Materiály so zápornou permitivitou a permeabilitou.
|
|
- Λυσιμάχη Χλωρίς Κοντολέων
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Materiály so zápornou permitivitou a permeabilitou. Peter Markoš Fyzikálny ústav SAV, Dúbravská cesta 9, Bratislava Vývoj fotónových kryštálov ukázal, že niektoré umelé kompozity možu mat v určitom intervale frekvencií zápornú efektívnu permitivitu aj magnetickú permeabilitu. V článku diskutujem niektoré elektro magnetické vlastnosti takýchto materiálov: záporný index lomu, zosilnenie evanescentnýc vĺn, a ich využitie pri konštrukcii šošovky s nulovou zobrazovacou chybou (perfect lens). PACS numbers: ÚVOD História výskumu left-handed materiálov siaha až do r. 1968, kedy Veselago [1] popísal elektromagentické vlastnosti hypotetických látok so zápornou permitivitou ɛ aj permeabilitou µ. Veselago ukázal, že hoci sa takéto materiály v prírode nevyskytujú, Maxwellove rovnice ich existenciu nevylučujú. Označenie takýchto materiálov ako left-handed (LH) materiály [2] pochádza od Veselaga. Ak totiž napíšeme Maxwellove rovnice pre monochromatickú rovinnú vlnu k E = ωµ c H, k H = ωɛ c E (1) vidíme, že v prípade ɛ < a µ < je vzájomná orientácia vektorov k, E a H daná pravidlom l avej ruky, na rozdiel od klasických, right-handed (RH) materiálov. Veselagova práca zostala takmer nepovšimnutá až do r. 2, kedy skupina D.R. Smitha (UC San Diego) [3] realizovala teoretické nápady J. Pendryho [4 6] a zostrojila prvé štruktúry, u ktorých sa z meraní transismie predpokladali záporné ɛ a µ. Pendryho teoretické a Smithove experimentálne práce vyvolali nečakane búrlivú diskusiu: negatívny index lomu, záporný lom elektro magneticke vlny na rozhraní RH - LH materiálu [7] ale predovšetkým Pendrym predpovedaná možnost konštrukcie dokonalej šošovky [8] (perfect lens - šošovky, ktorá nemá žiadnu zobrazovaciu chybu) sl ubovali na jednej strane zaujímavé aplikácie, vyvolávali však aj pochynosti, či ich teória neodporuje základným fyzikálnym princípom. Ukázala sa aj potreba zovšeobecnit učebnicové vzt ahy [9, ], ktore síce každý pozná, ale ktoré implicitne predpokladajú, že magnetická permeabilita µ 1. Článok diskutuje niektoré elektro magnetické vlastnosti LH materiálov. Jeho spracovanie je dané aj mojou osobnou skúsenost ou z numerických simulácií LH materiálov v skupine C. Soukoulisa v Ames Laboratory, Iowa. Niektoré iné fyzikálne problémy, ktoré štúdium LH materiálov prinieslo, sú diskutovńe napríklad v článkoch Pendryho [11] (pozri aj [12]). FYZIKÁLNE VLASTNOSTI LH MATERIÁLOV Veselago upozornil, že LH materiál umožňuje transmisiu elektro-magnetickej vlny. Vlnová rovnica má totiž riešenie 2 E = ɛµ 2 E t (2) E( r, t) = Ee i k. r ωt, (3) vždy, ked súčin ɛµ je kladný. Túto podmienku spĺňa tak RH materiál s ɛ > a µ >, ako aj left-handed materiál. Orientácia Poyntingovho vektora S = c 4π E H (4) však od materiálových vlastností nezávisí. Porovnaním rovníc (1) a (4) dostaneme, že na rozdiel od RH materiálov, v LH materiáli je orientácia vlnového vektora a Poyntingovho vektora opačná (obr. 1) k. S <. (5) Opačná orientácia vektorov k a S znamená, že fázová rýchlost, v = ω/k je záporná: fáza vlny sa šíri v smere opačnom, ako energia. Zápornú fázovú rýchlost potvrdili numerické simulácie [13]. Preto sa LH materiály označujú aj ako Backward wave medium. Už Veselago upozornil, že permitivita aj permeabilita v LH materiáli musia závisiet od frekvencie, inak by energia EM pol a, U = 1 2π dω [ (ɛω) ω E2 + (µω) ] ω H2, (6) bola záporná. Frekvenčná závislost permitivity aj permeability vedie, v súlade s Kramers - Kronigovými reláciami, k tomu, že permitivita aj permeabilita sú vo všeobecnosti komplexné: ɛ = ɛ +iɛ, µ = µ +iµ. Energia vyjadrená vzt ahom (6) je samozrejmé kladná, pretože kauzalita vyžaduje splnenie nerovností [] (ωɛ) ω >, (ωµ) >. (7) ω
2 Ak je ɛ < aj µ <, potom aj index lomu, "! ' Imag $# &% ( n = ɛµ, (8) musí byt záporný [14]. Znamienko pred odmocninou v rovnici (8) je totiž jednoznačne určené z požiadavky kauzality (obr. 2). V pasívnom materiáli musia byt imaginárne časti permitivity, permeability aj idexu lomu kladné. Záporný index lomu znamená, že na rozhraní medzi klasickým RH a LH materiálom nastáva záporný lom EM vlny (obr. 3). Záporný lom EM vlny umožňuje vytvorit planárnu šošovku. (obr. 4). LH vrstva s ɛ = µ = 1 skoncentruje všetky lúče, vychádzajúce z bodového zdroja, do ohniska na druhej strane vstvy. Pendry [8] predpovedal, že planárna šošovka z LH materiálu bude mat rozlišovaciu schopnost lepšiu, ako je vlnová dĺžka použitej EM vlny. V ideálnom prípade ɛ = µ = 1 by taká šošovka mala zobrazit l ubovol ne malé detaily. Tento výsledok, zdanlivo odporujúci zdravému rozumu, je založený na výpočte transmisie T evanescentnej vlny E exp( κz) cez planárnu vrstvu LH materiálu. Po dosadení ɛ = µ = 1 a k = iκ do učebnicovej formuly pre transmisiu T 1 = cos nkl i 2 [ z + z 1 ] sin nkl (9) totiž dostaneme T = exp κl (parameter z je impedancia, z = µ/ɛ 1 v našom prípade). Transmisia evanescentnej vlny exponenciálne narastá so šírkou planárnej vrstvy. Samozrejme, v RH prostredí evanescentná vlna exponenciálne klesá (obr. 5). V ohnisku je jej amplitúda identická s amplitúdou v zdroji. Vd aka schopnosti zrekonštruovat aj evanescentné komponenty elektromagnetického pol a vzniká v ohnisku dokonalý obraz zdroja, ktorý s použitím šošovky z klasického materiálu nikdy nie je možný. Pretože oba parametre - permitivia aj permeabilita - menia znamienko reálnej časti na rozhraní medzi RH x y z ɛ > µ > ɛ < µ < E H S k k E H S ɛ n µ Real FIG. 2: Materiál so zápornou permitivitou aj permeabilitou musí mat záporný index lomu. Z dvoch riešení rovnice n = ɛµ je totiž fyzikálne relevantné len to s kladnou imaginárnou čast ou, n >, pre ktoré je reálna čast, n, záporná. a LH materiálom, umožňuje takéto rozhranie excitovat povrchove vlny oboch polarizácií [15]. Excitácia povrchových vĺn umožňuje rozhodnút o l avorukosti skúmaného materiálu. ŠTRUKTÚRA LH MATERIÁLU Pendry a kol. [4, 5] ukázali, že pravidelná mriežka tenkých kovových drôtov sa chová ako médium so zápornou efektívnou premitivitou ɛ eff = 1 ω 2 p ω 2 + iωγ e. () Vzt ah () má tvar Drudeho formuly s plazmovou frekvenciou ω p c 2 /2πa 2 ln(a/r). ω p je funkciou ) ) FIG. 1: Orientácia elektrického a magnetického pol a ( E, H) vzhl adom na vlnový vektor k a Poyntingov vektor S v klasickom materiáli a LH médiu. V LH materiáli sú vektory k a S opačne orientované a fázová rýchlost je záporná. FIG. 3: Negatívny lom elektro - magnetickej vlny na rozhraní right handed a left handed materiálov. V LH materiáli sa vlna šíri v smere záporného uhla lomu. Zobrazená je orientácia Poyntingovho vektora S a vlnového vektora k.
3 ɛ = µ = 1 ɛ = µ = 1 ɛ = µ = 1 a l = a + b b FIG. 4: Transmisia elektromagnetických lúčov cez planárnu vrstvu šírky l s ɛ = 1 a µ = 1. Lúče emitované z bodového zdroja ležiaceho vo vzdialenosti a od vrstvy sa stretnú v ohnisku na pravej strane vrstvy. Vzdialenost ohniska od vrstvy je b = l a. Druhé ohnisko, v ktorom sa všetky lúče pretínajú, sa nachádza vo vnútri vrstvy. Pretože povrchová impedanica z = 1, je odraz na rozhraniach nulový. tencov na frekvenčne závislé vonkajšie pole H exp iωt, kolmé na rovinu prstencov, je daná efektívnou magnetickou permeabilitou µ eff = 1 F ω 2 ω 2 ω 2 + iγω (11) s rezonančnou frekvenciou ω. Pre prstence s priemerom w = 3 mm sa ω nachádza v oblasti 2- GHz, v závislosti od štruktúrnych parametrov prstencov. Kvalitatívna predpoved [6] ω 2 = 3ac 2 π ln(2c/d)r 3, (12) bola potvrdená numerickými simuláciami [21, 22]. Kombinácia oboch mriežok umožnila vznik prvého LH materiálu [3]. Najjednoduchšia štruktúra LH materiálu je schematicky zobrazená na obr. 8. Materiál pozostáva z elementárnych atómov. Každý z nich obsahuje dva prerušené prstence a tenký drôt. Periodickým opakovaním v smeroch x a y, kolmých na smer šírenia EM vlny, sa získa makroskopický materiál. Takýto materiál je samozrejme silno anizotrópny: LH vlastosti môžeme očakávat len pri prechode EM vlny v smere osi z, polarizovanej s E y a H x. Pre opačne polarizovanú vlnu oba parametre, permitivita aj permeabilita, rovné 1. Šírenie EM vĺn v smere osi x nie je možné, pretože efektívna permitivta je nad alej záporná, ale permeabilita je kladná. Pre vlnu, šíriacu sa v smere osi y, nie je prítomnost prstencov ani drôtov podstatná: oba parametre, permitivita aj permeabilita, sú kladné. Obrázok 9 zobrazuje prvú reálnu LH štruktúru [3]. Vzorka pozostávala len z jedinej vrstvy prstencov a tyčiek. Vzorka z obr. 9 je jednorozmerná, pretože transmisia elektro magnetickej vlny je možná len v jedinom smere E(z) a l=a+b polomeru drôtov r a vzájomnej vzdialenosti drôtov a (c je rýchlost svetla vo vákuu). Pre a 3 mm je ω p približne GHz. Ku kvalitatívne rovnakému záveru, hoci na základe rôznych fyzikálnych predstáv, dospeli aj iné skupiny [17 19]. Vzt ah () bol potvrdený aj numerickými simuláciami [2] (obrázok 6). Mriežka tenkých drôtov je samozrejme silne anizotrópna. Formula () platí len pre elektro magnetickú vlnu, šíriacu sa v smere kolmom na drôty a polarizovanú tak, že E je rovnobežná s drôtmi. Pre druhú polarizáciu je ɛ eff 1. Pre vývoj LHM bola rozhodujúca práca [6], ktorá študovala rezonančnú magentickú odozvu kovových prerušených prstencov (split ring resonators - SRR, obr. 7). Magnetická odozva pravidelnej mriežky takýchto prsz b 5 ε eff xε eff Frequency [GHz] FIG. 5: Transmisia evanescentnej elektromagnetickej vlny cez planárnu vrstvu s ɛ = 1 and µ = 1. Evanescentná vlna klesá exponenciálne so vzdialenost ou od zdroja: e κz pokial nedosiahne povrch LH vrstvy. Vo vnútri LH vrstvy exponenciálne rastie: e +κz, a po jej opustení opät klesá, takže jej amplitúda v ohnisku je identická amplitúde v mieste zdroja.. FIG. 6: Efektívna permitivita mriežky tenkých kovových drôtov získaná z numerických dát pre transmisiu [2]. Symboly označujú dáta získané pre rôznu diskretizáciu priestoru (elementárna bunka, v ktorej sa nachádza jedný drôt, je rozdelená na N N - N=5,, 2 častí, v ktorých je intenzita pol a aproximovaná konštantou). Pretože systém je translančne invariantný v smere drôtov, úloha je efektívne dvojrozmerná. Dáta potvrdzujú teoretickú predpoved ().
4 r w dc g FIG. 7: Rezona tor vytvoreny z dvoch prerus eny ch kovovy ch prstencov (split ring resonator - SRR). C asovo za visle vonkajs ie magneticke pole Heiωt, kolme na rovinu prstencov, indukuje v prstencoch elektricky pru d. V okolı rezonac nej frekvencie, ω, je magneticka odozva prstencov taka silna, z e vy sledne magneticke pole ma opac ne znamienko ako vonkajs ie pole. Pravidelna mriez ka prerus eny ch prstencov vytva ra me dium so za pornou efektı vnou permeabilitou. FIG. 9: Prvy experimenta lne testovany LH materia l [3] vlny v smere jej za porne ho lomu. Tieto vy sledky boli podrobene tvdej kritike. Garcia a kol. naprı klad uka zali, Tento nedostatok prekonala dvojrozmerna vzorka na obr. [7, 16],ktora umoz n uje s ı renie elektro magnetickej vlny v dvoch smeroch kolmy ch na tenke dro ty. Doteraz sa nepodarilo skons truovat izotro pnu 3D s truktu ru. EXPERIMENTA LNE A NUMERICKE VY SLEDKY FIG. : Dvojrozmerna LH s truktu ra [7, 16], umoz n ju ca s ı renie LH vlny v l ubovol nom smere vo vodorovnej rovine, ~ v zvislom smere. Prstence aj pokial je vlna polarizovana s E tenke dro ty su nanesene z opac ny ch stra n na tu istu dielektricku podloz ku. 4 8 Transmisia Prvy m experimentom bolo meranie transmisie elektromagnetickej vlny cez vzorku na obr. 9. Z transmisie sa nepriamo usu dilo, z e vzorka ma LH vlastnosti. Podstata experimentu je uka zana na obr. 11. Do lez ity m experimentom bolo meranie lomu elektro magnetickej vlny na rozhranı LH vzorka - vzduch. Pretoz e LH s truktu ry su silne anizotropne, musel sa lom vlny merat na vy stupe vlny zo vzorky (obr. 12). Experiment [7] skutoc ne nameral maximum intenzity 12 len prstence tenke droty left handed Y X Frekvencia [GHz] Z FIG. 8: Schematicka s truktu ra elementa rnej bunky najjednoduchs ieho LH materia lu. Samotny LH materia l pozosta va vznikne periodicky m opakovanı m elementa rnej bunky v smeroch x a y. Kaz da elementa rna bnka obsahuje na dielektrickej podloz ke umiestnene dva kovove prerus ene prstence, ktore vytva raju za pornu magneticku odozvu. Za porna permitivita je vytvorena kovovy mi dro tmi (elementa rna bunka obsauje len c ast jedne ho z nich). Elektromagneticka vlna ~ kzah ~ k x. dopada v smere z a je polarizovana s E FIG. 11: Transmisia elektromagnetickej vlny polarizovanej ~ k y cez tri s truktu ry: Periodicku mriez ku prstencov E (prerus ovana c iara): transmisia je blı zka k 1, okrem rezonanc ne ho intervalu frekvenciı, v ktorom sa predpoklada µ <. Pre periodicku mriez ku tenky ch kovovy ch dro tov je transmisia vel mi mala, pretoz e < pre ω < ωp. Plna c iara je transmisia cez kombina ciu mriez ky prstencov a dro tov. Transmisia je blı zka k 1 v rezonanc nom intervale frekvenciı. Tieto vy sledky su konzistentne s predstavou, z e tenke dro ty vytva raju me dium so za pornou permitivitou a prerus ovane prstence vytva raju me dium so za pornou efektı vnou permeabilitou.
5 4 dopadajuca vlna kladny lom (n>) zaporny lom (n<) Index lomu Im(n)= 2 Re(n)< Re n Im n Frekvencia [GHz] FIG. 12: Experimentálna realizácia záporného lomu EM vlny. LH vzorka má tvar klinu. Pretože LH materiál je anizotropný (transmisia EM vlny je možná len v jednom smere, meria sa lom vlny na výstupe vlny do prostredia. EM vlna dopadá kolmo na l avú podstavu, a láme sa pri výstupe do prostredia na šikmej hrane. že podobné výsledky môže priniest aj absorbcia vo vnútri vzorky: maximum intenzity zodpovedá najkratšej dráhe vlny vo vzorke [23]. Pre dôkaz záporného lomu vlny je preto potrebné použit podstatne väčšie vzorky a merat intenzitu prechádzajúcej vlny vo väčšej vzdialenosti od rozhrania. Tieto kritériá spĺňa neskorší experiment [24]. Najjednoduchšie numerické simulácie predpokladajú homogénny LH systém. Finite difference time domain (FDTD) metóda umožňuje študovat transmisiu vlny v reálnom čase. Takto možno simulovat záporný lom vlny na RH - LH rozhraní, zápornú fázovú rýchlost [13], excitáciu povrchových vĺn, fungujúcu planárnu šošovku, analyzovat jej rozlišovaciu schopnost. Tieto výsledky potvrdzujú, že LH materiály v princípe môžu existovat. Viaceré počítačové simulácie možno nájst na [25] alebo web stránkach hlavných protagonistov, reps. odporcov LH materiálov. Numerická analýza reálnych štruktúr (obr. ) je t ažká, pretože realistická vzorka je charakterizovaná rozličnými dĺžkovými škálami. Polomer prstenca je napr. 3 mm, ale hrúbka naparenej kovovej vrstvy je len 17µm. V našich numerických simuláciách, založených na metóde transfer matice, nedokážeme diskretizovat priestor s takým jemným rozlíšením (toto dokáže komerčný software, napr. Micro Wave Studio, ktorý ale má zasa iné nevýhody). Naše numerické výsledky sú preto väčšinou kvalitat vne. Napriek tomu sú dôležité pre technologický vývoj, pretože príprava LH vzorky je v súčasosti pomerne drahá a časovo náročná. Numerické dáta umožňujú z transmisie a reflexie nájst efektívne parametre štruktúry [26]. Ak predpokladáme, že LH materiál môžeme považovat za homogénny, potom transmisia T a reflexia R pre planárnu vrstvu sú určené vzt ahmi (9) a R T = i [ z z 1 ] sin nkl (13) 2 FIG. 13: Index lomu získaný z numerických dát pre transmisiu a reflexiu. kde z = µ/ɛ je impedancia, n = ɛµ je index lomu a l je šírka vrstvy. Riešenie rovníc (9, 13) dá frekvenčnú závislost indexu lomu. Príkladom takejto analýzy sú dáta na obr. 13. FYZIKÁLNE PRINCÍPY EXISTENCIE LH MATERIÁLOV Správy o LH materiáloch vyvolali pomerne kontraverzú diskusiu. Jednou z najvážnejších námietok proti koncepcii LH materiálov boli tvrdenia, že ich absorbcia musí byt vel mi vel ká. Tieto obavy vzbudzovala aj nečakane malá experimentálne meraná transmisia cez prvé LH vzorky. Našt astie, táto predpoved sa nepotvrdila. Napríklad numerické dáta pre index lomu na obr. 13 dávajú imaginárnu čast indexu lomu len 2. Malú absorbciu môžeme vysvetlit tým, že v GHz oblasti je permitivita kovov taká vel ká ( 7 i [9]), že elektro magnetické pole do kovových komponentov temer nevniká. Hlavnou príčinou absorbcie v LH materiáli sú preto straty v dielektrickej podložke. Výberom vhodného materiálu sa v súčasných LH štruktúrach dosiahla transmisia blízka k 1. Mnohé námietky proti existencii záporného lomu EM vlny boli postavené na mylných predstavách o smere šírenia EM vlny. Valanju et al. [27] tiež argumentovali, že záporný lom vlny narúša kauzalitu [28]. Vážnou otázkou bolo aj to, či si v LH štruktúrach môžeme dovolit definovat efektívu permitivitu a permeablitu, parametre, vhodné pre popis homogénnych systémov. Štruktúra na obr. 8 má priestorovú periodicitu 3.3 mm a rezonancnú frekvenciu GHz. Pomer vlnovej dĺžky EM vlny k priestorovej perióde, λ/a je približne, a je ešte menší v rezonančnej oblasti, kde index lomu LH štruktúry (v absolútnej hodnote) môže byt 1. Je preto otázne, či v takomto materiáli má permitivita a permeabilita svoj fyzikálny význam. Rozsiahle numerické simulácie naozaj potvrdili, že periodicita LH mriežky je dôležitá. Napríklad v rezonančnej oblasti, ω ω
6 dostávame z numerických dát zápornú imaginárnu čast efektívnej permitivity (ɛ < ), čo v prípade pasívneho materiálu nie je možné. Takýto problem ale nevzniká v pomerne širokom frekvenčom páse (obr. 13), kde je 1 < n <. Problémy s priestorovou periodicitou možno eliminovat a takmer dokonalú rezonančnú závislost permeablity, (11) možno dosiahnut redukciou rezonančnej frekvencie prstencov. Ak je pomer λ/a > 5, potom numerické dáta pre mriežku prstencov aj LH materiál potvrdzujú správnost vzt ahov (,11) pre efektívne parametre [29]. Z hl adiska aplikácií LH materiálov bolo potrebné hlbšie porozumiet interakcii prstencov a drôtov, ako aj elektrickú odozvu prstencov. V prvej aproximácii sa táto odozva zanedbala. Podrobná analýza [3] ul ahčuje interpretáciu experimentálnych dát. Umožňuje o.i. rozhodnút, či transmisné maximum v spekte tej - ktorej vzorky je naozaj LH. FIG. 14: Záporný lom elektro magnetickej vlny na rozhraní vzduch - fotónový kryštál [33] FOTÓNOVÉ KRYŠTÁLY Pre úplnost je treba spomenút aj druhú čast LH materiálov: fotónové kryštály. Notomi [31], a po ňom mnohí d alší [32, 33] v numerických simuláciách ukázali, že na rozhraní vzduch - fotónový kryštál môže nastat záporný lom EM vlny (obr. 14). Fotónový kryštál, študovaný na obr. 14 pozostáva z pravidelnej mriežky dielektrických tyčiniek s priestorovou periódou a porovnatel nou vlnovej dĺžke prechádzajúcej vlny. V jeho frekvenčnom spektre (obr. 15) existuje oblast frekvencií, v ktorej ω je klesajúcou funckiou k. Efros [35] argumentuje, že v tejto oblasti je možné definovat zápornú efektívnu permitivitu aj permeabilitu fotónového kryštálu. Fotónový kryštál je samozrejme ovel a vhodnejší pre experimentálny výskum, ako komplikované LH štruktúry. Neobsahuje kovo vé komponenty, v ktorých vždy hrocia absorbčné straty. Jeho priestorovú štruktúru navyše možno jednoducho škálovat a tým menit pracovnú frekvenciu. Preto sa zdá byt vhodnejším kandidátom pre konštrukciu dokonalej šošovky. Viaceré skupiny už ohlásili, že sa im podarilo experimentálne dosiahnut rozlišovaciu schopnost podstatne menšiu, ako λ [34]. Napriek tomu vládne voči fotónovým kryštálom skepsa. Ich vel kým handicapom je skutočnost, že povrchové vlny, typické pre LH médium, sa na na povrchu fotónového kryštálu podarí excitovat len vtedy, ked sa povrch kryštálu naruší. Niektoré teoretické práce (napr. [36]), tvrdia, že fotónový kryštál nie je schopný zosilnit evanescentné vlny. Ak je toto tvrdenie pravdivé, potom sú fotónové kryštály pre pre konštrukciu dokonalých šošoviek prakticky nepoužitel né a doterajšie experimenty dokazujúce superrozlišovaciu schopnost šošoviek si vyžiadajú inú fyzikálnu intepretáciu. Γ Μ Γ Κ FIG. 15: Typická štruktúra frekvenčného spektra fotónového kryštálu. V blízkosti hornej hranice druhého pásu je frekvencia klesajúcou funkciou vlnového vektora, a to pre všetky smery šírenia vlny (spodný obrázok). V tejto frekvenčnej oblasti sa očakáva záporný lom EM vlny na rozhraní vzduch - fotónový kryštál (obr. 14) Je možné prispôsobit štruktúru fotónového kryštálu tak, aby disperzný zákon bol izotrópny, ω k 2. ZÁVER Ďalší vývoj LH materiálov bude smerovat ku konštrukcii izotrópnych štruktúr. Nie je t ažké predstavit si trojrozmernú LH štruktúru, ktorá sa v numerických simuláciách bude správat ako izotrópne médium [37]. Takéto vzorky sa však nateraz v laboratóriách nepodarilo pripravit. Doteraz diskutované vzorky pracujú v oblasti GHz. Samozrejme vzniká otázka, či je možné skonštruovat LH materiály s pracovnou frekvenciou blízkou k viditel nému svetlu. Posun do vyšších frekvencií ( THz) vyžaduje predovšetkým miniaturizovat celú štruktúru. Typická vel kost elementárnej bunky sa musí zmenšit na µm. Prvé vzorky pozostávajúce z niekol kých
7 vrstiev prerušených prstencov [38] naznačujú, že aj v tejto oblasti majú prstence zápornú magnetickú odozvu. Pre ich využitie však bude podstatná analýza elektromagnetických strát v LH systéme. Zatial čo v olasti GHz majú kovy typickú permitivitu ɛ m 7 i, takže kov môžeme považovat za ideálny bezstratový vodič, je permitivita kovu v THz oblasti podstatne nižšia. Nie je preto jasné, či bude možné odstránit absorbčné straty v kovových komponentoch. Straty v THz materiáloch budú preto pravdepodobne podstatne vyššie, ako v GHz oblasti. Napríklad posledná navrhnutá LH štruktúra, zložená z malých kovových tyčiek (vel kosti nanometrov) síce vykazuje v okolí frekvencie 2 THz záporný index lomu n.5 [39], ale imaginárna čast indexu lomu, n 2 4 je taká vel ká, že takýto materiál sa za LH materiál de facto nedá považovat. Trvalou výzvou je, samozrejme, koňstrukcia LH šošovky, ktorá, aj ked nie dokonalá, dokáže zobrazit detaily menšie ako vlnová dĺžka. [1] V. G. Veselago, Sov. Phys. Usp., 59 (1968) [Usp. Fiz. Nauk 92, 517 (1967)]. [2] V literatúre sa používa aj názov NIM (negative index material), DNM (double negative material) alebo Backwardwave medium. Posledný názov zdôrazňuje skutočnost, že fázová rýchlost je záporná. [3] D. R. Smith et al. Phys. Rev. Lett. 84, 4184 (2). [4] J. B. Pendry et al. Phys. Rev. Lett. 76, 4773 (1996). [5] J. B. Pendry et al. J. Phys.: Condens. Matt., 4785 (1998). [6] J. B. Pendry et al. IEEE Trans. on Microwave Theory and Techn. 47, 257 (1999). [7] R. A. Shelby, D. R. Smith, and S. Schultz, Science 292, 77 (21). [8] J. B. Pendry, Phys. Rev. Lett. 85, 3966 (2) [9] J. D. Jackson, Classical Electrodnamics (3rd ed.) J. Willey and Sons, 1999 [] L. D. Landau, E. M. Lifshitz, L. P. Pitaevskii, Electrodynamics of Continuous Media, Pergamo Press, 1984 [11] J. B. Pendry, Contemp. Phys. 45, 191 (24); J. B. Pendry, D. R. Smith, Phys. Today 57, 37 (24) [12] V. Dvořák, čs. čas. fyz. 54, 56 (24) [13] R. W. Ziolkowski, E. Heynman, Phys. Rev. E 64, (21) [14] D. R. Smith and N. Kroll Phys. Rev. Lett. 85, 2933 (2) [15] R. Ruppin, Phys. Lett. A 277, 61 (2) [16] R. A. Shelby et al. Appl. Phys. Lett. 78, 489 (21). [17] M. Sigalas et al., Phys. Rev. B 52, (1995) [18] A. K. Sarychev and V. M. Shalaev, cond-mat/3145 [19] A. L. Pokrovsky and A. L. Efros, Phys. Rev. Lett. 89, 9391 (22). [2] P. Markoš and C. M. Soukoulis, Optics Letters 28, 846 (23). [21] T. Weiland et al., J. Appl. Phys. 9, 5419 (21). [22] P. Markoš and C. M. Soukoulis, Phys. Rev. E 65, (22). [23] V. Sanz et al. Phys. Rev E. (23) [24] C. G. Parazzoli et al. Phys. Rev. Lett. 9, 741 (23). [25] Optics Express, e-časopis, vol ne prístupný na [26] D. R. Smith et al. Phys. Rev. B 65, 1954 (22). [27] P. M. Valanju et al., Phys. Rev. Lett. 88, (22) [28] J. B. Pendry, reply to [27], Phys. Rev. Lett. 9, 2973 (23) [29] Th. Koschny et al. Phys. Rev. B 71, 2455 (25). [3] Th. Koschny et al. Phys. Rev. Lett. 93, 742 (24). [31] M. Notomi, Phys. Rev. B 62, 696 (2) [32] S. Foteinopoulou et al., Phys. Rev. Lett (23) [33] R. Moussa et al., Phys. Rev. B (25) [34] E. Cubukcu et al. Phys. Rev. Lett. 91, 2741 (23) [35] A. L. Efros and A. L. Pokrovsky, Solid St. Comm. 129, 643 (24). [36] A. L. Efros et al. [37] Th. Koschny et al. Phys. Rev. B 71 (25) [38] T. J. Yen et al. Science 33, 1494 (24). [39] V. M Shalaev et al.
Ekvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Obvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Matematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
OPTIKA. obsah prednášok EMO
OPTIKA obsah prednášok EMO Peter Markoš zimný semester 208/209 Obsah Prednáška 5. Elektromagnetické vlny vo vákuu I........................ 5 2 Prednáška 2 7 2. Elektromagnetické pole vo vákuu II.......................
Elektromagnetické pole
Elektromagnetické pole Elektromagnetická vlna. Maxwellove rovnice v integrálnom tvare a diferenciálnom tvare. Vlnové rovnice pre E a. Vjadrenie rýchlosti elektromagnetickej vln. Vlastnosti a znázornenie
1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém
C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový
Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
ELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies.
ELEKTRICKÉ POLE 1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ, COULOMBOV ZÁKON Skúmajme napr. trenie celuloidového pravítka látkou, hrebeň suché vlasy, mikrotén slabý prúd vody... Príčinou spomenutých javov je elektrický náboj,
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Vzorce a definície z fyziky 3. ročník
1 VZORCE 1.1 Postupné mechanické vlnenie Rovnica postupného mechanického vlnenia,=2 (1) Fáza postupného mechanického vlnenia 2 (2) Vlnová dĺžka postupného mechanického vlnenia λ =.= (3) 1.2 Stojaté vlnenie
,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Einsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky
Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení
Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová
1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE
H KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE 0 Základné požiadavky zadávania VZT potrubia pre výrobu 1. Zadávanie do výroby v spoločnosti APIAGRA s.r.o. V digitálnej forme na tlačive F05-8.0_Rozpis_potrubia, zaslané mailom
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
(k 0 k) n 0 k k 0. Ktorý z týchto balíkov je v x priestore najužší? Aká bude x- závislost vlnovej funkcie, ak. (k + k0 ) n k 0 k 0
Výpočtové metódy vo fyzike: Príklady P. Markoš Katedra fyziky FEI STU Niekol ko vzorových príkladov k prednáške Výpočtové metódy vo fyzike, letný semester 007/008. PACS numbers: I. VLNOVÝ BALÍK Problém
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Elektromagnetické vlnenie
1. Vznik elektromagnetického vlnenia Elektrické pole Zdrojom elektrického poľa sú elektrické náboje. Elektrická siločiara začína v kladnom náboji a končí v zápornom náboji. Magnetické pole neexistujú osamotené
8 Elektromagnetické vlny a základy vlnovej optiky
8 Elektromagnetické vlny a základy vlnovej optiky 8. Úvod Zo vzájomnej väzby a vzťahov medzi vektormi elektrickej intenzity a intenzity magnetického poľa vyjadrených Mawellovými rovnicami vyplývajú vlnové
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Modul pružnosti betónu
f cm tan α = E cm 0,4f cm ε cl E = σ ε ε cul Modul pružnosti betónu α Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Modul pružnosti betónu Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Trnava 2008 Obsah 1 Úvod...7 2 Deformácie
Zložky elektromagnetického vlnenia
Prednáška 02: ŠÍRENIE ELEKTROMAGNETICKÝCH VĹN doc. Ing. Ľuboš Ovseník, PhD. (lubos.ovsenik lubos.ovsenik@tuke.sk tuke.sk, tel. 421 55 602 4336) http://kemt-old.fei.tuke.sk/predmety/evaa/_materialy/ p y
Milan Dado Ivan Turek. Ladislav Bitterer Stanislav Turek Eduard Grolmus Patrick Stibor
Milan Dado Ivan Turek Július Štelina Ladislav Bitterer Stanislav Turek Eduard Grolmus Patrick Stibor Vydala Žilinská univerzita v Žiline 998 Recenzenti: Doc. RNDr. Stanislav Kolník, CSc. Ing. Štefan Sivák,
AerobTec Altis Micro
AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp
Motivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Μεταϋλικά: μαθαίνοντας στο φως καινούργιες διαδρομές
Μεταϋλικά: μαθαίνοντας στο φως καινούργιες διαδρομές Βασίλης Γιαννόπαπας Τμήμα Επιστήμης των Υλικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Ημερίδα ΣΥ.ΚΑ.ΦΥ/ Ε.Κ.Φ., Λευκωσία, Κύπρος, 23-1-2012 Μεταϋλικά: μαθαίνοντας στο
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach. Vysokoškolské učebné texty. Fotonika. Gregor Bánó. Košice, 2017
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Vysokoškolské učebné texty Fotonika Gregor Bánó Košice, 2017 FOTONIKA Učebné texty predmetu Fotonika pre poslucháčov 1. ročníka magisterského
x x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Súradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Odrušenie motorových vozidiel. Rušenie a jeho príčiny
Odrušenie motorových vozidiel Každé elektrické zariadenie je prijímačom rušivých vplyvov a taktiež sa môže stať zdrojom rušenia. Stupne odrušenia: Základné odrušenie I. stupňa Základné odrušenie II. stupňa
Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR
Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L
Vyhlásenie o parametroch stavebného výrobku StoPox GH 205 S
1 / 5 Vyhlásenie o parametroch stavebného výrobku StoPox GH 205 S Identifikačný kód typu výrobku PROD2141 StoPox GH 205 S Účel použitia EN 1504-2: Výrobok slúžiaci na ochranu povrchov povrchová úprava
Testové otázky ku skúške z predmetu Fyzika pre chemikov
Očakávaná odpoveď: (s) slovná matematická vzorec (s,m) kombinovaná (g) grafická - obrázok Testové otázky ku skúške z predmetu Fyzika pre chemikov 1. Vysvetlite fyzikálny zmysel diferenciálu funkcie jednej
Tomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom
Matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom Demonštračný modul Úlohy. Zostavte matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom 2. Vytvorte simulačný model robota v simulačnom
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R
Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom
Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)
ermodynamika nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu ri termodynamických rocesoch, arnotov cyklus, Entroia Dolnkové materiály
Vlnová optika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky III pre EF Dušan PUDIŠ (2010)
Vlnová optika Fyzikálna podstata svetla. Svetlo ako elektromagnetické vlnenie. Základné zákony geometrickej optiky. Inde lomu. Fermatov princíp. Snellov zákon. Ohyb svetla na jednoduchej štrbine a na mriežke.
STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY
STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY Príklad0: V sieti je frekvencia 50 Hz. Vypočítajte periódu. T = = = 0,02 s = 20 ms f 50 Hz Príklad02: Elektromotor sa otočí 50x za sekundu. Koľko otáčok má za minútu? 50 Hz =
SLOVENSKO maloobchodný cenník (bez DPH)
Hofatex UD strecha / stena - exteriér Podkrytinová izolácia vhodná aj na zaklopenie drevených rámových konštrukcií; pero a drážka EN 13171, EN 622 22 580 2500 1,45 5,7 100 145,00 3,19 829 hustota cca.
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO
ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE Fakulta špeciálneho inžinierstva Doc. Ing. Jozef KOVAČIK, CSc. Ing. Martin BENIAČ, PhD. PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO Druhé doplnené a upravené vydanie Určené
HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
u R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.
Pasívne prvky, L, C v obvode stredavého prúdu Čnný odpor u u prebeh prúdu a napäta fázorový dagram prúdu a napäta u u /2 /2 t Napäte zdroja sa rovná úbytku napäta na čnnom odpore. Prúd je vo fáze s napätím.
2.6 Zobrazovanie odrazom a lomom
ktorých vzniká aspoň čiastočne polarizované svetlo. Toto odrazené svetlo spôsobuje nepríjemné reflexy, ktoré sú pri fotografovaní nežiaduce. Vhodne orientovaným analyzátorom môžeme tieto reflexy odstrániť.
Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili
Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru
Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín
Verzia zo dňa 6. 9. 008. Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej odpovede sa môže v kontrolnom teste meniť. Takisto aj znenie nesprávnych odpovedí. Uvedomte si
Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Gramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky
Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Trapézové profily Lindab Coverline
Trapézové profily Lindab Coverline Trapézové profily - produktová rada Rova Trapéz T-8 krycia šírka 1 135 mm Pozink 7,10 8,52 8,20 9,84 Polyester 25 μm 7,80 9,36 10,30 12,36 Trapéz T-12 krycia šírka 1
Harmonizované technické špecifikácie Trieda GP - CS lv EN Pevnosť v tlaku 6 N/mm² EN Prídržnosť
Baumit Prednástrek / Vorspritzer Vyhlásenie o parametroch č.: 01-BSK- Prednástrek / Vorspritzer 1. Jedinečný identifikačný kód typu a výrobku: Baumit Prednástrek / Vorspritzer 2. Typ, číslo výrobnej dávky
Integrovaná optika a. Zimný semester 2017
Inegrovaná opka a opoelekronka Zmný semeser 07 Inegrovaná opka a opoelekronka Skladba predmeu Prednášky Výpočové cvčena ( písomky, max. 40b) Skúška (max. 60b) Leraúra Marnček I., Káčk D., Tarjány N., Foonka
Το άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1
Sarò signor io sol Canzon, ottava stanza Domenico Micheli Soprano Soprano 2 Alto Alto 2 Α Α Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io sol Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io µ Tenor Α Tenor 2 Α Sa rò
Pevné ložiská. Voľné ložiská
SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu
Meranie na jednofázovom transformátore
Fakulta elektrotechniky a informatiky TU v Košiciach Katedra elektrotechniky a mechatroniky Meranie na jednofázovom transformátore Návod na cvičenia z predmetu Elektrotechnika Meno a priezvisko :..........................
Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla
Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523
Υπολογιστική ανάλυση και χαρακτηρισµός µεταϋλικών (metamaterials)
Υπολογιστική ανάλυση και χαρακτηρισµός µεταϋλικών (metamaterials) Στέργιος Στότας Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης E-mail: sstotas@yahoo.com
Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.
Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Riadenie elektrizačných sústav
Riaenie elektrizačných sústav Paralelné spínanie (fázovanie a kruhovanie) Pomienky paralelného spínania 1. Rovnaký sle fáz. 2. Rovnaká veľkosť efektívnych honôt napätí. 3. Rovnaká frekvencia. 4. Rovnaký
Goniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
UFOčebnica: Svetlo a optika
Fyzikálny korešpondenčný seminár 8. ročník, 2014/2015 UFO, KTFDF FMFI UK, Mlynská dolina, 842 48 Bratislava e-mail: otazky@fks.sk web: http://ufo.fks.sk UFOčebnica: Svetlo a optika Milí riešitelia! V nasledujúcom
Metódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Numerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Vysvetliť rozdiel medzi kmitaním a vlnením Definovať vlnenie, opísať spôsob jeho vzniku Vysvetliť vznik postupného priečneho a pozdĺžneho vlnenia
V L N E N I E Vysvetliť rozdiel medzi kmitaním a vlnením Definovať vlnenie, opísať spôsob jeho vznik Vysvetliť vznik postpného priečneho a pozdĺžneho vlnenia Vysvetliť pojmy vlnoplocha a lúč Formljte a
Note: Please use the actual date you accessed this material in your citation.
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 6.03/ESD.03J Electromagnetics and Applications, Fall 005 Please use the following citation format: Markus Zahn, 6.03/ESD.03J Electromagnetics and Applications, Fall
17 Optika. 1 princípom: Každý bod vlnoplochy predstavuje nový zdroj. 1 CHRISTIAN HUYGENS ( ) holandský matematik a fyzik, zakladateľ vlnovej
259 17 Optika V tejto časti sa budeme zaoberať šírením svetla v optických sústavách. Svetlo je elektromagnetické žiarenie, ktorého spektrum zahrňuje veľmi širokú oblasť vlnových dĺžok od γ-žiarenia až
difúzne otvorené drevovláknité izolačné dosky - ochrana nie len pred chladom...
(TYP M) izolačná doska určená na vonkajšiu fasádu (spoj P+D) ρ = 230 kg/m3 λ d = 0,046 W/kg.K 590 1300 40 56 42,95 10,09 590 1300 60 38 29,15 15,14 590 1300 80 28 21,48 20,18 590 1300 100 22 16,87 25,23
Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2.
Vele u ehc Rd, g eegj D. do. Sl. Veo 3. Tezo II. ed 4. Tezo IV. ed. Sl: 3 0 pod je jedc (ezo ulog ed). Veo: 3 3 pod je jedc (ezo pog ed) 3. Tezo dugog ed 3 9 pod je jedc 4. Tezoeog ed 3 4 8 pod je jedc