Magnetska svojstva metalo-organskog multiferoika (C 2 H 5 NH 3 ) 2 CuCl 4
|
|
- Ονήσιμος Ζαχαρίου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Magnetska svojstva metalo-organskog multiferoika (C 2 H 5 NH 3 ) 2 CuCl 4 Matija Kalanj Fizički odsjek, PMF, Bijenička cesta 32, Zagreb 25. siječnja Sažetak Ovaj seminar se bavi proučavanjem magnetskih svojstava praha i listića(c 2 H 5 NH 3 ) 2 CuCl 4 na temperaturama od 2K do 360K te magnetskim poljima do 5T. Spoj ima magnetski fazni prijelaz na 10.2K iznad čega se javlja paramagnetsko ponašanje nezavisnih spinova 1/2 od iona Cu. Iako oblik prijelaza upućuje na antiferomagnetsko uredenje, snažnija magnetska polja urede sustav u feromagnetsko stanje, što je u skladu s prijašnjim saznanjima da se radi o 2D Heisenbergovom feromagnetu u kojem feromagnetski uredene ravnine medudjeluju antiferomagnetski, što dovodi do dugodosežnog uredenja. Mjerenja na listiću su pokazala jasnu magnetsku anizotropiju spoja. 1 Uvod 1.1 Multiferoici Multiferoici su materijali koji istovremeno imaju dvije ili više od sljedećih spontanih uredenja: feroelektričnost, feromagnetizam, feroelastičnost.[1] U zadnje vrijeme magnetoelektrični multiferoici su privukli dosta pažnje znanstvene zajednice[2]. U ovim materijalima je naročito pogodno ako su magnetizacija i električna polarizacija povezani, što znači da je magnetizaciju moguće mijenjati pomoću električnog polja i obrnuto. Ovo svojstvo multiferoika je bitno zato što u informatičkoj tehnologiji magnetoelektrični materijali mogu naći primjenu u višestanjskim memorijama ili u uredajima koji štede energiju zapisujući informaciju električnim umjesto magnetskim poljem. Postoje razni materijali koji pokazuju ta svojstva, od oksida medu kojima su najpoznatiji: BiFeO 3, TbMnO 3, HoMn 2 O 5, LuFe 2 O 4, Ni 3 B 7 O 13 I, do metaloorganskih spojeva poput: [(CH 3 ) 3 NH 2 ]Mn(HCOO) 3, [Mn 3 (HCOO) 6 ](C 2 H 5 OH), (C 6 H 5 CH 2 CH 2 NH 3 ) 2 CuCl 4 [6] ili (C 2 H 5 NH 3 ) 2 CuCl 4. 1
2 1.2 O spoju Slika 1: Kristalna struktura spoja na 300 K[3]. (C 2 H 5 NH 3 ) 2 CuCl 4 je metalo-organski spoj čija se struktura[3] (prikazana na Slici 1) sastoji od slojeva CuCl 4 oktaedra na koje su vezani organski lanci. Uzorak je sintetiziran sporim isparavanjem otopine CuCl 2 i soli C 2 H 5 NH 3 Cl u stehiometrijskom omjeru[4]. Difrakcijom X zrakama na monokristalu utvrdena je struktura spoja te su podaci prikazani u tablici 1 [5]. Susjedni organski lanci su medusobno okomiti pa nema značajnog preklapanja. Zbog Jahn-Teller efekta [7], koji je čest u Cu 2+ kompleksima, oktaedri u anorganskoj ravnini su nagnuti, čineći namreškanu ravninu. (C 2 H 5 NH 3 ) 2 CuCl 4 karakterizira niz električnih faznih prijelaza i jedan magnetski fazni prijelaz. Električni fazni prijelazi su većinom povezani s promjenom u položaju organskih lanaca dok magnetski fazni prijelaz potiče od Cu-Cl 4 oktaedara. Orbitale susjednih metalnih iona su medusobno okomite i spinovi koriste Cu-Cl-Cu most za superizmjenu što vodi do feromagnetskog uredenja ispod 10.2 K u CuCl 4 ravnini i slabog antiferomagnetskog uredenja medu ravninama CuCl 4. Unatoč malom omjeru konstanti vezanja spinova( J J ) unutar ravnina(j) i medu ravninama(j ), magnetska susceptibilnost poprima oblik trodimenzionalno uredenog antiferomagnetskog niza feromagnetskih slojeva. Promatrajući dielektričnu susceptibilnost utvrdeno je da postoje dva odvojena maksimuma na temperaturama nazvanima T 4 = 232K i T 5 = 247K koji se javljaju zbog različitih strukturnih uredenja karakterističnih za ovaj spoj. Analizom inverzne dielektrične susceptibilnosti[3] ε 1 u ovisnosti o temperaturi T pokazalo se da spoj iznad T 5 poštuje Curie-Weiss zakon te da linearnom ekstrapolacijom ε 1 u blizini faznog prijelaza ( K) siječe x os na temperaturi T 5 = 247K u grijanju i hladenju. Hladenjem uzorka od 300 5K javlja se velika električna polarizacija P a = 18 µ C/cm 2 na T < T 5. Grafovi prethodnih istraživanja su prikazani na slici 2 i slici 3. Slika 2: Temperaturna ovisnost dielektrične permitivnosti ɛ a o temperaturi u blizini faznog prijelaza [3]. Feroelektrično ponašanje spoja je uočeno promatrajući ovisnost polarizacije P a o električnom polju E. Slika 4 pokazuje feroelektričnu petlju za monokristalni uzorak (C 2 H 5 NH 3 ) 2 CuCl 4. 2
3 Tablica 1: Strukturni parametri na sobnoj temperaturi u Angstremima[5]. T = T sobna Prostorna grupa Pbca a 7.47 b 7.35 c V gdje je g e g-faktor elektrona i za slobodni elektron on iznosi Pošto elektron ima magnetski moment koji potiče od spina i magnetski moment koji potiče od njegovog orbitalnog gibanja oko jezgre, zbog spin-orbit vezanja njegova magnetska svojstva će biti definirana ukupnim angularnim momentom: Slika 4: Feroelektrična histereza na 77K [3] 2 Teorijska razmatranja Rješavanjem Schroedingerove jednadžbe za slobodan atom dobivamo tri kvantna broja koja karakteriziraju stanje elektrona u gibanju oko jezgre. Ta tri kvantna broja su : glavni kvantni broj n, orbitalni kvantni broj l i magnetni kvantni broj m l. Magnetni dipolni moment m l je kvantiziran i definiran pomoću: m l = µ B l(l + 1) (1) gdje je µ B Bohrov magneton. Postoje još dva kvantna broja koja ne možemo dobiti iz Schroedingerove jednadžbe zbog njene nerelativističke prirode već moramo riješiti Diracovu jednadžbu koja u sebi sadrži relativističke efekte. Ta dva kvantna broja su spinski kvantni broj s i magnetni spinski kvantni broj m s. Spinski magnetski moment je definiran sa : m j = g j µ B j(j + 1) (3) gdje vrijedi da je j = l +s te g j Landeov g- faktor. g j = 1 + j(j + 1) + s(s + 1) l(l + 1) 2j(j + 1) (4) Primjenom magnetskog polja H na materijal javlja se magnetski odziv materijala u obliku magnetizacije M stoga je ukupno magnetsko polje unutar materijala dano sa B: B = H + 4πM (5) Kao mjera odziva materijala koriste se dvije veličine: magnetsku susceptibilnost χ i magnetsku permaebilnost µ. Magnetska susceptibilnost je definirana kao : χ = M (6) H Ukoliko je ovisnost magnetizacije M o primjenjenom vanjskom polju H linearna, susceptibilnost možemo napisati i kao : χ = M (7) H Magnetska permaebilnost µ je definirana pomoću: m s = g e µ B s(s + 1) (2) µ = B H (8) 3
4 Veza izmedu magnetske susceptibilnosti i permaebilnosti je: µ = 1 + 4πχ (9) Kada materijal koji nema ukupni magnetski moment stavimo u magnetsko polje u njemu će se inducirati struje po Lenzovom pravilu i htjeti poništiti vanjsko polje. Ovakav magnetski odziv materijala zovemo dijamagnetizam i on se može primjetiti u vidu sve negativnije magnetizacije M. Materijale koji imaju nekakav ukupan magnetski moment koji potječe od nesparenih elektrona zovemo paramagnetima. Pošto su magnetski momenti unutar paramagnetskog materijala slabo vezani toplinska energija ih nasumično orijentira u prostoru. Primjenom magnetskog polja na takav materijal magnetski momenti se poslože u smjeru polja te broj momenata posloženih u smjeru primjenjenog polja ovisi o jačini vanjskog polja H. Paramagnetska susceptibilnost χ posjeduje i temperaturnu ovisnost koju zovemo Curiev zakon: χ = Ng2 J(J + 1)µ 2 B = C (10) 3kT T Kod materijala koji imaju feromagnetski ili antiferomagnetski prijelaz susceptibilnost u paramagnetskom stanju prati Currie- Weissov zakon: χ = C (11) T θ gdje je θ > 0 za feromagnetsko uredenje ili θ < 0 za antiferomagnetsko uredenje. Feromagnetski materijali su materijali koji sadrže feromagnetske domene koje su nasumično orijentirane ako nema primjenjenog vanjskog polja. Primjenom vanjskog magnetskog polja H feromagnetske domene se šire te se domenski zidovi pomiču da bi se minimizirala energija sustava. Domenski zidovi zapinju na defektima unutar materijala uzrokujući nelinearno ponašanje magnetizacije te krivulje histereze. Ovakvi materijali pamte svoju magnetsku povijest. Antiferomagnetski materijali su posebni po tome što se magnetski momenti unutar materijala ureduju medusobno antiparalelno. Povećanje vanjskog magnetskog polja H uzrokuje narušavanje takvog magnetskog uredenja te se magnetizacija M ponaša pretežno linearno u ovisnosti o magnetskom polju. 3 Eksperimentalni postav Sva mjerenja su izvršena pomoću MPMS magnetometra(magnetic Property Measurement System). MPMS u sebi sadrži SQUID(Superconducting Quantum Interference Device), koji pretvara induciranu struju u izlazni signal u kojem je sadržana informacija o magnetskom momentu uzorka. SQUID u sebi sadrži Josephsonov spoj koji je prikazan na slici 5. Princip rada Josephsonovog spoja se temelji na tuneliranju Cooperovih parova kroz izolator. Zatvorena strujna petlja koja sadrži Josephsonov spoj je jako osjetljiva na promjenu magnetskog toka kroz petlje te omogućava detekciju jako male promjene magnetskog polja. Slika 5: Josephsonov spoj MPMS SQUID magnetometar možemo podijeliti na dva osnovna dijela: 1- Cijev sa detekcijskom opremom i 2-Dewar posudu. Cijev sa detekcijskom opremom koja je uronjena u tekući helij i sastoji se od : jakog supravodljivog magneta koji može stvoriti polje do 5.5T u oba smjera, detekcijske zavojnice, SQUID-a koji je povezan sa detekcijskom zavojnicom i obložen supravodljivim magnetskim štitom koji osigurava da 4
5 vanjska magnetska polja nemogu doći do uzorka te prostor za uzorak. Svi supravodljivi dijelovi moraju biti uronjeni u tekući helij(4.2k) kako bi mogli normalno raditi. Uredaj može mjeriti u rasponu temperatura 2 400K. Mjerenje se vrši tako da se uzorak pomiče kroz detekcijske supravodljive zavojnice inducira se signal koji je prikazan na slici 7. Slamka u kojoj se nalazi uzorak je homogena pa ne utiče na mjerenja. Detekcijska zavojnica je supravodljiva zavojnica čiji je oblik prikazan na slici 7 te se postavlja u središte supravodljivog magneta da bi bila u što homogenijem magnetskom polju. Supravodljivi magnet je solenoid sa spojenim krajevima i prikazan je na slici 8. Spajanjem vanjskog izvora na solenoid struja kroz zavojnicu stvara magnetsko polje, kada se postigne željeno magnetsko polje krajevi zavojnice se spoje i vanjski izvor se isključi te magnetsko polje postaje konstantno(u perzistentnom modu). Mjerenja su izvršena na prahu koji smo dobili mljevenjem listića (C 2 H 5 NH 3 ) 2 CuCl 4, prah je stavljen u ampulu a zatim u slamku koja se montira na cijev sa detekcijskom opremom. Mjerenja su izvršena i na listiću (C 2 H 5 NH 3 ) 2 CuCl 4 koji je prikazan na slici 9. Listić, koji je blago savinut, je jako lagano lomljiv, pa smo ga uronili u parafin i pustili da se stvrdne i zatim oblikovali u kvadar radi lakšeg umetanja u slamku. Slika 6: Dijelovi MPMS SQUID magnetometra Slika 7: Oblik detekcijske zavojnice i izlazni signal Slika 8: Presjek supravodljivog magneta 5
6 Mjerenja su izvršena za prah i listić (C 2 H 5 NH 3 ) 2 CuCl 4. Mjerena je ovisnost magnetizacije o temperaturi te ovisnost magnetizacije o primjenjenom magnetskom polju. Mjerenje temperaturne ovisnosti magnetizacije je izvršeno mjerenjem magnetizacije uzorka ohladenog bez prisutnosti magnetskog polja, ovakve krivulje se zovu ZFC krivulje (Zero Field Cooled), te u prisutnosti magnetskog polja - FC krivulje (Field Cooled). Uzorak prvo ohladimo sa sobne temperature bez prisutnosti magnetskog polja zatim mjerimo magnetizaciju grijući uzorak u polju dobivajući ZFC krivulju a nakon toga uzorak hladimo u polju mjereći magnetizaciju dobivajući FC krivulju. Hladenjem u polju spinovi imaju manju vjerojatnost relaksacije u nasumičnom smjeru jer su zamrznuti u stanju definiranim vanjskim poljem stoga se ZFC i FC krivulje ne preklapaju ispod temperature faznog prijalaza. 4.1 Prah Slika 9: Listić (C 2 H 5 NH 3 ) 2 CuCl 4 sa prikazanim: (a) a i b smjerom i (b) c smjerom. Dimenzije listića su: a = mm, b = mm i c = mm 4 Mjerenja i rezultati Slika 10: Ovisnost susceptibilnosti spoja o temperaturi za različita polja i provjera linearnosti inverzne susceptibilnosti na 100 Oe Iz slike 10 možemo vidjeti da se fazni prijelaz dogada na 10.2K. Ispod te temperature spoj ima dugodosežno antiferomagnetsko uredenje dok je na višim temperaturama vidljivo paramagnetsko ponašanje koje prati Curie-Weissov zakon. Prilagodbom Curie-Weissovog zakona na izmjerene podatke dobijemo konstantu C = (0.46 ± 0.03) emu K/(Oe mol) što odgovara spinu s = 1 2 po Cu ionu uz g-faktor g = 2.21 ± Temperatura prijelaza dobivena prilagodbom na Curie-Weissov zakon je θ = ( 22.7 ± 4.2)K. Ova temperatura je za faktor 2.3 veća od maksimuma faznog prijelaza, što znači da je na toj temperaturi uočljivo slabo medudjelovanje spinova te kako se približavamo maksimumu faznog prijelaza medudjelovanje postaje sve jače. Ovi rezultati su u skladu sa prethodnim istraživanjima [8]. 6
7 tome je način magnetskog uredenja i anizotropija spoja. Na manjim poljima je lakše okrenuti spinove za mali kut u smjeru c nego u smjerovima a i b. Na većim poljima je teže okrenuti spinove u smjeru polja c nego u smjerovima a i b. Polje od 10000Oe je toliko jako da se spinovi okreću gotovo nezavisno o usmjerenju listića. Slika 11: Ovisnost magnetizacije spoja o polju za različite temperature Mjerenjem ovisnosti magnetizacije o primijenjenom polju na različitim temperaturama možemo vidjeti jasno feromagnetsko ponašanje na temperaturama do 10K (objašnjenje je dano u nastavku). Magnetizacija na 2K postiže saturiranu vrijednost M S = 1.05µ B na polju od 10000Oe, što je u skladu sa teoretskim očekivanjima za Cu ion. Nakon 10K sve je slabije feromagnetsko uredenje i spoj počinje pokazivati svoju paramagnetsku prirodu gdje na 50K krivulja poprima gotovo linearan oblik. 4.2 Listić Mjerenja izvršena na listiću su napravljena kao kod praha ali u sva tri smjera. Mjerena je ovisnost magnetizacije o temperaturi pri fiksnim poljima. Rezultati mjerenja su prikazani kao ovisnost susceptibilnosti i magnetizacije na fiksnim poljima za različite smjerove o temperaturi i kao ovisnosti magnetizacije za različite smjerove i temperature o primjenjenom magnetskom polju. Iz slike 12 možemo primjetiti razliku u smjerovima na manjim vrijednostima polja te prisutnost šiljka što je karakteristično za antiferomagnete. Nagli pad susceptibilnosti nakon temperature faznog prijelaza je uzrokovan antiparalelnom orijentacijom spinova. Veća polja mogu okrenuti spinove u istom smjeru i na taj način izgladiti šiljak. Na 1000Oe i na 10000Oe krivulja za smjer polja c padne ispod krivulja a i b. Uzrok 7
8 Slika 13: Ovisnost magnetizacije o temperaturi u : (a)ab ravnini, (b)c smjeru za različita polja Iz slike 13 možemo vidjeti da magnetizacija u ab ravnini raste puno brže povećanjem polja nego magnetizacija u c smjeru. Ovakav rezultat dodatno potvrduje pretpostavku o magnetskoj anizotropiji spoja i objašnjava pad krivulje susceptibilnosti u c smjeru ispod krivulja susceptibilnosti u a i b smjeru na višim poljima. Slika 12: Ovisnost susceptibilnosti o temperaturi na poljima od: (a)10oe, (b) 100Oe, (c) 1000Oe i (d) 10000Oe za različite smjerove Mjerena je i ovisnost magnetizacije o primjenjenom magnetskom polju na različitim temperaturama za različite smjerove. 8
9 povećanjem polja. Magnetizacija iznad faznog prijelaza (20K) sporije raste zbog paramagnetskog ponašanja spoja na tim temperaturama i zbog dijamagnetskog doprinosa od parafina. 5 Zaključak Slika 14: Ovisnost magnetizacije o polju u različitim smjerovima za temperature od 2K i 20K (a) u normalnom prikazu i (b) u uvećanom prikazu Mjerena magnetizacija ispod temperature faznog prijelaza (2K) postiže saturiranu vrijednost na malim poljima te je dobro vidljiva razlika u smjerovima. Oblik krivulja je feromagnetski. Unatoč tome što je interakcija izmedu ravnina antiferomagnetska, velika polja okrenu spinove na susjednim ravninama u istom smjeru što nam daje feromagnetski signal. Pošto je listić uronjen u parafin, koji je dijamagnet, saturirana vrijednost magnetizacije pada Proučena su magnetska svojstva praha i listića (C 2 H 5 NH 3 ) 2 CuCl 4. Spoj doživljava fazni prijelaz na 10.2K pokazujući antiferomagnetsko uredenje na nižim temperaturama i paramagnetsko uredenje na višim temperaturama. U temperaturnom području oko faznog prijelaza spoj pokazuje karakteristike dvodimenzionalnog Heisenbergovog feromagneta sa dominantnim feromagnetskim interakcijama unutar ravnina, kako se približavamo temperaturi faznog prijelaza ovo ponašanje je modificirano dominantnim antiferomagnetskim interakcijama izmedu ravnina prelazeći u trodimenzionalno antiferomagnetsko uredenje feromagnetskih slojeva koje se lako preusmjeri relativno malim vanjskim magnetskim poljem. Potvrdena je magnetska anizotropija listića unatoč savinutoj makroskopskoj strukturi samog listića te feromagnetsko uredenje na velikim magnetskim poljima ispod temperature faznog prijelaza. 6 Zahvala Samostalni seminar iz istraživanja u fizici je izraden u Laboratoriju za istraživanje magnetskih i električnih pojava na Fizičkom odsjeku PMFa u Zagrebu. Posebno se zahvaljujem svome mentoru, Doc. dr. sc. Damiru Pajiću na uloženom strpljenju, metodičnosti i trudu u radu samnom. Literatura [1] Nicola A. Spaldin, Magnetic materials Fundamentals and application 9
10 [2] R.Ramesh,Nature(London) 461,1218(2009) [3] B.Kundys, A.Lappas, M. Viret, V.Kapustianyk, V.Rudyk, S.Semak, Ch.Simon, I.Bakaimi; Physical Review B 81 (2010) [4] Sintezu je obavila Mirta Rubčić s Kemijskog odsjeka PMF, unutar projekta FerMaEl [5] J.P.Steadman and R.D.Willett; Chem.Phys (1966) [6] Alexey O.Polyakov, Anne H. Arkenbout, Jacob Baas, Graeme R.Blake, Auke Meetsma, Antonio Caretta, Paul H.M. van Loosdrecht, Thomas T.M.Palstra; Chemistry of materials (2012),24, [7] Jun Ding, HaiSheng Li, LiWei Wen, XiuBao Kang, HaiDong Li, JianMin Zhang; Journal of Magnetism and Magnetic Materials 346 (2013) [8] L.J. De Jongh, W.D. Van Amstel and A.R.Miedema; Physica(Amsterdam) 58,277(1972) 10
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα2 Magnetska svojstva materijala
2 Magnetska svojstva materijala Osnovna veličina koja određuje magnetska svojstva nekog materijala je magnetski moment, r, koji se definira kao: r = γhj r, (2.1) gdje je h J r ukupan angularni moment jednak
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραMaterija u magnetskom polju
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Materija u magnetskom polju Vrste magnetskih materijala snove elektrotehnike I Elektroni pri svojoj vrtnji oko jezgre
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραIzvori magnetskog polja
Izvori magnetskog polja Biot-Savartov zakon - Hans Christian Oersted 1820. g. veza elektriciteta i magnetizma: električna struja u vodiču otklanja magnetsku iglu - Jean-Baptiste Biot (1774.-1862.) i Felix
Διαβάστε περισσότεραElektron u magnetskom polju
Quantum mechanics 1 - Lecture 13 UJJS, Dept. of Physics, Osijek 4. lipnja 2013. Sadržaj 1 Bohrov magneton Stern-Gerlachov pokus Vrtnja elektrona u magnetskom polju 2 Nuklearna magnetska rezonancija (NMR)
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραelektronskog para samo jednog od atoma u vezi
KOMPLEKSNI SPOJEVI Spojevi u kojima se nalaze skupine atoma koji su povezani u više ili manje stabilne jedinice u krutom, tekućem, otopljenom i plinovitom stanju. Koordinacijski spojevi jer imaju koordinacijsku
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραMagnetska svojstva materijala
Magnetska svojstva materijala Pod utjecajem magnetskog polja tvari postaju magnetične. Magnetičnost prikazujemo preko veličine koju zovemo magnetizacija. Magnetizacija, M, se definira kao srednja gustoća
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότεραMAGNETIZAM III. Magnetizam u tvarima Magnetski krug Prijelazne pojave
MAGNETIZAM III Magnetizam u tvarima Magnetski krug Prijelazne pojave Magnetizam u tvarima Magnetizam u tvarima Magnetizacija: odziv materijala na vanjsko magnetsko polje magnetska indukcija se mijenja
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότεραNOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραPriprema za vježbu Magnetske domene
Priprema za vježbu Magnetske domene Princip rada i objašnjenje mjernog uređaja Na mikroskopskom postolju nalazi se uređaj za prikaz magnetskih domena. Sastoji se od dva polarizatora između kojih je tanak
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραUnipolarni tranzistori - MOSFET
nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραHEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
Διαβάστε περισσότεραFAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI
SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραHeterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima
Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραELEKTROMAGNETSKE POJAVE
ELEKTROMAGETSKE POJAVE ELEKTROMAGETSKA IDUKCIJA IDUKCIJA SJEČEJEM MAGETSKIH SILICA Pojava da se u vodiču pobuđuje ii inducia eektomotona sia ako ga siječemo magnetskim sinicama, zove se eektomagnetska
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραElektricitet i magnetizam. 2. Magnetizam
2. Magnetizam Od Oersteda do Einsteina Zimi 1819/1820 Oersted je održao predavanja iz kolegija Elektricitet, galvanizam i magnetizam U to vrijeme izgledalo je kao da elektricitet i magnetizam nemaju ništa
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραKonstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραPeriodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραGauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Διαβάστε περισσότεραPARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραSTATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA
Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -
Διαβάστε περισσότεραZADATCI S NATJECANJA
ZADATCI S NATJECANJA MAGNETIZAM 41. Na masenom spektrometru proučavamo radioaktivni materijal za kojeg znamo da se sastoji od mješavine 9U 35 9U. Atome materijala ioniziramo tako da im je naboj Q +e, ubrzavamo
Διαβάστε περισσότερα1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ
Deformaije . Duljinska (normalna) deformaija. Kutna (posmina) deformaija γ 3. Obujamska deformaija Θ 3 Tenor deformaija tenor drugog reda ij γ γ γ γ γ γ 3 9 podataka+mjerna jedinia 4 Simetrinost tenora
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότερα