Radoje Šćepanović Ivona Adžić Vanja Đurđić-Kuzmanović METODIČKI PRIRUČNIK IZ MATEMATIKE (ZA VI RAZRED DEVETOGODIŠNJE OSNOVNE ŠKOLE) Drugo izdanje Zavod za udžbenike i nastavna sredstva PODGORICA PODGORICA, 2006.
METODIČKI PRIRUČNIK IZ MATEMATIKE (ZA VI RAZRED DEVETOGODIŠNJE OSNOVNE ŠKOLE) Autori Izdavač Glavna i odgovorna urednica Urednik Recenzenti Lektura Korektura Ilustracija i dizajn Tehnički urednik Prepress Za izdavača Štampa Tiraž ISBN dr Radoje Šćepanović, Ivona Adžić, Vanja Đurđić - Kuzmanović Zavod za udžbenike i nastavna sredstva - Podgorica Nataša Živković Lazo Leković dr Žana Kovijanić, mr Goran Šuković, Nada Novović, Radovan Damjanović, mr Zoran Lalović Sanja Marjanović Biljana Ćulafić Studio MOUSE - Podgorica Rajko Radulović Studio MOUSE - Podgorica Nebojša Dragović GRAFO ZETA - Podgorica 000 86-303-0937-7 Savjet za opšte obrazovanje, rješenjem br. 0-389 od 9. 2. 2005. godine, odobrio je ovaj priručnik za upotrebu u devetogodišnjim osnovnim školama.
SADRŽAJ PREDGOVOR...5. CILJEVI I PROGRAMSKI SADRŽAJI PO POJEDINIM TEMAMA...7 2. DIDAKTIČKE PREPORUKE PO POJEDINIM TEMAMA...5 2.. PONAVLJANJE GRADIVA PRETHODNOG RAZREDA...6 2.2. DJELJIVOST PRIRODNIH BROJEVA...6 2.3. RAZLOMCI...22 2.4. SKUPOVI TAČAKA...33 2.5. UGLOVI I MJERENJE UGLOVA...38 2.6. RAZMJERA I PROCENAT...44 2.7. OSNA I CENTRALNA SIMETRIJA...49 2.8. ZAPREMINA TIJELA...54 2.9. OBRADA I PRIKAZIVANJE PODATAKA...56 LITERATURA... 59 3
4
PREDGOVOR Poštovane koleginice i kolege, Priručnik je namijenjen Vama koji predajete matematiku u VI razredu devetogodišnje osnove škole. Priručnik predstavlja dio udžbeničkog kompleta za VI razred i u potpunosti se oslanja na Udžbenik i Zbirku zadataka (ZZ) od istih autora. Priručnik ima dvije cjeline. U prvoj je predložen plan (jedan od mogućin načina) realizacije Nastavnog programa. Od 80 časova, koliko je predviđeno za cijelu školsku godinu, isplanirano je 55. Preostalih 25 časova je ostavljeno vama, da ih sami planirate prema konkretnim uslovima u razredu. U drugoj cjelini su data metodska uputstva za svaku od 9 tema koje se izučavaju u VI razredu. Ovdje smo bili u dilemi šta i kako uraditi. Moguća su bila dva prilaza. Prvi, da za svaku nastavnu jedinicu damo metodska uputstva. Drugi, da za svaku od tema nabrojimo pojmove koji se uvode, damo opšta uputstva i na kraju obradimo jednu ili dvije nastavne jedinice. Izabrali smo ovaj drugi prilaz. To smo uradili i zbog načina kako je napisan Udžbenik (u kojem se jasno vide sve tri faze nastavnog časa za svaku nastavnu jedinicu). Nadamo se da će vam predloženi priručnik korisno poslužiti kako u planiranju nastavnih jedinica tako i u realizaciji istih. Autori Podgorica, 4. 0. 2005. godine 5
6
. CILJEVI I PROGRAMSKI SADRŽAJI PO POJEDINIM TEMAMA U VI razredu devetogodišnje osnovne škole učenici će upoznavati i produbljivati znanja iz dvije oblasti: Aritmetika i algebra (74 časa, orijentaciono) i Geometrija i mjerenje (54 časa, orijentaciono) koje su razrađene po nastavnim temama: - Djeljivost brojeva (9 časova) - Razlomci (58 časova, orijentaciono) - Razmjera i procenat (6 časova) - Skupovi tačaka (3 časova, orijentaciono) - Uglovi i mjerenje uglova (23 časa, orijentaciono) - Osna i centralna simetrija (6 časova, orijentaciono) - Mjerenje zapremine (5 časova, orijentaciono) - Obrada i prikazivanje podataka (9 časova, orijentaciono) Nastavnim planom i programom predviđeno je 80 časova (5 časova nedjeljno). Orijentaciono je raspoređeno 55 časova. Na taj način je data određena sloboda nastavniku u planiranju godišnjeg rasporeda gradiva. Autori Udžbenika su pojedine nastavne sadržaje obradili sa više naslova, izbjegavajući preopterećenost teksta. Nastavnik ima punu slobodu i mogućnost obrade predloženih nastavnih jedinica, u skladu sa određenim situacijama. Ove godine ispred vas će se naći učenici IV razreda koji su već izučavali nastavnu temu Zapremina ali su ostali uskraćeni za nastavnu temu Skupovi. Mišljenja smo da na to treba upozoriti nastavnike koji će naći najbolje rješenje za prevazilaženje toga problema. Udžbenikom su obrađene one teme koje su propisane Nastavnim programom, a sa prethodno pomenutim problemom nastavnici će se sretati sve dok se ne završi ciklus prelaska sa osmogodišnjeg na devetogodišnje školovanje. Predlažemo tabelarni prikaz godišnjeg rasporeda gradiva, koji se razlikuje od dosadašnjeg. Za ovakav prilaz smo se odlučili jer još uvijek nije sigurno kako će se godišnje planiranje odvijati, pa smo na taj način htjeli da nastavniku damo mogućnost sagledavanja jedne varijante. 7
TABELARNI PRIKAZ GODIŠNJEG RASPOREDA GRADIVA Redni broj časa Naziv teme, tematske cjeline i nastavne jedinice Broj časova nastave Operativni ciljevi. čas 2.. Ponavljanje gradiva iz prethodnih razreda (6 časova) Uvodni čas - upoznavanje sa Nastavnim programom i literaturom. 2. čas Prirodni brojevi 3. čas Razlomci 4. čas Skupovi (Zapemina) 5.čas 6. čas Jedinice za mjerenje površina i mjerenje površine Kontrolna pismena vježba Navesti elemente i osnovna svojstva skupa N 0 Sabirati, oduzimati, množiti i dijeliti u skupu N Upoređivati prirodne brojeve Znati svojstva operacija sabiranja i množenja u skupu N Čitati i pisati razlomke, prikazati ih grafički i pomoću modela a b, a, b {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, n, n N Koristiti pojmove: skup, podskup, unija, presjek, prazan skup i odgovarajuće simbole Znati mjerne jedinice za površinu Izračunavati površinu pravougaonika i kvadrata 2.2. Djeljivost prirodnih brojeva (9 časova) 7. čas Sadžalac prirodnih brojeva 8. čas 9. čas 0. čas Djelilac prirodnih brojeva Sadržalac i djelilac prirodnih brojeva Dijeljenje sa ostatkom i zapis a=bq+r. čas Djeljivost zbira i proizvoda 2. čas 3. čas Pravila djeljivosti prirodnih brojeva sa 2, 5 i 0 k, k N Djeljivost zbira i proizvoda, pravila djeljivosti sa 2, 5 i 0 n 4. čas Pravila djeljivosti sa 3 i 9 5. čas Pravila djeljivosti za 4 i 25 6. čas Pravila djeljivosti 7. čas 8. čas 9. čas Prosti i složeni brojevi. Uzajamno prosti brojevi Prosti i složeni brojevi. Uzajamno prosti brojevi Rastavljanje složenih prirodnih brojeva na proste činioce Usvojiti i upotrebljavati pojmove: je djeljivo, je sadržalac Odrediti da li je neki broj sadržalac datog broja Usmeno odrediti i zapisati nekoliko sadržalaca datog prirodnog broja Usmeno odrediti i zapisati djelioce prostog broja Usvojiti dijeljenje u skupu N sa ostatkom i zapis a = bq + r Usvojiti pravila za djeljivost sa 2, 5 i 0 k, k N Uz pomoć pravila djeljivosti odrediti da li je dati broj djeljiv sa 2, 5 i 0 k, k N Usvojiti pravila za djeljivost sa 3 i 9 Uz pomoć pravila djeljivosti odrediti da li je dati broj djeljiv sa 3 i 9 Usvojiti pravila za djeljivost sa 4 i 25 Uz pomoć pravila djeljivosti odrediti da li je dati broj djeljiv sa 4 i 25 Usvojiti pravila djeljivosti zbira, razlike i proizvoda brojeva Odrediti da li je dati broj prost ili složen. Rastaviti dati broj na proste činioce Usmeno odrediti skup djelilaca nekih brojeva Pismeno odrediti najveći zajednički djelilac datih brojeva Usmeno odrediti najveći zajednički djelilac brojeva Usmeno odrediti skup sadržalaca nekih brojeva. Pismeno odrediti najmanji zajednički sadržalac datih brojeva (NZS) Usmeno odrediti najmanji zajednički sadržalac nekih brojeva (NZS) Skup djelilaca dva broja ili više brojeva upotrebljavati pri rješavanju jednostavnijih tekstualnih zadataka 20. čas Zajednički djelioci. NZD brojeva 8
2. čas 22. čas 23. čas Zajednički djelioci. NZD brojeva Zajednički sadržaoci. NZS brojeva Zajednički sadržaoci. NZS brojeva Rješavati različite zadatke koristeći NZS i NZD dva broja i više prirodnih brojeva Ponoviti i utvrditi stečena znanja o sadržaocima, djeliocima, pravilima djeljivosti, rastavljanju složenog broja na proste činioce, NZS i NZD 24. čas Primjena NZD i NZS 25. čas Kontrolna pismena vježba 26. čas Grafički prikaz razlomka. Razlomak kao dio cjeline 27. čas Izračunavanje a od c (b djelilac od c) b 28. čas Proširivanje i skraćivanje razlomaka. Jednakost razlomaka 29. čas Razlomci 30. čas Vrste razlomaka 3. čas Upoređivanje razlomaka 32. čas 33. čas Vrste i upoređivanje razlomaka Skup Q 0+. Prikazivanje razlomaka na brojnoj polupravoj 34. čas Razlomci 35. čas 36. čas Sabiranje i oduzimanje razlomaka jednakih imenilaca Sabiranje i oduzimanje razlomaka različitih imenilaca 37. čas Razlomci 38. čas 39. čas 40. čas Mješoviti brojevi i nepravi razlomci Sabiranje i oduzimanje mješovitih brojeva Sabiranje i oduzimanje mješovitih brojeva 4. i 42. čas Sistematizacija gradiva 2 43. i 44. čas Pismeni zadatak i analiza 2 2.3. Razlomci (prvi dio, 9 časova) Usvojiti pojam razlomka Upotrebljavati izraze: razlomak, imenilac, brojilac, razlomačka crta Dijeliti cijelo na jednake dijelove na modelima, slikama Zapisati pomoću razlomka dio figure koji je obojen (figura je data na slici) Odrediti a od c (kada je c sadržalac broja b) b Proširiti razlomak: - datim brojem - na zahtijevani imenilac - na zahtijevani brojilac Skratiti razlomak datim brojem Odrediti najveći zajednički djelilac brojioca i imenioca datog razlomka Usvojiti pojam nesvodljivog razlomka Skraćivanjem dovesti razlomak do nesvodljivog Proširiti dva ili više razlomaka na najmanji zajednički imenilac Upoređivati razlomak sa brojem Prepoznati razlomke koji su veći od, manji od i jednaki i usvojiti nazive za takve razlomke Usmeno odrediti koji je od dva razlomka veći (odnosno manji) tamo gdje je to moguće Urediti po veličini dva razlomka Poređati date razlomke od najvećeg do najmanjeg i obrnuto Ocijeniti između kojih se prirodnih brojeva nalazi dati razlomak Prikazati razlomak na brojnoj polupravoj Odrediti kojem razlomku odgovara data tačka na brojnoj polupravoj Odrediti različite razlomke koji odgovaraju istoj tački na brojnoj polupravoj Razlomke sa imeniocem zapisati kao prirodan broj Uočiti da je razlomak prirodan broj, ako je brojilac sadržalac imenioca Nepravi razlomak napisati u obliku mješovitog broja Mješoviti broj zapisati u obliku nepravog razlomka Uočiti da je razlomak čiji je brojilac 0 jednak broju 0 Uočiti da zapis n, n N nema smisla 0 Sabirati i oduzimati razlomke jednakih imenilaca Prikazivati grafički (na krugu i brojnoj polupravoj) zbir i razliku razlomaka jednakih imenilaca Usmeno dopuniti do razlomak koji je manji od Sabirati i oduzimati razlomke različitih imenilaca Zapisati razlomak u obliku nesvodljivog razlomka Zapisati nepravi razlomak u obliku mješovitog broja i obrnuto i tako ih sabirati i oduzimati Oduzimati razlomak od cijelog broja Izračunati vrijednost jednostavnijeg brojnog izraza u kojem se javljaju razlomci sa jednakim i različitim imeniocima 9
45. čas Tačka, prava, ravan 2.4. Skupovi tačaka (3 časova) 46. čas 47. čas Poluprava, duž. Rastojanje između dvije tačke Tačka, prava, ravan, poluprava, duž 48. čas Grafičko prenošenje duži 49. čas 50. čas 5. čas 52. čas 53. čas Poluravan, prostor i poluprostor Otvorena i zatvorena izlomljena linija. Mnogougao Grafičko prenošenje duži. Mnogougao Konveksni skupovi tačaka. Prejek, unija i razlika skupova. Konveksni i nekonveksni skupovi tačaka 54. čas Kružna linija i krug 55. čas Kružni luk i tetiva 56. čas Kružna linija, krug, tetiva Usvojiti osnovne pojmove: tačku, pravu i ravan i njihovo označavanje Usvojiti da dvije različite tačke određuju samo jednu pravu Usvojiti pojam kolinearnih i nekolinearnih tačaka Usvojiti odnose prave i ravni (prava p prodire ravan, prava p pripada ravni, prava p paralelna datoj ravni) i odgovarajuće simboličke matematičke zapise Usvojiti da je ravan određena sa tri nekolinearne tačke Usvojiti pojmove između i podudarno Usvojiti pojmove duži i poluprave Ocijeniti, izmjeriti i simbolički zapisati rastojanje između dvije tačke Povezati pojam duži i rastojanja između dvije tačke Usvojiti pojam podudarno za duži Grafički sabirati i oduzimati duži Usvojiti pojmove poluravan, prostor i poluprostor Ponoviti pojmove: otvorena i zatvorena izlomljena linija Usvojiti pojam mnogougaone linije i mnogougla Usvojiti pojmove konveksnog i nekonveksnog skupa tačaka Usvojiti pojam kružne linije i kruga i njihovo označavanje Razlikovati kružnu liniju i krug Usvojiti i razlikovati elemente kruga Usvojiti pojam kružnog luka i tetive Usvojiti pojam sječice Razlikovati sječicu od tetive 57. čas Kontrolna pismena vježba 2.5. Uglovi i mjerenje uglova (23 časa) 58. čas Ugao, elementi ugla i obilježavanje ugla 59. čas 60. i 6. čas 62. i 63. čas 64. i 65. čas 66. čas 67. čas 68. čas Ugao, mjerenje ugla i elementi ugla Centralni ugao, kružni luk i tetiva Prenošenje uglova i upoređivanje uglova Mjerenje uglova i vrste uglova Grafičko sabiranje i oduzimanje uglova Aritmetičko sabiranje i oduzimanje uglova Grafičko i aritmetičko sabiranje i oduzimanje uglova Usvojiti i razlikovati pojmove: ugaona linija, ugao, tjeme ugla, krak ugla, oblast ugla Usvojiti i razlikovati konveksne i nekonveksne uglove i simbolički ih zapisivati Usvojiti pojam centralnog ugla, kružnog luka i tetive Prenositi uglove i upoređivati ih Usvojiti pojam opruženog ugla Usvojiti da je ugao od 0 jednak 80-om dijelu opruženog ugla Mjeriti date uglove pomoću uglomjera Uglomjerom crtati ugao date mjere u stepenima Usvojiti da je 0 =60, =60 Pretvarati mjeru ugla iz jedne mjerne jedinice u drugu Usvojiti pojam oštrog, pravog, tupog, opruženog, punog ugla Grafički sabirati i oduzimati uglove Aritmetički sabirati i oduzimati uglove 69. čas Komplementni i suplementni uglovi 0
70. čas Susjedni, uporedni i unakrsni uglovi 7. čas Uglovi (susjedni, uporedni, unakrsni, komplementni, suplementni) 72. čas 73. čas 74. čas Uglovi sa paralelnim kracima Uglovi sa normalnim kracima Uglovi sa paralelnim i normalnim kracima 75. i 76. čas Sistematizacija gradiva 2 77. i 78. čas Pismeni zadatak sa analizom (II) 2 Usvojiti komplementne i suplementne uglove Prepoznati susjedne, uporedne, unakrsne uglove Razlikovati uporedne i susjedne uglove Usvojiti da su unakrsni uglovi međusobno jednaki Prepoznati uglove sa paralelnim kracima Usvojiti kada su uglovi sa paralelnim kracima jednaki, a kada suplementni Prepoznati uglove sa normalnim kracima Usvojiti kada su uglovi sa normalnim kracima jednaki, a kada suplementni 79. čas Sistematizacija gradiva 80. čas 8. čas Zaključivanje ocjena (kraj I polugođa) Ponavljanje gradiva iz prethodnog polugodišta 2.6. Razlomci (drugi dio, 39 časova) 82. čas 83. čas 84. čas Test provjere usvojenosti pređenog gradiva (30 minuta) Prevođenje razlomka u decimalan broj Zapisivanje decimalnih brojeva sa konačno mnogo decimala u obliku razlomka 85. čas Decimalan broj 86. čas 87. čas 88. čas 89. čas 90. čas 9. čas Približna vrijednost broja. Zaokruživanje decimalnog broja Upoređivanje razlomaka zapisanih u decimalnom obliku Zaokruživanje decimalnog broja i upoređivanje razlomaka zapisanih u decimalnom obliku Sabiranje i oduzimanje decimalnih brojeva Sabiranje i oduzimanje razlomaka Svojstva sabiranja razlomaka Usvojiti pojam decimalnog razlomka Decimalni razlomak zapisati u obliku decimalnog broja Decimalan broj zapisati u obliku decimalnog razlomka Prevesti razlomak u decimalan broj Zapisati decimalan broj u obliku razlomka Objasniti značenje decimalnog zareza Odrediti cijeli i decimalni dio u decimalnom zapisu razlomka Decimalan broj zaokružiti na zadati broj decimala Upoređivati decimalne brojeve Sabirati i oduzimati decimalne brojeve Rješavati tekstualne zadatke Usvojiti i upotrebljavati svojstva sabiranja Izračunati vrijednost brojnih izraza u kojem se javljaju razlomci u oba zapisa Izračunati vrijednost brojnog izraza koji sadrži slovne oznake za date vrijednosti promjenljivih Uočavati zavisnost vrijednosti izraza od vrijednosti promjenljive u izrazu Upotrebljavati svojstva sabiranja za lakše računanje brojnih izraza Zapisati brojni izraz sa razlomcima na osnovu datog teksta Rješavati jednačine u skupu Q 0 + Rješavati nejednačine u skupuq 0 + Rješenja nejednačine predstaviti na brojnoj polupravoj i pomoću skupa Proizvod razlomka sa prirodnim brojem napisati kao zbir i izračunati Formulisati pravilo za množenje razlomka prirodnim brojem Formulisati pravilo za množenje razlomka razlomkom 92. čas Brojni izrazi sa sabiranjem i oduzimanjem razlomaka
93. čas 94. čas Brojni izrazi i svojstva operacije sabiranja razlomaka Jednačine sa sabiranjem i oduzimanjem u Q 0 + 95. čas Jednačine sa sabiranjem i oduzimanjem u Q 0 + 96. čas 97. čas 98. čas 99. čas 00. čas 0. i 02 čas 03. čas Nejednačine sa sabiranjem i oduzimanjem u Q 0 + Nejednačine sa sabiranjem i oduzimanjem u Q 0 + Kontrolna pismena vježba Množenje razlomka prirodnim brojem. Množenje razlomka razlomkom Množenje razlomka prirodnim brojem. Množenje razlomka razlomkom Množenje decimalnih brojeva Svojstva množenja razlomaka 04. čas Množenje razlomaka 05. čas 06. i 07. čas 08. i 09. čas 0. i. čas Dijeljenje razlomka prirodnim brojem Dijeljenje razlomka razlomkom Dijeljenje decimalnih brojeva Brojni izrazi sa razlomcima Skratiti razlomke prije množenja Množiti razlomak sa razlomkom Množiti decimalan broj prirodnim brojem Formulisati pravilo za množenje decimalnog broja dekadnom jedinicom Množiti decimalan broj dekadnom jedinicom Formulisati pravilo množenja decimalnog broja decimalnim brojem Množiti decimalne brojeve Usvojiti da za množenje razlomaka važe zakoni komutacije i asocijacije Usvojiti da je broj neutralni element za množenje u skupu Q 0 + Dijeliti razlomak prirodnim brojem. Datom razlomku odrediti njemu recipročan razlomak Usvojiti da je proizvod razlomka i njemu recipročnog razlomka jednak jedinici Dijeliti razlomak razlomkom Usvojiti pojam dvojnog razlomka Formulisati pravila za dijeljenje decimalnog broja prirodnim brojem i dekadnom jedinicom Dijeliti decimalni broj prirodnim brojem Dijeliti decimalan broj dekadnom jedinicom Zapisati nedecimalan razlomak u obliku beskonačnog decimalnog periodičnog broja Odrediti vrijednost datog brojnog izraza u kome figurišu četiri osnovne računske operacije Primjenjivati prioritet računskih operacija i pravilo korišćenja zagrada Izračunati vrijednost brojnog izraza koji sadrži slovne oznake kao zamjenu za brojeve Rješavati jednačine u skupu Q 0 + Rješavati nejednačine u skupu Q 0 + Rješenja nejednačine predstaviti na brojnoj polupravoj i skupovno Formirati i rješavati jednačine i nejednačine na osnovu teksta 2. i 3. čas Jednačine sa množenjem i dijeljenjem u Q 0 + 4. i 5. čas 6. i 7. čas 8. i 9. čas Nejednačine sa množenjem i dijeljenjem u Q 0 + Sistematizacija sadržaja (razlomci) Pismeni zadatak sa analizom (III) 2 2 2
2.7. Razmjera i procenat (6 časova) 20. i 2. čas 22. i 23. čas 24. i 25. čas Razmjera i proporcija Procenat Primjena procenta. Sistematizacija gradiva 2 Usvojiti pojam razmjere Određivati razmjeru u konkretnim slučajevima Usvojiti pojam proporcije Usvojiti osnovno svojstvo proporcije Određivati nepoznati član proporcije Usvojiti pojam procenta Izraziti dio cjeline kao razlomak sa imeniocem 00 Zapisati p 00 od a kao p% od a Prikazati grafički p% od cijelog Izraziti procenat: - decimalnim razlomkom - decimalnim brojem Pročitati p% sa dijagrama Izračunati p% od a Usmeno računati p% od a Povećati, smanjiti datu količinu za p% Rješavati tekstualne zadatke sa procentom 26. i 27. čas 2.8. Osna i centralna simetrija (6 časova) Osna simetrija u ravni Prepoznati osnovne transformacije u ravni: osnu i centralnu simetriju 28. čas Osnosimetrične figure 29. i 30. čas 3. čas 32. i 33. čas 34. i 35. čas 36. i 37. čas 38. i 39. čas 40. čas 4. čas Centralna simetrija u ravni. Centralnosimetrične figure Osna i centralna simetrija u ravni Simetrala duži Konstrukcija normale na pravu, rastojanje od tačke do prave Simetrala ugla Konstrukcija uglova od 60 0, 30 0, 90 0 i 45 0 Odnos kruga (kružne linije) i prave Kontrolna pismena vježba Usvojiti simbolički zapis osne simetrije i opisati osobine te transformacije Nacrtati osnosimetričnu sliku tačke, prave, duži, ugla, figure u odnosu na datu pravu (osu) Prepoznati osnosimetrične figure i odrediti im ose simetrije Usvojiti simbolički zapis centralne simetrije i opisati osobine te transformacije Nacrtati centralnosimetričnu sliku tačke, prave, duži, ugla, figure u odnosu na datu tačku Prepoznati centralnosimetrične figure i odrediti im centar simetrije Usvojiti pojam simetrale duži i znati odgovarajuće oznake Konstruisati simetralu duži Konstruisati normalu na datu pravu iz date tačke Odrediti rastojanje od date tačke do date prave Usvojiti pojam simetrale ugla i znati odgovarajuće oznake Konstruisati simetralu ugla Rješavati jednostavne konstruktivne zadatke Konstruisati uglove od: 60 0, 30 0, 45 0, 90 0,5 0, 75 0 Znati uslove pod kojima data prava i dati krug imaju: jednu, više i nijednu zajedničku tačku Usvojiti pojam sječice i tangente Razlikovati pojmove sječica i tangenta 2.9. Mjerenje zapremine (5 časova ) 42. i 43. čas 44. i 45. čas Zapremina tijela. Jedinice za mjerenje zapremine tijela Zapremina kocke i zapremina kvadra Usvojiti pojam zapremine tijela Usvojiti jedinice za mjerenje zapremine i njihove oznake (mm 3, cm 3, dm 3 i m 3 ) Upoređivati jedinice za mjerenje zapremine i prevođenje jednih u druge Usvojiti da je l=dm 3 46. čas Kontrolna pismena vježba Razlikovati zapreminu od površine Računati zapreminu kocke i kvadra 3
2.0. Obrada i prikazivanje podataka (9 časova) 47. čas Mjerenje, bilježenje rezultata i uređivanje podataka 48. čas Dijagram sa stupcima 49. čas Kružni dijagram 50. čas Obrada podataka 5. čas. Sistematizacija gradiva 52. i 53. čas Pismeni zadatak sa analizom (IV) 2 Mjerenja, bilježenje podataka i slaganje podataka po veličini Razvrstavanje podataka po različitim kriterijumima Prikazivanje podataka: tabele, dijagrami sa stupcima, kružni dijagrami Čitati podatke iz tabela, dijagrama sa stupcima i kružnih dijagrama 54. i 55. čas Sistematizacija gradiva i zaključivanje ocjena 2 4
2. DIDAKTIČKE PREPORUKE PO POJEDINIM TEMAMA Radi lakšeg praćenja daljeg teksta, na početku dajemo neka objašnjenja. Da ne bismo smanjivali i ugrožavali slobodu nastavnika, na kojoj se insistira novim Nastavnim programom, izabrali smo 2 nastavnih jedinica i njih u potpunosti obradili. U njima su zastupljeni i prikazani različiti oblici rada (frontalni, grupni, individualni, rad u parovima) i korišćeni su različiti metodi rada, različita nastavna sredstva i pomagala. One mogu biti obrazac za realizaciju preostalih nastavnih jedinica, a možete ih smatrati i kao jedan od mogućih pristupa. Nadamo se da će ovo pomoći nastavnicima da sami lakše osmisle i realizuju ostale nastavne sadržaje. Na početku nekoliko riječi o Udžbeniku i Zbirci zadataka. Udžbenik za VI razred je osnovna literatura i izvor znanja za učenike. Koristi se u svim etapama nastavnog časa, a najčešće pri obradi gradiva. Od velike je važnosti za samostalan rad kod kuće. Pisan je matematičkim jezikom koji je prilagođen uzrastu učenika i cilj je bio da ga svaki učenik može samostalno koristiti. Većina nastavnih jedinica je napisana na dvije stranice sa rubrikom ponavljanje na početku lekcije. Ovakav pristup predstavlja novinu u pisanju udžbenika. Na taj način smo htjeli da pomognemo nastavniku da što bolje realizuje čas, koji mora da ima svoj logički i metodološki slijed. Skoro svaka nastavna jedinica se završava rubrikom pitanja, koja su vezana za sadržaj nastavne jedinice. Cilj je da na kraju časa učenici, uz pomoć nastavnika, odgovore na postavljena pitanja i tako sažete odgovore zapamte. Naravno, ovo je preporuka autora i njih se nastavnik ne mora strogo pridržavati. Pored pomenute dvije rubrike, neke nastavne jedinice sadrže i rubriku zanimljivosti iz matematike (istorijske podatke, šale, dosjetke, mozgalice, zanimljive zadatke). Neki od tih zadataka su dosta ozbiljni i zahtijevaju od učenika da dobro logički promisle prije nego ih riješe. Ovi zadaci nijesu predviđeni kao obavezni za učenike. Zbirka zadataka se koristi u svim etapama nastavnog časa, a najčešće pri uvježbavanju gradiva i pri izradi domaćih zadataka kod kuće. Podijeljena je na tematske cjeline u okviru kojih su zadaci razvrstani u tri grupe. Grupe su napravljene prema težini zadataka: grupa A (lakši zadaci), grupa B (srednje teški zadaci) i grupa C (teži zadaci). Naravno, u zavisnosti od kriterijuma nastavnika, neki zadaci bi mogli i promijeniti grupe. Zato na ove podjele ne treba gledati previše strogo. Ipak, poštujući navedenu podjelu postiže se ujednačenost kriterijuma za ocjenjivanje: za isto znanje ista ocjena. U Zbirci zadataka postoji i grupa zadataka D koji su takmičarskog nivoa. U rješavanju nekih od njih koriste se nestandardne metode rješavanje (tj. metode koje se ne izučavaju u redovnoj nastavi matematike). Sa zadacima iz grupe D treba biti krajnje obazriv, davati ih povremeno najboljim učenicima okupljenim u matematičke sekcije ili za domaći rad (opet najboljima). Zbirkom zadataka su predviđeni i testovi provjere usvojenih znanja nakon svake teme. Ove testove učenici treba da rade kod kuće ili na časovima utvrđivanja. Bitno je da se učenicima da povratna informacija o nivou postignutog znanja iz određene teme. 5
2.. PONAVLJANJE GRADIVA PRETHODNOG RAZREDA. nastavni čas (uvodni čas) Na uvodnom času učenici se upoznaju sa nastavnim planom rada i matematičkom literaturom, objasne im se oblici rada, način ocjenjivanja njihovih aktivnosti, upozore na važnost samostalnog i redovnog pisanja domaćih zadataka. Nastavni časovi broj 2 6 Prirodne brojeve i računske operacije sa prirodnim brojevima (sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje) učenici su upoznali u ranijim razredima osnovne škole. Upoznali su i pravila (zakone) koji vrijede u skupu N za pojedine računske operacije. Znaju da upoređuju dva prirodna broja, odrede prethodnik i sljedbenik i znaju da elementima skupa N 0 pridruže tačke brojne poluprave. Budući da se u nastavnom planu za VI razred pojavljuje tema Djeljivost prirodnih brojeva" logično je obnoviti i utvrditi znanja koja učenici posjeduju o skupu N. To se može uraditi na nastavnom času broj 2. U prethodnim razredima učenici su se upoznali sa razlomcima oblika n, n N i n, a N 0, b N, a u VI razredu će ta znanja proširiti, pa je logično jedan nastavni čas odvojiti za ponavljanje i utvrđivanje ovih nastavnih sadržaja (nastavni čas broj 3). Učenici prelaze iz IV razreda osmogodišnje u VI razred devetogodišnje škole, pri čemu se ne poklapaju novi i stari nastavni program. Naime, u IV razredu se izučavala tema Zapremina", koja je novim nastavnim programom predviđena za VI razred, ali ostaje neobrađena tema Skupovi". O skupovima treba govoriti na 4. nastavnom času. Skup je jedan od osnovnih pojmova u matematici koji se ne definiše. Takođe, ne definišu se ni pojmovi: element skupa i pripada skupu. Preko konkretnih primjera skupova stvara se kod učenika intuitivna slika o svakom od navedenih pojmova. Tako će ih učenici usvojiti i koristiti. Učenici ove godine upoznaju jedinice mjere za zapreminu, pa bi bilo logično na početku obnoviti jedinice za mjerenje površine (nastavni čas broj 5). Šesti nastavni čas predviđen je za kontrolnu pismenu vježbu broj, kojom nastavnik može dobiti povratnu informaciju o stepenu usvojenosti gradiva prethodnih razreda. 2.2. DJELJIVOST PRIRODNIH BROJEVA Upoznavanjem osobina prirodnih brojeva učenici se postepeno uvode u elementarnu teoriju o brojevima, tako da sadržaje o djeljivosti brojeva u skupu N 0 ne treba posmatrati izolovano, već u sklopu svih sadržaja o brojevima. Pri obradi sadržaja o djeljivosti prirodnih brojeva treba se oslanjati na već stečena znanja učenika u ranijim razredima o računskim operacijama, njihovim svojstvima i osnovnim zakonima. Pojmovi koji se uvode su: sadržalac prirodnog broja djelilac prirodnog broja prost broj složen broj uzajamno prosti brojevi najveći zajednički djelilac najmanji zajednički sadržalac 6
Učenici pojmove sadržalac i djelilac relativno brzo shvataju. Problem se javlja kada se pojam djelioca ponovo uvodi kod dijeljenja sa ostatkom, jer se jedan te isti pojam koristi u dva različita slučaja. Smatramo da neće doći do zabune ako u zapisu a = b. q + r, broj b nazovemo djeliocem, q količnikom, a r ostatakom dijeljenja. Ako je ostatak dijeljenja jednak nuli, tada je b djelilac broja a. Do sada su se u nekim udžbenicima za b koristili pojmovi: nepotpuni količnik ili djelitelj. Nastavnim programom nije predviđeno izučavanje djeljivosti zbira i proizvoda brojeva. Bez obzira na to u Udžbeniku su ovi sadržaji obrađeni zbog izvođenja pravila djeljivosti sa 2, 3, 4, 5, 9... i matematičke korektnosti. Kriterijume djeljivosti, određivanja NZS i NZD učenici lako pamte i primjenjuju, ali su teški za razumijevanje. Stoga je za obradu ovih nastavnih sadržaja potrebno ostaviti više vremena i izvoditi ih sa više strpljenja, korišćenjem induktivnog načina zaključivanja, navodeći učenike da sami donose zaključke. Takođe je potrebno nastojati da učenici sami zaključe važnost kriterijuma djeljivosti sa 2, 3, 4, 5, 9, 25 i 0 k, k N i pokazati im to na primjerima sa većim brojevima. Nastavnik može i odustati od obrade kriterijuma djeljivosti prirodnih brojeva sa 4 i 25, jer ih nema u Nastavnom programu. Predlažemo korišćenje što više tekstualnih zadataka koji nijesu previše složeni, jer su oni sami po sebi problemski i učenicima teški. Pojam prostog broja je bitan i svaki učenik bi trebalo da razumije njegovo značenje. Za manje brojeve, na primjer do 00, učenik treba da zna provjeriti da li je on prost ili nije. Kod obrade prostih brojeva skup prirodnih brojeva se razbija na tri disjunktna skupa: prosti brojevi, složeni brojevi i broj. Naglasiti da se ova podjela vrši na osnovu broja djelilaca prirodnog broja. Ako prirodni broj ima više od dva djelioca, taj broj je složen; ako ima samo dva djelioca on je prost; ako ima samo jedan djelilac, to je broj. Rastavljanje na proste činioce je veoma bitno, naročito zbog određivanja NZD i NZS dva ili više brojeva. Kada svi učenici savladaju rastavljanje na činioce na osnovu definicije, treba uvesti i drugi način shemu sa crtom. Primjenom ovog postupka do izražaja dolazi formalizacija i šablonsko učenje, što nije poželjno. To isto važi i kod određivanja NZD i NZS. Naročito je važno insistirati na usmenom određivanju NZD i NZS u jednostavnijim primjerima. 7
Nastavna jedinica () PRAVILA DJELJIVOSTI (uvježbavanje) Redni broj časa: Nastavni predmet: Matematika, VI razred Nastavna tema: Djeljivost prirodnih brojeva Nastavna jedinica: Pravila djeljivosti Tip časa: uvježbavanje (utvrđivanje) gradiva Cilj nastavnog časa: naučiti i primjenjivati pravila djeljivosti brojeva Oblici rada: frontalni, individualni Metode rada: usmeno izlaganje, demonstracija Nastavna sredstva:- tabela za unošenje rezultata rada - nastavni listići sa zadacima po nivoima znanja Nastavnik: Tok časa Uvodni dio časa: Zajednička analiza domaćeg zadatka. Učenici međusobno upoređuju rezultate, a zatim kroz razgovor sa nastavnikom pronalaze greške. Nastavnik daje uputstva za one zadatke kod kojih su učenici najviše griješili ili ih uopšte nijesu radili. Kroz analizu domaćih zadataka treba ponoviti pravila djeljivosti prirodnih brojeva. Glavni dio časa: Nastavnik dijeli zadatke u tri grupe (A, B, C) različite težine, a učenici se sami opredjeljuju za željenu grupu i rade zadatke individualno. Nastavnik obrazlaže da su u grupi A najlakši zadaci, u grupi B zadaci srednje težine i u grupi C najteži zadaci. Zadaci po nivoima (ZZ Zbirka zadataka). (ZZ, zadatak 42, strana 9) Zaokruži tačna tvrđenja: a) 0 620 b) 0 333 c) 00 380 d) 00 35000 e) 000 7200 2. (ZZ, zadatak 44, strana 9) Napiši po jedan jednocifren, dvocifren, trocifren broj koji je djeljiv sa 5 3. (ZZ, zadatak 46, strana 9) Zvjezdicu zamijeni ciframa tako da je: a) 2 74* b) 2 34*2 4. (ZZ, zadatak 60, strana 0) Iz skupa P = {27, 24, 302, 8325, 3360, 23900} izdvoj brojeve koji su: a) djeljivi brojem 9 b) djeljivi brojem 3 c) djeljivi brojem 3 i nijesu djeljivi brojem 9 d) nijesu djeljivi brojem 3 B A. (ZZ, zadatak 48, strana 9) Petar je kupio 5 jednakih kutija sa jednakim brojem olovaka u njima. Može li u njima biti: a) 92 b) 90 c) 75 olovaka? 8
2. (ZZ, zadatak 50, strana 9) Odredi sve elemente skupova: a) A = {n n N, n paran broj i 3< n 28} b) B = {n n N, n neparan broj i 25 n < 33} 3. (ZZ, zadatak 53, strana 0) Pomoću cifara 0, 2 i 5 (cifre se ne ponavljaju) napiši sve trocifrene brojeve koji su djeljivi sa 0. 4. (ZZ, zadatak 64, strana ) Ne izvodeći računske operacije zaključi da li je: a) 3 (9352 + 342 43) b) 9 (342 + 7623 + 999945) c) 3 (2.23 + 9. 234 3). (ZZ, zadatak 55, strana 0) Razmisli pa dopuni rečenice: Kvadrat parnog broja je... broj Kvadrat neparnog broja je... broj 2. (ZZ, zadatak 56, strana 0) Ne vršeći naznačene računske operacije ispitaj tačnost tvrđenja: a) Broj 24573 + 329 je djeljiv brojem 2 b) Broj 7925 28 je djeljiv brojem 5 c) Broj 3240 + 835 + 2300 + 0 istovremeno je djeljiv sa 5 i 2 d) Broj 8. + 237.30 je djeljiv brojem 5 3. (ZZ, zadatak 69 b), strana ) Napiši sve trocifrene brojeve koji su djeljivi sa 2 i 3 i kod kojih su cifre jedinica i desetica jednake, a cifra stotina veća od cifre jedinica 4. (ZZ, zadatak 8, strana 2) Kupac je u prodavnici rekao: Trebaju mi dvije čokolade po 90 centi, 2 soka po 25 centi, 0 kg jabuka i 5 kolača, ali njihovu cijenu nijesam zapamtio. Prodavac je napisao ček na iznos od 7 eura i 58 centi. Kupac je rekao: Vi ste pogriješili. Prodavac je provjerio i saglasio se sa kupcem. Kako je kupac otkrio grešku? Završni dio časa: Nakon završenog rada (preostalo je 5 minuta) nastavnik na pripremljenoj tabeli evidentira broj bodova. Analizira zadatke sa učenicima i zajedno zapažaju nejčešće greške. Nastavnik bi nakon časa trebalo da pregleda sve radove učenika i evidentirati rezultate njihovog rada. Tako će dobiti kompletnu sliku o stepenu usvojenosti nastavnih sadržaja vezanih za pravila djeljivosti. C Tabela Rezultat Redni broj Učenik Grupa Zadaci ( upisati + ili ) Broj bodova 2 3 4. 2. 3. 4. : : 9
Nastavna jedinica (2) ZAJEDNIČKI SADRŽAOCI.NZS BROJEVA (obrada novog gradiva) Redni broj časa : Nastavni predmet: Matematika, VI razred Nastavnik: Nastavna tema: Djeljivost prirodnih brojeva Nastavna jedinica: Zajednički sadržaoci. NZS brojeva Tip časa: obrada novog gradiva Cilj nastavnog časa: usvojiti pojam zajedničkih sadržalaca i najmanjeg zajedničkog sadržaoca dva ili više brojeva prepoznati probleme u kojima se koristi najmanji zajednički sadržalac dva i više brojeva Oblici rada: individualni, frontalni Metode rada: učenje putem rješavanja problema Nastavna sredstva: pisani materijal (za svakog učenika), grafo folije i flomasteri Tok časa Uvodni dio časa: Podjela programiranog materijala učenicima, uz napomenu da pažljivo pročitaju tekst prije davanja odgovora na postavljeno pitanje i prije rješavanja zadataka. Glavni dio časa: Učenici rade samostalno. Nastavnik pomaže onim učenicima koji suviše sporo napreduju ili se ne snalaze. Završni dio časa: a) Saopštavanje i prezentacija rezultata rada na grafo foliji, uz razmjenu zapažanja, zaključaka na nivou nastavnik-učenik, učenik-učenik. b) Domaći zadatak po nivoima (Zbirka zadataka).. Zaokruži tačnu rečenicu: a) Broj 2 je sadržalac broja 2. b) Broj 6 je sadržalac broja 3. Zajednički sadržaoci. NZS brojeva (pisani materijal za svakog učenika) 2. Napiši prva četiri sadržaoca broja 5:,,,. 3. Da li je skup sadržalaca prirodnog broja konačan? DA NE 4. Jedan broj može biti ZAJEDNIČKI SADRŽALAC za dva ili više brojeva. Na primjer, broj 8 je zajednički sadržalac za brojeve 6 i 9, jer je djeljiv sa 6 i 9. Dopuni rečenicu : sadržalac dva ili više brojeva je broj koji je datim brojevima. 5. Iz skupa {6, 7, 2, 5, 8, 23, 24, 27, 30} izdvoj brojeve koji su zajednički sadržaoci brojeva 3 i 4 i popuni kružiće. 20
6. Dva broja imaju više zajedničkih sadržalaca. Među njima jedan je najmanji i nazivamo ga NAJMANJI ZAJEDNIČKI SADRŽALAC datih brojeva. Tako je najmanji zajednički sadržalac brojeva 2 i 3 broj 6, a brojeva 6 i 9 broj 8 i zapisujemo NZS (2, 3) = 6, NZS (6, 9) = 8. Na crticama napiši najmanji zajednički sadržalac brojeva 8 i 2. 7. Kao što postoji najmanji zajednički sadržalac za dva broja, tako postoji i za tri i više brojeva. Na primjer, NZS (4, 6, 9) = 36, jer je 36 najmanji broj djeljiv brojevima 4, 6, 9. Na crticama napiši NZS (3, 5, 0).. 8. Određivanje najmanjeg zajedničkog sadržaoca datih brojeva može se zapisati šematski. 30, 36 2 5, 8 2 5, 9 3 5, 3 3 5, 5, Obratiti pažnju na sljedeće: - Dijeljenje prostim brojevima izvodi se sve dok je barem jedan broj u datom redu djeljiv tim brojem, a brojevi koji nijesu djeljivi tim brojem prepisuju se ispod. - Dijeljenje prostim brojevima vrši se sve dok se na kraju u svim kolonama ne dobiju jedinice. Koristeći šemu, odredi: a) NZS (36, 48) b) NZS (5, 28, 42) 36, 48 5, 28, 42 9. Usmeno odredi, a zatim zapiši NZS (2, 5) =.. NZS (3, 33)=.. Dodatni zadatak (nije obavezan, rade ga samo učenici koji stignu da urade sve prethodne zadatke). 0. U luci se nalaze dva turistička broda. Jedan se u luku vraća svaka dva dana, a drugi svaka tri dana. Iz luke su isplovili zajedno. Kroz koliko dana će se ponovo sresti u luci? NAPOMENA: Predlažemo da se ova nastavna jedinica izučava dva časa. Ovakva razrada je predviđena za jedan čas. Na drugom času treba provjeriti i utvrditi znanja usvojena na prethodnom času, usvojiti traženje NZS prostih brojeva i NZS dva ili više brojeva kada je jedan od njih sadržalac ostalih. Važno je da učenici znaju i usmeno odrediti NZS nekih brojeva i da znaju stečena znanja primijeniti na zadatke iz prakse. 2
2. 3. RAZLOMCI OSNOVNA SVOJSTVA RAZLOMAKA. SABIRANJE I ODUZIMANJE RAZLOMAKA Pojmovi koji se uvode su: razlomak imenilac razlomka brojilac razlomka razlomačka crta proširivanje razlomaka skraćivanje razlomaka mješovit broj Ova tema je svakako osnovna u VI razredu i zato je neophodno da se dobro usvoji. Metodici obrade razlomaka mora se pokloniti puna pažnja uz prilagođavanje uzrastu učenika. U VI razredu se obrađuju samo pozitivni razlomci, a u narednom razredu uečnici će raditi i negativne razlomke i tako zaokružiti gradivo o racionalnim brojevima. Pojam razlomka za učenike predstavlja najteži dio aritmetike, jer ga, s jedne strane, posmatraju kao broj, a sa druge strane, naročito kod obavljanja računskih operacija, kao spoj dva broja, imenioca i brojioca. U nižim razredima osnovne škole učenici su naučili operaciju dijeljenja u skupu prirodnih brojeva. Zajedno sa dijeljenjem upoznali su i riječi: polovina, trećina, četvrtina..., desetina... itd. Pojam razlomka, kao i svaki drugi pojam, treba postupno izgrađivati. Pri tome se treba služiti modelima iz svakodnevnog života, slikama, govornim i matematičkim znakovima. Na primjer, uzeti jabuku i podijeliti je na dva jednaka dijela. Svaki od dobijenih dijelova nazivamo polovina jabuke i označavamo sa 2. Učenicima treba skrenuti pažnju da razlomak ima tri dijela: imenilac (2), brojilac () i razlomačku 2 crtu. Treba skrenuti pažnju da se prvo piše razlomačka crta, jer se tako bolje određuje mjesto za imenilac i brojilac razlomka. Učenicima treba reći da brojeve 2, 2 3, 5,... nazivamo razlomcima, za 7 razliku od brojeva, 2, 3, 4... koje nazivamo prirodnim brojevima. Nastavnoj jednici Razlomak kao dio cjeline potrebno je posvetiti više vremena, jer za učenike toga uzrasta to nije jednostavno za usvajanje. Da bi se ovaj nastavni sadržaj što bolje obradio, potrebno je koristiti što više nastavnih sredstava i pomagala, grafičkih prikaza (krug, kvadrat, pravougaonik i druge razne geometrijske figure). Na prvim časovima obrade treba težiti da učenici što samostalnije urade veći broj jednostavnijih zadataka pomoću kojih će uvježbati da obojeni dio cijelog predstave u obliku razlomka i da datom razlomku pridruže odgovarajući grafički prikaz. U Udžbeniku i Zbirci je dat određeni broj zadataka koje preporučujemo da se urade. Bitno je da učenik shvati da jedno cijelo predstavlja dvije polovine, tri trećine, pet petina itd. Takođe, važno je da učenici razumiju značenje imenioca i brojioca razlomka i da to ne usvajaju šablonski. U tom cilju, u Zbirci i Udžbeniku dat je određeni broj zadataka, koji su u korelaciji sa prethodnom temom i sa skupovima, koji su izučavani u prethodnom razredu. Namjera je bila da se, kada je to moguće, ispoštuju korelacije unutar predmeta i na taj način učenici podstaknu na logičko povezivanje i zaključivanje. Praksa je pokazala da učenici vrlo brzo usvajaju ovaj nastavni sadržaj. Naredna lekcija o izračunavanju a od c, u slučaju kada je b djelilac broja c, može da posluži b za utvrđivanje gore navedenog. Pri obradi množenja razlomka prirodnim brojevima učenici lako računaju pomenuti broj, ali ga ne razumiju. Zato je potrebno ovom nastavnom sadržaju posvetiti posebnu pažnju na početku, a kasnije mu se vratiti još jednom. Nastavne sadržaje proširivanja, skraćivanja i jednakosti razlomaka treba postepeno obrađivati i posmatrati kao jedinstvenu cjelinu. Kod obrade ovih nastavnih sadržaja pomoći će znanje koji 22
učenici imaju iz ranijih razreda o prirodnim brojevima i osobinama operacija u skupu N. Naravno, pravila koja se javljaju treba izvesti na osnovu prethodno urađenih primjera i po mogućnosti zahtijevati da do njih učenici dođu samostalno. Bitno je učenike upozoriti da je proširivanje razlomaka uvijek moguće, ali da skraćivanje nije i objasniti o kojim slučajevima je riječ. Stalno treba potencirati invarijantnost vrijednosti razlomka pri proširivanju i skraćivanju. Stepen usvojenosti pojma razlomka i njegovog grafičkog predstavljanja možemo provjeriti i proširiti u sklopu lekcije o vrstama razlomaka. I ovaj nastavni sadržaj je pogodan da se uspostavi unutrašnja korelacija i predstavlja osnovu za usvajanje sadržaja koji slijede: upoređivanje razlomaka, predstavljanje razlomaka na brojnoj pravoj, a kasnije i predstavljanje razlomaka u obliku mješovitog broja. Ako su se dobro usvojili prethodni sadržaji o skraćivanju, proširivanju i jednakosti razlomaka, upoređivanje ne bi trebalo da predstavlja veći problem, pogotovo ako se uvodi postepeno: upoređivanje razlomaka istih imenilaca, upoređivanje razlomaka istih brojioca, upoređivanje razlomaka različitih imenilaca. Učenici su u dosadašnjem toku školovanja imali priliku da upoznaju samo skupove N i N 0, operacije u njima i svojstva operacije sabiranja. Ovo je izuzetno značajan trenutak u nastavi matematike. Postupak proširivanja poznatih skupova treba pažljivo objasniti. Učenici ovog uzrasta bi trebalo da lako rješavaju jednačine oblika a+x=b, a,b N, pri čemu je b a i jednačinu oblika a x =b, kada je b sadržalac broja a. Jednačine oblika a+x=b, a,b N, i a x =b, a,b N, nijesu uvijek rješive u skupu N, zbog čega je neophodno izvršiti proširenje skupa N sa skupom Z (naredne godine) i skupom Q (ove godine). Bilo bi iluzorno zahtijevati od učenika na ovom uzrastu da u potpunosti razumiju pomenuti postupak, ali je moguće navesti ih da osjete razloge proširenja skupa N i razumiju inkluziju N Q. Sabiranje i oduzimanje razlomaka učenici trebaju da savladaju do automatizma, i da se svi slučajevi svode na sabiranje i oduzimanje razlomaka jednakih imenilaca. Zbog toga sabiranju i oduzimanju razlomaka jednakih imenilaca treba posvetiti punu pažnju. U dosadašnjoj praksi relativno brzo se prelazilo preko ovih nastavnih sadržaja. To ne bi trebala da bude praksa ubuduće. Neophodno je svaki zadatak, kada je to moguće, ilustrovati i grafičkim prikazom na brojnoj polupravoj. Kada učenici shvate postupak sabiranja i oduzimaja razlomaka jednakih imenilaca, od njih možemo zahtijevati da sami, induktivnim postupkom, dođu do pravila a c b c =a+b. Kod oduzimanja treba postaviti i c dodatne uslove a c b tj. a b, jer u VI razredu ra dimo samo sa nenegativnim razlomcima. c Prije nego se pređe na obradu sabiranja i oduzimanja razlomaka različitih imenilaca, neophodno je ponoviti proširivanje i skraćivanje razlomaka. Tu mogu pomoći kratki matematički diktati i kontrolne vježbe u sklopu uvodnog dijela časa ili kao poseban čas utvrđivanja. Kod jednostavnijih zadataka nije neophodno insistirati da se razlomci svode na najmanji zajednički sadržalac, jer u suštini to nije potrebno. Svrhu takvog postupka treba objasniti na složenijim primjerima. Na ovom uzrastu nije potrebno uvoditi simboliku a c b d =ad bc da ne bi dolazilo do zabuna u slučajevima kada je cd jedan od imenilaca sadržalac drugog. Na ovom stepenu usvajanja novog gradiva, koliko god se to činilo uspješnim, nije potrebno raditi složenije brojne izraze, jer je Udžbenikom za njih predviđeno posebno nastavno gradivo. Takođe ne treba insistirati na svojstvima operacije sabiranja, jer će ona biti kasnije obrađena kao cjelina sa zapisom razlomka u decimalnom obliku. U Udžbeniku je nekoliko stranica posvećeno izučavanju mješovitog broja. Predstavljanje razlomka u obliku mješovitog broja za učenike ne bi trebalo da predstavlja veći problem. Potrebno je voditi računa da kod izučavanja ovog nastavnog sadržaja učenici ne steknu utisak da se radi o novim razlomcima, već im treba uporno skretati pažnju da je u pitanju drugačiji zapis nepravog razlomka. Ovakav zapis nepravog razlomka pomaže da ocijenimo između koja dva prirodna broja se nalazi dati razlomak i radi lakšeg predstavljanja razlomka na brojnoj polupravoj. Iz prakse je poznato da učenici sabiranje i oduzimanje mješovitih brojeva najčešće rješavaju pretvarajući ih u neprave razlomke. Treba im predočiti i drugačiji pristup rješavanju tih zadataka: sabiranje i oduzimanje cijelog dijela sa cijelim i razlomljenog dijela sa razlomljenim. Nije realno 23
očekivati da će svaki učenik shvatiti postupak, pogotovo kada se radi o zadacima oblika 9 _ 3 2 2 5, pa slabijim učenicima treba dati mogućnost izbora. Zbog toga, u Zbirci zadataka u grupi A nema zadataka sa mješovitim brojevima. DECIMALNI RAZLOMCI. DECIMALNI BROJEVI Pojmovi koji se uvode su: decimalan razlomak decimalan broj decimalna zapeta (tačka) cijeli i decimalni dio decimalnog broja cifra desetih, stotih, hiljaditih... približna vrijednost sa nedostatkom približna vrijednost sa viškom brojni izraz rješenje jednačine rješenje nejednačine Iz prakse je poznato da učenici izbjegavaju rad sa decimalnim oblikom razlomka, pa ovim nastavnim sadržajima treba posvetiti više vremena. To je potrebno i zbog toga što se decimalni oblik razlomka u praksi često koristi. U Udžbeniku su lekcije koncipirane tako da se decimalni oblik razlomka prirodno nadovezuje na stečena znanja o razlomcima. Decimalni razlomak za učenike sada ne bi trebalo da predstavlja problem. Učenici treba da shvate da svakom razlomku odgovara decimalan zapis. Istina, neki od tih decimalnih brojeva će imati konačno mnogo decimala, a drugi beskonačno mnogo. U početku treba navoditi primjere razlomaka čiji će decimalni zapis imati konačno mnogo decimala. To su razlomci čiji je imenilac oblika 2 m 5 n, gdje su m i n prirodni brojevi. Od učenika zahtijevati da decimalne zapise razlomaka 3 5, 4, 5, 3 4, 0 k usvoje do automatizma, jer će im to kasnije, kada se budu susreli sa brojnim izrazima, biti od velike koristi. U prvim nastavnim sadržajima ove teme, u Udžbeniku, susrećemo se samo sa decimalnim razlomcima i njihovim (konačnim) decimalnim zapisima. Bitno je da učenici broj nula dekadne jedinice decimalnog razlomka povežu sa brojem decimalnih mjesta u decimalnom zapisu razlomka. Kasnije, kada se učenici upoznaju sa dijeljenjem razlomaka, svoja znanja će dopuniti i činjenicom da postoje razlomci koji se mogu predstaviti u obliku beskonačnog periodičnog decimalnog zapisa. Tada je već moguće zaokružiti cjelinu i istaći da se svaki razlomak može predstaviti u vidu konačnog ili beskonačnog periodičnog decimalnog broja. Još jednom napominjemo: treba forsirati rad sa razlomcima kojima odgovara konačan decimalan zapis, ali to ne znači da se ne treba baviti i razlomcima sa beskonačnim periodičnim zapisom. Preporučujemo da takve zadatke rade učenici koji pokazuju veće interesovanje za matematiku, a samim tim moraju i uvježbati određivanje približne vrijednosti broja. Samo bolji učenici moraju znati zaokruživati decimalne brojeve (grupa C). Učenici treba da usvoje i obrnuti postupak: određivanje razlomka na osnovu datog decimalnog zapisa, što ne bi trebalo da predstavlja veću teškoću ako se prethodni (direktni) postupak dobro usvojio. Na ovom uzrastu ne treba na osnovu datog beskonačnog periodičnog decimalnog broja tražiti razlomak koji mu odgovara. Smatramo da je to suviše teško za ovaj uzrast, a i bespotrebno, jer se izučava kasnije (u I razredu srednje škole). 24
Upoređivanje razlomaka u decimalnom obliku učenicima može biti jednostavnije nego sa razlomcima u obliku a. Potrebno ih je naučiti da upoređuju cifre na odgovarajućim mjestima u b decimalnim brojevima. Sabiranje i oduzimanje decimalnih brojeva uvodimo postepeno, uz pomoć sabiranja i oduzimanja decimalnih razlomaka. Posebnu pažnju bi trebalo obratiti na dekadne jedinice istog reda, jer se u praksi pokazalo da učenici u tome najviše griješe. Uvježbavanje tehnike sabiranja i oduzimanja decimalnih brojeva i shvatanje same suštine najbolje se postiže rješavanjem većeg broja što raznovrsnijih zadataka. Kao i kod prirodnih brojeva, učenici na osnovu primjera i zadataka zaključuju da je sabiranje razlomaka komutativno i asocijativno. Zaključuju da je 0 neutralni elemenat za sabiranje u skupu Q 0+. Veoma je važno da učenici ovladaju primjenom osobina komutacije i asocijacije operacije sabiranja pri konkretnom računanju (uspješniji učenici). U sklopu ovog sadržaja predlažemo da se uradi nekoliko primjera sa decimalnim brojevima kako bi učenici osjetili da razlomak oblika a i njegov decimalni zapis predstavljaju isti broj zapisan na dva različita načina. b Kada smo sigurni da su učenici usvojili operacije sabiranja i oduzimanja razlomaka u oba zapisa, do automatizma, i da su razumjeli svojstva operacije sabiranja, a oslanjajući se na predznanje iz ranijih razreda, možemo preći na rad sa brojnim izrazima. Brojne izraze smo uvodili osnovnim metodičkim principom, od lakših ka težim, povećavajući lagano stepen težine. Primjere u Udžbeniku smo birali tako da učenik shvati važnost zagrada, osobine operacije sabiranja i da kroz zadatke može zaokružiti dosadašnje znanje o razlomcima. U Udžbeniku smo punu pažnju posvetili nastavnim sadržajima o jednačinama i nejednačinama + u skupu Q 0, pokušavajući da za svaki oblik, bilo jednačine ili nejednačine, damo grafičku ilustraciju. Učenici posjeduju određena predznanja o rješavanju jednačina i nejednačina u skupu N. Kada su u pitanju jednačine, oni će lako (po analogiji) odrediti nepoznate komponente zbira ili razlike u skupu Q 0+. To neće biti tako lako kada se određuje nepoznati umanjilac u nejednačinama oblika a x<b, a x>b. Posmatrajući grafičke prikaze (učenici uz pomoć nastavnika) mogu da shvate da se povećanjem umanjioca smanjuje razlika i obrnuto. Zbog toga dolazi do promjene smjera nejednakosti. Treba voditi računa da se ne izađe iz skupa Q 0+. Rješavanjem nejednačine x _ 3 3 5, dobija se x 4. Međutim, za rješenje moramo uzeti 5 3 x 4 5, jer mora biti zadovoljen uslov x _ 3 0. MNOŽENJE I DIJELJENJE RAZLOMAKA. MNOŽENJE I DIJELJENJE DECIMALNIH BROJEVA Pojmovi koji se uvode su: uzajamno recipročni razlomci dvojni razlomak Množenje i dijeljenje razlomaka se obrađuje nakon što se usvoje nastavni sadržaji o sabiranju i oduzimanju razlomaka. Uvažavajući princip potpunosti, prvo se obrađuje množenje razlomka prirodnim brojem, pri čemu se koristi znanje koje učenici posjeduju o sabiranju razlomaka. Iz prakse znamo da učenici brzo usvajaju ovaj nastavni sadržaj. Učenicima treba prepustiti formulisanje pravila o množenju razlomka prirodnim brojem n kada shvate da taj proizvod predstavlja sumu n jednakih sabiraka datog razlomka. Ovo je pravi trenutak da se vratimo na izračunavanje a b od c, ne ograničavajući se na slučaj da li je b djelilac broja c i da objasnimo jednostavniji postupak. Veoma je važno da učenici shvate da a b od c znači isto što i a b. c. 25