ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Στο διπλνό ορθοώνιο τρίωνο, έχουμε φέρει πλά το ύψος που κτλήει στην υποτείνουσ. Είνι προφνές ότι, με υτό τον τρόπο, το μεάλο ορθοώνιο τρίωνο χωρίστηκε σε δύο μικρότερ ορθοώνι, τ κι. Σε κάθε ορθοώνιο τρίωνο, το τετράωνο μις κάθετης πλευράς είνι ίσο με το ινόμενο της υποτείνουσς επί την προολή της κάθετης πλευράς πάνω στην υποτείνουσ. πό την ομοιότητ των τριώνων, : πό την ομοιότητ των τριώνων, : Σε κάθε ορθοώνιο τρίωνο, ο λόος των τετρώνων των κάθετων πλευρών είνι ίσος με το λόο των προολών τους πάνω στην υποτείνουσ.
Σε κάθε ορθοώνιο τρίωνο, το άθροισμ των τετρώνων των κάθετων πλευρών είνι ίσο με το τετράωνο της υποτείνουσς. + + ντίστροφο Πυθορείου ν σε έν τρίωνο το τετράωνο της μελύτερη πλευράς ισούτι με το άθροισμ των τετρώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε το τρίωνο είνι ορθοώνιο με την ορθή ωνί πένντι πό τη μελύτερη πλευρά. Σε κάθε ορθοώνιο τρίωνο, το τετράωνο του ύψους που ντιστοιχεί στην υποτείνουσ είνι ίσο με το ινόμενο των προολών των κάθετων πλευρών στην υποτείνουσ. πό την ομοιότητ των τριώνων, : Υπόδειξη Η πόδειξη των τριών πό τ προηούμεν θεωρήμτ στηρίζοντι στο εονός ότι, φέρνοντς το ύψος, τ τρί ορθοώνι τρίων που σχημτίζοντι (,, ) είνι νά δύο όμοι. ΠΡΟΣΕΧΩ (λλά δεν ππλίζω) : Εφρμοές 1 &, σελ. 185.
ΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΟΡΕΙΟΥ Εφρμόζουμε ΠΘ στο τρίωνο. (1) Εφρμόζουμε ΠΘ στο τρίωνο. () Πρτηρούμε ότι: (3) ντικθιστούμε τις (), (3) στη σχέση (1). Ε < 90 0 + + Ε Το τετράωνο πλευράς τριώνου, που ρίσκετι πένντι πό οξεί ωνί, είνι ίσο με το άθροισμ των τετρώνων των δύο άλλων πλευρών, ελττωμένο κτά το διπλάσιο ινόμενο της μίς πό υτές επί την προολή της άλλης πάνω σε υτή. Ε Εφρμόζουμε ΠΘ στο τρίωνο. (1) Εφρμόζουμε ΠΘ στο τρίωνο. () Πρτηρούμε ότι: + (3) ντικθιστούμε τις (), (3) στη σχέση (1). > 90 0 + + + + Ε Το τετράωνο πλευράς τριώνου, που ρίσκετι πένντι πό μλεί ωνί, είνι ίσο με το άθροισμ των τετρώνων των δύο άλλων πλευρών, υξημένο κτά το διπλάσιο ινόμενο της μίς πό υτές επί την προολή της άλλης πάνω σε υτή.
Τόσο ι οξείες, όσο κι ι μλείες ωνίες, ισχύει στθερά ο πρκάτω τύπος, ο οποίος είνι νωστός ως. Νόμος Συνημιτόνων + συν Με λόι: Το τετράωνο μις οποισδήποτε πλευράς ενός τριώνου ισούτι με το άθροισμ των τετρώνων των δύο άλλων πλευρών, ελττωμένο κτά το διπλάσιο ινόμενο των πλευρών υτών επί το συνημίτονο της περιεχόμενης ωνίς. Πρτηρούμε ότι δεν έχει σημσί το είδος της ωνίς, συνεπώς το πρόσημο του διπλσίου ινομένου είνι στθερά. Σε κάθε τρίωνο ισχύουν οι ισοδυνμίες: > + Â > 90 0 + Â 90 0 < + Â < 90 0 Συνεπώς, ν θεωρήσουμε ως τη μελύτερη πλευρά ενός τριώνου, τότε οι πρπάνω προτάσεις χρησιμεύουν κι ως κριτήρι ι ν εξετάσουμε το είδος του τριώνου. ηλδή: > + μλυώνιο + ορθοώνιο < + οξυώνιο ΠΡΟΣΕΧΩ (λλά δεν ππλίζω) : Εφρμοή, σελ. 19.
ΘΕΩΡΗΜΤ ΙΜΕΣΩΝ Εφρμόζουμε ενίκευση ΠΘ ι οξεί ωνί στο τρίωνο Μ κι ι μλεί ωνί στο Μ. Κτόπιν, προσθέτουμε κτά μέλη τις δύο σχέσεις. υ μ Μ Το άθροισμ των τετρώνων δύο πλευρών ενός τριώνου ισούτι με το διπλάσιο του τετρώνου της διμέσου που περιέχετι μετξύ των πλευρών υτών, υξημένο κτά το μισό του τετρώνου της τρίτης πλευράς. + μ + ντίστοιχ, το θεώρημ μπορεί ν εκφρστεί κι ως: + μ + + μ + ν λύσουμε, τους πρπάνω τύπους, ως προς τη διάμεσο, τότε πίρνουμε ενλλκτικά: μ + 4 μ + 4 μ + 4
Η διφορά των τετρώνων δύο πλευρών ενός τριώνου ισούτι με το διπλάσιο ινόμενο της τρίτης πλευράς επί την προολή της ντίστοιχης διμέσου πάνω στην πλευρά υτή. Μ Όμοι με την πόδειξη του 1 ου Θεωρήμτος, μόνο που φιρούμε κτά μέλη τις δύο σχέσεις, ντί ν προσθέτουμε. ΤΕΜΝΟΥΣΕΣ ΚΥΚΛΟΥ ν δύο χορδές, ενός κύκλου ή οι προεκτάσεις τους τέμνοντι σε έν σημείο Ρ, τότε ισχύει: Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ σίζετι στις ιδιότητες του εερμμένου τετράπλευρου. Ρ πό έν εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (Ο, R) φέρουμε το εφπτόμενο τμήμ ΡΕ κι μί ευθεί που τέμνει τον κύκλο στ σημείο,, τότε ισχύει: ΡΕ Ρ Ρ Ρ E
Ονομάζουμε δύνμη ενός σημείου Ρ ως προς κύκλο (Ο, R) τη διφορά ΟΡ R κι συμολίζετι: όπου, προφνώς, δ ΟΡ. P (O,R) ΟΡ R δ R πό τον ορισμό, ίνετι ντιληπτό ότι η δύνμη σημείου ως προς κύκλο ποτελεί έν κριτήριο της σχετικής θέσης του σημείου κι του κύκλου. νλυτικά: P (O,R) > 0 P (O,R) 0 P (O,R) < 0 Το Ρ είνι εξωτερικό σημείο του κύκλου. Το Ρ είνι σημείο του κύκλου Το Ρ είνι εσωτερικό σημείο του κύκλου.