Της συντάξεως. Περιεχόμενα. Πλάγια Εφαπτομένη του Παναγιώτου Κωνσταντίνου, μαθημ. MSc, MSc Οργάνωση και Διοίκηση της Εκπαίδευσης - Σελ.

Transcript

1 Της συντάξεως Το τρίτο τεύχος του περ. «ΣΥΜΒΟΛΗ» - τρία «αριθμός τέλειος» κατά τον παλαιό σοφό - περιλαμβάνει σύντομες εργασίες που ενδεχομένως ενδιαφέρουν μαθηματικούς, μουσικολόγους, φιλολόγους. Ρυθμός αρμονία άλλωστε εκλαμβάνονται ως συνεκτικά στοιχεία των ειδικοτήτων, ενώ τα δύο αυτά χαρακτηριστικά «καταδύονται εις το εντός της ψυχής φέροντα την ευσχημοσύνην». Το τρίτο λοιπόν τεύχος συνιστά ενδεχομένως χρήσιμη ευτυχή εξέλιξη για την εκπαιδευτική βιβλιογραφία. Σε συναντήσεις μας δε με συναδέλφους εκπαιδευτικούς δηλώνεται εκ μέρους τους το ενδιαφέρον για τεκμηριωμένη απτή ενημέρωση σχετικώς με την έγκυρη διδακτική των μαθημάτων την εν συνεχεία συνεπή λογικά αποδεκτή αξιολόγηση των εκπαιδευομένων. Με τη χορήγηση ISSN από την ΕΒΕ προβάλλεται εφεξής το περ. στη διεθνή εκπαιδευτική βιβλιογραφία το επιστημονικό περιεχόμενό του στο βαθμό που διαθέτει πρωτοτυπία αξιοπιστία επιβάλλει ίσως κάποια ιδιαίτερη φροντίδα υπευθυνότητα τόσο στους συνεργάτες όσο στους καθ ύλην νόμον αρμόδιους. Ι.Ν. Ηλιούδης, δ.φ Περιεχόμενα Πλάγια Εφαπτομένη του Παναγιώτου Κωνσταντίνου, μαθημ. MSc, MSc Οργάνωση Διοίκηση της Εκπαίδευσης - Σελ. 2-4 Αρχαία Ελληνικά Μουσικά Όργανα 2ο μέρος - Μια σύντομη παρουσίαση των πνευστών κρουστών μουσικών οργάνων (Μάθημα Ιστορίας της Μουσικής Β Γυμνασίου Γενικών Μουσικών Σχολείων) της Βασιλική Κοσμάνου Λιακατά, Μουσικολόγου Α.Π.Θ., MSc Οργάνωση Διοίκηση της Εκπαίδευσης Π.Θ. - Σελ. 5-6 Αγανακτώ, αγανακτισμένος: Ετυμολογική ερμηνεία επιρικό σχόλιο του Ι.Ν. Ηλιούδη, δ.φ - Σελ. 7 Γραφείο Σχολικών Συμβούλων Β/θμιας Εκπ/σης Λάρισας grss@dide.lar.sch.gr Τεχνική Επιμέλεια: Ρούσσας Γεώργιος, καθηγητής Πληροφορικής Γυμνασίου Φαλάνης 1

2 Πλάγια Εφαπτομένη του Παναγιώτου Κωνσταντίνου, μαθημ. MSc MSc Οργάνωση Διοίκηση της Εκπαίδευσης Περίληψη Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0, τότε υπάρχει μία μοναδική εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο σημείο A(x 0, f(x 0 )) η οποία μπορεί να εφάπτεται αυτής σε άλλο σημείο της. Είναι, επίσης, δυνατό δύο συναρτήσεις να έχουν κοινή εφαπτομένη σε ένα κοινό σημείο ή σε δύο διαφορετικά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων. Ορισμός Έστω μία συνάρτηση παραγωγίσιμη στο σημείο A(x 0, f(x 0 )). Η ευθεία y=λx+β ονομάζεται πλάγια εφαπτομένη της γραφικής παράστασης C f της f στο σημείο A(x 0, f(x 0 )) αν μόνο αν διέρχεται από το σημείο A(x 0, f(x 0 )) λ=f (x 0 ). Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει άμεσα ότι η πλάγια εφαπτομένη στο σημείο A είναι μοναδική ότι η εξίσωσή της είναι y=f(x 0 )+f (x 0 )(x-x 0 ) αφού λ=f (x 0 ) το σημείο A(x 0, f(x 0 )) την επαληθεύει. Να βρεθεί η εξίσωση της πλάγιας εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της αντίστροφης f -1 μιας συνάρτησης f(x)=x 5 + x 3 + e x στο σημείο (0,1). Η παράγωγος της συνάρτησης f(x) = x 5 + x 3 + e x είναι f (x)=5x 4 + 3x 2 + e x για κάθε x c R, οπότε f (0)=1 επομένως η εξίσωση της πλάγιας εφαπτομένης στο σημείο (0,1) της γραφικής παράστασης της f είναι η y=x+1. Επιπλέον, αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη 1-1 σε ένα διάστημα I με f (x ) 0 στο I, τότε επειδή (Παντελίδης, 1996) η εξίσωση της πλάγιας εφαπτομένης της αντίστροφης συνάρτησης f -1 στο σημείο A(y 0, f -1 (y 0 )) με y 0 =f(x 0 ) είναι Να βρεθεί η εξίσωση της πλάγιας εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της αντίστροφης της συνάρτησης f(x)=x 5 + x 3 + e x στο σημείο (1,0). Η παράγωγος της συνάρτησης f(x)=x 5 + x 3 + e x είναι f (x)=5x 4 + 3x 2 + e x > 0 για κάθε x c R, οπότε f (0)=1 επομένως η εξίσωση της πλάγιας εφαπτομένης στο σημείο (1,0) της γραφικής παράστασης της f -1 είναι η y=x-1. Πρόταση 1 Έστω σημείο M(α,β) εκτός της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. Η ευθεία AM είναι πλάγια εφαπτομένη της C f στο σημείο A(x 0, f(x 0 )) της γραφικής παράστασης C f της f αν μόνο αν ισχύει α x 0 Η κλίση της ευθείας ΑΜ είναι της είναι Αν, οπότε η εξίσωσή τότε η πιο πάνω εξίσωση γίνεται y=f(x 0 )+f (x 0 )(x-x 0 ) oπότε η ευθεία AM είναι η πλάγια εφαπτομένη της γραφικής παράστασης C f της f στο A(x 0, f(x 0 )). Αντιστρόφως, αν η ευθεία AM είναι εφαπτομένη στο σημείο A, τότε η εξίσωσή της είναι y=f(x 0 )+f (x 0 )(x-x 0 ) επειδή διέρχεται από το σημείο M είναι β=f(x 0 )+f (x 0 )(α-x 0 ), οπότε Να βρεθεί η εξίσωση της πλάγιας εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης άγεται από το σημείο M(2,0). με x>0 η οποία Από την προηγούμενη εξίσωση για την τετμημένη x 0 σημείου επαφής έχουμε: 2

3 η ζητούμενη εξίσωση της πλάγιας εφαπτομένης είναι η Πρόταση 2 Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο α στο β. Η ευθεία ΑΒ είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης C f της f στα σημεία Α(α,f(α)) Β(β,f(β)) αν μόνο αν Η κλίση της ευθείας ΑΒ είναι οπότε η εξίσωση της ευθείας ΑΒ είναι Αν η ευθεία ΑΒ είναι πλάγια εφαπτομένη της γραφικής παράστασης C f της f στα σημεία Α(α,f(α)) A(β,f(β)), τότε οπότε Αντιστρόφως, αν τότε η ευθεία AB είναι πλάγια εφαπτομένη της γραφικής παράστασης C f της f στο σημείο Α(α,f(α)) αφού διέρχεται από το A είναι πλάγια εφαπτομένη της γραφικής παράστασης C f της f στο σημείο Β(β,f(β)) αφού διέρχεται από το Β Να δείξετε ότι η ευθεία AB με A(-1,-1) B(1,1) είναι πλάγια εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=(x 2-1) 2 + x στα σημεία A(-1,-1) B(1,1). Η παράγωγος της συνάρτησης είναι f (x)=4(x 2-1) + 1 οπότε f (-1)=f (1)=1 σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση είναι Πρόταση 3 Έστω δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g με πεδία ορισμού A B αντιστοίχως. Οι συναρτήσεις f, g έχουν κοινή εφαπτομένη σε κοινό σημείο των γραφικών τους παραστάσεων C f C g αν μόνο αν υπάρχει x 0 A B με f(x 0 )=g(x 0 ) f (x 0 )=g (x 0 ) Αν υπάρχει x 0 A B με f(x 0 )=g(x 0 ) τότε το σημείο M(x 0,f(x 0 )) ή M(x 0,g(x 0 )) είναι κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων C f C g των συναρτήσεων f g. Επιπλέον, η εξίσωση της πλάγιας εφαπτομένη της C f στο M είναι y=f(x 0 )+f (x 0 )(x-x 0 ) η εξίσωση της πλάγιας εφαπτομένη της C g στο M είναι y=g(x 0 )+g (x 0 )(x-x 0 ) οπότε αν f (x 0 )=g (x 0 ) οι εξισώσεις αυτές ταυτίζονται επομένως οι συναρτήσεις f, g έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο M. Αντιστρόφως, συναρτήσεις f, g έχουν κοινή πλάγια εφαπτομένη με κλίση λ σε κοινό σημείο των γραφικών τους παραστάσεων C f C g έστω M(x 0,f(x 0 )) ή M(x 0,g(x 0 )) τότε είναι f(x 0 )=g(x 0 ). Επιπλέον, λ=f (x 0 ) λ=g (x 0 ) οπότε f (x 0 )=g (x 0 ). Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων έχουν κοινή πλάγια εφαπτομένη στο σημείο A(1,5). Οι παράγωγοι των συναρτήσεων f, g είναι Σχήμα 1 Επομένως, έχουμε οπότε η ευθεία AB είναι πλάγια εφαπτομένη της γραφικής παράστασης όπως φαίνεται στο σχήμα 1. οπότε f (1)=g (1)=2. Εξάλλου είναι f(1)=g(1)=5 επομένως σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση οι συναρτήσεις f, g έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο A(1,5) όπως φαίνεται στο σχήμα 2 (επόμενη σελίδα). 3

4 παράστασης C f της f στο σημείο A(x 1,f(x 1 )) αφού διέρχεται από το A είναι πλάγια εφαπτομένη της γραφικής παράστασης C f της f στο σημείο B(x 2,g(x 2 )) αφού διέρχεται από το B Να δείξετε ότι η ευθεία AB με A(-1,-1) B(1,1) είναι πλάγια εφαπτομένη της γραφικής παράστασης των συναρτήσεων f(x)=-x 2-1 g(x)=x 2 +1 στα σημεία A(-1,-1) B(1,1). Σχήμα 2 Είναι f (x)=-2x g (x)=2x, οπότε f (-1)=2=g (1). Εξάλλου είναι Πρόταση 4 Έστω δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g με πεδία ορισμού A B αντιστοίχως. Οι συναρτήσεις f, g έχουν κοινή εφαπτομένη στα σημεία A(x 1,f(x 1 )) B(x 2,g(x 2 )) με x 1 x 2 των γραφικών τους παραστάσεων C f C g αν μόνο αν Η κλίση της ευθείας AB είναι οπότε η εξίσωση της ευθείας AB είναι επομένως σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση οπότε η ευθεία AB με A(-1,-1) B(1,1) είναι κοινή πλάγια εφαπτομένη της γραφικής παράστασης των συναρτήσεων f g όπως φαίνεται στο σχήμα 3. Σχήμα 3 Αν η ευθεία AB είναι πλάγια εφαπτομένη της γραφικής παράστασης C f της f στα σημεία A(x 1,f(x 1 )) B(x 2,g(x 2 )), τότε οπότε Αντιστρόφως, αν τότε η ευθεία AB είναι πλάγια εφαπτομένη της γραφικής Βιβλιογραφία 1. Παντελίδης, Γ. (1996). Μαθηματική Ανάλυση Ι&ΙΙ. Αθήνα: Ζήτη 4

5 Αρχαία Ελληνικά Μουσικά Όργανα* 2ο μέρος Μια σύντομη παρουσίαση των πνευστών κρουστών μουσικών οργάνων (Μάθημα Ιστορίας της Μουσικής Β Γυμνασίου Γενικών Μουσικών Σχολείων) Βασιλική Κοσμάνου Λιακατά, Μουσικολόγος Α.Π.Θ. MSc Οργάνωση Διοίκηση της Εκπαίδευσης Π.Θ. Συνεχίζοντας με την ενότητα των πνευστών οργάνων στην αρχαία Ελλάδα, πιο γνωστό διαδεδομένο ήταν ο διπλός αυλός. Ήταν πνευστό με διπλή (ίσως μερικές φορές με απλή) γλωττίδα, δηλαδή όργανο τύπου σύγχρονου όμποε ή ζουρνά, ή, όταν είχε μονή γλωττίδα, κλαρινέτου ή μαντούρας. Κατασκευαζόταν σε διάφορα μεγέθη χρησιμοποιούταν συνήθως σε ζευγάρι ως διπλός αυλός (δίαυλος, δίδυμοι αυλοί κτλ.) οι δύο αυλοί του ζευγαριού μπορεί να είχαν το ίδιο ή διαφορετικό μήκος σωλήνα. Άλλα πνευστά όργανα ήταν η σύριγγα, όργανο τύπου φλάουτου αποτελούμενο από παράλληλους κολλημένους μεταξύ τους καλαμένιους σωλήνες (συνήθως 7, αλλά επίσης 5 ή 9) η σάλπιγγα που τη χρησιμοποιούσαν στον πόλεμο στην αναγγελία διαφόρων τελετών. 5

6 Διάφορα Πνευστά μουσικά όργανα Εκτός από τα έγχορδα (χορδόφωνα) τα πνευστά (αερόφωνα) υπήρχαν επίσης πολλά κρουστά, όπως τα κρόταλα, το σείστρο, τα κύμβαλα, το τύμπανο, η κρούπεζα ή το κρουπέζιον το οποίο ήταν ξύλινο πα- πούτσι, που το φορούσε συνήθως ο κορυφαίος του χορού για να κρατά το χρόνο, το χαλκόφωνο της Κάτω Ιταλίας. Διαφόρων τύπων αρχαία ελληνικά μουσικά όργανα 6

7 Αγανακτώ, αγανακτισμένος: Ετυμολογική ερμηνεία επιρικό σχόλιο* του Ι.Ν.Ηλιούδη, δ.φ. Στα εν χρήσει ετυμολογικά λεξικά της Αρχαίας Ελληνικής πιθανολογείται η ετυμολογία του ρήμ. αγανακτώ από το επίρρ. άγαν + το ρ. έχω 1. Ειδικότερα εικάζεται ότι κάποτε υπήρχε η αμάρτυρη λέξη *αγανέκτης > *αγανάκτης εξ αυτής προήλθε το ρ. αγανακτώ (κατά το πλεονέκτης > πλεονεκτώ) 2. Η ανωτέρω ετυμολογική ερμηνεία όμως κρίνεται κατά τη γνώμη μας ως απορριπτέα για τον απλούστατο λόγο ότι εν τοιαύτη περιπτώσει τα ρ. πλεονεκτώ αγανακτώ θα ήταν συνώνυμα, όπερ άτοπον. Η εκτίμησή μας είναι ότι το ρ. αγανακτώ προέρχεται από το άγαν + άχθ(-ος) + κατάλ. έω : > *αγαναχθέω > (με τροπή των δασέων στα αντίστοιχα ψιλά) αγανακτέω, -ώ. Συνηγορεί δε προς τούτο εμμέσως ο Πλάτων με το ακόλουθο απόσπασμα από τον Φαίδωνα: «υμάς τε απολείπων τους ενθάδε δεσπότας ου χαλεπώς φέρω ουδ αγανακτώ ηγούμενος κακεί ουδέν ήττον ή ενθάδε δεσπόταις τε αγαθοίς εντεύξεσθαι ετέροις» (Πλάτ. Φαίδων 69d-e).Παρατηρητέο το κλιμακωτό σχήμα του πλατωνικού λόγου στη φράση «ου χαλεπώς φέρω ουδ αγανακτώ». Τέλος, όσον αφορά στη μτχ αγανακτισμένος που είναι μέσου-παθητικού τύπου, ενώ το ρ. αγανακτώ είναι ενεργ. τύπου (με παθητ. σημασία), εκτιμάται ότι η σημασιολογική συνάφεια συνωνυμία με το ρ. εξοργίζομαι προκάλεσε κατ αναλογία προς το εξοργισμένος το δημώδες αγανακτισμένος. Και το επιρικό σχόλιό μας: Οι πολιτικο-οικονομικές συνθήκες των τελευταίων ετών προκάλεσαν αγανάκτηση τουλάχιστον σε μια σημαντική μερίδα των πολιτών στη χώρα μας σε άλλες χώρες. Αγανακτισμένοι πολίτες γιά ανάλογες αιτίες καταγράφονται από την Ιστορία ήδη από την αρχαιότητα. Αυτούς τους πολίτες ανακούφισε απέδωσε την προσωπική τους αξιοπρέπεια ο μεγάλος νομοθέτης πολιτικός Σόλων με την περίφημη Σεισάχθεια, αποσείοντας το δυσβάστακτο άχθος των χρεών τους. Τον εμιμήθηκε κατόπιν ο Ιούλιος Καίσαρ ο οποίος «σεισαχθεία τινί εκούφιζε τους χρεωφειλέτας». Θέλουμε να ελπίζουμε ότι οι σημερινοί πολιτικοί ηγέτες που είναι εκτεθειμένοι σφόδρα έναντι των πολιτών της Ιστορίαςτην υστάτη αυτή ώρα θα λάβουν υπόψη την Ελληνορωμαϊκή παράδοση της φιλάνθρωπης αντιμετώπισης κάπως θα μιμηθούν τους υπέρτερους εκ των παλαιοτέρων προς όφελος των πολιτών. Ει δ άλλως, θα φέρουν μεν το δημοκρατικό μανδύα, θα κινούνται όμως στα όρια της τυραννικής απάνθρωπης πολιτικής συμπεριφοράς! * Δημοσιεύτηκε στην εφημ. ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ (Λάρισας) ( , σελ.10) σε εκπαιδευτικά ιστολόγια Esos.gr, AlfaVita.gr κλπ. 1 Pierre Chantraine, \dictionnaire Etymologique de la langue Grecque, Histoire des mots,t.i,paris 1968, p.7: «Frisk (Eranos 50,1952,8-13) suppose une formation expressive en ακτέω (comme υλακτέω ) On a aussi suppose sur le modele πλεονέκτης, πλεονεκτέω, qui sont tires de πλέον et έχω, un *αγανέκτης, *αγανάκτης, par assimilation des voyelles et αγανακτέω de άγαν et έχω 2 Πρβλ. Χαράλ.Συμεωνίδης κ.ά., Λεξικό Αρχαίας Ελληνικής Γλώσσας, (Α,Β,Γ Γυμνασίου), ΟΕΔΒ, 2007, σ.16 «[αβέβ(αιης) ετυμ(ολογίας), ίσως σύνθ.λ.*αγανέκτης «που έχει τραβήξει πολλά» (<άγαν + έχω) > *αγανάκτης ( αφομοίωση α-έ > α-ά)]». 7