1. Modelul de regresie

Transcript

1 . Modelul de regrese.. Câteva cosderete de ord geeral La fel ca ş î multe alte dome, î domeul ecoomc ş î partcular î cel al afacerlor se îtâlesc deseor stuaţ care presupu luarea uor decz, care ecestă progoze sau care pu î evdeţă evoa de a cuoaşte modul î care depd uele de altele aumte mărm mportate la vel de frmă. Iată exemplul foarte smplu al uu îtreprzător care doreşte să şte următoarele: Este potrvt să vestească petru reclama uu produs? Care formă de reclamă este cea ma potrvtă? Care este legătura ître suma vesttă î reclamă ş volumul vâzărlor petru produsul respectv? Dacă s-au vestt î reclamă x u.m., care este progoza petru volumul vâzărlor? Ceva ar putea sugera faptul că îtreprzătorul, ca aget ecoomc raţoal, u va face cheltuel decât î măsura î care va şt sgur care sut rezultatele pe care cotează. Pr urmare, se poate sua că u este evoe de u aparat matematc, statstc, ecoometrc, petru a tu că îtreprzătorul va obţe ceea ce ş-a propus î mometul î care a decs să facă reclamă produsulu. Exstă îsă u revers al medale, petru că tuţa este totuş tuţe ş s-ar putea să u fe foarte exactă. Desgur că logca lucrurlor e face să afrmăm că promovarea produsulu are ca rezultat creşterea vâzărlor, dar practca e îvaţă că se poate să u se f optat petru cea ma buă varată de promovare, că d motve greu de îţeles vâzărle u au crescut sau, î orce caz, u atât de mult pe cât s-a dort sau cât să acopere măcar cheltuelle efectuate î scopul reclame. D acest motv ar f deal dacă îtreprzătorul ar putea să cuoască d vreme o sere de detal, ca de exemplu modul î care se va realza promovarea produsulu, măsura î care vâzărle precozate sut realzable, atura relaţe care se stableşte ître cheltuelle petru reclamă ş volumul vâzărlor ş pr urmare să poată răspude la îtrebarea: Exstă posbltatea ca efortul facar făcut î scopul publctăţ să fe acopert îtr-u terval de tmp coveabl?. Cu sguraţă că astfel de lucrur u vor putea f cuoscute pur ş smplu, petru că este evoe de date, date statstce petru care prelucrarea ş aalza pr metode specfce vor putea ofer formaţle ecesare. Maera î care sut colectate datele ş arajarea lor î forma cea ma potrvtă u repreztă domeul ostru de teres. Amăute despre aceste

2 etape, despre maera î care sut duse la îdeplre, se pot găs î orce maual de statstcă. Ecoometra poate tra î sceă doar după ce au fost oferte date sufcete, medat ce a fost stabltă problema care trebue rezolvată ş î măsura î care metodele specfce aceste dscple sut utlzable. Vom face împreuă prm paş î ecoometre, pr studul ue metode care poate f utlzată î scopul determăr ue relaţ de depedeţă ître două mărm de teres pe care le vom um varable. Este vorba despre Aalza regrese. Deocamdată e vom ocupa de cazul cel ma smplu, acela care mplcă teţa de a descre o varablă, pe care o vom um varablă depedetă, sau edogeă, î fucţe de o sgură varablă x, care va purta umele de varablă depedetă, sau exogeă. Cel ma smplu tp de aalză de regrese presupue că relaţa dtre cele două varable se aprope de o relaţe lară care, îtr-o reprezetare grafcă, are foma ue drepte. Cazul care mplcă o astfel de relaţe de depedeţă este cuoscut î lteratura de specaltate sub umele de Aalza regrese lare smple. Dacă varablele depedete sut două, sau ma multe, e stuăm î cazul regrese multple. Rezumâd, e vom ocupa de determarea relaţe dtre: : varablă depedetă, sau edogeă x: varablă depedetă, sau exogeă Vom cosdera că relaţa este sufcet de apropată de ua lară ş d cauza aceste aproxmăr este atural să e puem problema dacă lartatea este o supozţe corectă. Pr studul corelaţe dtre x ş se determă gradul î care varablele sut, îtr-adevăr, î relaţe lară ş u de altă atură. Aalza de corelaţe, de care u e vom ocupa î această lucrare, este o procedură de stablre a măsur î care relaţa dtre x ş este lară ş, dacă acest lucru se cofrmă, tot aalza de corelaţe e ajută să determăm testatea relaţe. Îate de a trece efectv la studul modelulu de regrese ma trebue preczat faptul că c aalza regrese ş c cea a corelaţe u pu î evdeţă o relaţe de tpul cauză efect ître varablele mplcate î model, c arată doar î ce măsură sut ele î legătură ua cu alta. Dacă aalza este justă, dacă se dovedeşte că exstă argumete solde î acest ses, atuc cauzaltatea este u aspect care poate f dscutat ulteror. Î îcheerea aceste prme secţu e vom îtoarce petru o clpă la exemplul îtreprzătorulu dortor să şte dacă reclama făcută produsulu are efectul scotat ş vom observa că varabla depedetă este volumul vâzărlor, ar varabla depedetă x este Se poate vedea de exemplu Corela Nstor, Elemete de statstcă, Ed. Cartea Uverstară, Bucureşt, 5.

3 reprezetată de suma cheltută petru publctate. Pe vtor, dacă u se fac specfcaţ cu prvre la alegerea varablelor, va trebu să aveţ abltatea să stablţ sgur ce este exogea ş ce este edogea, petru a putea costru u model vabl... Model determst ş model probablst Este eseţal ca îcă de la îceput să clarfcăm dstcţa ître aceste două cocepte. Atuc câd e referm la u model determst, trebue să ştm medat că a cuoaşte valoarea varable depedete x atrage după se cuoaşterea exactă a varable depedete, aşa cum se poate vedea d exemplul următor. Exemplul... Preţul uu klogram de cartof este de 3 RON. Dacă u clet cumpără x klograme, atuc el va plăt o sumă pe care o otăm cu ş care se calculează, evdet, după regula: 3x. Acest model de calcul arată cum cuoaşterea faptulu că se achzţoează x 4 kg. cartof atrage după se cuoaşterea sume exacte care trebue plăttă, adcă 3 4 RON. Î cocluze, u exstă dub cu prvre la valoarea a sume plătte, odată ce se cuoaşte cattatea x achzţoată. Vom pue î evdeţă, pr termedul exemplulu următor, o stuaţe care relevă o compoetă certă. Exemplul... O frmă de telefoe moblă are dealer pe tot cuprsul ţăr. Uele dtre magazele pr termedul cărora se asgură cotactul cu cleţ sut stuate î vecătatea uor supermarketur d cta uor cetre comercale,, ar altele sut de se stătătoare. Drectorul frme doreşte îfţarea uor alte pucte de vâzare ş tueşte, pe baza rezultatelor ateroare, că profturle cele ma mar s-au îregstrat de la ace dealer stuaţ î aproperea supermarketurlor d cetrele comercale ş că exstă o legătură ître velul vâzărlor ş umărul cleţlor care vztează zlc supermarketul vec. Îate să decdă locaţa î care va îfţa ole magaze, drectorul doreşte să evalueze relaţa dtre umărul zlc al cleţlor d supermarketur (x) ş vâzărle auale ale dealerlor îvecaţ (). Datele pe care le vom utlza î studul ostru sut îregstrate î Tabelul... s prov dtr-u eşato format d zece dealer stuaţ î cetre comercale. Dealer Nr. Cleţ (x) Vâzăr auale 3

4 (sute) () (sute RON) 9, Tabelul... Date cu prvre la umărul zlc de cleţ a supermarketurlor ş vâzărle auale ale dealerlor frme de telefoe moblă stuaţ î vecătate O scurtă prvre asupra datelor d Tabelul... e va covge că poteza ue relaţ determste ître umărul zlc al vztatorlor supermarketurlor ş vâzărle auale ale dealerlor u poate f luată î calcul. Dealer 3 ş 4 sut stuaţ î vecătatea uor supermarketur cu acelaş umăr zlc de vztator, 7, dar vâzărle auale sut dferte. Observăm că: x 7 68 (Dealer 3) x 7 9 (Dealer 4) Aceeaş observaţe este valablă ş petru dealer 7 ş 8, petru care: x 4 5 (Dealer 7) x 4 (Dealer 8) Îtr-o astfel de stuaţe u ma putem pue problema determăr exacte a lu pe baza cuoaşter valor lu x, motv petru care spuem că modelul care arată relaţa dtre x ş este de atură edetermstă ş pr urmare probablstcă.. 3. Prezetarea modelulu de regrese Petru o ma buă mage asupra datelor d Tabelul... vom proceda la reprezetarea lor grafcă îtr-u sstem de coordoate bdmesoal, î care umărul cleţlor este îscrs pe orzotală ca varablă depedetă ş volumul vâzărlor pe vertcală, ca varablă depedetă. Rezultatul aceste reprezetăr, d Fgura.3.., este 4

5 cuoscut sub umele de dagramă scatter ş e oferă o vzue de asamblu care este de ajutor î turea relaţe dtre cele două varable. Fgura.3.. Dagrama scatter petru datele d Tabelul... D Fgura.3.. putem desprde câteva cocluz prelmare. Î prmul râd apare deea că u umăr mc de cleţ a supermarketulu este asocat cu u volum mc de vâzăr auale, ar u umăr mare de cleţ este, dmpotrvă, corespuzător uu volum aual mare al vâzărlor. De asemeea, se observă o tedţă de depedeţă lară (î formă de dreaptă) ître cele două varable ş î Fgura.3.. am trasat la dreaptă care pare să aproxmeze această depedeţă. Totuş, este mportat să ţem cot de faptul că relaţa lară care s-a coturat u este ua perfectă, petru că u toate puctele de pe dagrama scatter aparţ drepte pe care am deseat-o. Am văzut deja, î Tabelul..., că ue aceeaş valor a lu x u se garatează aceeaş valoare a lu ş d acest motv va trebu să acceptăm că depedeţa dtre x ş u are o atură determstă, c ua probablstă. Pe baza faptulu că relaţa care se coturează ître umărul cleţlor d supermarmarketur vece ş volumul aual al vâzărlor obţute de dealer frme de telefoe moblă este ua lară, aproxmată de la dreaptă d Fgura.3.., afrmăm acum că următorul model probablst este o reprezetare apropată de realtate a relaţe dtre cele două varable: x (.3..) Reamtdu-e acum semfcaţa coefceţlor care apar îtr-o fucţe lară, vom şt că: repreztă tersecţa drepte de ecuaţe de coordoate; repreztă pata drepte de ecuaţe x cu axa vertcală a sstemulu x. Avâd î vedere că î Fgura.3.. doar u umăr mc de pucte ale dagrame scatter aparţ efectv drepte, apare ca frească evoa de a lua î calcul îcă u terme, pe care î relaţa (.3..) l-am otat cu aproxmăm relaţa dtre varable cu relaţa lară ş care repreztă eroarea pe care o facem atuc câd x. Dec, repreztă deverea valor efectve (sau observate î practcă ş comucate, î exemplul ostru, pr Talelul 5

6 ...) a lu faţă de acea valoare a lu pe care o obţem pr îlocurea lu x î x. Petru că exstă ma multe valor ale lu x, î cazul exemplulu ostru zece, este atural să luăm î calcul eroarea posblă petru fecare stuaţe î parte. Practc, e aşteptăm ca petru fecare valoare a lu x să obţem o eroare, ma mare sau ma mcă (sau poate ulă) otată x. Folosrea relaţe (.3..) ca model petru legătura dtre ş x e dă posbltatea să afrmăm că x ş sut î aceeaş relaţe ca aceea descrsă de x, dar această relaţe este doar aproxmatvă dacă u ţem cot de termeul eroare. Modelul (.3..), despre care credem că reflectă relaţa dtre varabla depedetă x ş varabla depedetă este umt modelul de regrese. Î cotuare, e vom refer la coefceţ ş ca la parametr modelulu..4. Erorle modelulu de regrese Expereţa ddactcă m-a dovedt că î foarte multe cazur persoaele care au cotact cu modelul de regrese îtâmpă dfcultăţ î a îţelege codţle oarecum abstracte care se mpu asupra erorlor. De ce sut ele cosderate varable aleatoare? De ude prov ş ce aume trebue luat î calcul atuc câd e referm la eror? Logca lucrurlor e spue că volumul vâzărlor frme de telefoe moblă u este flueţat doar de umărul de cleţ d supermarket. Exstă, tum, ş alţ factor care îş pot pue ampreta, dar pe care u î cosderăm atât de mportaţ petru a f troduş î model. De exemplu, exstă cleţ care vztează cetrul comercal fără teţa de a pătrude î supermarket ş care mafestă totuş teres faţă de oferta frme. Char dacă aceşta u flueţează decsv volumul vâzărlor, e trebue luaţ î seamă petru că î asamblu pot produce perturbăr asupra rezultatelor aşteptate. De asemeea, se îtâlesc ş o sere de elemete de atură caltatvă, greu sau mposbl de cuatfcat, care pot flueţa cleţ supermarketurlor astfel îcât să î determe să u fe codată adept frme de telefoe moblă sau î orce caz u a dealerulu d vecătate: gusturle, îclaţa către u aumt dealer, percepţa asupra persoalulu d magaz, fdeltatea faţă de o altă frmă sut la râdul lor elemete care fac ca o smplă relaţe matematcă să fe sufcetă petru descrerea uor rezultate exacte. Ş, u î ultmul râd, pot să apară eror î îregstrarea datelor statstce cu ajutorul cărora se costrueşte modelul. Pot f eror î comucarea valorlor observate ale varable observate, caz î care modelul de regrese se va bucura o 6

7 dată î plus de prezeţa lu, sau eror î îregstrarea varable depedete x. Petru lştea oastră, u vom lua î calcul deocamdată această ultmă de posbltate deosebt de eplăcută d puct de vedere al cosecţelor. Î cocluze, varabla eroare este ecesară ş, d păcate, ea u poate f observată efectv c doar luată î calcul ca fd prezetă ş dotată cu aumte propretăţ puse î evdeţă de specalşt î scopul îcercăr de a coveţu cu ea. Codţle mpuse asupra varable eroare sut prezetate î cele ce urmează, împreuă cu mplcaţle lor. Codţa : Eroarea este o varablă aleatoare ormal dstrbută, luâd valor poztve sau egatve care reflectă deverea dtre valoarea observată a lu ş valoarea rezultată pr îlocurea lu x î x. Implcaţ: Deoarece ş sut costate, deducem că petru o valoare dată a lu x mărmea deftă î (.3..), dstrbută. x, este de asemeea o varablă aleatoare ormal Codţa : Meda varable aleatoare eroare este zero, adcă M. Implcaţ: Să e remtm că valoarea mede a ue costate este costata îsăş ş faptul că: M X Y MX MY. Deducem astfel valoarea mede a varable depedete Y, d calculul următor: M x M M x M M Petru că x, ş sut costate ş meda varable aleatoare eroare este zero, obţem: M x (.4..). Codţa 3: Dspersa varable aleatoare, pe care o vom ota petru toate valorle lu x., este aceeaş Implcaţ: Pord de la propretăţle dsperse, vom demostra că ş varabla aleatoare depedetă are aceeaş dsperse petru toate valorle lu x. D D x D D x D Petru că dspersa ue costate este zero ş x: D D (.4..) obţem, dferet de valoarea lu Petru o tratare detalată, se poate vedea Dor Jula, Itroducere î ecoometre, Ed. PROFESSIONAL CONSULTING, Bucureşt, 3 7

8 Vom reţe această mplcaţe petru că va f de atură să explce foarte multe d afrmaţle de ma târzu. Va trebu să reţem, de asemeea, relaţa (.4..) ca fd deosebt de mportată ş o vom um ecuaţa de regrese. Aflăm de ac modul î care se poate calcula meda varable depedete, despre care am aflat că este o varablă aleatoare ormală, petru valor fxate ale lu x. Deocamdată lucrurle sut destul de abstracte ş de aceea e vom îtoarce petru o clpă la exemplul frme de telefoe moblă. Să e referm la supermerketul î care exstă zlc o me de cleţ (este cazul dealerulu r. 5). Dec, x. Semfcaţa relaţe (.4..) petru x este aceea a valor med a vâzărlor auale îegstrate de către toţ dealer stuaţ î vecătatea suprmerketurlor cu o me de cleţ pe z. Î cazul partcular x, eroarea specfcă depde de dfereţa dtre valoarea observată relatv la acest x (î exemplul ostru a fost observat u vel al văzărlor egal cu sute RON) ş valoarea mede rezultată d ecuaţa de regrese, M. Pe măsură ce vom avasa î prezetarea modelulu de regrese, toate aceste elemete care deocamdată au o cootaţe destul de teoretcă vor căpăta ses. Î falul aceste secţu mă smt datoare să fac câteva cometar. Petru acea dtre cttor care îş amtesc faptul că fucţa de gradul I a fost predată de profesorul de matematcă îcă de pr clasa a şaptea, modelul de regrese lară cu o sgură varablă depedetă poate f cosderat puerl ş oarecum departe de realtatea îcojurătoare. Complextatea d vaţa ecoomcă sugerează feomee care u au c u motv să se comporte atât de smplst îcât să e permtă să le modelăm prtr-o fucţe de gradul îtâ. Ajus î prag de bacalaureat, orce elev cuoaşte deja o sumedee de fucţ cu o sgură varablă ş atuc se aşte, fresc, îtrebarea: ce forţă ma are regresa lară smplă, dacă se dovedeşte că depedeţa lu de x are, de exemplu, forma x? Aceeaş forţă, este răspusul la îtrebare. Petru că u vă opreşte mc să faceţ o otaţe, z x, cu ajutorul cărea depedeţa capătă o atură lară: z. Ma departe, veţ proceda la fel ca ş î modelul dscutat pâă acum, avâd z pe pozţa lu x ş îcercâd să u utaţ ce se află î spatele otaţe pe care aţ făcut-o. Dar trebue spus ş faptul că modelul de regrese lară u este atotputerc, lucru despre care u vom dscuta pe larg deocamdată. Exercţ propuse: 8

9 Exercţul. Se dau următoarele modele de relaţ ître varabla depedetă ş varabla depedetă x: Modelul : 3 x Modelul : 3 x Am otat cu termeul eroare. a) Calculaţ petru fecare model î parte valoarea lu petru x 9 ş. b) Calculaţ petru fecare model î parte valoarea lu petru x 9 ş. c) Care dtre cele două modele este determst ş care este probablst? Explcaţ. Exercţul. Utlzaţ ecuaţa regrese d (.4..). a) Screţ ecuaţa regrese petru ş 4. b) Reprezetaţ grafc ecuaţa aceste drepte, îtr-u sstem de coordoate care are varabla x pe axa orzotală ş varabla M pe axa vertcală. c) Screţ ecuaţa regrese petru ş. Reprezetaţ grafc, îtr-u sstem de coordoate smlar celu de la puctul ateror. Exercţul 3. Următoarele date arată meda de admtere ş meda de absolvre petru opt studeţ a Facultăţ de Admstraţe ş Afacer. Meda de admtere (x) Meda de absolvre () 8,4 7,4 8,75 8,9 8,6 7, 8,9 9,5 9,5 9,8 9,3 9, 9,7 9,6 9,65 a) Costruţ dagrama scatter petru aceste date, îscrd meda de admtere pe axa orzotală ş meda de absolvre pe axa vertcală. b) Pe baza dagrame scatter, observaţ vreo tedţă care să sugereze u aumt tp de relaţe ître cele două varable? c) Costruţ dreapta care cosderaţ că aproxmează cel ma be tedţa relevată de dagrama scatter. Exercţul 4 3. Supermarketurle BRISTO exstă pe tot cuprsul ţăr. A fost selectat u eşato format cu cc dtre ele petru a se vedea atura legătur care se stableşte ître cheltuelle efectuate î scopul reclame ş volumul vâzărlor, î decurs de o luă: Cheltuel petru reclamă (m RON) (x) Volum vâzăr (m RON) () Aderso R. D., Sweee J. D., Wllams A. T., Statstcs for Busess ad Ecoomcs, Secod Edto, West Publshg Compa, 984, p. 4 9

10 a) Costruţ dagrama scatter petru aceste date, îregstrâd pe axa orzotală cheltuelle peru reclamă. b) Reprezetaţ grafc dreapta M 4,5x pe dagrama scatter. Cosderaţ că aceasta oferă o buă aproxmare a relaţe care se stableşte ître cheltuelle petru recamă ş volumul vâzărlor? 6x c) Reprezetaţ grafc fucţa M, calculâd valorle e petru fecare x d x tabelul de date. Cosderaţ că această curbă care rezultă d reprezetare este o buă aproxmare a relaţe dtre x ş z? d) Faţă de dreapta de la puctul b, cosderaţ că fucţa de la puctul c oferă o ma buă potrvre pe dagrama scatter? e) Calculaţ erorle care rezultă d aproxmarea vâzărlor pr termedul fucţlor de la puctele b ş c, faţă de valorle efectve ale lu pe care le cuoaşteţ d tabelul de date. Exercţul 5. Datele următoare prov de la cc asocaţ de locatar ş arată suma pe care o plătesc propretar a cc apartamete de suprafeţe dferte care beefcază de cetrală termcă propre, petru factura de gaze î decursul ue lu caledarstce. Suprafaţa locumţe (mp) (x) Costul îcălzr (sute RON) () 6,5 65,3 58 7,3 76,6 a) Costruţ dagrama scatter, avâd suprafaţa pe axa orzotală. b) Îcercaţ să aproxmaţ relaţa dtre suprafaţa apartametelor ş costul factur, puâd î evdeţă la dreaptă corespuzătoare pe dagrama scatter. c) Cosderaţ că aproxmarea lară este potrvtă? Exercţul 6. Cosderaţ că relaţle pe care le-aţ observat î exercţle ateroare sut relaţ de tp cauză efect, sau relaţ de asocere? Explcaţ, petru fecare stuaţe î parte. Îtrebăr recaptulatve:. Ce este aalza de regrese?. Ce repreztă modelul de regrese ş care este forma sa, î cazul regrese lare smple? 3. Ce repreztă ecuaţa de regrese, care este forma sa ş cum se obţe pord de la modelul de regrese? 4. Care este scopul aalze de corelaţe? Pr ce aume se deosebeşte de aalza de regrese?

11 5. Defţ oţule: varablă edogeă, varablă exogeă, relaţe drectă, lară ş curble. 6. La ce se referă relaţa de cauzaltate ş care este legătura dtre acest cocept ş relaţa de asocere? Prezetaţ puctele comue ş dfereţele. 7. Care sut motvele petru care se costrueşte dagrama scatter? 8. Cum credeţ este reprezetată o dagramă scatter care u dcă c u fel de relaţe ître varablele x ş? 9. Care sut motvele petru care modelul de regrese clude varabla eroare?. Care sut codţle care se mpu asupra erorlor ş care sut mplcaţle acestor codţ?. Metoda celor ma mc pătrate. Estmarea parametrlor β ş β... Cosderete geerale despre eror Vom reamt faptul că î captolul ateror am fxat petru modelul de regrese varablele x ş care î exemplul frme de telefoe moblă au următoarea semfcaţe: x umărul zlc al cleţlor d supermarket vâzărle auale ale dealerulu pozţoat î cetrul comercal care clude supermarketul Am stablt că modelul de regrese are forma: x. Codţle pe care le-am mpus asupra varable aleatoare eroare e-au ajutat să descrem ecuaţa de regrese, petru care am găst forma: M x. Deocamdată ş sut costate cu valor ecuoscute, umte parametr modelulu de regrese ş pe care am dor să le determăm pe baza datelor furzate de tabelul... Dacă am reuş să calculăm ş, atuc dreapta de regrese ar f complet determată ş am putea afla foarte multe lucrur despre relaţa dtre varablele de teres. Am căzut deja de acord asupra faptulu că x este o fucţe care dcă o relaţe lară ître varabla depedetă ş varabla depedetă x. Să prvm acum la Fgura... d secţuea.. ş să otăm că teţa a fost să reprezetăm dreapta care să se aprope î cea ma mare măsură de puctele dagrame scatter. De obce se optează petru acea dreaptă care, char dacă u trece pr toate puctele dagrame, lasă deasupra ş dedesupt aproxmatv acelaş umăr de pucte. Î cazul ostru desupra drepte au rămas tre pucte ş sub ea au rămas două, ceea ce este o varată rezoablă. Cu toate acestea, este lmpede că exstă foarte multe posbltăţ de costrucţe a ue drepte care să îdeplească mpuerea

12 meţoată ateror, char dacă uele dtre aceste reprezetăr ar f foarte apropate ua de alta. De asemeea, este lese de îţeles faptul că orce dreaptă aţ alege, ea u va trece pr absolut toate puctele dagrame decât cel mult îtr-u caz destul de rar, acela î care toate varablele observate coduc la reprezetarea uor pucte colare. D puct de vedere practc o atare posbltate este atât de puţ probabl să apară, îcât trebue să fm coşteţ că î cea ma mare parte a cazurlor erorle sut de eevtat. Î Fgura... am reprezetat o dagramă scatter oarecare ş am pus î evdeţă erorle petru două aleger dferte ale drepte pe care e-am dor-o a f de regrese. Fgura... Două posble drepte de regrese petru aceeaş dagramă scatter pu î evdeţă eror dferte Iată, dec, cum o dagramă scatter cu pucte puţe a perms deja alegerea a două drepte de regrese care să o aproxmeze. Este de aşteptat ca problemele practce, bazate pe mult ma multe date, să ofere multe alte varate ş să rdce îtrebarea: Care alegere este cea ma buă? Ş, Care este crterul care e spue că alegerea este corespuzătoare?.. Semfcaţa parametrlor drepte de regrese: o aalză exemplfcată. Aşa cum spueam ma devreme, o dreaptă este complet determată atuc câd am reuşt să determăm valorle lu ş. Î captolul precedet am stablt ş semfcaţa geerală a acestora. E tmpul să dscutăm semfcaţa practcă ş petru asta e vom refer d ou la exemplul frme de telefoe moblă. Am spus că repreztă tersecţa drepte de ecuaţe x cu axa vertcală, această valoare obţâdu-se petru x. D puct de vedere al exemplulu, asta îseamă că u exstă c u clet î supermarket. Valoarea îseamă, pr urmare, că acesta este velul vâzărlor autoome, rezultate de la cleţ care v î cetrul comercal î alte scopur decât vztarea supermarketulu. Despre am spus că este pata, sau îclaţa drepte. Petru o fucţe lară această pată este aceeaş peste tot ş are următoarea semfcaţe: dacă valoarea lu x creşte cu o utate, atuc valoarea lu se modfcă î ses de creştere sau descreştere cu utăţ, î fucţe de semul (poztv sau egatv) al lu. D modul î care au fost stablte utăţle î Tabelul..., putem spue că o creştere cu de cleţ zlc a umărulu cleţlor d

13 supermarket geerează o creştere cu sute RON a vâzărlor auale ale dealerulu (dacă se va doved a f poztv) sau o scădere cu sute RON a acestor vâzăr (dacă se dovedeste a f egatv, ceea este foarte put probabl dacă tem cot de evdeţa practcă). Dagrama scatter d Fgura... arată î mod clar că este poztv, petru că reprezetarea puctelor dcă faptul că pe măsură ce x creşte, creşte de asemeea î majortatea cazurlor..3. Eroarea totală. Metoda celor ma mc pătrate. Ne-am covs de faptul că trebue să determăm ş, am explcat semfcaţa acestor parametr ş u e rămâe decât să dscutăm despre crterul după care putem alege cea ma buă dreaptă de regrese. Fgura... ar putea f chea aceste probleme: am reprezetat, petru aceeaş dagramă scatter, două drepte posble ş am pus î evdeţă erorle care apar. Deve atural, î acest momet, să căutăm determarea acele varate care geerează o cea ma mcă eroare totală, u- aşa? Nu putem spera îtr-o eroare ulă, dar putem căuta acea dreaptă care să corespudă uu mm de eroare. Acesta va f crterul are e va ghda ma departe ş care, d păcate, crează o sere de probleme suplmetare. Petru a îţelege procedeul care va urma, va trebu să faceţ permaet dfereţa ître două aspecte: ce este ş ce rezultă a f, sau altfel spus ce este ş ce se estmează că ar f. Ce este se referă la datele pe care le avem ş pe care le puteţ vedea reprezetate pe dagrama scatter. Ce se estmează a f se referă la ce aproxmăm, sau estmăm pr calcul că repreztă cea ma buă varată a drepte de regrese. Or de câte or apare deea de estmare, ea va f pusă î evdeţă pr adăugarea smbolulu pălăre deasupra valorlor estmate: ŷ, ˆ, ˆ de exemplu. Î cocluze, î modelul ostru este o dreaptă de regrese x M. Deş î eseţă ea este, o u o cuoaştem petru că î geeral u cuoaştem toate formaţle ş u e rămâe decât să o estmăm pe baza datelor pe care le avem. De exemplu frma de telefoe moblă e pue la dspozţe u eşato format cu zece dealer, deş se poate ca ea să abă vreo două sute. Nu avem toate datele, dec îcercăm să e descurcăm cu ce avem. Ca estmare, dreapta de regrese are forma: ˆ ˆ x (.3..) ŷ Observaţ că x u are pălăruţă, petru că valorle lu sut cuoscute ş pe baza lor vom efectua calculele. De asemeea, observaţ că ecuaţa estmată a regrese este smlară 3

14 adevărate ecuaţ de regrese, doar că cu ˆ. M a fost îlocut cu estmatorul său ŷ, cu ˆ, ş Î exemplul frme de telefoe moblă, Tabelul... e furzează datele de la zece dealer, pe baza cărora vom costru calculele. Î geeral, valorle lu x se otează cu x,x,..., x ş valorle corespuzătoare ale lu cu,,...,, ude este dmesuea eşatoulu (adcă umărul de date pe care le avem) petru fecare dtre varablele x ş ). Petru exemplul ostru, x 4, 5 etc. Î mod ormal dacă dreapta de regrese ar trece pr toate puctele dagrame scatter, atuc ar trebu ca x petru toate valorle lu. Lucrul acesta u se îtâmplă ş ca atare pord de la valorle putem obţe doar estmăr ale lu, cu evetuale eror pe care le-am pus î evdeţă î Fgura... Valoarea estmată a varable depedete va urma, dec, forma (.3..) ş va f: ŷ ˆ ˆ x (.3..) Ude apar erorle? Evdet, î dfereţa dtre valorle efectv observate regăsm î tabelul de date ş valorle pe care le-am estmat î (.3..), adcă dec, că eroarea care se face petru pozţa este: Eroare ŷ (.3.3.) x pe care le ŷ. Reţem, Aceste eror le puteţ vedea î Fgura..., puse î evdeţă petru două drepte care ar putea aproxma puctele de pe dagrama scatter. Tot d această reprezetare grafcă se poate observa ş u alt aspect, care va f eseţal ma departe: uele pucte ale dagrame sut stuate deasupra dreptelor, ar altele sut stuate dedesupt. Asta îseamă că erorle care vor rezulta d calcul vor putea avea seme dferte, ueor plus, alteor mus. Atuc câd se pue problema să evaluăm eroarea totală îsumarea uor valor poztve ş a uora egatve poate coduce la aulare, astfel îcât deş î realtate erorle pot f cosderable suma lor ar putea f totuş ulă. Or, eroare zero este u rezultat care ar putea determa pe orce să doarmă lştt cu toate că î fapt lucrurle se poate să stea prost de tot. Petru a evta o astfel de stuaţe extrem de eplăcută, statstce au căutat soluţ care să ofere o varată de calcul a eror totale care să u se ma cofrute cu astfel de probleme. S-a optat petru luarea î dscuţe a erorlor d (.3.3.) rdcate la pătrat, ceea ce elmă deftv posbltatea vreue valor egatve. Ceva ar putea argumeta că trecerea valorlor î valoare absolută, adcă î modul, elmă î egală măsură valorle egatve ş î plus u e pue î stuaţa să lucrăm cu valorle mar, sau comode d puct de vedere al umărulu de zecmale, pe care 4

15 le poate atrage după se rdcarea la pătrat. De exemplu, dacă o eroare este, 5 valoarea e absolută este, 5, pe câd pătratul e este, 5 ş ma devreme sau ma târzu tot vom suspecta vreo greşeală de calcul. Argumetul adus î sprjul fucţe modul este corect, dar trebue să vă amtţ ş faptul că această fucţe are o sere de obceur proaste care se mafestă cu precădere atuc câd urmează a f dervată. Or, teresul ostru este să utlzăm petru mmzarea eror totale tocma acele strumete pe care le pue la dspozţe calculul dfereţal ş cu care fucţa pătrat este î cele ma bue relaţ. Metoda utlzată î estmarea parametrlor ecuaţe de regrese este cuoscută sub umele de Metoda celor ma mc pătrate ş presupue determarea lu ˆ ş ˆ astfel îcât să fe mmzată expresa: ŷ SPE (.3.4.) O prvre smultaă asupra relaţlor (.3.3.) ş (.3.4.) e spue că ultma dtre ele repreztă suma pătratelor erorlor (SPE) care apar atuc câd utlzăm petru dreapta de regrese estmarea (.3..). Nu vom prezeta ac îtreaga demostraţe a metode, dar vom reţe că valorle lu ˆ ş ˆ se calculează coform regullor următoare: Semfcaţle petru x x ˆ sau ˆ x x x x x ş x x (.3.5.) ˆ ˆ x (.3.6.) au fost deja dscutate. Avem de preczat că x repreztă valoarea mede petru varabla depedetă, ar este valoarea mede petru varabla depedetă, mărm calculate d: x x ; (.3.7.) Ca de obce, repreztă umărul de observaţ adcă umărul datelor d tabel. Se observă că î (.3.5.) exstă două formule de calcul petru ˆ. Ele coduc, evdet, la acelaş rezultat dar de obce se cosderă că forma a doua este ma smplu de aplcat. Vom folos aceste rezultate petru exemplul frme de telefoe moblă ş vom calcula toate valorle ecesare pe baza datelor d Tabelul...: 5

16 x x 54,36 x x 3 x x 495,36 Aplcăm a doua formă (.3.5.) ş obţem pr îlocure: ˆ 495,36 54,36 3,43 Petru aplcarea formule (.3.6.) ş calculul lu ˆ, avem evoe de x ş pe care le obţem d (.3.7.): 54,36 x ş 5, 436. Calculăm acum ˆ d (.3.6.): ˆ 5,436,43,36 Pr urmare, am obţut ecuaţa estmată a regrese: ŷ,36,43 x. Este cazul să cometăm rezultatul. Pata ecuaţe estmate a regrese este,43 ş a o valoare poztvă, ceea ce îseamă că dacă umărul cleţlor supermarketulu este ma mare, de asemeea ş vâzărle auale ale dealerulu stuat î complexul comercal respectv sut ma mar. Putem spue ceva ma cocret char, avâd î vedere semfcaţa pate ue drepte despre care am dscutat puţ ma devreme. Î Tabelul... umărul cleţlor este exprmat î sute, ar volumul vâzărlor î sute RON. Dec, o creştere cu a umărulu cleţlor d supermarket îseamă că e aşteptăm la vâzăr auale med ma mar cu,43 sute RON. Asta îseamă că vâzărle auale med de care este resposabl fecare clet d supermarket sut de,43 RON. De asemeea, dacă prvm valoarea ˆ, 36 vom afla că dacă supermarketul u este vztat de cleţ x exstă totuş şase ca dealerul să vîdă câte ceva către acele persoae care v la magaz exact î acest scop sau care se meresc pr zoă ş tră ş ele 6

17 ca să puă vreo îtrebare. Î stuaţa exsteţe cleţlor î supermarket, vâzărle med auale ale dealerulu ar f de,36 sute RON, sau altfel spus 3,6 RON. Dacă ecuaţa estmată a regrese se va doved credblă (ar lucrul acesta îl vom lămur î secţuea următoare), atuc vom putea utlza această descrere a relaţe dtre x ş petru a realza predcţ ale lu î codţle î care e sut date valor ale lu x. De exemplu, drectorul frme ar dor să şte care sut vâzărle med auale la care se poate aştepta de la u dealer stuat lâgă u supermarket vztat zlc de 7 de cleţ, adcă petru x 7. Obţem o mede auală a vâzărlor egală cu: ŷ,36,437 95,446 sute RON, adcă 9544,6 RON. Secţuea următoare va prezeta metode pr termedul cărora putem stabl dacă estmarea s-a făcut cu acurateţe ş dacă rezultatele obţute pot f utlzate î progoză..4. Verfcarea ecuaţe estmate Acum, că e-am famlarzat cu calculul ecuaţe estmate a regrese, vom trece la pasul următor ş vom îvăţa cum putem să verfcăm corecttudea rezultatulu. Problema u este utlă, dacă vă utaţ la formulele care au fost aplcate: cu cât dspueţ de ma multe date, sau valor observate, cu atât este ma putercă ameţarea să se strecoare o eroare de calcul. Pr urmare, se coturează ca ecesară o metodă pr care să stablţ dacă ecuaţa pe care aţ obţut-o este corectă. Exstă, e spu specalşt, două metode pe care le puteţ aplca î acest scop. Prma este uşor de tut ş presupue reprezetarea grafcă a drepte estmate a regrese pe dagrama scatter: veţ urmăr dacă la obţută descre cât ma be cu putţă comportametul puctelor de care dspueţ ca urmare a observaţlor. Această metodă este la îdemâa orcu ş u ecestă decât ateţe la reprezetarea grafcă, dar u coduce la rezultate foarte exacte petru că este o evaluare bazată ma mult pe observaţ ş u oferă argumete be susţute teoretc. Vă propu ca exercţu să reprezetaţ grafc dreapta estmată a regrese obţută petru exemplul frme de telefoe moblă, pe dagrama scatter d Fgura.3.. Cea de-a doua metodă pe care au pus-o î evdeţă specalşt presupue, e drept, ma multe calcule, dar permte obţerea de cocluz argumetate. Metoda dervă drect d propretăţle pe care trebue să le îdeplească dreapta determată pr metoda celor ma mc pătrate ş presupue verfcarea faptulu că suma erorlor dvduale poztve ş egatve 7

18 rezultate d d aproxmarea valorlor cu cele de pe dreapta de regrese ŷ trebue să fe egală cu zero. Vom exemplfca această metodă petru datele de care dspue frma de telefoe moblă. Calculăm pr urmare valorle ŷ petru toate cele zece valor ale lu x, pe baza ecuaţe estmate a regrese ŷ,36,43 x. x ŷ ŷ 9,36,566 6, ,856 3, ,46-3, ,46 8,854 5,436-5, ,96-3, ,56 -,56 4 6,56 38, ,586 -, ,6 5,984 Total eror dvduale: Tabelul.4.. Calculul erorlor dvduale petru datele deţute de frma de telefoe moblă D coloaa a patra a Tabelulu.4.. se observă că suma tuturor erorlor dvduale este zero, pr urmare acum puteţ f sgur că u s-a strecurat c o eroare de calcul atuc câd am făcut demersurle ecesare obţer ecuaţe estmate a regrese. Dacă, aşa cum v-am sugerat, aţ reprezetat grafc dreapta estmată a regrese pe dagrama scatter, puteţ să vă covgeţ că la pe care aţ trasat-o aproxmează foarte be tedţa puctelor care au fost reprezetate pe baza datelor d Tabelul Eroarea stadard a estmăr Pasul următor care trebue parcurs î procesul aalze de regrese se referă la modul î care putem măsura îcrederea cu prvre la ecuaţa estmată pe care am costrut-o ateror. Este dreapta de regrese relevată î raport cu datele observate? Orce poate tu că dreapta va f cu atât ma relevată petru studu cu cât puctele dagrame scatter sut ma apropate de ea, lucru care de data aceasta u ma are legătură cu corecttudea calcululu. Ac este 8

19 vorba despre faptul că ecuaţa estmată a regrese este corect determată (aţ verfcat deja că suma erorlor dvduale este ulă), dar s-ar putea ca dcolo de toate eforturle oastre puctele rămase î afara drepte să fe atât de multe ş, ma ales, atât de dstaţate de aceasta îcât utlzarea estmărlor să fe aproape utlă. Reprezetăm î cotuare două stuaţ care mplcă aceeaş dreaptă de regrese petru două dagrame scatter dferte. Este lmpede că Fgura.5..a. se referă la u caz care spră ma multă îcredere decât Fgura.5..b., petru că î prma stuaţe puctele dagrame scatter sut ma aduate ş dcă o ma mcă împrăştere faţî de dreapta de regrese. Fgura.5.. a ş b. Două dagrame scatter care arată împrăşter dferte faţă de dreapta de regrese Petru măsurarea îcreder pe care o putem avea î ecuaţa estmată a regrese, statstce e-au pus la dspozţe mărmea umtă eroarea stadard a estmăr, otată s e ş avâd o atură smlară abater stadard de selecţe pe care aţ îtâlt-o la cursul de statstcă. Ambele mărm repreztă, de fapt, o măsură a dspersăr datelor faţă de o mede: abaterea stadard de selecţe măsoară dspersarea faţă de meda de selecţe, pe câd eroarea stadard a estmăr măsoară dspersarea faţă de puctele drepte de regrese care, reamtţ.vă, au ordoata ŷ pe care am asmlat-o estmatorulu mede calcul a lu s e este: s e SPE (.5..). M. Formula de Dacă e amtm ce este SPE, d (.3.4.), atuc eroarea stadard a estmăr se poate scre îtr-o formă desfăşurată: s e ŷ (.5..) Se poate observa acum asemăarea dtre formulele de calcul petru abaterea stadard de selecţe ş eroarea stadard a estmăr ş vom reţe că umărul gradelor de lbertate pe care le vom lua î calcul petru s e este, adcă tocma umtorul fracţe de sub radcal. Vom calcula acum s e petru exemplul frme de telefoe moblă ş petru asta utlzăm ultma coloaă d Tabelul.4.. î scopul obţer lu SPE: 9

20 SPE ŷ 53, 49 Petru că, deducem că 8 ş d (.5..) obţem eroarea stadard a estmăr ca fd. s e SPE 53, ,69 Utatea de măsură a lu s e este aceeaş cu a mărmlor, pr urmare s e 7, 69 sute RON, sau 769 RON. Specalşt e propu ş o altă metodă de calcul petru s e, pe care u dtre cttor ar putea-o cosdera ma smplu de aplcat. Dacă ˆ ˆ x este ecuaţa estmată a ŷ regrese, a doua metodă e îvaţă că s e poate f obţută d formula: s e ˆ ˆ x (.5.3.) La o prmă vedere, formula (.5.3.) este cu mult ma complcată decât (.5..) sau (.5..) ş de aceea este evoe să dscutăm puţ asupra utltăţ e. Dacă î ecuaţa estmată e regrese aţ calculat deja ˆ d a doua varată a formule (.3.5.), atuc sgurul terme care vă ma lpseşte d (.5.3.) este, care poate f calculat drect d tabelul de date. Evtaţ, astfel operaţle de scădere ŷ ş rdcărle la pătrat ale rezultatelor. Pe de altă parte, dacă aţ fost evoţ să verfcaţ corecttudea calcululu prtr-u tabel ca.4.., atuc u prea ma cotează ce formulă de calcul aplcaţ petru s e, fdcă deja aveţ la dspozţe erorle dvduale. Î orce caz, este u exercţu bu să îcercaţ determarea lu s e pr ambele formule de calcul despre care am dscutat ac. Am covgerea că tocma vă trece pr cap u protest vehemet relatv la rostul mărm s e, o mărme î plus î totalul ş aşa derajat pe care v l-a ofert pâă acum această prezetare. Să aplcăm ş să terpretăm pord de la exemplul ostru: am afrmat ceva ma devreme că pe baza ecuaţe estmate a regrese se poate face o predcţe cu prvre la velul aual al vâzărlor petru u dealer stuat î preajma uu supermarket cu 7 de cleţ zlc. Ma exact, am găst acel vel aual medu ca fd egal cu 95,446 sute RON, sau 9544,6 RON. Dacă aţ f char propretarul frme de telefoe moblă, v-ar teresa foarte tare î ce măsură vă puteţ baza pe această predcţe. Ueor, astfel de propretar u ţ

21 eapărat să ctească u curs de ecoometre ş, d păcate, c u îtreabă vreu specalst î domeu. Ce care o fac, îsă, pot afla o sumedee de lucrur teresate pe care le vom prezeta medat. Deocamdată ştm că avem, petru x 7, o predcţe ŷ 95, 446. Fecare dtre mărm se măsoară coform cu utăţle de măsură care au fost stablte î tabelul ţal al datelor. Ma şm că exstă o abatere stadard a estmăr s e 7, 69. Buul smţ e sugerează că î realtate velul medu al vâzărlor auale este cel progozat, dar î rezultatul ŷ 95,446 exstă o marjă de eroare de 7, 69. Adcă, meda auală ar f stuată ître 95,446 7,69 ş,446 7, 69 95, sau echvalet, î tervalul,756; 3, Îtr-u aume fel ş ma ales î aumte codţ, afrmaţa este adevărată. Nu trebue să utăm c o clpă că valoarea ŷ 95, 446 este doar o predcţe, dec că clude u aumt grad de aproxmare ş atuc deve aturală îtrebarea: Care sut şasele ca acest terval să fe corect? De asemeea, teora probabltăţlor e îvaţă că abaterle stadard pot ofer tervale smetrce faţă de mede doar î cazul î care dstrbuţa de probabltate a varable aleatoare despre care se dscută este la râdul e smetrcă faţă de mede ş be ar f să fe vorba char despre o dstrbuţe ormală. Pâă să vedem dacă astfel de lucrur sut valable î cazul ostru, să facem observaţa tutvă că o eroare stadard de estmare ma mare corespude ue împrăşter ma prouţate a puctelor de pe dagrama scatter faţă de dreapta de regrese, aşa cum se poate vedea î Fgura.5..b., ar o eroare stadard de estmare ma mcă evdeţază o împrăştere ma slabă, ca de exemplu î Fgura.5..a. De asemeea, puteţ deduce medat că dacă s e îseamă că aţ găst o dreaptă de regrese pe care sut dspuse toate puctele dagrame scatter, dec potrvrea este perfectă ş î acest caz predcţa se face cu exacttate. Ca să e putem refer la tervalul 77,756; 3,36 pe care l-am obţut ma devreme ca la o formaţe cu cossteţă ştţfcă, va trebu să mpuem două codţ a căror îdeplre e va permte obţerea de rezultate corecte ş de îcredere petru drectorul frme. Codţle vor f pe depl derajate petru acea dtre cttor care îş doresc doar utlzarea practcă a uor formule de calcul, dar sut absolut ecesare. Ctror famlarzaţ cu elemete de teora probabltăţlor ş statstcă le vor cosdera foarte utle ş la locul lor, lucru care mă motvează să merg ma departe.

22 Codţa Valorle observate sut ormal dstrbute î jurul fecăre valor estmate, ŷ. Această codţe este legată, evdet, de posbltatea utlzăr fecăre estmăr ŷ ca mede a ue varable aleatoare ormale. Codţa. Dspersa dstrbuţlor î jurul fecăre valor ŷ este aceeaş. Motvul troducer aceste codţ este legat de utlzarea valor s e ca valoare ucă petru abaterle stadard ale dstrbuţlor de probabltate meţoate î prma codţe. Să vedem acum de ce aducerea î dscuţe a chutoare repartţ ormale e poate rezolva o sere de probleme. Ne vom reamt că orce carte de teora probabltăţlor preczează următoarele: petru o varablă ormal repartzată, cu meda m ş abaterea stadard, sut valable afrmaţle: 68% dtre rezultate sut cuprse î tervalul m, m 95,5% dtre rezultate sut cuprse î tervalul m,m 99,7% dtre rezultate sut cuprse î tervalul m 3,m 3 Petru că putem stabl corespodeţa ître ş s e ş petru că ŷ d ecuaţa estmată a regrese este estmatr al lu M, dec al valor med, îseamă că dacă cele ouă codţ sut îdeplte atuc puctele de pe dagrama scatter au propretatea de a f dspuse astfel: 68% dtre ele se află la dstaţă 95,5% dtre ele se află la dstaţă 99,7% dtre ele se află la dstaţă s e faţă de dreapta de regrese; s e faţă de dreapta de regrese; 3s e faţă de dreapta de regrese. Îseamă că exstă 68% şase ca velul medu aual al vâzărlor dealerulu stuat î preajma supermarketulu vztat zlc de 7 de cleţ să fe cuprs ître 77,756 sute RON ş 3,36 sute RON, petru că aceste lmte de terval au fost obţute d estmarea lu M petru x 7, plus sau mus valoarea lu s e. Spre dsperarea celor care u au fost totdeaua prete calculelor, trebue spus că u e vom opr ac. O scurtă rememorare a elemetelor de statstcă va trage u semal de alarmă î două drecţ. Prma este legată de faptul că practca u e pue la dspozţe îtotdeaua repartţ ormale, ar a doua este legată de dmesuea eşatoulu, adcă de umărul datelor pe care le avem la dspozţe. Ceva ma devreme am sublat atura smlară a mărmlor pe care le cuoaştem acum sub umele de eroarea stadard a estmăr, s e ş abaterea stadard de selecţe, pe care la cursul de statstcă aţ otat-o cu s. De asemeea, am avut o tetatvă de costrucţe a uu

23 terval de predcţe, smlar tervalulu de îcredere pe care îl cuoaşteţ de la acelaş curs. Îtr-adevăr, s e poate f utlzat petru costrucţa uu astfel de terval î jurul valor estmate ŷ, ude să fe stuate cu o aumtă probabltate valorle efectv observate pe care leam tot otat cu. Acesta este aspectul de care e vom ecupa î cotuare, ma exact costrucţa tervalelor aproxmatve de predcţe..6. Itervale de predcţe D cele amtte ateror despre repartţa ormală ş pe baza acelor codţ pe care le-am mpus asupra repartzăr valorlor, putem afrma că: 68% dtre valorle se află la dstaţa s e faţă de dreapta de regrese (deasupra sau sub aceasta, ceea ce face corectă descrerea pr termedul mărm s e ), că 95,5% dtre valorle lu se află la dstaţă s e faţă de dreapta de regrese ş că 99,7% dtre valor se află la dataţă 3s e faţă de această dreaptă. Cocret, petru exemplul frme de telefoe moblă aceasta îseamă că dacă x 7 ş ŷ 95, 446, atuc sut: 68% şase ca velul medu al îcasărlor petru u dealer oarecare stuat î vecătatea uu supermarket oarecare cu u umăr zlc de cleţ de 7 să fe stuat î tervalul 95,446 7,69;95,446 7,69 77,756; 3,36 ;, dec î tervalul 95,5% şase ca velul medu al acestor vâzăr să fe î 95,446 7,69;95,446 7,69, dec ître 6,66 ş 3,86; 99,7% şase ca velul medu al îcasărlor auale să fe ître 95,446 37, 69 ş 95,446 37,69, dec ître 4,376 ş 48,56. Metoda pr care am costrut aceste tervale, petru grade de îcredere dferte, este corectă î măsura î care utlzarea repartţe ormale este justfcată. Dacă eşatoul folost î studu are dmesue ma mcă decât 3 (aşa cum este cazul î exemplul ostru) ş dacă u se îdeplesc cele două codţ mpuse asupra lu, ceea ce este foarte posbl î practcă, atuc dstrbuţa ormală u ma are c o putere. D fercre, statstce e îvaţă că atuc câd dmesuea a eşatoulu este ma mcă decât 3 ş cîd dspersa îtreg populaţ este ecuoscută, tră î cu succes Dstrbuţa t, sau Dstrbuţa Studet, care î cazul de faţă se bucură de - grade de lbertate, acelaş - ca ş umtărul d formula de calcul petru s e. Vom reţe î acest cotext forma tervalulu de predcţe ş aume: 3

24 tervalul: Cu o probabltate egală cu, valorle observate ale lu z se află stuate î ŷ t se ; ŷ t se (.6..) Să aplcăm această formă petru exemplul frme de telefoe moblă. Avem u eşato format d dealer, dec 3 ş, judecâd la rece, habar u avem care este abaterea stadard a populaţe. Pr urmare, petru predcţe va trebu utlzat tervalul (.6..), cu o dstrbuţe t cu 8 grade de lbertate. Ne vom refer la valoarea estmată petru x 7, petru care am calculat ŷ 95, 446 ş vom avea î ateţe că dacă dorm petru tervalul care urmează a f costrut u grad de îcredere de 95% de exemplu, atuc:,95,5,5. Petru cele 8 grade de lbertate, tabelele dstrbuţe t e pu la dspozţe valoarea t t, 5,36. Îlocum î (.6..) ş obţem: 95,3,367,69; 95,3,367,69 După efectuarea calculelor, drectorul frme poate f sgur î proporţe de 95% de faptul că velul medu aual al vâzărlor petru u dealer oarecare stuat î vecătatea uu supermarket oarecare cu u umăr zlc de cleţ de 7 este stuat ître 5444 RON ş 366 RON. Exercţ propuse Exercţul 7. Tabelul următor preztă şase observaţ despre două varable, x ş. Observaţa x a) Costruţ o dagramă scatter petru aceste date. 4

25 b) Reprezetaţ grafc dreapta ŷ 4 x pe dagrama scatter. Cosderaţ că această dreaptă este o buă aproxmare a datelor? c) Utlzaţ metoda celor ma mc pătrate ş calculaţ ecuaţa estmată a regrese pe baza datelor d tabel. d) Calculaţ SPE ŷ petru dreptele de la b) ş c). Care valoare a lu SPE este ma mcă ş cum explcaţ? Exercţul 8. Datele d tabelul următor dcă salarle de care beefcază agajaţ ue frme ş vechmea acestora la locul de mucă. Vechme (a) Salaru (RON),5 65,5 8 3, 9 3,6 87 4,3,9 8 a) Costruţ ecuaţa estmată a regrese utlzâd metoda celor ma mc pătrate. b) Faceţ o predcţe cu prvre la salarul pe care îl poate prm u agajat cu do a vechme ş uul cu cc a vechme. Exercţul 9. Costruţ ecuaţa estmată a regrese petru datele d Exercţul 3 propus î secţuea precedetă. Faceţ apo o predcţe cu prvre la meda geerală cu care poate f absolvtă facultatea de către u studet care a fost adms cu ota 9. Exercţul. [Aderse] O ageţe moblară dspue de următoarele date cu prvre la suprafaţa ş preţul de vâzare petru cc locuţe: Spaţu locubl (mp) Preţ de vâzare (m euro)

26 a) Costruţ ecuaţa estmată a regrese utlzâd metoda celor ma mc pătrate. b) Faceţ o predcţe cu prvre la preţul de vâzare petru o locuţă cu suprafaţa de 7 mp. Exercţul. Se dau următoarele date: x ,5 3,5 44, 3, 3, 38,6 a) Calculaţ ecuaţa estmată a regrese utlzâd metoda celor ma mc pătrate. b) Calculaţ erorle dvduale de estmare ş verfcaţ corecttudea calcululu de la puctul ateror, pe baza rezultatulu obţut pr îsumarea acestor eror. c) Calculaţ eroarea stadard a estmăr. d) Costruţ u terval de predcţe petru î cazul ue valor x 4, cu u grad de îcredere de 95%. Exercţul. O frmă care asgură trasport teraţoal efecturază u studu cu prvre la efectele pe care le are modfcarea preţulu bletelor asupra umărulu de pasager. Au fost obţute următoarele date: Preţ blet (euro) Număr pasager a) Stablţ care este varabla depedetă x ş care este varabla depedetă. b) Costruţ dagrama scatter petru datele d euţ. c) Costruţ ecuaţa estmată a regrese cu ajutorul metode celor ma mc pătrate ş reprezetaţ grafc dreapta coresputătoare î sstemul de coordoate de la puctul ateror. d) Calculaţ erorle dvduale ş verfcaţ corecttudea calcululu, studd rezultatul sume acestora. 6

27 e) Calculaţ eroarea stadard a estmăr. f) Dezvoltaţ u terval de predcţe 95% petru umărul de pasager pe care î poate avea frma dacă preţul bletulu este de 53 euro. Exercţul 3. [Lev, Rub] O frmă testează ageţ propr specalzaţ î vâzăr, îate de a- trmte efectv pe tere. Maagerul frme este teresat î determarea relaţe care se stableşte ître puctajul obţut la test ş vâzărle efectve realzate de către ageţ după u a de practcă. Următoarele date au fost culese ş se referă la zece persoae care au lucrat tmp de u a pe tere. Persoaa Puctajul testulu Număr utăţ vâdute a) Determaţ ecuaţa estmată a regrese, care poate f utlzată î scopul predcţe volumulu vâzărlor pe baza rezultatelor obţute la test de către ageţ. b) Cât de mult este aşteptat să crească umărul utăţlor vâdute de către u aget, la o creştere cu zece pucte a puctajulu obţut la test? c) Utlzaţ ecuaţa estmată a regrese petru a efectua o predcţe cu prvre la umărul utăţlor pe care le poate vde u aget care a obţut la testare 5 de pucte. d) Calculaţ eroarea stadard a estmăr. e) Costruţ u terval de predcţe 95% petru mărmea petru care aţ făcut predcţa la puctul c). Îtrebăr recaptulatve. Care este semfcaţa parametrlor ş? 7

28 . Cum se aplcă această semfcaţe petru exemplul frme de telefoe moblă? 3. Cum trebue aleasă dreapta de regrese petru ca aalza de regrese să fe credblă? 4. Ce sut erorle dvduale, care este formula de calcul ş ce sem pot avea? Ce sugerează semul erorlor dvduale? 5. Ce este metoda celor ma mc pătrate ş ce aume se urmăreşte pr aplcarea e? 6. Care sut formulele de calcul petru parametr ecuaţe estmate a regrese? 7. Care este dfereţa dtre modelul de regrese ş ecuaţa estmată a regrese? 8. Pr ce metode se poate verfca dacă ecuaţa estmată a regrese a fost calculată corect? 9. Ce este eroarea stadard a estmăr ş ude poate f utlzată?. Ce sut tervalele de predcţe ş cum se calculează? Cometaţ semfcaţa fecăre mărm care apare î formula geerală de calcul, î fucţe de dmesuea eşatoulu ş formaţle pe care le aveţ despre dspersa populaţe. 8

29 3. Coefcetul de determare Exstă, pâă î acest momet, câteva aspecte cu care putem f de acord cu toţ. Î prmul râd, faptul că deea de estmare atrage după se suspcu cu prvre la exacttatea rezultatulu ş mplct sugerează exsteţa uor poteţale eror provete d dfereţa ître valorle estmate ş cele îregstrate efectv. Î al dolea râd, atuc câd teora e pue la dspozţe două sau ma multe metode de estmare se coturează deea că dfereţele pot să apară u doar ître valorle estmate ş cele observate, c ş ître estmărle obţute pr metode dferte. Ar f deal să putem cota pe modaltăţ de cotrol cu ajutorul cărora să stablm gradul î care o aumtă estmare poate f utlzată î progoză ş este de tut că u elemet de ghdare î obţerea răspusulu la îtrebarea Î ce măsură pot folos formaţle petru progoză? trebue să fe legat de luarea î calcul a ue aalze bazate pe cel puţ două metode de estmare. Î mod sgur veţ acorda ma mlt credt uu rezultat dacă aţ obţe acelaş lucru pe ma multe că, u- aşa? Iată de ce atuc câd vom dscuta problema aceste măsur, sau gradulu î care ecusţa estmată a regrese poate f utlzată î progoze vom face referre la mărlme observate, la cele estmate ŷ ş la o mărme pe care e-o oferă statstca. Este vorba despre, meda valorlor observate, despre care teora e îvaţă că poate f utlzată ca estmator petru meda îtreg populaţ. Aşadar, dspuem de: Datele ţale ; Estmarea pe baza relaţe de regrese, d care obţem valorle Estmarea bazată pe meda a datelor d eşato. Î cazul exemplulu pe care l-am dscutat pâă acum, al frme de telefoe moblă, regăsm aceste valor după cum urmează: datele ţale ŷ ; ş estmărle lor ŷ se află î coloaele ş 3 ale Tabelulu... Meda a fost calculată pe baza relaţe (.3.7.) ş a rezultat egală cu 5,436. Coform cu ceea ce am preczat puţ ma devreme, va trebu să luăm î calcul următoarele eror ş dfereţe: 9