Fizica cuantica partea I-a. I. Originile mecanicii cuantice

Transcript

1 Fzca cuatca partea I-a Radata terca. Itroducere I. Orgle ecac cuatce Este be cuoscut faptul că pe seaa dfertelor fore de eerge, corpurle pot ete ude electroagetce. Radaţa electroagetcă obţută pe seaa eerge tere a corpurlor poartă uele de radaţe tercă. Toate celelalte tpur de radaţe ( obţute pe seaa altor fore de eerge decât cea teră) sut cobate î tereul de luesceţă. Astfel descărcărle î gaze repreztă feoeul de electroluesceţă, esa de radaţe de către corpur bobardate cu electro poartă uele de catodoluoesceţă ar esa de radaţe pe baza radaţe electroagetce absorbtă de corpur este ută fotoluesceţă, ar. Orce substaţă aflată la o teperatură superoară lu K ete radaţe terca. D puct de vedere fzc, prcpala probleă refertoare la radata terca, care u a putut f explcate dupa descoperrea acestea a fost legată de explcarea dstrbuţe eerge î spectrul acestea. Realzarle de la ceputul secolulu XX doeul struetate utlzate cadrul teclor de vestgate au codus la rezultate care u erau cocordata cu rezultatele teoretce obtute paa la acel oet.. Radaţa tercă de eclbru Presupue u corp, care ete ude electroagetce pe seaa eerge sale tere (radaţe tercă), aflat îtr-o ctă vdată cu pereţ cosderaţ suprafeţe perfect reflectătoare. Radaţa reflectată de pereţ cte va f absorbtă de corp (parţal sau coplet). Ca urare ître corp ş radata d cavtate va avea loc u scb cotuu de eerge. Dacă dstrbuţa de eerge ître corp ş radaţe răâe costată petru orce luge de udă, starea ssteulu alcătut d corp ş radaţe va f ua de eclbru terodac. Expereta arata ca sgura radate, care se poate afla eclbru cu corpurle etatoare este radata terca. Exsteţa radaţe terce de eclbru (radaţa electroagetcă aflată î eclbru cu corpul eţător) u poate gas o explcaţe corespuzătoare plecâd de la legle fzc clasce. Este uşor de observat cu două feoee aseăătoare d puctul de vedere al fzc clasce u pot f explcate cu ajutorul acestea. Astfel o bucată de fer, aflată la teperatura de C îtr-o ctă vdată ete o eerge de 3 J/secudă pe fecare cetetru al suprafeţe sale î tp de o secudă ş se află î eclbru cu o radaţe tercă avâd o destate de eerge de 4 J/c. Pe de altă parte destatea eerge terce î 7 terorul bucăţ de fer este de 8 J/c 3, fd ult a are decât aceea a radaţe. Această eerge este datorată vbraţe atolor î jurul pozţlor lor de eclbru. Cocluza care se desprde edat este că cazul atolor de fer care vbrează, aflaţ î eclbru

2 terodac cu eerga tercă de eclbru, aproape toată eerga este cocetrată î ato aflaţ î şcare de vbraţe ş doar o că parte d această eerge se află î radaţa tercă de eclbru. Acest feoe este de eîţeles d puct de vedere al ecac clasce. U odel splu, corespuzător d puct de vedere clasc cu cel descrs a îateeste cel care la suprafaţa ue ape aflată îtr-o ctă se află u sste de dopur legate pr resortur, tr-u astfel de od îcât ele pot oscla uul faţă de altul. Dacă face să vbreze dopurle, acestea vor couca eerga lor ape cu suprafaţa lşttă la oetul ţal, observâdu-se forarea uor ude. Udele se vor propaga la suprafaţă î drecţ dferte, reflectâdu-se pe pereţ rezervorulu dvzâdu-se î ude d ce î ce a c, ar ele se vor trasfora ca urare a vâscoztăţ î eerge calorcă. După u tp eerga dopurlor se va trasfora î îtrege î eerge calorcă, dopurle trasferâdu-ş eerga edulu îcojurător. Deosebrea dtre cele două expereţe este evdetă. Pe baza coceptelor fzc clasce este posbl să se poată explca dfereţa dtre destăţle eerge electroagetce d terorul bucăţ de fer ş accea a radaţe terce de eclbru. Capactatea radaţe terce de a f î eclbru cu corpurle ce et radaţe tercă se datorează faptulu că testatea e este depedetă de teperatură. Astfel dacă se cosderă o volare a eclbrulu dtre radaţe ş corp, corpul va ete a ultă eerge decât absoarbe, avad loc o scădere a eerge corpulu ceea ce va duce la o scădere a teperatur. Acest lucru va coduce la o reducere a cattăţ de eerge ese de corp. Teperatura corpulu se va cşora pâă ce cattatea de eerge esă va f egală cu cattatea de eerge absorbtă. Aşadar volarea eclbrulu dtre corp ş radaţe geerează procese care coduc la restaurarea eclbrulu. Studle experetale asupra radaţe terce arata ca aceasta are urătoarele propretăţ caracterstce: - spectrul său se îtde î od cotuu pe îtreg doeul de frecveţe ître ş ; - la eclbru terodac, radaţa tercă este oogeă ş zotropă (are aceleaş propretăţ î toate puctele ş după toate drecţle); - radaţa tercă este total epolarzată. Î cotuare prezetă ărle care caracterzează radaţa tercă de eclbru. Itestatea radaţe terce este caracterzată de fluxul de eerge ăsurat î watt. Fluxul de eerge es de utatea de suprafaţă a uu corp î toate drecţle (î terorul uu ug sold de π ) este cuoscut ca etaţă radată a corpulu-r. Etaţa radată este o fucţe de teperatură. Eerga radaţe pe utate de volu costtue destatea de eerge ş va f otată cu w fd o ăre depedetă de teperatură. Destatea de eerge a radaţe corespuzătoare uu terval de frecveţă d ω este wω se ueste destate spectrala de eerge ş este legată de destatea de eerge pr relaţa: w w d ω ω (.) Dacă se cosderă că fluxul de eerge R es pe utatea de suprafaţă a corpulu î tervalul de frecveţă d ω este dr ω atuc se poate scre: drω R (.) ude R este radata ar R ω este radata spectrală, care se poate scre: dr r dω (.3) ω ω r reprezetâd puterea spectrală de ese sau esvtatea corpulu. ω

3 Dacă fluxul de eerge dφ suprafaţă eleetară a corpulu ş de relaţa: ω datorat radaţe cu frecveţa î tervalul dω cade pe o dφ ω este fluxul absorbt de corp atuc ărea deftă dφω aωt (.4) d Φω este puterea spectrală de absorbţe sau absorbtvtatea corpulu. Ea este o fucţe de frecveţă ş de teperatură. Pr defţe puterea spectrală de absorbţe este a că decât utatea. Corpul ce absoarbe radaţa asocată tuturor frecveţelor ce cade pe el este cuoscut ca fd corp egru. Corpurle cu a ω T cost < sut ute corpur gr. O substaţă cu a ω u exstă î realtate. Carboul egru ş plata eagră au o putere spectrală de absorbţe aproape de utate î terorul uu terval ltat de frecveţe. Puterea spectrală de absorbţe a acestor substaţe este sesbl a că decât utatea î reguea fraroşulu îdepărtat. Este posbl să se costruască u dspoztv, ale căru propretăţ să corespudă cu cele ale uu corp egru. U astfel de dspoztv este o ctă îcsă aproape coplet, prevăzută cu u c orfcu (fg..). Fg.. Radaţa care pătrude î cavtate pr orfcu suferă u are uăr de reflex pe pereţ cte îate de a eş d ea. O parte d eerge este absorbtă la fecare reflexe ş ca rezultat vrtual, îtreaga radaţe de orce frecveţă este absorbtă de dspoztv..3 Legle radate terce.3. Legea lu Krcoff Pra cercare legata de studul teoretc al radaţe terce de eclbru a fost facuta de Gustav Krcoff, care a arătat pe cosderete terodace că petru o teperatură costată, destatea spectrală de eerge a radaţe este coplet depedetă de atura ş propretăţle corpurlor ce se află î terorul cte. Krcoff a arătat că exstă o legătură ître puterea spectrală de ese ş puterea spactrală de absorbţe ale uu corp. Vo presupue că u uăr de corpur se află îtr-o ctă vdată la teperatura T (fg..) 3

4 3 Fg... Corpurle pot scba eerge ître ele doar pr ese ş absorbţe de ude electroagetce. Expereţa arată că după u tp toate corpurle vor ajuge îtr-o stare de eclbru terodac atuc câd ele vor avea aceeaş teperatură T, egală cu teperatura cte. Î această stare, u corp cu o auta putere spectrala de ese va ete a ultă eerge pe utate de suprafaţă î utatea de tp, decât u corp cu puterea spectrală de ese a că. Deoarece teperatura (ş dec eerga) corpulu u se scbă, atuc corpul ce ete a ultă eerge va absorb a ultă, dec va avea o putere spectrală de absorbţe a are. Ître cele două ar exstă urătoarea relaţe: rω T rω T rω T (.5) aωt aωt aωt Relaţa (.5) repreztă legea stabltă de Krcoff, care se euţă astfel: raportul dtre puterea spectrală de ese ş puterea spectrală de absorbţe u depde de atura corpulu, el este o fucţe uversală de fecveţă ş de teperatură petru toate corpurle: rωt f ( ω, T) (.6) aωt ude f(ω,t) este fucţa uversală a lu Krcoff. Este evdet că petru u corp egru fucţa uversală a lu Krcoff este egală cu puterea spectrală de ese ( a ω T ). Î studle teoretce este a coveabl să se utlzeze fucţa de frecveţă, ar î studle experetale se utlzează a frecvet fucţa depedetă de lugea de udă ϕ(λ,t). Cele două fucţ sut legate pr relaţa: πc λ f ( ω, T) ϕ( λ, T) ϕ( λ, T) (.7) ω πc sau πc πc f ( ω, T) ϕ, T (.8) ω ω 4

5 .3. Legătura dtre destatea spectrală a eerge radaţe terce de eclbru ş fucţa lu Krcoff Destatea de eerge spectrală a radaţe terce de eclbru este legată de etaţa corpulu egru R* prtr-o exprese splă, care va f dedusă î cotuare. Cosderă o cavtate vdată cu pereţ corp egru. La eclbru u flux de aceeaş destate va trece pr fecare puct î terorul cavtăţ î orce drecte. Dacă radaţa s-ar f propagat îtr-o drecţe dată ( adcă doar o rază ar trece prtr-u puct), destatea fluxulu de eerge la puctul cosderat ar f egală cu produsul dtre destatea de eerge s vteza lu î vd c. Deoarece o ulte de raze ale căror drecţ sut ufor dstrbute î terorul uu ug sold de 4π, fluxul de eerge cu este de aseeea dstrbut ufor î terorul lte de ug sold. Î cosecţă, u flux de eerge a căru destate este: cu Δj dω (.9) 4π va trece pr fecare puct î terorul lte ugulu sold dω. Luă o are eleetară S pe suprafaţa cavtăţ (fg..3) θ r r dω Scosθ S Fg..3. Această are ete urătorul flux de eerge î terorul lte de ug sold dω sθdθdϕ, drecţa ce face ugul θ cu orala r : cu dφ e dj Scosθ dω Scosθ 4π sau cu Φ e Scosθ sθdθdϕ 4π (.) Ara S ete fluxul de eerge: cu π π c Φ e dφ e S cosθ sθdθ dϕ u S (.) 4π 4 5

6 î toate drecţle care se află î terorul ltelor ugulu sold π. Î acelaş tp, fluxul de eerge es de ara S poate f găst ultplcâd etaţa radată R* cu S: Φ e R* S (.) Pe baza relaţlor (.) ş (.) rezultă: c R* u (.3) 4 Ecuaţa (.3) trebue să fe satsfăcută de fecare copoetă spectrală a radaţe. Rezultă că c f ( ω, T) w( ω, T) (.4) 4 Această relaţe leagă etaţa radată a corpulu egru ş destatea spectrală a eerge radaţe terce..3.3 Legea Stefa-Boltza O pră lege a radaţe corpulu egru a fost stabltă experetal î aul 879 de fzcaul austrac Stefa. D aalza datelor experetale el a ajus la cocluza că etaţa radată a orcăru corp este proporţoală cu puterea a patra a teperatur absolute. Î 884, fzcaul austrac Boltza a obţut pe baza uor cosderete terodace valoarea etaţe radate a corpulu egru: 4 R* ( T) f ( ω, T) dω σt (.5) ude σ este o costată ş T este teperatura absolută. Aşadar cocluza lu Stefa este adevărată doar petru corpul egru. Valoarea lu σ este: 8 W σ 5,67 4 R fd obţută pe cosderete experetale. Pe cosderete terodace se găseşte ş o altă foră a leg Stefa-Boltza, care leagă destatea de erge a radaţe terce de eclbru (corpulu egru) de teperatură wat 4 (.6).3.4. Legea We ş legea deplasăr We Î aul 893 fzcaul gera Wlel We folosd teora electroagetsulu î cobaţe cu coceptele terodac a arătat că destatea spectrală de eerge a radaţe terce de eclbru este dată de relaţa: 3 ω wω ( ω, T) ω F (.7) T care este cuoscută sub deurea de legea We. 6

7 Relaţa (.7) oferă o relaţe petru w ω care cocde cu rezultatele experetale, doar î doeul frecveţelor îalte. Utlzad relaţa (.7), relaţa (.7) se scre: 3 πc πc πc wλ( λ, T) F ( λt) Ψ (.8) 5 λ λ λt λ ude Ψ este o fucţe de produsul ( λ T). Relaţa (.8), oferă posbltatea de a stabl o legătură ître lugea de udă λ ce corespude axulu fucţe w λ (λ,t) ş teperatură. Astfel, dervâd relaţa (.8) î raport cu λ se obţe: dwλ 5 TΨ'( λt) Ψ( λt) + [ λtψ'( λt) 5Ψ( λt) ] (.9) dλ λ λ λ Expresa d parateză este o aută fucţe Ψ(λ,T). La lugea de udă λ care corespude axulu fucţe w λ (λ,t) dervata dată de (.9) se aulează, îcât: dwλ Ψ( λ T) 6 (.) dλ λ λ λ D expereţă se şte că λ este ft, ceea ce îseaă că va trebu satsfăcută codţa Ψ(λ T). Rezolvâd ecuaţa (.) î raport cu (λ T) se va obţe petru acest produs o valoare costată, care se otează cu b. Dec pute scre: λ Tb (.) relaţe ce repreztă legea deplasăr We. Valoarea experetală a costate este: 3 b,9 K (.) I fg..4 este reprezetata destatea de eerge petru dferte teperatur ale corpulu Fg..4 Fucta w (λ) petru dferte teperatur ale corpulu. 7

8 .3.5 Legea Rayleg-Jeas Fzce eglez Jo Wlla Strutt (Lord Rayleg) ş Jaes Jeas au deterat destatea spectrală a eerge pe baza teoree de ecpartţe a eerge d fzca statstcă ş folosd destatea de ude staţoare rezultată d electroagets. No vo deduce a îtâ uărul de ude staţoare pe utatea de volu exstete îtr-o cavtate ude se află ude electroagetce, care se reflectă pe pereţ cavtăţ. Metoda utlzată se bazează pe ecuaţa de propagare a lu î vd: Ψ Ψ Ψ Ψ + + (.3) x y z c t ude Ψ este o varablă a câpulu electroagetc, care este fucţe de x, y, z ş t. Cosderad o uda aroca de frecveţă ω: Ψ ( x, y, z, t) Ψ( x, y, z) exp( ωt) (.4) Îlocud (.4) ecuaţa (.3) obţe ecuaţa ateporală sub fora: ω Ψ + Ψ (.5) c Cosderad ca udele se afla tr-o cavtate cubcă de latură a ar ca urare a reflexlor pe peret se foreaza u sste de ude statoare. Utlzâd etoda separăr varablelor se obţe pe baza ecuaţe (.5) ş utlzâd codţle la ltă petru udele statoare (aularea lu Ψ pe peret cavtat: x, y, z ş x, y, zb ) se obte urătoarea foră petru Ψ : lπx πy πz Ψ As s s (.6) a a a ude A este apltudea, ar l, ş sut uere aturale. Substtud (.6)î (.4) se obţe: sau l π + π + π a ω c ω a l + + (.7) π c Orce grup de uere (l,, ) deteră u od partcular de vbraţe al udelor î cavtate ş petru o frecveţă ugulară dată ecuaţa (.7) este o ltare a uerelor posble. Pute cosdera valorle l,, ca puctele ue reţele cubce cu valorle descrse de l î lugul axe x, de î lugul axe y ş de î lugul axe z. La valor foarte ar ale lu l,, pute prv dstrbuţa ca u cotuu, ar ecuaţa (.7) repreztă sfera de rază ωa î coordoate (l,, ). Î partcular, toate puctele cu frecveţe ugulare a c πc decât o aută valoare ω se află î terorul octatulu poztv al sfere (fg..5) 8

9 octat de rază ω π a c Fg..5. ωa Dacă costru do octaţ de rază ş respectve ( ω + dω ) a, voluul îcs î πc πc terorul pătur sferce este egal cu uărul de odur de vbraţe dtre frecveţele ugulare ω ş (ω+dω). Ave dec: 3 4πr dr ω a dω N ( ω) dω (.8) 3 8 c π ωa dacă: r. πc Această etodă perte euerarea odurlor de vbraţe posble îtr-u sste îcs de orce foră. S-a găst că uărul de odur pe utate de volu este depedet de fora cte. Teora copletă a udelor electroagetce arată că uărul de odur terbue să fe dublat ţâd seaa de exsteţa a două ude polarzate trasversal. Nuărul de ude pe utatea de vlou cu frecveţe cuprse ître ω ş ω+dω este: ω ( ω) dω dω (.9) 3 π c La eclbru fecăru od î corespude o eerge ede egală cu kt, astfel îcât destatea spectrală a eerge va f: ω wωdω ktdω (.3) 3 π c Expresa (.3) este cuoscută ca forula Rayleg-Jeas. Ea cocordă cu rezultate experetale î doeul frecveţelor joase. Itegrarea ecuaţe (.3) cu prvre la ω ître ş dă o valoare ft de are petru destatea de eerge w(t). Acest rezultat, ut de Erefest catastrofa de ultravolet cotrazce rezultatele experetale. 9

10 .3.6 Legea lu Plack Î aul 9, fzcaul gera Max Plack a deterat o foră a fucţe w ω (ω,t) care a corespus exact rezultatelor experetale. El a făcut o presupuere î totală cotradcţe cu oţule fzc clasce, aceea că radaţa electroagetcă este esă sub fora uor ettaţ separate de eerge ute cuate a căror ăre este proporţoală cu frecveţa radaţe: ε ν (.3) Costata de proporţoaltate a fost ută costata lu Plack. Valoarea e este 34 6,6 J s (.3) Relaţa (.3) se a scre î fucţe de frecveţa ugulară ε ω (.33) ude costata are valoarea 34,54 J s π Aşa cu se vede, utatea de ăsură a costate lu Plack este aceeaş cu a ăr d ecacă ută acţue. Î codţle î care radaţa este esă î pacete de ω, eerga e trebue să fe u ultplu al aceste catatăţ: ε ω (,,.) (.34) Îtr-o stare de eclbru eerga este dstrbută odurlor de osclaţe î cofortate cu legea lu Boltza. Î cocordaţă cu această lege probabltatea P ca eerga de osclaţe să fe ε este dată de relaţa: ε Nexp N kt P (.35) N ε N exp kt ude N repreztă uărul de odur de osclaţe cu eerga ε, ar N este uărul total de osclator. Utlzâd probabltatea P dată de relaţa (.35) se poate scre valoarea ede a eerge: ε P ε (.36) dec: ε ωexp exp ( ω kt) ( ω kt) Petru a uşura calculele face substtuţa : ω kt (.37) x, relaţa (.37) deved:

11 exp( x) d ε ω ω l exp( x) (.38) dx exp( x) o Sua de sub logart este sua terelor ue progres geoetrce cu raţa exp(-x). Progresa va f ua descrescătoare, ar sua vaf: exp( x). exp( x) Itroducâd această suă î relaţa (.38) se obţe: d exp( x) ε ω l ω dx exp( x) exp( x) sau pr îlocurea lu x: ω ε (.39) ω exp kt Destatea eerge ce cade tervalul dω se obţe îulţd ε cu destatea de odur de osclaţe dată de relaţa (.9): ω ω dω wω ( ω, T) (.4) 3 ω π c exp kt Această relaţe repreztă forula lu Plack ş este valablă pe tot doeul de frecveţe. Utlzâd relaţa (.4) pot f deduse legle radaţe terce de eclbru ale căror expres au fost scrse ceva a îate. Problee. O sferă de cupru de rază rc cu suprafţa perfect eagră este plasată îtr-o ctă vdată a căre pereţ sut răcţ î aproperea teperatur de K. Teperetura ţală a sfere este T 3 K. să se detere î cât tp teperatura sfere scade de,5 or. Se cuosc căldura specfcă a cuprulu c,38kj/kg. K ş destatea cuprulu ρ8,9g/c 3. Rezolvare: Cofor leg Stefa-Boltza, dφ 4 R σt, () ds ude fluxul Φ este: dw cdt 4 dt Φ πr 3 ρc. () dt dt 3 dt Itegrâd relaţa () rezultă: 4 4 Φ σ T S 4πr σt. (3) Egalâd relaţle () ş (3) rezultă: c 4 dt rρ T dt. (4) 3 σ Itegrâd relaţa (4 ître T ş T / se obţe: 3 3 t cρ r( ) 9σT,6 ore.

12 . Folosd forula lu Plack refertoare la desatea spectrală de eerge să se detere: a) expresa ce dă uărul de foto pe c 3 î terorul tervalulu spectral (ω, ω+dω) ş (λ, λ+dλ); b) uărul de foto9 pe c 3 la teperatura T3 K; c) eerga cea a probablă a fotolor; d) valoarea ede a eerge fotolor la teperatura T K. Rezolvare wωdω ω dω a) ωdω. () 3 ω π c ω exp kt πc πc Cu ω ş dec dω dλ d () rezultă: λ λ 4 λ dλ λdλ 8π. () πc exp ktλ b) Nuărul total de foto d utatea de volu va f, ţâd seaa de (), Cu otaţa ω kt π c 3 ω dω. (3) ω exp kt x, tegrala d relaţa (3) este: x dx,45. (4) exp[x] Itroducâd (4) î (3): 3 kt 8,43 5,5 c 3. (5) c c) Eerga cea a probablă este ε pr ω pr, ude ω pr se deteră efectuâd: d. (6) dω ω Cu otaţa x kt, relaţa (6 deve: x x e, (7) ecuaţe a căre rezolvare grafcă dă: x,6 x, 6. Aşadar:,6kT, 4 ev. ω pr d) Calculă a îtâ eerga tuturor cuatelor d utaea de volu: E ω ω dω. (8) Itroducâd î (8) ω dat de () se obţe: ω d

13 3 ω dω E. (9) 3 π c ω exp kt ω Utlzâd d ou otaţa x kt, (9) deve: k T x dx kt E 6, () π c exp[ x] π c Pe baza relaţlor (9) ş (5) rezultă: E ε,7kt,3 ev. 3 ω 3. Cuoscâdu-se legea lu We wω ( ω, T) ω f, se cere: T a) Să se arate cu aceasta coduce la legea Stefa-Boltza. b) Să se deostreze că dacă se dă curba de dstrbuţe a eerge î spectrul radaţe corpulu egru, petru o teperatură T, se poate costru o curbă aaloagă petru o altă teperatură T. ω c) Să se arate că d această lege rezultă expresle cost. sau λ T cost., ude T ω ş λ corespud axulu destăţ spectrale de eerge. Rezolvare 3 ω ω( ω ω f dω T a) T ) w ( ω, T) dω T 4 ω T 3 ω ω f d T T T 4 x 3 4 f ( x) dx at b) Ţâd seaa de relaţa: ω cost, T T () se obţe: w ω 3 3 ω T ( ω, T) ω f wω ( ω, T) T. (3) T Dec, dacă abscsele sut î raportul T T 3, atuc ordoatele sut î raportul. T T Aceeaş probleă se poate rezolva pord de la relaţa λ T λt cost. (4) Atuc, se obţe: w w λ λ ( λ, T) ( λ, T) λ λ 5 Dec, î acest caz, dacă abscsele sut î raportul d) Puâd codţa: T T 5 ω 4 (). (5) T T 5, ordoatele sut î raportul. T T 3

14 rezultă: dwω dω ( ω T) ω f ' T ω ω T f T, 3 ω ω 3ω f T + ω f ' T T (6) + 3, adcă, (7) ω cost. T 3 ω Deoarece w ω( ω, T) dω wλ( λ, T) dλ,, d wω ( ω, T) ω f, ţâd seaa că T πc ω, rezultă: λ wλ ( λ, T) g( λ, T). (8) 5 λ Dacă se pue codţa: dwλ( λ, T) 6 5 5λ g( λt) + λ Tg'( λt), (9) dλ se obţe: g'( λt) λ T 5, adcă: g( λ T) λ T cost. b (aşa ută lege de deplasare a lu We) 4. Cuoscâd forula lu Plack petru destatea de eerge spectrală esă de u u corp egru: ω ω wω ( ω, T), 3 π c ω exp kbt se cer: a) Să se obţă expresle petru wν ( ν, T) ş wλ ( λ, T). 4 b) Să se detere costata lu Stefa-Boltza B σt ş costata lu We d legea de deplasare a lu We λ T b, fucţe de costatele, c ş k B. Rezolvare a) d expresa: w ( ω T ) d ω w ( ν, T ) d ν rezultă: ω,, () ν 3 dω 8πν wν ( ν, T) [ wω ( ω, T) ]. () ω πν 3 dν c ν exp kbt 4

15 De aseeea, deoarece: w ( ω, T) dω w ( λ, T) dλ, (3) ω w ( λ, T) λ λ dω dλ [ w ( ω, T) ] πc ω ω λ 8πc 5 λ c exp kb λt dω πc ude:. dλ λ ω B 4 b) w( T) wω ( ω, T) dω T 3 3 Deoarece: 3 3 x x exp[ x] x exp[ x] exp[ x] 3, (4) k 4 π c 3 x dx. (5) exp[ x] ( exp[ x] + exp[ x] + exp[ 3x] +...) ş x exp[ x] dx 3 6 4, se obţe: 3 4 x dx π exp[ ] (6) x 5 Itroducâd rezultatul (6) î relaţa (5) rezultă: 4 π kb 4 w( T) T. (7) c Se şte că: 4 c B ( T) σ T w( T). (8) 4 D relaţle (7) ş (8) rezultă: 4 π 8 4 σ B 5,76 W K. (9) 3 6 ck dwλ( λ, T) D expresa, rezultă: dλ 5 ( exp[ x ]) x, () c ude: x ş λ T b. () kb λ T Î expresa (), se îlocueşte x 5 η ş se obţe: 5 exp[ 5]exp[ η ] η () Dacă η<<, atuc exp[ η ] + η ş rezultă: η,35; (3) exp[5] 5 x 5 η 4,965 (4) D expresa () se obţe: 5

16 b c 3 λ T,89. K. (5) kbx. Natura corpusculară a lu.. Radaţa X de frâare Natura corpusculară a radaţe este cofrată ş de exsteţa ue lug de udă ltă petru radaţa X de frâare. Radaţle X sut produse atuc câd ţtele solde sut bobardate cu electro rapz. Î fgura.5. este prezetat u tub de radaţ X. Catodul C îcălzt, este o sursă de electro produş pr efect teroelectrc. Cldrul E este trodus petru focalzarea fasccolulu. Aodul A este atcatodul ce repreztă ţta ş este cofecţoat dtr-u etal greu (W, Cu, Pt etc.). Electro eş de catod sut acceleraţ de poteţalul exstet ître catod ş atcatod. Atuc câd electro cad pe ţtă cea a are parte a eerge lor este elberartă sub foră de căldură. O că parte a eerge (-3%) este trasforată î radaţe. Petru răcrea catodulu, acesta este prevăzut cu caale pr care crculă u lcd de răcre (apă sau ule). A C E Fg..5. Motajul experetal petru studul radate X de fraare Dacă tesuea dtre catod ş atcatod este U, electro sut acceleraţ căpătâd eerga eu. Pătruzâd î atcatod, electro sut puterc deceleraţ ş dev surse de radaţe. Ca urare î exterorul atcatodulu este detectată rdaaţa X de frăare, avâd u spectru cotuu. Exstă de aseeea, o radaţe avâd spectrul forat d l ută radaţe X caracterstcă, obţută ca urare a exctăr electrolor d păturle feroare ale atolor d ţtă. Vo aalza î cotuare doar radaţa X de frâare. Î fgura.6 sut îfătşate curbele experetale care arată cu este dstrbută pe lugea de udă puterea radaţe de frâare petru dferte valor ale tesu U. 6

17 dp dλ U5keV U4keV U3keV λ λ Fg..6 Î cocordaţă cu teora electroagetsulu clasc, câd u electro este decelerat, va apare radaţe avâd toate lugle de udă de la zero la ft. Rezultatele experetale prezetate î fgura.6 arartă că teora este frată, deoarece exstă o luge de udă ă (o frecveţă axă ) asocată tesu de accelerare, dată de relaţa: 39 λ (.) U ude U este î volţ, ar λ î agrsto. Exsteţa lug de udă e este legată de atura cuatcă a radaţe. Dacă radaţa se obţe pe seaa eerge electroulu, atuc eerga cuate ω u poate depăş eerga electroulu eu, dec ω eu (.) Relaţa (.4) perte obţerea fecveţe ω ax ş dec alug de udă e λ, avâd valoarea: πc ( πc / e) λ (.3) ωax U Deterâd valoarea lu d ecuaţle (.) ş (.3) se obţe u rezultat foarte precs.. Efectul fotoelectrc Pr efect fotoelectrc se îţelege feoeul de ese a electrolor de către o substaţă sub acţuea lu. Feoeul a fost descopert de fzcaul gera Herc Hertz î 887. El a observat că o descărcare care se produce ître do electroz poate avea loc ult a uşor dacă uul dtre electroz este luat cu u fasccul de raze ultravolete. Dspoztvul experetal este reprezetat î fgura.7. 7

18 Q C A V P G Fg.7 Dspoztvul experetal folost la studul efectulu fotoelectrc Lua care pătrude pr fereastra de cuarţ Q, cade asupra catodulu C. Electro eş î ura efectulu fotoelectrc se şcă sub acţuea căpulu electrc spre aodul A. Î crcut apare u fotocuret, care este ăsurat cu galvaoetrul G. Tesuea dtre aod ş catod poate f varată cu poteţoetrul P. Se obţ urătoarele rezultate experetale, care repreztă legle experetale ale efectulu fotoelectrc: a) Dacă se ăsoră testatea curetulu electrc ca fucţe de tesuea dtre electroz la ωct, luâd fluxul Φ ca paraetru se obţe o proporţoaltate ître curetul de saturaţe ş fluxul luos ce cade pe catodul celule I S C Φ (.4) Î fgura.8 se preztă evoluţa fotocureţlor ca fucţe de tesue luâd luâd fluxul ca paraetru. 8

19 I S3 I I S Φ Φ 3 Φ 3 > Φ > Φ Φ I S V r V lua Fg.8 Evoluta fotocuretulu fucte de tesue petru dferte fluxur de Î fgura.8 se observă că aularea tesu dtre aod ş catod u coduce la aularea fotocuretulu. Acesta se aulează petru o valoare egatvă V r a tesu, î această stuaţe electro sut frâaţ ş u a pot ajuge la catod. b) Meţâd fluxul care cade pe catod costat ş vard fecveţa se obţe rezultatul prezetat î fgura.9, ude se vede că la creşterea frecveţe lu are loc o scădere a tesu de frâare. I ω ω 3 >ω >ω ω ω 3 Fg..9 Evoluta fotocuretulu fucte de tesue petru dfte valor ale frecvete V c) Expereţa arată că exstă o frecveţă ltă sub care efectul fotoelectrc u se produce. Reprezetarea grafcă a tesu de frâare ca fucţe de frecveţă este prezetată î fgura.. Î fgură ω p repreztă frecveţa de prag, sub care efectul fotoelectrc u se produce. 9

20 V f ω p ω Fg.. Depedeta tesu de fraare fucte de frecveta lu. ω p reprezta frecveta de prag (aulare a fotocuretulu) d) Efectul fotoelectrc este practc stataeu, tpul dtre oetul luăr ş cel 8 al aparţe fotocuretulu fd feror lu s. Îcercâd să explce rezultatele experetale prezetate a sus, fzca clască s-a aflat î faţa uor barere de atrecut. Astfel electro aflaţ î păturle superfcale ale atolor sut acceleraţ sub flueţa udelor luoase, ar î oetul acuulăr ue eerg sufcet de ar, e vor f elberaţ dferet de frecveţa radaţe, lucru care î realtate u se petrece. Î cadrul teore clasce se cosderă că eerga este dstrbută ufor pe suprafaţa de udă, ceea ce ar îsea că tpulî care electroul ar acuula sufcetă eerge petru a părăs etalul ar f foarte are, fapt ce coytrazce realtatea. Rezultatele experetale obţute asupra efectulu fotoelectrc pot f explcate uşor dacă se adte poteza lu Este (95), care presupue că efectul fotoelectrc se produce ca urare a teracţe dtre do corpuscul foto-electro ( cu alarea fotoulu ), fotoul fd cuata eleetară a udelor electroagetce. Pe baza aceste poteze se poate scre ecuaţa blaţulu eergetc ca urare a cocr foto-electro: v ω A+ (.5) v ude ω este eerga fotoulu, A este lucrul de extracţe al etalulu, ar repreztă eerga cetcă a fotoelectroulu es î ura teracţe cu fotoul. Efectul fotoelectrc ş lucrul de extacţe depd puterc de suprafaţa etalulu (î partcular de oxz ş de substaţele absorbte de ea). D acest otv, forula lu Este u a putut f verfcată petru u lug tp. Relaţa (.5) a fost verfcată cu o buă precze de către R. Mllka (96), care a descrs u aparat î care suprafeţele erau curăţate î vd, după care au fost deterate lucrul de extracţe ş depedeţa eerge fotoelectrolor de frecveţa lu cdete. Î ceea ce prveşte lucrul de extracţe acesta este forat d lucrul de extracţe al electroulu d ato ş d lucrul ecesar electroulu petru a părăs suprafaţa substaţe. Rearcă că î cadrul efectulu fotoelectrc prezetat a sus electroul teracţoează cu u sgur foto. Descoperrea ssteelor care et luă de are testate (laser) a făcut posblă aparta efectulu fotoelectrc bazat pe absorbţa a a ultor foto d4e eerge că. Î acest caz relaţa lu Este se scre:

21 N ω v + A (.6) ude N este uărul fotolor care duc la aparţa uu fotoelectro. Efectul prezetat a sus este u efect fotoelctrc exter, exstâd îsă ş substaţe care luate dau aştere uu curet ter (secoductor), î acest caz avâd de-a face cu u efect fotoelectrc ter..3 Efectul Copto Î a 9-93 fzcaul aerca Artur Copto a vestgat dfuza radaţe X pe dferte substaţe. Scea stalaţe experetale utlzate de Copto este prezetată I fgura.. F F G θ Cr CI Fg.. Radaţa uu tub Roetge străbate fatele F ş F, dupa care teractoeaza cu u crstal de graft (G). Copozţa spectrală a radaţe dfuzate a fost studată cu ajutorul uu spectrograf de raze X alcătut dtr-u crstal Cr ş o caeră de ozare CI. Aalzâd radaţa dfuzată, Copto a costatat că pe lâgă radaţe cu aceeaş luge de udă ca a radaţe ţele exstă ş radaţe cu luge de udă deplasată spre lug a ar. De aseeea s-a observat că ărea deplasăr lug de udă a radaţe depde de ugul de dfuzare, crescâd odată cu creşterea acestu ug. Rezultatele studulu făcut pe radaţa dfuzată (corespuzătoare le K α a olbdeulu) pe graft sut prezetate î fgura.

22 Fg.. Î fgura.3 sut prezetate spectrele radaţe X (la K α a argtulu λ,5667a ) dfuzată sub acelaş ug pe dverse substaţe. Fg.. 3 Aalzâd această fgură se ajuge la urătoarele cocluz: - ărea deplasăr u depde de atura sustaţe; - cu creşterea uărulu atoc al substaţe care teracţoează cu radaţa, testatea radaţe edeplasate creşte, ar cea a radaţe deplasate scade. Astfel petru ltu radaţa dfuzată este practc costtută dtr-o sgură luge de udă deplasată, ar petru cupru testatea radaţe deplsate este foarte scăzută faţă de cea a radaţae edeplaste. Caracterstcle efectulu Copto pot f explcate dacă se adte că procesul de dfuze a radaţe X se produce ca urare a cocr elastce a fotolor ce alcătuesc radaţa cu electro practc lber a substaţe. Electro pot f cosderaţ lber sut electro slab legat de ato daca eerga lor de legătură este ult a că decât eerga pe care fotoul o poate traste electroulu pe care îl coceşte.

23 Presupuâd că ître foto ş electro are loc o cocre elastcă vo scre î cotuare legle de coservare petru eerge ş puls, cosderâd că u foto cu pulsul ţal k r ş eerga ω coceşte u electro aflat î repaus, cu eerga c (cazul relatvst). După cocre fotoul va avea pulsul k r ' ş eerga ω', ar electroul se va deplasa relatvst cu pulsul p r ş eerga Pute scre cofor fgur.4 : c p + c. Fg..4 Dagraa pulsurlor fotolor cdet s prastat s respectv al electroulu elberat de radata X. ω + c ω' + c p + c (.7) r r r k p+ k' (.8) ω Îpărţd relaţa (.7) la c ş ţâd seaa că k c vo avea: p + c ( k k' ) + c sau rdcâd la pătrat: p ( k + k' kk') + c( k k') (.9) Ecuaţa (.8) se poate scre: r r p ( k k') ( k + k' kk'cosθ) (.) Coparâd ecuaţle (.9) ş (.) obţe: c( k k') kk'( cosθ) (.) Îulţd relaţa (.) cu π ş îpărţd-o la ckk, razultă: π π π ( cosθ) (.) k' k c π Cu λ, relaţa se a scre k λλ -λλ(-cosθ) (.3) π ude: Λ este ută lugea de udă Copto. Î cazul electroulu Λ are valoarea: c Λ,43A (.4) 3

24 Expereţa arată că atuc câd are loc teracţa radaţe cu electro puterc legaţ î ato (cazul atolor gre) eerga ş ulsul sut scbate cu atoul ca u îtreg. Deoarece asa uu ato este ult a are decât aceea a electroulu,scbarea lug de udă este egljablă, î acest caz λ coczâd cu λ. Se poate astfel def de o aeră caltatvă raporul testătlor radaţe deplasate pe baza ase atoulu. Î ato uşor toţ electro au legătur slabe, ar î ato gre doar electro perferc sut slab legaţ de ucleu. Aşadar cu creşterea uărulu atoc ş î codţ detce, testatea radaţe deplasate va scădea tp ce aceea a radaţe edeplasate va creşte. Aceste rezultate cocd cu cele observate î fgura.3. Problee.. Suprafata uu etal oarecare este luata cu o radate avad lugea de ude de 35 Å. Alegad o auta dfereta cu potetal de fraare se tae fotocuretul. Modfcad lugea de uda a lu cu 5 Å, dfereta de potetal de fraare a trebut sa fe arta cu V, 59V petru a taa d ou fotocuretul.. Cosderad cuoscute 34 8 costata lu Plack 6,65 Js s vteza lu vd, c 3 s, sa se detere sarca electroulu s lucrul de esre al electroulu d etal, cosderad ca V 3 V Rezolvare: Relata lu Eeste, cele doua cazur, se scre : c εextr + e( V + V), () λ c εextr + e( V + V). () λ λ Scazad expresa () d expresa (), rezulta : e (,6 c λ 9 λ λ λ) V C (3) Itroducad expresa lu e d relata (3) ecuata (), se obte λ λ λ( V+ V) λ 4 λ εextr c c, 76 λ( λ λ) V λ( λ λ) ev.. O radate γ oocroatca este trsa pe o placa etalca foarte subtre plasata vd s se extrag electro care sut supus actu uu cap agetc de ducte ufora 3. B,5 T. Sa se detere eerga, frecveta s lugea de uda a radate cdete plecad de la uratoarele date: raza de curbura R, a traectorlor electroce tr-u pla perpedcular pe B; lugea de uda λ, 5Å a radate asocate velulu K al k 34 electroulu extras, costata lu Plack 6,6 Js, vteza lu vd, 8 3 c 3, s, asa de repaus a electroulu, e 9 kgs sarca electroulu. Se vor eglja corectle relatvste. 4

25 Rezolvare: Blatul eerge actuea fotoelectrca a fotoulu γ de luge de uda λ s de frecveta v se scre: c v εe + εc, () λ εefd lucrul de esre al electroulu d etal s εceerga cetca a electroulu. Eerga cuate γ fd sufceta petru a oza atoul etalc sulgadu- u electro de pe velul K, eerga ecesara petru a extrage electroul de sub actuea potetalulu edu al etalulu este egljabla. Ecuata () deve: c c + ev () λ λ k Vteza va electroulu de sarca e s asa ese deduce d raza de curbura R care are traectora sa orala la capul agetc de ducte B: ebr 7 v,7 s (3) e Eerga fotulu γ va f: ε c c ebr,65 J,3 ev γ λ λ, (4) ar frecveta v γ γ k ε,5 9 Hz s lugea de uda : c v γ,,å (6) v.3 Îtr-o expereţă de dfuze Copto a radaţlor γ s-a observat că foto cercur cu raza r3c îtr-u cdeţ au fost dfuzaţ sub ugul θ3, ar electro de recul au descrs câp agetc B9,. - T. Să se calculeze: a) Eerga trasferată uu electro de recul ş lugea de udă a fotoulu cdet. b) Ugul de devaţe al electroulu de recul. c) Presupuâd că electro de recul sut cdeţ pe u oocrstal cu costata d,4. -, să se calculeze ugul de cdeţă petru care se observă axul de ordul zece î fascculul de electro dfractat pe oocrstal. Rezolvare a) electro de recul se rotesc î câp agetc pe cercul de rază r cu vteza v dată de codţa: v evb, () r adcă cu pulsul pverb. Eerga trasferată de foto electroulu de recul este: E recul p + c sau c (5) 5

26 6 E recul e r B c + 7, J. () c Eerga de recul a poate f scrsă sub fora: c c E recul, ude λ, (3) λ λ + λ c π deoarece θ. Astfel, lugea de udă afotulu cdet este egală cu: 4 c λ +, 6. (4) c E recul b) Ugul de devaţe al electrolor de recul: θ ctg tg ϕ, 9 ş ϕ 4 o 3'. (5) + cλ c) Lugea de udă asocată electrolor de recul va f egală cu: 3 λ B 5. (6) p erb D relaţa Bragg: dsθkλ, rezultă: sθ,35 ş θ o 47. (7).4 Itr-u efect Copto cu raze γ lugea de udă a radaţe cdete este λ p, ar lugea de udă asocată electrolor de recul este egală cu lugea de udă Copto petru electro. Radaţle cdetă ş dfuzată cad sulta, sub cdeţă orală pe o reţea de dfracţe de luge totală l c, fd observate dstct î spectrul de ordul îtâ. Să se calculeze: a) Deplasarea Copto, ugul de dfuze al fotolor ş eerga cetcă a electrolor de recul. b) Costata reţele ş ordul ax al spectrulu observat. Rezolvare a) D codţa: λ B λ C rezultă că:, () v c v de ude v c c, adcă: c c v. () Scrd legea coservăr eerge, 6

27 c + c λ c + λ + λ c v c, rezultă: (3) v cλ c λ v v cλ c c λ( ) 4 (4) ( ) cλ D expresa: λ ( cosθ), (5) c Rezultă ugul de dfuze: c λ cosθ, ş θ7 o. (6) Eerga cetcă a electrolor de recul este egală cu E C (- )c 4 c ( ) 3,357 c o J. (7) v c b) Radaţa dfuzată are lugea de udă λλ + λ. Puterea de rezoluţe a reţele este: λ P Nk (8) λ ude N este uărul total de l ale reţele, ar k ordul de dfracţe. Costata reţele, d a + b. N Astfel, P kl d, ar ( ) λ λ λ + λ λ +. Dec, λ kl λ d kl. λ λ + λ Î cazul problee, k, astfel că l λ 4 d. (9) λ + λ π Ordul ax al spectrulu se obţe petru θ î dsθkλ, astfel îcât d 8 k. () λ ax 7

28 .5. Itr-o expereta de dfuze Copto a radatlor γ s-a observat ca foto cdet au fost dfuzat sub ugul θ 9, ar electro de recul au descrs cercur cu raza r 3 c tr-u cap agetc de ducte B 9, T. Sa se calculeze : a) Eerga trasferata uu electro de recul s lugea de uda a fotoulu cdet ; b) Ugul de devate al electroulu de recul ; c) Presupuad ca electro de recul sut cdet pe u oocrstal cu costata d,4 sa se calculeze ugul de electro dfractat pe oocrstal. Rezolvare: Electro de recul se rotesc cap agetc pe cercul de raza r cu vteza v data de codta: v evb, () r adca cu pulsul p v erb. Eerga trasferata de foto electroulu de recul este: p ε + recul c sau c e r B 6 ε recul c + 7, J. () c Eerga de recul a poate f scrsa sub fora: ε c c recul, ude λ λ λ + λ c, (3) π Deoarece θ. Astfel, lugea de uda a fotoulu cdet este egala cu: 4 c λ +,6 c ε recul (4) b) Ugul de devate al electrolor de recul: θ ctg tg φ.9 s φ cλ (5) d) Lugea de ude asocata electrolor de recul va f egala cu: 3 λ B 5 p erb (6) D relata Bragg: d sθ kλ, (7) Rezulta : θ,35 s θ 47 8

29 3. Fzca atoca clasca 3..Regulartăţ ale spectrulu atoc. Radaţa atolor care u teracţoează uul cu altul (ato î stare gazoasă) se preztă sub fora uor l dscrete, caracterstce eleetulu. Totaltatea llor ese de u ato forează u spectru, ut spectru atoc. U spectru poate f costtut d a ulte ser spectrale. Pr sere spectrală se îţelege o subulţe de l ese de u ato, ale căror frecveţe pot f deduse pe baza aceleaş forule ş care preztă propretăt detce î ceea ce prveşte despcarea llor î câp agetc sau î câp electrc. Pra sere spectrală a fost observată de eleveţaul J. Baler î 885, care a arătat că lugle celor patru radaţ vzble ale drogeulu, otate cu H α, H β, H γ ş H δ pot f obţute cu relaţa: λ λ, 3,4,5 (3.) 4 ude λ este o costată egală cu 3645,6. Scrd relaţa (3.) pr îlocurea lug de udă cu frecveţa ω se obţe: ω R, 3,4,5 (3.) ude R se ueşte costata Rydberg ş are valoarea: 6 R,7 rad / s. Relaţa (3.) poartă uele de forula lu Baler ş corespude serlor de l spectrale d spectrul vzbl. Ivestgaţle ulteroare au pus î evdeţă exsteţa altor ser spectrale î spectrul vzbl. Lle acestor ser pot f reprezetate pr relaţle: ω R,3,4 (3.3) Relaţa (3.4) descre lle care forează sera Lya, l ce sut plasate î zoa de ultravolet. Exstă, de aseeea, tre ser î reguea de fraroşu date de relaţle: - sera Pasce: ω R, 4,5,6 (3.5) 3 - sera Brackett: ω R, 5,6,7 (3.6) 4 -sera Pud: 9

30 ω R, 6,7,8 (3.7) 5 Aalzâd frecveţele llor d spectrul atoulu de droge, obţute pe baza relaţlor (3.)-(3.7), se poate trage cocluza că lle spectrale ale atoulu de droge pot f deduse pe baza ue sgure relaţ, de fora: ω R (3.8) ude a valor ître ş 5. Relaţa (3.8) repreztă forula geeralzată a lu Baler. Se R observă că atuc câd creşte, frecveţa llor sere tde către valoarea, ută lta sere. Studd spectrele sltor ato s-a observat că frecveţele llor î acest caz pot f reprezetate ca dfereţe ître do tere: ω T( ) T( ) (3.9) Tere T() ş T() se uesc tere spectral. Tereul T() are o foră a coplcată decât la atoul de droge. 3..Modelul uclear al atoulu Modelul uclear al atoulu a fost elaborat de savatul eglez E. Ruterford ca urare a rezultatelor pe care el ş colaborator să le-au obţut î expereţele de dfuze a partculelor α atuc căd acestea străbat foţe etalce. Scea otajulu experetal folost este prezetată î fgura.4. D M R θ Au Fg..4 Motajul esxperetal utlzat petru studul partculelor α ce teractoeaza cu o fota de aur. 3

31 U fasccul îgust de partcule α ( uclee de He cu două sarc poztve) ese de substaţa radoactvă R sut trse pe o foţă fă de aur(au). La trecerea pr foţă partculele sut devate de la drecţa ţală a şcăr cu dferte ugur θ. Partculele dfuzate atg u detector de ZS, producâdu-se sctlaţ, care pot f observate cu ajutorul croscopulu M. Mcroscopul ş detectorul au putut f rotte I jurul ue axe ce trece pr cetrul foţe de etal, fd astfel posblă pozţoarea sub orce ug θ. Aparatul a fost plasat îtr-o ctă vdată, petru a exclude dfuza partculelor α datortă cocrlor cu oleculele de aer. Ca urare a taracţe fasccululu cu foţa etalcă s-a observat că uele partcule au fost devate cu ugur foarte ar (aproape 8 ). Aalzâd rezultatele experetale, Ruterford a ajus la cocluza că o devere atât de are a partculelor este posblă doar dacă exstă u câp electrc puterc î terorul atoulu, care este produs de a sarcă îcărcată asocată cu o asă are cocetrată îtr-u c volu. Pe baza aceste cocluz, Ruterford a propus î 9 u odel uclear al atoulu. Cofor acestu odel u ato este u sste de sarc al căror cetru este u ucleu poztv greu de sarcă Ze, avâd desu a c de c, î jurul ucleulu exstâd Z electro dstrbuţ î îtreg voluul ocupat de ato. Aproape toată asa atoulu este cocetrată î ucleu. Pord de la aceste presupuer, Ruterford a dezvoltat o teore cattatvă a dfuze partculelor α ş a dedus o forulă petru dstrbuţa partculelor α dfuzate î fucţe de valorle ugulu θ. Prezetă î cotuare deducerea aceste forule, utlzâd fgura.5. p r p r p r α θ p r p r θ r Ψ b θ/ ϕ θ π θ Fg..5 Iteracta dtrte partcula α s ucleu (Ruterford) Deflexa partcule α u poate avea loc ca urare a taracţe cu electro, deoarece asa electrolor este cu patru orde de ăre a că decât asa partcule α. Deflexa se produce ca urare a teracţe dtre partculă ş ucleul atoulu. Ître partcula α aflată î aproperea ucleulu şî ucleu se exerctă forţa Coulob Ze F (3.) 4πεr Exerctâdu-se asupra partcule aflată î şcare, traectora acestea va f o perbolă (vez şcarea partcule î câp cetral). Presupue că ugul dtre asptotele perbole este θ. Acest ug caracterzează deverea partcule de la drecţa ţală. Dstaţa b de la 3

32 ucleu la drecţa ţală a partcule se ueşte paraetru de pact. Partculele ale căror traector sut a apropate de ucleu (b este a c) sut devate a puterc. Ître b ş θ exstă o relaţe splă ce va f dedusă î cotuare. Deoarece ărea pulsulu parcule după ce a fost devată răâe eodfcată (pp ) pute scre: θ θ p p s α vs (3.) ude α este asa partcule α, ar v este vteza ţală a acestea. Pe baza leg lu Newto se poate scre: r r p Fdt (3.) Proectâd vector d ecuaţa (.65) pe drecţa lu p r vo avea: F p p dt (3.3) Î fgura.5 se vede că: θ Ze θ F p FcosΨ Fs ϕ + s ϕ + (3.4) r θ π s dϕ Itroducâd (3.4) î (3.3) ş îlocud dt cu rezultă: ϕ ϕ + dϕ θ p Ze r ϕ (3.5) Dar cu L & α r ϕ este ărea oetulu cetc al partcule α î raport cu ucleul care o dfuzează, ar forţa ce se exerctă asupra partcule este ua cetrală, pute spue că oetul cetc răâe costat, ar ărea sa este cea ţală L vb Îlocu r ϕ& cu vb î relaţa (3.5) ş î ura tegrăr se obţe: Ze θ p cos (3.6) vb Coparâd (3.6) ş (3.5) se obte: α. Dec: θ Ze θ αvs cos vb (3.7) θ v ctg α b Ze (3.8) Cosderă u strat de dfuze foarte subţre astfel îcât fecare partculă ce o străbate trece doar pr aproperea uu sgur ucleu. O partculă dfuzată î terorul ugulu θ ş θ+dθ, va avea paraetrul de pact cuprs ître ltele b ş b+db aşa cu se vede î fgura.6. b+db Au b dθ db Fg..6 Iprasterea partculelor α ura teracte cu fota de Au 3

33 Fg.6 Pord de la relaţa (3.8), pr dfereţere se obţe: dθ αv db (3.9) θ Ze s Seul us î (3.9) este legat de faptul că odată cu scăderea ugulu de devere (dθ<), paraetrul de pact creşte (db>). Notă ara fasccululu de partcule cu S. Nuărul de ato a foţe, aflat î faţa fasccululu va f Sa, ude este uărul de ato d utatea de volu, ar a este grosea foţe. Dacă partculele α sut dstrbute ufor pe secţuea trasversală a fasccululu ş uărul lor este foarte are, atuc uărul relatv de partcule α care trec î aproperea uu ucleu î lugul ue traector cu paraetrul de pact de la b la b+db va f: dnθ Saπbdb aπbdb (3.) N S Î această exprese dn θ este fluxul total de partcule d fasccul. Folosd θ ş dθ î locul lu b ş db pe baza relaţe (3.9) realţa (3.) deve: dn θ Ze θ dθ a πctg N αv (3.) θ s θ Trasforâd ctg relaţa se a scre: dn θ Ze π sθdθ a (3.) N αv 4 θ 4s Relaţa (3.) repreztă forula lu Ruterford petru dfuza partculelor α. Această forulă a fost verfcată experetal de Ruterford ş colaborator să, uărâd sctlaţle observate la dferte ugur θ, petru tervale de tp detce. Iteracţa de tp Coulob, adsă la deducerea forule (3..), s-a dovedt a f î cocordaţă cu rezultatele experetale, îtrucât partculele care s-au aflat pe drecţa ucleulu au fost devate cu u ug de 8, după ce s-au apropat de ucleu la o dstaţă dată de relaţa: v Ze (3.3) 4πεr ude r repreztă dstaţa dtre partculă ş cetrul ucleulu ş a fost de aproxatv 6 c. 33

34 Modelul uclear cotrazce legle ecac ş electrodac clasce. Astfel, deoarece u sste de sarc staţoare u se poate afla î eclbru stabl (teorea lu Ersaw) Ruterford a reuţat la odelul statc al atoulu ş a ads că electro se şcă î jurul ucleulu pe traector curbe. Î acest caz electroul se va şca deccelerat sub flueta forte cetrpete ş î cocordaţă cu legle electrodac clasce el va ete cotuu ude elctroagetce. Procesul de ese duce la perderea eerge ceea ce îseaă că electroul va cădea pe ucleu. Expereţa arată că ato repreztă sstee deosebt de stable, elâd poteza de a sus 3.3 Teora lu Bor asupra atoulu 3.3. Modelul plaetar al atoulu ş postulatele cuatce ale lu Bor Î cadrul odelulu uclear al lu Ruterford, atoul a fost presupus ca fd alcătut dtr-o sarcă poztvă grea ş d electro care se află î jurul acestea. Aşa cu a arătat odelul uclear al atoulu î cobaţe cu ecaca clască ş electrodaca clască au fost capable să explce stabltatea atoulu ş atura spectrulu atoc. A văzut de aseeea că deducerea forule corecte (Plack) petru radaţa tercă de eclbru s-a făcut pe baza poteze exsteţe stărlor staţoare stable ale osclatorlor ce alcătuesc corpul egru. Pord de la rezultatele de a sus Bor a trodus două poteze î totală cotradcţe cu legle ecac clasce. Acestea sut cuoscute ca postulatele lu Bor ş au urătoarele forulăr:. Ato ş ssteele atoce u se pot gas u tp îdelugat decât î stăr be defte, ute stăr staţoare î care u et ş u absorb eerge. Î aceste stăr ssteele atoce posedă u şr dscret de eerg: E, E E. Aceste stăr se caracterzează pr stabltatea lor. Î terorul atolor, electro se deplasează pe orbte be defte, date de o relate de cuatfcare a oetulu cetc: l, ude l reprezta area oetulu cetc: l vr, ar,,.... Orce trecere de la o stare staţoară E la o altă stare E poate f îsoţtă de absorbţe sau de ese de radaţe, această radaţe este oocroatcă ş frecveţa sa este dată de relaţa: ω E E (3.4) Aceste postulate sut î cotradcţe cu rezultatele electrodac clasce, îtrucât pe baza prulu postulat, deş electro d ato execută şcăr de rotaţe, decelerate, ar cofor cu cel de-al dolea postulat frecveţele ese u au c cou cu frecveţele şcărlor perodce ale electrolor Expereţa lu Frack ş Hertz Exsteţa velelor dscrete de eerge a fost cofrată pr şrul de expereţe efectuate î 94 de fzce J. Frack ş G. Hertz. Î fgura.7 este îfăţşată dagraa aparatulu utlzat de e. 34

35 Fg.7 Tubul T uplut cu vapor de ercur, la o presue scăzută (î jur de Hg) a fost prevăzut cu tre electroz. Electro elberaţ de catod (C) pr ese teroelectrocă au fost acceleraţ cu dfereţa de poteţal U aplcată ître catod ş grlă (Gr). Dfereţa de poteţal a fost varată cu poteţoetrul P. U câp electrc slab (corespuzător ue dfereţe de poteţal de,5v) a fost creat ître grlă ş aod (A). Afost studată relaţa exstetă ître curetul I alcătut d electro colectaţ de aod ş tesuea U, ăsurate galvaoetrul G ş respectv voltetrul V. Evoluţa curetulu î fucţe de tesuea U este prezetată î fgura.8. II I I 4,9 4,9 4, 9 3 4, 9 U[V] Fg..8 Evoluta fotocuretulu cu tesuea ca urare a cocrlor dtre electro d descarcare s ato de ercur Aşa cu se vede î fgura.8, pord de la V curetul are o creştere ootoă pâă la 4,9V, după care are loc o scădere urată de o ouă creştere ootoă pâă la 9,8V. 35

36 Evoluţa se repetă, axele urătoare ale curetulu fd atse petru ultpl a tesu de 4,9V. O astfel de foră a curbe este explcată pr faptul că posedâd vele dscrete de eerge E, E E, ato pot absorb eerge doar sub fora: E E -E, E E 3 -E, etc. Cât tp eerga electroulu es de catod ş accelerat cu tesuea U este a că decât E cocrle ître electro ş ato de ercur şut de atură elestcă: deoarece asa electroulu este ult a că decât asa atoulu, ar eerga electroulu u suferă o vrtuală scbare ca urare a cocrlor. O parte a electrolor sut captaţ de grlă, ar alţ străbat grla ş ajug la aod, producâd curetul I, ce străbate galvaoetrul G. Petru tesu a ar fracţa de electro ce ajuge la aod va f a are ş ca urare curetul I va f a are. Câd eerga acuulată de electro î spaţul dtre catod ş grlă atge valoarea E, cocrle dev elastce ş electro vor trasfera eerga E atolor pe care î cocesc ş e vor cotua să se deplaseze cu o vteză a că. Ca urare uărul de electro ce ajug la aod este a c. Crescâd tesuea U, electro vor căpăta o eerge egală cu E a aproape de catod, după care vor f acceleraţ d ou. Î cazul tesu de 9,8V, electro au sufert două cocr elastce î ura cărora au cedat eerga atolor. Pra la juătatea dstaţe dtre catod ş grlă ş cea de-a doua î aproperea grle. La o tesue a are sut posble tre cocr elastce ale electroulu cu atoul, ceea ce coduce la aparţa uu ax la 3 4, 9V. Î acest fel experaţa Frack ş Hertz pue î evdeţă exsteţa velelor de eerge dscrete ale atoulu Cuatfcarea orbtelor crculare Postulatele lu Bor sut î totală cotradcţe cu coceptele ecac clasce. Această cotradcţe este legată de faptul că î tp ce postulatele lu Bor adt exsteţa uu uăr de vele de erge dscrete asocate asocate î ato cu a sere de orbte cuatce, î cazul ecac clasce se obţe o ulţe cotuă de orbte. Pord de la poteza lu Plack, cofor cărea petru eerga uu osclator sut posble acele stăr a căror eerge este: E ω ( fd îtreg), Bor a obţut codţa de exsteţă a orbtelor staţoare. Cosederâd coordoatele caoc-cojugate ale osclatorulu, coordoatele q ş pulsul p, eerga osclatorulu se scre: p ω q E + ω (3.5) de ude rezultă: q p + (3.6) / ω ω Plaul cu coordoatele q ş p poartă uele de pla al fazelor ş o curbă ce deteră pe p ca fucţe de q petru o şcare dată se ueşte traectora faze. Relaţa (3.6) arată că traectora faze uu osclator aroc este o elepsă cu seaxele: a ş b ω ω Cu ara elepse este egală cu produsul seaxelor ultplcat cu π, rezultă: 36

37 S πab π (3.7) Ara elpse a poate f îsă scrsă sub fora: S pdq (3.8) Pe baza relaţlor (3.7) ş (3.8) rezultă: pdq π (3.9) Petru u electro ce se roteşte î jurul ucleulu pe o orbtă crculară, coordoata geeralzată va f ugul azutal ϕ, ar pulsul asocat e va f oetul de erţe L r ϕ&. Aşadar petru u electro care se deplasează pe o orbtă crculară codţa (.83) are fora: Ldϕ π (3.3) Doearece forţa cre se exerctă asupra electroulu este o forţă cetală, rezultă că Lcost. s relaţa (3.3) se va scre: L (3.3) Astfel ca î cocordaţă cu codţa lu Bor, dtre toate orbtele posble ale uu elctro (d puctul de vedere al ecac clasce) sut posble doar acelea petru care oetul cetc este u uăr îtreg de cstate Plack Teora eleetară a lu Bor petru atoul de droge Vo cosdera u electro, care se şcă î câpul uu ucleu atoc cu sarca Ze (atoul este aşa zs drogeod ) ude Z este u uăr îtreg. Petru Z acest sste este reprezetat de atoul de droge, petru Z de atoul de He + splu ozat, petru Z3 de atoul de L ++, etc. Ecuaţa de şcare a electroulu aflat î câpul ucleulu este: v Ze (3.3) r 4πεr Codţa de cuatfcare a orbtelor (.85) se scre vr (, ) (3.33) Elâd vteza v d relaţle (3.3) ş (3.33) se obţe petru raza r a orbte expresa: r (3.34) 4πεe Z Raza pre orbte a atoulu de droge este cuoscută ca fd raza Bor. Ea are valoarea: o r, 59 A (3.35) Eerga teră a atoulu este alcătută d eerga cetcă a electroulu (ucleul fd cosderat staţoar) ş eerga poteţală a electroulu aflat î câpul ucleulu, dec: v Ze E (3.36) 4πεr Substtu v d relaţa (3.3) î (3.36) ş obţe: Ze E (3.37) 8πεr Itroducâd î relaţa (3.37) expresa raze orbte dată de (3.34) rezultă: 37