x n +m = 0. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve...

Transcript

1 1 Kompleksni brojevi Kompleksni brojevi Već veoma rano se pokazalo da je skup realnih brojeva preuzak čak i za neke od najosnovnijih jednačina. Primjer toga je x n +m = 0. Pokazat ćemo da postoji logično proširenje skupa R tako da gornja jednačina ima rješenje za svakom,n R. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve Definicija i oblici kompleksnog broja Definicija 1.1. Skup kompleksnih brojeva C je skup svih uredenih parova(x, y) realnih brojeva u kome su definisane operacije sabiranja i množenja : (x 1,y 1 )+(x 2,y 2 ) = (x 1 +x 2,y 1 +y 2 ), (1) (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2,x 1 y 2 x 2 y 1 ). (2) Kompleksni broj generalno označavamo sa z. Stavovi 1. Operacija sabiranja u skupuc je komutativna i asocijativna. 2. Operacija množenja u skupu C je komutativna i asocijativna. 3. Operacija množenja je distributivna prema operaciji sabiranja. Definicija 1.2. Suprotan broj kompleksnog broja z, u oznaci z je kompleksan broj koji zadovoljava uslov z +( z) = 0. Za svaki kompleksan broj z = (x, y) postoji samo jedan suprotan kompleksni broj z = ( x iy). Definicija 1.3. Recipročni broj kompleksnog broja z u oznaci 1 z je kompleksan broj koji zadovoljava uslovz 1 z = 1. On je takoder jedinstven. Definicija 1.4. Kompleksan broj(0, 1) naziva se imaginarna jedinica i označava se sa i. 1

2 Imaginarna jedinica ima svojstvo da je i 2 = 1, jer je i 2 = (0,1) (0,1) = ( 1,0) = 1. Svaki kompleksan broj možemo napisati u obliku z = (x,y) = (x,0)+(0,y) = (x,0)+(0,1) (y,0), što predstavlja algebarski ili Gaussov oblik kompleksnog broja z = x+iy. Broj x naziva se realni dio, a broj y imaginarni dio kompleksnog broja i označavaju se sa: x = Re(z) i y = Im(z). Definicija 1.5. Za broj z = x iy kažemo da je konjugovano-kompleksan broju z = x+iy. Sabiranjem, odnosno oduzimanjem z i z dobivamo Re(z) = 1 2 (z +z), Im(z) = 1 (z z). 2i Primjer. Jednačinax 2 +1 = 0 ima dva rješenja u skupuc. Stav U skupuc važe jednakosti 1. z 1 ± = z 1 ±. 2. z 1 = z z = z. 4. z 1 = z1, 0. Svaki kompleksan broj z = (x,y) se može geometrijski predstaviti tačkomm u ravni R R pri čemu je Re(z) apscisa tačke M, a Im(z) ordinata tačke M. Ova ravan se naziva Gaussova ili kompleksna ravan. Definicija 1.6. Modul kompleksnog broja z u oznaci z je nenegativan realan broj z = Re(z) 2 +Im(z) 2. Zaključujemo da modul nije ništa drugo do rastojanje kompleksnog broja u kompleksnoj ravni od broja 0 = (0, 0). Za njega vrijede relacije: z = z, z 2 = z z. 2

3 1.2 Trigonometrijski oblik kompleksnog broja Sa slike i iz znanja trigonometrijskih funkcija, nalazimo gdje je θ = (Ox,Oz). x = z cosθ, y = z sinθ, Ovaj ugao se naziva argument kompleksnog broja i označava sa arg(z). Iz gornjih jednakosti je jasno da je tgθ = y x θ = arctg y x. arctg y x π, ako je x < 0 y < 0, argz = arctg y x, ako je x > 0 (y < 0 y > 0), arctg y x +π, ako je x < 0 y 0, Koristeći se gornjim, dobivamo novi oblik kompleksnog broja z = z (cosθ +isinθ) takozvani trigonometrijski oblik kompleksnog broja. 1.3 Operacije na kompleksnim brojevima Operacije na kompleksnim brojevima Ako su kompleksni brojeviz 1 i dati u trigonometrijskom obliku imamo da je njihov proizvod Generalnije z 1 = z 1 (cosθ 1 +isinθ 1 ), = (cosθ 2 +isinθ 2 ), z 1 = z 1 (cos(θ 1 +θ 2 )+isin(θ 1 +θ 2 )). n z k = ( ) n n n cos θ k +isin θ k. Iz gornje formule direktno slijedi poznata formula za stepen kompleksnog broja, tzv. Moivre-ova formula: z n = [ z (cosθ+isinθ)] n = z n (cosnθ +isinnθ),n Z. Primjenom formule za množenje na brojeve z 1 i 1, dobivamo formulu za dijeljenje dva kompleksna broja Nejednakost trougla. z 1 = z 1 [cos(θ 1 θ 2 )+isin(θ 1 θ 2 )]. 3

4 Korjenovanje kompleksnog broja U skupu komplesnih brojeva definiše sen-ti korijen brojaz C u oznaci n z, kao broj w C sa svojstvom da n z = w w n = z. Ako predemo na trigonometrijske oblike z = r(cosθ +isinθ) iw = ρ(cosϕ+isinϕ), te iskoristimo Moivreovu formulu za stepen, dobijemo ρ n (cosnϕ+isinϕ) = r(cosθ +isinθ), odakle je na osnovu jednakosti kompleksih brojeva, ρ = n r, ϕ = θ+2kπ, (k = 0,±1,±2,...). n Prema tome, ako je z = r(cos θ + i sin θ), tada je n ( z = n r cos θ +2kπ +isin θ+2kπ ), k = 0,±1,±2,... n n Moglo bi se pomisliti da je ovih korjena beskonačno mnogo no to nije slučaj. Formula daje tačno n vrijednosti n-tog korjena broja z. Primjer. Odrediti sve vrijednosti 3 1. Logaritam kompleksnog broja Neka jez = r(cosθ+isinθ) proizvoljan komplesan broj. Eulerov oblik kompleksnog broja je dat sa z = r(cosθ +isinθ) = re iθ. Na osnovu jednakosti dva kompleksna broja, dobijamo da je z = re i(θ+2kπ), k Z. Definicija 1.7. Prirodni logaritam kompleksnog broja z u oznaci Lnz, definiše se kao i u skupur, tj. w = Lnz z = e w, (w C). Iz gornjih relacija, dobivamo Lnz = lnr+i(θ +2kπ), k Z. Dakle,Ln je višeznačna funkcija, a izrazom Lnz = lnr+iπ, π < θ < π 4

5 je definisana tzv. principalna ili glavna vrijednost prirodnog logaritma kompleksnog broja. Ralika izmedu trigonometrijskih funkcija i hiperboličnih funkcija pretežno nestaje ako dozvolimo da se koristimo kompleksnim brojevima, umjesto samo realnih. Koristeći se Eulerovim oblikom kompleksnog broja, cosh(ix) = cosx, cos(ix) = coshx sinh(ix) = isinx, sin(ix) = isinhx 5