Terpeni. b-pinen a-pinen b-pinen a-pinen
|
|
- Ἀβειρὼν Χατζηιωάννου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Terpeni
2 2 Terpeni strukturno najraznolikija klasa biljnih prirodnih produkata (preko terpena) ime terpenoid ili terpen izvedeno je iz činjenice da su prvi članovi ove klase izolirani iz terpentina, (lat. balsamum terebinthinae), volatilnog ulja dobivenog iz drveta bora (Pinaceae), «smola borova drveta», čiji je glavni sastojak a-pinen. b-pinen a-pinen b-pinen a-pinen
3 3 Terpentinsko ulje je smjesa monoterpena koja se dobije destilacijom krute borove smole. Nehlapive komponente (diterpeni) zaostaju kao kolofonij. Različite vrste iz roda Pinus osnova su svjetske proizvodnje terpentinskog ulja i kolofonija. Osnovni sastojak je uglavnom a-pinen, ali neke vrste iz roda Pinus daju ulje drugačijeg sastava. Sastav može varirati i unutar vrste, pa postoji niz tzv. hemijskih podvrsta.
4 4
5 Terpentin ne označava hlapivo ulje već balzam gustu smolnu izlučevinu nekih četinara iz koje se tek postupkom destilacije dobiva hlapljiva komponenta terpentinsko ulje, a zaostaje kruti ostatak zvan kolofonij. 5
6 6 Terpenoidi svi terpenoidi se izvode ponovljenom kondenzacijom razgranatih peteročlanih karbonovih jedinica zasnovanih na izopentanskom skeletu; ovi monomeri generalno se odnose na izoprenske jedinice jer termalnom razgradnjom mnoge terpenoidne supstance daju, kao produkt, gasoviti alken izopren. Izopentan Izopren
7 7 Terpenoidi pogodni hemijski uslovi mogu inducirati polimeriziraciju izoprena u višekratnike sa pet atoma karbona, stvarajući brojne terpenoidne skelete. Iz ovih razloga, terpenoidi se često nazivaju izoprenoidi, mada naučnici već više od 100 godina znaju da sam izopren nije biološki prekursor ove familije metabolita. Izopren
8 Ponekad kroz hemijske i biohemijske procese može doći do degradacije osnovnog skeleta i da nastali produkt ima drugačiji broj C atoma, ali njegova sveukupna struktura upućuje na to da spoj ima terpenoidsko porjeklo i biće smatran terpenoidom. 8
9 9 Povezivanje izoprenskih jedinica. C glava - rep Termin glava-rep i rep rep često se koristi da opiše način povezivanja izoprenskih jedinica. C C C C rep - rep dodatna veza glava - rep
10 10 Terpenoidi Izoprenske jedinice sa pet karbonovih atoma C 5 koje izgrađuju terpenoide, često su vezane na tzv. glava-rep način, ali nije neuobičajena varijanta rep-rep, a neki produkti su nastali kondenzacijom tipa rep-sredina : glava-rep rep-rep rep-sredina
11 11 Terpenoidi Piretrin I (C 10 ) glava-sredina Pyrethrines Insecticides from Chrysanthemum cinerariifolium R R' O O C-10 Pyrethrines Piretrini Insecticides insekticidi from iz Chrysanthemum cinerariifolium R'
12 12 Terpenoidi
13 13 Terpenoidi Izopren Izoprenska jedinica je karbonov skelet izoprena (bez dvostrukih veza)
14 14 Terpenoidi Glava Rep Izopren Glava Rep
15 15 Terpenoidi Glava Rep Izopren Glava Rep
16 16 Terpenoidi Mircen (izoliran iz esencijalnih ulja) je tipični terpen CH 3 C CH 3 CH 2 CHCH 2 CH 2 CCH ili CH 2 Mircen sadrži dvije izoprenske jedinice.
17 Terpenoidi Izoprenske jedinice mircena vezane su po sistemu glava rep 17 glava rep rep glava
18 18 Terpenoidi Mircen linearni terpen glava rep glava rep H 3 C CHH 23 C CH 2 H 3 CCH 2 CH 2 C CH C CH C CH H 2 C H 3 C H 2 C Linearni terpeni (C10) i seskviterpeni (C15) su relativno nestabilni Neki imaju malo agresivniji miris zbog nezasićene strukture
19 19 Klasifikacija terpenoida Nomenklatura glavnih klasa ovih spojeva reflektira broj prisutnih izoprenskih jedinica. Klasificirani su na temelju izoprenskog pravila prema broju izoprenskih jedinica u molekuli: hemiterpeni C 5 H 8 monoterpeni (C 5 H 8 ) 2 seskviterpeni (C 5 H 8 ) 3 diterpeni (C 5 H 8 ) 4 triterpeni (C 5 H 8 ) 6 tetraterpeni (C 5 H 8 ) 8 karotenoidi pentaterpeni (C 5 H 8 ) 10 politerpeni (C 5 H 8 ) n
20 20 Hemiterpeni (polu-terpeni): najmanji terpeni, sadrže jednu izoprensku jedinicu; najpoznatiji hemiterpen izopren, volatilni produkt koji se oslobađa iz fotosintetski aktivnih tkiva; enzim izoprensintaza je prisutan u plastidima lista brojnih biljnih vrsta, ali metabolički razlog za proizvodnju izoprena koja zavisi od svjetlosti je nepoznat (aklimatizacija na visoke temperature je jedno od mogućih objašnjenja).
21 21 Monoterpeni C 10 terpenoidi sastoje se iz dvije izoprenske jedinice. Prvi terpenoidi izolirani iz terpentina 1850-tih godina. Najpoznatiji su kao komponente esencijalnih ulja ljekovitih biljka i začina gdje čine najviše 5% suhe težine biljnog materijala. Izoliraju se ili destilacijom ili ekstrakcijom i nalaze značajnu industrijsku primjenu kao aromatski dodaci i parfemi.
22 22 Monoterpeni OH OH OH HO O OH trans-geraniol (-) b-citronellol (-) Linalool OH (+)-a-terpineol (-)-Menthol (+)-Carvone Thymol H OH C-10 H O Tetrahydrocanabinol Tetrahidrokanabinol Kanabinoidi iz Cannabis sativa (Hemp)
23 23 Monoterpeni Mircen godine izoliran iz lovorovog lišća Ocimen- izomer mircena, Ocimum basilicum (bosiljak) Mircen Ocimen Citronelol - u prirodi u optički aktivnim oblicima i u obliku racemata (L-oblik izoliran iz ružinog ulja, D-oblik iz limunovog, a racemat iz ulja geranija) Citronelol CH 2 OH Citronelal CHO Za proizvodnju 1 kg ružinog ulja potrebno je oko 4000 kg cvjetova!
24 24 Monoterpeni Cineol (1,8-cineol ili eukaliptol) je glavni konstituent ulja eukaliptusa (~ 70 85%) α-pinen, (do 14%) Cineol α-pinen
25 25 Terpenoidi Ciklički terpeni se javljaju u esencijalnim uljima u velikim količinama. Često se koriste kao početni materijal u sintezi osnovnih supstanci za mirise i okuse. Limonen ciklični terpen H 3 C CH 2 C CH H 2 C CH 2 Npr. Felandren, terpinen, trpinolen... C H 2 C CH CH 3 Limonene Izolira se iz kore citrusa (skin of citrus fruits)
26 26 Terpenoidi Mentol ciklički terpenoid H 3 C CH 3 CH Ciklički terpenski alkoholi su široko rasprostranjeni u prirodi i predstavljaju važne mirisne i začinske komponente. C H 2 H 2 C CH CH CH CH 2 OH Mentol se javlja u 8 optički aktivnih formi različitih organoleptičkih osobina. CH 3 Menthol (-)-Mentol ima kakrakterističan mirisi i posjeduje efekat hlađenja dok ostali izomeri nemju tu osobinu. (peppermint)
27 27 Terpenoidi H 3 C CH CH 3 Absint ciklički terpenoid C H 2 C CH 2 HC CH C O CH 3 Thujone (Absinthe)
28 28 Terpenoidi H 3 C CH 3 C CH 2 C H 3 C C H CH C 2 CH 2 O Camphor kamfor ciklički terpenoid Mnogi terpeni imaju bicikličku strukturu koja se formira ciklizacijom terpinil kationa u procesima biosinteze, tu se ubrajaju; borneol, izobornil acetat, kamfen, kamfor, fenhon... (Camphor tree)
29 29 Terpenoidi O H O H a-felandren Mentol Citral
30 30 Terpenoidi OH O H Citral a-felandren Mentol
31 31 Terpenoidi a-felandren Mentol Citral
32 32 Seskviterpeni «Jedan i po-terpeni» terpenoidi izvedeni iz tri izoprenske jedinice sadrže 15 karbonovih atoma. Kao i monoterpeni, mnogi seskviterpeni nađeni su u esencijalnim uljima. Brojni seskviterpenoidi djeluju kao fitoaleksini, antibiotski spojevi koje biljke proizvode kao odgovor na napade mikroba ili za odvraćanje herbivora.
33 33 Terpenoidi a-selinen ciklički terpen H 2 C H 2 C CH C CH 3 CH 3 CH 2 CH 2 C CH 2 CH 2 C H C CH 2 CH 2 3 izoprenske jedinice 15 atoma karbona a-selinene
34 34 Terpenoidi H a-selinen
35 35 Terpenoidi H a-selinen
36 36 Diterpeni sadrže 20 karbonovih atoma- četiri C 5 jedinice Fitol (hidrofobni bočni lanac hlorofila) Giberelinski hormoni - (neki imaju 19 C atoma norditerpenoidi 1 C atom izgubili u metaboličkim reakcijama cijepanja) Smolne kiseline četinara i leguminoza Fitoaleksini
37 37 Diterpeni Farmakološki važni metaboliti taksol, najbolji anti-kancer agens prema National Cancer Institute (0.01% suhe težine) u kori tise za tretman jednog pacijenta sa kancerom, potrebno je oko 30 kg kore tise, što je ekvivalentno tri drveta starosti 100 godina!!! Taxus brevifolia Nutt. Pacific Yew
38 38 Triterpeni Sadrže 30 C atoma nastali glava-glava vezivanjem dva C 15 lanca, od kojih se svaki sastoji od tri izoprenske jedinice vezane glava-rep vezom Velika klasa molekula: fitosterolske komponente membrane, različiti toksini, komponente površinskih voskova (oleanolna kiselina na grožđu)
39 39 Terpenoidi Zbog brojnih strukturnih modifikacija koje se dešavaju kao rezultat premještanja C-C veza, ponekad je teško otkriti originalnu šemu izoprenskih jedinica. glava-rep Skvalen (C 30 )
40 40 Terpenoidi β-karoten linearni terpen CH H 3 C CH 3 CH 3 3 H 2 C C H 2 C C CH 2 C CH CH 3 CH C CH CH CH C CH CH CH CH b-carotene H 3 C C C CH CH CH CH C CH C H 3 C CH CH 3 3 CH 2 CH 2 CH 2 C CH 3 8 izoprenske jedinice 40 atoma karbona
41 41 Tetraterpeni karotenoidi - najzastupljenija vrsta tetraterpena (40 C- atoma, 8 izoprenskih jedinica) - esencijalna funkcija u fotosintezi poznato preko 400 spojeva tipa karotenoida kojima je određena struktura Likopen- pigment rajčice
42 42 Tetraterpeni likopen - pigment paradajza a-karoten b-karoten g-karoten
43 43 Politerpeni Sadrže više od 8 izoprenskih jedinica plastokinoni i ubikinoni (nosioci elektrona) Kaučuk (prosječna molekularna masa veća od 10 6 Da)
44 44 Izoprensko pravilo Otto Wallach izoprensko pravilo većina terpenoida može se konstruisati hipotetski ponovljenim uvezivanjem izoprenskih jedinica Nobelova nagrada Leopold Ružička biogenetsko izoprensko pravilo - Nobelova nagrada
45 Biogenetsko izoprensko pravilo 45
46 Formation of monoterpenes (examples) 46
47 47 Esencijalna ulja Esencijalna ulja se često povezuju sa terpenima Uljaste tekućine koje su volatilne bez raspadanja Heterogene smjese Nalaze se u višim biljkama Taksonomski markeri
48 48 Esencijalna ulja Veoma značani biljni produkti Biološka aktivnost sve aktivnosti koje imaju ove smjese volatilnih produkata Antioksidativna Antimikrobna Citotoksična...
49 49 Esencijalna ulja Akumuliraju se u svim organima biljke cvijetu listu kori Rosa Eucalyptus Cinnamomum
50 50 Esencijalna ulja Uloga Privlače insekte Odbijaju herbivore Štite biljku od hladnoće i vrućine Antibakterijski su agensi
51 51 Esencijalna ulja Upotreba Farmacija Parfemska industrija Aromaterapija Industrija hrane
52 52 Esencijalna ulja Karakterističan miris Volatilni na sobnoj temperaturi Rastvorljivi u organskim rastvaračima Slabo topivi u vodi Uglavnom su lakši od vode
53 53 Esencijalna ulja Ispitivanja esencijalnih ulja uključuju određivanja Sadržaja vode Sadržaja masnih ulja Miris i okus Određivanje fizičkih i hemijskih konstanti Tačka ključanja Relativna gustoća Ugao zakretanja ravni polarizovane svjetlosti Određivanja hemijskih komponenata u esencijalnim uljima
54 54 Mirisi Miris predstavlja smjesu lakih, malih molkekula koji pri niskoj koncentraciji u inhaliranom zraku dolaze u kontakt sa ljudskim osjetilom, i na taj način stimulira odgovor organizma; osjećaj percepcije mirisa Imaju strukturu Mogu se mjeriti Headspace tehnika Kemoreceptori
55 55 Dodir Fizička Sluh Čula Vid Hemijska Miris Ukus
56 56 Mirisi Mirisi su smjese laganih malih molekula, koji u maloj koncentraciji u inhaliranom zraku u kontaktu sa ljudskim osjetilnim sistemom mogu dovesti do percepcije mirisa. Mirisi se prepoznaju zahvaljujući memoriji o prethodnim iskustvima, što podrazumjeva subjektivni efekat percepcije mirisa.
57 57 Mirisi Imaju karakterističan sastav Parfemi Smjese mirisnih nota Mirisne note su smjese mirisnih komponenata Mirisne komponente su pojedinačni hemijski spojevi Gornju notu čine brzo isparljive komponente, srednju notu, postepeno isparljive note, donju notu, čine teško isparljive komponente
58 58 Mirisi Određivanja kod mirisa podrazumjevaju: Kakav je miris? Koliko dugo traje? Koja je količina? Koliko je jak miris? Karakter (verbalni opis) Postojanost Koncentracija (detekcioni nivo, prepoznatljivi nivo) Intenzitet
59 59 Čulo mirisa Čulo mirisa prima hemijske podražaje od supstanci u gasovitom stanju. Kod čovjeka, receptori čula mirisa nalaze se u gornjem dijelu nosne duplje, u sluzokoži koja oblaže nosnu školjku i nosnu pregradu. Ta oblast je tamnožute boje i naziva se mirisna oblast, a njena površina je oko 5 cm². Miris koji čovjek osjeća uvjetovan je oblikom molekule, jer se samo molekule tačno odredenog oblika mogu vezati na receptore čula mirisa.
60 Nekoliko faktora i osobina mogu uticati na određivanje i percepciju mirisa Treshold (granica, prag) Odor treshold mirisna granica - minimalana koncentracija kod koje 50% ljudi može detektovati prisustvo mirisa bez karakterizacije Recognition odor prepoznatljivi miris koncentracija pri kojoj čovjek može detektovati i prepoznati miris Fizičke i hemijske osobine Volatilnost supstance na sobnoj temperaturi, kao i lagana topivost u vodi što omogućava da miris prođe kroz sloj sluzi na ćelijama, a isto tako važna je i njihova liposolubilnost jer su senzorne ćelije građene prvenstveno od lipida 60
61 Intenzitet Relativna jačina mirisa iznad prepoznatiljivog mirisa Hedonistički ton Mjerenje stepena ugodnosti ili neugodnosti mirisne smjese Kvalitet Identificira se miris i razlike u odnosu na druge mirise istog intenziteta Molekulska strukura Sastav i sadržaj različitih funkcionalih grupa što bitno utiče na kvalitet i percepciju mirisa. 61
62 Olfactometry mjerenje mirisa Olfaktometar je uređaj za mjerenje mirisa Dobiveni rezultati se statistički obrađuju. Glavna prednost je direktna korelacija između mirisa i osjetljivosti detektora, npr nosa. GC-MS/O vezani sistem gasna hromatografija spektrometrija masa povezana sa olfaktometrijom 62
63 GC-Olfactometry (GC-O) Svaka razdvojena komponenta može biti detektovana od strane čovjeka i zabilježena kao ugodan ili neugodan miris, Može biti zabilježeno i trajanje mirisa tj opisan kvalitet i intenzitet mirisa. 63
64 64 Spojevi koji se smatraju aromama su prisutni u koncentracijama većim od limita za detekciju mirisa Karakteristični mirisi pojednih aromatičnih spojeva
65 65 Slijedeće predavanje BIOSINTEZA TERPENOIDA...
Terpeni. -pinen -pinen -pinen -pinen
Terpeni 2 Terpeni strukturno najraznolikija klasa biljnih prirodnih produkata (preko 30 000 terpena) ime terpenoid ili terpen izvedeno je iz činjenice da su prvi članovi ove klase izolirani iz terpentina,
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.
ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Sistemi veštačke inteligencije primer 1
Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija
Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju Referati za vježbe iz kolegija PRERADA GROŽðA Stručni studij kemijske tehnologije Smjer: Prehrambena
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
REAKCIJE ELIMINACIJE
REAKIJE ELIMINAIJE 1 . DEIDROALOGENAIJA (-X) i DEIDRATAIJA (- 2 O) su najčešći tipovi eliminacionih reakcija X Y + X Y 2 Dehidrohalogenacija (-X) X strong base + " X " X = l, Br, I 3 E 2 Mehanizam Ova
LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE
LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE 0 4 0 1 Lanci za vešanje tereta prema standardu MSZ EN 818-2 Lanci su izuzetno pogodni za obavljanje zahtevnih operacija prenošenja tereta. Opseg radne temperature se kreće
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji
Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Periodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje
EuroCons Group Karika koja povezuje Filtracija vazduha Obrok vazduha 24kg DNEVNO Većina ljudi ima razvijenu svest šta jede i pije, ali jesmo li svesni šta udišemo? Obrok hrane 1kg DNEVNO Obrok tečnosti
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Kiselo bazni indikatori
Kiselo bazni indikatori Slabe kiseline ili baze koje imaju različite boje nejonizovanog i jonizovanog oblika u rastvoru Primer: slaba kiselina HIn(aq) H + (aq) + In (aq) nejonizovani oblik jonizovani oblik
1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ
Deformaije . Duljinska (normalna) deformaija. Kutna (posmina) deformaija γ 3. Obujamska deformaija Θ 3 Tenor deformaija tenor drugog reda ij γ γ γ γ γ γ 3 9 podataka+mjerna jedinia 4 Simetrinost tenora
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)
ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje
Moguća i virtuelna pomjeranja
Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Sistem sučeljnih sila
Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
MEĐUMOLEKULSKE SILE JON-DIPOL DIPOL VODONIČNE NE VEZE DIPOL DIPOL-DIPOL DIPOL-INDUKOVANI INDUKOVANI JON-INDUKOVANI DISPERZNE SILE
MEĐUMLEKULSKE SILE JN-DIPL VDNIČNE NE VEZE DIPL-DIPL JN-INDUKVANI DIPL DIPL-INDUKVANI INDUKVANI DIPL DISPERZNE SILE MEĐUMLEKULSKE SILE jake JNSKA VEZA (metal-nemetal) KVALENTNA VEZA (nemetal-nemetal) METALNA
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Pripremila i uredila: Doc. dr. sc. Blaženka Foretić OSNOVE KEMIJSKOG RAČUNANJA
Pripremila i uredila: Doc. dr. sc. Blaženka Foretić OSNOVE KEMIJSKOG RAČUNANJA Relativna skala masa elemenata: atomska jedinica mase 1/12 mase atoma ugljika C-12. Unificirana jedinica atomske mase (u)
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom