Osnove diferencijalnog računa

Transcript

1 Osnoe diferencijalnog računa September 15, Uod 1.1 Problem brzine želimo izračunati brzinu tijela ako put koji je tijelo prešlo možemo izraziti kao funkciju remena s = s(t), (1) onda je prosječna brzina na interalu [t 0, t 1 ] kocijent prijed enog puta i duljine remenskog interala = s(t 1) s(t 0 ) t 1 t 0 (2) Primjer 1: ertikalni hitac tijelu ispaljenom ertikalno uis mjerimo položaj u odred enim remenskim interalima rezultati mjerenja naedeni su u tablici 1.1 t (s) h (m) t (s) h (m) Tablica 1: Visina tijela u oisnosti o remenu. 1

2 1 UVOD 2 želimo izračunati prosječnu brzinu tijela na interalu [t 0, t 1 ] (t 0, t 1 ) = h 1 h 0 t 1 t 0 (3) na sljedeće četiri slike prikazane su srednje brzine za rijednosti interala t = 0.5, 0.25, 0.20, 0.10 s srednju brzinu na slikama uspored ujemo s praom brzinom tijelo se giba jednoliko ubrzano pa rijedi (t) = 0 gt (4) (t) (t) t t Slika 1: Prosječna brzina za interale t = 0.5s (lijeo) i t = 0.25s (desno). Za usporedbu je nacrtana i praa brzina (crna linija). (t) (t) t t Slika 2: Prosječna brzina za interale t = 0.2s (lijeo) i t = 0.1s (desno). Za usporedbu je nacrtana i praa brzina (crna linija).

3 1 UVOD 3 sa slika je očito da se smanjianjem interala približaamo praoj brzini na sljedećoj slici je prikazana prosječna brzina u trenutku t 0 = 2s u oisnosti o duljini interala t = s(t = 2s + t) s(t = 2s) t (5) (t = 2s) t Slika 3: Prosječna brzina u trenutku t = 2s u oisnosti o duljini interala t. Za usporedbu je horizontalnom linijom označena i praa brzina u trenutku t = 2s. možemo zaključiti da je praa brzina granični slučaj prosječne brzine (t) = lim t 0 s(t + t) s(t) t (6) oznaka lim f() = a (7) 0 znači da se funkcija f() približaa rijednosti a (po olji blizu) kada se argument približaa rijednosti 0 dakle, ako se remenski interal t približaa nuli (postaje po olji mali) onda se rijednost omjera s/ t približaa brzini čestice 1.2 Problem tangente želimo nacrtati tangentu na graf funkcije f() u točki T(, y)

4 1 UVOD 4 pro crtamo sekantu tj. praac koji siječe kriulju u točkama T(, f()) i T 2 ( +, f( + )) y T 2 y T β Slika 4: Sekanta koja prolazi kroz točke T i T 2. nagib sekante možemo odrediti iz praokutnog trokuta na sl. 4 tan β = f( + ) f() + = f( + ) f() (8) ako točku T 2 približaamo točki T (tj. ako smanjujemo rijednost ), kao na sl. 5, sekanta se približaa tangenti

5 1 UVOD 5 y T 2 T y β Slika 5: Približaanjem točke T 2 točki T sekanta se približaa tangenti. konačno, ako 0 sekanta prelazi u tangentu prikazanu na sl. 6 y T β Slika 6: Tangenta na graf funkcije f() u točki T(, f()) primjeri na slikama odgoaraju tangenti na graf funkcije f() = u točki = 3.5 u tablici 1.2 naedene su rijednosti kuta β za nekoliko razmaka točaka T i T 2

6 2 POJAM DERIVACIJE β Tablica 2: Vrijednosti nagiba sekante za nekoliko razmaka med u točkama T i T 2. 2 Pojam deriacije 2.1 Prirast funkcije neka su 1 i 2 rijednosti argumenta, a y 1 = y( 1 ) i y 2 = y( 2 ) odgoarajuće rijednosti funkcije y = f() prirast argumenta u interalu [ 1, 2 ] definiramo kao a prirast funkcije y kao = 2 1, (9) y = y 2 y 1 = f( 2 ) f( 1 ) = f( 1 + ) f( 1 ) (10) prirast funkcije oisi o točki 1, prirastu argumenta i samoj funkciji f kocijent y/ predstalja srednju brzinu promjene funkcije y u interalu [ 1, 1 + ] omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta odgoara koeficijentu smjera sekante TT 2 grafa funkcije y = f() tan β = y (11)

7 2 POJAM DERIVACIJE 7 y T 2 y T β Slika 7: Koefinicijent smjera sekante jednak je omjeru prirasta funkcije i prirasta argumenta. Primjer: računamo prirast funkcije f() = (12) u točki 1 = 3 f = f( + ) f() = 1 2 ( + )2 3( + ) = ( )2 3 (13) sada možemo izračunati prirast u bilo kojoj točki npr., urstimo = 3.5 u jedn. (13) f =3.5 = 1 2 ( )2 + 1 (14) 2 promotrimo nekoliko konkretnih rijednosti prirasta funkcije f i nagiba sekante β u točki = 3.5

8 2 POJAM DERIVACIJE f β Tablica 3: Prirast funkcije f i nagibi sekanata grafa funkcije u točki = 3.5 za funkciju definiranu u jedn. (12) u oisnosti o prirastu argumenta. ako smanjujemo prirast argumenta, prirast funkcije se takod er smanjuje dok se nagib sekante približaa rijednosti β Deriacija funkcije deriaciju funkcije f u točki definiramo kao graničnu rijednost df d = lim f( + ) f() 0 (15) za deriaciju funkcije u upotrebi su još neke oznake oznaku f obično koristimo u mehanici df d f () f() (16) Primjer: deriacija funkcije f() = prirast oe funkcije smo eć izračunali u prošlom odjeljku f = ( )2 3 (17) podijelimo prirast funkcije s prirastom argumenta f = (18) 2 konačno, odredimo graničnu rijednost ( ) f 1 lim 0 = lim = 3 (19)

9 3 OSNOVNA PRAVILA DERIVIRANJA 9 deriacija funkcije f() = glasi df d = 3 (20) nagib tangente u točki = 3.5 tanβ = df d = ( 3) =3.5 = 0.5 = β = (21) =3.5 nagibi sekanata naedeni u tablici 2.1 približaaju se uprao gornjoj rijednosti β = pre primjene deriacija koje susrećemo u fizici su brzina i akceleracija čestice brzina odgoara deriaciji puta po remenu (t) = lim t 0 s(t + t) s(t) t = ds dt (22) akceleracija odgoara deriaciji brzine po remenu (t + t) (t) a(t) = lim = d t 0 t dt (23) 3 Osnona praila deriiranja 3.1 Suma i razlika funkcija deriacija sume jednaka je sumi deriacija (f + g) () = f () + g () (24) označimo sumu funkcija f i g s h h() = f() + g() (25) prirast funkcije h() h = (f + g)( + ) (f + g)() = f( + ) f() + g( + ) g() = f + g (26)

10 3 OSNOVNA PRAVILA DERIVIRANJA 10 kocijent prirasta tražimo graničnu rijednost h h () = lim 0 h = f + g f g (27) = lim 0 + lim 0 = f () + g () (28) analognim postupkom bi pokazali da je deriacija razlike funkcija jednaka razlici deriacija (f g) () = f () g () (29) 3.2 Produkt funkcija promatramo produkt funkcija promjena argumenta odi na h() = f()g() (30) h + h = (f + f)(g + g) = fg + ( f)g + f( g) + ( f)( g) (31) prirast produkta funkcija h = fg + ( f)g + f( g) + ( f)( g) fg = ( f)g + f( g) + ( f)( g) (32) kocijent prirasta tražimo graničnu rijednost h h () = lim 0 deriacija produkta iznosi h = f g + g f + f g (33) g + g lim 0 f + lim 0 f g = f lim 0 = f()g () + f ()g() + f () 0 (34) (f()g()) = f()g () + f ()g() (35)

11 3 OSNOVNA PRAVILA DERIVIRANJA Kocijent funkcija promatramo kocijent funkcija promjena argumenta odi na prirast kocijenta funkcija h() = f() g() h + h = f + f g + g h = f + f g + g f (f + f)g f(g + g) = g (g + g)g fg + ( f)g fg f( g) = g 2 + ( g)g g( f) f( g) = g 2 + ( g)g omjer prirasta h i prirasta argumenta h = g f f g g 2 + ( g)g granična rijednost prirasta kocijenta funkcija 3.4 Kompozicija funkcija (36) (37) (38) (39) h h () = lim 0 = gf fg (40) g 2 postupak deriiranja kompozicija funkcija ćemo samo objasniti bez dokaza pretpostaimo da su zadane dije funkcije f() i g(), kao i njihoa kompozicija h() = (g f)() = g(f()) (41) složenu funkciju h() deriiramo u tri koraka pro deriiramo funkciju g(y) i u nju urstimo funkciju f() zatim deriiramo funkciju f() na kraju pomnožimo rezultate prog i drugog koraka (g f) () = g (f()) f () (42)

12 4 DERIVACIJE ELEMENTARNIH FUNKCIJA 12 4 Deriacije elementarnih funkcija izrano računanje deriacija elementarnih funkcija pokazat ćemo na jednostanom primjeru cjelobrojnih potencija postupak za ostale elementarne funkcije je rlo sličan u praksi koristimo tablicu deriacija elementarnih funkcija koja je naedena na kraju poglalja tražimo deriaciju funkcije g() = n prirast funkcije g() g = g( + ) g() = ( + ) n n (43) iskoristimo binomni teorem ( + ) n = n k=0 ( n k ) n k ( ) k (44) član k = 0 u sumi (44) se poništi s članom n u jedn. (43) i preostaje n ( ) n g = n k ( ) k (45) k k=1 omjer prirasta funkcije n i prirasta argumenta g = 1 n ( ) n n ( n k ( ) k n = k k k=1 k=1 ) n k ( ) k 1 (46) da bi izračunali deriaciju, potrebna nam je granična rijednost izraza (46) g n ( ) n lim 0 = lim n k ( ) k 1 (47) 0 k si članoi ( ) k 1 iščezaaju osim člana s nultom potencijom k=1 ( ) k 1 0 osim za k = 1 (48) deriacija funkcije n ( dg d = lim g n 0 = 1 ) n 1 (49)

13 5 PRIMJERI 13 binomni koeficijent ( n 1 ) = n! (n 1)!1! = n (50) konačno, deriacija cjelobrojne potencije d n d = nn 1 (51) odade odmah sljedi da deriacija konstante iščezaa jer je u tom slučaju n = 1 dc d %item nešto složnijim postupkom bi dokazali da = 0, c = konst. (52) deriacije elementarnih funkcija možemo sažeti u sljedećoj tablici f() f () c 0 c e c c 1 e 1 ln sin cos cos sin 1 tan cos 2 cot 1 sin 2 1 arcsin arccos arctan 1+ 2 arccot Tablica 4: Deriacije elementarnih funkcija. 5 Primjeri 5.1 Deriacija produkta funkcija: h() = sin računamo deriaciju funkcije h() = sin radi se o produktu dije funkcije f() = i g() = sin

14 5 PRIMJERI 14 deriacija produkta dije funkcije d df [f()g()] = g() + f()dg d d d (53) deriiramo funkcije f i g i urstimo ih u jedn. (53) df d = 1 i dg d = cos (54) 5.2 Deriacija kocijenta funkcija računamo deriaciju funkcije h() = sin d [ sin ] = sin + cos (55) d radi se o kocijentu diju funkcija f() = sin i g() = deriacija kocijenta diju funkcija deriiramo funkcije f i g d d i urstimo ih u jedn. (56) [ ] d sin = d [ f() g() df d = 1 i ] = gf fg dg d cos sin 2 g 2 (56) = cos (57) = cos sin 2 (58) 5.3 Deriacija kompozicije funkcija: h() = cos 3 računamo deriaciju kompozicije funkcija g() = cos i f(y) = y 3 = f(g()) = (cos) 3 (59) deriacija kompozicije h = f g h () = f (g()) g () (60)

15 6 ZADACIZA VJEŽBU 15 deriiramo funkciju f(y) f (y) = ( y 3) = 3y 2 (61) i urstimo y = g() tj. y = cos još moramo izračunati deriaciju funkcije g() deriacija kompozcije h() f (g()) = 3 cos 2 (62) g () = sin (63) d [ cos 3 ] = f (g()) g () = 3 cos 2 ( sin ) = 3 cos 2 sin (64) d 6 Zadaci za ježbu Izračunajte deriacije sljedećih funkcija f() = 2 f() = 5 2 f() = f() = 1/ f() = 2 cos f() = e ln f() = sin f() = sin 2 f() = (cos) 3 Rješenja: f () = 2 = f (1) = 2 f () = 10 = f (1) = 10

16 6 ZADACIZA VJEŽBU 16 f () = = f (1) = 3 f () = 1/ 2 = f (1) = 1 f () = 2 cos 2 sin = f (1) = f () = e ln + e 1 = f (1) = e(1 + ln 1) = e = f () = cos sin 2 = f (1) = cos 1 sin 1 = f () = 2 cos 2 = f (1) = f () = 3 cos 2 sin = f (1) = 0.052