ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ /0/0 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:ΕΝΝΕΑ (9) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 5 Α. Σχολικό βιβλίο σελ Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 8 Α. α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β. ίνονται οι παρατηρήσεις: ln,, + 5, + 6,, 0. Η µέση τιµή δίνεται από τον τύπο: 6 i ln + + 5 + 6+ + 0 + ln + i= = = = 6 6 6, 6 εποµένως έχουµε: f ( ) = + ln +, ( 0, ) Β. α) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη µε: f () = + και f () = 6 6 Εποµένως η σχέση γίνεται: ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 6f () + ( f () + ) = 6 + + 6 + 6 = = + + + = = + + = 0 β) Από την σχέση του Β (α) µετά από επιµεριστική προκύπτει ότι: 6f () + 6f () = () Είναι: ( ) f () + f () + + () 6f () + 6f () + + lim = lim = + + 0 0 ( )( + + ) ( ) ( ) + + ( )( ) + + ( )( ) + + lim = lim = lim = + ( ) 8 = lim = Β. Αφού η f γίνεται µέγιστη για = ισχύει για κάθε (0,) : + + 6 + ln + + ln f () f () ln ln : γν. αύξουσα ln ln ln e e e e e e Β. Οι αρχικές παρατηρήσεις για = γίνονται: 0,, 8,,, 0. Για να βρούµε τη διάµεσο τις διατάσσουµε σε αύξουσα σειρά δηλαδή:, 0,,, 8, 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθµός η διάµεσος προκύπτει από το ηµιάθροισµα των δυο µεσαίων παρατηρήσεων,εποµένως είναι: t + t + 7 δ = = = Στην κανονική κατανοµή η διάµεσος είναι ίση µε τη µέση τιµή των παρατηρήσεων 7 εποµένως είναι: = Έχουµε ( ε) y - + = 0 y =, και έστω (ε ) η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f. Αφού ε / / ε θα ισχύει λ = λ = f ( ) όπου o η τετµηµένη του σηµείου επαφής. Άρα έχουµε: ε ε = o + = o + o o + = 0 6 0 o Οι ρίζες της εξίσωσης είναι: o = ή o = o εκτή γίνεται η o = γιατί το o = - (0,).Εποµένως έχουµε ότι: s = 0,5%,5%,5% % % 5 7 9 0,5%,5%,5% 8,5% 8,5% Η απάντηση είναι τα διαστήµατα: 9, ή 5, ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Γ Γ. α) Είναι f() = + + υπολογίζουµε την παράγωγο της f. f () = +, βρίσκουµε τις ρίζες της εξίσωσης: f () = 0 f () = 0 + = 0 = 0, =, = Και στη συνέχεια υπολογίζουµε το πρόσηµο της f () f () > 0 + > 0 ( )( ) > 0 Οπότε ο πίνακας µεταβολών της f είναι: - 0 + f - + - + f Η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήµατα [0,] και [, + ) και γνησίως φθίνουσα στα διαστήµατα (-, ] και [,]. β) Η f εµφανίζει τοπικά ελάχιστα στο =0 το f (0) = και στο = το f () = ενώ εµφανίζει τοπικό µέγιστο στο = το f () =. Επειδή A B A είναι P(A B) P(A). Εποµένως είναι: P (A B) = και P (A) =. Γ. Το ενδεχόµενο να µην πραγµατοποιείται µόνο το Α είναι το ( A B). Εποµένως είναι: P ( A B) = P( A B) = ( P(A) P(A B) ) = = ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙ ΕΣ
Γ. Ισχύει: ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ A B B P A B P B P(B ) P(B ) άρα ( ) ( ) Επίσης ισχύει P( A B) P(A) + P(B) P(A B) P(B) + P(B) P(B ) P(B ) Άρα τελικά ισχύει: P(B ) Γ. Ισχύει η σχέση: N (A) N ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 0 0 + Ω + Ν Α Β Ν Α Ν Ω Ν Α Β + = N (A) ( ) 6 N ( ) 6 ( ) 6 ( ) ( ) 0 Ν Α + + Ω Ν Ω + + Ν Α Β Ν Α Β + = ( ) ( ) ( ) Ν( Α) 6 + Ν( Ω) 8 + Ν( Α Β) = 0 Έχουµε άθροισµα µη αρνητικών όρων να κάνει µηδέν, άρα θα πρέπει κάθε όρος να ισούται µε το µηδέν, δηλ: Ν( Α) 6 = 0 Ν( Α ) = 6 Ν( Ω) 8 = 0 Ν( Ω ) = 8 Ν( Α Β) = 0 Ν( Α Β ) = Έστω ότι τα απλά ενδεχόµενα είναι ισοπίθανα ώστε να ισχύει ο κλασσικός ορισµός της N(A) 6 N(A Β) πιθανότητας, τότε: P(A) = = = και P(A Β ) = = = N( Ω) 8 N( Ω) 8 Εποµένως τα ενδεχόµενα δεν είναι σίγουρα ισοπίθανα αφού η P ( A Β) είναι διαφορετική από το αποτέλεσµα του Γ(α). ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 6ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Είναι ο δειγµατικός χώρος Ω={0,,,,,5,6,7,8,9}. Από το ιστόγραµµα των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων (%) υπολογίζουµε τη διάµεσο των παρατηρήσεων 60 50 0 Δ Ε Β Γ Α 6 δ 8 Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Ε είναι όµοια οπότε ισχύει: ΑΒ ΒΓ 0 ΒΓ = = ΒΓ = Α Ε 0 Άρα η διάµεσος είναι: δ = 6+ ΒΓ = 6+ = 7,> 7 Εποµένως το ενδεχόµενο Α είναι: A = { Ω / < δ } = { 0,,,,,5,6,7 }. Έχουµε: e = + λ +, υπολογίζουµε την παράγωγο της h() e (6 ) 0 e h () = e ( ) + (6 λ ) = e e + 6 λ, θέλουµε να µεγιστοποιηθεί ο ρυθµός µεταβολής, άρα υπολογίζουµε την δεύτερη παράγωγο ΤΕΛΟΣ 6ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 7ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ h () = e e + 6 λ = e e, βρίσκουµε τις ρίζες της h () = 0 h () = 0 e e = 0 e = e = = και το πρόσηµο της h () > 0 e e > 0 e > e > < Εποµένως ο πίνακας µεταβολών του ρυθµού µεταβολής της h είναι: - + h + - h Ο ρυθµός µεταβολής της h γίνεται µέγιστος για = και είναι: e e h = + + 6 λ = 6 λ Θέλουµε. > λ > λ < λ < < λ < h 0 6 0 6 Εποµένως το ενδεχόµενο Β είναι: B= { 0,,,}. Για τα 0 σηµεία της παραβολής y = + + έχουµε ότι η µέση τιµή των i, i =,,...,0 είναι = κ και η τυπική απόκλιση τους είναι s =. Ψάχνουµε την y = + + αφού εποµένως πρέπει να υπολογίσουµε την τιµή του y = + +, i =,...,0 i i i. ΤΕΛΟΣ 7ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 8ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Από τον τύπο s = ν ν ν i i = i έχουµε i= ν 0 0 0 0 0 0 i i i i i i= i = i= i = i = i 0 i= 0 0 0 0 0 s = = = = κ = = + κ Όπου = 0 i= 0 i : µέση τιµή των τετραγώνων των παρατηρήσεων Έτσι για τη µέση τιµή των y i ισχύει: ( ) = + + = + κ + κ + = κ κ + y 6 Θέλουµε y 0 κ κ+ 6 0 κ 9 Άρα το ενδεχόµενο Γ είναι: Γ = {,5,6,7,8,9, }. i) Έχουµε: A = { 0,,,,,5,6,7}, B = { 0,,,}, Γ = {,5,6,7,8,9, } Παρατηρούµε ότι: B και Γ = Β. A εποµένως θα ισχύει: Α Β = Β και Α Β = Α () Αφού Είναι: 7 P( Γ ) = P( Γ ) = = P( Β ) 0 0 () P( Α Β ) = P(A) Άρα ΤΕΛΟΣ 8ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 9ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 5 P(A B) 0P(A ) [ ] ( ) ( ) 5 P(A) 0 P(A) ( ) 5 P(A) 0P(A) + 6 0 ( ) 5P(A) 0 5P(A) = 0 P(A) = 5 ii) Υπολογίζουµε αρχικά την P(A B ) : P(A B ) = P(A B) = P(A) P(A B) = P(A) P(B) = 0 Εποµένως έχουµε: π P(A B ) = 0,ηµ t = ηµ t ηµ t = ηµ t = ηµ 0 0 6 π π Άρα t = αφού έχουµε ότι: t 0, 6 ΤΕΛΟΣ 9ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙ ΕΣ