10. POJAM SIGURNOSTI U ŽELJEZNIČKOM PROMETU

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "10. POJAM SIGURNOSTI U ŽELJEZNIČKOM PROMETU"

Transcript

1 10. POJM SIGURNOSTI U ŽELJEZNIČKOM PROMETU U željezničkom prometnom sustavu, kao umjetno stvorenom sustavu koji utječe na okolinu, sigurnost željezničkog prometa se označava kao pojam isključivanja štetnih ili konfliktnih situacija, pojava ili događaja u odvijanju prometa. Kao što je poznato, željeznički promet je definiran tehnološkim procesom, koji podrazumijeva određenu regulaciju prometa. To znači da se promet vlakova mora na neki način fizički regulirati, tako što će biti što manje opasan za okolinu gdje se taj promet odvija. Jedna od najprihvatljivijih definicija sigurnosti željezničkog prometa glasi: Sigurnost je najveća moguća vjerojatnost da će cjelokupni prometni sustav ili određeni njegov podsustav sigurno funkcionirati, uz unaprijed određene radne uvjete. ko iz bilo kojeg razloga dođe do pojave ugroženosti pravilnog odvijanja željezničkog prometa, ugrađeni uređaji moraju biti tako projektirani, programirani i izvedeni da bezuvjetno, pouzdano i automatski prelaze na višu razinu sigurnosti, pa i po cijenu ukupne obustave prometa. I iz ove definicije se vidi da je i ona sastavljena iz četiri osnovna pojma, a to su: vjerojatnost, sigurno odvijanje prometa, radni uvjeti i bezuvjetni, pouzdan i automatski prijelaz na višu razinu sigurnosti. Pojam sigurnog odvijanja prometa može se odrediti prema utjecaju koji željeznički prometni sustav čini na okolinu. Težnja je, da utjecaj željeznice na okolinu bude čim manji. Najteži zadatak koji se postavlja pred željeznicu u svezi sigurnosti je svakako spriječiti konfliktne situacije, kako unutar samog željezničkog prometa, tako i prema drugim vidovima prometa s kojim se željeznica nalazi u istom okolišu. Zadaću bezuvjetnog, pozdanog i automatskog prijelaza na višu razinu sigurnosti mogu ostvariti samo uređaji koji imaju ugrađene elemente za detekciju i mjerenje određene fizikalne veličine, nadalje imaju ugrađene elemante za obradu prispjelih podataka i kao najvažnije, elemante umjetne inteligencije za usporedbu obrađenih podataka s programiranim, na temelju koje će se odrediti ponašanje objekata u sustavu. Obje ove definicija, kao i osnovni pojmovi, ukazuju na kompleksnost i težinu zadatka, određivanje elementa za sigurno odvijanje željezničkog prometa. ko bismo doslovce primijenili obje definicije i njihove sastavne pojmove, došli bi do apsurdnog zaključka da je apsolutno siguran željeznički promet kada željeznička vozila miruju. Uzimajući u obzir činjenicu da je promet ipak realna pojava, s realnim elementima, treba težiti da se čim više otklone uzročnici nepoželjnih pojava ili događaja, s ciljem postizanja sigurnog odvijanja željezničkog prometa čim bližom apsolutnoj sigurnosti i pouzdanosti. To znači da određeni elementi prometnog sustava moraju uvijek pozdano i sigurno funkcionirati bez obzira na uvjete rada.

2 10.1. Logika uporabe sigurnosnih elemenata Promatrajući elemente prometa koji imaju sigurnosne zadaće, treba se definirati pojam sigurnosnog elementa, koji predstavlja veći ili manji sklop, element ili dio uređaja, a predstvalja određenu funcionalnu cjelinu. Sigurnosni element će imati takove karakteristike da pod utjecajem bilo kakve smetnje ne može u njemu prouzročiti takvo stanje, koje će na izlaznoj strani uspostaviti normalno ili projektirano stanje, ako za to nisu ispunjeni svi potrebni ulazni logički uvjeti. To znači, da se u nenormalnim uvjetima rada na izlazu iz sigurnosnog elemanta ili komponente uspostavlja uvijek isto unaprijed zadano stanje, koje je nedvosmisleno različito od normalnog ispravnog izlaznog stanja. Tim se načinom, u slučaju pojave kvara ili greške onemogućava prijenos informacije preko neispravne sigurnosne komponente, koja bi mogla uspostaviti normalno stanje na izlau te komponente ili uređaja. Ovdje se postavlja osnovno pitanje, a to je pitanje definiranja normalnog, ispravnog stanja određenog tehničkog sustava. Definicija normalnog, odnosno ispravnog stanja nekog uređaja usko je vezana s zadacima koje određeni sustav treba obaviti. Tako se može pokazati da uređaj može biti u dva suprotna stanja: ispravno stanje i neispravno stanje. Ispravno stanje je onda kada uređaj, podsustav ili cijeli sustav radi prema svim zadanim tehničko-normativnim funkcijama. Neispravno stanje nastaje kada tehnički sustav ne zadovoljava makar i jednom zahtjevu tehničko-normativnih funkcija. Utvrđivanje stanja uređaja je zapravo proces dijagnosticiranja, koji se bazira na logičkoj obradi objektivne informacije koju promatrani tehnički sustav daje kao izlaznu informaciju. Ta informacija dolazi u obliku vanjskih znakova koji direktno označuju stanje tehničkog sustava. Promatra li se neki jednostavan realni tehnički sustav u vremenskoj domeni, onda taj sutav može biti u tri različita stanja: normalno stanje u radu, nenormalno neispravno stanje i nedefinirano stanje. Ovakva podjela pogodna je za analizu tehničkih sustava koji imaju funkciju upravljanja. Dijagnostika stanja takvih tehničkih sustava izvodi se u vremenskoj domeni, odnosno odziva upravljanog sustava na ulaznu pobudu. Kako se radi o realnim sustavima, odziv na pobudu ima i vremensku komponentu. Tako se može pokazati da ukoliko sustav ima svojstvo inercije, odziv na ulaznu pobudu također je vremenski pomaknut. Od trenutka pobude do trenutka odziva, sustav se tada nalazi u nedefiniranom stanju, te se za sustav tada ne može utvrditi da li je u ispravnom ili neispravnom stanju. Dijagnosticiranje stanja tehničkih sustava, koji imaju zadatak upravljanja, bazira se na utvrđivanju dijelova sustava koji ne odgovaraju postavljenim tehničkim uvjetima i ne reagiraju na zadanu pobudu. U procesu dijagnosticiranja stanja sustava, očito je da se svi elementi nalaze u nedefiniranom stanji, do trenutka

3 provjere, koje treba što kraće trajati, a sam proces mora biti tako koncipiran kako bi se dobio što točniji, istinit i jednostavan rezultat. Uzimajući u obzir navedene kriterije podjele stanja tehničkih sustava logično je da se više pažnje posvećuje analizi neispravnih i nedefiniranih stanja. Kvarovi se mogu pojaviti zbog mnogobrojnih razloga i u različita vremena. Općenitom klasifikacijom možemo greške i kavarove podijeliti na: Iznenadani kvarovi koji se pojavljuju kao posljedica naglih promjena parametara koji određuju funkcionalnost određenog sklopa, a čiji je uzrok najčešće skriveni nedostatak materijala ili elemenata od kojih je taj sklop načinjen, Postupni kvar koji nastaje kada se parametri koji određuju funkcionalnost sklopa postupnu mijenjaju u dužem razdoblju, Neovisan kvar nastaje kada se pojavi greška ili nesipravnost samo jednog elementa koji čini sklop, Potpuni kvar ili otkaz nastaje kada sklop ili uređaj nije u stanju obaviti postavljeni zadatak, a za njegovo otklanjanje je potreban popravak, Djelomičan kvar ili greška će se pojaviti kao posljedica promjena nekih karaktetistika elememata ili sklopova, a uređaj može djelomično obaviti postavljene zadatke, Prolazni kvar će se pojaviti kao prolazna promjena karakteristika sustava koji mu dozvoljava regeneraciju, Povratni kvar ili otkaz zapravo predstavlja posljedicu niza prolaznih kvarova koji slijede prije njega, a zahtjeva analizu uzroka zbog kojeg je nastao, Slučajni kvar ili pogreška će se za razliku od iznenadnog kvara javiti u slučaju njegovog nepoznatog uzroka i Sistematski kvar ili pogreška nastaje kao posljedica starenja, korozije, erozije ili trošenja određenog elementa ili sklopa, a pojavljuje se proporcionalno s vremenom Primjer proračuna pouzdanosti Pouzdanost i sigurnost željezničkog prometa vrlo je složena i kompleksna problematika, koja zahtijeva egzaktan i suptilan pristup rješavanju kako najjednostavnijih tako i najsloženijih zadataka. Uzme li se za primjer određivanje razine pouzdanosti podsustava željezničkog prometa koji obuhvaća interakciju uređaja (signala), čovjeka (strojovođa) i pokretnog sredstva (lokomotiva), mogu se izračunati i usporediti vrijednosti pouzdanosti (P i ), triju znakovitih kombinacija odnosa uređaj-čovjek-stroj: 1. P 1 - pouzdanost podsustava sastavljenog od signalnog uređaja (SU) i čovjeka (Č), gdje čovjek opaža signal i na njega reagira, upravljajući lokomotivom pomoću lokomotivskog kočionog sustava (KL). Blokshema podsustava prikazana je slikom 10.1.,

4 SIGNL ČOVJEK KOČIONI UREĐJ LOKOMOTIVE Pouzdanost signalnog uređaja (P SU ) Pouzdanost čovjeka (P č ) Pouzdanost kočionog uređaja (P KL ) Slika Blok-shema podsustava signal-čovjek-stroj 2. P 2 - pouzdanost podsustava sastavljenog od signalnog uređaja (SU) i autostop uređaja (S), koji radi bez prisustva čovjeka, gdje uređaj automatski djeluje reagirajući na signal, a upravljajući lokomotivom pomoću lokomotivskog kočionog sustava (KL). Blok-shema podsustava prikazana je slikom i SIGNL UTOSTOP UREĐJ KOČIONI UREĐJ LOKOMOTIVE Pouzdanost signalnog uređaja (P SU ) Pouzdanost autostop-uređaja (P S ) Pouzdanost kočionog uređaja (P KL ) Slika Blok-shema podsustava signal-autostop-stroj 3. P 3 - pouzdanost podsustava sastavljenog od signalnog uređaja (SU) i paralelne kombinacije autostop uređaja (S) i čovjeka (Č), koji radi uz prisustvo čovjeka, gdje uređaj automatski djeluje reagirajući na signal, a čovjek i dalje upravljaja lokomotivom pomoću

5 lokomotivskog koćionog sustava (KL). Blok-shema podsustava prikazana je slikom ČOVJEK SIGNL UTOSTOP UREĐJ KOČIONI UREĐJ Pouzdanost čovjeka (P č ) Pouzdanost signalnog uređaja (P SU ) Pouzdanost autostop-uređaja (P S ) Pouzdanost kočionog uređaja (P KL ) Slika Blok-shema podsustava signal-čovjek autostop-stroj Koristeći se podacima iz stručne literature i željezničke prakse, može se pokazati da su najpogodnije vrijednosti pouzdanosti za signalno-sigurnosne uređaje i čovjeka: P SU =P S =P KL =0,999 i P č =0,35. Uzimajući u obzir gornje vrijednosti, provodi se postupak proračuna pouzdanosti sva tri gornja slučaja, tako da je: 1. P 1 =P. SU P. Č P KL =0,999. 0,35. 0,999=0, P 2 =P. SU P. S P KL =0,999. 0,999. 0,999=0,9970 P 1 1 P 1 P P [ ] = 3. P 3 = SU ( Č )( S ) KL = 0,999[ 1 ( 1 0,35)( 1 0,999) ] 0,999 =0,99735 Iz ovoga primjera je vidljivo da je moguće, primjenom odgovarajućih matematičkih modela i koristeći teoriju vjerojatnosti i pouzdanosti te pribjegavajući odgovarajućim međusobnim odnosima pojedinih komponenti, postići zadovoljavajuće rezultate glede pouzdanosti i sigurnosti promatranog sustava. Vidljivo je, da je moguće podizanje razine podsustava uključujući u kombinaciju i čovjeka s relativno niskom vlastitom pouzdanošću, ako je pri tome primijenjen princip redundancije.

6 10.3. Sustav za podršku u upravljanju signalno-sigurnosnim uređajima Elektronički signalno-sigurnosni uređaji predstavljaju računalski podržani sustav upravljanja željezničkim prometom koji u svom radu koriste informacije, bilo iz vlastitog sustava, bilo iz drugih informacijskih sustava, a služe za donošenje optimalne upravljačke odluke. U takvim sustavima postupak odlučivanja odvija se od najjednostavnijeg rutinskog odlučivanja u dobro poznatim uvjetima, po dobro poznatim pravilima, do vrlo složenog odlučivanja u nepoznatim i višedimenzionalnim uvjetima, bez dobro poznatih pravila, ali ni jedna odluka ne smije ugroziti sigurnost odvijanja željezničkog prometa. Tako se može dokazati da je u željezničkom prometu potrebno donositi odluke u različitim uvjetima složenosti. Ovdje se mora istaknuti da se radi o složenom i vremenski zahtjevnom procesu odlučivanja, koji sadrži slijedeće elemente: problem, potreba rješenja problema, postojanje izbornih rješenja problema, donositelj odluke i izvršitelj odluke. Uz pretpostavku postojanja svih gore navedenih elemenata, očito je da postoje i različite metode rješavanja problema, koje donositelju odluke stoje na raspolaganju, kao rješenje postavljenog problema. Donositelj odluke je čovjek koji svakodnevno donosi odluke na temelju iskustva, intuicije i procjene. Kao pomoć u odlučivanju razvijene su mnogobrojne formalno-analitičke metode, kao što su statistička analiza, stvaranje modela i simulacija, te pomagala u obliku računalskih programa za proračune i upravljanje bazama podataka. Uporabom navedenih metoda i pomagala, te korištenjem iskustva, intuicije i procjene, stvaraju se informacije na temelju kojih donositelj odluke može donijeti pravu odluku kao rješenje postavljenog problema. Same informacije se sastoje iz velikog broja raspoloživih podataka, koje je potrebno prikazati u pravom obliku na pravom mjestu i u pravo vrijeme. Da bi se stvorila vrijedna informacija, podatke treba na pogodan način obraditi. Obrada se podataka najčešće koristi za pretvorbu skupa neobrađenih i sirovih podataka u statističke informacije u brojevnom obliku, a najčešće predstavljaju srednju vrijednost, medijane ili varijance podataka, ali mogu biti i u grafičkom obliku prikazani dijagramima, histogramima ili grafikonima. Pretvorba, obrada i pohranjivanje informacija obavlja se u informacijskom sustavu. Osnovni zadatak informacijskog sustava je da na temelju informacija pohranjenih u bazi podataka donositelju odluka neposredno pruži pravu i ažurnu informaciju o promatranom procesu. Ta informacija mora biti u takvoj formi da se pomoću nje može planirati, organizirati i nadzirati sustav upravljanja željezničkim prometom. Uporabom takvih informacijskih sustava, donositelj odluke se udaljuje od same obrade podataka, a time se smanjuje vrijeme potrebno za interpretaciju podataka.. Uporabom računala u informacijskom sustavu, donositelj odluke komunicira s informacijskim sustavom putem tipkovnice i zaslona monitora. Potrebni podaci se obrađuju uporabom pogodnih programa, a rezultat obrade se prikazuje u najprikladnijem obliku za donošenje odluke, koji je najčešće u vidu grafikona, slika ili tablica.

7 10.4. Sustav za podršku u donošenju odluke naliza ponašanja svakog tehničkog sustava, pa tako i sustava upravljanja prometom, može se definirati kao efikasnost sustava upravljanja, koji predstavlja vjerojatnost uspješnosti obavljanja funkcija koje su projektirane za određeno vrijeme i određene uvjete okoline. Sustavi za podršku u donošenju odluke o upravljanju predstavljaju sustave za prikupljanje i obradu podataka, njihovu vizualizaciju i pružanje preporuka o akcijama koje mogu dovesti do rješenja postavljenog zadatka korištenjem analitičkih metoda, a prikazani su slikom PODCI LT Z STVRNJE BZE PODTK BZ PODTK OBRD PODTK NLITIČKE METODE SUČELJE KORISNIK Slika 10 4.Sustav za podršku u donošenju odluka Ovakvi sustavi formuliraju se za određenu kategoriju problema, primjenom odgovarajućih metoda rješavanja koje uključuju: matematičko programiranje, ulaznoizlazne analize, metode teorije repova, mrežno planiranje, simulacijske metode, postupke predviđanja i slično. Nastoji se postavljeni zadatak pogodno prikazati, koristeći se nekim postojećim modelom, a u suprotnome, se nastoji postavljeni problem transformirati u približan matematički model, pri čemu se koristi pojednostavljenje uz zanemarivanje određenih faktora. ko sustav za podršku u donošenju odluke raspolaže pomagalima za rješavanje postavljenog zadatka,

8 donositelju odluke će se preporučiti jedno ili više rješenja koja slijede, primjenom odgovarajuće metodologije. Ovaj sustav svakako je aktivni sudionik u procesu donošenja odluka Model sustava za podršku u upravljanju željezničkim prometom Pretpostavka za razvoj modela sustava za podršku u upravljanju signalnosigurnosnim uređajima te upravljanju željezničkim prometom na najvišoj razini, svakako je opis prometnih komponenti i aktivnosti, proširen vrijednostima informacijsko-komunikacijskih sustava. Uvažavajući posebnosti odvijanja željezničkog prometa, upravljajući sustav komunicira s prometnim procesom, na temelju utvrđenih protokola, izmjenjujući poruke utvrđenog formata. Upravljajući sustav sastavljen je od niza podsustava, koji kao i cijeli sustav, u predmetnom modelu za svoj rad koriste numeričke i simboličke podatke i informacije. Stoga se upravljački sustavi, koji tradicionalno koriste algoritamske module trebaju proširiti simboličkim modulima, čime se uvodi mogućnost simboličke obrade informacija, koja omogućuje automatsko donošenje zaključka, objašnjenje postupka dolaska do zaključka te razloga pokretanja dijaloga čovjeka s procesom. Predmetni model upravljajućeg sustava signalno-sigurnosnim uređajima i željezničkim prometom uz algoritamske module sadrži i simboličke module kako je prikazano slikom UPRVLJJUĆI SUSTV LGORITMSKI MODUL SIMBOLIČKI MODUL UPRVLJNI SUSTV SIGNLNO-SIGURNOSNI UREĐJI Z UPRVLJNJE PROMETOM Slika Model sustava za podršku u upravljanju željezničkim prometom Primjenom tako definiranog modela, informacije o željezničkom prometnom procesu ne svode se samo na egzaktne matematičke oblike, već se pretvaraju u znanja o prometnom procesu, koje je moguće obrađivati i koristiti za donošenje odluka o načinu odvijanja željezničkog prometa. lgoritamski modul u upravljajućem sustavu modelira zakonitosti odvijanja prometnog procesa, primjenom analitičkih metoda. nalitičke metode sadrže skupove algoritama, kao metode rješavanja postavljenog zadatka, a pomoću operacija iz utvrđenog skupa elementarnih operacija, tako da se do rješenja dolazi primjenom konačnog broja elementarnih operacija. Elementarne operacije sadrže

9 temeljne logičke opreacije (i, ili, ni, nili, ne) te jednostavne matematičke postupke (zbrajanje, oduzimanje, dijeljenje i množenje). Pri rješavanju postavljenog zadatka, algoritme je moguće primijeniti na jednu ili više matematičkih zakonitosti, kako bi se dobio matematički sud koji stavlja elemente upravljajućeg i upravljanog sustava u različite odnose. Tako se dobiva zakonitost odvijanja željezničkog prometa, kao prikaz znanja o načinu rada promatranog prometnog sustava. lgoritamski odnosno konvencionalni pristup rješavanja problema predstavlja zapravo povezanost zakonitosti, matematičkih jednakosti, logičkih zaključivanja kao i strogo održavanje redosljeda izvođenja pojednih koraka elementarnih operacija. U okviru algoritamskog modula, modela sustava za podršku u upravljanju željezničkim prometom moguće je postaviti model i program za istraživanje pouzdanosti signalno-sigurnosnih uređaja, a prikazan je slikom U tom modelu analizira se pouzdanost signalno-sigurnosnih uređaja, koji se sastoje iz pojedinih elemenata. naliza pojedinih elemenata uređaja usmjerena je prvenstveno na određivanje pojma kvara samog elementa i izradi kriterija pouzdanosti elemenata te uređaja kao cjeline, kao i na određivanje oblika potrebnih podataka, kako bi se mogla dobiti informacija o stanju uređaja. Postupak izrade kriterija pouzdanosti će kao rezultat matematičkih operacija dati temelj za izradu teorijskog modela, dok će s druge strane određivanje pojma kvara kao rezultat dati tablicu pouzdanosti koja će biti temelj za izbor matematičkih metoda. Pomoću matematičkih metoda u teorijskom modelu, na temelju unešenih podataka, odrediti će se karakteristika pouzdanosti. nalizom karakteristika pouzdanosti dolazi se do pouzdanosti i operativne raspoloživosti uređaja. Obradom podataka o pouzdanosti i raspoloživosti određuju se nužne promjene u uređaju, koje određuju održavanje sustava. Izlazni podaci iz održavanja sustava koriste se za istraživanje povećanja pouzdanosti, kao i za praćenje poduzetih operacija.

10 SIGNLNO-SIGURNOSNI UREĐJ IZRD KRITERIJ POUZDNOSTI NLIZ ELEMENT PROMTRNJ ODREĐIVNJE POJM KVR IZRD TEORIJSKOG MODEL UNOS PODTK O STNJU SUSTV IZRD TBLICE POUZDNOSTI ODREĐIVNJE ZNČJKI POUZDNOSTI IZBOR MTEMTIČKIH METOD POUZDNOST ODREĐIVNJE PROMJEN OPERTIVN RSPOLOŽIVOST SUSTV ISTRŽIVNJE POVEĆNJ POUZDNOSTI ODRŽVNJE SUSTV PRĆENJE PODUZETIH OPERCIJ Slika Model istraživanja pouzdanosti signalno-sigurnosnih uređaja Univerzalno rješavanje problema upravljanja željezničkim prometnim procesom, koji je u uskoj vezi s problemima pouzdanosti elemenata koji sudjeluju u tom procesu, očito nije moguće samo primjenom algoritamskog modula, pa se tako pojavljuje nužnost primjene simboličkog modula koji u sustav unosi određeni stupanj inteligentnog ponašanja. Primjena simboličkog modula u sustavu upravljanja željezničkim prometom ima za cilj pojačanje komunikacije između čovjeka i sustava, kao i sustava i procesa u svrhu donošenja pravilnijih odluka, što će rezultirati povećanjem sigurnosti u željezničkom prometu. Ovaj modul je razvijen na temelju primjene tehnika discipline umjetne inteligencije, a problemi koji se rješavaju ovim načinom jednaki su problemima koji se žele riješiti uz

11 pomoć sustava za podršku u donošenju odlika i heurističkim programiranjem, kako bi se čovjeku pomoglo pri donošenju pravilnih odluka. Heurističko programiranje je postupak pronalaženja rješenja za model koji je sastavljen od heurističkih pravila, a to su pravila razvijena intuicijom, iskustvom i vlastitom procjenom. Značajke heurističkih pravila označavaju svojstva izbora, filtriranja i odbacivanja, pa se tako mogu upotrijebiti za smanjenje broja izvedenih alternativnih puteva u postupku rješavanja postavljenog zadatka. Iskustvom koje se vremenski stvara, stjeće se osjećaj o prikladnosti primjene pojedine heuristike, koja mogu dovesti do boljih rješenja. Slaganjem jednog ili više heurističkih pravila s postupcima za izvođenja rješenja stvara se heuristički program koji daje rješenje, a samo programiranje je postupak pronalaženja rješenja. Za razliku od algoritamske procedure, heurističko programiranje daje rezultate koji mogu, ali ne moraju, uvijek biti teorijski najbolji ili predstavljati optimalno rješenje. Heuristike i heurističko programiranje koriste se u nalaženju prihvatljivih rješenja, a opravdanje za njihovu primjenu nalaze se u slučajevima kada se analitičke metode, posebice one koje daju optimalna rješenja, pokažu manje djelotvornima. Budući da heurističko programiranje ne jamči najbolje rješenje, postupak rješavanja se ne prikazuje u formi algoritma već predstavlja postupak zaključivanja odnosno logičkog računa koji izvodi zaključke iz skupa upotrebljenih heuristika. Heuristička pravila i heuristički način zaključivanja može olakšati postupak donošenja odluke, te tako heurističke metode često tvore dio pomagala uključenih u sustave za podršku u donošenju odluka, a nadopunjavaju skup analitičkih metoda. Disciplina umjetne inteligencije proučava načine izgradnje informacijskih sustava koji probleme mogu riješiti bolje od čovjeka, uz uvjet izuzimanja definicije inteligencije i bez usporedbe s djelotvornošću čovjeka i stroja. Ova disciplina predstavlja proizvodno područje kognitivnih znanosti, a u tehničkom smislu, umjetna inteligencija je zanimljiva u okviru ostvarenja strojeva ili programskih sustava koji imaju sposobnost efektivnog ponašanja u području zaključivanja, mišljenja i prosuđivanja. Temelj umjetne inteligencije je svakako znanje, a inteligentni programski sustav raspolaže velikom količinom formalnih i neformalnih znanja i iskustava, iz kojih se induktivnom i deduktivnom metodom generiraju nova znanja, pojmovi ili njihovi odnosi. Primjena novih metoda umjetne inteligencije, u odnosu na složenost problema, može se promatrati kao pokušaj rješavanja složenih kombinatornih problema u polinomnom vremenu, a sustavi čije je ponašanje određeno znanjem koji posjeduju, nazivaju se informacijski sustavi temeljenim na znanju, sustavima za obradu znanja ili inteligentnim informacijskim sustavima. Osnovna pitanja pri razvoju informacijskih sustava temelje se na znanju i značenju, odnosno smislu određenog koncepta ili relacije, kao i prikaz znanja i značenja u obliku koje računalo može pročitati. Ukoliko postoji više inteligentnih informacijskih sustava, od kojih svaki ima stručno i specijalističko znanje iz određenog područja, tada se takav sustav naziva ekspertnim. Ekspertni sustav ne mora biti isključivo vezan s područjem umjetne

12 inteligenicije, jer su u njemu ugrađene i ostale discipline, naročito ako se ekspertni sustav promatra kao specifični format implementacije heurističkog programiranja. Promatrajući s tog gledišta ekspertni sustavi ne predstavljaju proizvod razvijen unutar discipline umjetne inteligencije ili računalnih znanosti, ali koristeći se heuristikama kao osnovne komponente razvoja baze znanja unutar ekspertnih sustava, proširuje se primjena takvih sustava skupom potrebnih formalnih postupaka i pravila. Ekspertni sustavi su se pokazali komercijalno i znanstveno prihvatljivima, bez obzira što ti sustavi i heuristički programi ne donose uvijek matematički optimalna rješenja i što nedostaju formalni dokazi konvergencije prema tim optimalnim rješenjima. Najznačajniji doprinos ekspertnih sustava heurističkom programiranju je odvajanje postupka zaključivanja od baze znanja, odnosno odvajanjem postupka rješavanja problema od baze znanja, a zadatak se usmjerava na razvoj modela baze znanja Inteligentni informacijsko-komunikacijski sustavi u željezničkom prometu Promatrajući sustave umjetne inteligencije, računala se ne smiju tretirati kao računski strojevi, nego kao strojevi za pretvorbu, obradu, proizvodnju i distribuciju informacija. Rad inteligentnog informacijsko-komunikacijskog sustava temelji se na mehaničkom modelu intelekta, koji podrazumijeva učenje, razumijevanje, rješavanje problema, objašnjenja vlastitog ponašanja, te ostale inteligentne funkcije koje najviše ovise o znanju. Da bi se neka pojava, događaj ili proces razumio, potrebno je imati određeno znanje koje se tamelji na početnom znanju čije je podrijetlo izvan odnosnog sustava, a kasnije se ono samo proširuje. Za inteligentno ponašanje informacijsko-komunikacijskog sustava dovoljan uvjet je posjedovanje velike količine specijalističkog znanja, što znači da takvi sustavi mogu pružiti ogromnu podršku stručnjaku ili specijalisti pri rješavanju problema kada je potrebna visoka razina intelektualne aktivnosti. Dobre rezultate ekspertni sustavi pokazuju u područjima gdje se mišljenje ne temelji na matematičkim operacijama, već na zaključivanju, iako je većina stručnih i specijalističkih aktivnosti vezana za matematičke formule. Specijalističko znanje ne temelji se samo na znanju prikazanom tekstovima u knjigama, časopisima ili publikacijama, već i u korištenju iskustva, izbjegavanju tuđih pogrešaka, ponavljanjem uspješnih postupaka, kao i osjećanju problema, što sve ima za posljedicu naglašenu vremensku dimenziju znanja. Tako su u željezničkom prometu izgrađena mnogobrojna pravila koja su nastala iz iskustva stogodišnje eksploatacije željeznice, a kombinirana s novim znanjima željeznica postaje atraktivna grana prometa. Može se pokazati da uporabom ekspertnog sustava čovjek postaje iskusan i vješt stručnjak. U odnosu na čovjeka ekspertni sustav može otkloniti nedostatke čovjeka koje mogu izazvati slijedeće grupe pogrešaka: pogreške nastale kao posljedica psiholoških nedostataka ljudskog organizma,

13 pogreške koje su posljedica ograničenosti senzorskih organa ljudskog organizma, pogreške nastale nedostacima antropometrijskih karakteristika i motorike ljudskog organizma. Ekspertni sustav u odnosu na čovjeka, stručnjaka s dokazanim znanjem za obavljanje određenog zadatka, ima prednosti koje se mogu izraziti slijedećim tvrdnjama: Trenutno i uvijek je raspoloživ i uvijek pruža istu razinu stručnosti, Pristup potrebnim bazama podataka je neposredan i trenutačan, te nije vezan nepotpunim, ograničenim ili pristranim pamćenjem, Objektivan je, logičan i dosljedan, a na njega ne utječu emocionalni elementi, Ne radi matematičke pogreške i ne zaboravlja, osobito ona pravila koja su dovela do rješenja, Uvijek je u stanju budnosti, tako što stalno nadzire i opaža kritične događaje, a odluke što ih donosi od općeg su značaja, odbacujući nečiji osobni prestiž, Spremište je za pohranjivanje znanja stručnjaka koji su ga razvili, te umnožava stručnost organizacije u kojoj se koristi. Može se ustvrditi da je osnovna namjena ekspertnih sustava modeliranje ponašanja stručnjaka pri rješavanju problema iz dovoljno jasnog područja, a problem realizacije takvih sustava je u prijenosu znanja stručnjaka i specijalista u računalo. Ekspertni sustav mora sadržavati tri osnovne komponente: Sustav za prikupljanje znanja, Bazu znanja s memoriranim znanjima domene kojima raspolaže čovjek i Sustav za rješavanje problema, koji preslikava sposobnosti stručnjaka u manipulaciji znanjem i rasuđivanjem na temelju znanja Model ekspertnog sustava Na temelju potrebnih komponenti moguće je izraditi model ekspernog sustava kako je prikazano slikom Ovisno o vrsti korisnika, prilaz ekspertnom sustavu ostvaruje se kroz dva pristupna mjesta: krajnji korisnik i inženjer znanja. Krajnji korisnik je osoba ili drugi podsustav koji koriste ekspertni sustav kao pomagalo pri donošenju odluka. Inženjer znanja je osoba koja je odgovorna za unos znanja u bazu znanja ekspertnog sustava, a sam postupak unosa zanja ostvaruje se preko sučelja i podsustava za prilagodbu znanja. On ujedno predstavlja i sučelje između čovjeka - stručnjaka i ekspertnog sustava.

14 Slika Model ekspertnog sustava Sadržaj radne memorije sastoji se od činjenica i mijenja se prema zadatku koji se rješava. Ove činjenice su utvrđene za vrijeme i na kraju konzultacija, a nove činjenice, kao rezultat procesa, pohranjuju se u radnu memoriju. Znanje o određenom području pohranjeno je u bazi znanja uz pomoć činjenica i pravila, koja izražavaju različita gledišta o promatranom području prije konzultacija s ekspertnim sustavom. Pravila u bazi znanja izgrađena su u suradnji sa stručnjakom, a predstavljaju percepciju heuristika koju donosi stručnjak pri donošenju odluka, onako kako ih je shvatio inženjer znanja. Mehanizam zaključivanja ima zadatak ispitivanja baze znanja i radne memorije te upravljanje redosljedom izvođenja zaključaka. On služi za utvrđivanje poznatih činjenica i dodavanje novih, a na temelju postupka stapanja činjenica i pravila, koja se koriste pri razvoju ili izvođenju novih činjenica i pravila. Sučelje ima zadatak upravljanja komunikacijom prema sustavu, s inženjerom znanja i korisnikom, a mora imati sposobnost prikaza postupka dolaska do zaključka i odgovora na pitanja korisnika. Jednostavnost uporabe ekspertnog sustava osnovna je značajka dobro oblikovanog sučelja. Komunikacija korisnika sa sustavom je tada preko govornih poruka ili tipkanjem na pogodnoj tipkovnici, a odgovori su također govorne poruke ili tekst prikazan na zaslonu. Ekspertni sustavi podržani računalima koriste računalni model ljudskog načina zaključivanja, koji rješava složene probleme koji zahtijevaju stručnu obradu, a

15 zaključak koji predlaže ekspertni sustav isti je zaključku do kojeg bi došao čovjek - stručnjak iz određenog područja ako bi mu bio postavljen isti zadatak Logički model inteligentnog informacijsko-komunikacijskog sustava ko se sustav za podršku u donošenju odluke o upravljanju proširi ekspertnim sustavom dobiva se algoritamsko-simbolički sustav za podršku u donošenju odluke o upravljanju prometom, kako je prikazano su slikom Slika Model algoritamsko-simboličkog sustava za podršku u donošenju odluka Ovakav sustav osigurava analitička pomagala, koja sadrže matematičke modele i algoritme, kao i ekspertne heuristike, koje sadržavaju baze znanja i strategije zaključivanja, a sve je to ovisno o karakteristikama zadataka koje treba riješiti. lgoritamsko-simbolički sustav daje mogućnost korištenja više pristupa rješavanja istog problema, tako da se pojedina pomagala koriste u ovisnosti o njihovoj prikladnosti. Korisniku su kod ovog sustava dostupne i baze podataka i baze znanja koristeći jedno sučelje, a ovisno o problemu koji treba riješiti, inženjer znanja puni baze podataka ili baze znanja.

16 Ovaj algoritamsko-simbolički sustav služi kao temelj za razvoj inteligentnog informacijsko-komunikacijskog sustava, koji upravlja prometnim procesom uz maksimalnu sigurnost odvijanja željezničkog prometa. Upravljački sustav se treba postaviti u hijerarhijskoj strukturi, u više razina, koje se mogu identificirati slijedećim funkcionalnim razinama: fizička, algoritamska i simbolička. Sastav modela inteligentnog informacijsko-komunikacijskog sustava, koji sadrži gore navedene funkcionalne razine prikazan je slikom 10.9., gdje se svaka razina sastoji iz više modula. SIMBOLIČK RZIN Upravljački modul Modul sučelja Ekspertni modul LGORITMSK RZIN Modul sučelja lgoritamski moduli: - matematička analiza prometa, - predviđanje prometa, - sigurnosna analiza, - upravljanje prometom FIZIČK RZIN Modul sučelja Fizička struktura: - infrastruktura - željeznička vozila, - željeznička prometna mreža, - prometni proces. Slika Struktura inteligentnog sustava za upravljanje željezničkim prometom Simbolička razina se satoji iz modula inteligentne obrade upravljačkih funkcija željezničkog prometa, a čini najviši stupanj upravljanja. Na toj razini modul sučelja služi za povezivanje prema algoritamskoj razini i prema fizičkoj odnosno korisničkoj razini. Ovaj modul pretvara podatke u deklarativne iskaze simboličke logike na ulaznoj strani, a isto tako pretvara podatke iz formata iskaza simboličke logike u oblik prikladan za predaju drugim razinama na izlaznoj strani. lgoritamska razina se sastoji iz modula koji koriste analitičke i numeričke metode upravljanja željezničkim prometom. Na toj razini modul sučelja služi za povezivanje sa simboličkom razinom i za prikupljanje podataka, ponajprije onih koji su značajni za odvijanje prometnog procesa, koji se odvija na fizičkoj podlozi. Za rješavanje prometnih problema koriste se algoritamski moduli, uporabom numeričkih i analitičkih metoda. Fizička podloga je zapravo korisnička razina koju tvori željeznička prometna mreža, s definiranom kompletnom željezničkom infrastrukturom i prometnim

17 procesom. Na ovoj razini se prikupljaju potrebni podaci za sigurno odvijanje procesa željezničkog prometa i izvršavaju upravljačke funkcije koje dolaze iz viših razina Razvoj teorije neizrazitih skupova u prometu Danas za pojam skupa podrazumijevamo izraziti skup. Koncept neizrazite logike prvi je definirao godine profesor Lofti Zadeh sa Sveučilišta u Berkleyu. Ideja uvođenja neizrazite logike zasniva se na primjeni tzv. meke pripadnosti skupu koji se koristi pri kvalitativnom opisu. Prema njemu svakom elementu skupa se pridjeljuje brojčana vrijednost kojom se opisuje stupanj pripadnosti toga elementa skupu. Tih godina napravljeno je mnoštvo teorijskih razrada u Evropi, merici i Japanu. Među njima Japanski istraživači bili su glavni oslonac razvoja tako da su do godine imali već 2000 patenata u području primjene neizrazite logike. Neizrazita logika prisutna je u gotovo svim područjima, tako da broj korisnika i aplikacija ima eksponencijalni rast primjene u Japanu, što je bio razlog pokretanja vlastitih projekata i u drugim zemljama. U području prometa proteklih nekoliko godina izvršen je veliki napredak u primjeni teorije neizrazite logike i to na način da fuzzy logički model može biti primjenjen kao sveukupni proces ili samo kao jedan ili više modula u nekom drugom procesu. Jedna od mogućih primjena je sustav upravljanja vožnje podzemne željeznice, izrada automatskog mjenjača kao i BS sustava primjenom neizrazite logike. U automatskom upravljanju kretanja neizrazita logika ima zadatak voditi vozilo vremenski optimalno pri visokom voznom komforu do sljedeće točke stajanja uz optimalno iskorištenje voznog profila. Sa sigurnosnotehničkog aspekta upravljanja kretanja potrebno je obratiti pozornost na graničnu brzinu koju vozilo ne smije prekoračiti, na mjesta lagane vožnje i točke opasnosti na kojima vozilo mora stajati bilo zbog željezničkog vozila ispred ili signala. Opći zahtjevi koji se postavljaju su postizanje brzine vremenski optimalno i bez prekoračenja. Gotovo u svakoj grani prometa odnosno području primjene postoje teoretske razrade primjene neizrazite logike. Obzirom da je predmet ovoga dijela primjena neizrazite logike na automatizaciju željezničkog prometa dat će se kratak pregled područja primjene u cestovnom prometu. Pappis i Mandami (1977. godine) razmatrali su kontrolu izoliranog raskrižja s jednostavnom jednosmjernom regulacijom istok-zapad/sjever jug na kojem nije bilo skretanja i gdje su dolasci vozila bile veličine slučajnog karaktera. Načinjena su neizrazita pravila za ocjenu pogodnosti produženja trenutne zelene faze s različitim vremenima trajanja. Uspoređena su različita vremena trajanja (odnosno vremena produženja trenutne zelene faze) i ono koje je imalo najveći stupanj pouzdanosti je odabrano. Ukoliko ni jedno vrijeme nije imalo stupanj pouzdanosti veći od 50%, tada se donosi odluka o trenutnoj promjeni zelenog signalnog pojma. U protivnom trajanje zelenog svjetla je produženo odabranom vrijednošću, a postupak odluke se je ponavljao dok nije dostignuta maksimalna vrijednost trajanja zelenog signalnog pojma za navedeno raskrižje. Kelsey i Bisset (1993. godine) simulirali su kontrolu prometa

18 na izoliranom raskrižju primjenom neizrazite logike i unaprijed definiranih vremenski ustaljenih signalnih planova. Ulazne neizrazite vrijednosti u program su prosječne vrijednosti gustoće vozila u smjeru istok-zapad i sjever-jug. Nakatsuyama (1984. godine) je primjenio neizrazito upravljanje dva raskrižja u kojima se odvija jednosmjeran promet. Neizrazita pravila načinjena su za selekciju produljenja zelenog ili crvenog signalnog pojma ovisno o broju vozila među raskrižjima kao i broju vozila koji se približava prvom od njih. Chiu (1992. godine) je primijenio neizrazitu logiku za upravljanje i kontrolu više raskrižja, ali bez mogućnosti skretanja. Ovim pristupom moguće je bilo podešavati dužinu ciklusa, trajanje i pomak zelenih svjetla za svako od raskrižja korištenjem podataka o trenutnoj situaciji, odnosno broju vozila u prometu. U svakom od navedenih projekata dobiveni su bolji rezultati primjenom neizrazite logike u odnosu na ostale mogućnosti upravljanja što opravdava daljnja istraživanja u ovom području kako bi se povećala sigurnost odvijanja željezničkog prometa. Danas je naglasak na primjeni adaptivnih kontrolera koji omogućavaju podešavanja signalnih pojmova u stvarnom vremenu u ovisnosti o trenutnim prometnim zahtjevima Osnovni pojmovi neizrazite logike Prema definiciji neizrazitih skupova dobivaju se pojmovi neizrazite aritmetike, neizrazitog izračunavanja, neizrazitog modela i neizrazitog upravljanja. Za izrazite skupove element skupa x u univerzumu X je ili nije član skupa. Binarna vrijednost pripadnosti skupu može biti predočena matematički prema izrazu: 1, χ ( x) = 0, x x Neizraziti skupovi Prema Zadehu neizraziti skup definiran u skupu X određen je funkcijom pripadnosti μ(x) koja svakom elementu x skupa X pridružuje realan broj u intervalu [0,1], s vrijednošću μ(x), gdje je μ(x) stupanj pripadnosti elementa x u skupu. Krajnja vrijednost 0 označava nepripadnost skupu, a vrijednost 1 punu pripadnost. Neizraziti skupovi su u biti funkcije koje preslikavaju elemente nekog skupa na jedinični interval. Ukoliko je skup X konačan i diskretan tada je neizraziti skup moguće zapisati pomoću relacije μ ( x1 ) μ ( x2 ) μ ( xi ) = = x1 x2 i xi

19 odnosno ukoliko je skup X beskonačan i kontinuiran tada je moguće zapisati kao μ ( x = x ) Grafički prikaz funkcije pripadnosti u obliku trapeza dan je na slici Jezgra funkcije pripadnosti je definirana kao područje za koje je vrijednost funkcije jednaka jedan. Potpora funkcije pripadnosti je područje vrijednosti za koje je μ (x) veći od nula. Rubovi funkcije pripadnosti su područja vrijednosti za koje vrijedi relacija 0 p μ ( x) p 1. μ Jezgra 1 0 Potpora x Granica Slika Oblik funkcije pripadnosti neizrazitog skupa Normirani neizraziti skup je onaj koji ima barem jedan element za koji je funkcija pripadnosti jednaka jedan, slika μ μ x 0 x Slika Normirani i nenormirani neizraziti skup

20 Primjer : Neka je skup S skup vozila koja imaju različite godine proizvodnje. Za svako od vozila potrebno je odrediti funkciju pripadnosti koja odgovara neizrazitom podskupu pod nazivom Nova vozila. To je moguće učiniti na osnovu starosti vozila na sljedeći način: 1, ukoliko_ je_ starost_ vozila 5 10 starost_ vozila Nova _ vozila =,5 starost_ vozila , ukoliko_ je_ starost_ vozila 10 Grafički prikaz funkcije pripadnosti dan je na slici μ godine Slika Funkcija pripadnosti skupa Prema definiciji funkcije pripadnosti skupa Nova_vozila u tablici dani su rezultati za pojedina vozila i odgovarajuće godine proizvodnje. Tablica: Funkcija pripadnosti skupa Nova_vozila Marka vozila Tip vozila Godina nabave Starost vozila (godine) MERCEDES KM ,4 FIT UTO MERCEDES BUS ,6 TM KM ,0 Funkcija pripadnosti

21 TM KM ,0 FIT UTO ,0 FIT UTO ,0 TM KM ,2 FIT KM ,8 MERCEDES BUS ,0 Operacije na neizrazitim skupovima Neka su definirani neizraziti skupovi,b i C na univerzumu X. Za element x moguće je definirati operacije unije, presjeka i komplementa za navedene skupove u X na sljedeći način: Unija μ B ( x) = μ ( x) μ B ( x) Presjek μ B ( x) = μ ( x) μ B ( x) Komplement μ ( x) = 1 μ ( x) Odgovarajući Venovi dijagrami za navedene operacije prikazani su na slici μ B μ 1 B 0 μ 1 x 0 x 0 x Slika Dijagrami a) unije b) presjeka i c) komplementa neizrazitih skupova.

22 Jezični opis sustava odlučivanja U području umjetne inteligencije postoji mnoštvo načina u izražavanju znanja o problemu koji se proučava. Najčešći i najbolji način izražavanja ljudskoga znanja je opis sustava jezičnim pravilima. Neka je C = { Ri, i = 1,2,3,..., N} gdje je: R i - pojedini pravilo i N - broj pravila. Pojedino pravilo je neizrazita tvrdnja s osnovnim oblikom : R i : KO ( Xjei ), OND ( YjeBi ) gdje je: X,Y - neizraziti skupovi s elementima i B, - ulaz sustava i B - izlaz sustava. Ukoliko promatramo dinamičke sustave kao što je to promet potrebno je jezična pravila osnovnog oblika proširiti operatorima oblika I (eng.nd), odnosno ILI (eng.or) u njihovom uvjetnom dijelu. Pritom prethodni izraz poprima oblik: R i : KO ( Xjei ), I ( ZjeCi ) OND ( YjeBi ) gdje je: X i Z - ulazne veličine, i C - promatrane vrijednosti ulaznih veličina, Y - izlazna veličina i B - trenutna vrijednost izlazne veličine. U literaturi postoji više načina kojima je moguće izvršiti dekompoziciju složenih jezičnih pravila u jednostavne kanonske oblike. Ovdje će biti dana najvažnija od njih: Neka je zadana sljedeća tvrdnja KO( Xje1 ) I( Xje2 ) I...( Xjen ) OND( YjeB) Pretpostavimo novi neizraziti podskup tako da je = n izražen funkcijom pripadnosti μ ( x) = min[ μ ( x), μ ( x)..., ( x) ] 1 μ 2 n tada se zadana tvrdnja može napisati kao KO ( Xje) OND( YjeB) Neka je zadanja sljedeća tvrdnja

23 KO( Xje1 ) ILI( Xje2 ) ILI...( Xjen ) OND( YjeB) Možemo ja napisati kao KO ( Xje) OND( YjeB) ako je novi neizraziti podskup definiran na način = n izražen funkcijom pripadnosti μ x) = max μ ( x), μ ( x)..., μ ( ) [ ] ( x 1 2 n Primjer: Neka je skup S skup vozila. Za svako od vozila potrebno je odrediti funkciju pripadnosti koja odgovara neizrazitom podskupu pod nazivom nova vozila (prethodni primjer) i neizrazitom podskupu B pod nazivom visina vozila. Za tako definirane skupove potrebno je primjeniti sljedeće operacije i ispisati odgovarajuće funkcije pripadnosti. a = X je nova_vozila and X je visina_vozila b = X je nova_vozila or X je visina_vozila c = not (X je visina_vozila) 1, ukoliko_ je_ visin a_ vozila 7 visin a_ vozila 5 Vi sin a_ vozila =,5 visin a_ vozila 2 0, ukoliko_ je_ visin a_ vozila 5 7 Tablica. Osnovne operacije na neizrazitim skupovima Godina X je nova X je visina a) b) c) proizvodnje Visina vozila vozila , ,4 1, , ,6 0,5 0,5 0,6 0, ,0 1,0 1,0 1, ,5 1,0 0,25 0,25 1,0 0, ,5 1,0 0,75 0,75 1,0 0, ,0 1,0 1,0 1, ,2 1,0 0,2 1, ,8 1,0 0,8 1,0 0 Prethodno navedene procedure moguće je implementirati na računalu radi povećanja brzine procesiranja. Ukoliko pak želimo provjeriti računalni program tada se često koriste grafičke metode kojima je moguće izvršiti manualno računanje.

24 Projektiranje neizrazitih upravljačkih sustava U upravljačkoj tehnici automatsko upravljanje sustavom moguće je realizirati putem upravljačkih algoritama. U konstrukciji upravljačkog sustava potrebno je prvo izabrati odnosno načiniti strukturu upravljačkog kruga sa svim značajnim parametrima, da bi se potom izvršilo optimiranje svih navedenih parametara. Osnovni postupak projektiranja klasičnih upravljačkih sustava prikazan je na slici Navedeni sustav upravljanja moguće je primijeniti kod sustava za koje je moguće definirati matematički model. PROCES MODELIRNJE PROCES IZBOR NCIN UPRVLJNJ OPTIMIZCIJ PRMETR UPRVLJNJ NLIZ UPRVLJCKOG KRUG SIMULCIJ UPRVLJCKOG KRUG VERIFIKCIJ MODEL PRIMJEN Slika Dijagram toka projektiranja klasičnog sustava upravljanja

25 Neizraziti upravljački sustavi imaju nekoliko značajnih razlika u odnosu na klasične: neizraziti upravljački sustav ima mogućnost uključenja i drugih slobodnih procesnih veličina u proces regulacije što ima za posljedicu povećanje broja procesnih veličina, nelinearnost rada, odnosno nelinearnost karakteristike i neovisnost o vremenu. Dijagram toka projektiranja neizrazitog upravljačkog sustava prikazan je na slici PROCES DEFINICIJ REGULCIJE BZ ZNNJ O PROCESU DOKUMENTIRNJE ZNNJ O PROCESU METODICKI TESTOVI OPIS PROCES OBLIKOVNJE STRUKTURE UPRVLJCKOG KRUG ODREÐIVNJE STRUKTURE NEIZRZITOG UPRVLJCKOG SUSTV NCIN UPRVLJNJ VERIFIKCIJ MODEL KRJ Slika Dijagram toka projektiranja neizrazitog upravljačkog sustava Ulazne veličine neizrazitih upravljačkih sustava najčešće su odstupanja između željene i stvarne vrijednosti upravljane veličine, dok su izlazne veličine najčešće vremenske promjene postavne veličine. Blok shema neizrazitog upravljačkog sustava prikazana je na slici

26 BZ ZNNJ LOGIK ODLUČIVNJ ULZ FUZZYFIKCIJ ZKLJUČIVNJE DEFUZZYFIKCIJ IZLZ SENZORI Slika Blok shema neizrazitog upravljačkog sustava Da bi se upravljač učinio što efikasnijim potrebno je izvršiti poboljšanje strukture upravljača. To je moguće učiniti na sljedeće načine: promjenom logike odnosno pravila odlučivanja, promjenom funkcija pripadnosti i povećavanjem znanja o samom procesu kojim se želi upravljati. U fazi oblikovanja strukture upravljačkog kruga potrebno je odrediti sve ulazne i izlazne veličine, područja dozvoljenih vrijednosti te povratne i postavne veličine upravljanja. U fazi određivanja strukture potrebno je odrediti jezične varijable, njihove funcije pripadnosti, neizrazite operatore, pravila odlučivanja kao i postupke defuzzyfikacije.

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni

Διαβάστε περισσότερα

Prikaz sustava u prostoru stanja

Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa Tranzistori s efektom polja Spoj zajedničkog uvoda U ovoj vježbi ispitujemo pojačanje signala uz pomoć FET-a u spoju zajedničkog uvoda. Shema pokusa Postupak Popis spojeva 1. Spojite pokusni uređaj na

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan

Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA

OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA MODUL: Tehnologija teleomuniacijsog rometa FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI Predavači: Doc.dr.sc. Štefica Mrvelj Maro Matulin, dil.ing. Zagreb, ožuja 2009. Oće informacije Konzultacije:

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα