UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN BUCUREŞTI TFACULTATE A DE EN ERGE BAZELE ELECTROENERGETICII

Transcript

1 NVERSTATEA POLTEHNCA DN BCREŞT FACLTATEA DE ENERGETCǍ BCREST TFACLTATE A DE EN ERGE CA LCA DMTR CĂTĂLN DMTR BAZELE ELECTROENERGETC BCREŞT, 004

2 CPRNS CAP.. BAZELE TEORE MACROSCOPCE A ELECTROMAGNETSML.. MĂRM CE CARACTERZEAZĂ STĂRLE ELECTROMAGNETCE ALE CORPRLOR... Starea de electrzare... Starea de polarzaţe... Starea de magetzaţe..4. Starea electrocetcă.. MĂRM CE CARACTERZEAZĂ CÂMPL ELECTROMAGNETC.. CÂMPL ELECTRC MPRMAT 5.4. REGMRLE DE DESFĂŞRARE A FENOMENELOR 5 ELECTRCE Ş MAGNETCE.5. CONDCTOARE ÎN CÂMP ELECTROSTATC 6.6. LEGLE TEORE MACROSCOPCE A 6 ELECTROMAGNETSML.6.. Legea fluxulu electrc Legea fluxulu magetc Legea ducţe electromagetce.6.4. Legea crcutulu magetc.6.5. Legea coservăr sarc electrce Legea coducţe electrce (legea lu Ohm) Legea trasformăr eerge electromagetce î procesul 7 coducţe electrce (legea lu Joule).6.8. Legea legătur î câmp electrc Legea polarzaţe temporare Legea legătur î câmp magetc Legea magetzaţe temporare Legea electrolze.7. ENERGA Ş FORŢELE CÂMPL ELECTROSTATC.7.. Eerga câmpulu electrostatc.7.. Destatea de volum a eerge câmpulu electrostatc.7.. Teoremele forţelor geeralzate î câmp electrc.8. ENERGA Ş FORŢELE CÂMPL MAGNETC Eerga câmpulu magetc Destatea de volum a eerge câmpulu magetc Teoremele forţelor geeralzate î câmp magetc 5 CAP.. CRCTE ELECTRCE 7.. BAZELE TEORE CRCTELOR ELECTRCE 7... potezele teore crcutelor electrce cu parametr cocetraţ 7... Elemete de crcut 8

3 ... Rezstorul 9... Boba 0... Codesatorul...4. Sursa de tesue Sursa de curet 6... Crcute electrce 7... Clasfcarea crcutelor electrce 7... Regmurle de fucţoare ale crcutelor electrce Teoremele geerale ale teore crcutelor elctrce Teoremele lu Krchhoff Teorema lu Tellege Teorema coservăr puterlor Teorema surselor deale cu acţue ulă (Vaschy) Metoda smbolcă de reprezetare î complex a mărmlor 4 susodale..6. Ecuaţle lu Krchhoff î formă smbolcă Legea lu Ohm î complex Regula dvzorulu de tesue Regula dvzorulu de curet Teorema de coservare a puterlor Teorema geeratorulu echvalet de tesue (teorema lu 45 Théve)... Teorema geeratorulu echvalet de curet (teorema lu 46 Norto).. CRCTE TRFAZATE Ssteme de mărm trfazate Coexule crcutelor trfazate Coexuea stea î regm smetrc 5... Coexuea trugh î regm smetrc 5... Crcute trfazate cu cuplaje magetce 5... Receptor trfazat î coexue stea cu cuplaje magetce 5... Receptor trfazat î coexue trugh cu cuplaje magetce Le trfazată cu cuplaje magetce ître coductoarele 54 fazelor..4. Aalza crcutelor trfazate almetate cu tesu smetrce Receptor dezechlbrat î coexue stea Receptor echlbrat î coexue stea Receptor dezechlbrat î coexue trugh Receptor echlbrat î coexue trugh Puter î crcute trfazate Puter î sstemele trfazate fucţoâd î regm esmetrc Puter î sstemele trfazate fucţoâd î regm smetrc Metoda compoetelor smetrce Compoetele smetrce ale sstemelor de mărm trfazate 66 esmetrce..6.. Tratarea cuplajelor magetce î compoete smetrce 67

4 ..6.. Aalza crcutelor trfazate echlbrate almetate cu tesu 68 esmetrce Aalza crcutelor trfazate dezechlbrate 69.. REGML PERODC NESNSODAL 7... Geeraltăţ 7... Mărm perodce 7... Caracterzarea mărmlor perodce esusodale Puter î regm esusodal 75 CAP.. MAŞN Ş ACŢONĂR ELECTRCE 77.. TRANSFORMATORL ELECTRC Prcpul de fucţoare Teora tehcă a trasformatorulu electrc luâd î cosderare 78 perderle î fer... Blaţul puterlor trasformatorulu electrc Radametul trasformatorulu electrc 8.. MOTORL ASNCRON Prcpul de fucţoare. Regmurle maş Teora tehcă a maş ascroe î regm de motor Blaţul puterlor ş radametul motorulu ascro trfazat 88.. ACŢONĂR ELECTRCE Ssteme de acţoare electrcă Ecuaţa fudametală a sstemelor de acţoare electrcă 9... Reducerea cuplurlor ş a mometelor de erţe la arborele 9 motorulu..4. Reducerea mşcărlor de traslaţe la mşcăr de rotaţe Caracterstcle mecace ale maşlor de lucru Maş de lucru cu cuplu rezstet varabl cu vteza lară 96 sau cu vteza ughulară a mecasmulu..5.. Maş de lucru cu cuplu rezstet varabl cu ughul de 98 rotaţe al uor orgae compoete ale maş..5.. Maş de lucru cu cuplu rezstet varabl cu cursa Alegerea motoarelor electrce de acţoare Regmurle de fucţoare ale maşlor de lucru Servcle de fucţoare ale motoarelor electrce Alegerea tpulu motoarelor electrce de acţoare î fucţe 00 de caracterstcle mecace ale maşlor de lucru Alegerea puter omale a motoarelor electrce de acţoare 0 pe baza codţlor de îcălzre Verfcăr etermce la alegerea motoarelor electrce 4 CAP. 4. REGMR DE FNCŢONARE A NSTALAŢLOR 6 ELECTROENERGETCE 4.. MODELAREA ELEMENTELOR COPMPONENTE ALE 7 SSTEML ELECTROENERGETC 4... poteze de lucru Modelarea geeratoarelor Modelarea cosumatorlor Modelarea reţele 0

5 4.. REPREZENTAREA PRN CADRPOL A NSTALAŢLOR 0 ELECTRCE 4.. SCHEMELE ELECTRCE ECHVALENTE ALE REŢELELOR ELECTRCE. CALCLL PARAMETRLOR ELECTRC ECHVALENŢ 4... Schemele electrce echvalete ale llor electrce 4... Schemele electrce echvalete ale trasformatoarelor de putere CALCLL CRCLAŢLOR DE CRENŢ Ş DE PTER ÎN 8 REŢELELE ELECTRCE Alegerea metodelor de calcul a regmulu permaet de fucţoare 8 a SEE Preczăr prvd efectuarea calculelor CALCLL PERDERLOR DE PTERE Ş ENERGE ÎN 9 REŢELELE ELECTRCE 4.6. MĂSR PENTR REDCEREA PERDERLOR DE PTERE Ş ENERGE Măsur de reducere la velul proectăr Măsur de reducere care u ecestă vestţ mar Măsur de reducere care ecestă vestţ mar Măsur de reducere î îtreprder Compesarea locală a puter reactve Măsur de îmbuătăţre a factorulu de putere î îtreprder Fucţoarea î paralel a trasformatoarelor CRBE DE SARCNĂ. NDCATOR A CRBELOR DE 9 SARCNĂ dcator curbelor de sarcă Reţeaua de dstrbuţe de mede tesue deală 4 BBLOGRAFE 44 V

6 CAP.. BAZELE TEORE MACROSCOPCE A ELECTROMAGNETSML Stărle ş feomeele fzce se caracterzează cu ajutorul mărmlor fzce care se clasfcă î: mărm prmtve, care se troduc pe cale expermetală; mărm dervate, care se defesc cu ajutorul mărmlor prmtve. Teora macroscopcă a feomeelor electromagetce utlzează şase spec de mărm prmtve specfce, care caracterzează complet starea electromagetcă a corpurlor ş starea câmpulu electromagetc... MĂRM CE CARACTERZEAZĂ STĂRLE ELECTROMAGNETCE ALE CORPRLOR... Starea de electrzare (de îcărcare electrcă): - petru u corp mc - este caracterzată global de sarca electrcă (q) - mărme prmtvă scalară, dotată cu sem. tatea de măsură î S se umeşte coulomb [C]. - petru u corp mare, caracterzarea stăr de îcărcare electrcă se face local (îtr-u puct), cu ajutorul uor mărm dervate, umte destăţ de sarcă electrcă: destatea lecă: q l d ρ l lm 0 ; (..) l l destatea de suprafaţă: q s d ρ s lm 0 ; (..) A A destatea de volum: q V d ρ V lm 0. (..) V V Corpurle îcărcate cu sarc electrce îş asocază u sstem fzc umt câmp electrc, pr care se trasmt ître corpur forţe ş cuplur electrce. După modul cum trasmt starea de electrzare se dstg două clase de materale de mportaţă eseţală î dustra electrotehcă: materale electrocoductoare - d care categore fac parte: metalele ş alajele lor, cărbuele, aumte soluţ de sărur, baze, acz. Dtre aceste materale deosebt de mportate petru dustra electrotehcă sut Cu ş Al, d care se realzează coductoarele llor electrce aeree ş î cablu ş îfăşurărle maşlor ş trasformatoarelor electrce. Materalele electrocoductoare preztă propretatea că la trecerea curetulu electrc, î ele se dezvoltă perder de putere pr efect Joule, proporţoale cu pătratul testăţ curetulu. materale electrozolate, umte ş materale delectrce, d care fac parte: lemul, stcla, mătasea, porţelaul, hârta, uleul, lacurle, aerul uscat, bachelta, caucucul, polclorura de vl etc. Î materalele delectrce foloste î dustra electrotehcă se dezvoltă perder de putere proporţoale cu pătratul tesu ş cu o mărme de materal umtă tageta ughulu de perder.... Starea de polarzaţe: - petru u corp mc este caracterzată global de mometul electrc ( p) mărme prmtvă vectorală avâd utatea de măsura coulomb metru [Cm].

7 - petru u corp de dmesu mar, starea de polarzaţe se caracterzează local cu ajutorul destăţ de volum a mometulu electrc, mărme dervată vectorală, umtă polarzaţe ( P ). Metalele sut practc epolarzable electrc. Î cazul delectrclor, starea de polarzaţe apare uma î prezeţa câmpulu electrc ş dspare câd acesta se aulează. O astfel de polarzaţe se umeşte temporară ş este caracterzată de mometul electrc temporar p t. ele materale precum crstalele de cuarţ, sarea Segette ş turmala, au o stare de polarzaţe depedetă de câmpul electrc, umtă polarzaţe permaetă ş caracterzată de mometul electrc permaet p p. Cele două tpur de polarzaţe u se exclud, astfel îcât atât mometul electrc cât ş polarzaţa satsfac relaţle: p p t + p p, (..4) P Pt + P p. (..5)... Starea de magetzaţe a uu corp mc se caracterzează global cu ajutorul mărm prmtve vectorale umtă momet magetc (m), care se măsoară î amper metru pătrat [Am ]. Caracterzarea stăr de magetzare a uu corp mare se face local, cu ajutorul destăţ de volum a mometulu magetc, mărme dervată umtă magetzaţe ( M ). ele corpur ajug î stare de magetzaţe uma î prezeţa câmpulu magetc, starea umdu-se magetzaţe temporară. Altor corpur le este propre starea de magetzaţe, depedet de prezeţa câmpulu magetc. Această stare se umeşte magetzaţe permaetă. Mometul magetc ş magetzaţa satsfac relaţle: m mt + m p, (..6) M M t + M p. (..7)..4. Starea electrocetcă a coductoarelor se caracterzează cu ajutorul mărm prmtve scalare umtă testate a curetulu electrc de coducţe (), avâd ca utate de măsură amperul [A]. Aceasta se referă la o aumtă secţue a coductorulu. Petru caracterzarea locală a stăr electrocetce se troduce mărmea dervată umta destate a curetulu de coducţe ( J ), relaţa dtre cele două mărm fd: J S d A. (..8) S tăţle de măsură S ale acestor mărm sut date î Tabelul.. Tabelul.. Mărme prmtvă Smbol tate Mărme dervată Smbol tate Destate lecă ρ l C/m Sarca electrcă q C Destate superfcală ρ s C/m Destate volumetrcă ρ v C/m Mometul electrc p Cm Polarzaţa P C/m Mometul magetc m Am Magetzaţa M A/m testatea curetulu electrc de coducţe A Destatea curetulu electrc de coducţe J A/m

8 .. MĂRM CE CARACTERZEAZĂ CÂMPL ELECTROMAGNETC Starea câmpulu electromagetc este caracterzată macroscopc pr următoarele spec de mărm: testatea câmpulu electrc ( E ), avâd utatea de măsura volt pe metru {V/m]; ducţa electrca ( D ), cu utatea de măsura coulomb pe metru pătrat [C/m ]; testatea câmpulu magetc ( H ), măsurată î amper pe metru [A/m]; ducţa magetcă ( B ), a căre utate de măsură este tesla [T]. Aceste spec de mărm de stare se troduc cu ajutorul a două spec de mărm prmtve: vectorul câmp electrc î vd ( E ) ş vectorul ducţe magetcă î vd ( B ). v Ître mărmle de stare ale câmpulu electrc (E, D ), respectv ître cele ale câmpulu magetc ( H, B ), exstă următoarele relaţ: D ε E, (..) B µh. (..) Cu ajutorul acestor mărm se defesc patru mărm dervate mportate î cadrul teore macroscopce a electromagetsmulu: tesuea electrcă ()- utate de măsură voltul [V]; fluxul electrc (Ψ)- utate de măsură coulombul [C]; tesuea magetcă ( m )- utatea de măsură amper (A) sau amper-spră (A.sp); fluxul magetc (Φ) cu utatea de măsură weberul (Wb). Relaţle de defţe sut următoarele: tesuea electrcă ître două pucte A,B, calculată de-a lugul ue curbe deschse, C, este: u AB d B A( C) Ed s, (..) ude d s este elemetul de le oretat (Fg...). v Fg... Dacă tegrala se calculează pe o curbă îchsă, Γ, atuc mărmea corespuzătoare se umeşte tesue electromotoare (t.e.m.) ş se exprmă cu relaţa: e Γ d Γ Eds. (..4) fluxul electrc prtr-o suprafaţă oarecare, deschsă, S, este: d S S Ψ D da, (..5) S

9 ude S este ormala la suprafaţă. Dacă suprafaţa se sprjă pe o curbă îchsă, Γ, atuc relaţa (..5) deve: d SΓ Ψ D da, (..6) SΓ SΓ ude da repreztă elemetul de are eoretat. Sesul ormale la suprafaţă este asocat cu sesul de parcurgere al curbe după regula burghulu drept (Fg...). Fg... Dacă se calculează fluxul electrc prtr-o suprafaţă îchsă, Σ, atuc relaţa de defţe deve: d Σ Σ Ψ D da. (..7) Σ Normala la suprafaţa îchsă este pr defţe ormala exteroară. tesuea magetcă ître două pucte A,B, se defeşte ca ş tesuea electrcă (Fg...) de-a lugul ue curbe deschse: u mab d B A( C) H d s. (..8) Dacă tegrala se efectuează pe o curbă îchsă, atuc se defeşte tesuea magetomotoare (t.m.m.): u Γ d mm Γ H d s. (..9) fluxul magetc se defeşte ca ş fluxul electrc (Fg...), fe pr suprafeţe deschse, fe pr suprafeţe îchse, cu relaţle: d S S Φ B da, (..0) S d Γ SΓ S Φ B da, (..) d Σ Σ SΓ Φ B da. (..) Σ 4

10 Notă. Rămâ valable toate observaţle făcute la fluxul electrc î legătura cu ormalele la suprafeţe. Alte mărm dervate mportate sut: soleaţa (Θ), rezsteţa (R), capactatea (C), ductvtatea (L) etc. Î Tabelul. este prezetată corespodeţa dtre aceste mărm. Tabelul. Mărme prmtvă Smbol tate Mărme dervată Smbol tate testatea E V/m Tesuea electrcă V câmpulu electrc ducţa electrcă D C/m Fluxul electrc Ψ C testatea H A/m Tesuea magetcă m A (A.sp) câmpulu magetc ducţa magetcă B T Fluxul magetc Φ Wb.. CÂMPL ELECTRC MPRMAT Expereţa arată că starea electrocetcă a coductoarelor este produsă ueor de cauze de atură eelectromagetcă (de exemplu de o plă galvacă). Efectul acestor cauze se echvalează cu efectul uu câmp electrc ce ar determa aceeaş stare electrocetcă. Acest câmp se umeşte câmp electrc mprmat. El este localzat fe î volumul fe pe suprafaţa de cotact a corpurlor coductoare ş se caracterzează local pr mărmea dervată vectorală umtă testatea a câmpulu electrc mprmat- E. E este o mărme de materal ş caracterzează coductoarele eomogee d puct de vedere structural, termc, chmc ş accelerate. Propretăţle globale ale câmpulu electrc mprmat î raport cu o aumtă curbă sut exprmate de tegrala de le a vectorulu E î raport cu acea curbă, mărmea corespuzătoare umdu-se tesue electromotoare mprmată: e ( C) C E ds. (..).4. REGMRLE DE DESFĂŞRARE A FENOMENELOR ELECTRCE Ş MAGNETCE După modul de varaţe î tmp a mărmlor electrce ş magetce, stărle electromagetce se pot desfăşura î următoarele regmur: - regmul statc, î care mărmle de stare u varază î tmp ş u se produc trasformăr eergetce; î acest regm feomeele electrce se produc depedet de cele magetce ş pot f studate î cadrul uor captole dstcte ale teore, respectv electrostatca ş magetostatca; - regmul staţoar, î care mărmle u varază î tmp, dar teracţule câmpulu electromagetc cu corpurle sut îsoţte de trasformăr eergetce; - regmul cvasstaţoar, î care mărmle varază î tmp, dar sufcet de let îcât să se poată eglja cureţ de deplasare î raport cu ce de coducţe, ş flueţa lor magetcă peste tot, cu excepţa delectrculu codesatoarelor; este cel ma mportat regm d puct de vedere al aplcaţlor tehce; - regmul estaţoar (regm varabl) caracterzat de cea ma geerală formă de varaţe î tmp a mărmlor, î care terve feomeul de radaţe electromagetcă. 5

11 .5. CONDCTOARE ÎN CÂMP ELECTROSTATC La troducerea lu îtr-u câmp electrc, u coductor eutru se electrzează (electrzare pr flueţă). Feomeul costă î repartzarea uor sarc electrce pe suprafaţa coductorulu, fără modfcarea sarc sale totale, ule î cazul coductoarelor eutre. Î regm electrostatc este îdepltă codţa de echlbru electrostatc: E + E 0. (.5.) Î cazul coductoarelor omogee ş eaccelerate, câmpul electrc mprmat este ul, E 0, (.5.) ş, î cosecţă, câmpul electrostatc î aceste coductoare este de asemeea ul: E 0. (.5.) Î fecare puct al suprafeţe acestor coductoare câmpul electrostatc are uma compoetă perpedculară pe suprafaţă. Î caz cotrar, partculele purtătoare de sarc electrce s-ar deplasa î coductor sau pe suprafaţa sa ş u ar f îdepltă codţa de echlbru electrostatc. Coductoarele omogee ş eaccelerate, au î regm electrostatc următoarele propretăţ:. Toate puctele d terorul uu coductor au acelaş poteţal. Dec suprafeţele acestor coductoare sut echpoteţale ş lle de câmp sut perpedculare pe ele. Demostraţe: E 0, dec AB V(A) V(B) 0;. Sarca electrcă a coductoarelor este repartzată superfcal, ar sarca d terorul coductoarelor este ulă;. La suprafaţa coductoarelor ducţa electrcă este egală î orce puct cu destatea de suprafaţă a sarc electrce; 4. Î cavtăţle fără sarc electrce d terorul coductoarelor câmpul electrc este ul. Acest efect se foloseşte î stalaţle de î.t. petru ecraarea (pr coductoare legate la pămât) a locurlor de observaţe î care se află persoal operator; 5. Orce suprafaţă echpoteţală d câmp poate f îlocută cu o suprafaţă coductoare fără a perturba câmpul (prcpul metalzăr suprafeţelor echpoteţale)..6. LEGLE TEORE MACROSCOPCE A ELECTROMAGNETSML Leg- relaţ determate expermetal care exprmă raportur obectve ş eseţale ître feomee. Aceste relaţ care se stablesc pr geeralzarea datelor expermetale, pe baza abstractzăr, se umesc leg. Teoreme- relaţle care se pot deduce pr aalză logcă d altele (î ultmă staţă d leg). Legle teore macroscopce a feomeelor electromagetce se clasfcă î: - leg geerale valable petru orce fel de corpur, dferet de regmul de desfăşurare al feomeelor ş depedet de caracterstcle de materal ale medulu. Î această categore tră: - legea fluxulu electrc, - legea fluxulu magetc, - legea ducţe electromagetce, - legea crcutulu magetc, - legea coservăr sarc electrce, - legea trasformăr eerge electromagetce î procesul coducţe electrce (legea lu Joule), 6

12 - legea legătur î câmp electrc, - legea legătur î câmp magetc; - leg de materal sut valable uma petru aumte corpur, fd depedete de caracterstcle de materal ale acestora: - legea polarzaţe temporare, - legea magetzaţe temporare, - legea coducţe electrce (legea lu Ohm), - legea electrolze..6.. Legea fluxulu electrc Corpurlor îcărcate cu sarc electrce l se asocază u câmp electrc. Lle de câmp electrc sut l deschse care pleacă de pe corpurle îcărcate cu sarc poztve ş ajug pe corpurle îcărcate cu sarc egatve (Fg..6.). Suprafeţele perpedculare î orce puct pe lle de câmp se umesc suprafeţe echpoteţale. Vectorul testăţ câmpulu electrc ş vectorul ducţe electrce sut tageţ î fecare puct la la de câmp ş, fd fucţ de puct E (r), respectv D (r), au valor costate î toate puctele aceleaş suprafeţe echpoteţale. a) b) Fg..6. Dacă îcojurăm cu o suprafaţă îchsă u corp îcărcat cu sarcă electrcă, toate lle de câmp vor străbate suprafaţa. Fluxul electrc este mărmea ce caracterzează câmpul electrc d puct de vedere al valorlor pe care le a ducţa electrcă î toate puctele suprafeţe. Î orce momet de tmp fluxul electrc Ψ prtr-o suprafaţă îchsă Σ este egal cu sarca electrcă q VΣ localzată î domeul delmtat de această suprafaţă : ude d Σ D da Σ Σ Ψ qv Σ, (.6.) Σ repreztă ormala exteroară la suprafaţa îchsă Σ (Fg..6.). Fg..6. 7

13 Trecâd de pe suprafaţa Σ î domeul (arbtrar) delmtat de aceasta, V Σ, (cu teorema lu Stoes) ş exprmâd sarca electrcă î raport cu destatea e de volum, se obţe forma locală a leg î dome de cotutate ş etezme a propretăţlor electrce: de ude rezultă VΣ dvd dvd Σ da ρ dv, (.6.) V VΣ V ρ. (.6.) La o suprafaţă de dscotutate (ître două med cu propretăţ electrce dferte) îcărcată cu destate de suprafaţă a sarc electrce se obţe o formă locală valablă î toate puctele suprafeţe: D D ρ s. (.6.4) Dacă suprafaţa u este îcărcată cu sarcă, se obţe relaţa de coservare a compoetelor ormale ale ducţe electrce: Aplcaţ. D D. (.6.5) Legea fluxulu electrc poate f folostă petru calculul testăţ câmpulu electrc î cazul cofguraţlor ce preztă smetre. Calculul testăţ câmpulu electrc produs de u corp puctform îcărcat cu sarca q. D legea fluxulu electrc rezultă: Σ D Σ Fg..6. Σ A D( R) da D( R) 4 R d π qvσ. D această relaţe, ţâd seama de (..) se obţe testatea câmpulu electrc î orce puct de pe suprafaţa Σ (sfera de rază R): D( R) qvσ E( R). ε 4π ε R Calculul capactăţ codesatorulu pla. Capactatea codesatorulu pla poate f calculată cu ajutorul leg fluxulu electrc aplcată pe o suprafaţă îchsă ce trece prtr-o armătură ş pr delectrc, sau pe baza propretăţlor coductoarelor omogee. 8

14 Fg..6.4 Armăturle codesatorulu fd coductoare omogee, sarca electrcă cu care se îcarcă este repartzată pe suprafaţa lor dspre delectrc, cu o destate egală cu ducţa electrcă î fecare puct. Ţâd seama de relaţle (..) ş (..) se obţe capactatea codesatorulu pla: q q q εa C d, Ed q d d εa ude ε este permtvtatea delectrculu. Î cazul uu codesator pla cu delectrc eomoge relaţa de ma sus deve: C A ε d. Calculul capactăţ codesatorulu cldrc. Fg..6.5 Alegâd o suprafaţă îchsă Σ S S Slat de formă cldrcă cu raza r, aplcâd legea fluxulu electrc ş ţâd seama de faptul că fluxul electrc pr suprafeţele S ş S este ul (lle de câmp sut pe drecţa raze de la armătura teroară îcărcată poztv, la cea exteroară îcărcată egatv) rezultă Ψ Σ Σ DdA Slat DdA Slat DdA D πrl q, ude q repreztă sarca cu care se îcarcă armătura teroară. Calculâd D, E ş apo ître armătur, rezultă: q πε l C. R l R 9

15 Î cazul uu delectrc eomoge cu stratur, relaţa deve: C π l R l R ε +. Tubul de flux electrc - porţuea de câmp delmtată de totaltatea llor de câmp care trec pr toate puctele uu cotur îchs Γ (Fg..6.6). Se cosderă o suprafaţă îchsă Fg..6.6 Σ S S Slat pe care se aplcă legea fluxulu electrc. Sesul fluxurlor Ψ ş Ψ pr cele două suprafeţe S ş S este dcat de versor celor două ormale respectv la cele două suprafeţe. Deoarece pe suprafaţa laterală Σ D rezultă că pr această suprafaţă fluxul este ul ş Ψ Σ DΣdA DΣdA + DΣdA DdA DdA Ψ Ψ Σ S S S S Dacă î terorul suprafeţe Σ u exstă sarc electrce Ψ Ψ. Rezultă că î regule d spaţu î care u exstă sarc electrce, fluxul câmpulu electrc pr orce secţue trasversală a uu tub de flux are aceeaş valoare. Aceasta repreztă propretatea de coservare a fluxulu electrc de-a lugul uu tub de l de câmp..6.. Legea fluxulu magetc Lle de câmp magetc (lle vectorulu ducţe magetce) sut l îchse. Această costatare coduce la formularea leg fluxulu magetc: Î orce momet fluxul magetc prtr-o suprafaţă îchsă este ul : Φ Σ d Σ B da 0. (.6.6) Σ Ţâd seama de relaţa de defţe prelucrată cu ajutorul teoreme Gauss-Ostrograds se obţe forma locală a leg, petru dome de cotutate ş etezme ale propretăţlor magetce (ale ducţe magetce): adcă VΣ dvb d V 0, (.6.7) B 0 dv. (.6.8) Relaţa (.6.8) arată că u exstă sarc magetce de tpul celor electrce. q VΣ. 0

16 La suprafeţe de dscotutate forma locală a leg fluxulu magetc este: B B 0, (.6.9) adcă se obţe relaţa de coservare a compoetelor ormale ale ducţe magetce: Aplcaţ. B B. (.6.0) Defd tubul de flux magetc smlar cu cel electrc, se cosderă o suprafaţă îchsă Σ S S Slat (Fg..6.7) pe care se aplcă legea fluxulu magetc. Pe baza aceloraş cosderete de la tubul de flux electrc se obţe relaţa de coservare a fluxulu magetc de-a lugul uu tub de l de câmp. Φ Φ. Fg..6.7 Pr orce suprafaţă deschsă care se sprjă pe aceeaş curbă îchsă fluxul magetc este acelaş. Fg..6.8 Σ Fe două suprafeţe S Γ ş S Γ ce se sprjă pe curba Γ. Se cosderă suprafaţa S S ş se aplcă legea fluxulu magetc: Φ Γ Γ Σ Σ B Σ da SΓ B Σ da + SΓ B Σ da SΓ B SΓ da + SΓ B SΓ da Φ + Φ 0. Rezultă că orcare ar f S ş S Γ fluxul magetc se coservă: Γ Φ Φ.

17 .6.. Legea ducţe electromagetce Euţ: Tesuea electromotoare dusă î lugul ue curbe îchse Γ este egală cu vteza de scădere a fluxulu magetc pr orce suprafaţă deschsă ce se sprjă pe curba Γ : dφ SΓ eγ. (.6.) dt Ţâd seama de relaţle de defţe ale celor două mărm, se obţe forma explctă Γ d Eds dt SΓ B î care elemetul de arc d s pe curba Γ ş versorul ormale după regula burghulu drept (Fg...). SΓ da, (.6.) S la suprafaţa S Γ Γ sut asocate Dezvoltâd dervata substaţală petru med î mşcare ş ţâd seama de forma locală a leg fluxulu magetc, se obţe următoarea formă tegrală dezvoltată a leg: Γ S da S t Γ Γ SΓ ( B v) SΓ da et em B E ds rot x +, (.6.) ude e t se umeşte t.e.m. dusă pr trasformare, ar e m t.e.m. dusă pr mşcare. Î dome de cotutate ş etezme a propretăţlor fzce locale, aplcâd teorema lu Stoes membrulu stâg al ecuaţe (.6.), se obţe forma locală a leg: rote ( vxb) B + rot. (.6.4) t Petru med moble, ecuaţa deve B rote, (.6.5) t cuoscută sub umele de a doua ecuaţe a lu Maxwell. La suprafeţe de dscotutate se coservă compoeta tageţală a testăţ câmpulu electrc: E E. (.6.6) Aplcaţ. t t. Prcpul producer t.e.m. alteratve. Fucţoarea geeratoarelor de c.a. are la bază feomeul ducţe electromagetce, care se produce ca urmare a exsteţe uu câmp magetc îvârttor (produs de rotorul maş care este u electromaget rott de turbă) ce îtretae sprele îfăşurăr statorce î care duce t.e.m. datortă compoete e m.. Prcpul trasformatorulu electrc. Datortă varaţe fluxulu magetc d prmar, î secudarul trasformatorulu se duce pr trasformare (e t ) o t.e.m. de aceeaş frecveţă cu cea a mărmlor prmare.. Î regm statc ş î regm staţoar legea ducţe electromagetce are forma: Γ Eds Γ e 0, umtă teorema poteţalulu electrostatc, respectv electrocetc staţoar.

18 Cosderâd curba Γ o buclă a uu crcut electrc ş descompuâd-o îtr-o sumă de curbe deschse C, ce urmăresc tesule la borele laturlor care formează bucla, se obţe: e 0 Γ Ed s Eds ( A) u, Γ C l bh relaţe ce repreztă teorema a doua a lu Krchhoff: suma algebrcă a tesulor la borele laturlor l ce aparţ bucle b h este ulă Legea crcutulu magetc Euţ: Tesuea magetomotoare de-a lugul ue curbe îchse Γ este egală cu suma dtre soleaţa corespuzătoare cureţlor de coducţe care străbat o suprafaţă deschsă S, mărgtă de curba Γ ş vteza de creştere a fluxulu electrc pr suprafaţa respectvă : Γ dψsγ ummγ Θ S +. (.6.7) Γ dt Al dolea terme d partea dreaptă a ecuaţe se umeşte curet hertza. Folosd relaţle de defţe ale mărmlor, se obţe forma tegrală explctă a leg: d H ds J SΓ da + dt Γ SΓ SΓ D SΓ da, (.6.8) î care elemetul de arc d s pe curba Γ ş versorul ormale SΓ la suprafaţa S Γ sut asocate după regula burghulu drept (Fg...). Î cazul corpurlor moble relaţa are forma: D H ds J SΓ da + SΓ da, (.6.9) t Γ SΓ SΓ termeul al dolea d partea dreaptă fd umt curet de deplasare. Se umeşte regm cvasstaţoar regmul varabl î care se poate eglja curetul de deplasare d legea crcutulu magetc, peste tot, cu excepţa delectrculu codesatoarelor. Î dome de cotutate ş etezme a propretăţlor fzce, aplcâd teorema lu Stoes membrulu stâg ş î poteza corpurlor moble, se obţe forma locală a leg: D roth J +, (.6.0) t umtă prma ecuaţe a lu Maxwell. La suprafeţele de dscotutate forma locală este: H t H t J s. (.6.) Dacă pe suprafaţa de dscotutate u exstă pâze de curet, are loc coservarea compoetelor tageţale ale testăţ câmpulu magetc: Observaţe: H H. (.6.) t t Soleaţa are următoarea semfcaţe: - petru o suprafaţă S Γ perpedculară pe axa uu coductor parcurs de curetul electrc de coducţe, ş a căre are este cel puţ egală cu cea a coductorulu: Θ S Γ ; - dacă ara suprafeţe S Γ este ma mcă decât cea a coductorulu: ASΓ Θ S JAS ; Γ Γ A - dacă S Γ tae cele N spre, parcurse de curetul, ale ue bobe: Θ S Γ N. cod

19 Aplcaţ. Î regm staţoar legea capătă forma: respectv u Θ, (.6.) Γ mmγ SΓ H d s J S da, (.6.4) SΓ umtă teorema lu Ampère. Γ Calculul testăţ câmpulu magetc produs de u coductor cldrc crcular de rază a, rectlu, ft, parcurs de curetul, uform dstrbut pe secţuea sa (Fg..6.9). Aplcâd teorema lu Ampère ş calculâd pe râd ce do terme, se obţe: orcare ar f r î raport cu a. ( r) H ds Hds H ds H π r u mm Γ, Γ Γ Γ Fg..6.9 Soleaţa se calculează î cele două dome: J 0π r π r Θ r) π a, ( r a Egalâd terme d teoremă se obţe: r, r < a π a H ( r)., r a π r Varaţa lu H(r) este prezetată î Fg..6.9, r < a, r a 4

20 .6.5. Legea coservăr sarc electrce. Dacă se cosderă o suprafaţă îchsă Σ care trece pr delectrc (u este străbătută de cureţ de coducţe), sarca electrcă î terorul suprafeţe (reprezetâd u sstem zolat) rămâe costată q ct., Σ (.6.5) orcare ar f feomeele care se produc î terorul suprafeţe: Dacă suprafaţa tersectează ş coductoare parcurse de curet electrc de coducţe, testatea curetulu de coducţe care părăseşte suprafaţa Σ este egală î fecare momet cu vteza de scădere a sarc electrce adevărate localzată î volumul delmtat de Σ. dqv Σ Σ. (.6.6) dt Fg..6.0 Folosd relaţle de defţe, legea capătă forma tegrală Σ J Σ d da ρ V d dt V. (.6.7) VΣ Î regm electrocetc staţoar (regm de c.c.) sarca electrcă este costată, ar relaţle de ma sus capătă formele: 0, respectv dvj 0, (.6.8) Σ cuoscute sub umele de teorema cotutăţ llor de curet cotuu. terpretare: lle de curet cotuu sut l îchse, sau curetul cotuu crculă uma pe că îchse. Cosecţe:. Vectorul destăţ de curet este taget la suprafaţa uu coductor străbătut de curet cotuu, dec coductorul este u tub de curet;. La trecerea prtr-o suprafaţă de dscotutate se coservă compoeta ormală a destăţ de curet.. Dacă suprafaţa Σ tde la lmtă către u od al uu crcut, î regm electrocetc staţoar ş cvasstaţoar ( A) 0, (.6.9) Σ l j ş repreztă teorema îtâ a lu Krchhoff, cu euţul: suma algebrcă a cureţlor d laturle l cdete îtr-u od j al uu crcut electrc este ulă. 5

21 .6.6. Legea coducţe electrce (legea lu Ohm) Euţ: Suma vectorală dtre testatea câmpulu electrc E ş testatea câmpulu electrc mprmat E d terorul uu coductor zotrop este proporţoală î fecare puct cu destatea curetulu electrc de coducţe d acel puct : E + E ρ J, (.6.0) costata de proporţoaltate ρ fd o mărme scalară depedetă de atura materalulu ş de temperatură, umtă rezstvtate. Relaţa (.6.0) repreztă forma locală a leg coducţe electrce ş ma poate f scrsă sub forma: ( E ) J σ +, (.6.) ude σ /ρ se umeşte coductvtate electrcă. Cosecţe: E. Î coductoarele perfect omogee d puct de vedere structural, mecac, termc ş chmc, ş eaccelerate, î care E 0, legea coducţe electrce are forma: E ρ J sau J σ E. Petru coductoare î regm electrostatc, fd valablă codţa J 0, forma locală a leg deve: E + E 0, relaţe umtă codţa de echlbru electrostatc. Î cazul coductoarelor perfect omogee ş eaccelerate, relaţa capătă forma: E 0.. Îtr-u coductor aflat î astfel de codţ câmpul electrc este peste tot ul. Aceasta explcă feomeul de flueţă electrostatcă (vez $.5). Î teora crcutelor electrce preztă o mare mportaţă forma tegrală a leg lu Ohm care se obţe pr tegrarea relaţe (.6.0) de-a lugul ue porţu eramfcate de coductor, ître puctele A ş B de-a lugul fbre med (curba C d Fg..6.): B B E s + E ds A( C) A( C) B d ρ J ds (.6.) A( C) Fg..6. 6

22 Ţâd seama de defţle mărmlor dervate, relaţa se poate scre sub forma: u b + e ρ ρ ds ds. (.6.) A A C C Petru coductoare omogee (ρ ct.) cu secţue A ct., se obţe forma tegrală a leg lu Ohm petru latur de crcut actve (avâd ş surse de câmp electrc mprmat), umtă ş caracterstca u() a latur: ude: u b + e R, (.6.4) l R ρ (.6.5) A repreztă rezsteţa electrcă a porţu eramfcate de crcut de lugme l ş secţue A ş se măsoară î ohm [Ω]. Î teora crcutelor cu parametr cocetraţ relaţa (.6.4) se asocază latur reprezetate î fgura.6.. Fg..6. Relaţa (.6.4) se ma poate scre sub forma: G u b + e ), (.6.6) ( umtă caracterstca (u) a latur. Mărmea G /R se umeşte coductaţă ş se măsoară î semes [S] Legea trasformăr eerge electromagetce î procesul coducţe electrce (legea lu Joule). Destatea de volum a puter cedată de câmpul electromagetc uu coductor aflat î stare electrocetcă este egală î orce puct cu produsul scalar dtre testatea câmpulu electrc ş destatea curetulu electrc de coducţe : p j E J (.6.7) Ţâd seama de legea coducţe electrce, relaţa ma poate f scrsă sub forma: p j ( J E ) J ρ J E J pr pe ρ, (.6.8) ude p J R ρ > 0 ş corespude căldur dspate î coductor pr efectul electrocalorc al curetulu de coducţe (efect Joule-Lez), ar pe E J repreztă destatea de putere cedată de sursele de câmp mprmat î procesul de coducţe. După cum vector E ş J sut omoparalel, respectv atparalel, p > 0, puterea fd cedată, respectv p e < 0, puterea fd prmtă. Forma tegrală a leg se obţe pr tegrarea destăţ de putere pe volumul coductorulu flform, ţâd seama că toţ vector sut paralel (Fg..6.): e 7

23 ( EJ )( Ads) ( Eds)( J A) ( Eds) ( J A) u. PJ p jdv b (.6.9) V V V C S Fg..6. Relaţa (.6.9) arată că puterea totală cedată de câmpul electromagetc ue porţu de coductor flform î procesul de coducţe electrcă este egală cu produsul dtre tesuea electrcă la borele coductorulu ş testatea curetulu electrc care-l parcurge. Ţâd seama de forma tegrală a leg coducţe electrce, relaţa (.6.9) se scre sub forma: P u R e P P, (.6.40) J b R e ude P R R repreztă puterea dspată î coductor sub formă de căldură, ar Pe e este puterea geerată de sursa de câmp electrc mprmat (Fg..6.) cu t.e.m. e, câd este parcursă de curetul electrc de coducţe. Dacă e ş au acelaş ses, P e >0 ş sursa cedează eerge crcutulu, ar dacă e ş au ses vers, P e <0 ş sursa prmeşte eerge d crcut. tatea de măsură a puter se umeşte watt [W]. tegrala de tmp a puter se umeşte eerge. Î eergetcă eerga electrcă se măsoară î lowattoră [Wh]. Relaţa dtre dfertele utăţ de măsură este: 6 Wh,6 0 Ws 860 cal Legea legătur î câmp electrc Î orce momet de tmp ş î orce loc, dferet de regmul de varaţe al mărmlor, ître vectorul testăţ câmpulu electrc, al ducţe electrce ş al polarzaţe, exstă relaţa : D ε E + P, (.6.4) 0 ε 0 este costata uversală umtă permtvtatea vdulu. 9 4 π 9 0 ude [ F / m].6.9. Legea polarzaţe temporare Aceasta este o lege de materal care exprmă depedeţa compoete temporare a polarzaţe de testatea câmpulu electrc: ( E) P t f (.6.4) Petru materalele zotrope ş lare d puct de vedere electrc, categore d care fac parte cele ma multe d materalele delectrce foloste î dustra electrotehcă, această depedeţă este dată de relaţa: Pt ε 0 χ e E, (.6.4) 8

24 î care χ e este susceptvtatea electrcă a materalulu, mărme admesoală, depzâd de atura materalulu ş de codţ eelectrce (temperatură, presue etc.). Aceste materale u preztă polarzaţe permaetă. Î aplcaţ legea polarzaţe temporare se combă cu legea legătur î câmp electrc. Astfel: D ε 0 E + P ε 0 E + P t ε 0 E + ε 0 χ e E ε 0 ( + χ e )E. (.6.44) Notâd + χ e ε r permtvtatea relatvă a materalulu ş ε 0 ε r ε permtvtatea sa absolută, relaţa (.6.44) deve: D ε E. (.6.45).6.0. Legea legătur î câmp magetc Î orce momet de tmp ş î orce loc, dferet de regmul de varaţe al mărmlor, ître vectorul testăţ câmpulu magetc, al ducţe magetce ş al magetzaţe, exstă relaţa : ( H M ) B µ +, (.6.46) 0 7 ude 4π 0 [ H / m] µ este o costată uversală umtă permeabltatea vdulu Legea magetzaţe temporare Această lege de materal exprmă depedeţa compoete temporare a magetzaţe de testatea câmpulu magetc: ( H ) M t f (.6.47) Petru materalele zotrope ş lare d puct de vedere magetc, categore d care fac parte toate materalele feromagetce cu excepţa mageţlor permaeţ, această depedeţă este dată de relaţa: M χ m H, (.6.48) t î care χ m este susceptvtatea magetcă a materalulu, mărme admesoală, depzâd de atura materalulu, de starea lu de deformare ş de temperatură. Î tehcă legea se foloseşte î combaţe cu legea legătur î câmp magetc: ( H + M ) µ ( H + M t ) µ ( H + χ H ) µ ( χ )H B µ m 0 + m. (.6.49) Notâd + χ m µ r permtvtatea relatvă a materalulu ş µ 0 µ r µ permtvtatea sa absolută, relaţa (.6.49) deve: Observaţ: B µh. (.6.50). Materalele magetce se clasfcă î: Materale eferomagetce (d care fac parte: Cu, Ag, Al, Pt, aerul) caracterzate prtr-o relaţe (.6.50) lară ş prtr-o valoare a permeabltăţ relatve µ r, ceea ce îseamă o permeabltate absolută µ µ 0. 9

25 Materale feromagetce (Fe, Co, N, Ga ş uele alaje) petru care relaţa (.6.50) este elară ca urmare a depedeţe permeabltăţ µ de testatea câmpulu magetc H. Caracterstca B(H) umtă curbă de hsterezs magetc este reprezetată î Fg Fg..6.4 Ara îchsă de cclul de hsterezs corespude ue destăţ de volum a eerge care se trasformă î căldură, pr frecăr tere, la fecare parcurgere a cclulu. Ea este proporţoală cu eerga de magetzare a acestor materale. Caracterstc petru aceste materale este valoarea foarte rdcată a permeabltăţ relatve (de ordul ), ceea ce, coform relaţe (.6.50) determă obţerea uor ducţ magetce (respectv a uor eerg magetce) de valoare mare, la valor relatv reduse ale testăţ câmpulu magetc. La suprafaţa de separaţe dtre u corp feromagetc ş uul eferomagetc, lle de câmp magetc es perpedcular pe suprafaţa corpulu feromagetc.. După forma cclulu de hsterezs materalele feromagetce se clasfcă î: Materale magetce mo, caracterzate prtr-u cclu de hsterezs îgust. Aceste materale se magetzează ş se demagetzează relatv uşor; ele se folosesc petru realzarea crcutelor magetce ale maşlor, aparatelor ş trasformatoarelor electrce. D această categore fac parte: Fe pur, Ol electrotehc (alat cu 4% S), dverse alaje (Permalloy, Supermalloy). Î afara propretăţlor magetce, aceste materale au ş propretăţ coductoare, ceea ce face ca î tmpul fucţoăr, î crcutele magetce ale dspoztvelor respectve să apară două categor de perder: pr hsterezs (P H ) ş pr cureţ turboar (cureţ Foucault) care se duc î aceste materale (P F ). Materale magetce dure, care au u cclu de hsterezs larg. Aceste materale se magetzează ş se demagetzează relatv greu; ele se folosesc petru realzarea mageţlor permaeţ. D această categore fac parte Ol călt (cu % C), Ol-Cr, Ol-W), Alco etc. Materale fermagetce (sau ferte) cu o structură asemăătoare celor feromagetce, dar fd materale semcoductoare, caracterzate pr rezstvtate mare (0 0 6 Ωm). Fertele tehce sut materale ceramce obţute pr sterzare î câmpur magetce. Ele pot f mo sau dure. Fertele magetce mo se pot folos î dspoztvele de frecveţă joasă sau îaltă ca pese masve, datortă faptulu că fd delectrce, î ele u se produc perder 0

26 pr cureţ turboar. Se folosesc petru realzarea crcutelor magetce ale maşlor electrce mc, mezur de bobe, trasformatoare sau ca atee magetce (ferte de M-Z sau N-Z la care permeabltatea maxmă se atge la temperatur de aproxmatv 0 0 C). Fertele magetce dure se folosesc petru realzarea mageţlor permaeţ (î maş electrce, î dfuzoare etc.) sau a memorlor magetce (ferte de Ba sau Co maperm, magadur, bafert etc.)..6.. Legea electrolze Această lege caracterzează electrolţ (coductoare de speţa a doua î care trecerea curetulu de coducţe este îsoţtă de reacţ chmce) ş se euţă astfel: Masa de substaţă depusă î utatea de tmp la uul d electroz ue bă electroltce parcursă de curet de coducţe, este egală cu produsul dtre testatea curetulu electrc ş raportul dtre echvaletul electrochmc A/, pr costata uversală a lu Faraday, F 0 : v dm A, (.6.5) dt F v 0 î care F coulomb. Î tervalul de tmp t, masa m are expresa: î care q mărme de materal. t 0 A Aq m d F τ, (.6.5) F v 0 t 0 v 0 dτ este sarca electrcă, ar echvaletul electrochmc al substaţe este o.7. ENERGA Ş FORŢELE CÂMPL ELECTROSTATC.7.. Eerga câmpulu electrostatc Eerga câmpulu electrostatc al uu sstem de corpur coductoare se poate determa pe baza prcpulu coservăr eerge, coform cărua: eerga elemetară dw ext prmtă de u sstem d exteror îtr-o trasformare, este egală cu suma dtre lucrul mecac elemetar δl efectuat de sstem, căldura elemetară δq dezvoltată, creşterea elemetară dw e a eerge sstemulu ş eerga elemetară dw t trasformată î alte forme: d W δ L + δq + dw + dw. (.7.) ext e t Dacă trasformarea elemetară se efectuează foarte let ş zoterm, petru a avea o succesue de stăr electrostatce, fără dezvoltare sau trasfer de căldură, ş dacă u se efectuează lucru mecac, atuc: d W d. (.7.) ext W e Î procesul de stablre a câmpulu electrostatc, lucrul mecac elemetar al forţelor exteroare ecesar trasportăr sarc elemetare de la pâă pe suprafaţa coductoarelor este, petru coductorul : δ L V dq. (.7.) ext Lucrul mecac total ecesar îcărcăr cu sarc elemetare a tuturor coductoarelor este: δ L δl V dq. (.7.4) ext ext

27 Î regm electrostatc, sstemul prmeşte eerge d exteror uma sub formă de lucru mecac al forţelor exteroare: d W δ, (.7.5) ext L ext ş ţâd seama de relaţle (.7.) ş(.7.4) rezultă: e V d q d W. (.7.6) Cosderâd starea termedară a coductoarelor caracterzată de sarcle ş poteţalele ' ' q λq, respectv V λv, cu λ (0,), valorle extreme corespuzâd stăr ţale, respectv fale, ş tegrâd relaţa (.7.6), se obţe expresa eerge electrostatce W e λ λ 0 ' ' V dq Î cazul partcular al uu codesator V q 0 λdλ V q. (.7.7) q W e ( qv qv ) q C. (.7.8) C.7.. Destatea de volum a eerge câmpulu electrostatc Eerga câmpulu electrostatc este localzată î tot domeul ocupat de câmpul electrostatc cu o destate de volum care se poate exprma î fucţe de mărmle de stare ale câmpulu electrc cu ua d relaţle: w e ED ε E D. (.7.9) ε Expresle de ma sus sut valable uma î med lare ş fără polarzaţe permaetă..7.. Teoremele forţelor geeralzate î câmp electrc Teorema lu Coulomb permte calculul forţelor care se exerctă asupra corpurlor î câmp electrostatc uma petru med omogee, lare ş zotrope. O metodă geerală de calcul a forţelor electrostatce (ş a forţelor electrce î regm varabl) are la bază prcpul coservăr eerge (relaţa.7.). Cosderâd că asupra corpurlor coductoare se exerctă forţe geeralzate X, care determă trasformăr elemetare dx ale corpurlor, lucrul mecac elemetar efectuat de u corp se exprmă sub forma: δ L X dx, (.7.0) ude forţa geeralzată X (acţoâd pe drecţa de creştere a lu dx) poate f: o forţă de deplasare, u cuplu, o presue, o tesue superfcală ş coordoata geeralzată asocată, dx, va f o dstaţă, u ugh, u volum sau o are. Dacă trasformărle elemetare sut efectuate î regm electrostatc, eerga elemetară prmtă de sstem de la sursele exteroare dw V dq, (.7.) ext este egală coform relaţe (.7.) cu suma dtre lucrul mecac elemetar efectuat de sstem ş creşterea elemetară a eerge electrostatce a sstemulu: d W δ L + d. (.7.) ext W e

28 Calculul forţe geeralzate se poate face pe baza relaţe (.7.) î două poteze: Sstemul este zolat. Aceasta mplcă: q ct. dq 0 (.7.) ş ţâd seama de (.7.) ş (.7.), rezultă: ( dw e ) q ct. δ, (.7.4) L adcă lucrul mecac este efectuat pe baza scăder eerge electrostatce tere a sstemulu. Exprmâd eerga electrostatcă î fucţe uma de sarcle electrce ş de coordoata geeralzată (î cazul uu codesator e ( dw ) dx e q q W e ) ş ţâd seama de (.7.) se obţe: C ( x) W. (.7.5) ct. x Relaţle (.7.0), (.7.4) ş (.7.5) coduc la prma teoremă a forţelor geeralzate î câmp electrostatc: We X. (.7.6) x q ct. Dec: Forţa geeralzată X asocată coordoate geeralzate x este egală cu dervata parţală cu sem schmbat a eerge electrostatce a sstemulu (exprmată î fucţe uma de sarcle electrce ş coordoata geeralzată), î raport cu coordoata geeralzată x, la sarc costate ale coductoarelor. Sstemul are poteţalele fxate (coductoarele sut coectate la surse de tesue), adcă: V ct. dv 0. (.7.7) D ecuaţa de blaţ rezultă:, (.7.8) ( dwe ) d V q V dq dw V ct. ext V ct. adcă eerga prmtă de sstem de la sursele exteroare se dstrbue î mod egal petru efectuarea de lucru mecac ş petru creşterea eerge electrostatce a sstemulu, ar ( dwe ) V ct. ( dwe ) V ct. δ L dwext. (.7.9) Exprmâd eerga electrostatcă î fucţe uma de poteţale ş de coordoata C( x) geeralzată (î cazul uu codesator W e ) ş ţâd seama de relaţle (.7.0), (.7.7) ş (.7.9) rezultă a doua teoremă a forţelor geeralzate î câmp electrostatc: V ct. We X, (.7.0) x adcă: Forţa geeralzată X asocată coordoate geeralzate x este egală cu dervata parţală a eerge electrostatce a sstemulu (exprmată î fucţe uma de poteţalele electrce ş coordoata geeralzată), î raport cu coordoata geeralzată x, la poteţale costate ale coductoarelor.

29 Observaţ:. Petru sstemele lare, cele două expres ale forţe geeralzate sut echvalete.. Forţele electrostatce au valor mc, ceea ce face ca aplcaţle lor tehce să se îscre îtr-u domeu lmtat la costrucţa aparatelor de măsură ş a uor traductoare..8. ENERGA Ş FORŢELE CÂMPL MAGNETC.8.. Eerga câmpulu magetc Se cosderă u sstem de crcute electrce flforme, caracterzate de rezsteţele electrce, tesule la bore, cureţ ş fluxurle magetce R, u,, Φ (Fg..8.) Fg..8. Eerga magetcă a sstemulu poate f calculată pe baza prcpulu coservăr eerge, coform cărua eerga prmtă de la surse trebue să acopere perderle pr efect Joule î rezsteţele crcutelor, lucrul mecac al forţelor geeralzate ş creşterea eerge magetce a sstemulu: udt R dt + δ L + dw. (.8.) Dacă se aplcă legea coducţe electrce, petru crcutul se obţe: f m u + e R, (.8.) ude u f este tesuea electrcă î lugul frulu, ar e repreztă t.e.m. a crcutulu, cosderată ulă. Legea ducţe electromagetce, aplcată coturulu îchs format d coductorul crcutulu ş la tesu la bore, are forma: dφ eγ u f u. (.8.) dt Cosderâd fluxurle magetce varable î tmp, d ultmele două ecuaţ se obţe: u dφ R +. (.8.4) dt Îmulţd relaţa (.8.4) cu dt ş sumâd petru toate crcutele, rezultă relaţa: u d t R dt + dφ. (.8.5) Comparâd relaţle (.8.) ş (.8.5) se obţe: δ L + dw m dφ. (.8.6) 4

30 Cosderâd că î sstem au loc trasformăr î care u se efectuează lucru mecac (crcutele sut moble), ar îtr-o stare termedară cureţ ş fluxurle magetce satsfac ' ' relaţle λ, respectv, λ 0,, pr tegrarea relaţe (.8.6) se obţe: W m Φ Î partcular, petru o bobă, Φ λ cu [ ] Φ, Φ L ş (.8.7) Φ W m Φ L, (.8.8) L ar petru două bobe cuplate magetc W m L + L + L. (.8.9) Prmul terme repreztă eerga magetcă propre a bobe, al dolea - eerga magetcă propre a bobe, ar al trelea eerga magetcă de teracţue a bobelor. Î geeral, petru u crcut oarecare parcurs de curetul, stuat îtr-u câmp magetc exteror, eerga de teracţue este: W t Φ ext. (.8.0).8.. Destatea de volum a eerge câmpulu magetc Eerga câmpulu magetc este localzată î tot domeul ocupat de câmp cu o destate de volum care se poate exprma î fucţe de mărmle de stare ale câmpulu magetc pr ua d expresle: w m H B µ H B, (.8.) µ valable uma î med lare. Observaţe: Petru a se compara destatea de volum a eerge electrce cu cea a eerge magetce, petru valor practce ale mărmlor de stare, se determă: Destatea de volum a eerge electrce î cazul uu câmp electrc î aer, cu o destate a câmpulu de 0 V/cm: w e ε 0E 4,4 J/m ; Destatea de volum a eerge magetce petru u câmp magetc î aer, cu ducţa de T: B w m J/m. µ 0 Se observă că destatea de volum a eerge magetce este de aproxmatv de or ma mare decât a cele electrce, ceea ce justfcă mportaţa aplcaţlor tehce ş domele larg de utlzare a dspoztvelor magetce..8.. Teoremele forţelor geeralzate î câmp magetc Lucrul mecac elemetar care se efectuează la o deplasare elemetară dx a uua d crcutele sstemulu, î câmp magetc, se poate determa d relaţa (.8.6): 5

31 δ L dφ dw. (.8.) Calculul forţe geeralzate X se poate face î două poteze: m Fluxurle magetce sut meţute costate, adcă Φ ct. ş d Φ 0. Î acest caz ( dw m ) Φ ct. δ (.8.) L ş lucrul mecac se efectuează î baza scăder eerge magetce a sstemulu. Exprmâd eerga magetcă î fucţe uma de fluxurle magetce ş de coordoata Φ geeralzată (î cazul ue bobe W m ) ş lucrul mecac cu relaţa geerală (.7.0), L( x) relaţa (.8.) coduce, î poteza de lucru adoptată, la: Wm X, (.8.4) x Φ ct. relaţe ce repreztă prma teoremă a forţelor geeralzate î câmp magetc: Forţa geeralzată X asocată coordoate geeralzate x este egală cu dervata parţală cu sem schmbat a eerge magetce a sstemulu (exprmată î fucţe uma de fluxurle magetce ş coordoata geeralzată), î raport cu coordoata geeralzată x, la fluxur costate. Cureţ crcutelor sut meţuţ costaţ, adcă ct. ş d 0. Se prelucrează relaţa (.8.) î care obţâd dw m d Φ dφ, (.8.5) δ L dφ dφ dφ. (.8.6) Este evdet că î acest caz ( dw m ) ct. L δ, (.8.7) ş eerga prmtă de sstem se împarte î mod egal petru efectuarea de lucru mecac ş petru creşterea eerge magetce a sstemulu. Exprmâd eerga magetcă î fucţe uma de cureţ ş de coordoata geeralzată (î cazul ue bobe W m L ( x) ) ş lucrul mecac cu relaţa geerală (.7.0), relaţa (.8.7) coduce, î poteza de lucru adoptată, la: Wm X, (.8.8) x ct. relaţe ce repreztă a doua teoremă a forţelor geeralzate î câmp magetc: Forţa geeralzată X asocată coordoate geeralzate x este egală cu dervata parţală a eerge magetce a sstemulu (exprmată î fucţe uma de cureţ ş coordoata geeralzată), î raport cu coordoata geeralzată x, la cureţ costaţ. 6

32 CAP.. CRCTE ELECTRCE.. BAZELE TEORE CRCTELOR ELECTRCE... potezele teore crcutelor electrce cu parametr cocetraţ Regmurle crcutelor electrce se pot studa cu ajutorul ecuaţlor cu dervate parţale ale câmpulu electromagetc (ecuaţle lu Maxwell) î codţ date. Pr utlzarea elemetelor de crcut cu parametr cocetraţ studul crcutelor electrce se smplfcă; î locul ecuaţlor cu dervate parţale terv ecuaţ dfereţale, ma smplu de rezolvat. Teora crcutelor electrce cu parametr cocetraţ se elaborează pr partcularzare d teora câmpulu electromagetc, î următoarele codţ de aproxmare:. Caracterul cvasstaţoar al regmulu, care presupue egljarea curetulu de deplasare dψ dq D ( D ) peste tot, cu excepţa delectrculu codesatoarelor (asgurâd astfel dt dt îchderea crcutulu). Regmul cvasstaţoar este astfel caracterzat pr exsteţa curetulu de coducţe î coductoare ş a celu de deplasare î codesatoarele cu delectrc perfect zolat.. Localzarea eerge câmpulu magetc uma î bobe ş a eerge câmpulu electrc uma î codesatoare (deş D stableşte câmp magetc î delectrcul codesatoarelor ş câmpul magetc varabl î tmp d bobe produce câmp electrc, acestea se vor eglja).. Se admte că testatea curetulu care ese dtr-o boră a uu elemet de crcut este egală cu testatea curetulu care tră pr cealaltă boră. Această codţe presupue că cea ma mare dtre dmesule l ale elemetulu de crcut este mult ma mcă decât lugmea de udă cea ma mcă, λ, care terve î semalul electrc. Astfel î crcutele electrce cu parametr cocetraţ curetul electrc se stableşte stataeu, efectul de propagare fd egljabl. Cosderâd u coductor de lugme l parcurs de curetul x ( x, t) f t m s π, (..) c ude x este varabla spaţală, c este vteza de propagare a ude electromagetce (egală cu vteza lum), ar f - frecveţa, dacă x π f <<, adcă x << l <<, cu λ c c λ λ f, testatea ( x, t) se poate aproxma cu expresa: ( t) m s πft, (..) valablă petru frecveţe joase. Observaţe: Petru frecveţe rdcate sau petru crcute extse î spaţ mar (dmesuea l este comparablă cu lugmea de udă a semalulu), propagarea eerge emafd stataee u se ma poate eglja varabla spaţală. Î această stuaţe, î reprezetarea crcutulu se utlzează elemete ft mc repartzate pe toată lugmea acestua. Se ajuge astfel la crcute cu parametr repartzaţ (dstrbuţ). 4. Caracterul flform al coductoarelor, care presupue ca secţuea trasversală pe lle de curet să fe sufcet de mcă petru ca testatea curetulu să fe repartzată practc uform pe această secţue. Această poteză mplcă egljarea repartţe euforme a 7

33 curetulu varabl î tmp pe secţuea coductorulu (efectul pelcular). Î acest ses, teora crcutelor electrce este exclusv o teore a elemetelor de crcut flforme. Î regm varabl, satsfacerea codţe caracterulu flform al coductoarelor se reduce la verfcarea codţe: a << δ πσµ f, (..) ude: a este dmesuea lară cea ma mcă a secţu trasversale a coductorulu (dacă este crcular, raza acestua), ar δ este adâcmea de pătrudere a udelor electromagetce î medul coductor caracterzat pr coductvtatea σ ş permeabltatea µ.... Elemete de crcut Elemetele de crcut sut modele dealzate (pr selectarea uma a uea dtre propretăţle lor electrce sau magetce, cosderată eseţală, ş egljarea celorlalte), precs defte, cu ajutorul cărora putem reprezeta (modela) dspoztvele electrce ş electroce, care sut obecte fzce reale. Dacă otăm cu x( t) valoarea stataee a semalulu de trare aplcat elemetulu de crcut ş cu y( t) valoarea stataee a semalulu de eşre, relaţa dtre cele două mărm, care î cazul cel ma geeral se poate scre sub forma ( x( t t) y ( t) y ),, (..4) se umeşte ecuaţe caracterstcă a elemetulu de crcut. După tpul ecuaţe (..4), elemetele de crcut se clasfcă î: elemete lare varable î tmp: y( t) Kx( t), (..5) ude K este o costată. elemete lare varable î tmp (parametrce): y( t) K( t) x( t). (..6) elemete elare varable î tmp: ( x( t), y( t) ) 0 f. (..7) elemete elare varable î tmp: ( x( t), y( t), t) 0 g. (..8) elemet de crcut este caracterzat prtr-o relaţe ître curetul ş tesuea la borele sale. depedet de atura perech de mărm ( x, y ), tesuea u( t) ş testatea curetulu ( t) sut uvoc determate la borele elemetulu de crcut, ar produsul lor: p( t) u( t) ( t) (..9) se umeşte putere stataee. tegrala î raport cu tmpul a puter stataee pe tervalul ( t, t ) se umeşte eerge electrcă t W p( t)dt. (..0) t D puctul de vedere al valorlor puter stataee, elemetele de crcut pot f clasfcate î două categor: 8