Princípy platné v elektrických obvodoch.

Kapitola 5 Princípy platné v elektrických obvodoch. 5.1 Pricíp superpozície. Princíp superpozície je užitočný pri hľadaní riešenia v lineárnych obvodoch, ktoré obsahujú dva a viac zdrojov. Môžeme ho vyjadriť nasledujúcou vetou: Napätie, resp. prúd sa dá v lineárnej sieti vypočítať ako algebraická suma príspevkov od jednotlivých zdrojov pôsobiacich samostatne. V lineárnej sieti môžeme teda riešenie hľadať tak, že vždy necháme pracovať len jeden zdroj, ostatné vynulujeme a vypočítame príspevok k hľadaným veličinám od daného zdroja. Skutočné napätia a prúdy v obvode sa dajú potom získať ako súčty takýchto príspevkov od všetkých zdrojov. Obr. 5.1: Lineárny elektrický obvod s dvoma zdrojmi. Uvažujme v ďalšom sieť s jedným napäťovým a jedným prúdovým zdrojom(obr. 5.1). Obidve veličiny napätie u x aprúd i y sadajúnapísaťakosúčetdvochpríspevkovvyvolanýchjednotlivýmizdrojmi u x = u x+ u x i y = i y+ i y. (5.1) u x a i ysúvyvolanéúčinkamizdroja u.nájdemeichtak,ževobvodepoložíme i=0(obr.5.2a). u x a i y sú vyvolané účinkami zdroja i, pri ich hľadaní v obvode vynulujeme zdroj u(obr. 5.2b). Vynulovaním zdroja myslíme nastavenie jeho parametra na nulovú hodnotu. V prípade ideálneho zdroja napätia u vynulujeme jeho napätie, u = 0. Dostaneme teda dvojpól, na ktorom je nulové napätie bez ohľadu

62 KAPITOLA 5. PRINCÍPY PLATNÉ V ELEKTRICKÝCH OBVODOCH. Obr. 5.2: Obvod s vynulovanými zdrojmi. Obr. 5.3: Vynulovanie zdroja napätia. na to, aký prúd ním preteká. Takýto dvojpól je ale svojim správaním ekvivalentný skratu(obr. 5.3). Zdroj napätia teda nahradíme dvojpólom s nulovým odporom. V prípade ideálneho zdroja prúdu i vynulujeme jeho prúd, teda i = 0. Dostaneme teda dvojpól, ktorým tečienulovýprúdbezohľadunato,akéjenaňomnapätie.zdrojprúduvynulujemetak,žehozobvodu vypustíme a úsek, v ktorom sa nachádzal, necháme otvorený. Zdroj prúdu teda nahradíme dvojpólom s nekonečným odporom- nulovou vodivosťou(obr. 5.4). Obr. 5.4: Vynulovanie zdroja prúdu. Pri nulovaní sme nahradili napäťový zdroj skratom(úsekom s nulovým odporom) a prúdový zdroj rozpojeným úsekom(úsekom s nekonečným odporom). V oboch prípadoch teda môžeme tiež povedať, že zdroj sme nahradili jeho vnútorným odporom. Ilustrujme využitie princípu superpozície na riešení konkrétnych úloh. Príklad15Vobvodenaobr.5.5súdanéparametreprvkov U 1 =10V, R 1 =10Ω, R 2 =5Ω, U 3 =20V, R 3 =10Ω.Použitímprincípusuperpozícievypočítajteprúdy I 1, I 2 a I 3. Riešenie. Vprvomkrokunechámevobvodepôsobiťlenzdroj U 1 (obvod1naobr.5.5a),zdroj U 3 smevynulovali. PomocouOhmovhozákonavypočítamecelkovýprúd I 1dodávanýdoobvoduzdrojom I 1= U 1 R 1 + R 2.R 3 R 2 + R 3 =0,75A. Prúd I 2 vypočítamepomocouvzťahupreodporovýdeličprúdu I 2= I 1 R 3 R 2 + R 3 =0,5A,

5.1. PRICÍP SUPERPOZÍCIE. 63 Obr. 5.5: Obr. 5.5a. zvyšnýprúd I 3 získamezrovnice1.kirchoffovhozákona I 3= I 1+ I 2= 0,25A. Vdruhomkrokunechámevobvodepôsobiťlenzdroj U 3.Podobne,akovpredošlomkroku,najprv vypočítamecelkovýprúd I 3 dodávanýzdrojom U 3 I 3= U 3 R 3 + R 1.R 2 R 1 + R 2 =1,5A. Prúd I 2 vypočítame pomocou vzťahu pre odporový delič prúdu I 2 = I 3 R 1 =1A, R 1 + R 2 zvyšnýprúd I 1 získame z rovnice 1. Kirchoffovho zákona I 1 = I 2 I 3 = 0,5A. Hľadané prúdy získame spočítaním príspevkov od jednotlivých zdrojov I 1 = I 1 + I 1 =0,25A I 2 = I 2+ I 2 =1,5A I 3 = I 3 + I 3 =1,25A Príklad16Vobvodenaobr.5.6súdanéparametreprvkov U 1 =10V, R 2 =10Ω, R 3 =40Ω, R 4 =40Ω, R 5 =10Ω, I 6 =1A.Pomocouprincípusuperpozícievypočítajteprúdy I 1, I 2, I 3, I 4, I 5 anapätie U 6. Riešenie. Vprvomkrokuvypočítamepríspevkykjednotlivýmprúdomanapätiu U 6 odzdrojanapätia U 1.Prúd zdroja I 6 vynulujeme,tedanamiestozdroja I 6 nechámerozpojenéuzly(obr.5.6a).taktonámvznikne jednoduchý sériovo paralelný obvod napájaný jedným zdrojom. Pre prúdy platí I 2= I 4= U 1 R 2 + R 4 =0,2A,

64 KAPITOLA 5. PRINCÍPY PLATNÉ V ELEKTRICKÝCH OBVODOCH. Obr. 5.6: K zadaniu príkladu. I 3= I 5= U 1 R 3 + R 5 =0,2A, I 1 = I 2 + I 3 =0,4A. Obr. 5.6a. Napíšeme rovnicu 2. Kirchhoffovho zákona pre slučku S U 6 + R 5.I 5 R 4.I 4 =0, odtiaľ U 6 =6V. Obr. 5.6b. Vdruhomkrokuvypočítamepríspevkyodzdrojaprúdu I 6.Napätiazdroja U 1 vynulujeme,jetoekvivalentné jeho nahradením skratom(obr. 5.6b). Aby bola sieť prehľadnejšia, prekreslíme ju(obr. 5.6c).

5.1. PRICÍP SUPERPOZÍCIE. 65 Pripomeňme, že aj keď sme zmenili priestorové usporiadanie jednotlivých prvkov, graf siete sa nezmenil, pretože graf je určený uzlami a systémom úsekov, ktoré ich prepájajú. Graf abstrahuje od priestorového usporiadania jeho prvkov. Obr. 5.6c. Pomocouvzťahupredeličprúduvypočítameprúdy I 3 a I 4 I 3= R 5 I 6 =0,2A, R 3 + R 5 I 4 = I R 2 6 =0,2A. R 2 + R 4 Zrovníc1.Kirchhoffovhozákonavypočítameprúdy I 2 a I 5 I 2= I 4 I 6= 0,8A; I 5=I 3 I 6= 0,8A apodobneajprúd I 1 I 1 = I 2 + I 3 = 0,6A. Napätie U 6 vypočítamepomocou2.kirchhoffovhozákonapreslučku S odtiaľ U 6=16V. U 6+ R 5.I 5 R 4.I 4=0, Výsledné riešenie získame ako súčet jednotlivých príspevkov. I 1 = I 1 + I 1 = 0,2A I 2 = I 2+ I 2 = 0,6A I 3 = I 3 + I 3 = 0,4A I 4 = I 4 + I 4 = 0,4A I 5 = I 5+ I 5 = 0,6A U 6 = U 6 + U 6 = 22V Príklad17Vobvodenaobr.5.7jedané U 0 =10V, R=10Ω, L=100mH.Časovýpriebehnapätiazdroja prúdu je daný funkciou i(t)= 2.cos(ω.t) [A], ω=100s 1. Nájditečasovýpriebehprúduinduktorom i L (t).

66 KAPITOLA 5. PRINCÍPY PLATNÉ V ELEKTRICKÝCH OBVODOCH. Obr. 5.7: K zadaniu príkladu 17. Riešenie. Všetky napätia a prúdy v obvode môžu mať vo všeobecnosti stacionárnu zložku ako dôsledok účinku stacionárnehozdrojanapätia U 0 astriedavúharmonickúzložkuakodôsledokúčinkuzdroja i 1 (t).niesúto teda ani stacionárne, ani harmonické funkcie. Pri riešení použijeme princíp superpozície budeme hľadať účinky každého zdroja samostatne. Vyjadrímehľadanýprúd i L (t)akosúčetdvochzložiek i L (t)=i L0 + i L1 (t), kde I L0 jestacionárnazložkaprúduvyvolanáúčinkomzdrojastacionárnehonapätia U 0, i L1 (t)jestriedavá harmonickázložkavyvolanáúčinkomzdrojaharmonickéhoprúdu i 1 (t). Vprvomkrokuhľadáme I L0.Vobvodenechámepôsobiťlenzdroj U 0 azdrojprúduvynulujeme,teda i 1 (t)=0(obr.5.7a).vypustenímzdroja i 1 (t)hľadámeprúdvobvodevstacionárnomustálenomstave.prúd I L0 vypočítamezohmovhozákona Obr. 5.7a. I L0 = U 0 R =1A. Prihľadanístriedavejzložky i L1 (t)vynulujemezdroj U 0.Obvodpotakejtoúpravejenaobr.5.7b. Obr. 5.7b. Výsledkom takejto úpravy je lineárna sieť, v ktorej pôsobí len zdroj harmonického prúdu. Znamená to, že všetky napätia a prúdy majú harmonický časový priebeh a pri riešení si môžeme pomôcť ich komplexným zobrazením(obr. 5.7c). Naparalelnejkombináciirezistora Rainduktora Lsimpedanciami R,resp. jωlbudenapätiesfázorom U 1 Prefázorprúdu I L1 potomplatí U 1 = I 1 R.jωL R+jωL. I L1 = U 1 jωl = U R 1 R+jωL = e j π 4.

5.2. NÁHRADNÝ AKTÍVNY DVOJPÓL. 67 Obr. 5.7c. Časovýpriebehharmonickejzložkyprúdu i L1 (t)jerovnýreálnejzložkerotujúcehofázora I L1 (t) ( i 1 (t)=r(i L1 (t))=1.cos ωt π ). 4 Hľadaný prúd získame ako súčet jednotlivých zložiek(obr. d) ( i L (t)=1+cos ωt π ). 4 Obr. 5.7d. Záver. Pomocou princípu superpozície sa môžeme rozmeniť problém riešenia obvodu s N zdrojmi na N úloh riešenia siete obsahujúcej vždy len jeden zdroj. Úlohy takéhoto typu riešime zväčša postupným zjednodušovaním pasívnej časti siete a následným použitím vzťahov pre delič napätia, resp. prúdu. Vyhneme sa takým matematickým postupom, ako je riešenie veľkých sústav algebraických rovníc, na ktoré môžu v niektorých obvodoch viesť všeobecné metódy(slučkových prúdov, uzlových napätí). V takom prípade ale aplikácia princípu superpozície môže viesť na riešenie až toľkých samostatných úloh, koľko je zdrojov v sieti. Trebavždypretozvážiťvhodnosťpoužitiatejtometódy. 1 5.2 Náhradný aktívny dvojpól. Uvažujme prípad zložitejšej lineárnej siete, ktorá obsahuje väčšie množstvo rôznych pasívnych prvkov a zdrojov. V predošlej kapitole sme uviedli dve všeobecné metódy hľadania napätí a prúdov v takejto sieti (metóda uzlových napätí, slučkových prúdov). Vlastnosťou týchto postupov je, že po výpočte uzlových napätí, resp. slučkových prúdov v obvode už ľahko získame ľubovoľné napätie, alebo prúd. Stupeň sústavy rovníc, ktorú musíme vyriešiť, závisí od zložitosti siete a môže byť v niektorých prípadoch veľký. Predpokladajme, že z nejakého dôvodu nepotrebujeme poznať pomery v celom obvode, ale pozornosť je sústredená na jeden dvojpól(obr. 5.8). Vyšetrovaný úsek s dvojpólom X je pripojený k lineárnemu elektrickémuobvodumedziuzlyaab.zaujímaťnásbudenapätie u x aprúd i x. 1 Vobvodochsastacionárnyminapätiamiaprúdmisaprincípsuperpozíciepoužívazriedkavo.Jevyužívanýhlavnevprípadoch, keď v lineárnom obvode naraz pracujú napríklad jednosmerné zdroje a zdroje harmonických napätí, resp. zdroje harmonických napätí s rôznymi frekvenciami.

68 KAPITOLA 5. PRINCÍPY PLATNÉ V ELEKTRICKÝCH OBVODOCH. Obr. 5.8: Vyšetrovaný úsek v elektrickej sieti. Predstavme si, že by sme vyšetrovaný úsek z obvodu vyňali a premiestnili ho do náhradného obvodu, ktorýjespôvodnýmobvodomekvivalentnývzhľadomnauzlyaab.vtakomprípadebudevovyšetrovanom úsekutoisténapätie u x aprúd i x,akovpôvodnejsieti.akbudemaťnáhradnýobvodjednoduchúštruktúru, aj pomery vo vyšetrovanom úseku sa budú hľadať jednoduchšie. Otázkou je, ako nájsť takýto náhradný dvojpól teda akú musí mať vnútornú štruktúru a ako vypočítať parametre prvkov, z ktorých sa skladá. Každá lineárna stacionárna sieť sa dá vzhľadom na dvojicu jej ľubovoľných uzlov nahradiť ekvivalentným technickým napäťovým alebo prúdovým zdrojom. O týchto náhradách hovoria vety o náhradnom aktívnom dvojpóle Théveninova a Nortonova veta. Pre jednoduchosť budeme ilustrovať vetu o náhradnom aktívnom dvojpóle na rezistívnych sieťach so stacionárnymi zdrojmi. 5.2.1 Théveninova veta. Zjednodušene môžeme povedať, že Théveninova veta hovorí o náhrade siete technickým zdrojom napätia. Lineárna sieť môže byť vzhľadom na dvojicu uzlov nahradená ekvivalentným dvojpólom zloženým z ideálneho zdroja napätia a sériového rezistora. Obr. 5.9: Náhrada podľa Théveninovej vety. Takátonáhradajeznázornenánaobr.5.9.Úlohoujenájsťparametrenáhradnéhodvojpólu u 0 a R 0 tak,abybolvzhľadomnauzlyaabekvivalentnýpôvodnejsieti.pôvodnásieťanáhradnýdvojpólmusia mať teda vzhľadom na tieto dva uzly rovnaké voltampérové charakteristiky. Na to, aby sme vedeli určiť parametre prvkov technického napäťového zdroja, stačí poznať dva body jeho charakteristiky nech sú to napríklad body zodpovedajúce stavu naprázdno a stavu nakrátko. Pri hľadaní náhradného aktívneho dvojpólu postupujeme nasledovne: 1. Z pôvodnej siete vyjmeme vyšetrovaný úsek. 2.Vypočítamenapätienaprázdno U ab0 medziuzlamiaab(obr.5.10a).prenapätiezdroja U 0 náhradného dvojpólu potom platí U 0 = U ab0

5.2. NÁHRADNÝ AKTÍVNY DVOJPÓL. 69 Obr. 5.10: Určenie parametrov náhradného dvojpólu. 3. Vpôvodnejsietivzájomnevyskratujemeuzlyaab(obr.5.10b)avypočítameprúdnakrátko I abk.pre vnútornýodpor R 0 náhradnéhodvojpóluplatí R 0 = U ab0 I abk. 5.2.2 Nortonova veta. Nortonova veta hovorí o možnosti náhrady lineárnej siete technickým zdrojom prúdu. Lineárna sieť môže byť vzhľadom na dvojicu uzlov nahradená ekvivalentným dvojpólom zloženým z ideálneho zdroja prúdu a paralelného rezistora. Obr. 5.11: Náhrada podľa Nortonovej vety. Náhradajeznázornenánaobr.5.11.Úlohoujenájsťparametrenáhradnéhodvojpólu I 0 a R 0 tak,aby bol vzhľadom na uzly a a b ekvivalentný pôvodnej sieti. Vyšterime znova voltampérovú charakteristiku pôvodnej siete vzhľadom na túto dvojicu uzlov v dvoch bodoch. 1. Z pôvodnej siete vyjmeme vyšetrovaný úsek. 2. Vzájomnevyskratujemeuzlyaab(obr.5.10b)avypočítameprúdnakrátko I abk.preprúdzdroja I 0 náhradného dvojpólu potom platí I 0 = I abk. 3. Vypočítamenapätienaprázdno U ab0 medziuzlamiaab(obr.5.10a).prevnútornýodpor R 0 náhradného dvojpólu platí R 0 = U ab0 I abk. Ilustrujme výpočet parametrov a použitie náhradného dvojpólu podľa Théveninovej aj Nortonovej vety na príklade.

70 KAPITOLA 5. PRINCÍPY PLATNÉ V ELEKTRICKÝCH OBVODOCH. Obr. 5.12: K zadaniu príkladu 18. Príklad 18 V stacionárnej sieti na obr 5.12 vypočítajte pomocou metódy náhradného aktívneho dvojpólu prúd I 2. U 1 =10V, U 3 =20V, R 1 =10Ω, R 2 =5Ω, R 3 =20Ω. Riešenie. Obr. 5.12a. Zo siete vyjmeme vyšetrovaný úsek a vyšetríme stav naprázdno a nakrátko(obr. 5.12a). V obvode s rozpojenýmiuzlamiaabnapíšemerovnicu2.kirchhoffovhozákonapreslučku S 1 odtiaľ Zrovnicepreslučku S 1 získamenapätie U ab0 I.(R 1 + R 3 ) U 1 + U 3 =0, I= U 1 U 3 R 1 + R 3 = 0,5A. U ab0 = U 1 I.R 1 =15V. Vobvodevstavenakrátkonajprvvypočítameprúdy I 1a I 3 I 1= U 1 R 1 ; I 3= U 3 R 3. Prúd I abk získamezrovnice1.kirchhoffovhozákonapreuzola Náhradné obvody sú na obr. 5.12b. I abk = I 1+ I 3=3A. U 0 = U abo ; I 0 = I abk ; R 0 = U abo I abk =5Ω Prúd I 2 môžemevypočítaťvľubovoľnomznich.vprípadenáhradypodľathéveninovejvetypoužijeme vzťah pre delič napätia U 0 I 2 = =1,5A. R 0 + R 2 V náhradnom obvode podľa Nortonovej vety je výhodné použiť vzťah pre delič prúdu I 2 = I 0 R 0 R 0 + R 2 =1,5A.

5.2. NÁHRADNÝ AKTÍVNY DVOJPÓL. 71 Obr. 5.12b. 5.2.3 Výpočet vnútorného odporu pomocou vynulovania zdrojov. Pri hľadaní parametrov náhradného dvojpólu sme museli pri použití Théveninovej aj Nortonovej vety vždy hľadaťvpôvodnejsietinapätienaprázdno u ab0,ajprúdnakrátko i abk.zichpomerusmevobidvochprípadoch získalivnútornýodpor R 0. Obr. 5.13: Výpočet vnútorného odporu siete. Pokiaľnahradzovanásieťneobsahujeriadenézdroje,vnútornýodpor R 0 všakmôžemezískaťajinýmspôsobom. V pôvodnej sieti po vyňatí vyšetrovaného úseku vynulujeme všetky zdroje. Ostane nám pasívna sieť, vktorejvypočítameodpor R ab medziuzlamiaab(obr.5.13).prevnútornýodpor R 0 potomplatí R 0 = R ab. Naurčenienáhradnéhodvojólupotomstačíužvypočítaťibanapätienaprázdno U ab0 vprípadepoužitia Théveninovejvety,resp.prúdunakrátko I abk vprípadenortonovejvety. Príklad19Vstacionárnomobvodenaobr.5.14súdanéhodnotyprvkov I 1 =1A, U 2 =5V, R 2 =10Ω, R 3 =10Ω, I 4 =0,5A, R 4 =5Ω, U 5 =5V, R 6 =10Ω.Vypočítajtenapätie U x dvojpóluxprejednodlivé prípady(1),(2),(3). Pri výpočte použite Théveninovu aj Nortonovu vetu. Riešenie. Obr. 5.14: K zadaniu príkladu 19. Na obr. 5.14a je sieť po vyňatí úseku s vyšetrovaným dvojpólom X. Najprv budeme hľadať pre takúto sieť ekvivalentný náhradný dvojpól podľa Théveninovej vety.

72 KAPITOLA 5. PRINCÍPY PLATNÉ V ELEKTRICKÝCH OBVODOCH. Obr. 5.14a. Zhľadiskapočtuúsekovapočtuuzlovsaprehľadanienapätianaprázdno U ab0 javíakonajvýhodnejšia metóda uzlových napätí. Po voľbe referenčného uzla a zavedení uzlových napätí vidíme, že jedno z uzlových napätí je známe U 10 = U 5 ahľadanénapätienaprázdno U ab0 jepriamorovnéjednémuzuzlovýchnapätí U ab0 = U 30. Preneznámeuzlovénapätia U 20 a U 30 zostavímesústavurovníc ( 1 R 2 + 1 R 3 + 1 R 4 1 ) ( ) ( ) R U20 I1 4 U2 1 1 R 4 R 4 + 1 = R 2 I 4. R 6 U 30 I 4 Dôležitéjeprenásuzlovénapätie U 30.Riešenímzískame U 30 =5V. Obr. 5.14b. Sieťpovynulovanízdrojovjenaobr.5.14b.Musímevypočítaťcelkovýodpor R ab medziuzlamiaab. Rezistorysúzapojenésériovo paralelne,precelkovýodpor R ab platí odtiaľ R ab =5Ω. 1 R ab = 1 R 6 + 1 1, R 4 + 1 R + 1 2 R 3 Na obr. 5.14c sú jednotlivé prípady dvojpólu X pripojeného na náhradný dvojpól. Vidíme, že v takomto obvode už nie je problém rýchlo nájsť riešenie. Vprípade(1)vypočítameprúd I x anapätie U x pomocouohmovhozákona I x = U 0 R 0 + R 7 =0,25A; U x = R 7.I x =3,75V. Pre slučku tvorenú obvodovými prvkami v prípade(2) napíšeme rovnicu 2. Kirchhoffovho zákona U 0 + R 0.I x + R 7.I x + U 7 =0,

5.2. NÁHRADNÝ AKTÍVNY DVOJPÓL. 73 Obr. 5.14c. odtiaľ I x = U 0 U 7 R 0 + R 7 = 1A; U x = R 7.I x + U 7 =10V. Vprípade(3)jeprúd I x priamodanýprúdomzdrojaprúdu I 7 I x = I 7 = 1A, napätie U x získamepomocourovnice2.kirchhoffovhozákona U x = U 0 R 0.I x =10V. NájdimeďalejnáhradnýaktívnydvojpólpodľaNortonovejvety.Musímevypočítaťprúdnakrátko I abk medzi uzlami a a b(obr. 5.14d). Na jeho výpočet znova použijeme metódu uzlových napätí. Obr. 5.14d. Uzlovénapätie U 10 poznáme,napätie U 20 výpočítamezrovnice ( 1 + 1 + 1 ) U 20 = I 1 U ( 2 1 + I 4 + + 1 ) U 5. R 2 R 3 R 4 R 2 R 2 R 3 Riešenímzískame U 20 =2,5V. Napíšme rovnicu 1. Kirchhoffovho zákona pre uzol a a: I 4 I R4 + I R6 + I abk =0. Rezistor R 6 jepremostenýskratom.niejenaňomžiadnenapätie,teda I R6 =0.Prúd I R4 vypočítame pomocou Ohmovho zákona preprúd I abk tedaplatí I R4 = U 20 R 4, I abk = I 4 + I R4 =1A.

74 KAPITOLA 5. PRINCÍPY PLATNÉ V ELEKTRICKÝCH OBVODOCH. Obr. 5.14e. Odpor R 0 užpoznáme, R 0 =5Ω. NáhradnýobvodpodľaNortonovejvetyjeprejednotlivéprípadynaobr.5.14e.Vypočítamenapätie U x aprúd I x prejednotlivéprípady.vprípade(1)použijemenavýpočetprúdu I x vzťahpreodporovýdelič prúdu R 0 I x = I 0 =0,25A, R 0 + R 7 napätie U x vypočítamepomocouohmovhozákona U x = R 7.I x =3,75V. Prihľadanínapätia U x vprípade(2)môžemepoužiťmetóduuzlovýchnapätí.budemepovažovaťneznáme napätie U x zauzlovénapätie,prektoréviemenapísaťrovnicu ( 1 U x + 1 ) = I 0 + U 7. R 0 R 7 R 7 Jejriešenímzískame U x =10V. Vprípade(3)vypočítamepomocou1.Kirchhoffovhozákonaprúd I R0 rezistorom R 0 I R0 = I 0 + I 7 =2A, pomocouohmovhozákonazískamenapätie U x U x = R 0.I R0 =10V. Poznámka 1: Na tomto príklade vidíme, že po náhrade pomerne zložitej siete ekvivalentným náhradným dvojpólom sa následné hľadanie neznámych veličín vo vyšetrovanom úseku zjednoduší. Treba ešte poznamenať, že existujú aj ďaľšie spôsoby hľadania parametrov náhradného dvojpólu. Stačí sa vrátiť do príkladu v kapitole pojednávajúcej o zdrojoch. Sieť sa dá vzhľadom na dvojicu uzlov zmeniť na ekvivalentný technický napäťový(prúdový) zdroj napríklad aj pomocou ich vzájomných konverzií. Poznámka 2: Vety o náhradnom aktívnom dvojpóle sa dajú podobne sformulovať aj pre lineárny obvod v harmonickom ustálenom stave popísaný pomocou komplexného zobrazenia harmonických veličín. 5.3 Vety o vkladaní zdrojov. Pomocou vety o vkladaní zdrojov je možné zmeniť štruktúru siete(napríklad premiestniť zdroj do iného úseku siete). Zmenená sieť môže byť jednoduchšia v porovnaní s pôvodnou môže obsahovať menší počet uzlov, resp. slučiek.

5.3. VETY O VKLADANÍ ZDROJOV. 75 5.3.1 Vkladanie ideálnych zdrojov napätia. Prúdy v jednotlivých úsekoch obvodu sa nezmenia, ak v ľubovoľnom uzle do každého úseku s ním incidujúcim zaradíme napäťový zdroj rovnakej veľkosti a orientácie. Situácia je znázornená na obr. 5.15. Aj po takomto vložení zdrojov v zmenenom obvode ostanú zachované S Obr. 5.15: Vkladanie ideálnych zdrojov napätia. všetky rovnice 2. Kirchhoffovho zákona. Ak slučka, pre ktorú píšeme takúto rovnicu pôjde cez dotknutý uzol, v rovnici pribudne napätie u dvakrát raz s kladným a raz so záporným znamienkom S: +u u=0. Rovnica sa teda nezmení. V takomto obvode ostanú zachované všetky tetivové prúdy a teda aj všetky vetvové prúdy. Možno teda povedať, že zmenený obvod je s pôvodným ekvivalentný v zmysle prúdov. Obr. 5.16: Sieť po vložení napäťových zdrojov. Vkladaním ideálnych zdrojov napätia sa v obvode dá znížiť počet uzlov. Taktiež je možné premiestniť ideálny napäťový zdroj do iného úseku. Ilustrujme to na sieti na obr. 5.16. Do všetkých úsekov vychádzajúcich zuzla2vložímezdrojsnapätím U 3 tak,abyúsekukompenzovalpôvodnýzdroj U 3.Dôsledkomje,žemedzi uzlami2a4jeúseksnulovýmnapätím,tedaskrat.taktosmedvauzlystotožnilidojedného. 5.3.2 Vkladanie ideálnych zdrojov prúdu. Napätia medzi jednotlivými uzlami obvodu sa nezmenia, ak ku každému úseku(medzi dvojicou uzlov) vo vybranej slučke pripojíme paralelne rovnako veľké a rovnako orientované zdroje prúdu.

76 KAPITOLA 5. PRINCÍPY PLATNÉ V ELEKTRICKÝCH OBVODOCH. Obr. 5.17: Vkladanie ideálnych zdrojov prúdu. Situácia je znázornená na obr. 5.17. Aj po vložení zdrojov prúdu ostanú v zmenenom obvode zachované všetky rovnice 1. Kirchhoffovho zákona. Ak je uzol, pre ktorý píšeme takúto rovnicu dotknutý vloženými zdrojmi, v rovnici pribudne prúd i dvakrát raz s kladným a raz so záporným znamienkom N: +i i=0. Znamená to, že v takomto obvode ostanú zachované všetky vetvové napätia a teda aj napätia na všetkých tetivách. Možno teda povedať, že zmenený obvod je s pôvodným ekvivalentný v zmysle napätí. Vkladaním ideálnych zdrojov prúdu sa dá v obvode zmenšiť počet úsekov a teda počet slučiek. Taktiež je možné v obvode premiestniť ideálny prúdový zdroj. Príklad je ilustrovaný na obr. 5.18. Do obvodu sme Obr. 5.18: Sieť po vložení prúdových zdrojov. vložiliideálnezdrojeprúdudoslučkytvorenejuzlami1 2 4tak,abysavykompenzovalzdroj I 1 zapojený medziuzlami1a2(obr.5.18a).upravenásieť(obr.5.18b)sadáďalejzjednodušiť(obr.5.18c) ajpo úprave v nej ostanú zachované napätia medzi jednotlivými uzlami. Obr. 5.19: K príkladu 20.

5.4. PRINCÍP KOMPENZÁCIE. 77 Príklad20Vobvodenaobrázkujedané R 1 =10Ω, R 2 =20Ω, U 3 =10V, R 4 =10Ω, I 5 =1A, U 6 =10V. Zjednoduštesieťtak,abyvzhľadomnarezistor R 2 tvorilajednuslučkuavypočítajteprúd I 2. Riešenie.Paralelnekúsekomslučkytvorenejuzlami2 3 4vložímeideálnezdrojeprúdutakabysme vykompenzovalizdroj I 5 (obr.a).prítomnosťideálnehozdrojaprúduzapojenéhoparalelnekzdrojunapätia U 3 nezmenínapätiemedziuzlami2a4,tedahozozapojeniamôžemevynechať(obr.b).zdrojenapätia medziuzlami1 3a2 3(obr.c)sanavzájomvykompenzujú.Zdrojnapätiasosériovýmrezistorommedzi uzlami 1 2 nahradíme zdrojom prúdu s paralelným rezistorom(obr. d). Po zlúčení paralelných rezistorov (obr. e) a konverzii prúdového zdroja na napäťový dostaneme obvod požadovaného tvaru(obr. f). Vzjednodušenejsietivypočítameprúd I 2 užľahko I 2 = U 0 R 0 + R 2 =0,2A 5.4 Princíp kompenzácie. Princíp kompenzácie sa nazýva tiež princíp substitúcie. Dá sa sfromulovať nasledovne: Pomery v obvode sa nezmenia, ak ktorýkoľvek dvojpól nahradíme ideálnym zdrojom napätia alebo ideálnym zdrojom prúdu s napätím, resp. prúdom rovným príslušnej veličine pasívneho prvku. Situácia je ilustrovaná na obr. 5.20.

78 KAPITOLA 5. PRINCÍPY PLATNÉ V ELEKTRICKÝCH OBVODOCH. Obr. 5.20: Princíp kompenzácie. Platnosť tohoto princípu je založená na fakte, že rovnice Kirchhoffových zákonov ostávajú po náhrade dvojpólu zdrojom zachované. Pri náhrade prvku obvodu ideálnym zdrojom treba dodržiavať určité zásady: Nahradzovaným prvkom nesmieme byť prvok, ktorý je vstupom pre riadiacu veličinu iného riadeného zdroja. Trebasauistiť,žeajponáhradeprvkuideálnymzdrojomsavsietidánájsťpravýstrom. Princíp kompenzácie môže byť užitočný napríklad na separáciu siete na dve nezávislé časti. Uvažujme prípad, že elektrická sieť má dve časti, ktoré navzájom súvisia iba prostredníctvom jedného dvojpólu(obr. 5.21a). Takýto dvojpól nahradíme napäťovým zdrojom u(obr. 5.21b). Ten nahradíme dvoma a sústavu rozdelíme(obr. 5.21c). Pomery v obidvoch sieťach ostanú zachované. Takéto rozdelenie formálne umožní analyzovať každú sieť samostatne. Obr. 5.21: Separácia častí siete pomocou princípu kompenzácie. 5.5 Princíp reciprocity. Princíp reciprocity je obmedzený na lineárne siete, v ktorých pôsobí len jeden zdroj. Dá sa sformulovať nasledovne: Akideálnyzdrojnapätia uzapojenývk tomúsekuobvoduvytvorívl tomúseku prúd i,potomtenistýzdrojzapojenývl tomúsekuvyvolávk tomúsekutenistý prúd i. Situácia je znázornená na obr 5.22.

5.5. PRINCÍP RECIPROCITY. 79 Obr. 5.22: K princípu reciprocity. Obr. 5.23: K dôkazu princípu reciprocity. Takúto vlastnosť majú všetky obvody zložené z lineárnych pasívnych prvkov a pri nulových počiatočných podmienkach. Princíp reciprocity sa dá dokázať pomocou metódy slučkových prúdov. Predpokladajme, že slučkové prúdysúzavedenéokamisieteazdroj ujesúčasťouk-tejslučky(obr.5.23a).vyšetrujemeprúd i l,ktorýje totožnýsoslučkovýmprúdom l tejslučky.preslučkovéprúdy i s1, i s2,..., i sn napíšemesústavurovníc R 11 R 12... R 1n 0... 0 R k1 R k2... R kn U... 0 R n1 R n2... R NN 0 (5.2) Determinant sústavy je D= R 11... R 1N... (5.3) R N1... R NN Determinant sústavy D sa nezmení, nech je zdroj u v sieti umiestnený kdekoľvek. Pomocouslučkovéhoprúdu i sl vypočítameprúd i l i l = i sl = D l D, (5.4) kde D l = R 11... 0... R 1n... 0... R k1... u... R kn......... R n1... 0... R nn (l) =( 1) (k+l).m kl.u, (5.5) kde M kl jesubdeterminantpovyňatí k tehoriadkual tehostĺpcamaticesústavy.

80 KAPITOLA 5. PRINCÍPY PLATNÉ V ELEKTRICKÝCH OBVODOCH. Umiestnime zdroj u do l tej slučky(obr. 5.23b) a vypočítame prúd v k tej slučke pričom D k = i k = i sk = D k D, (5.6) R 11... 0... R 1n... 0... R l1... u... R ln......... R n1... 0... R nn (k) =( 1) (k+l).m lk.( u). (5.7) kde M lk jesubdeterminantpovyňatí l tehoriadkuak tehostĺpcamaticesústavy.maticasústavyrovníc pre slučkové prúdy je symetrická R ij = R ji i, j=1,...,n (5.8) teda platí aj Tým je princíp reciprocity dokázaný. M kl = M lk. (5.9) Reciprocita obvodu súvisí s charakterom prenosu signálu elektrickým zariadením. Ak je zapojenie reciproké, bude charakter prenosu signálu rovnaký v smere vstup výstup, ako aj v smere opačnom(z výstupu na vstup). Takto sa správajú rôzne filtre, útlmové a prispôsobovacie články poskladané z lineárnych pasívnych prvkov. Princíp reciprocity vo všeobecnosti neplatí v obvodoch, v ktorých sa vyskytujú riadené zdroje. Príkladom je linearizovaný model tranzistora alebo operačného zosilňovača. Zapojenia s takýmito prvkami nie sú reciproké. Sami cítime, že nemá význam pripojiť signál na výstup zosilňovača a čakať, že sa nejako významne a definovane prenesie na vstup. Poznámka 1: Každá reciproká sieť má symetrickú maticu pre slučkové prúdy. Poznámka 2: Podobným spôsobom samozrejme môžeme sformulovať princíp reciprocity pre pasívny lineárny obvod v harmonickom ustálenom stave pomocou komplexného zobrazenia harmonických veličín. Poznámka 3: Princíp reciprocity platí aj v obvodoch napájaných prúdovým zdrojom. Dôkaz je jednoduchý stačí pomocou kompenzácie prúdový zdroj nahradiť napäťovým. Príklad 21 Overte, že v sériovo paralelnom obvode(obr. 5.24) na obrázku platí princíp reciprocity. Obr. 5.24: Sériovo paralelný obvod. Riešenie.Zdrojnapätia uv1.úsekuobvoduvyvoláv3.úsekuprúd I 3a (obvoda).precelkovýprúd odoberaný zo zdroja platí I 1a = U R 2 + R 3 R 1 + R = U. 2.R 3 R 1.R 2 + R 2.R 3 + R 3.R 1 R 2 + R 3

5.6. PRINCÍP ÚMERNOSTI. 81 Prúd I 3a vypočítamepomocouvzťahupredvojramennýodporovýdeličprúdu I 3a = R 2 R 2 I 1a = U R 2 + R 3 R 1.R 2 + R 2.R 3 + R 3.R 1 Podobnýmpostupomvypočítameprúdv1.úsekuobvodu I 3b vyvolanýzdrojomnapätia uumiestnenýmv 3.úseku(obvodb) U R 1 + R 2 I 3b = R 3 + R = U 1.R 2 R 1.R 2 + R 2.R 3 + R 3.R 1 R 1 + R 2 Vidíme, že skutočne platí I 1b = R 2 R 1 + R 2 I 3b = R 2 R 1.R 2 + R 2.R 3 + R 3.R 1 U I 3a = I 1b. 5.6 Princíp úmernosti. Prúd ľubovoľným úsekom lineárnej pasívnej siete napájanej jedným zdrojom je priamo úmerný výstupnému napätiu(prúdu) tohoto zdroja. Uvažujmeobvodnaobr.5.22,naktorombudemeilustrovaťprincípúmernosti.Prúdy i k,resp. i l súdané rovnicami(5.4),resp.(5.6).dosadímedonichzapríslušnédeterminanty D k,resp. D l. i l = i sl = ( 1)(k+l).M kl D i k = i sl = ( 1)(k+l).M lk D u (5.10) u (5.11) Vobochprípadochskutočneplatí,žeprúd i k,resp. i l jepriamoúmernýnapätiubudiacehozdroja u Príklad22Vobvodenaobr.5.25súdanéparametreprvkov R 1 =8Ω, R 2 =20Ω, R 3 =8Ω, R 4 =10Ω, R 5 =20Ω, R 6 =30Ω, U=25V.Nájditeprúd I 6. Obr. 5.25: Rebríčkový obvod. Riešenie. Sieť takejto štruktúry nazývame aj rebríčkový obvod. Pozostáva z viacnásobného kaskádneho zapojenia Γ, Π alebo T článkov. S uvedenou štruktúrou sa môžeme stretnúť napríklad v rôznych frekvenčných filtroch alebo v útlmových člákoch. Riešenie by sa dalo získať obvyklým spôsobom v prvom kroku nahradiť sieť voči zdroju jedným rezistorom a vypočítať prúd odoberaný zo zdroja. V druhom kroku následným opakovaným použitím vety o prúdovom deliči postupujeme v obvode smerom zľava doprava a vypočítame všetky prúdy. Vďaka princípu úmernosti existuje však aj jednoduchšia možnosť. Budeme postupovať opačným smerom zľava doprava. Zvolímeľubovoľnú(nenulovú)hodnotuprúdu I 6 aoznačímeju I 6(obr.5.25a).Nechteda I 6=1A.Vypočítamenapätie U 5. U 5= R 6.I 6=30V

82 KAPITOLA 5. PRINCÍPY PLATNÉ V ELEKTRICKÝCH OBVODOCH. Obr. 5.25a. ZOhmovhozákonavypočítameprúd I 5 Z 1. Kirchoffovho zákona získame I 5 = U 5 R 5 =1,5A. I 4= I 3= I 5+ I 6=2,5A. Terazužmôžemevypočítaťnapätienarezistore R 2,ktorýjevrebríčkovejštruktúreojedenstupeňdoľava U 2= R 3.I 3+ U 5+ R 4.I 4=75V. Postupujeme smerom doľava podobne, ako v predošlom stupni I 2= U 2 R 2 =3,75A I 1= I 2+ I 3=6,25A. Terazužvypočítamenapätie U,ktorébymuselmaťzdroj U,abybolprúd I 6 takejhodnoty,ktorúsme zvolili na začiatku, teda 1A U = R 1.I 1+ U 2=125V. Princípúmernostihovorí,žeprúd I 6 jepriamoúmernýnapätiu U,tedamusíplatiťajrovnica I 6 I 6 = U 25 U = 125. Odtiaľ I 6 = I 6 U U =0,2A. Zistilisme,žehľadanýprúdmávskutočnosti 25 125 =0,2 krátnižšiuhodnotu,nežsmepredpokladali.toale platípreľubovoľnénapätie,resp.prúdvobvode.napríkladskutočnáhodnotaprúdu I 4 =0,2 I 4 =0,5A, atď.