( + ) ( ) Derivacija funkcije y = f x, u tocki x, koja je definirana u intervalu a,b jednaka je granicnoj vrijednosti ili limesu izraza:
|
|
- Ἀστάρτη Βιτάλης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 . DERIVACIJA FUNKCIJE. Pojam derivacije Derivacija funkcije f, u tocki, koja je definirana u intervalu a,b jednaka je granicnoj vrijednosti ili limesu izraza: f lim ili f lim Funkcija je u tocki Obrat moze ali ne mora vrijediti. ( ( f + f f + f derivabilna, ako ima derivaciju. Tada je u toj tocki i neprekinuta. ( + f f f ( takav limes postoji. Vrijednosti za, (, poprimaju samo pozitivne vrijednosti kako se Desna derivacija funkcije definirana je kao omjer: + lim,ako + priblizava nuli. ( + Lijeva derivacija funkcije definirana je kao omjer: f lim,ako takav limes postoji. Vrijednosti za, nuli. f f ( (, poprimaju samo negativne vrijednosti kako se priblizava Funkcija ima derivaciju u nekoj tocki samo ako je f f f + Funkcija je u nekom intervalu derivabilna ako ima derivaciju u svim tockama intervala. Graficki gledano, derivacija funkcije u tocki tu funkciju, u tocki. ( + f f jednaka je koeficijentu smjera tangente na f lim tanα f f " n Derivacija viseg reda: f, f se dobije deriviranjem postojece derivacije. Druga derivacija, derivacijom prve, treca derivacija derivacijom druge itd. Tumacenje derivacija viseg reda biti ce obradjeno u narednim poglavljima.. Koristeci jednadzbu definicije, izracunaj derivaciju funkcije f u tocki 5. f f f ( f 5+ f lim lim lim lim lim lim ( 5 Derivacije
2 . Koristeci jednadzbu definicije, izracunaj derivaciju funkcije f f f + f lim lim + + ( lim f ( lim( Koristeci jednadzbu definicije, izracunaj derivaciju funkcije f (. + 4 ( + f ( + f ( ( f ( lim lim lim f f f ( ( ( + 4 ( ( ( ( ( ( + 4 ( ( + ( ( lim ( ( + 4 ( ( + 4 lim lim lim ( + 4 ( + + ( + ( + + ( + ( 4. Koristeci jednadzbu definicije, izracunaj derivaciju funkcije f. Ispitaj f. f f + f + lim lim izraz u brojniku nadopunimo na potpunu razliku kuba: a b a b a + ab+ b f lim ( ( ( + + lim f ( lim ( + ( + + ( + ( + + Derivacije
3 lim f U tocki, funkcija je neprekinuta ali derivacija ne postoji jer je nazivnik nula f. 5. Zadana je funkcija f u intervalu. Dokazi da je diferencijabilna u tom intervalu. Neka je vrijednost unutar intervala f + f ( lim lim lim f + lim f ( lim( + f + f Za tocku : f+ ( lim lim lim f + f + + Za tocku : f ( lim lim lim ( + Zadana funkcija je diferencijabilna u intervalu sa vrijednostima derivacije f i f. 6. Zadana je funkcija f. Izracunaj derivaciju za sve vrijednosti. + Za <, f ( : f ( lim lim ( + ( Za >, f : f lim lim ( + ( Za, f ( : f ( lim lim Ako se s lijeva imamo: + Ako se s desna imamo: Funkcija nema derivaciju za Derivacije
4 7. Snaga otpornika strujnog kruga, mjenja se sa velicinom struje koja protice kroz njega. Pri struji od i.5 A, snaga otpornika je P. W. Izracunaj brzinu promjenesnage otpornika u zavisnosti od struje kada je i.5 A.. W P ki. k(.5 k P i A Poznavajuci funkcionalnu ovisnost k i i, mozemo izracunati promjenu snage: ( i+ i i 4.8( i + i i+ i i dp P lim lim lim 4.8 i+ i di i i i i i i dp dp W 4.8 i 9.6i odnosno za i.5 : 9.6i di di A ( 5 8. Energija suncevog zracenja na zemlji dana je jednadzbom R, gdje je t t + vrijeme u podne 6 u jutro i 6 poslijepodne 6 t 6,. Izracunaj trenutnu ( t ( t ( t + + ( t + promjenu energije zrecenja u 5 sati ( poslije podne. ( t ( t ( t + + ( t dr ( t + + t + lim lim dt dr lim 5( t dt lim t + t+ + t + dr t 5 dt t + ( ( t + + dr t W Za t imamo: dt m 9. Tijelo koje se krece predje razdaljinu danu jednadzbom s 6 t. Izracunaj brzinu tijela nakon t s. Brzina je definirana kao derivacija puta po vremenu. ( t + t ( t t ds t 6 t+ v lim lim lim dt m lim6( t + t Za t, brzina tijela je: v t 96 s v. Izracunaj promjenu volumena po radijusu r, balona u obliku kugle radijusa m. Derivacije 4
5 4 Volumen je dan izrazom V r π ( r + π r π π ( r + r + r + r dv lim lim dr 4 π ( r + r+ lim 4π r dv m dr m Za r, promjena volumena iznosi: 4πr 4π 6π 5.. m Promjena volumena po radijusu iznosi 5.. m sin,. Zadan je funkcija f (, a Da li je funkcija f derivabilna za? b Da li je funkcija f neprekidna za? ( + sin f ( + f ( ( + sin a f ( lim lim lim lim sin Funkcija ima derivaciju u jednaku. b Koristeci pravila za deriviranje slozene funkcije mozemo napisati: d sin d sin d( f ( + sin cos + sin d d d cos + sin Ispitajmo neprekinutost f : ( lim f ( lim cos + sin lim cos + lim sin ; lim cos ne postoji Funkcija f nije neprekidna za iako ima derivaciju u toj tocki. Derivacije 5
6 mt, t 5. Zadan je funkcija f ( t, gdje je t vrijeme, m i n su konstante. t + n, t > 5 Izracunaj vrijednosti za m i n uz predpostavku da je f t diferencijabilna za t 5. Derivacija funkcije: ( mt m t ( t n + ( m m, t 5 m t f ( t t t, t > 5 Za t 5, funkcija ima obje derivacije jednake: m m t 5 m 5 m 45 6 Za t 5, funkcija je neprekinuta: mt 5 + n n n 5 5 Trazene vrijednosti su: m 6, n 5. Izracinaj derivaciju funkcije f 4 u tocki 4. ( + ( + 4 ( 4 d f + f lim lim d d lim d d d f ( ( + + lim lim ( Rezervor ulja za kocnice u automobilu ima oblik obrnutog stosca sa bazom polumjera r jednak visini. Izracunaj promjenu volumena u ovisnosti od visini ulja. ( V + V r π ( l+ l r π ( l + l r πl r π ( l + l l V r πl dv dl l l lim lim r π; l l Promjena volumena rezervoara po visini ulja iznosi r cm π cm Derivacije 6
7 . Pravila za deriviranje Izraz d f d naziva se diferencijal funkcije ili glavni dio od i obicno pisemo: Pravila za deriviranje: ( + d f f f ( lim lim d d d d d d d d d { f ( ± g( } f ( ± g( f ( ± g ( d Cf C f Cf C konstanta d { } d d d d d d { f ( g( } f ( g( + g( f ( f ( g ( + g( f ( d d g ( f ( f ( g( d f d d g f f g d g ( g( g g Za slozenu funkciju f u u g d d du du f ( u f { g( } g ( ili d du d d d d du dv f ( u, u g( v, v ( d du dv d d d f t Parametarski zadana funkcija: f ( t, g( t dt d d g t dt ( ( Pravila za deriviranje poznatiji funkcija: d d du d du ( C sin u cos u cos u sin u d d d d d d n n du d du d du u nu sin u cosu tan u sec u d d d d d d Derivacije 7
8 d du d du d du cosu sin u cot u csc u tan u sec u d d d d d d d du d du sec u sec utan u cot u csc u d d d d d du d du sin u secu secutan u d + u d d d d du d du cos u cscu cscucot u d u d d d d d u du d tan u, u < d sin d u u du d d du d du cot u, u > cos u d u d d u d d du d du sec u tan u u u + u d d d d d du d du csc u cot u u u + + u d d d d d du d d du sec u loge u ln u d u u d d d u d d log d a loga e du d u u du d u u du u a >, a a a ln a e e u d d d d d d sec d du + za u > u ± u u d za u < d csc d du za u > u ± u u d + za u < Derivacije 8
9 Deriviranje inverzne funkcije: Ako je funkcija f ( neprekinuta u a,b tada su funkcijske vrijedosti (range konacne i funkcija je rastuca ili padajuca. Inverzna funkcija f neprekinuta. i ( Ako je f derivabilna i f, tada je f derivabilna za f f f f i promatrane funkcije je takodjer f ( f d f ( d d d Deriviranje implicitno zadane funkcije: Funkcija F, oznacava implicitnu funkciju od. Domena te funkcije sadrzi vrijednosti za, za koje postoji jedinstveni, tako da je F, Implicitno zadana funkcija se derivira kao slozena funkcija. Rijeseni zadaci.. Deriviranje algebarki izraza 5. Deriviraj (diferenciraj izraz: + 4 d d ( + 4 ( + ( ( + 4 d d d d d d ( 4 ( ( ( ( ( + 4( ( + 6 Radi lakseg razumijevanja kasnijeg tumacenja toka funkcije, ovdje je dan graf zadane funkcije i njene derivacije. Derivacije 9
10 6. Deriviraj (diferenciraj izraz: ( ( 4 ( 4 ( 4 ( ( 4 d d ( 4 ( 4 ( ( d d u u + 7. Deriviraj ako je u + ( + d u d u + ( u + ( u d d du d d d d du d du u Derivacije
11 ( u + uu ( u ( u + ( u + ( u + d u u u u u du d ( + du u ( + d du 4u 8 du d ( u + u u( u + d ( + d 8. Deriviraj d + d 4 ( ( ( 4 ( ( ( ( Deriviraj 5 d ( ( 5 5 d d ( 6 ( 5 d d d 5 Derivacije
12 d ( + ( d d + d 9 5 ( u. Deriviraj ako je u u + d d du du d d du d d d d( u d( u+ ( u+ ( u d u u u u du u+ u+ ( + ( d u ( u+ u+ u d du ( u+ ( u+ d ( u+ ( u+ ( + t t. Deriviraj po t: 4 + za d d 4 ( t( t + d dt d d d ( t 4t( Za t ( + 5 dt d dt t + ( t + Derivacije
13 d dt ( ( 5 ( 5 5. Deriviraj kompoziciju funkcija zadani u obliku: f ; g + i pokazi razliku u rezultatu u ovisnosti o redosljedu deriviranja. ( f g( f ( g( f ( ( g f ( g( f ( g( Derivacija ( f g( se razlikuje od derivacije ( g f ( ( ( Deriviraj kompoziciju funkcija zadani u obliku: f + ; g + Prvi nacin: Izrazi funkcije implicitno i deriviraj: f g f d 8+ 4 d Drugi nacin: Nazovimo f g vanjskom funkcijom a g unutrnjom funkcijom: ( ( + Derivirajmo vanjsku funkciju: Derivirajmo unutarnju funkciju: g Derivacija kompozicije je: D f g f g g g 4g f d ( d d( + d 4. Odredi inverznu funkciju i derivaciju, funkcije. + f ( inverzna funkcija je: f ( + Derivacije
14 ( + ( + + f ( f ( ( ( ( + ( + d d + ( f ( d d d d 5 5. Deriviraj cos ako je u u + Koristeci formulu za derivaciju funkcije cos i slozene funkcije, imamo: ( cos u d( + d d du d sinu sin + d du d du d.. Tangenta i normala na krivulju 6. Odredi koeficijent smjera tangente na krivulju 4 u tocki gdje krivulja sjece os. d d ( 4 4 d d d 4 d Presjecista su za : 4 4 ; 4 Trazene tocke su A(, i B(, 4. Koeficijent smjera tangente jednak je : d T: ( A A A d A d T: ( B B B d B Koeficijent smjera tangente jednak je : 7. Izracunaj jednadzbu tangente i normale na f + 4, u tocki T,4. Derivacije 4
15 f i za tocku T: 4 ( Jednadzba tangente kroz tocku T i koeficijentom smjera : T T T Normala je pravac okomit na tangentu u tocki T, pa je koeficijent smjera normale: kn. Normala ima jednadzbu: k 4 T T kn ( T 4 ( N ( 8. Izracunaj jednadzbu tangente i normale na krivulju f sin u tocki nultockama, (. Nultocke funkcije su u: sin, π Za Koordinata diralista je A(, π + π + Za π Koordinata diralista je B(, Koeficijent smjera tangente jednak je : f cos 6cos i za zadane tocke: kta : ( A 6cos 6cos 6 kta 6 kna k 6 π + ktb : ( B 6cos 6cosπ 6 ktb 6 knb ktb 6 Jednadzba tangente kroz tocke A i B : A ( A 6 T 6 π + B B T + Pripadajuce normale imaju koeficijente smjera i jednadzbe: 6 6 ( π TA Derivacije 5
16 A kna( A N π + π + A knb ( B N 6 6 k k Izracunaj jedn. tangente koja ima koeficijent smjera, na elipsu Koeficijent smjera: 8 8 : 4 Koordinate diralista su: T 9 9 Diraliste je na elipsi: ± ± T T, T, T T T T T T T Tgta. T : T ( T ( T Tgta. T : T ( T + ( + T Izracunaj jednadzbu tangente i normale na krivulju u tocki A(,. Diferencirajmo: D k Derivacije 6
17 k k Koeficijent smjera : T N A + kt Tangenta T : T + A ( A( A Normala N : k N A N A. Izracunaj jednadzbu tangente koja prolazi tockom A(4,5 i tangira krivulju f + 9. ( + ( + Tocke diralista su D, 9 D, 9. Koeficijenti smjera:, koji zadovoljavaju jednadzbe tangenta kroz tocku A ( 4,5 : ( ( + ( 4 4 A b± b 4ac, 8.476;.476 a 6.944;.944 A ( A Tgta T : T A Tgta T : A T A. Izracunaj jednadzbu vertikalne i orizontalne tangente na krivulju + 7. Koeficijent smjera tangenta dobijemo derivirajuci implicitno funkciju: D Derivacije 7
18 Horizontalna tangenta ima koeficijent smjera: : ; uvrstimo u jednadzbu: 7 7,, ± ± Diralista orizontalni tangenti su u tockama: H,6 ; H, 6 nazivnik : : Vertikalna tangenta je okomica na orizontalnu tangentu i ima koeficijent smjera ; ;uvrstimo u jednadzbu: ± ± 6,, V ( Diralista orizontalni tangenti su u tockama: V 6, ; 6, Koeficijent smjera tangenti jednak je : ( 5 5. Izracunaj kut pod kojim se sjeku zadane krivulje, ako je jedno presjeciste u tocki A, : 4 i 5 4 k D ( 4 4 k k k D Tangente se sjeku pod kutem:tanα A 4 4 k k k k kk α arc tan A Derivacije 8
19 4. Viseci most je pricvrscen na stupovima udaljeni 5m. Most je u obliku parabole, sa najnizom tockom 5m ispod visine ovjesenja. Izracunaj kut izmedju lancanice mosta i stupa (nosaca. 5 Parabola ima oblik: k izracunajmo koeficijent k : 5; k k Jednadzba parabole je tada: U tocki ovjesenja koeficijent smjera tangente lancanice je: A 4 A 5.8 Trazeni kut α iznosi: β arctan A arctan α 9 β Jednadzba tangente u tocki A: A A Derivacija implicitno zadane funkcije 5. Deriviraj 5 ( ( 5 d d d d d d d d d d d + d Derivacije 9
20 6. Deriviraj e + ln cos ( ln ( cos d d e d d + e + e + + ln sin d d d d d ( e + ln sin e d sin+ + e d sin+ + e d e + ln e + ln 7. Deriviraj ( d d d d d d + + d d d d d d 4 d d d d ( d d, zamijenimo promjenjive: Izracunaj inverznu funkciju i njenu derivaciju za f, >. f > f d d po definiciji d d d d d 9. Izracunaj izraza d d d d ( d( d ( ( + ( d d d + + ( ( ( d + + d d d ( ( ( Derivacije
21 Trazena derivacija ( ( d d d d 4. Izracunaj inverznu funkciju i njenu derivaciju za f ( f ( zamijenimo promjenjive: f ( d d d( po definiciji ( + + d d d d 4.Izracunaj prvu i drugu derivaciju izraza u tocki (,. d d d d d d d + + d d u tocki A(, A d d d d d d + A " " d " d ( + ( + Trazena derivacija u tocki A(,, uz d( d( ( iznosi: 8 " A 4. Izracunaj prvu i drugu derivaciju izraza d d + + d d d d d d d " " + + d d d d d " + zamijenimo sa ranijim rjesenjem: Derivacije
22 " " " " 6 + ( ( ( Drugu derivaciju smo mogli izracunati deriviranjem prve derivacije: " " d d d ( ( d d d ( ( ( ( ( 6 + ( ( (..4 Deriviranje u rjesavanju zadataka iz fizike Izracunaj brzinu promjene vrijednosti,za t 4. Vrijednost t je vrijeme. 4. Tocka putuje po krivulji + 5, gdje je t +. t Trazi se derivacija za t 4: u u+ 5 u + d d du d du ( u t d du d du d 4 t ( u u t 4 d du ( i za 4. du d 4 t 4 t ( Sila prenesena na bregastu osovinu dana je sa: gdje je sa oznacena udaljenost od sredista vrtnje ( 5. Izracunaj brzinu promjene sile u zavisnosti o, kada je 4cm. [ ] F N Derivacije
23 4 ( df df d Trazimo za 4 : d d d df N ( 4 + 6( 4 + 9( 4 6 d m 45. Tocka putuje po krivulji + i 6. Izracunaj za i 5. t t t dt d ( t + ( t ( ( t t t d t t t t t t d d d dt d dt d 6 6 6( + d dt d dt d dt t d dt 6 i za zadane vrijednosto t: su u odnosu. Izracunaj. ( ( Dva otpornika sa otporom r i r + su spojena paralelno. Kombinirani otpor R i otpor r r rr+ R r dr dr dr d r rr R r r R+ rr + R + dr dr dr r R + ( + r R + r R R dr r + r + r+ 47. Faktor iskoristenja motora sa unutarnjim sagorjevanjem dan je sa jednadzbom η gdje su.4 V i V minimalni i maksimalni volumen cilindra. V V Izracunaj faktor iskoristenja za V uz predpostavku da je V konstantan d.4 V dη d V V 4 V (.4 dv dv dv V V V V dη 4V V dv VV V V V.4.4 Derivacije
24 ( 48. Putanja tijela koje putuje dano je sa s f t t t. Izracunaj brzinu i ubrzanje nakon vremena t s. m dt dt s d t d s dv Ubrzanje je a m t t at t 6 dt dt dt s d t t ds Brzina je v t vt 6 4 ( 49. Putanja cestice koja se krece po pravcu dano je sa s f t t 6t + 9t+ 4. a Izracunaj put s i ubrzanje kada je brzina v. b Izracunaj put s i brzinu v kada je ubrzanje a. c Izracunaj kada put s raste d Izracunaj kada brzina v raste. e Kada se smjer kretanja mijenja? ( ds d t t t v t t+ dt dt a Ako je : 9 t s t 6t + 9t m ( ( ( t s t 6t + 9t m dv d t t + 9 Ubrzanje iznosi a 6t i za dano t imamo: dt dt m m at 6t 6 6 a t 6t 6 6 s s b Ubrzanje je nula za a 6t t Put iznosi: st t 6t + 9t Brzina iznosi: v t t t c v t t t t Put raste kada brzina raste > : + 9 > < i > d Brzina raste kada je ubrzanje a > : 6t > t > e Smjer kretanja se mijenja u trenutku t i t, kada je brzina v i ubrzanje a. Iz prilozenog grafickog prikaza lijepo se mogu vidjeti svi uvjeti i rjesenja zadatka. Derivacije 4
25 ( Savijanje celicnog nosaca dano je jednadzbom 5 gdje je sa oznacena udaljenost od oslonca. Izracunaj drugu derivaciju (promjenu koeficijeta smjera tangente za d 5 d d d ( 5 5 d d d d ( 5 5 ( 5 ( 5 " d d d d -4 5 d d d d " -4-4 ( 5 ( ( 5.49 m 5. Putanja cestice koja se krece vodoravno dano je sa s t 9t + 4 t. a Izracunaj kada put s raste a kada pada. b Izracunaj kada brzina v raste a kada pada. c Izracunaj put s koje cestica predje u prvi 5 sekundi kretanja. ds dt ( d t t t a Izracunajmo brzinu: v t 8t+ 4 8 ± 8 4 4, v za t t t 4 ili drukcije v t t 4 Put raste za v > t <, t > 4 vidi graf! Put pada za v < < t < 4 vidi graf! dt ( dv d t t bizracunajmo ubrzanje: a 6t8 a 6 dt dt Brzina raste za a > t > Brzina pada za a < t < c Udaljenost za prvi 5 sekundi: Za t tijelo je u polozaju s - Predjeni put je nula Za v >, tijelo krece u desno i za prve t sekunde predje put: ( t Derivacije 5
26 st t 9t + 4t m U naredni sekundi, tijelo mijenja smjer u lijevo do t 4: st 4 t 9t + 4t m Smjer kretanja je u lijevo, pa je s 6 4m Za t 5 sekundi, tijelo je preslo put od: st 5 t t + t + m Sveukupno, predjeni put iznosi: S s + s + s m t t 4 t Putanja cestice koja se krece vodoravno dano je sa s t 6t + t t+. a Izracunaj kada brzina v raste a kada se smanjuje. b Kada cestica mjenja smjer. c Izracunaj put s koje cestica predje u prvi sekundi kretanja. Izracunajmo brzinu i ubrzanje: ( ds d t t t t v 4t 8t + 4t+ 4 dt dt Nultocke jednadzbe za v su : t, t 5 Rjesenje se moze izracunati koristeci, objasnjenja u dijelu "Jednadzbe viseg reda". ( dv d t t t a t 6t+ 4 t, t dt dt a Brzina mijenja predznak u t.5 a ubrzanje mijenja predznak u t i t Za t < brzina v < i a >. Posto je a >, brzina se povecava;odnosno posto je v < brzina se smanjuje: v v Za < t < brzina v < i a <. Posto je a <,brzina se smanjuje; odnosno posto je v < brzina se povecava: v v Za < t <.5 brzina v < i a >. Brzina se smanjuje. Za t >.5 brzina v > i a >. Brzina se povecava: v > i v v b Smjer kretanja se promijeni za t.5 (funkcija puta s ima ekstrem c Za t put s. To je predjeni put cestice za t. t Derivacije 6
27 Do vremena t.5, cestica putuje u lijevo i proci ce put od: 4 st.5 t t t t t Za t, put je nula s. Cestica je dosla na pocetni polozaj, sto iznosi Sveukupno, predjeni put za prve sekunde iznosi: S s + s + s jedinica mjere za duzinu t t.5 t t 5. Cestice rotira po putanji danoj jednadzbom Φ t, gdje Φoznacava kut u radijanima 5 i t, vrijeme u sekundama. Izracunaj kutni pomak ϕ, kutnu brzinu ω i kutno ubrzanje α nakon vremena t s. t Izracunajmo pomak cestice: Φ t t Φ [ rad] 5 5 dφ rad Kutna brzina cestice: ω t ωt ( 5 dt 5 5 s dω rad Kutno ubrzanje cestice: α t αt dt s..5 L Hospital-ovo pravilo Utvrdjivanje granicni vrijednosti za funkcije, koje uvrstavanjem granicne vrijednosti postaju neodredjene, rjesavaju se LHospital-ovim pravilom: Vrijednost funkcije u obliku razlomka ( f ili g " f f f dobije se tako, da se derivira posebno brojnik i posebno nazivnik onoliko puta, koliko je dovoljno da se dobije konacna vrijednost kao rezultat. lim lim lim itd. " g g g Izraz lim moze biti bilo koji od oblika, kao na pr. lim, lim,lim,... + Derivacije 7
28 Za funkcije koje nisu zadane u obliku kvocijenta i neodredjeni oblik je na pr.,, funkciju treba najprije prikazati kao kvocijet a potom primijeniti LHospital-ovo pravilo. Za funkcije koje imaju neodredjeni oblik na pr.,, racunaju se tako, da se funkcija najprije logaritmira po bazi prirodnog broja e, prikaze ako kvocijent i potom primijeni LHospital-ovo pravilo. sin 54. Rijesi za ( sin ( sin cos Izraz je oblika ( lim lim lim sin Napomena: Kvocijent se derivira posebno brojnik a posebno nazivnik. a 55. Rijesi lim ( + a ln + izraz je oblika a ln a + lim ln lim sada primjenimo pravilo: + ( a + ( + a a a a a ln a + a + + lim lim lim ( + a lim ( + a ( + a ( + a ( + a ( + a + a a + a a lim lim lim a+ a+ a a 56. Rijesi za ln ln Izraz je oblika ln ln lim ln lim sada primjenimo pravilo na desnu stranu jednadzbe: lim ln lim ( ln ( lim sada rjesimo jednakost: lim ln ln samo za slijedi: lim za Derivacije 8
29 + cosπ 57. Rijesi lim + ( ( + ( + cosπ + cosπ πsinπ π cosπ π lim lim lim lim Rijesi za logaritmirajmo, limitirajmo i primjenimo pravilo: ln ( ln ln ln lim ln lim lim lim ( lim lim ln odnosno za sin 59. Rijesi za ln ln sin ln csc ( ln lim ln lim lim sin lim lim ( csc cot csc cos cos sin sin sin sin sin sin sin lim ln lim lim lim lim lim tan ( cos cos 6. Rijesi: + za ln + Izraz ima oblik ln ln + + ( ln + + lim( ln lim lim lim lim lim lim( ln lim ln ( lim e e + + Derivacije 9
30 ln cos sin ( ( ln cos cos sin cos lim lim lim + + ( ln cos sin ( + sin cos cos sin cos cos 9 lim lim lim + sin + cos + cos 4 6. Rijesi: lim + ln cos Derivirajmo opet 6. Rijesi lim e ( ( e + e Izraz je jednak ( ( e e e Izraz je oblika lim lim lim e e + e e e e lim lim lim e + e + e e + e + 6. Rijesi lim + + ( + + ( + + Izraz je oblika lim lim lim lim lim Ponovno deriviranje nas dovodi do pocetnog rezultata. LHospital-ovo pravilo se ne moze primijeniti. Koristimo zato drukciju transformaciju: ( + + lim lim lim + + π π 6. Rijesi ( tan za π ( π ( Izraz je oblika lim lim tan lim ln lim ln tan π π π π Derivacije
31 cos ln ( tan ( π lim lim tan cos lim sin cos lim π π π π sin cos sin ( π ( π ( π π π π [ ] π 4 π ( π lim ( ln lim lim ( ln cos π definicija logaritma baza lim lim tan 64. Rijesi cos za ( ( π π lncos Izraz je oblika ln ln cos limitirajmo ( ln cos cos sin cos lim ln lim lim lim lim cos lim ln lim cos ( cos e ( sin ( ( cos ( ln lim ( cos ln lim sin Derivacije
32 + 65. Rjesi za + Izraz je oblika ( 7 + ( lim lim lim lim Rijesi lim izraz je oblika sin sin sin lim l im lim sin sin sin sin lim lim lim 4 sin sin sin sin sincos ( sin lim lim ( cos 4sin 4 lim lim ( ( 4 ( ( 4 8cos 8 lim lim 4 4 sin Ovaj zadatak se moze rjesiti koristeci Talor-ov teorem, koji ce biti obradjen u poglavlju Beskonacni Redovi. π 4 ( 67. Rjesi lim tan sec ( tan ( tan π Izraz je oblika ; sec lim lim cos cos cos π 4 4 π sec ( tan sec 4 lim lim π π ( cos sin π 4 4 sin 4 π ( cos π 68. Rjesi lim tan za izraz je oblika π π π π π cos ln tan lim lim ( tan ln lim lim cos ln ( tan lim sec Derivacije
33 sec tan sec ln lim lim lim lim lim cos ( ln tan ( sec π π π sec tan π tan π sin cos lim sin π cos Derivacije
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραDerivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραGeodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA
Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije i Limesi i derivacije Poglavlje Limesi i derivacije.0. Limesi Limes funkcije f kada teºi nekoj to ki a ovdje a moºe ozna avati i ± moºemo
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραFunkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότερα5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA
5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMEARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINAAMA 5. Funkcije zadane u paametaskom obliku Ako se koodinate neke tocke,, zadaju u obliku funkcije neke tece pomjenjive, koja se tada naziva paameta,
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραUvod u diferencijalni račun
Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότερα( pol funkcije), horizontalna ili kosa.
4. ANALIZA TOKA FUNKCIJE, EKSTREMI 4. Opci pojmovi Nultocke funkcije - su tocke u kojima je funkcija jednak nula. Za razlomljenu racionalnu funkciju, je kada je brojnik nula. Polovi funkcije - su tocke
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y
. ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA
5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 8 5 poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA U ovom poglavlju: Derivacija po definiciji, tablica deriviranja Derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. kolokviji. Sadržaj
Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραx + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x
Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalni račun
ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα4 Izvodi i diferencijali
4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραMehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika
1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji
Διαβάστε περισσότερα15. domaća zadaća. Matematika 1 (preddiplomski stručni studij elektrotehnike)
Maemaika 5.. Koriseći definiciju derivacije funkcije u očki izračunaje sljedeće granične vrijednosi: c) f) h) i) j) k) n) o) q) r) e 0 e 0 e 0 ln( + ) 0 ln( + ) 0 4 ln sin e 0 5 g e 0 6 cos e cg e ln(
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότερα3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E
. Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραDinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1
Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραSignali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t
Διαβάστε περισσότεραx M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.
1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom
Διαβάστε περισσότεραSadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije
Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Osnovni teoremi diferencijalnog računa L Hospitalovo pravilo Derivacije višeg reda Derivacija
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότερα4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115
4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 2 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Povijesno su dva po prirodi različita
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραy f x y g x Bernouli diferencijalna jed.: y' f x y g x y n realni broj; Svodi se na linernu dif.jed. Homogena diferencijalna jed.
0. DIFERENCIJALNE JEDNADZBE 0. Openito o diferenijalnim jednadzbama Obina diferenijalna jednadzba (dif.jed.) je izraz u kojem se nepoznania nalazi u formi derivaije ili diferenijala. Zavisna promijenjiva
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραSignali i sustavi Zadaci za vježbu. III. tjedan
Signali i sustavi Zadaci za vježbu III. tjedan 1. Neka je kontinuirani kompleksni eksponencijalni signal. Neka je diskretni eksponencijalni signal dobiven iz kontinuiranog signala uniformnim otipkavanjem
Διαβάστε περισσότεραPredavanje osmo: Uvod u diferencijalni račun
Predavanje osmo: Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je
Διαβάστε περισσότεραPrimjer II-1.2 Skiciraj sljedeće grafike u rasponu x [-4,4] : y=x; y=x+2; y=x-3, te nađi njihove gradijente (nagib) i presjecišta s x i y osom.
Primjer II-. Skiciraj grafik y=+ u opsegu [-,] i nađi vrijenost y za =. i vrijenost za y=-, te nađi graijent (nagib) i presjecišta s i y osom. f( ) f( ) 9 f( ) 9 5 f( ) 5 f (.).8 5 f( ) = y = = Nagib:
Διαβάστε περισσότεραSkalarni umnozak vektora je skalar: a b = a b cos ϕ ; ϕ kut izmedju vektor a i b.
5. VEKTORI U PROSTORU 5. Opcenito o vektorima a Jedinicni vektor (ort) je vektor sa intenzitetom. a a a Zbroj dva vektora je vektor: a+ b c. Graficki, zbroj se dobije ulancavanjem dva vektora. Na kraj
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije
Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα3. DIFERENCIJALNI RAČUN I PRIMJENE
3. DIFERENCIJALNI RAČUN I PRIMJENE 1. DERIVIRANJE Derivacije elementarnih funkcija jedne varijable dane su u tablicama: Pravila deriviranja funkcija jedne varijable su: 1. DERIVIRANJE ZBROJA/RAZLIKE 2.
Διαβάστε περισσότερα