ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΠΙΚΑΙΡΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο (7ο 8) Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο και η συνάρτηση g με : 7 5 -fκ + + g =, κ f κ +4 + 6 4 α) Να αιτιολογήσετε την άποψη ότι έχει νόημα η αναζήτηση των ορίων: β) Να βρείτε το lim g lim g και lim g γ) Αν f() για κάθε και f8 <, να αποδείξετε ότι lim g δ) Αν f κ, και για τη συνάρτηση h = g + 8 + β,, β ισχύει, να βρείτε τις τιμές των β και f κ. lim h = α) Είναι g 7 5 f κ 6 4 f κ 4 Μπορούμε να αναζητήσουμε τα της μορφής, κ lim g και lim g,α και β, αντίστοιχα. Επειδή η g είναι ρητή της μορφής ορισμού είναι g D :Q αν το πεδίο ορισμού της g περιέχει διάστημα g P το πεδίο Q Επειδή μόνο μεμονωμένες τιμές μπορεί να μηδενίζουν τον παρονομαστή άρα το πεδίο ορισμού της g περιέχει διάστημα της μορφής β) Αν f κ και Ισχύει ότι lim. f κ έχουμε:,α και β,. 7 5 f κ f κ 6 4 f (κ) lim g lim lim lim f κ 4 f κ f (κ) -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: f κ i) Αν f κ f κ ii) Αν f κ fκ f κfκ τότε lim g fκ ή f κ τότε lim g iii) Αν f κ τότε g 5 6 4 4 5 5 6 4 6 lim g lim lim lim 4 iv) Αν f κ τότε g Επομένως 7 5 4 4, 7 3 lim g lim lim 4 4 4, αν f κ lim g, αν f κ ή f κ, αν f κ γ) Από υπόθεση γνωρίζουμε ότι f για κάθε και f συνεχής στο, άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, όμως f 8 Άρα lim g Έχουμε lim f κ lim f κ, f κ, άρα και f για κάθε άρα και f κ f κ, άρα f κ δ) hg8 β hβ g 8 Από το (β) ερώτημα προκύπτει ότι αν το f κ, τότε Άρα και lim h, άτοπο γιατί Αν f κ τότε άρα lim h επομένως lim g lim g lim h β lim g 8 lim h β 8 f κ. lim g 8 8 8, lim h lim β 8 β 8 β 7 ΘΕΜΑ ο (8ο 8) Δίνεται η συνάρτηση α) Να υπολογίσετε τα όρια: f = α + α -α, με α >. lim f, lim f, lim f - + β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. δ) Να λύσετε στο την εξίσωση f =., lim f -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 Το πεδίο ορισμού της f είναι A,,. α) Είναι lim α, γιατί lim και lim α lim limα α συνεχής α στο. Επίσης lim α και lim α α, άρα lim f Είναι lim lim α lim α, γιατί lim και. lim α Επίσης lim α α και lim α, άρα lim f. Είναι lim α lim α lim α α ln α lim lim D.L.Η α lim D.L.H ln α. Επίσης lim α και lim α, άρα lim f. Είναι α lim f lim α α β) Για κάθε A η f είναι παραγωγίσιμη με f α α ln α α ln α α α α ln αα ln α α Η f είναι παραγωγίσιμη με α ln α α ln α f α α ln α = Είναι ln α ln α α α ln α ln α α α ln α f για κάθε A, οπότε η f γνησίως αύξουσα στο, και στο,. Παρατηρούμε ότι f. Άρα για, επειδή f γνησίως αύξουσα στο,, είναι, άρα f f Για Έχουμε f. έχουμε f f άρα f. lim f lnα α, γιατί για κάθε α είναι lnαα άρα lnα α α lnα α άρα lnα α. α -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο,, οπότε. Άρα f για κάθε, f, lim f (), limf (),lnα α αφού lnα α. Ο πίνακας μεταβολών της f είναι :, f ( ) + f( ) ελάχιστο Η f είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα,,, και γνησίως αύξουσα στο διάστημα,. Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο με ελάχιστη τιμή f. γ) Το σύνολο τιμών της είναι f A,,,. δ) Από τον πίνακα μεταβολών έχουμε ότι f ΘΕΜΑ 3ο (9ο 8) Δίνεται η συνάρτηση f: με f για την οποία ισχύουν: H f είναι παραγωγίσιμη στο. H f έχει όριο στο f f + = για κάθε. Να αποδείξετε ότι: α) Το lim f β) H f είναι γνησίως αύξουσα στο. γ) H f αντιστρέφεται και να βρείτε την - f δ) H f έχει δεύτερη παράγωγο και είναι κοίλη στο. ε) Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη C f, τον άξονα και τις ευθείες με 3 εξισώσεις = και =+ είναι E= τ.μ. α) Αν lim f τότε Αν lim f lim f f, ενώ lim τότε lim f f, ενώ lim, άρα καταλήγουμε σε άτοπο., άρα καταλήγουμε σε άτοπο. Επειδή από την υπόθεση γνωρίζουμε ότι υπάρχει το όριο της f στο υποχρεωτικά. f f, άρα f f f, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα. β) Για κάθε, είναι γ) Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα είναι και, οπότε αντιστρέφεται και ισχύει : -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 yf f (y), άρα έχουμε y y f (y), οπότε f, R. δ) Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο και η είναι παραγωγίσιμη στο, άρα και η f f f f είναι παραγωγίσιμη στο, δηλαδή η f έχει δεύτερη παράγωγο στο με f f (αφού f ), οπότε η f είναι κοίλη στο. ε) Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα για Θέτουμε f f, οπότε Για είναι για f, γιατί είναι f f, άρα E f d f d d f d d d f f και είναι f, γιατί f f, άρα 3 E d d d d d d τ.μ ΘΕΜΑ 4ο (ο 8) Έστω η συνεχής συνάρτηση f: για την οποία ισχύουν: f +5 = για κάθε και +f f =3 Α. Να αποδείξετε ότι f =+ +9,. Β. Αν g =lnf τότε: α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g. β) Να βρείτε την g και να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα γ) Να αποδείξετε ότι J + 9I = K, όπου: 4 I= d +9 J= d +9 4 και 4 K= +9d δ) Να αποδείξετε ότι J+K= ε) Να υπολογίσετε τα J, K. στ) Να αποδείξετε ότι η g αντιστρέφεται και να ορίσετε την Α. Για κάθε είναι : - g. f 5 f f f f 9 f f f 9 f 9h 9 (), όπου hf, -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 Για κάθε είναι 9h h και επειδή η h είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο. Για έχουμε h f 3, οπότε h 9 Β. α) Για κάθε είναι β) Για κάθε είναι: f 9 f 9 h, για κάθε, επομένως από, 9. Άρα A g 9 g 9 9 9 g 9 9 g 9 9 4 4 4 9 Είναι I d g d g g(4) g() ln9ln3ln ln3 9 3 γ) 4 4 4 4 9 J 9I d 9 d d 9d K 9 9 9 K 9d 9 9 d 4 4 4 δ) 4 4 9 d d J 9 9. Άρα J K 9 ε) Λύνουμε το σύστημα: J K 9I J ln3 JK 9ln3 JK JK 9 K ln3 g. Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα, οπότε είναι 9 στ) Για κάθε είναι και, άρα αντιστρέφεται. Για να βρούμε τον τύπο της αντίστροφης λύνουμε την εξίσωση y g ως προς. Είναι y y y y yln 9 9 9 9 y y y y y y 9 9 y y 9 9 f y Όμως Άρα y y y 9 y y y 9 9, αληθής για κάθε y y f : 9 με f. -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ 5ο (ο 8) f+ 7 Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f: για την οποία ισχύει lim =. ) Να αποδείξετε ότι: α) f 3 = 7 β) f 3 =5 ) Έστω (ε) η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της α) Να αποδείξετε ότι η (ε) έχει εξίσωση y = 5 8. M 3,f 3. β) Ένα σημείο Σ, που έχει τετμημένη μεγαλύτερη του 3, κινείται στην ευθεία (ε). Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του είναι m sc, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΜΣ.. α) Θέτουμε h f 7 Έχουμε f h 7 lim f lim h 7 7 () Θέτουμε ω f συνεχής, όταν το ω 3, άρα η () lim f ω 7 f 3 7. ω3 β) Για έχουμε f(3) 7 f + 7 f + f(3) lim = lim = () Θέτουμε ω, όταν το ω 3, άρα η () για ω 3 γίνεται f ω f 3 f ω f 3 f ω f 3 lim lim lim ω3 ω ω3 ω 3, ω3 ω 3 από το οποίο προκύπτει ότι f ω f 3 lim 5 ω3 ω 3, άρα f3 5.. α) Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της M3,f 3 ε :yf 3f 3 3 y753 y5 8 β) Έστω Σ,y σημείο της (ε). Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΜΣ είναι : 3 7 OMΣ dt OM,ΟΣ y 3y 7 35 87 8 3 4 3 4, 3 Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΜΣ είναι : E t 4 t 4 t 4 8 m sc -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ 6ο (3ο 8) Έστω η συνάρτηση f =+ ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. ) Να λύσετε την εξίσωση 3) Θεωρούμε τη γνησίως μονότονη συνάρτηση g: η οποία για κάθε ικανοποιεί τη g σχέση g + =+. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα. β) Να αποδείξετε ότι g g f 4) Να λύσετε την ανίσωση 5) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και ότι η C f διέρχεται από το σημείο M,. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο Μ. ) Για κάθε είναι f, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο. f. Προφανής λύση η. Επειδή η f είναι γνησίως ) Είναι αύξουσα, άρα και η λύση αυτή είναι μοναδική. 3) α) Έστω ότι η g δεν είναι γνησίως αύξουσα, τότε θα υπάρχουν, Ag με, ώστε g g g g g g g g άτοπο, άρα η g είναι γνησίως αύξουσα. β) Ισχύει g g προφανής λύση η και η λύση αυτή είναι μοναδική. 4) Είναι gf gf g g f 5) Η f είναι γνησίως αύξουσα άρα είναι και. g και επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα άρα f f f Το σημείο M C, αν και μόνο αν, το συμμετρικό του Μ ως προς την y, δηλαδή το σημείο Cf N,. Η εξίσωση της εφαπτομένης της f C f στο Ν είναι : ε : yf f y Η συμμετρική της (ε) ως προς την y θα είναι η εφαπτομένη της C στο Μ και βρίσκουμε. ότι έχει εξίσωση y f -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ 7ο (7ο 8) Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο με f, f f για κάθε. Α) Να αποδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο β) Η συνάρτηση f είναι κυρτή στο γ) Η gf είναι γνησίως φθίνουσα στο Β) Να αποδείξετε ότι f f f d f Γ) Αν f να βρείτε τη συνάρτηση f. Α) α) Για κάθε είναι ff (), η οποία ικανοποιεί τη σχέση Η f έχει σύνολο τιμών το,, επομένως για κάθε είναι f, άρα από () έχουμε f, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο. β) Έστω, με f f f f f: ΘΕΤΙΚΑ ΜΕΛΗ f f Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε η f είναι κυρτή στο. γ) Στο (β) ερώτημα δείξαμε ότι για κάθε, με είναι: f f g g οπότε η gf είναι γνησίως φθίνουσα στο. Β) Θέτουμε, οπότε d d. Όταν το και όταν το. Έχουμε f f f f f d d f f f d f Γ) Η () ισχύει για κάθε, άρα θα ισχύει και για, οπότε έχουμε : f f f f Προσθέτοντας κατά μέλη τις () και () έχουμε: Για f f () f f f f f f f f c είναι ff c c. Άρα f f, (3) f, Από () και (3) για κάθε έχουμε f f f f f f Για fff f είναι f c c. Επομένως f f c f f,. -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ 8ο (8ο 8) Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε. Β) Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο με f, η οποία για κάθε ικανοποιεί τη f f f f σχέση α) Να αποδείξετε ότι f,. β) Να αποδείξετε ότι κ λ κλ για κάθε κ,λ με κ λ. γ) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς Α, Β έτσι, ώστε Af B f για κάθε. δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις και. Α) Θεωρούμε συνάρτηση h,. Είναι h h Ο πίνακας μεταβολών της συνάρτησης h είναι h ( ) h() Η h παρουσιάζει ελάχιστο στο h Για κάθε είναι ελάχιστο με ελάχιστη τιμή h h h, άρα h Β) α) Για κάθε είναι f f f f h h, οπότε για κάθε είναι: f f ff f f f f f f f f f c f c. Για είναι f c c. Άρα f,. β) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, (βλέπε (Α) ερώτημα), άρα για κάθε κ,λ με κ λ ισχύει f κ f λ κ κ λ λ κ κ λ λ κ λ κ κ κ λ κ λ κ λ κλ κ λ λ λ -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 γ) Αναζητούμε Α, Β έτσι, ώστε για κάθε να ισχύει A f B f A B AB BB A Η τελευταία σχέση ισχύει για κάθε, οπότε θα ισχύει και για συγκεκριμένες τιμές του. Για Για έχουμε AB BBAA BBA B B έχουμε AB BBA AB B B AAA A δ) Η g είναι συνεχής στο, και g για κάθε περικλείεται από την B A,, άρα το εμβαδόν του χωρίου που C g, τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις και είναι: E Ω g d d d d d d d ln ln ln ln τ.μ. ΘΕΜΑ 9ο (9ο 8) Δίνεται η συνάρτηση f i) Να βρείτε το lim f,. ii) Έστω η συνάρτηση g με g, και g.,. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I g d. i) Η f είναι παραγωγίσιμη στο, με Έχουμε f lim f lim lim lim D.L.H lim D.L.H lim lim lim lim -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ii) α) Για να είναι η g συνεχής στο, πρέπει και αρκεί να είναι συνεχής στο και lim g g lim g g Η g είναι συνεχής στο, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Είναι : lim g lim g, και επιπλέον, άρα η g είναι συνεχής στο. lim g lim lim lim lim lim g, D.L.H γιατί β) ος τρόπος lim lim άρα lim Επομένως η f είναι συνεχής στο,. lim, άρα η g είναι συνεχής στο. Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, άρα και η αρχική της στο, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη: G, c, με c limg lim, άρα c Επομένως I gd Gd G G G ος τρόπος I g d d t lim t dt t t lim dt dt t t t lim t dt dt t t t t lim t t dt dt t Διότι t t lim t dt dt lim t t lim lim lim, αφού lim και lim. -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο (3ο 8) Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g:, με f g, ικανοποιούν τις σχέσεις f f g g g f (), και g. α) Να αποδείξετε ότι fg για κάθε,. β) Να αποδείξετε ότι f =. +, οι οποίες για κάθε f γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής της παράστασης. δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν E(α) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις α, α όπου α, καθώς και το όριο lim E α. α α) Από () έχουμε g f f g f g f g () και f g g f g f f g (3) Από (), (3) έχουμε fg f g g f f g g f g g f f g g f fggf f f c g g g g, f f Για είναι cc, άρα f g g Οι f, g είναι συνεχείς στο,, f και g,. για κάθε,,.,. Άρα οι f, g διατηρούν σταθερό πρόσημο και επειδή f g έχουμε fg 3 β) Είναι f f g f f 3 f f f και g. f f 3 f 3 ff c f f Για έχουμε c c f f() Άρα για κάθε, είναι f f γ) Για κάθε, είναι f Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο,. -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 lim f lim lim. Άρα η είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της Για, έχουμε, διότι για είναι και C. f f Για, είναι lim lim lim λ lim f λ lim f lim β Άρα η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C f στο. δ) α f α α α E α f d fd d α α α Άρα α α α α α α α α α α lim Εα lim α α lim α α α α α α lim lim lim. α α α α α α α α α ΘΕΜΑ ο (4ο 8) Έστω συνάρτηση * f: με f για f f Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, α) Να αποδείξετε ότι f f και ff β) Να αποδείξετε ότι f γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση * η οποία είναι «-» και έχει την ιδιότητα : για κάθε f και, τότε: για κάθε f είναι αδύνατη. δ) Αν η f είναι συνεχής, τότε να αποδείξετε ότι : i ) f για κάθε και f για κάθε ii ) H f δεν μπορεί να είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα α) Είναι f για κάθε () f Στη σχέση () θέτουμε όπου το f και έχουμε : f f ff, () f f ff Στη σχέση () θέτουμε όπου το ff και έχουμε :,., άρα και f f f f f f f f f f ff για κάθε (3) f -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 β) Από τη σχέση (3) για f f f f ή f Έστω ότι f, τότε f f, όμως η f είναι γνησίως αύξουσα f στο,, άρα για fff f άτοπο, αφού f f. Άρα f Από τη σχέση (3) για έχουμε έχουμε β f: ερώτημα f f f f f f γ) Για έχουμε : f f f, άρα ή f Όμως για έχουμε f άτοπο, αφού f και για έχουμε f άτοπο, αφού f. Άρα η εξίσωση f είναι αδύνατη. δ) i ) Η f είναι συνεχής και δε μηδενίζεται στο,, άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο. Είναι f, οπότε f για κάθε,. Η f είναι συνεχής και δε μηδενίζεται στο,, άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο. Είναι, οπότε f για κάθε f,. ii ) Έστω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο, f f f f f f, τότε για κάθε,, με θα ισχύει άτοπο, αφού f, f είναι ομόσημοι και ΘΕΜΑ ο (5ο 8) Δίνονται: Η ευθεία (ε): y f διατηρεί τη μονοτονία της f. Η συνάρτηση g ln και Μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο, τέτοια ώστε fln ln, για κάθε, Να αποδείξετε ότι: α) Η ευθεία (ε) εφάπτεται της C g. C διέρχεται από το σημείο A, ii) Για κάθε,, ισχύει β) i) Αν η f α) Για κάθε, είναι f g ln. Η ευθεία (ε):y= εφάπτεται στη γραφική παράσταση υπάρχει σημείο M, g( ) τέτοιο, ώστε Έχουμε λοιπόν o g g o τότε ισχύει f g, C g της συνάρτησης g, αν και μόνο αν, g o o olno o o o g ln o o, συνεπώς η ευθεία (ε): y εφάπτεται της C g στο σημείο M,. -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 β) i) Για κάθε, έχουμε: f ln ln, άρα: Άρα flnlnfln g. Αν θέσουμε όπου το f ln lnf ln ln f ln ln c. Για έχουμε έχουμε g fln f g. ii) Η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε διάστημα,, το Θ.Μ.Τ. άρα θα υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε με f cc f. Ισχύει λοιπόν f f ξ f f ξ ξ () Είναι ξ ξ ξ άρα ξ. Έχουμε λοιπόν <ξ < ξ ξ άρα <ξ < < < () f f ΘΕΜΑ 3ο (7ο 8) Έστω συνάρτηση f:, R με πρώτη παράγωγο γνησίως φθίνουσα και συνεχή. Αν f, f και για κάθε, είναι α) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο,. f και β) Η εξίσωση f f έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,. γ) d f f f f να αποδείξετε ότι: α) H f είναι συνεχής και f για κάθε,, άρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημο. Επειδή f συμπεραίνουμε ότι f για κάθε,, άρα f γνησίως αύξουσα στο β) Η f είναι παραγωγίσιμη στο,, άρα ισχύει Θ.Μ.Τ. οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, τέτοιο, ώστε f f f ξ f (). Άρα η εξίσωση f f έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,. f : () f γ) Για f f ξ f ξ f f f,. Αρκεί να αποδείξουμε ότι d d d d f f f f f d d, f f το οποίο ισχύει. -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ 4ο (3ο 8) Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο τέτοια, ώστε για κάθε. Να αποδείξετε ότι : α) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο. β) Η εξίσωση f γ) Η f αντιστρέφεται. δ) To σημείο N(, ρ ). έχει μοναδική ρίζα ρ, C f. ε) Η εξίσωση f f έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο Υπόδειξη Θεωρείται γνωστό ότι: 3 5 f 3f,. () αν f στο Α, τότε f f f, BA fa α) Η f είναι παραγωγίσιμη στο άρα και η 5 είναι παραγωγίσιμη στο ως πολυωνυμική. Παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη της () και έχουμε: 3 f είναι παραγωγίσιμη στο. Επίσης η συνάρτηση 4 3f f ' 3f ' 5 3f f' 5 4 οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο. β) Για κάθε έχουμε : 4 5 f', 3f 5 5 f f 3 f f 3 Είναι: f και f. f 3 f 3 Παρατηρούμε λοιπόν ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, και ff. Ισχύουν λοιπόν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano, οπότε η εξίσωση f έχει μια ρίζα στο, και μάλιστα μοναδική, αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. γ) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε είναι και " - ", άρα αντιστρέφεται. δ) Αφού ρ ρίζα της f ισχύει () f ρ Μ(ρ, ) Cf N (, ρ). ε) Η f είναι στο, άρα ισχύει η ισοδυναμία Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι η εξίσωση f διάστημα,. f f f. C f έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 Για κάθε είναι: f 3 3f 5 f 3 3 3f 3 5 3 3 5 3 f f f 3 () Είναι γνωστό ότι α αβ β για κάθε α, β. Άρα για κάθε έχουμε f () f () f () f () 3 3. 5 3 Αρκεί λοιπόν η συνάρτηση g,, να έχει ρίζα στο,. Παρατηρούμε ότι: Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο,. gg. Ισχύει λοιπόν το Θ. Bolzano, οπότε η ΘΕΜΑ 5ο (3ο 8) Δίνεται η συνάρτηση α g έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, f = +α, R και α > α α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και τα σημεία καμπής. γ) Να δείξετε ότι για κάθε α> οι γραφικές παραστάσεις των f και f έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. δ) Η ευθεία = ορίζει με τις γραφικές παραστάσεις των f και f ένα ευθύγραμμο τμήμα. Να βρείτε την τιμή του α, ώστε το τμήμα αυτό να έχει το μικρότερο δυνατό μήκος. ε) Η γραφική παράσταση της f για α=, ο άξονας και η ευθεία =λ με λ > ορίζουν ένα χωρίο με εμβαδόν Ε(λ). Να βρείτε το Ε(λ) και στη συνέχεια να υπολογίσετε το α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, οπότε δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. Επειδή lim f f =+ και lim, η f δεν έχει ασύμπτωτες στο. Είναι = = -α -α + + + λ + lim Ελ. +α lim f lim lim =, οπότε η ευθεία y=, δηλαδή ο άξονας, α α είναι οριζόντια ασύμπτωτης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. β) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R με: f = +α = α α α α α α α Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R με: f = + α α α -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 Είναι: f() και f() f () και f () Οπότε ο πίνακας μεταβολών της συνάρτησης f είναι ο παρακάτω: f ( ) f ( ) f() -α -α Eπομένως η f είναι γνησίως αύξουσα και κοίλη στο, α, γνησίως φθίνουσα και κοίλη, γνησίως φθίνουσα και κυρτή στο α, + στο α, α για f το γ) Έχουμε. Η f έχει μοναδικό μέγιστο και μοναδικό σημείο καμπής το Κ, f f, που σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις των f και f έχουν μοναδικό κοινό σημείο. δ) Έστω d(α) το μήκος του τμήματος, τότε: d( ) f() f () και Επομένως d (α)= και d (α)>. f ( ) f() ½ d (α)= d( ) Άρα για το d έχει ελάχιστο μήκος. ε) Ε(λ) f d d d 3 - - 3 4 - lim lim και -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9