SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

Transcript

1 SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo skupovi Definicija 1: Skupovi predstavljaju kolekcije matematičkih objekata koji su međusobno slični po određenim kriterijumima Na primer, kolekcija učenika u jednoj učionici jeste jedan skup U matematici se skupovi najčešće obeležavaju velikim slovima A,B,C a ako se radi o skupovima brojeva koriste se oznake: N, Z, Q, R Iako je većina ovih stvari svima poznata, nije na odmet da se zajedno toga podsetimo Oznake koje se uobičajeno koriste su: a A-element a pripada skupu A a A- element a ne pripada skupu A A { a ( a)} -skup svih elemenata za koje važi ( a) Takođe moguće je definisati i prazan skup Kao što mu ime kaže, to je skup koji u sebi ne sadrži nijedan element i obeležava se oznakom U matematici se skupovi mogu zadavati na tri različita načina: 1) analitički, na primer A {1,2,3,4} 2) sintetički (opisno), na primer A { x N x 7} 3) grafički- putem Venovih dijagrama Definicija 2: Skupovi A i B su jednaki ako su svi elementi jednog skupa elementi i drugog i obrnuto, tj: A B akko ( x)( x A x B) Definicija 3: Skup A je podskup skupa B ili u oznaci A B ako i samo ako važi: ( x)( x A x B) Drugim rečima skup A je podskup skupa B ako se čitav skup A nalazi unutar skupa B U tom slučaju se kaže i da je skup B nadskup skupa A Teorema 1: Za skupove A i B važi: A B akko A B i B A Dakle jednakost skupova se pored tradicionalnog načina (po definiciji) kada dokazujemo da je svaki element jednog skupa sadržan i u drugom i obratno, može dokazati i primenom ove teoreme, i to u dva koraka

2 Veoma je važno napomenuti da se elementi nekog skupa prilikom navođenja mogu bezbroj puta ponavljati a da to nema apsolutno nikakav efekat Primer: Neka je A {1, 2,3,1, 2,3,1, 2,3,1,1,1,1}, B {1, 2,3} Postavlja se pitanje da li su ova dva skupa jednaka? Neko bi rekao da nisu jer nemaju isti broj elemenata Zaista na prvi pogled izgleda da je skup A veći od skupa B ali to zapravo nije tako Ovi skupovi jesu jednaki Ponavljanje istih elemenata unutar jednog skupa isto je kao i njegovo jedinstveno navođenje! Takođe, redosled navođenja elemenata nije bitan To znači da je potpuno svejedno da li ćemo skup zapisati kao A {1,2} ili A {2,1} Uvešćemo sada neke skupovne operacije: presek, uniju, razliku i komplement: Definicija 4: Presek skupova A i B u oznaci A B je skup { x x A x B} Definicija 5: Unija skupova A i B u oznaci A B je skup { x x A x B} Definicija 6: Razlika skupova A i B u oznaci A\ B je skup { x x A x B}

3 Definicija 7: Komplement skupa A oznaci A ' je skup { x x A} Ovo Ω predstavlja neki širi skup u kome se nalazi naš skup A To je na primer, skup realnih brojeva Definicija 8: Skup svih podskupova skupa A naziva se partitivni skup tog skupa i obeležava se oznakom PA ( ) ZADACI: 1 Dati su skupovi A { a, b, c, d} i B { a, c, e} Odrediti skupove A B, A B, A \ B 2 Dati su skupovi A { m, n, p, q}, B { m, n, r}, C { m, p, q} Odrediti skupove: a)( A B) C; b)( A C) B; c)( A\ B) \ C 3 Dati su skupovi: 2 A { x x x 4}, B { x x x 2 3}; C { x x x 12}; D { x x je prost broj x 8}; E { x x x 3}; F { x x x 4} Odrediti skupove: a)( A B) \ ( C D); b)( A \ B) ( C \ D); c)( A B) \ ( C D); d)( A \ B) ( C \ D); e)( E C) ( F D); f )( F \ D) ( B \ E) 4 Ako su [ a, b],[ a, b),( a, b],( a, b ) uobičajene oznake za zatvorene, poluotvorene i otvorene intervale na brojnoj osi, izračunati: a)[0,3] (1,7); b)( 5,2] (2,4); c)(,0) ( 2,3); d)(, 1) ( 2, ); e)((, 1) (1, )) ( 2,2); f)(( 5,4] (7,9]) (0,10]; g) ((,3) [0, )) ( 5,5]; h)(( 2,0] (2, )) [ 1,3)

4 5 Dokazati da važi: a) A A A; b) A A A; c) A B B A; d) A B B A; e) A ( B C) ( A B) C; f ) A ( B C) ( A B) C; g) A ( B C) ( A B) ( A C); h) A ( A B) A; i) A ( A B) A; j)( A B)' A' B '; k) A A' ; Rešenje: Zadaci ovakvog tipa rešavaju se primenom definicije o jednakosti skupova Dva skupa su jednaka ako i samo ako se svaki elemenat jednog nalazi i u drugom i obratno Na taj način zadatak koji rešavamo svodimo na iskaze i dokazujemo da je neki iskaz tautologija Ovo ćemo pokazati na primeru pod i) A ( A B) A Pošto se radi o skupovima potrebno je da važi: ( x) x ( A ( A B)) ( x A) Ako dalje primenimo definiciju za osnovne operacije nad skupovima možemo dobiti da je: ( x A) ( x ( A B)) ( x A) pa je dalje: ( x A) (( x A) ( x B)) ( x A) sada ćemo izvršiti neku vrstu smene u ovoj formuli i napisati da je ( x A) p i ( x B) q i onda imamo p ( p q) p, što primenom već stečenog znanja bez problema možemo rešiti I ostali primeri se rešavaju na isti način, za slučaj da se u nekom izrazu pojavi na pr x A, taj iskaz ćemo zameniti identičnim iskazom ( x A) 6 Dokazati da važi: a) A ( A' B) A B; b) A B ( A B) ( A' B) ( A B '); c)( A B) ( A B ') A; d)( A B ') ( A' B ') B ' 7 Dokazati da važi: a) A \ A; b) A \ ( B C) ( A \ B) ( A \ C); c) A ( B \ C) ( A B) \ ( C \ A); d)( A \ B) \ C A \ ( B C) 8 Dokazati da važi: a) A B A B; b)( A B) \ ( C D) ( A \ C) ( B \ D) 9 Odrediti partititivne skupove sledećih skupova: a) A { a}; b) B { a, b}; c) C { a, b, c} Rešenje: P( A) {,{ a}}; P( B) {,{ a},{ b},{ a, b}}; P( C) {,{ a},{ b},{ c},{ a, b},{ a, c},{ b, c},{ a, b, c}} 10 Unija dva skupa ima 15 elemenata, jedan od njih ima 8, a njihov presek 5 elemenata Koliko elemenata ima drugi skup? 11 U prevodilačkoj agenciji radi 52 prevodioca Među njima 20 govori ruski, 19

5 francuski, a 35 engleski Dalje, poznato je da ruski i engleski govori 11 prevodilaca, francuski i ruski 7, a francuski i engleski njih 9 a) Koliko prevodilaca govori sva tri jezika? b) Koliko njih govori samo ruski? Uputstvo: Ovakvi zadaci najlakše se rešavaju crtanjem Venovih dijagrama DODATAK SIMETRIČNA RAZLIKA I ZADACI Osim operacija nad skupovima koje smo do sada videli, postoji još jedna, i to je simetrična razlika Simetrična razlika skupova A i B, u oznaci A Bjeste skup A B ( A \ B) ( B \ A) 1 Dokazati da za ovu operaciju važi: a) A B ( A B) \ ( A B); b) A B B A; c) A A ; d) A ( B C) ( A B) C; e) A ( A B) B; f ) A B ( A B) ( A B); 2 Naći sve skupove X za koje je A X B ako je A { a, b, c, d}, B { b, c, e} 3 Ako iz S A B sledi S A, ili S B, dokazati da je A Bili B A 4 Dokazati: a) P( A B) P( A) P( B) b) P( A) P( B) P( A B) Rešenje: Ovaj zadatak se radi primenom stava da su dva skupa jednaka ako i samo ako je prvi podskup drugog i drugi podskup prvog Dakle, potrebno je dokazati dve stvari: Prvo da je P( A B) P( A) P( B) i drugo da je P( A B) P( A) P( B) Da bismo dokazali da je: P( A B) P( A) P( B), po definiciji je potrebno da dokažemo da je ako X P( A B) X ( P( A) P( B)) Iz tvrđenja da X P( A B) znači da je X ( A B), što dalje znači da je X A X B što je ekvivalentno sa X P( A) X P( B) X P( A) P( B) što je i trebalo dokazati Sada dokazujemo drugu stranu, tj da je P( A B) P( A) P( B) Iz tvrđenja X P( A B) X ( P( A) P( B)) znamo da je X P( A) X P( B), što dalje znači da je X A X B, pa ako je neki skup istovremeno podskup i skupa A i skupa B,

6 mora biti da je i podskup njihovog preseka Dakle, to znači da je X ( A B) što znači da je X P( A B) a to je i trebalo dokazati 5 Rešiti skupovne jednačine: a){1,2} X {1,2,3}; b){1,2} X {1,2,3}; c){1,2,3} X {1,2} 6 Na jednom skupu, među 20 učesnika, 16 govori engleski, 15 francuski, a 17 nemački jezik Dokazati da bar osam učesnika govori sva tri jezika 7 Odrediti P( ), P({ }), P({,{ }}) Rešenje: P( ) { }; P({ }) {,{ }}; P({,{ }}) {,{ },{{ }},{,{ }}}