ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ-I

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ-I ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ Μοναδιαία βηµαική συνάρηση (Ui Sep Fucio) U () =, U () =, <.8.6.4. -4-4 Κρουσική Συνάρηση δέλα ου Dirc (γενικευµένη συνάρηση) δ () =, ε ε δ() d=, ε >.5 - - -.5 - δ( ) = δ( ), για α= δ(-)=δ() Αρια Συνάρηση

du() δ () = d ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΙΣ u(+).8.6.4. -5-4 -3 - - u(-).8.6.4. -4-4 δ ( + ).5-4 - 4 -.5 -

δ ( + ).5-4 - 4 -.5 - Μοναδιαία Συνάρηση Ράµπας u ( + ) Τεραγωνικός Παλµός P () =, < P() =, αλλού 3

.5-4 - 4 -.5 - u ( + /) -/ / u ( /) u ( + ) u ( ) = p 4

ΓΝΩΣΤΑ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙ Η ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ y () = e y () = siω.5-7.5-5 -.5.5 5 7.5 -.5 - ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ EULER jω e = Cosω + j siω 5

ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΣΗΜΑΤΟΣ X () = xd () () ΠΕΡΙΟ ΙΚΟ ΣΗΜΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟ Ο Τ X()= xd ( ) () ΕΝΕΡΓΟΣ ΤΙΜΗ(RMS) X()=[ x ( ) d] (3) Παράδειγµα A Ενεργ ός Τ ιµ ή ου x()=asiω απο ην (3) έχουµε x()= Κάθε σήµα (συνάρηση ου χρόνου) µπορεί να γραφεί σαν ο άθροισµα ενός άριου και ενός περιού σήµαος. x() = xeve () + xodd () xeve() = [ x() + x( )] xodd () = [ x() x( )] Ι ΙΟΤΗΤΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΤΗΣ δ(): f() δ ( ) = f( ) Για = έχουµε f()δ()=f() ΠΕΡΙΟ ΙΚΟ ΣΗΜΑ: Υπάρχει σαθερά Τ (περίοδος) για ην οποία ισχύει: x ( + Τ ) = x ( ), < < 6

ΣΗΜΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (ΟΛΑ ΤΑ ΦΥΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ): E = x () d < Πεπερασµένη ενέργεια ΣΗΜΑ ΙΣΧΥΟΣ: lim [ ( ) ] π.χ. Περιοδικά σήµαα P = x d > ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ ΜΙΑΣ ΕΙΣΟ ΟΥ ΚΑΙ ΜΙΑΣ ΕΞΟ ΟΥ Αδιαφανές Μαύρο κουί (Blck Box) X() F Y() ΣΧΕΣΗ ΕΙΣΟ ΟΥ-ΕΞΟ ΟΥ { } Y () = F x () Γενικώς,η ιµή ης εξόδου ην χρονική σιγµή εξαράαι απο όλες ις ιµές ης εισόδου x() µέχρι και ην χρονική σιγµή και όχι µόνο απο ην ιµή ης εισόδου x() ην χρονική σιγµή. AIIOHA Ενα σύσηµα Y () F{ x ()}, η έξοδος = λέγεαι αιιαό (φυσικό) εαν, για κάθε χρονική σιγµή y ( ) ου συσήµαος εξαράαι µόνο απο ην είσοδο x() µέχρι ην χρονική σιγµή. 7

ηλαδή η έξοδος δεν εξαράαι απο µελλονικές ιµές ης εισόδου. Όλα α φυσικά συσήµαα είναι αιιαά. Μη-αιιαά δεν υπάρχουν σον φυσικό κόσµο, µπορούν όµως να προσεγγισούν µε χρονο-καθυσερήσεις. Παράδειγµα Το σύσηµα y () = x ( ) είναι αιιαό Το σύσηµα y () = x ( + ) είναι µη αιιαό. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ (ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΑ) Ενα σύσηµα y () = F{ x ()} αν για κάθε,η έξοδος σην είσοδο x( ) είναι η y ( ). ηλαδή F{( x )} = y ( ). Χρονική ολίσθηση σο σήµα εισόδου, οδηγεί σε ανίσοιχη ολίσθηση σο σήµα εξόδου. 8

Αδιαφανές Μαύρο κουί (Blck Box) X() F Y() x() Y () x( ) Y ( ) 9

Ένα αιιαό σύσηµα y () = F{ x ()} δεν έχει µνήµη αν για κάθε η έξοδος y ( ) εξαράαι µόνο απο ην ιµή ης εισόδου x( ) ην χρονική σιγµή. Το σύσηµα αυό ονοµάζεαι και σιγµιαίο. Π.χ. ο σύσηµα y () = kx () δεν έχει µνήµη. Είναι ενισχυής για κ> και εξασθενηής για κ<. Ένα αιιαό σύσηµα έχει µνήµη εαν για κάθε η έξοδος y ( ) εξαράαι απο ις ιµές ης εισόδου x() για µέσα σε ένα διάσηµα µέχρι ην χρονική σιγµή : Π.χ. ο σύσηµα µε σχέση εισόδου εξόδου = y () = x( ) d (ολοκληρωής) έχει µνήµη διοι η έξοδος εξαράαι απο ις ιµές ης εισόδου χ() για = Ένα σύσηµα y () = F{ x ()} ονοµάζεαι:. προσθεικό αν για κάθε ζεύγος εισόδων x(), x() ισχύει F{ x ( ) + x ( )} = F{ x ( )} + F{ x ( )}. οµογενές εαν για κάθε α ισχύει F{ x ( )} = F{ x ( )} 3. Γραµµικό αν είναι προσθεικό και οµογενές. ηλαδή: Fx { ( ) + bx( )} = F{( x( )} + bfx { ( )} Ο ολοκληρωής = y () = x( ) d ειναι γραµµικό σύσηµα αφού = = = = [ x ( ) + bx ( )] d = x ( ) d + b x ( ) d = = = Το σύσηµα µε σχέση εισόδου-εξόδου x () και όχι Παράδειγµα y () = x() για είσοδο x() η έξοδος είναι () x,εποµένως ο σύσηµα δεν είναι οµογενές και άρα δεν είναι και γραµµικό.

ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ(IMPULSE RESPONSE) Αδιαφανές Μαύρο κουί (Blck Box) X() F Y() Έσω ο σύσηµα F ο οποίο είναι γραµµικό και χρονοαµεάβληο. Κρουσική απόκριση ονοµάζεαι η έξοδος ου συσήµαος για είσοδο x() = δ (), ην συνάρηση Dirc. Αδιαφανές Μαύρο κουί (Blck Box) δ() F h() Κρουσική απόκριση h () = F{ δ ()} Αν γράψουµε ην x() = x( ) δ( ) d σύµφωνα µε ην ιδιοηα δειγµαοληψίας ης συνάρησης δ όε δηλαδή y () = F{ x ()} = F{ x( ) δ( ) d} = x( ) F{ δ( } d = x( ) h ( ) d

y () = x( ) h ( ) d ΣΥΝΕΛΙΚΤΙΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ (CONVOLUION INEGRAL) y () = x( ) h ( ) d Εποµένως, εαν γνωρίζουµε ην κρουσική απόκριση ενός γραµµικούχρονοαµεάβληου συσήµαος,µπορούµε να υπολογίσουµε ην έξοδο ου για οποιαδήποε είσοδο χ() µεσω ου συνελικικού ολοκληρώµαος. ΣΥΝΕΛΙΞΗ (CONVOLUION) y () = x ()* h () = x( ) h ( ) d Παράδειγµα Να υπολογισεί η συνέλιξη y () = x ()* h () οαν x () = e u (), > και h () = u ().u() είναι η µοναδιαία βηµαική συνάρηση(ui sep fucio) u ( ), < u ( ), > Το γινόµενο µέσα σο ολοκλήρωµα είναι µόνο για < <, > Για < εχουµε x( ) h( ) =

Για > έχουµε α x( ) h ( ) = e,< < x( ) h( ) =, αλλου Αρα για > εχουµε y () = e d = [ e ] = ( e ) u () α / Λύση: y () = ( e ) u () Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ y () = x( ) h ( ) d Γενικά ισχύει f()* f() = f( ) f( ) d Ανιµεαθεική f()* f() = f()* f() Προσεαιρισική [ f()* f()]* f3() = f()*[ f()* f3()] Συνέλιξη µε δ() δίνει ην f(): f ( )* δ( ) = δ( )* f( ) = δ( ) f( ) d = f( ) 3

Ιδιόηα δειγµαοληψίας ης δ ου Dirc: f () d ( ) d= f( ) Επιµερισική ιδιόηα: f()*[ f() + f3()] = f()* f() + f()* f3() ΣΕΙΡΕΣ FOURIER f b () = + [ cos ω + si ω ] = π ω = sπ f =, η περιοδος ου σηµαος ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΠΕΡΙΟ ΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ!!! Οι συνελεσες, b υπολογίζοναι σε µία περίοδο: + = + + f() d = f()cos ω d > b = f()si ωd Βιβλίο Fourier: héorie lyique de l chleur 8. Μεάδοση Θερµόηας Μαθηµαικες συνθήκες για σύγκλιση (Ικανές αλλα όχι απαραίηες) Dirichle (89):. + f() d <,πεπερασµένο. Πεπερασµένο πλήθος mi-mx και ασυνεχειών σε µια περίοδο Σις ασυνέχειες ο ανάπυγµα Fourier συγκλίνει σο + f ( ) = [ f( ) + f( )] ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ FOURIER ΜΟΝΟ ΜΕ COS KAI ΑΣΚΗΣΕΙΣ: f() = A + A cos( ω + θ ) = A A b =, = +, θ = ( ) b 4

ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΣΕΙΡΑΣ FOURIER f () = ce ω = i + iω c = f() e d Οι συναρήσεις iω e Φ () = αποελούν πλήρη βάση συναρήσεων ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ: ΣΧΕΣΕΙΣ: Prsevl: Ενέργεια σήµαος = Ε = f d b A A c () = + ( + ) = + = 4 = = = ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕΙΡΑΣ FOURIER Ανάπυξη σειράς Dirc σε σειρά Fourier (Εκθεική Fourier): S () = δ ( k) k = c s e d e iω iω () = = = ιόι f () δ ( ) d = f( ) s () = e = iω 5

S() - - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕΙΡΑΣ FOURIER Ανάπυξη σειράς παλµών σε σειρά Fourier (εκθεική) P () =, P () =, > Τ Τ s () = p( k) k = j j i ω ω ω iω iω e e e ω () [ ] [ ] si( ) ω ω ω c = s e d = e d = = = j j c si( ω ) = = ω ω si c( ) Αφού ισχύουν: si x si cx ( ) = x ω = π = π( ) 6

c Εποµένως: = ( )si c( π ( )) Τ Και ο ανάπυγµα Fourier ης παλµοσειράς είναι: π s = c e () si [ ] i ω = ΣΕΙΡΑ FOURIER ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ π s() = + si c( )cosω = DC ορος(σαθερός) -σή αρµονική Ισχύς ου σήµαος ης παλµοσειράς s(): E P s () d d = = = = 7

Ισχυς ου DC όρου: P = c = ( ) π Ισχύς ης -σής αρµονικής: P = c + c = c = ( ) si c ( ) = (RMS ιµή ηµιονοειδούς σήµαος = ) ΠΟΣΟΣΤΟ ΙΣΧΥΟΣ ΤΗΣ Ν-ΟΣΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ: p p π = = i c P % ( )si ( ) Π.χ. γιά duy cycle = %= /=/5 έχουµε p = ( ) = % Τ π π p = i c = c 5 π p = 4si c ( ) = 35% 5 π p = 4si c ( ) = 3% 5 3π p3 = 4si c ( ) = % 5 ( )si ( ) 4si ( ) Για η = 5k p5k =, k =,,3,... H 5, η, κλ αρµονικές είναι µηδενικές p + p + p + p = 88% ης ισχύος σους 4 πρώους όρους=dc όρος + 3 αρµονικές 3 Για Duy cycle=5%, = έχουµε: 8

p = = 5% π p = si c ( ) π p = si c ( ) = 4,5% π p = si c ( ) = 3π p3 = si c ( ) = 4,5% p + p + p + p = 95% ης ισχύος σους 4 πρώους όρους 3 Οι p k =, άριες αρµονικές είναι µηδενικές. ΕΠΟΜΕΝΩΣ: Πλουσιόερο φάσµα για µικρό duy cycle. si c s () = A+ Acos( ω + θ ) = A = = =. 5 9

A.37.3. π A = si c( ), =,,3,... π A = si c( ) =.37 5 5 π A = si c( ) =.3 5 5 3π A3 = si c( ) =. 5 5 4π A = si c( ) =.9 5 5 A = 5 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3 ΑΠΛΗ ΑΝΟΡΘΩΣΗ-ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΗΜΙΑΝΟΡΘΩΜΕΝΗΣ ΤΑΣΗΣ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER(AC->DC)

D: Ιδανική δίοδος V () = Acos( ω ), u () > L V () =, u () L iω c = Acosωe d e cos( ω ) = + e iω iω 4 4 i( ) ω i( + ) ω A iω iω iω iω A i( ) ω i( + ) ω A e A e 4 4 [ ] [ ] [ ] j( ) ω 4 j( + ) ω 4 4 4 c = e e + e e d = e d + e d = + = i( ) ω i( ) ω i( + ) ω i( + ) ω 4 4 4 4 si[( ) ω ] si[( + ) ω ] A e e A e e A = [ ] [ ] 4 A + = + 4 j( ) ω j( + ) ω ( ) ω ( + ) ω π ω = = π εποµένως: c π π si( ) si( + ) A = [ + ] π +

ΑΣΚΗΣΗ. ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΣΕΙΡΑ FOURIER ΤΟΥ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ Σε µία περίοδο f () = A, < < f() = A,< < Έχουµε: = f() d = [ Ad+ Ad] = εποµένως ο εραγωνικό σήµα δεν έχει συνεχή (DC) συνισώσα (Μέσος όρος µηδέν). = f ( ) cos ω d = [ Acos ω d + Acos ω d] = Η σειρά δεν έχει συνηµιονοειδείς όρους λόγω περιής συµµερίας( f ( ) = f( ) ). A cos ω cos ω ω ω ω ω ω b = f ( )si d = [ Asi d + Asi d] = {[ ] + [ ] } =, = αριο A A = (cos cos( π) cos( π) + cos ) = [ cos( π)] = 4 A π π, = περι ό π εποµένως: A cos( π ) 4A f( ) = si ω = [si ω+ si 3ω+ si 5 ω+...] π = π 3 5 Για =k+: 4A f() = si(k+ ) ω π k + k = = A ω = = + = f() A b b θ = + A cos( + θ ) b ( ) = ( ) = 9

A,7A.4A.5A.8A 3 5 7 3 5 7 9 ΑΣΚΗΣΗ Έσω οι ορθοκανονικές συναρήσεις φ () σο διάσηµα [,b]: i b, i φi() φj() d =, i = j j Έσω η προσέγγιση ης συνάρησης f() από: N f () = iφi() i= Να επιλεγούν οι συνελεσές i ου παραπάνω αναπύγµαος ώσε να 3

b b N ελαχισοποιείαι ο RMS σφάλµα: S = [ f( ) f ( )] d = [ f( ) iφi( )] d() i= Λύση S Θα πρέπει =, k =,,,..., N k Χρησιµοποιούµε ο k για να µην µπερδευούµε µε ην µεαβληή i ου αθροίσµαος. Παραγωγίζουµε ην () και έχουµε: S k b N = [ f ( ) φ ( )] φ ( ) d =, k =,,,3,..., N i= i i k Ή ισοδύναµα: b N f () φ () d = φ () φ () d = b k i i k k i= b Αφού φ () φ () d µόνο για i=k i k Το άθροισµα σα δεξιά έχει έναν µόνο µη µηδενικό όρο, ον k.έσι προκύπει οι b οι συνελεσές f () φk () d ελαχισοποιούν ο RMS σφάλµα ης προσέγγισης. Γενικευµένη ανάλυση FOURIER σε βάση ορθογώνιων συναρήσεων Ειδική περίπωση η ριγωνοµερική σειρά FOURIER περιοδικών συναρήσεων σε ηµίονα και συνηµίονα µε αρµονικό λόγο συχνοήων. ω,,,3,4,... = kω k = ακέραια πολλαπλάσια µιας θεµελιώδους π συχνόηας ω = = π f 4

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ BONUS: ΑΣΚΗΣΗ.Ορθογωνικόηα ων συναρήσεων, cos ω, siω σο διάσηµα [,] Να αποδειχθούν οι σχέσεις: si cos ω m si d m ω m cos d = m ω ω, m =, =, m, si mω cos ω d =, m, si mω d =, m, cos ωd =, = = Άρια συνάρηση: µόνο συνηµιονοειδείς όρους και χρονικά αµεάβληες. Περιή συνάρηση:µόνο ηµιονοειδείς όρους. ΑΣΚΗΣΗ. Υπολογίσε ις ιµές ων ολοκληρωµάων: 4 ( )[ δ( ) 3 δ( )] 4 4 [ δ( ) δ( ) δ( 5)] d 4 δ()cos ωd δ()si ωd + + d + + + + ΑΣΚΗΣΗ 3. Αναπύξε σε ριγωνοµερική σειρά FOURIER: A, < <. Το εραγωνικό σήµα: f() = A,< < A(+ ), <. Το ριγωνικό σήµα: f() = A( ), < 5

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER iω F( ω) = f( ) e d = F[ f( )] Ανίσροφος µεασχηµαισµός Fourier: + iω f() = F( ω) e dω = F [ F( ω)] π Ιδιόηες: Αν f() πραγµαική συνάρηση ου χρόνου όε: F( ω) =R ( ω) + ji ( ω) = f( )cos ωd j f( )siωd f() = f () + f () αρια R ( ω) = f ( )cos ωd =R ( ω) αρια + I ( ω) = f ( )si ωd =I ( ω) περι ή περιη Οι άριες συναρήσεις έχουνε πραγµαικό F και οι περιές φανασικό. Το πραγµαικό µέρος ου F είναι άρια συνάρηση ενώ ο φανασικό µέρος είναι περιή συνάρηση ου ω (αυό ισχύει γενικά για µιγαδικό F..). αρ περ Παράδειγµα f() = e u(), > ( + jω ) jω ( + jω) ( + jω) e ( ω) F( ω) = e u( ) e d = e d = e d = [ ] = + j + jω jω ω F( ω) = = = j =R ( ω) + ji( ω) + jω ω + ω + ω + F( ω) = A( ω) e jφω ( ) Α ( ω) =, Φ ( ω) = ω + ω 6

e u() u () Να υπολογισεί ο µεασχηµαισµός FOURIER ης συνάρησης δ-dirc: F e d e e jω jω jω { δ( )} = δ( ) = = = = Αφού ισχύει οι f () δ () d = f() (ιδιόηα δειγµαοληψίας), εποµένως F{ δ ( )} =. δ () F 7

Να υπολογισεί ο F.. ης συνάρησης εραγωνικού παλµού: Λύση, < < P () =, Αλλού / / jω jω jω si( ω ) iω jω e e e ( ) ( ) [ ] si( ) P ω = P e d = e d = = = ω = = si c( ω ) jω jω ω ω si x si cx ( ) = x ίπλευρος εκθεικός παλµός e, x () = e, < ( jω) ( jω) jω jω e e X( ω) = e e d+ e e d = [ ] + [ ] = + = ( jω) ( jω) ( jω) ( + jω) ( + jω) + ( jω) = = + ω + ω 8

Γραµµική ιδιόηα F f () + bf () F ( ω) + bf ( ω) Συµµερική ιδιόηα F Αν f() F( ω) F Τόε F () π f( ω) Απόδειξη jω f () = F( ω) e dω π jω π f ( ) = F( ω) e dω jω Εαν θέσουµε = όε π f ( ) = F( ω) e dω και όπου ω και όπου ω όε έχουµε jω π f ( ω) = Fe ( ) d= F{ f( )} Μεαόπιση σον χρόνο F Αν f() F( ω) j Τόε f( ) F( ω) e ω Απόδειξη jω F[ f ( ] = f ( ) e d ) Θέουµε = ξ,αλλαγή µεαβληής οπόε = + ξ και d = dξ jωξ jω jω jωξ jω [ ( )] = ( ξ ) ξ = ( ξ) ξ = ( ω) F f f e e d e f e d e F 9

F( ω) = A( ω) e jφω ( ) j φω ω Επειδή f( ) A( ω) e F ( ( ) ) Μεαόπιση σον χρόνο Αλλαγή φάσης µόνο,ο πλάος παραµένει ως έχει Μεαόπιση ση συχνόηα- ιαµόρφωση (Modulio) F f() F( ω) F jω () F( ω ω) f e Απόδειξη jω jω j( ω ω) { () } = () = () = ( ω ω) F f e f e d f e d F jω jω e + e jω F[ x( )cos ω] = x( ) e d x ()cos ω X( ω ω) + Χ ( ω+ ω) Κλιµάκωση σον χρόνο (µικρή διάρκεια σον χρόνο,µεγάλη ση συχνόηα) ω f( ) F( ) α Προκύπει όι για = είναι f( ) F( ω) F Συνέλιξη σον χρόνο Αν F f () F( ω) F f () F ( ω) F Τόε f = f f F = F F () ()* () ( ω) ( ω) ( ω) 3

Απόδειξη jω jω F[ f ( )] = [ f ( )* f ( )] e d = [ f ( ) f ( ) d] e d = Αλλάζουµε ην σειρά ολοκλήρωσης µε : jω jω jω = = = - = f ( )[ f ( ) e d] d f ( ) F ( ω) e d F ( ω) f ( ) e d F( ω) F F ( ω ) Μεασχηµαισµός FOURIER παραγώγου συνάρησης F Αν f() F( ω) Τόε df () F jωf( ω) και γενικά ισχύει: d d f() F ( jω) F( ω) d df () d jω = [ F( ω) e dω] = d d π Απόδειξη Αλλαγ ή σειράς ης παραγώγισης και ολοκλήρωσης: jω de jω jω = F( ) d F( ) j e d [ j F( )] e d π ω ω = ω ω ω ω ω ω d π = π Εφαρµογή για ην δ-dirc: F{ δ ( )} = ( jω) Σχέση Prsevl = f () d = A ( ω) dω π 3

ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογισεί η ενέργεια που βρίσκεαι σην ζώνη συχνοήων απο ω = εως ω = π ( rd) ου σήµαος f () = e u(). Επίσης ο ποσοσό % ης ενέργειας. Λύση jφω ( ) F( ω) = = e, φω ( ) = ( ω) + jω ω + e = [ e ] d = e d = [ ] = dω π π [ ω] ( ) π ω + π π = = = + = Αρα ισχύει η αυόηα ου Prsevl π dω 6.8 ω 6.8 + π.495 = = = = = [ ] = (.55 +.55) =.495 π ω π π.5.99 99% 3