3x3 matrica rotacije R p0,φ u odnosu na pravu p 0 za ugao φ u pozitivnom smeru, je data sa R p0,φ : pp T + cos φ(i 3 pp T ) + sin φp, gde je p matrica vektorskog množenja vektorom p: 0 p 3 p 2 p = p 3 0 p 1. p 2 p 1 0 Ako prava p p 0 ne sadrži O nego neku tačku Q, tada se rotacija R p,φ može predstaviti kao kompozicija R p0,φ = T OQ R p0,φ T QO.
73 Teorema (Ojlerova 2) Svako kretanje prostora je rotacija oko neke prave p za neki ugao φ. Primer Odrediti formule refleksije u osnosu na pravu p : 3x 4y 6 = 0 (u ravni). Primer Odrediti formule rotacije za ugao φ = 3Pi 2 oko prave p koja sadrži tačku Q(1, 0, 0) i ima vektor pravca p = (1, 2, 2).
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
10 Afina preslikavanja ravni
0 Afina preslikavanja ravni 0 Definicija i osobinea afinih preslikavanja Reč afini označava da se pojam odnosi na prostor tačaka koji je vezan za odgovarajući vektorski prostor Intuitivno, afino preslikavanja
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Geometrijske transformacije
Računarstvo i informatika Računarska grafika Geometrijske transformacije Prof. Dr Slobodanka Đorđević - Kajan Katedra za računarstvo Elektronski fakultet Niš 1 Ciljevi Upoznati osnovne 2D geometrijske
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Analitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
PROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP
PROJEKTIVNA GEOMETRIJA oktobar 2010. godine ANALITIČKI PRISTUP Homogene koordinate i dvorazmera 1. Tačke 0, i 1 afinog sistema koordinata uzete su redom za bazne tačke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i jedinicu
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
OTPORNOST MATERIJALA
3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar)
Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar) Srdjan Vukmirović August 19, 2003 Aksiome projektivne geometrije P1 Za ma koje 2 tačke A i B postoji tačno jedna prava a = AB kojoj pripadaju tačke A i B.
TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije
Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije 1. Postoji jedna i samo jedna prava koja sadrži dve razne tačke A i B. 2. Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B, C. 3. Ako
Matematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Vektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer.
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 1: Vektori i transformacije koordinata Tijana Xukilovi 2. oktobar 2017 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB
, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.
J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina
Slika 9: Izometrijske transformacije koordinata. Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom
e 2 f 2 e 2 φ + π 2 Q f 1= f 1 φ e 1 O e 1 f 2 Slika 9: Izometrijske transformacije koordinata Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom Teorema 3.1 Formule transformacija koordinata ravni iz ortonormiranog
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Zadaci iz Geometrije 4
Zadaci iz Geometrije 4 - za rad na vežbama - 3. maj 2017. 1 Stereometrija 1. Data je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ivice a. Dokazati da je tetraedar ACB 1 D 1 pravilan i odrediti mu dužinu ivice. 2. Dat je
Geometrija 4. Srdjan Vukmirovi. februar Matemati ki fakultet, Beograd
Geometrija 4 Srdjan Vukmirovi Matemati ki fakultet, Beograd februar 2015. Sadrºaj 1 Ana geometrija (ponavljanje) 2 Projektivna ravan Realna projektivna ravan RP 2 Realna projektivna prava RP 1 Trotemenik
Računarska grafika. Transformacije u 3D i projekcije
Računarska grafika Transformacije u 3D i projekcije I ove se pretpostavlja konvencija pokretne virtuelne kamere Postoji formalna sličnost sa transformacijama u 2D grafici: oaje se jean član jenačina (a
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA
LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA Predrag Tanović February 11, 211 {WARNING: Sadržaj ovog materijala NI U KOM SLUČAJU NE MOŽE ZAMENITI UDŽBENIK: radi se o prepravljanim slajdovima predavanja. Reference
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona
* Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac
Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:
POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
wwwmatematiranjecom TRIGONOMETRIJSKI KRUG Uglovi mogu da se mere u stepenima i radijanima Sa pojmom stepena smo se upoznali još u osnovnoj školi i ako se sećate, njega smo podelili na minute i sekunde(
f n z n, (2) F (z) = pri čemu se pretpostavlja da red u (2) konvergira bar za jednu konačnu vrednost kompleksne promenljive Z(f n ) = F (z).
Z-TRANSFORMACIJA Laplaceova transformacija je primer integralne transformacije koja se primenjuje na funkcije - originale. Ova transformacija se primenjuje u linearnim sistemima koji su opisani diferencijalnim
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
x + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.
Linearna algebra A, kolokvijum, 1. tok 22. novembar 2014. 1. a) U zavisnosti od realnih parametara a i b Gausovim metodom rexiti sistem linearnih jednaqina nad poljem R ax + (a + b)y + bz = 3a + 5b ax +
Kompleksni brojevi i Mebijusove transformacije
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Kompleksni brojevi i Mebijusove transformacije Master rad Student: Marina Durica, 1043/016 Mentor: prof dr. Miodrag Mateljević Beograd, 017. Sadržaj Uvod 1 Kompleksni
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
1.1 Tangentna ravan i normala površi
Površi. Tangentna ravan i normala površi Zadatak Data je površ r(u, v) = (u cos v, u sin v, a 2 u 2 ), a = const. Ispitati o kojoj se površi radi i odrediti u i v linije. Zadatak 2 Data je površ r(u, v)
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D
Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D Orijentacija Još jednom: Orijentacija i pravac - isto ili ne? Pravac je određen vektorom, ali rotacija vektora oko samog sebe nema daljeg uticaja. Orijentacija
Neophodnost uslova komutativnosti i asocijativnosti kod Dezargovih i Paposovih ravni
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET Neophodnost uslova komutativnosti i asocijativnosti kod Dezargovih i Paposovih ravni MASTER RAD Autor Snežana Milosavljević Mentor dr Miroslava Antić Beograd
O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš
O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
I Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Zadaci iz Linearne algebre (2003/4)
Zadaci iz Linearne algebre (2003/4) Srdjan Vukmirović May 22, 2004 1 Matematička indukcija 1.1 Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi 3 / (5 n + 2 n+1 ). 1.2 Dokazati da sa svake m Z i n N postoje
EUKLIDSKA GEOMETRIJA
EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku
Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler
Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze,
PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3. 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4
Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 5 Ispitivanje jedna ina drugog reda u R 2 5 5.1 Krive sa centrom.........................
Polarne, cilindrične, sferne koordinate. 3D Math Primer for Graphics & Game Development
Polarne, cilindrične, sferne koordinate 3D Math Primer for Graphics & Game Development Polarni koordinatni sistem 2D polarni koordinatni sistem ima koordinatni početak (pol), koji predstavlja centar koordinatnog
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu
M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, II predavanje, 2017. 1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu Posmatrajmo materijalnu tačku koja se kreće po trajektoriji prikazanoj na slici 1.
4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:
Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Milan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015
Milan Merkle M A T E M A T I K A (radni naslov) III Verzija (1999-23), novembar 215 Sadržaj: Analitička geometrija Funkcije više promenljivih Integrali (krivolinijski, višetruki, površinski) Kompleksna
Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Rotacija i orijentacija u 3D Ojlerovi uglovi. Vektor rotacije. 3D Math Primer for Graphics & Game Development
Rotacija i orijentacija u 3D Ojlerovi uglovi. Vektor rotacije. 3D Math Primer for Graphics & Game Development Ojlerovi uglovi Ojlerovi uglovi Ojlerovi uglovi su, uz matrice rotacije, drugi važan način